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Cap. 6 Integrais tríplas jII
I l0 (ólculo B CaP. 6
[[ t,-,t,]'l'0,0,
lJ c-tlts-.) ¿,¿,.
R,
(-2< x<2
R,: {
l0S z< 4- x'
A região R' é dada Por
Portanto,
I
,. llf (,rt *y')N,on&Téocilin&o x2+vz<t,0<z<4'
T
l5
6.5 EXERCíCIOS
Nos exercícios I a 16, calcular a integral tripla dada sobre a região indicada-
l. ll! ortat'. onde Té o paralelepípedo retângulo t0, ll x [0' 2] x [l' 3]'
JIJ ¡rlf. onde I é o tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo 
plano
1
x+I+;=4.
2
4. dV, onde Téaregáodoprirneirooctantelimitada por x=4-y2' y=2, x=0
s. [f[ 
"vdV, sendo 
Tarcgãoacinadoplanoxydelimitada pot z=4-x2, y=0 e
JJJ
6. xydV, onde T é a rcgão delfunitada por y=0, x=0, z=0, z=4-x2 e
7 dV, ondeTéohemisferiodafre¡tedaesfera x2 +y2 *21 =4-
a. llJ G-t)dv, onde I é o sólido delimitado pelos planos )*¿=8, -)*e=8,
x=0, x=4, Z=0, y=1 e y=2.
I lll av, ondeZéaregiãodelimitadapor y= x2, x=J2' z=2y e z=-2y
dV, onde T é a regão delimitada por x=0, y=0, y+ x=2, z- r'*yt 
"
tt. qi å_þ#f sendo T o sólido delimitado pelos planos coordenados e 
pelo
plano x+ !* z=2.
P. {J 2-vsenyz dv, on&,Séoparaleþípedolimitado 
poÍ x=r. ,=+, ,=4 t o'
planos coordenados.
ta. JJJ :dV, ondeGéaregiãodo lqoctantelimitadaPor y2 +22 =2, ),=2¡ e x=0'
Il
ez
r[
y+
IIJ
: l-¡-,t I
ll {u-'o-òa,)a'
0.
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z=8.
2
I r'-'{' @ - *)-l(n- "' I )*
/2)lt,-ï r dxJ G_'
-1
-5M
0.
,n l[
z=
,
z¿t
[ [ [ ia,ara'000c)to. JJI (v+*')zav, onde S é o 
paralelepípedo raângulo 13x32' 0< vll'
5
il ,**øjvooJ0
z?'
ÐfJIx'fzdzdtàr
100
rùJ
-?(z(5
,r. JJJ r-,-dv, onde 
s é o sólido no prinriro octante delimitado por z=4-x2, z=0,
5)=¡ e Y=0.
tU. JJJ zdV, orÅeIéosólidolimitadoPor 
z=v'oplanorv e v=2-x2
I zazøa'
- 
!,8-"¿aÐf I'00
6; 3¡:+3,r:I ! a,a,ø
-,,617 ¿"*r=-s
22r
'{{
i+4y2
' I arata'
0
T
17. Escrev€r na forma de uma integral tripla iterada:
a) ![l ¡ Or,ondeIéaregiãodelimiødaPor z= x2 +yt -4 e z=4-x'-y2'
T
b) III ¡or,ondeIédelimitadapor x2+ v2+z'=az'
T
c) III ¡ or,ondelédelimitadapor x2+ zt =o' e v2 +72 =42'
d) Ill ¡ or,onderédetimitadapor z=8-x2 -v2 e z=3x2+v2'
e) III ¡ Or,ondelédelimitadapor:= E+v' e '=2'
Ð [ll f or, onde I é a região interior ao cilind¡o x2-x*vz=0 e à esfera
6.6 MUDAhIçA DE
TRIPLAS
VARIÁVEIS EM INTEGRAIS
Deformaanrálogaàapresentadap¿rraÍìsinægraisdrrplasnaSeção5.7'podemosintroduzil
novas variáveis de inægração na integral tripla
t =[l[tt',t,2)dxdvdz. (1)
-. T
Introduzindo novas variáveis de iregração ø' v' w através das equações
x= x(u,v,w), y = y(r,v,w), 7= ¿(u,v,w),
a integral (1) Pode s€r expressa por
,=JJJ ,fG(r,n¿,'), v(u,v'w),2@'''"')Tr¿@,; udvdw (2)
T,.
-:i^ -^ 
--^^^ ^ 
à(x'y'ù ¿ o determinante
onde 1' é a correspondente regiào no esPaço 4' v' l? e ffi '
jacobiano & t, y, z em relação a u' v evt'
Observamos que zrs condições gaais sob as quais (Ð é valida. são alálogas às
.onafoo sob as quais é válida afórmula correspondente para integrais duplas.
A seguir, exploraremos os casos particulares 9t "-t$",9j-:*::1t e esféricas'
que simptiicarao t^tuot" o cálculo das imegrais triplas em diversas srtuaçoes'
i
I
I
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I ¡2
ÐJJ
0¡:
I l-r l-¡-.tÐJJ ! a,a'av()00
c)
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}
x'+y'+22=l
T
18. Esboçar a região de integração e calcular as integrais:
III ¡ or,onderéaregiãodelimitadapor z=16--r2' z=0' 
y=-z e v=2'
I xdzdt dx
+¡+ )'
r"- a.';{aF¡f ,'-
Þ
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I
I
t28 Cólculo B Cap.6
Observando a Figura 6.24, vemos que o sólido Zpode ser descrito por
o<p<- j-
sen@
!<o<Ló2
0<0 <2n
Portanto,
s' 
"I* [l[ ,*, onde T é a resþo interior às superficies ,=+çr.*rr) .
,'+y,*z2=5.
..Calcula¡ ll[ zaV, onde I é, a regþo interior às superfícies ,=_+çr*y.) 
"
*'+y'izt=5.
Cap.6 Integraistriptas 3æ
I
L
I
I
T,
observamos que no,s Exerlnlgs l a 4 poderíamos ter ccolhido quarquer outra ordemde integração, já que todos os ri-iro ¿" i"""ru" são constantes. Nesse exempro, issonão pode ser feito em relação.as uariaveis p-"j.-coo,o p é função ã',, 
^integral navariável p deve ser resolvida primeiro, * ,"¡i, JJoru. *;,J;îräí; äää ;:
6.7 EXERCíCtos
7. calcula¡ I[l ,*, onde T é, a regiãoLterior às supe.fÍcies ,=içr*yr) 
"t'+yt*22=5.
8. Catcular III ,*, onde Z é a regãointerior às superfícies ,=+Gr.rrr) 
"
x2 +y2 *22 
=5.
g. calcular I[l 6' + y= + zr) dv, on&lé a esfera x, + y2 + z2 sg.T
10. catcula¡ [l[ ç'*yr*rt)dv, sendoraregiãointqioràesfera ,r+yr*22 
=9 e
E
,
I
e
a
I=l
J
0
J oo sen| dp dQ d0
*n0
0
l' calcula¡ Ill 6'* v') ¿v, onde r é a reg¡ão in¡erior ao cilind¡o x2 + v2= r e à
esfera ¡r + yt + z2 - 4. 11. Calcuta¡ III 6, * y, * rr) dv, sqdararegião interior ao cone r=rply. 
"a
12- Calcular III ç'+ y, + zr)dv, se,ndo ra região interior à esfera x2 + y2 * z2 =9 e
exterior ao cone x2 + y2 = 72.
13' Calcular |ll ,*, sendo?nosólidodelimitadopor ¿=0 e z =4_x2_y2, interior
ao cilindro x2 + y2 =1.
14. Calcular III *, sendo z a casca esférica delimirada por 
-r:+_yr+;: =9 s
ì+y2+22=16.
exterioraocone z= ,t¡.r¡
2. Calcula¡
*t+y'*¡l=l
[[ F;7av, onde ?n é a região timitada por ¿= x2+y2_4 e esfera ¡2 + y, + z, -g
z=4-*t 
-y2
3. Calcular [il *, onde ?"éaregiãolimitadapor .r:+ y2 =4 e y2 +22 
=4.
4. Calcuiar ill *, onde I é a região inrerior ao cilindro *, _r+;,2 
=0 e à esfera
I
¡
T
¡
I
I
+
¡
I
¡
L
fö (llculo I Cap.6
z
3
X
Figura 6.32
I Calcular o volume da parte do tetraedro da Figura 6.32:
. entre os planos z=l e z=2;
¡ acima do plano ¿ = 1;
. abaixo do plano z = 2.
3. Calcular o volume do sólido delimitado por x2 * y2 =4, z =0 e 4x+2y + z=16.
¡1. Calcuiar o volume do sólido limitado por z = 8 - x2 -2y2 , no primeiro octante.
5. Calcular o volume do sólido acima do plano ry delimitado por ¿ = x' + yz e
.l+r,2=16.
6. Calcular o volume do sólido acima do parabolóide z=xt+y2 e abaixo do cone
Cap. 6 IntegraistriPlos i17
9. Calculã o voluæ do ætrae&o delimitado pelos planos cærdenados e pelo plano
' +l +Z =Lmde ø, b, c sioconstantes positivas.abc
10. Calcularovoluredapartedaesfera x2+yt +22 --9 ertreosplanos z=l e z=?-
Nos exercíciÑll a 19 calcular o volumc do sólido delimitado pelas superficies dadas'
11. x' + y' =l6i z=2:, e x+ z=9.1:-
12. x2 +2y2 =/; 7-- x + 4', e z = 0'
13. z=2x2 +y2 e z=4-3xz -Y2-
14. z= x2 + yz e z=4-2y'- r'-
15. ,'*y'=8li z=Zi e z=100-
16. l=4xz +7¿ e Y=d.
17. xt + yz +2Y =Q z=Ù' e z=4+ Y'
lE. x+ y-+ z=4; x=l; Ï=2; eosplanos coordenados'
19. x2+22-4ey'+22=4.
20.Calcularelllassadossólidoslimitadospelassuperfíciesdadasconsiderandoa
densidade de r.,a"sa igUal a a kgln3.
a) 7=æ7 z--,lg-x2 -v2
b¡ z=4-x2-Yz z="+Y'
21. calcula¡ a nBssa e o centro de massa do sólido delimitado por y =¡2, y =9, z=0
e y + z= 9 considerando a densidade de rnassa igual a lx I þm3'
22. Verificar que o centro de massa de um, esfera de raio 1 coincide com o seu centfo'
sabendo'se que a sua distribuição de massa é homogênea'
23. Calcutar o rnorrnto de inércia eur reþão aos eixos coordenados do sólido
delimitado pr z=4-x2 -y' e z=0, sabendo que a densidade de massa em um
ponto P é proporcional a distância de P ao plano r-v'
1
2
x- + 
_v-
7. Calcular o volume do sólido acima do plano xy e interior às superfícies
t'-
-={9-r': 
-yt e -r: +¡r -1.
8. Calcular o volume do sólido delimitado pelos planos )=0. z=0, ¡*)=4 e pelo
cilind¡o parabólico : = I - ¡:.