Dinamica_rotacao_corpos_2x1

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27/10/2016
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Dinâmica do Movimento
Rotacional
Prof. Cristiano Oliveira
Ed. Basilio Jafet – sala 202
crislpo@if.usp.br
Fisica I ‐ IO
Para que o qualquer tipo de movimento ocorra é necessário a aplicação de uma força.
Dinâmica do Movimento rotacional
No movimento de rotação, é necessário a aplicação de uma força que faça o corpo
girar.
Como veremos, podemos associar movimentos de rotação à uma nova quantidade
física, o torque.
Além da conservação da energia, para sistemas isolados, definiremos a conservação
do momento angular do sistema. Este principio de conservação é extremamente util
na descrição e compreensão do movimento de rotação de corpos .
Veremos diversas aplicações como
descrição dinâmica de um giroscópio ou
de um pião.
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Como vimos anteriormente, forças agindo sobre um corpo podem afetar seu movimento
translacional. Nesta descrição não nos importava a forma do corpo uma vez que tratáva‐
mos tudo como pontos materiais.
Torque
Para que ocorram movimentos rotacionais a magnitude e direção da força são importantes,
mas tão importante quanto é o ponto de aplicação desta força, uma vez que isso acabará
ocasionando diferentes tipos de rotação.
Na figura ao lado a chave de boca está sendo usada
para soltar um parafuso. E três forças de igual
magnitude são indicadas. A força aplicada próxima ao
final da chave é mais efetiva do que uma força ,
aplicada próxima ao parafuso. Além disso, a força ,
não fornece nenhum tipo de contribuição, apesar de ser
aplicada no mesmo ponto de , mas está dirigida ao
longo do comprimento da chave.
bF

aF

cF

bF

A quantidade que indica a tendência que uma força tem
de causar ou mudar o movimento de rotação de um corpo
é chamado de torque.
Vamos tomar o corpo abaixo, que pode girar em torno do eixo O.
Torque
Três forças agem no corpo no plano da figura. Para
a força , a tendência para causar a rotação no
ponto O depende da intensidade da força .
Além disso, depende da distancia perpendicular ,
entre o ponto O e a linha de ação, da força, isto é,
a linha na qual o vetor força está.
1F

1F
1l
Chamamos a distancia como braço de alavanca
(ou braço de momento) da força com relação a
O. O esforço de torção é diretamente proporcional
tanto a quando a . Sendo assim definimos
torque (ou momento) da força com respeito a
O pelo simples produto . Usa‐se a letra grega
“tau” para torque. Para uma força com
intensidade F cuja linha de ação é uma distancia
perpendicular l a partir de O, definimos torque
como,
1l
1F

1F 1l
1F

11lF

Os termos “torque” e “momento” são usualmente utizados, assim como “braço da
alavanca” ou “braço do momento”.
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Para diferenciar os torques da força F1 e F2
podemos definir o torque como positivo,
quando causa rotação em sentido anti‐
horário. Assim, torques que causam rotação
em sentido horário, serão negativos. Com
essa definição,
No SI, a unidade de torque é Newton‐
metro.
Apesar de ter a mesma unidade, torque
não é trabalho ou energia! (como veremos,
torque é um vetor, ao passo que trabalho e
energia são escalares!)
Sendo assim a unidade que devemos
utilizar para o torque é N.m e não J (joules)!
Como devemos proceder quando a linha de ação da Força atuante não é
perpendicular ao braço da alavanca?
O torque sempre corresponde à ação de uma
força e braço com direções perpendiculares.
Sendo assim, podemos pegar a componente
da força perpendicular ao braço, ou a
componente do braço de alavanca que é
perpendicular à força aplicada.
Matematicamente,
Note que tanto a força F e o braço de
alavanca r são vetores.
Desta forma podemos escrever o torque 
como um produto destes dois vetores. Como
o torque também é um vetor, qual tipo de
produto seria??
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Como vimos anteriormente, tanto a velocidade angular quanto a aceleração angular podem
ser representados por vetores. O mesmo é aplicado para o torque.
Torque como um vetor
Na realidade, a quantidade nada mais é do que a magnitude do produto
vetorial .
Logo, podemos generalizar o torque como: quando uma força F age em um ponto com
posição r com respeito a uma origem O, o torque desta força com respeito a O é a
quantidade vetorial,
A direção do torque segue as regras do produto vetorial. Na
verdade, os vetores r e F definem um plano e assim, o torque
 será um vetor perpendicular a este plano. Em termos
práticos, pode‐se utilizar a regra da mão direita com F
fechando sobre F.
Como indicado na figura ao lado, esta definição indicará o
sentido de rotação induzido pelo torque. Rotações em sentido
anti‐horario, fornecem torques positivos (“para cima”) e
rotações no sentido horario fornecem torques negativos (“para
baixo”). Sendo assim o vetor torque, velocidade angular e
aceleração angular possuem compreensões similares!
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Lembremos domovimento linear:
• O movimento linear era descrito pela cinemática: posição, velocidade, aceleração, etc.
• O movimento era causado por uma força, com módulo, direção e sentido.
Torque e aceleração angular para um corpo rígido
Podemos agora definir a mesma sistemática para omovimento rotacional:
• O movimento de rotação era descrito pela cinemática: posição angular, velocidade
angular, aceleração angular, etc.
• O movimento de rotação é causado por um torque, com módulo, direção e sentido.
Torque e aceleração angular para um corpo rígido
Vamos assumir um corpo rígido composto de várias
partículas. Escolhemos como eixo z como eixo de
rotação.
A força resultante agindo sobre esta partícula pode
ser descrita em termos de três componentes. Uma
radial, F1,rad , na mesma direção de r1, outra
tangencial, F1,tan , tangente ao circulo de raio r1 no
qual esta partícula se move e outra ao longo do eixo
de rotação, F1z .
Definidas as forças, podemos aplicar a Segunda Lei de
Newton.
A segunda lei de Newton para a componente
tangencial fornece,
Como vimos antes, podemos expressar esta
componente tangencial em termos da aceleração
angular z: a1,tan = r1 z. usando esta expressão para
a aceleração tangencial e multiplicando ambos lados
por r1,
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Torque e aceleração angular para um corpo rígido
F1,tanr1 nada mais é do que o torque da força resultante com respeito ao eixo de rotação,
ou seja a componente 1z.
Nenhuma das outras forças, F1,rad e F1z , contribuem para o torque sob o eixo de rotação z,
uma vez que não alteram a rotação da partícula com relação a este eixo.
Agora, é o momento de inércia I1 da partícula com massam1 com relação ao eixo
de rotação, assim,
Podemos obter uma equação similar para cada partícula que compõe o corpo. Assim,
podemos somar todas as equações,
No lado esquerdo temos a soma de todos os torques
que age sobre o corpo rígido.
No lado direito temos , o momento de inércia total do corpo rígido,
multiplicado pela aceleração angular, que é a mesma para todo o corpo, pois ele é
rigido. Assim, podemos finalmente escreve o análogo da Segunda lei de Newton para o
movimento rotacional:
Torque e aceleração angular para um corpo rígido
Assim como a segunda Lei de Newton define a força resultante sobre uma partícula como
sendo massa vezes aceleração, este resultado nos fala que o torque resultante em um
corpo rígido é igual ao momento de inércia do corpo em relação a um dado eixo,
multiplicado por sua aceleração angular.
O torque em cada partícula do corpo é devido
à força resultante nesta partícula, ou seja, a
soma da ação das forças internas e externas.
No entanto, pela terceira lei de Newton
sabemos que as forças internas para qualquer
par de partícula exercem forças iguais e
opostas. Sendo assim, estas forças gerarão
torques iguais e opostos, e deste modo, se
somam a zero. Com isso, todos os torques
internos são zero e só nos importa os torques
feitos por forças externas.
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Rotação em torno de um eixo em movimento
Podemos estender as analises da dinâmica do movimento de rotação para casos onde o
eixo de rotação se move. Quando isso acontece, o corpo terá um movimento de rotação e
translação combinado.
A chave para descrever estas situações consiste de entender que :
“Qualquer movimento possível do corpo rígido pode ser representado como uma
combinação do movimento de translação do centro de massa e a rotação ao redor de
um eixo passando pelo centro de massa. “
Esta afirmação é verdadeira mesmo que o centro de massa acelere, ou seja, para
referenciais não inerciais. Exemplos são um bastonete em movimento balístico, um
corpo em rolamento em um plano, um ioiô, etc.
Translação e rotação combinadas: Relações energéticas
Está além da abordagem deste curso demonstrar que o movimento de corpos rigidos
podem sempre ser divididos entre o movimento de translação do centro de massa e o de
rotação em torno do centro de massa.
No entanto podemos demonstrar que isso é verdadeiro para a energia cinética de um
corpo rígido que possui tanto movimento translacional e rotacional.
Neste caso a energia cinética do corpo é a soma de uma parte associada com o
movimento do centro de massa e de outra parte associada com a rotação em
torno de um eixo passando pelo centro de massa:
Ou seja, podemos desacoplar as duas formas de energia para o movimento de um corpo
rígido.
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Demonstração:
Vamos imaginar um corpo rígido feito por partículas. Como mostrado na figura ao lado,
uma partícula com massa possui velocidade relativa a um referencial inercial. Esta
velocidade é a soma vetorial da velocidade do centro de massa e a velocidade da
partícula relativa ao centro de massa:
A energia cinética Ki desta partícula no referencial
inercial é . Esta energia pode ser escrita como,
Logo,
Demonstração:
A energia cinética total é a soma para todas as partículas que compõem o corpo.
Utilizando esta definição na expressão anterior, temos
O primeiro e segundo termos possuem fatores comuns que podem ser tirados fora da soma, 
O primeiro termo,  é a massa total M. 
O segundo termo é zero pois  é Mmultiplicado pela velocidade do centro de massa 
relativo ao centro de massa, que é zero por definição.
O ultimo termo é a soma das energias cinéticas das partículas calculadas utilizando suas
velocidades escalares com relação ao centro de massa. Este termo nada mais é do que a
energia cinética de rotação em torno do centro de massa, . Logo,
Agora basta uma análise dos termos acima. 
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Rolamento sem derrapagem
Um caso muito importante de rotação e translação combinadas é o rolamento sem
derrapagem. A roda é simétrica, logo o centro de massa está no centro geométrico. Vamos
assumir o movimento em um referencial inercial de referencia no qual a superfície na qual
a roda rola está parada.
Neste referencial, o ponto no qual a roda está em contato com a superfície está
instantaneamente em repouso de como que não derrapa.
Assim a velocidade  e um ponto de contato relativo ao centro de massa deve ter a 
mesma magnitude mas direção oposta à velocidade do centro de massa 
Se o raio da roda é R e sua velocidade angular é  , a magnitude de  é R,  assim,
Fotografia instantânea de uma roda de bicicleta em rolamento
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Translação e rotação combinadas: Dinâmica
Podemos fazer a analise da translação e rotação em termos da dinâmica.
Para um corpo de massa M, a aceleração do centro de massa é a mesma que teria
uma massaM sob a ação de todas as forças externas agindo no corpo,
O movimento de rotação em torno do centro de massa é descrito pelo análogo da Segunda
Lei de Newton,
Sendo Icm o momento de inercia com respeito a um eixo passando pelo centro de massa, e
a soma inclui todos os torques com respeito a este eixo.
Pode‐se demonstrar que esta equação para os torques é válida mesmo que o eixo de 
rotação se mova, desde que  duas condições sejam válidas:
1. O eixo passando pelo centro de massa deve ser um eixo de simetria.
2. O eixo não muda sua direção.
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Trabalho e Potencia no Movimento Rotacional
Ao andar de bicicleta a força que você aplica nos pedais (um corpo em rotação) faz um
trabalho neles. Um motor girando também realiza trabalho. Podemos descrever este
trabalho em termos do torque e de deslocamentos angulares.
Suponha uma força tangencial agindo sobre um disco
pivotado.
O disco roda um angulo infinitesimal d em torno do eixo
fixo, durante um tempo infinitesimal dt.
O trabalho dW feito pala força quando o ponto no disco
se move a uma distancia ds é
Se d é medido em radianos, então, ds = R d , logo,
Agora, é o torque feito pela força , logo
O trabalho total W feito pelo torque durante um deslocamento angular de  1 para  2 será,
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Trabalho e Potencia no Movimento Rotacional
Se o torque é constante durante a mudança angular, então,
Note a completa analogia com o movimento unidimensional,
Se o torque é dado em N.m e o ângulo em radianos, o trabalho será em Joules.
Trabalho e Potencia no Movimento Rotacional
Quando o torque realiza trabalho em um corpo em rotação, a energia cinética muda por
uma quantidade igual ao trabalho feito.
Seja o torque total agindo sobre o corpo, de modo que . O corpo é rígido, de
modo que o momento de inercia I é constante. Neste caso temos,
Como é o torque total agindo sobre o corpo, a integral deste torque fornecerá o
trabalho total agindo sobre o corpo, logo,
A mudança na energia cinética rotacional em um corpo rígido é
igual ao trabalho feito pelas forças externas ao corpo. Esta
equação é análoga ao teorema trabalho energia para uma
partícula.
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Trabalho e Potencia no Movimento Rotacional
Para obter a potencia associada ao torque, dividimos a equação do trabalho infinitesimal
por dt:
Mas dW/dt é a taxa de realização do trabalho, ou potencia P, e d/dt é a velocidade
angular , logo,
Veja que esta equação é análoga ao caso do movimento translacional,
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Momento Angular
Como mostrado anteriormente, todas as quantidades rotacionais possuem um análogo
translacional.
O análogo do momento de uma partícula é o momento angular, o qual denotaremos por L.
Sua relação para com o momento p (momento linear) é a mesma relação do torque para
com a força,
Par uma partícula de massa m, velocidade v, momento p = m v, e vetor posição r relativa a
uma origem O de um referencial inercial, o momento angular L é definido como,
O valor de L depende da origem escolhida, pois envolve o vetor posição relativo a O. 
As unidades de momento angular são kg.m2/s
Na figura ao lado a partícula se move no plano xy. Sua posição r e seu momento p = mv são
mostrados. O vetor momento angular L é perpendicular ao plano xy. A regra da mão direita
mostra que sua direção será ao longo do eixo z positivo e seu modulo,
onde l é a distancia perpendicular da reta suporte de v para
com O. Esta distancia funciona como o braço da alavanca para
o vetor momento.
Quando a força F age na partícula, sua velocidade e momento
mudam. Logo, seu momento angular também pode mudar.
vmrL


Para ver esta variação temporal no momento angular podemos
tirar a derivada da equação do momento,
 vmr
dt
d
dt
Ld 

 




 




 
dt
vd
mrvm
dt
rd



O primeiro termo nos parênteses é zero pois dr/dt = v e v x v = 0. No segundo termo,
podemos substituir ma pela força F. Assim,
A taxa de mudança no momento angular de uma partícula é igual ao torque da força 
resultante agindosobre ele.
Análogo linear :   F
dt
pd 

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Momento Angular de um corpo rígido
Primeiro consideramos uma fina fatia do corpo caindo no
plano xy. Cada partícula nesta fatia se move em um circulo
centralizado na origem e a cada instante sua velocidade vi
é perpendicular ao vetor posição ri.
Podemos agora obter o momento angular total de um
corpo rígido girando ao redor do eixo z com velocidade
angular .
Assim,  = 90º para cada partícula. A partícula com massa 
mi na distancia ri a partir de O, tem a velocidade vi igual a 
ri . Assim,
A direção do momento angular para cada partícula é dado pela regra da mão direita, na 
direção +z.
O momento angular total desta fatia do corpo caindo no plano xy é a soma de todos os
momentos angulares das partículas. Assim,
sendo I o momento de inércia da fatia para com o eixo z.
Momento Angular de um corpo rígido
Podemos fazer o mesmo cálculo para as outras fatias do corpo, todas paralelas ao plano
xy. Para pontos que não caiam no plano xy pode‐se ter uma complicação pois os
respectivos vetores posição r possuirão componentes nas direções x, y e z. Com isso o
momento angular de cada partícula terá componentes perpendiculares ao eixo z.
Podemos fazer o mesmo cálculo para as outras fatias
do corpo, todas paralelas ao plano xy. Para pontos que
não caiam no plano xy pode‐se ter uma complicação
pois os respectivos vetores posição r possuirão
componentes nas direções x, y e z. Com isso o
momento angular de cada partícula terá componentes
perpendiculares ao eixo z.
No entanto, se o eixo z for um eixo de simetria, as
componentes perpendiculares das partículas em lados
opostos se cancelarão e se somarão a zero. Assim
quando o corpo gira em torno do eixo de simetria, seu
momento angular L está alinhado ao eixo de simetria e
possui modulo L = I 
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O vetor velocidade angular  também está alinhado ao eixo de
rotação, como visto antes. Sendo assim, para um corpo rígido
girando em torno do eixo de simetria, L e estão na mesma
direção. Desta maneira temos a forma vetorial,
Como vimos antes, a taxa de mudança do momento angular de
uma partícula é igual ao torque da força resultante agindo na
partícula.
Para qualquer sistema de partícula, a taxa de mudança do momento angular é igual à soma 
dos torques de todas as forças agindo em todas as partículas. 
Os torques das forças internas se cancelam e sendo assim a soma de todos os torques
corresponde apenas às forças externas.
Se o momento angular total L do sistema de partículas é a soma de todos os torques,
Se o sistema de partículas é um corpo rígido girando em torno de um eixo de simetria, eixo z
por exemplo, então, Lz = Iz e I é constante. Se este eixo está em uma direção fixa no espaço
então os vetores L e mudam apenas em magnitude, mas não em direção. Neste caso, dLz /dt
= I dz /dt = Iz :
O que repete a equação da dinâmica de rotação de corpo rígido que obtivemos anteriormente. 
Note que se um corpo não é rígido esta equação não é valida pois I pode variar. No entanto a 
relação entre o torque resultante e a variação do momento angular é sempre válida!
Quando o eixo de rotação não é um eixo de simetria o momento 
angular em geral não é paralelo ao eixo de rotação. 
Quando o corpo gira, o vetor momento angular L traça um cone
ao redor do eixo de rotação. Como L muda, existe um torque
resultante agindo sobre o corpo mesmo que o modulo
velocidade angular seja constante.
Se o corpo em questão é uma roda desbalanceada de um
carro este torque acabará causando danos e desgastes nos
rolamentos. Quando se faz o balanceamento de rodas, pela
distribuição de massas em torno de um eixo de rotação, faz‐se
com que o vetor L se alinhe ao eixo de rotação, e em
conseqüência elimina‐se este torque resultante quando a
roda gira.
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Conservação do Momento Angular 
Os resultados anteriores relacionando torque e momento angular podem servir como
definições alternativas para o movimento rotacional.
Veremos agora o principio de conservação do momento angular.
Assim como a conservação da energia e momento linear, este principio é uma lei
universal, válida em todas as escalas de tamanho, desde sistemas atômicos e nucleares ao
movimento de galáxias.
Este principio vem diretamente da relação entre torque e variação do momento angular:
  dt
Ld

 Se,  0 0 dt
Ld

constanteL 

“Quando o torque resultante externo agindo em um
sistema é zero, o momento angular total de um sistema
é constante (conservado).”
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Conservação do Momento Angular 
Este principio de conservação fornece resultados bastante interessantes.
Imagine uma acrobata girando em torno do centro de massa com braços e pernas
estendidas. Quando ela encolhe os braços e pernas seu momento de inercia Icm com
respeito ao centro de massa muda de um valor I1 par outro valor I2. A única força externa
agindo sobre ela é o peso, que não possui torque com respeito a um eixo passando pelo
centro de massa. Assim, seu momento angular Lz = Icmz fica constante e sua velocidade
z aumenta quando Icm diminui, ou seja:
Quando um esqueitista ou uma
bailarina gira com braços
estendidos e depois os recolhe,
a velocidade angular aumenta
pois o momento de inercia
diminui. Isto é uma
consequência direta da
conservação do momento
angular no qual a força externa
é zero.
Um caso interessante ocorre quando um sistema é composto de várias partes. Cada parte
exerce força uma em outra de modo que os momentos angulares individuais se alteram. No
entanto, o momento angular total não se altera!
Imagine um sistema composto de dois corpos, A e B, que interagem somente entre si e com
nenhum corpo mais. Se o corpo A exerce uma força em B, FAonB o torque correspondente
será AonB . Este torque gera uma alteração no momento angular do corpo B,
Ao mesmo tempo, o corpo B exerce uma força FBonA em A, com torque correspondente,
BonA,
Da terceira lei de newton, FAonB=‐FBonA. Além disso se as forças agem ao longo da mesma
linha, os braços de alavanca serão os mesmos. Assim os torques serão iguais e opostos.
Logo,
Ou seja, o momento angular do sistema é constante. Os torques feitos pelas forças internas
podem transferir momento angular de uma parte para outra dentro do corpo mas não
podem alterar o momento angular total do sistema!
 
0


dt
Ld
dt
LLd
dt
Ld
dt
Ld totalBABA

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Giroscópio e Precessão
Giroscópio e Precessão
Para compreender a precessão deve‐se lembrar que a velocidade angular, momento
angular e torque são quantidades vetoriais. Em particular, deve‐se ter em mente a
relação entre o torque resultante que age sobre a variação do momento
angular , .
Vamos analisar duas situações. Inicialmente vamos
assumir que o disco está parado. Tomamos como
origem o pivô do giroscópio, O e assumimos que o
disco é simétrico, com massa M e momento de
inércia I com relação ao eixo de rotação. O eixo de
rotação está inicialmente colocado na direção x.
As únicas forças agindo no giroscópio são a força
normal n que age no pivô (sem atrito) e o peso w
do disco, localizada no seu centro de massa à uma
distância r da origem O.
A força normal não faz torque pois age no pivô, mas o peso gera um torque na direção
y. Inicialmente não temos rotação e o momento inicial Li é zero. Como vimos, uma
pequena alteração dL no momento angular em um pequeno intervalo de tempo se
relaciona com o torque por:
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Giroscópio e Precessão
Esta mudança também está na direção y que é onde  está direcionado. A cada
intervalo dt o momento angular muda por incrementos adicionais dL na direçãoy pois o
torque é constante. Este aumento do momento angular horizontal significa que o
giroscópio gira (cai preso ao pivô) cada vez mais rápido em torno do eixo y.
Giroscópio e Precessão
Vejamos agora o que acontece quando o disco está
inicialmente girando, de modo que o momento angular Li
não é zero.
Como o disco está girando em torno do eixo, Li está
direcionado ao longo deste eixo. No entanto cada uma
mudança no momento angular dL é perpendicular a este
eixo uma vez que o torque é perpendicular
a este eixo.
Isto causa alteração na direção de L, mas não na seu
módulo. As mudanças dL são sempre no plano horizontal
xy então o vetor momento angular e o eixo do disco que
com ele se move estão sempre em um plano horizontal.
Em outras palavras, o eixo não cai, apenas sofre
precessão.
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Giroscópio e Precessão
Vamos obter a velocidade de precessão. O giroscópio
possui momento angular L. um intervalo dt depois, o
momento angular será L+dL; a mudança infinitesimal no
momento angular é, dL=tdt, o qual é perpendicular à L,
conforme indicado no diagrama ao lado.
Como o incremento é perpendicular, isso significa que o
giroscópio girou um pequeno angulo d dado por
dfi=xxxx . A taxa no qual o eixo de move, d/dt é
chamada velocidade angular de precessão. Chamando
esta unidade de  (ômega), temos,
A velocidade de precessão angular é inversamente
proporcional à velocidade angular de rotação ao redor do
eixo. Um giroscópio gira rápido precessão lentamente. Se
o atrito nos rolamentos faz com que sua velocidade
angular diminua, a velocidade de precessão aumenta!
Precessão da Terra
Velocidade de precessão da terra: 1 rev / 26000 anos
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Precessão de um Pião
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