11 - Progressão geométrica II

Prévia do material em texto

Prof. Jhoni Zini www.focusconcursos.com.br 1 
Matemática 
Progressão geométrica 
Progressão Geométrica II 
Iremos agora introduzir o conceito de soma dos termos, assim como tínhamos 
na progressão aritmética, precisaremos às vezes calcular a soma dos termos de uma 
P.G. para resolvermos os exercícios. Por exemplo, se uma colônia de bactérias se 
duplica a cada duas horas e quisermos saber quantas bactérias existirão em 8 horas, 
basta somarmos os termos de uma P.G. de razão 2. 
Soma de P.G. Finita: 
𝑆𝑛 =
𝑎1.(𝑞𝑛−1)
𝑞−1
 
Sendo: 
a1 = primeiro termo da P.G. 
𝑞 = 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 
𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑃. 𝐺. 
Vejamos alguns exemplos abaixo: 
Exercício 1: 
Calcule a soma dos 11 primeiros termos da PG (30, 60, 120, ...) 
Vamos identificar primeiro quem é o primeiro termo e a razão; a1 = 30 e se 
multiplicarmos por 2 = 60, portanto a razão q=2 e ainda n = 11 termos. 
Usaremos a fórmula da soma dos termos da P.G.: 
𝑆𝑛 =
𝑎1.(𝑞𝑛−1)
𝑞−1
 
Substituindo os valores: 
𝑆𝑛 = 
30.(211−1)
2−1
 
𝑆𝑛 = 30. (1024 − 1) 
𝑆𝑛 = 30𝑥1023 = 30690 
Exercício 2: 
O vazamento de um tanque de água provocou a perda de 2 litros de água no 
primeiro dia. Como o orifício responsável pela perda ia aumentando, no dia seguinte 
o vazamento foi o dobro do anterior. Se a perda foi dobrando a cada dia, o número 
total de litros de água perdidos, até o décimo dia, foi de: 
Vamos montar uma P.G. com a situação: Perde-se 2 litros no primeiro dia, e 
após sempre se perde o dobro, portanto: 
 
Prof. Jhoni Zini www.focusconcursos.com.br 2 
Matemática 
Progressão geométrica 
(2, 4, 8, ...) representa a sequência de perca da água ao passar dos dias. 
Faremos a soma dos termos da P.G. para descobrir o número de litros perdidos. 
Sendo: 
𝑎1 = 2 
𝑞 = 2 
𝑛 = 10 
𝑆𝑛 =
𝑎1.(𝑞𝑛−1)
𝑞−1
 
𝑆𝑛 =
2.(210−1)
2−1
 
𝑆𝑛 = 2. (1024 − 1) 
𝑆𝑛 = 2046 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 á𝑔𝑢𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠 
Soma de P.G. Infinita: 
Agora pensaremos numa situação diferente. Se minha P.G. possuir uma razão 
maior que zero e menor que um (0< 𝑞 < 1) a cada termo se aproxima mais do 0, ou 
seja, tem infinitos termos. Temos uma fórmula para calcular também os infinitos 
termos de uma P.G. dada por: 
𝑆∞ =
𝑎1
1−𝑞
 
Sendo: 
𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑃. 𝐺. 
𝑞 = 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑎 𝑃. 𝐺. (1 < 𝑞 < 1) 
Exemplo de P.G. infinita de razão 1/2: 
(16, 8, 4, 2, 1,
1
2
,
1
4
, … ) 
Exercício 3: 
Calcule a soma dos infinitos termos da PG (64, 32, 16, ...) 
A soma dos infinitos termos se dá pela fórmula: 
𝑆∞ =
𝑎1
1−𝑞
 
Sendo a1 = 64 e a razão = ½ pois 64 x ½ = 32: 
Vamos substituir: 
𝑆∞ =
64
1−(
1
2
)
 
𝑆∞ =
64
1
2
= 128 
 
Prof. Jhoni Zini www.focusconcursos.com.br 3 
Matemática 
Progressão geométrica 
Exercício 4: 
No interior de uma sala, na forma de um paralelepípedo com altura h, 
empilham-se cubos com arestas de medidas 
27
1
 ,
9
1
 ,
3
1
 ,1
, e assim por diante, conforme 
mostra a figura. 
 
O menor valor para a altura h, se o empilhamento pudesse ser feito 
indefinidamente, é: 
O menor valor se dá pela soma da P.G. (1, 1/3,1/9,...), usaremos a fórmula da 
soma dos infinitos termos da P.G.: 
𝑆∞ =
𝑎1
1−𝑞
 
Sendo 𝑎1 = 1 e 𝑞 =
1
3
 pois 1 x 1/3 = 1/3 
𝑆∞ =
1
1−(
1
3
)
=
1
2
3
=
3
2
 
Portanto a menor altura h é 3/2 unidades de comprimento. 
Exercício 4: 
Numa sequência infinita de círculos, cada círculo, a partir do segundo, tem raio 
igual à metade do raio do círculo anterior. Se o primeiro círculo tem raio 4, então a 
soma das áreas de todos os círculos é: 
Sabemos que a área do círculo é dada por: 𝑆𝑐 = 𝜋. 𝑟² então nossa P.G. de 
termos infinitos de área fica assim: 
(𝜋. 42, 𝜋. 22, 𝜋. 12, … ) 
Vamos fazer a soma dos infinitos termos sendo: 
𝑎1 = 16𝜋 
𝑞 =
4𝜋
16𝜋
=
1
4
 
Então: 
𝑆∞ =
𝑎1
1−𝑞
 
 
Prof. Jhoni Zini www.focusconcursos.com.br 4 
Matemática 
Progressão geométrica 
𝑆∞ =
16𝜋
1−(
1
4
)
 
𝑆∞ =
16𝜋
3
4
=
64𝜋
3
 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 
Produto dos termos da P.G.: 
Última propriedade que iremos ver é chamada de produto dos termos da P.G., 
como o nome já diz, se precisarmos saber o valor da multiplicação de todos os termos 
de uma progressão geométrica, usaremos a fórmula: 
𝑃𝑛 = 𝑎1𝑛. 𝑞(𝑛.
𝑛−1
2
)
 
Em que: 
𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑃. 𝐺. 
𝑞 = 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑎 𝑃. 𝐺. 
𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑃. 𝐺. 
Segue um exemplo: 
Exercício 5: 
Calcule o produtos dos 6 termos da PG (2, 6, 18, ...) 
Nesse exercício utilizaremos a fórmula de produtos dos termos da P.G.: 
𝑃𝑛 = 𝑎1𝑛. 𝑞(𝑛.
𝑛−1
2
)
 
Sendo: 
𝑎1 = 2 
𝑞 = 3 𝑝𝑜𝑖𝑠
6
2
= 3 
𝑛 = 6 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 
Vamos substituir: 
𝑃𝑛 = 26. 3(6.
6−1
2
)
 
𝑃𝑛 = 26. 315 
𝑃𝑛 = 918330048