Valor absoluto, desigualdades, limites e continuidade

Li sta N o 1 1.1 V alo r A bs ol ut o e De s igu a lda d es 1. Re sol v a as de sig ua ld ad es. (a) x 2  4 > 0 ( b ) x 2  1  0 ( c ) x 2 4 ( d ) x 2 > 1 ( e ) ( x  a ) 2 r 2 ; r > 0 : 2. Re sol v a as eq ua çõ es. ( a ) j x j = 2 ( b ) j x + 1 j = 3 ( c ) j 2 x  1 j = 1 ( d ) j x  2 j =  1 ( e ) j 2 x + 3 j = 0 ( f ) j 2 x + 1 j =  2 ( g ) j 1  2 x j = j 3 x + 5 j ( h ) p ( x  4) 2 =  1 ( i ) p ( x  1) 2 = 5 ( j ) p (2  x ) 2 = 4 ( k )     x 1  5 x     = 4 ( l ) x = p (  4) 2 : 3. A s de sig ua ld ade s a ba ixo en vo lv em produto s e quocie n t es e po dem ser res olv ida s p or meio do est ud o do si na l: ( a ) (4 x + 7) 20 (2 x + 8) 0 ( b ) x (2 x  1)( x + 1) > 0 ( c ) 3 p x 2  1  0 ( d ) 2 x  1 x  3 > 5 ( e ) x 2 x  3  3 ( f ) (2 x  1)( x + 3) 0 ( g ) 2 x  1 x + 3 0 ( h ) 3 x  2 2  x  0 ( i ) x 2  4 x 2 + 4 > 0 : 4. Re sol v a as D esi gu ald ad es . ( a ) x 2  3 x + 2 0 ( b ) x 2 + x + 1  0 ( c ) 3 x 2 + x  2 > 0 ( d ) 4 x 2  4 x + 1  0 ( e ) x 2 + 3 > 0 ( f ) x 2 + x + 1 > 0 ( g ) x 2  5 x + 6  0 ( h ) x 2 + 5  0 ( i ) ( x  2)( x + 3)(1  x ) > 0 ( j ) x 2 + 1 3 x  x 2  3 ( k ) x ( x + 4) 2 ( x  2)  4 0 ( l ) ( x 2  4)( x 2  3 x + 2)  0 5. Dê o c on jun to sol uç ão d e ca da u ma d as i neq ua çõ es m odula re s ab aix o. ( a ) j x j  1 ( b ) j 2 x  1 j 3 ( c ) j 3 x + 3 j  1 = 3 ( d ) j 2 x  3 j > 3 : 6. Du as d esi gu ald ad es sã o dit as e qu iv ale n t es , se p oss ue m o m esm o co nj un to de sol uç ões . Com ba se nes ta d e… n içã o, v eri… q ue se a s de sig ua lda de s aba ix o sã o equ iv a len tes. x 2 > 1 e 1 + 2 x  1 > 0 : 7. Re sol v a o sis tem a d e ine qu açõ es . 8 : 8 x  2 x  1 2 x 2  x  1 8 Mos tr e qu e: não exist em n úme ro s re ais x e y , tai s qu e 1 x + 1 y = 1 x + y 1.2 D o m ín io e I m ag em 1. Dê o d om ín io e es bo ce o grá … co d e ca da u ma d as f un çõe s ab aix o: ( a ) f ( x ) = 3 x ( b ) f ( x ) =  x ( c ) f ( x ) =  x + 1 ( d ) f ( x ) = 1 3 x + 5 3 ( e ) f ( x ) =  1 2 x ( f ) f ( x ) = j x  1 j ( g ) f ( x ) =       x; se x  2 3 ; se x > 2 ( h ) f ( x ) =       2 x; se x   1  x + 1 ; se x >  1 ( i ) f ( x ) = x 2  2 x + 1 x  1 ( j ) f ( x ) = j x + 2 j + 1 ( k ) f ( x ) = j 2 x + 1 j 2 x + 1 ( l ) f ( x ) = j x + 2 j ( m ) f ( x ) = j x j x ( n ) f ( x ) = j x  1 j x  1 ( o ) f ( x ) = x 2  1 x + 1 : 2. De ter m ine o dom íni o da s fun çõ es a ba ixo : ( a ) f ( x ) = 1 x  1 ( b ) f ( x ) = x x 2  1 ( c ) f ( x ) = p x 2  1 ( d ) f ( x ) = x x + 2 ( e ) f ( x ) = p x + 2 ( f ) f ( x ) = x + 1 x 2 + x ( g ) f ( x ) = r x  1 x + 1 ( h ) f ( x ) = p x 2  x ( i ) f ( x ) = p x (2  3 x ) ( j ) f ( x ) = r x  3 x + 2 ( k ) f ( x ) = 2 x x 2 + 1 ( l ) f ( x ) = p 4  x 2 ( m ) f ( x ) = p x  1 + p 3  x ( n ) f ( x ) = p x  p 5  2 x ( o ) f ( x ) =  p   2 x: 2. Es bo ce o grá … co da s funç ões : ( a ) f ( x ) = j x j  1 ( b ) f ( x ) = jj x j  1 j ( d ) f ( x ) = j x + 1 jj x j ( d ) f ( x ) = j x 2  1 j : 2 3. Co ns ide re a fu nç ão f : R  ! R de… nid a p or f ( x ) = x 2 + 4 x + 5 : (a) V eri… que q ue f ( x ) = ( x + 2) 2 + 1 : (b) E sc oce o grá … co de f : (c) D et er mi ne o m en or v al or d e f ( x ) e par a qu al x es se v al or é as su mi do . 4. Sej a y = f ( x ) a fun çã o da da a p ar tir d a eq ua ção x 2 + y 2 = 4 ; p ar a y  0 : (a) D et er mi ne u ma f ór m u la q ue d e… na ex pli cit am en te y com o fu nçã o de x: (b) D et er mi ne o d om ín io de f : (c) Es bo ce o grá … co de f : 5. Um a ca ixa r eta ng ul ar sem t am p a, com v olum e de 2 m 3 ; tem um a ba se qu ad ra da . Exp re sse a ár ea super… cia l S da cai xa c om o um a fu nç ão d o com p rim e n t o x de um lado d a ba se . CL A SS IFI CA Ç Ã O DE UM A FU N Ç Ã O R E AL : (a) F unçã o P AR e F unã o ÍM P AR: U m a fu nçã o f de … nida em u m in terv al o sim étr ic o [  a; a ] , den om in a- se fu nç ão P ar se sat isfa z f (  x ) = f ( x ) ; pa ra todo x no seu d om ín io . Se sa tis fa z f (  x ) =  f ( x ) ; pa ra todo x no seu d om ín io , en tão f é d enom inada f un çã o Ím pa r. (b) F unçã o M ON ÓTO NA: C om re laç ão ao cr esc imen to, as funç ões re ais s e cla ssi … cam em : cre s- cen te, dec res cen te, não c re sce n te ou n ão de crece nt e. Em q ualq ue r des ses c as os, a fun ção re cebe a den omin ção de F unç ão Mo nót ona. T emo s (a) U ma fun ção f é cr esc en te em um in terv al o I, se d ad os x 1 ; x 2 2 I , com x 1 2 t em -se f ( x 1 ) f ( x 2 ) : Se f ( x 1 )  f ( x 2 ) , pa ra x 1  x 2 , en tão f é di ta nã o-de cre scen te. (b) U ma fu nçã o f é decr escen te em um in terv a lo I, se dad os x 1 ; x 2 2 I , com x 1 2 te m- se f ( x 1 ) > f ( x 2 ) : 3 Se f ( x 1 )  f ( x 2 ) , pa ra x 1  x 2 , en tão f é di ta nã o-cr esc en te. (c) F un ção L IMIT AD A:U ma fu nçã o f : D  ! R den om ina-s e lim itada i nfe riorm en te qua ndo ex ist ir um a const an te m , tal qu e m  f ( x ) ; pa ra todo x no do mí nio D: Um a tal con stan te m den om ina-s e cot a inf er ior d e f . Qu ando e xis tir u ma con stan te M, tal q ue f ( x )  M , para to do x no do mí nio D; dir emos q ue a funç ão f é limi ta da su p erio rm en te e cad a con stan te M acim a lev a o no me d e co ta super ior de f. D ire mo s que f é lim itada q uand o o for s uperi or e in ferio rm en te. N este ca so ex istir á um a const an te C > 0 , tal qu e j f ( x ) j  C; 8 x 2 D : 1.3 L imi te e C on tin uid ad e 1. Em c ada ca so ab aixo ca lcule o li mi te de f ( x ) , qu ando x ! a ( L = lim x ! a f ( x )) : ( a ) f ( x ) = 2 x + 5; a =  7 Respost a: L =  9 ( b ) f ( x ) = 3 p 3 x + 1 + 1 ; a = 0 Re sposta : L = 3 = 2 ( c ) f ( x ) = x 2 + 3 x  10 x + 5 ; a =  5 Re sposta : L =  7 ( d ) f ( x ) =  2 x  4 x 3 + 2 x 2 ; a =  2 Re sposta : L =  1 = 2 ( e ) f ( x ) = x  1 p x + 3  2 ; a = 1 Re sposta : L = 4 ( f ) f ( x ) = p x 2 + 8  3 x + 1 ; a =  1 Re sposta : L =  1 = 3 ( g ) f ( x ) = x 4  1 x 3  1 ; a = 1 Re sposta : L = 4 = 3 ( h ) f ( x ) = 3  p x 9  x ; a = 9 Re sposta : L = 1 = 6 ( i ) f ( x ) = x 2 + x x ; a = 0 Re sposta : L = 1 ( j ) f ( x ) = x 2 + 8 x  20 x 2  x  2 ; a = 2 Re sposta : L = 4 ( k ) f ( x ) = x 4  2 x + 1 x 3 + 2 x 2 + 1 ; a = 1 Re sposta : L = 0 4 ( l ) f ( x ) = 1  p 1 + x p x  1  x ; a = 3 Re sposta : L = 1 = (3  p 2) ( m ) f ( x ) = (3  x 3 ) 4  16 x 3  1 ; a = 1 : (su gestã o: fa ça u = 3  x 3 ) Respos ta: L =  32 ( n ) f ( x ) = 3 p x + 2  1 x + 1 ; a =  1 : (su gestã o: faça u = 3 p x + 2) Re sposta : L = 1 = 3 RE SPO ST AS & SU GES TÕE S 1.1 V alo r Abs olut o e De sigu alda des 1. ( a ) x > 2 o u x  2 ( b )  1  x  1 ( c )  2 2 ( d ) x > 1 ou x  1 ( e ) a  r + r 2. ( a ) j x j =  2 ( b ) x = 2 ou x =  4 ( c ) x = 0 ou x = 1 ( d ) ? ( e ) x =  3 = 2 ( f ) ? ( con j v azio) ( g ) x =  4 = 5 ou x =  6 ( h ) ? ( i ) x = 6 ou x =  4 ( j ) x =  2 ou x = 6 ( k ) x = 4 = 21 o u x = 4 = 19 ( l ) x = 4 : 3. (a) N a expr essão (4 x + 7) 20 (2 x + 8) v emo s que o pr im eir o fat or é p osit iv o e a ex pre ssão se rá neg ativ a qu ando 2 x + 8 0 ; isto é , x  4 : (b)  1 0 o u x > 1 = 2 : Na for ma d e in terv al o, te mo s (  1 ; 0) [ (1 = 2 ; 1 ) : (c) S = [  1 ; 1] : (d) S = (3 ; 14 = 3) : (e) S = ( 1 ; 3 = 2) [ [9 = 5 ; 1 ) : (f ) S = (  3 ; 1 = 2) (g) S = (  3 ; 1 = 2) : (h) S = ( 1 ; 2 = 3] [ (2 ; 1 ) : (i) S = ( 1 ;  2) [ (2 ; 1 ) : 4. (a) S = (1 ; 2) : 5 (b) S = ? : (c) S = ( 1 ;  1) [ (2 = 3 ; 1 ) : (d) S = f 1 = 2 g ( conju nt o unitá rio). (e) S = R = ( 1 ; 1 ) : (f ) S = R = ( 1 ; 1 ) : (g) S = ( 1 ; 2] [ [3 ; 1 ) : (h) S = ? : (i) S = ( 1 ;  3) [ (1 ; 2) : (j) S = ? : (k) S = ( 1 ; 0) : (l) S = [  2 ; 1] [ f 2 g : 5. (a) S = [  1 ; 1] : (b) S = (  1 ; 2) : (c) S = [  10 = 9 ;  8 = 9] : (d) S = ( 1 ; 0) [ (3 ; 1 ) : 7. S = [  1 = 2 ; 1 = 7) : 8. Se ex istis sem tais n úm eros x e y sa tisfaz endo 1 x + 1 y = 1 x + y ter íamo s y + x xy = 1 x + y ) ( x + y ) 2 = xy e, x 2 + 2 xy + y 2 = xy ) x 2 + y x + y 2 = 0 e, ob ser v an do o d isc rim inan te da últ ima eq ua ção 4 = b 2  4 ac = y 2  4 y 2 =  3 y 2 0 ; e, p orta nt o, a equ ação n ão t em s olu ção. 1.2 D om ín io e I ma gem 2. (a) D = ( 1 ; 1) [ (1 ; 1 ) = R nf 1 g : 6 (b) D = ( 1 ;  1) [ (  1 ; 1) [ (1 ; 1 ) = R nf 1 ; 1 g : (c) D = ( 1 ;  1] [ [1 ; 1 ) : (d) D = R nf 2 g : (e) D = [  2 ; 1 ) : (f ) D = R nf 1 ; 0 g : (g) D = ( 1 ;  1) [ [1 ; 1 ) : (h) D = ( 1 ; 0] [ [1 ; 1 ) : (i) D = [0 ; 2 = 3] : (j) D = ( 1 ;  2) [ [3 ; 1 ) : (k) D = R : (l) D = [  2 ; 2] : (m ) D = [1 ; 3] : (n) D = [0 ; 5 = 2] : (o) D = ( 1 ;  = 2] : 7

Valor absoluto, desigualdades, limites e continuidade

Cálculo I

UFPB

Cálculo I

Continue navegando

Conteúdos escolhidos para você

Perguntas dessa disciplina

Noções sobre limites Limites Laterais Limites no Infinito Assíntotas Limites FUNDAMENTAIS Continuidade Teorema do valor intermediário 4.5. Funções ...

Mediante el módulo de un número real expresamos la percepción intuitiva de tamaño o distancia al 0. Si x es un número real, denotaremos por IxI su ...

UNIDADE II - Limites, continuidade de funções e Derivadas: 4. Limite de uma função: 4.1. Ideia intuitiva e geométrica do limite. 4.2. Limite de um...

Dada a função f(x)=x³+x²-x+1, encontre os extremos absolutos de f em A Valor máximo absoluto: (-2, 3) Valor mínimo absoluto: (-4, -2) B Valor máx...

Outros materiais