Atividade de Álgebra: Grupos e Homomorfismos

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Atividade de Álgebra
Questão 1 Seja a 6= e um elemento do grupo G. Prove que o(a) = 2 se, e somente se, a = a−1.
Questão 2 Seja G = {e, a, b, c, d, f, g, h} um grupo cuja tábua é mostrada abaixo. Pode-se determi-
nar:
a) o subgrupo gerado por b;
b) p peŕıodo de d;
c) os gerados de G; d) x ∈ G tal que a · x · b−1 = d.
· e a b c d f g h
e e a b c d f g h
a a d c g f e h b
b b h d a g c e f
c c b f d h g a e
d d f g h e a b c
f f e h b a d c g
g g c e f b h d a
h h g a e c b f d
Questão 3 Determine todas as classes laterais de H = {0̄, 3̄, 6̄, 9̄} no grupo aditivo Z12.
Questão 4 Dado o grupo Z × Z2(produto direto), ache todas as classes laterais à esquerda, do
subgrupo H = {0} × Z2. Esse subgrupo é normal? Justifique sua resposta.
Questão 5 Mostre que um subgrupo N de um grupo G é normal se,e somente se, x−1Nx = N para
todo x ∈ G, onde x−1Nx = {x−1nx;n ∈ N}.
Questão 6 Seja G = [a] um grupo ćıclico de ordem 6. Sendo H = [a2], construa a tábua do grupo
G/H.
Questão 7 Determine todos os subgrupos não triviais do grupo aditivo Z6. Para cada subgrupo H
encontrado, construa a tábua do grupo quociente Z2/H.
Questão 8 Seja f : G −→ J um homomorfismo sobrejetor de grupos. Se H é um subgrupo normal
de G, mostre quef(H) é um subgrupo normal de J .
Questão 9 Questões solicitadas em sala de aula durante as aulas.
Boa trabalho!
”Aqui está um guia simples e objetivo de conduta: pergunte a vocês mesmo o que quer que os outros
façam a você, e, então faça o mesmo a eles. Na verdade, nisso se resumem a lei e os
profetas.”Mateus 7. 12