AREA , ANGULOS E CIRC

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PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do 
detentor dos direitos autorais.
Produção Projeto e Desenvolvimento Pedagógico
Disciplinas Autores 
Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales
 Márcio F. Santiago Calixto
 Rita de Fátima Bezerra
Literatura Fábio D’Ávila 
 Danton Pedro dos Santos
Matemática Feres Fares
 Haroldo Costa Silva Filho
 Jayme Andrade Neto
 Renato Caldas Madeira
 Rodrigo Piracicaba Costa
Física Cleber Ribeiro
 Marco Antonio Noronha
 Vitor M. Saquette
Química Edson Costa P. da Cruz
 Fernanda Barbosa
Biologia Fernando Pimentel
 Hélio Apostolo
 Rogério Fernandes
História Jefferson dos Santos da Silva 
 Marcelo Piccinini 
 Rafael F. de Menezes
 Rogério de Sousa Gonçalves
 Vanessa Silva
Geografia	 	 	 Duarte	A.	R.	Vieira
 Enilson F. Venâncio
 Felipe Silveira de Souza 
 Fernando Mousquer
I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — 
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
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T
_0
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Área de 
figuras planas, 
ângulos na 
circunferência e 
Teorema de Tales
O cálculo das áreas de figuras planas é uma 
ferramenta muito utilizada na Engenharia e na Arqui-
tetura, pois a maioria das plantas precisa do cálculo 
de áreas para melhor compreensão do tamanho da 
obra. No dia-a-dia também é muito utilizada na co-
locação de azulejos, pois a compra é dada por uma 
unidade de área. 
Retângulo
S = b . h
A diagonal do retângulo o divide em duas 
partes iguais.
Quadrado
S = 2
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Paralelogramo
S = b . h
Demonstração: `
S1 + S2 = b . h
Triângulo
=
b . h
S
2
Demonstração: `
+ =
+ =
1 2
1 2
2S 2S b . h
b . h
S S
2
Trapézio
=
(B+b) . h
S
2
Demonstração: `
=
−
(B+b) . h
S b . h+
2
2bh+Bh bh
S=
2
+
=
+
=
(Bh bh)
S
2
(B h) . h
S
2
Losango
=
d.D
S
2
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Demonstração: `
+ + + =
+ + + =
1 2 3 4
1 2 3 4
2S 2S 2S 2S d . D
d . D
S S S S
2
Círculo
S = R2
Circunferência é a região externa ao círculo e 
o seu comprimento é dado pela fórmula 2pR.
Demonstração: `
p
= = p 2
2 R . R
S R
2
Setor circular
a
a a
= =
°
2
2 . RS R ou S
360 2
, para a em radianos.
Exemplo: `
Para a = 60° temos 
2
260 RS R S
360 6
° p
= p → =
°
Coroa circular
S = R2 – r2
S = (R2 – r2)
Casos particulares
Triângulo equilátero
 
=
 3
S
4
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Triângulo qualquer
a
=
a . c . sen
S
2
Dado que o perímetro (2p) é igual a a + b + c, 
também temos outra relação:
2p = a + b + c
+ +
=
a b c
p
2
= − − −S p(p a)(p b)(p c)
Triângulo circunscrito
+ +
=
a b c
p
2
S = p . r
Triângulo inscrito
=
a . b . c
S
4r
Divisão de lados de um 
triângulo em partes 
proporcionais
SABC = 
b . h
2
SABC = SACD = SADE = SAEF
Ao girar o triângulo ABF, podemos notar que as 
áreas continuam iguais.
Razão entre áreas semelhantes
1 S1
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2
 
=   


2
1 1
2 2
S
S
Q1 e Q2 são quadrados:
1 2
Errado
= → = → = → =
 
 
1 1 Q1 Q1
Q2 Q1
2 2 Q2 Q2
S S S 1
S 2 . S
S S 2 S 2
Certo
   = → = → = → =     
 
 
2 2
1 1 Q1 Q1
Q2 Q1
2 2 Q2 Q2
S S S 1
S 4 . S
S S 2 S 4
Circunferência 
É o lugar geométrico dos pontos cuja distância 
(raio) a um ponto fixo é constante (o centro da cir-
cunferência).
Círculo
O lugar geométrico dos pontos cuja distância 
a um ponto fixo (centro) é menor (ou igual) que um 
número real fixo (raio).
G
O
S
A
E
D
C
B
r
F
Raio
Segmento que une o centro a um ponto da cir-
cunferência (OD, AO, OB ).
Corda 
Segmento que une dois pontos da circunferência 
( CE e AB ).
Arco
Uma parte da circunferência (EC ou EDC).
Diâmetro
É uma corda que corta o centro da circunferência 
( AB é a maior corda).
Flecha 
Segmento que o une o ponto médio da corda à 
circunferência, formando um ângulo reto (FD).
Secante 
Reta que passa por exatamente 2 pontos da 
circunferência (

s ).
Tangente 
Reta que passa por apenas 1 ponto da circun-
ferência (

r ).
Arcos e ângulos
Ângulo central
É o ângulo que tem o vértice no centro da cir-
cunferência.
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A medida do ângulo central é igual à medida 
do arco correspondente.
A B
α
ο
 = AB
Ângulo inscrito
É o ângulo que tem vértice na circunferência.
A medida do ângulo inscrito é igual à metade 
do arco correspondente.
A
αV
B
 = 
AB
2
Ângulo do segmento
É o ângulo que tem o vértice na circunferência 
e cujos lados são formados por uma secante e uma 
tangente.
A medida do ângulo de segmento é igual a 
metade do arco correspondente.
A
α
B
 = 
AB
2
Ângulo excêntrico interior
São ângulos formados pelo cruzamento de duas 
secantes no interior da circunferência, não necessa-
riamente no centro.
A medida desses ângulos é igual a semissoma 
dos arcos determinados pelos seus lados.
B C
A D
α
β
 
 
+
α =
+
β =
AB CD
2
AD BC
2
Ângulo excêntrico exterior
É o ângulo formado por duas secantes que se 
cruzam num ponto externo à circunferência. 
A medida do ângulo é igual ao módulo da semi-
diferença dos arcos determinados pelos seus lados.
B
C
AD
α P
 −
α =
CD AB
2
Todo quadrilátero inscritível tem a soma dos 
ângulos opostos igual a 180º.
D B
A
C
 + Ĉ = B̂ + D̂ = 180º
Retas paralelas compreendem arcos de me-
didas iguais.
A D
CB
r
s
r//s
AB = CD
O raio é perpendicular à tangente no ponto 
de tangência.
O
Q
r = tangente
OQ = raio
OQ = ⊥ r
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Duas tangentes traçadas do mesmo ponto 
possuem medidas iguais.
A
B
P
PA = PB
Posições relativas de duas 
circunferências
d = distância entre os centros.
Exteriores
d > R + r
d
O O’
Tangentes exteriores
 d = R + r
d
O
O’
Secantes
R – r < d < R + r
O
d
O’
Tangentes interiores
d = R – r
O
d
O’
Interiores
d < R – r
O O’
Concêntrica
d = 0
O ≡ O’
Lei Linear de Tales
As linhas proporcionais foram muito utilizadas 
por Tales para realizar a medição de algumas distân-
cias de pontos localizados em lugares muito altos, 
de difícil acesso, ou da proa do navio em relação ao 
cais, assim criando o seu teorema.
Um feixe de retas paralelas cortadas por retas 
secantes determina sobre as secantes segmentos 
proporcionais.
a1
a2
a3
an bn
b1
b2
b3
r1
r4
r3
r2
rn+1
Para, r1 // r2 // r3 // r4 //... // rn + 1 temos: 
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
a a a a a a ...
... K
b b b b b b ...+ + +
= = = = =
+ + +
K = constante de proporcionalidade.
Ao traçarmos uma reta paralela a um dos lados 
de um triângulo, ela divide os outros dois lados em 
segmentos proporcionais.
A
E D
B C
AE EB AB
K
AD DC AC
= = =
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Teorema das Bissetrizes
Bissetriz interna
A bissetriz de um ângulo interno do triângulo 
divide o lado oposto em segmentos que são propor-
cionais aos lados do ângulo que foi dividido.
Demonstração: `
Traçando PC tal que:
A
B CM
P
a
a
aa
AM // PC
AB AP
, como AP AC
BM MC
= =
temos: 
AB AP
BM CM
=
 
b
m n
cθ θ
A
B CM
b c
m n
=
Bissetriz externa
A bissetriz de um ângulo externo de um triângu-
lo divide externamente o lado oposto em segmentos 
proporcionais aos lados do ângulo que foi dividido.
Demonstração: `
Traçando CP, tal que:
A
B
C
M
P
aa
a
a
AM // PC
AB AP
BM CM
= , como AP // AC
Temos: AB AC
BM CM
=
m n
b
a
c a
b c
m n n
=
+
Potência de pontos
O estudo da potência de um ponto está direta-
mente relacionado com a posição do ponto no interior 
ou exterior de uma circunferência dada. Também é 
muito utilizado em construções trigonométricas.
Ponto P no interior da circunferência:
1.° Caso
Cordas: AA’, BB’, CC’
Ponto P no exterior da circunferência:
2.° Caso 
Secantes: PB’, PC’, PD’
Tangentes: PA, PE
Observando a posição do ponto P, reparamos 
que no primeiro caso ele foi a interseção de cordas, 
enquanto no segundo caso o ponto foi a interseção 
de secantes e tangentes.
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Ao destacarmos duas cordas com interseção em 
P, podemos obter a seguinte relação:
O produto das partes de uma corda é igual ao 
produto das partes da outra corda. 
∆PAB’ ~ ∆PA’B
PA
PB
 = PB’
PA’
(PA.PA’ = PB.PB’)
Ao destacarmos duas secantes com interseção 
em P, podemos obter a seguinte relação:
O produto da secante por sua parte exterior 
é igual ao produto da outra secante por sua parte 
exterior.
∆PB’D ~ ∆PBD’
PD
PB
 = PB’
PD’
(PB.PB’ = PD.PD’)
Ao destacarmos uma secante e uma tangente 
com interseção em P, obtemos a seguinte relação:
O quadrado da tangente é igual ao produto da 
secante por sua parte exterior.
∆PAC ~ ∆PAC’
PC
PA
 = PA
PC’
(PA2= PC.PC’)
Podemos observar que, se duas tangentes 
concorrem de um mesmo ponto P, elas terão me-
didas iguais.
PA = PC
Teorema de Pitot
Em todo quadrilátero convexo circunscrito a 
uma circunferência, a soma de dois lados opostos é 
igual à soma dos outros dois lados opostos.
AB + CD =AD+ BC
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Demonstração: `
AB = x + y
CD = z + w
AB + CD = x + y + z + w
AD = x + w
BC = y + z
AD + BC = x + w + y + z
O quadrado ABC da figura tem 4cm de lado, calcule a 1. 
área da região hachurada.
Solução: `
∆= −
p
= −
p
= −

c
1 ACD
2 2
1
2
1
S
S S
4
R
S
4 2
.4 4.4
S
4 2
= p −
= p −
→ = p −
1
1
2
2
F 1 F
S 4 8
S 4( 2 )cm
Logo S = 2S S 8( 2 )cm
Ache a razão entre a área do retângulo ABCD e do 2. 
retângulo BDEF, na figura.
Solução: `
= +
= +
+
= =
+
ABCD 1 2
BDEF 1 2
ABCD 1 2
BDEF 1 2
S 2S 2S
S 2S 2S
S 2S 2S
Logo 1
S 2S 2S
Calcule a área da região hachurada na figura, sendo os 3. 
círculos concêntricos, com a corda AB do círculo maior 
tangente ao menor, valendo 10cm.
M = Ponto médio de AB
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Solução: `
R0 = r2 + 52
R2 – r2 = 25
Como SF = p (R
2 – r2)
SF = 25pcm
2
João pretende escolher entre dois muros para pintar 4. 
ganhando a mesma quantia em ambos. O muro A tem 
base 20% maior que a base do muro B e altura 20% 
menor do que a altura do muro B. Qual a melhor escolha, 
entre os muros, que João pode fazer? Justifique.
Solução: `
Muro B: altura = h e base = b
Muro A: altura = 0,8 h e base = 1,2b
Área B = b . h
Área A = 1,2 b . 0,8 h = 0,96b . h
Área de A < Área de B. Logo o muro A é o mais vanta-
joso para o João.
A área do triângulo ABC vale S, calcule a área da região 5. 
hachurada, se CD = DE = EA e BF = FD.
Solução: `
= =
= = =
ABC
BDE
BDE
BDF
S S
S
3 3
S
S S3S
2 2 6
A área do quadrilátero ABCD da figura vale 32cm6. 2. 
Calcule a área da região hachurada, se M e N são 
pontos médios.
Solução: `
2S1 + 2S2 = 32
S1 + S2 = 16m
2
A área do triângulo ABC da figura vale k, calcule a área 7. 
do trapézio BCDE em função de k.
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Solução: `
 =   
=
=
2
AED
ABC
AED
AED
S 2 x
S 3x
S 4
k 9
4k
S
9
= −
= −
=
BCDE ABC AED
BCDE
BCDE
S S S
4k
S k
9
5k
S
9
Um aluno pegou uma figura geométrica de área igual a k, 8. 
em formato de um retângulo com diagonal d. Tirou uma 
cópia com redução da figura e a nova diagonal passou a 
valer d/3. Calcule a nova área em função de k.
Solução: `
=
 =   


1 1
2 2
2
2
S
S
k d
S d / 3
=
=
2
2
k
9
S
k
S
9
No círculo da figura a corda 9. BC é paralela ao diâmetro 
AD. Se A ÊB vale 20°, calcule o ângulo BĈO.
D
B
A
a
E
C
o
Solução: `
D
B
A
a
E
C
o
40º
20º
a
Como BC // AD, os arcos AB e CD são côngruos, 
assim a = 40º.
Os pontos A, B, C, D e E pertencem à circunferência. 10. 
Determine o valor de a na figura.
A
EB
C D
a30º
100º
Solução: `
A
EB
C D
aa
30º
80º
100º
Como ABCE é um quadrilátero inscrito na circunferência, 
 + Ĉ = 180º, assim Ĉ = 80º. Logo:
a + 30º + 80º = 180º
a= 70º
Na figura, O é o centro da circunferência e SR é igual 11. 
ao raio desta. Calcule a em função de β.
R P
T
S
β a
O
Q
Solução: `
R P
T
S
β a
OQ
β2β
aα = β α+ 2βα
aα = 3βα
O diagrama abaixo representa a distribuição da popula-12. 
ção de uma cidade pela sua renda familiar. Os ângulos 
centrais dos setores divididos são proporcionais a 1, 3, 4 
e 7. As maiores rendas são destinadas ao menor número 
de pessoas. Determine o percentual de pessoas com 
renda acima de 20 salários mínimos.
Abaixo de 5
salários mínimos
Entre 5 e 10
salários mínimos
Acima de 20
salários mínimos De 10 a 20
salários mínimos
Solução: `
Como os ângulos centrais são proporcionais a 1, 3, 4 e 
7, temos:
a + 3αa + 4αa + 7αa = 360º
5αa = 360º
a = 24º
Assim, temos:
360º _________ 100%
24º_________ x
360 x = 24 . 100
x = 
24.100
360
x = 6.66%
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Calcule x, se as retas r, s e t são paralelas:13. 
u v
r
s
t
x
8
12
6
Solução: `
A figura acima é equivalente a:
uv
r
s
t x
812
6
12 x
8 6
8 x 72
x 9
=
=
=
No triângulo ABC da figura, 14. AB // EF //DG e os seg-
mentos CD, DE, EF são proporcionais a 1, 2 e 3. Se BC 
vale 12cm, calcule FG.
Solução: `
A
B
E
G
F
D
C
3x 2x
y
x
12
= → =
= =
12 y
6 x . y 12 . 2 x
6 x 2 x
24x
y 4
6 x
O perímetro de um triângulo ABC é 25cm. Sabendo que 15. 
AB = 4cm e AC = 6cm, calcular os segmentos determi-
nados pela bissetriz interna de A no lado oposto.
Solução: `
A
B CM
4 aa 6
x y
x + y + 4 + 6 = 25 
x + y = 15
4 6
x y
4y 6 x
3x
y
2
=
=
=
+ =
= → = =
3x
x 15
2
5 x 30 x 6 e y 9
Na figura, O é o centro da circunferência com 16. AB CD. 
Calcule o raio da circunferência se CE = 4cm e OE= 
2cm.
D
B
Solução: `
x – 2
Raio = x
(x + 2) (x – 2) = 4 . 4
x2 – 4 = 16,
x2 = 20 x = 2 5 cm
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Na figura, 17. PT é tangente da circunferência de raio r. 
Sabendo-se que PT = 2r, calcule o valor de PB .
Solução: `
x (x + 2r) = (2r)2
x2 + 2rx = 4r2
x2 + 2rx – 4r2 = 0
x – r – r 5 → não pode, por ser menor que zero.
– r + r 5 
x = r ( 5 – 1 )
Na figura, 18. PA = 15cm. Calcule o perímetro do triângulo 
PRS, se PA , PB e RS são tangentes.
B
Solução: `
PA = PB = 15
B
2PPRS = 15 – x + 15 – y + x + y
2PPRS = 30cm
João tem uma horta em formato circular e a cercou 19. 
com arame tangenciando, construindo um triângulo 
conforme a figura.
Calcule a quantidade de metros usados por João para 
cercar a horta se algumas medidas já estão ilustradas. 
v
Solução: `
ou seja: 8 + 10 + 12 = 30m
(UFF) Considere o triângulo PMN, retângulo em M, 1. 
representado na figura a seguir.
A área, em cm2, do triângulo obtido, unindo-se os pontos 
médios de , PM MN e NP , é:
4a) 
6b) 
12c) 
20d) 
24e) 
(UERJ) O decágono da figura a seguir foi dividido em 9 2. 
partes: 1 quadrado no centro, 2 hexágonos regulares e 2 
triângulos equiláteros, todos com os lados congruentes 
ao do quadrado, e mais 4 outros triângulos.
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T
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Sendo T a área de cada triângulo equilátero e Q a área 
do quadrado, pode-se concluir que a área do decágono 
é equivalente a:
14T + 3Qa) 
14T + 2Qb) 
18T + 3Qc) 
18T + 2Qd) 
(UFF) Determine a área da coroa circular da figura abai-3. 
xo, sabendo-se que o segmento PQ , medindo 8cm, é 
tangente à circunferência menor no ponto T.
8a) pcm2
16b) pcm2
24c) pcm2
32d) pcm2
(PUC) Triplicando-se o raio de uma circunferência:4. 
a área é multiplicada por 9a) p.
o comprimento é multiplicado por 3b) p.
a área é multiplicada por 9 e o comprimento por 3.c) 
a área e o comprimento são ambos multiplicados d) 
por 3.
a área é multiplicada por 3 e o comprimento por 9.e) 
(Unirio) A figura representa um hexágono regular.5. 
Calcule a área da região sombreada.
(Unicamp) Quantos ladrilhos de 20cm por 20cm são 6. 
necessários para ladrilhar um cômodo de 4m por 5m?
(Unirio) A área da região hachurada, na figura a seguir, 7. 
onde ABCD é um quadrado e o raio de cada circunfe-
rência mede 5cm, é igual a:
225(4 )
2
cmp−a) 
25(b) p – 2) cm2
25(4 – c) p) cm2
25 2
2
2( )π − cmd) 
5 4
4
2( )−π cme) 
Se o lado de um quadrado aumenta de 20%, sua área 8. 
aumentará de:
10% a) 
20% b) 
40% c) 
44%d) 
50%e) 
(Cesgranrio) A base de um retângulo de área S é au-9. 
mentada de 20% e sua altura diminuída de 20%. A área 
do novo retângulo formado é:
1,04Sa) 
1,02Sb) 
Sc) 
0,96Sd) 
0,98Se) 
(UFF) Duas circunferências de raios iguais a 2cm e uma 10. 
reta tangenciam-se em três pontos distintos.
O valor da área delimitada pelas circunferências e pela 
reta é igual a:
2(4 – a) p)cm2
2(5 – b) p)cm2
2(6 – c) p)cm2
2(7 – d) p)cm2
2(8 – e) p)cm2
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27
Na figura a seguir, os círculos iguais têm raios iguais 11. 
e 2cm e tangenciam-se externamente nos pontos A, 
B e C.
Calcule a área hachurada delimitada pelos menores 
arcos.
(Unirio) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo.12. 
Qual a medida do segmento a) EF ?
Qual a área do triângulo AED?b) 
(PUC) Consideremos o círculo C de raio r e um qua-13. 
drado Q circunscrito a C. A área interior a Q e exterior 
a C se subdivide em quatro áreas idênticas, cada uma 
valendo:
(4–a) p) r2
1
4
2−



p
rb) 
3
2
2−



p
rc) 
p
3
1 2−



rd) 
p
2
1 2−



re) 
(PUC) Os pontos A, B, C, D, E e F dividem em seis partes 14. 
iguais o círculo de raio R.
Determine a área hachurada.
(PUC) Dois lados de um triângulo medem, respectiva-15. 
mente, 5cm e 6cm. O valor máximo que pode ter a área 
desse triângulo é de:
11cma) 2
15cmb) 2
20cmc) 2
25cmd) 2
30cme) 2
(UERJ) O paralelogramo ABCD teve o lado (AB) e sua 16. 
diagonal (BD) divididos, cada um, em três partes iguais, 
respectivamente, pelos pontos {E,F} e {G,H}.
A área do triângulo FBG é uma fração da área do 
paralelogramo (ABCD). Calcule essa fração.
(UFC) Sejam r e s retas paralelas conforme a figura:17. 
Se S1 representa a área do triângulo ABC, S2 representa 
a área do paralelogramo ADEF e B é o ponto médio do 
segmento AD , então a razão S
S
1
2
 é igual a:
1a) 
4b) 
1
4
c) 
2d) 
1
2
e) 
(UFRJ) Um pedaço de papel quadrado é dobrado 18. 
duas vezes de forma que dois lados adjacentes se 
sobreponham sobre a diagonal correspondente. Ao 
desdobrarmos o papel, vemos os quatro ângulos assi-
nalados na figura.
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27
Determine as medidas dos ângulos a) a, b, c e d� � �  .
Calcule a razão entre a área sombreada e a área do b) 
quadrado.
(Cesgranrio) No paralelogramo ABCD de área 24cm19. 2, 
os pontos P, Q e R dividem a diagonal BD em 4 partes 
iguais. 
A área do triângulo AQR é:
2cma) 2
3cmb) 2
4cmc) 2
5cmd) 2
6cme) 2
(UFRGS) No triângulo ABC desenhado abaixo, P, Q e 20. 
R são os pontos médios dos lados.
Se a medida da área do triângulo hachurado é 5, a 
medida da área do triângulo ABC é:
20a) 
25b) 
30c) 
35d) 
40e) 
(UFRJ) Um arquiteto projetou um salão quadrangular 21. 
10m x 10m. Ele dividiu o salão em dois ambientes, I e II, 
através de um segmento de reta passando pelo ponto 
B e paralelo a uma das diagonais do salão, conforme 
mostra a figura:
A área do ambiente I é a sétima parte da área do 
ambiente II. Calcule a distância entre os pontos A e B.
(UFRJ) Observe a figura a seguir (ABCD), que sugere 22. 
um quadrado de lado a, onde M e N são, respectiva-
mente, os pontos médios dos segmentos CD e AD, e F 
a interseção dos segmentos AM e BN.
Utilizando esses dados, resolva os itens a e b.
Demonstre que o ângulo a) AFNˆ é reto.
Calcule a área do triângulo AFN em função de a.b) 
(UFRJ) A figura abaixo mostra dois arcos de circunferên-23. 
cia de centro O, raios R e 2R, e três ângulos iguais.
Calcule a razão entre as áreas das regiões hachurada 
e não-hachurada.
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27
(UFRJ) No círculo abaixo, a figura é formada a partir de 24. 
semicircunferências e AC = CD = DE = EB.
Determine S1/S2, a razão entre as áreas hachuradas.
(Unirio) Um artista plástico pretende fazer uma monta-25. 
gem fixando, uns sobre outros, quadrados de acrílico 
de cores e tamanhos diferentes, como mostra a figura 
a seguir.
O lado de cada quadrado é o dobro do lado do quadrado 
anterior. Sabendo-se que o preço do metro quadrado de 
acrílico é R$6,40, o custo total do material será de:
R$34,00a) 
R$48,00b) 
R$68,00c) 
R$96,00d) 
R$102,00e) 
Dois círculos se cortam de tal forma que determinam 26. 
três regiões, como mostra o esquema abaixo:
Sabemos que o raio do menor círculo mede 5cm, que 
a região S1 equivale ao dobro de S2 e que a região 
S3 equivale ao triplo de S2. Calcule o raio do maior 
círculo.
Na figura, os três círculos são concêntricos e as áreas 27. 
das regiões hachuradas são iguais.
Se o raio do circulo menor é 5m e do maior é 13m, então 
o raio do circulo intermediário é:
12ma) 
10mb) 
11m c) 
65 md) 
5 3 me) 
Na figura a seguir, calcule a razão entre a área do triân-28. 
gulo ABC e do triângulo hachurado.
A
B C
3
1
3
1
A29. 1 A2 ... An é um polígono regular convexo, de n lados, 
inscrito em um círculo. Se o vértice A15 é diametralmente 
oposto ao vértice A46, o valor de n é:
62a) 
60b) 
58c) 
56d) 
54e) 
Na figura a seguir, os pontos M, N e P são de um tri-30. 
ângulo equilátero e os pontos M, Q, R, S são vértices 
de um quadrado.Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
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QN corresponde ao lado do:
hexágono regular.a) 
octógono regular.b) 
eneágono regular.c) 
decágono regular.d) 
dodecágono regular.e) 
(Cesgranrio) Um quadrilátero convexo está inscrito em 31. 
um círculo.
A soma, em radianos, dos ângulos e mostrados na 
figura é:
4
a) 
2b) 
c) 
2d) 
2 e) 
(Cesgranrio) Na figura abaixo, 32. AB = 20°, BC= 124°, CD
= 36° e DE = 90°.
Calcule o ângulo .
56ºa) 
48ºb) 
46ºc) 
39ºd) 
37ºe) 
As semirretas PM e PN são tangentes ao círculo da 33. 
figura e o comprimento do arco MGN é 4 vezes o do 
arco MFN.
O ângulo ΜMPN vale:
76°a) 
80°b) 
90°c) 
108°d) 
120°e) 
(UFAL) Seja a circunferência de centro O, representada 34. 
na figura abaixo.
o
A medida , do ângulo assinalado, é:
30°a) 
40°b) 
50°c) 
60°d) 
70°e) 
Calcule 35. nas questões de 35 a 39.
10°a) 
20°b) 
30°c) 
40°d) 
50°e) 
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27
(Unisantos-SP) 36. 
31°a) 
38°b) 
48°c) 
50°d) 
56ºe) 
(Cesgranrio)37. 
20ºa) 
30ºb) 
40ºc) 
50ºd) 
60ºe) 
(UCBA)38. 
10ºa) 
15ºb) 
20ºc) 
25ºd) 
30ºe) 
(UFES)39. 
50ºa) 
52ºb) 
54ºc) 
56ºd) 
58ºe) 
O valor de x, na figura abaixo, é:40. 
30ºa) 
35ºb) 
55ºc) 
75ºd) 
90ºe) 
(UFF) Os pontos M, N, P, Q e R são vértices de um 41. 
pentágono regular.
A soma + + + + é:
360ºa) 
330ºb) 
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270ºc) 
240ºd) 
180ºe) 
(UFRJ) Na figura dada a seguir:42. 
ΜΜAB • é lado de um octógono regular inscrito;
t é uma tangente. •
Qual a medida de ?
Na figura, as retas s e t são paralelas.43. 
O valor de x + y é:
6a) 
7b) 
8c) 
9d) 
10e) 
O valor de x na figura, é:44. 
16a) 
14b) 
12c) 
8d) 
6e) 
O valor de x na figura, é:45. 
7a) 
6b) 
5c) 
4d) 
3e) 
O valor de x na figura, é:46. 
10a) 
11b) 
12c) 
14d) 
16e) 
(Cesgranrio) As retas r47. 1, r2, r3 são paralelas e os com-
primentos dos segmentos de transversais são indicados 
na figura.
Então x é igual a:
4a) 
1
5
15
2
b) 
5c) 
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8
5
d) 
6e) 
(Vunesp) Na figura, o triângulo ABD é reto em B, e AC 48. 
é a bissetriz de BÂD.
Se AB = 2BC, fazendo BC = b e CD = d, então:
d = ba) 
d = b) 5
2
b
d = c) 5
3
b
d = d) 6
5
b
d = e) 5
4
b
(UNI-RIO) No desenho abaixo apresentado, as frentes 49. 
para a rua “A” dos quarteirões I e II medem, respectiva-
mente, 250m e 200m, e a frente do quarteirão I para a 
rua “B” mede 40m a mais que a frente do quarteirão II 
para a mesma rua.
Sendo assim, pode-se afirmar que a medida, em metros, 
da frente do menor dos dois quarteirões para a rua B é:
160a) 
180b) 
200c) 
220d) 
240e) 
(MAPFEI) Três terrenos têm frente para a rua “A” e para 50. 
a rua “B”, como na figura.
As divisas laterais são perpendiculares à rua “A”. Qual a 
medida de frente para a rua “B” de cada lote, sabendo-se 
que a frente total para essa rua é 180m.
80m, 60m, 40ma) 
90m, 70m, 40mb) 
80m, 50m, 30mc) 
60m, 40m, 30md) 
80m, 50m, 20me) 
Determine x e y, sendo r, s e t retas paralelas.51. 
Na figura, os pontos A, B, C e D situam-se na circunfe-52. 
rência de centro O e raio r.
Ponto P é tal que OP r< . Então:
BD
AC
CP
BP
=a) 
BD
AC
AP
DP
=b) 
AP
DP
CP
BP
=c) 
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DP
AP
CP
BP
=d) 
BD
AC
AP
PC
=e) 
O valor de X na figura é:53. 
20
3
a) 
3
5
b) 
1c) 
4d) 
5e) 
Na figura, são dados 54. AE
EC
= 1
3
 BE = 8cm e ED = 6cm. 
Calcule 
BD
AC
AP
PC
=
:
10a) 
12b) 
16c) 
18d) 
20e) 
Na figura, ABC representa um trecho reto de uma estra-55. 
da que cruza o pátio circular de centro O e raio r.
O
Se AC = 2r = AO, então BC vale:
o dobro de AB.a) 
2
3
b) de AB.
AB.c) 
a metade de AB.d) 
1
3
e) de AB.
(UFRJ) Na figura a seguir, vale a relação:56. 
O
aa) 2 = xy
a = x (x + y)b) 
ac) 2 = x (x + y)
ad) 2 = y (x + y)
a = x (x – y)e) 
(Cesgranrio) Na figura abaixo, AB = 8cm, BC = 10cm, 57. 
AD = 4cm e o ponto O é o centro da circunferência.
O
O perímetro do triângulo AOC mede, em cm:
26a) 
45b) 
48c) 
50d) 
54e) 
Em um círculo de centro O e raio 10, traçam-se dois 58. 
diâmetros perpendiculares AB e EF e a corda AC, como 
mostra a figura.
O
Se AC = 16, o segmento AD mede:
8 2a) 
12,0b) 
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12,5c) 
13,0d) 
6 3e) 
Nesta figura 59. AT é tangente à circunferência do raio r.
Sabendo-se que AT r= 2 , então o valor de AC é:
( )5 1+ ra) 
1 + 2 rb) 
rc) 2
5 rd) 
( )5 1− re) 
(RURAL) O raio de um círculo mede 6m. Por um ponto P, 60. 
distante 10m do centro, traça-se uma tangente. O com-
primento da tangente entre P e o ponto de contato, é:
4ma) 
6mb) 
8mc) 
10md) 
12me) 
Na figura, 61. AB = 8, AC = 10 e BC = 6.
A medida do segmento BT é:
0,5a) 
1,0b) 
1,5c) 
2,0d) 
2,5e) 
(UFRJ) Na figura abaixo, o quadrado ABCD tem lados 1. 
6. Q1, Q2, Q3 e Q4 são quadrados de lado x. A região 
hachurada tem área 16.
Determine x.
(UFRJ) Na figura abaixo, R é um ponto pertencente ao 2. 
lado AB e S um ponto pertencente ao lado AC.
Sejam b a medida de AC, c a medida de AB, p a medida 
de AR e q a medida de AS.
Mostre que a razão entre as áreas dos triângulos ARS 
e ABC vale 
pq
bc
.
(UFRJ) O hexágono ABCDEF é construído de modo 3. 
que MNP seja um triângulo equilátero e AMPF, BCNM 
e DEPN sejam quadrados.
A área do hexágono ABCDEF é igual a ( )3 3 2+ cm .
Determine o comprimento, em centímetros, do lado do 
triângulo MNP.
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(UFRJ) Os três lados do triângulo equilátero ABC foram 4. 
prolongados de segmentos AA’ = BB’ = CC’, de modo 
que a medida do segmento AA’ corresponde a 20% 
da medida do lado AC, conforme indicado na figura a 
seguir.
Determine o percentual de aumento que a área do 
triângulo A’B’C’ apresenta em relação à área do triângulo 
original ABC.
(UFF) Considere uma folha de papel em forma do 5. 
retângulo RSTU, como na figura 1. São feitas, suces-
sivamente, 2 dobras nessa folha. A primeira é feita de 
modo que o ponto S caia sobre o segmento MN, sendo 
M e N, respectivamente, pontos médios de RS e UT, 
de acordo com a figura 2. A segunda é feita de modo 
que o ponto P também caia sobre o segmento MN, 
conforme a figura 3.
A área do triângulo MPQ é:
18 2 2cma) 
36 2 2cmb) 
30cmc) 2
45 3 cm2d) 
(Unificado) OPQ é um quadrante de círculo, no qual 6. 
foram traçados semicírculos de diâmetros OP e OQ.
Determine o valor da razão das áreas hachuradas, a
b
.
1
2
a) 
1
2
b) 
π
4
c) 
1d) 
π
3
e) 
Traçaram-se semicírculos justapostos a cada um dos 7. 
lados de um triângulo retângulo ABC, como mostra a 
figura.
O semicírculo de hipotenusa AB sobrepõe-se, em parte, 
aos dois outros semicírculos, produzindo duas lúnulas, 
tracejadas na figura. Que relação existe entre a área total 
das duas lúnulas e a área do triângulo?
(Associado) Um espiral, começando na origem dos eixos 8. 
coordenados, é construído traçando-se semicírculos de 
diâmetros OM MS SP, e .
A área da região hachurada vale:
π
2
a) 
3
4
π
b) 
4 3 3
6
π −c) 
7 3 3
6
π −d) 
11 6 3
12
π −e) 
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Na figura, ABCD é um quadrado e os dos semicírculos 9. 
encontram-se em P.
Sabendo que PC = 2 2 , a área hachurada é igual a:
2a) 
4b) 
2 6c) 
4 6d) 
6e) 
(UFRJ) Há um conhecido quebra-cabeça que consiste 10. 
em formar um quadrado com as partes de um triângulo 
equilátero, como mostram as figuras.
Partindo de um triângulo equilátero de perímetro 24cm, 
calcule o perímetro do quadrado.
(UFRJ) A figura abaixo é formada por dois quadrados 11. 
ABCD e A’B’C’D’, cujos lados medem 1cm, inscritos 
numa circunferência. A diagonal AC forma com a dia-
gonal A’C’ um ângulo de 45º.
Determine a área da região sombreada da figura.
(UFRJ) Na figura dada temos um semicírculo de raio R 12. 
e centro O. O ângulo entre o raio OB e o lado DC é a.
Calcule a área do retângulo ABCD, em função de a) 
R e a.
Mostre que a área do retângulo ABCD é máxima b) 
para a = 45º.
(UFRJ) O retângulo ABCD está inscrito no retângulo 13. 
WXYZ, como mostra a figura.
Sabendo que AB = 2 e AD = 1, determine o ângulo θ 
para que a área de WXYZ seja a maior possível.
(Unicamp) Construir “fractais” no computador corres-14. 
ponde a um procedimento como descrito a seguir. A 
partir de um triângulo equilátero de área A, acrescenta-
mos no meio de cada lado um outro triângulo equilátero 
de lado igual a um terço do anterior; aos lados livres 
desses triângulos acrescentamos triângulos de lados 
iguais a um terço dos anteriores e assim, sucessiva-
mente, construímos uma figura com uma infinidade de 
triângulos (veja o desenho).
Calcule a área, em termos de A, da região determinada 
por esse processo.
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(UFF) Na figura, cada lado do quadrado de lado 3cm 15. 
é dividido em três partes iguais, sobre cada um desses 
lados, na divisão central, constrói-se outro quadrado 
cujos lados também são divididos em três partes iguais 
e, mais uma vez, nas divisões centrais, novos quadrados 
são construídos.
Determine a área total da figura que será obtida se o 
processo for repetido análoga e indefinidamente.
(UFPI) Para colocar o piso de um terraço retangular, 16. 
um construtor usaria 880 unidades de cerâmica nas 
dimensões de 20cm x 30cm. Entretanto, ele possui, 
em estoque, 1 300 cerâmicas do mesmo tipo, nas 
dimensões de 20cm x 20cm. Usando o seu estoque, 
o construtor teria:
que comprar mais 120 cerâmicas de 20cm x 20cm.a) 
que comprar mais 20 cerâmicas de 20cm x 20cm.b) 
o número exato de cerâmicas a serem aplicadas.c) 
uma sobra de 20 cerâmicas de 20cm x 20cm.d) 
uma sobra de 120 cerâmicas de 20cm x 20cm.e) 
Na figura, ABC é um triângulo retângulo isósceles com 17. 
AC CB= . DEF é um arco de circunferência de centro A.
Calcule a razão AD
CB
, sabendo que as áreas hachuradas 
são iguais.
(UFF) Sendo 4cm18. 3 a área do menor quadrado da figura, 
determine a área do maior.
Em um triângulo ABC, M é o ponto médio de 19. AB e N é 
o ponto médio de AC . Calcule a área do triângulo ABC, 
sabendo que a área do quadrilátero BMNC vale 15m2.
(Cesgranrio) O quadrado da figura tem diagonal 20. CD igual 
a 10cm. Os segmentos paralelos AB CD e EF, , dividem 
o quadrado em 4 regiões de mesma área. Calcule o 
comprimento do segmento AB .
Na figura abaixo, S21. 1 é a área do quadrilátero MNBA, S2 
é a área do triângulo ABC e MN é paralelo a BA .
Calcule x, sabendo que S1 = 51% de S2.
Nas figuras a seguir, calcule as áreas hachuradas em 22. 
função da área S do triângulo ABC.
a) 
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28 E
M
_V
_M
A
T
_0
27
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
m) 
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29E
M
_V
_M
A
T
_0
27
n) 
o) 
Os pontos ABCDE da figura resultaram da divisão de 25. 
uma circunferência em 5 pares congruentes.
E A
B
C
D
Por consequência, a soma dos ângulos:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 é igual a:
800°a) 
700°b) 
720ºc) 
760°d) 
780°e) 
Na figura, os círculos são iguais. AC contém os dois 26. 
centros e AD é tangente ao círculo de centro O’.
Prove que CD = BD + BE
Determine x na figura a seguir.27. 
100a) 
110b) 
120c) 
130d) 
140e) 
Rodrigo gasta 3 latas de tinta para pintar uma estátua. 23. 
Se cada lata custa R$25,00, calcule o valor gasto por 
Rodrigo para pintar uma outra estátua semelhante a 
primeira, porém com o dobro da altura.
(PUC) São dados 3 pontos P, Q e R sobre cada um dos 24. 
lados do triângulo ABC da figura abaixo.
Sabendo que 
AP
AB
BQ
BC
CR
BC
= = = 2
3
, encontre 
S
T
, onde 
S é a área do triângulo ABC e T é a área do triângulo 
PQR.
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30 E
M
_V
_M
A
T
_0
27
(Unificado) Em relação à figura a seguir, considere:28. 
ABI. é um diâmetro da circunferência de centro O;
a reta t, paralela à corda II. ΜΜAR, é tangente à circunfe-
rência no ponto T;
o ângulo BÂR mede 20°.III. 
Então, a medida do ângulo x formado pela reta t e pela 
corda AT é:
25ºa) 
35ºb) 
40ºc) 
45ºd) 
60ºe) 
(FGV) A medida do ângulo 29. ΜADC inscrito na circunfe-
rência de centro O é:
125°a) 
110°b) 
120°c) 
100°d) 
135°e) 
O pentágono ABCDE, da figura, está inscrito em um 30. 
círculo de centro O. O ângulo central, COD, mede 60°.
Então, x + y é igual a:
180ºa) 
185ºb) 
190ºc) 
210ºd) 
250ºe) 
(U.F. Uberlândia) Em um dado triângulo retângulo 31. 
inscrevemos uma circunferência de diâmetro d e cir-
cunscrevemos outra de diâmetro D. O perímetro do 
triângulo vale:
d + Da) 
2d + Db) 
d + 2Dc) 
3/2(d + D)d) 
2(d + D)e) 
O quadrilátero PQRS está inscrito numa circunferência, 32. 
como mostra a figura abaixo.
Calcule a medida do ângulo QSR^ . 
Seja P o centro de um quadrado construído sobre a 33. 
hipotenusa AC do triângulo ABC.
Calcule o ângulo PBC .
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31E
M
_V
_M
A
T
_0
27
Na figura abaixo, XÔY é reto, e o arco PX é o dobro 35. 
do arco XL.
Y
XO
Com esses dados, determine a medida do ângulo 
LÔX.
São dados da figura abaixo: AB = x, BC = 4, CD = 12. 37. 
Pede-se o valor de AB.
Determine o valor da razão 38. JA
JD
, considerando a figura 
e as medidas abaixo.
AB = 9
AC = 6
BC = 10
O perímetro de um triângulo ABC é 45cm. Sabendo que 39. 
AB = 10cm e AC = 15cm, calcular os segmentos deter-
minados pela bissetriz interna de  no lado oposto.
Na figura abaixo, ABCD é um trapézio, AB = 22cm, 40. 
CD = 13cm, MA
MD
 = 1
2
 e MN é paralelo a AB .
O comprimento do segmento MN é:
16cma) 
17cmb) 
13cmc) 
19cmd) 
nenhuma das anteriores.e) 
Na figura a seguir, 34. AD e BE são duas alturas do triân-
gulo ABC.
Sabendo que o ângulo BAC mede 64º, calcule o ângulo 
ADE .
Seja uma partícula A com velocidade angular w36. A = 2 
rad/min. Se ela parte do ponto P do círculo abaixo, em 
quanto tempo ela atinge a partícula B que está com 
velocidade igual a wB = 2
 rad/min (ambas no sentido 
horário)?
P
A
120o
WA
WB
B
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32 E
M
_V
_M
A
T
_0
27
(IME) Considere a figura abaixo, onde APOR é um 41. 
paralelogramo. AO é bissetriz interna, AB= 6cm e AC 
= 3cm.
Calcule o perímetro do paralelogramo APOR e a razão 
BO
BC
.
Na figura abaixo, x e y são paralelos às bases do tra-42. 
pézio.
Calcule y – x.
Num triângulo ABC, 43. AB = 12cm, AC = 8cm e BC = 
5cm. Seja D o pé da bissetriz interna AD e I o incentro 
do triângulo, calcule arazão IA
ID
.
Um triângulo ABC é tal que 44. AC /BC = 3/4. A bissetriz 
do ângulo externo Ĉ corta AB no ponto P. Calcule a 
razão PA /AB.
(Integrado) Considere um decágono regular convexo 45. 
inscrito em uma circunferência de raio R.
Sabendo que BC é bissetriz do ângulo ABO, prove que 
o lado do decágono é 10 = 
( 5 – 1)R
2
.
O circuito triangular de uma corrida está esquema-47. 
tizado na figura a seguir:
As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, 
cada corredor deve per correr o circuito passando, 
sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, final-
mente, a S.
Assinale a opção que indica o perímetro do 
circuito.
4,5kma) 
19,5kmb) 
20,0kmc) 
22,5kmd) 
24,0kme) 
Na figura a seguir, 46. BC = 32, BD
BA
 = 1
4
 DE//BC, 
DF//AC e EG//AB.
Calcule o segmento FG.
(IME) Prolonga-se o raio AO de um círculo de um 48. 
comprimento AB igual a AO; traça-se uma tangente ao 
círculo, sobre a qual se levantam as perpendiculares 
NA e BC.
Se OAĈ = 126°, qual o valor do ângulo ACB^ ?
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33E
M
_V
_M
A
T
_0
27
O valor de x, considerando que o quadrilátero ABCD 49. 
está circunscrito ao círculo, é:
1a) 
2b) 
3c) 
4d) 
5e) 
Nas figuras abaixo, mostre que 50. PA PB PC PD. .= .
a) 
b) 
Na figura abaixo, mostre que 51. PT PA PB d R2 2 2= = −. , 
onde d é a distância do ponto P ao centro do círculo 
e R o raio.
Na figura abaixo, O é o centro do círculo.52. 
Calcule as potências de A, B, C e O.
Calcule x para que a 53. pot A pot B pot C+ + seja igual a 
zero.
O
Um ponto P está no interior de uma circunferência de 54. 
13cm de raio e dista 5cm do centro da mesma. Pelo 
ponto P traça-se uma corda AB de 25cm. Determine 
os comprimentos dos segmentos que P determina sobre 
a corda AB .
Considere as cordas 55. AP = 13 e BD = 12 de uma circun-
ferência, que se interceptam no ponto Q; e um ponto C 
da corda AP = 13tal que ABCD seja um paralelogramo.
Determinado este ponto C, calcule AC .
Por um ponto P, distante 9cm do centro de círculo de 56. 
7cm de raio, traça-se a secante PBC ao círculo de modo 
que PB valha a metade do PC . Calcule o comprimento 
do segmento PC.
Na figura abaixo, 57. PA é tangente em A ao círculo. 
PA PC CB= = , PD = 1 e DE = 8 .
Calcule AC .
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34 E
M
_V
_M
A
T
_0
27
O palco de uma casa de espetáculos tinha o formato 61. 
do trapézio da figura, e por motivos estéticos foi 
cortado formando um círculo que seria inscrito no 
trapézio.
A
Calcule o raio do círculo, se AB m= 12 , AD m= 6 e 
BC = 8m.
(PUC-SP) A figura é uma circunferência de centro O 62. 
e o raio a com os segmentos de tangentes CB em T 
e BA em A.
Se AB mede b, a medida de AC é igual a:
2ab
b a+
a) 
ab
b a−b) 
2 2
2 2
ab
b a−c) 
a b
b a
2
2 2+d) 
a b
b a
2 2
2 2−e) 
Considere um arco AB de um círculo. Seja N o pon-58. 
to médio do arco e M o ponto médio da corda AB cm= 18. 
Calcule o raio do círculo sabendo que AB cm= 18 e 
MN cm= 3 .
As bases de um trapézio isósceles circunscrito a uma 59. 
circunferência medem 4m e 9m respectivamente. Calcule 
a altura do trapézio.
Um trapézio isósceles ABC tem base igual a 4cm e está 60. 
circunscrito a um círculo de 1cm de raio.
Seja EF uma paralela à base e tangente ao círculo 
inscrito. Calcule o segmento EF .
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35E
M
_V
_M
A
T
_0
27
B1. 
A2. 
B3. 
C4. 
24 3
32
3
2−



π
cm5. cm2
5006. 
A7. 
D8. 
D9. 
A10. 
2 2 3 2−( )π cm11. cm2
12. 
14
5
a) 
216
25
b) 
B13. 
π
3
3
2
2−





R14. R2
B15. 
1
18
16. 
C17. 
18. 
22°30’a) 
2 1−b) 
B19. 
E20. 
5m21. 
22. 
Resposta pessoal.a) 
a2
20
b) 
5
7
23. 
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36 E
M
_V
_M
A
T
_0
27
124. 
A25. 
10 3
3
26. cm
A27. 
228. 
A29. 
E30. 
C31. 
E32. 
D33. 
E34. 
B35. 
C36. 
E37. 
C38. 
E39. 
A40. 
E41. 
157° 30’42. 
B43. 
A44. 
E45. 
C46. 
E47. 
C48. 
A49. 
A50. 
y = 16; 51. 
x = 15
C52. 
B53. 
C54. 
E55. 
C56. 
E57. 
C58. 
E59. 
C60. 
D61. 
x = 1 ou x = 21. 
Demonstração.2. 
1cm3. 
72%4. 
A5. 
D6. 
São iguais.7. 
E8. 
B9. 
16 34 cm10. cm
6 4 2 2−( )cm11. 
12. 
Ra) 2.sen2a 
Resposta pessoal. b) 
45°13. 
10
7
A14. 
15cm15. 2
B16. 
2 π
π
17. 
16cm18. 2
20m19. 2
5 2cm20. 
8,421. 
22. 
S/2a) 
2S/3b) 
S/6c) 
S/3d) 
S/6e) 
S/12f) 
S/3g) 
S/4h) 
S/24i) 
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37E
M
_V
_M
A
T
_0
27
S/21j) 
S/7k) 
S/6l) 
2S/15m) 
S/3n) 
S/70o) 
R$300,00 (trezentos reais)23. 
324. 
C25. 
Demonstração.26. 
E27. 
B28. 
A29. 
D30. 
C31. 
45°32. 
33. 
A
C
B
P PB̂C = 45°
26°34. 
235. = 300 = 15° 
26 36. 2
3
 segundos
x = 837. 
x = 638. 
AJ
JD
 = 3
2
BD39. = 8cm
DC = 12cm
D40. 
O perímetro de APOR vale 8cm.41. 
BO
BC
 = OC
OC
2
2
 = 2
3
y – x = 442. 
AI
DI
43. = 4
PA
PB
44. = 3
4
45. 
R = 
R – 
l2 = R2 – Rl
l2 + Rl – R2 = 0
 = 
( 5 – 1)R
2
FG46. = 16
B47. 
A48. ĈB = 54°
B49. 
Resposta pessoal.50. 
Resposta pessoal.51. 
96; 0; –16; –2552. 
2 253. 
16cm e 9cm54. 
855. 
8cm56. 
457. 
15cm58. 
6m59. 
1cm60. 
Raio = 2,4cm61. 
C62. 
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