Callister - Engenharia e Ciência dos Materiais

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MATERIALS SCIENCE AND ENGINEERING An Introduction 
William D. Callister, Jr. - John Wiley & Sons,Inc., New York,NY,1991. 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
1.1 - PERSPECTIVA HISTÓRICA 
 
 
1.2 - CIÊNCIA E ENGENHARIA DE MATERIAIS 
 
A disciplina de ciência dos materiais envolve investigação das correlações que existem entre as 
estruturas e propriedades de materiais. Em contraste, engenharia de materiais é, com base nestas 
correlações estrutura-propriedade, o projeto ou a engenharia da estrutura de um material para 
produzir um predeterminado conjunto de propriedades. Através de todo este texto nós damos 
atenção às correlações entre propriedades dos materiais e elementos estruturais. 
"Estrutura" é neste ponto um termo nebuloso que merece alguma explicação. Brevemente, 
a estrutura de um material usualmente relaciona-se ao arranjo de seus componentes internos. 
Estrutura subatômica envolve elétrons dentro dos átomos individuais e interações com o seu núcleo. 
Num nível atômico, estrutura abrange a organização dos átomos ou moléculas entre si. O próximo 
reino estrutural maior, que contém grandes grupos de átomos que estão normalmente aglomerados 
entre si, é denominado "microscópico", significando aquilo que é submetido à observação direta 
usando algum tipo de microscópio. Finalmente, os elementos estruturais que podem ser visto com 
ôlho nu são denominados "macroscópicos". 
A noção de "propriedade" merece elaboração. Enquanto usado em serviço, todos os 
materiais são expostos a estímulos externos que evocam algum tipo de resposta. Por exemplo, uma 
amostra submetida a forças irá experimentar deformação, ou uma superfície de metal polido refletirá 
luz. Propriedade é um traço (característica) de um material em termos do tipo e magnitude de 
resposta a um específico estímulo imposto. Geralmente, definições de propriedades são feitas 
independente da forma e tamanho do material. 
Virtualmente todas as importantes propriedades de materiais sólidos podem ser grupadas 
em 6 diferentes categorias: 
(a) mecânica; 
(b) elétrica; 
(c) térmica; 
(d) magnética; 
(e) ótica, e 
(f) deteriorativa. 
Para cada uma existe um tipo característico de estímulo capaz de provocar diferentes respostas. 
Propriedades mecânicas relacionam deformação a uma carga ou força aplicada; exemplos incluem 
módulo elástico e resistência mecânica. 
Para propriedades elétricas, tais como condutividade elétrica e constante dielétrica, o estímulo é um 
campo elétrico. 
O comportamento térmico de sólidos pode ser representado em termos de capacidade calorífica e 
condutividade térmica. 
Propriedades magnéticas demonstram a resposta de um material à aplicação de um campo 
magnético. 
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Para propriedades óticas, o estímulo é eletromagnético ou radiação de luz, índice de refração e 
refletividade são representativas propriedades óticas. 
Finalmente, características deteriorativas indicam a reatividade química de materiais. 
Os capítulos que se seguem discutem propriedades que caem dentro de cada uma destas 6 
classificações. 
Por que nós estudamos materiais? Muitos dos cientistas aplicados ou engenheiros, sejam 
eles mecânicos, civis, químicos, ou elétricos, estarão uma vez ou outra expostos a um problema de 
projeto envolvendo materiais. Exemplos poderíam incluir uma engrenagem de transmissão, a 
superestrutura para um prédio, um componente para refinaria de óleo, ou um "chip" de 
microprocessador. Naturalmente, cientistas de materiais e engenheiros são especialistas que estão 
totalmente envolvidos na investigação e projeto de materiais. 
Muitas vezes, um problema de materiais é um de seleção do material certo dentre muitos 
milhares que são disponíveis. Existem vários critérios nos quais a decisão final é normalmente 
baseada. Antes de mais nada, as condições em serviço devem ser caracterizadas, de vez que estas 
ditarão as propriedades requeridas do material. Somente em ocasiões raras um material possuirá 
uma combinação máxima ou ideal de propriedades. Assim pode ser necessário perder uma 
característica para ter uma outra. O exemplo clássico envolve resistência mecânica e dutilidade; 
normalmente, um material tendo uma alta resistênca mecânica terá apenas uma limitada dutilidade. 
Em tais casos, um compromisso razoável entre duas ou mais propriedades pode ser necessária. 
Uma segunda consideração de seleção é qualquer deterioração de propriedades de 
materiais que pode ocorrer durante operação em serviço. Por exemplo, significativas reduções em 
resistência mecânica podem resultar da exposição a temperaturas elevadas ou ambientes corrosivos. 
Finalmente, provavelmente a consideração soprepujante é aquela da economia: O que o 
produto acabado custará? Pode-se encontrar um material que tenha um conjunto ideal de 
propriedades mas seja proibitivamente caro. Aqui de novo, algum compromisso é inevitável. O 
custo de uma peça acabada inclui também qualquer despesa incorrida durante a fabricação para 
produzir a desejada forma. 
Quanto maior for a familiaridade de um engenheiro ou cientista com as várias 
características e correlações estrutura-propriedade, bem como técnicas de processamento de 
materiais, tanto mais proficiente e confiável ele ou ela será para fazer escolhas judiciosas de materiais 
baseadas nestes critérios. 
 
 
1.3 - CLASSIFICAÇÃODE MATERIAIS 
 
Materiais sólidos têm sido convenientemente agrupados em 3 classificações básicas: 
(a) metais; 
(b) cerâmicas, e 
(c) polímeros 
Este esquema é baseado principalmente na constituição química e estrutura atômica, e muitos 
materiais caem num distinto grupamento ou num outro, embora existam alguns intermediários.Em 
adição, existem 2 outros grupos de importantes materiais de engenharia: 
(d) compósitos, e 
(e) semicondutores. 
Compósitos consistem de combinações de 2 ou mais diferentes materiais, enquanto que 
semicondutores são utilizados por causa de suas desusuais características elétricas. Uma breve 
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explanação dos tipos de materiais e características representativas é oferecida no texto. Capítulos 
subsequentes exploram em algum detalhe os vários elementos estruturais e propriedades para cada 
um. 
 
 
(a) METAIS 
 
Materiais metálicos são normalmente combinações de elementos metálicos. Eles têm grande número 
de elétrons não localizados, isto é, estes elétrons não estão amarrados a particulares átomos. Muitas 
propriedades de metais são diretamente atribuíveis a estes elétrons.Metais são extremamente bons 
condutores de eletricidade e de calor e não são transparentes à luz visível: a superfície de um metal 
polido tem aparência lustrosa. Além disso, metais são bastante fortes, ainda deformáveis, que 
respondem pelo seu extensivo uso em aplicações estruturais. 
 
(b) CERÂMICAS 
 
Cerâmicas são compostos entre elementos metálicos e não-metálicos: eles são muito frequentemente 
óxidos, nitretos e carbetos. A larga faixa de mateiais que caem dentro desta classificação inclui 
cerâmicas que são compostas de minerais de argilas, cimento e vidro. Estes materiais são 
tipicamente isolantes à passagemde eletricidade e de calor, e sãomais resistentes a altas 
temperaturas e ambientes rudes do que metais e polímeros. Com relação ao comportamento 
mecânico, cerâmicas são duras mas muito frágeis. 
 
(c) POLÍMEROS 
 
Polímeros incluem os materiais familiares plástico e borracha. Muitos deles são compostos 
orgânicos que são quimicamente baseados em carbono, hidrogênio, e outros elementos não 
metálicos; além disto, êles têm muito grandes estruturas moleculares. Estes materiais têm tipicamente 
baixas densidades e podem ser extremamente flexíveis. 
 
(d) COMPÓSITOS 
 
Têm sido engenheirados um número de materiais compósitosque consitem mais doque um tipo de 
material. Fiberglass é um exemplo familiar, no qual fibras de vidro são embutidas dentro de um 
material polimérico. Um compósito é projetado para exibir uma combinação das melhores 
características de cada um dos materiais componentes. "Fiberglass" adquire resistência mecânica das 
fibras de vidro e flexibilidade do polímero. Muitos dos recentes desenvolvimentos de material têm 
envolvido materiaiscompósitos. 
 
(e) SEMICONDUTORES 
 
Semicondutores têm propriedades elétricas que são intermediárias entre os condutores elétricos e os 
isolantes. Além disso, as características elétricas destes materiais são extremamente sensíveis à 
presença de diminutas concentrações de átomos impurezas, cujas concentrações podem ser 
controladas ao longo de muito pequenas regiões espaciais. Os semicondutores tornou possível o 
advento do circuito integrado que revolucionou totalmente a eletrônica e as indústrias de 
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Note
Os compostos ou moléculas orgânicas são as substâncias químicas que contêm na sua estrutura carbono e hidrogênio, e, muitas vezes, também oxigênio, nitrogênio, enxofre, fósforo, boro, halogênios e outros. 
As moléculas orgânicas podem ser:
Naturais: São as sintetizadas pelos seres vivos, denominadas biomoléculas, que são estudadas pela bioquímica.
Artificiais: São substâncias orgânicas que não existem na natureza e têm sido fabricadas pelo homem, como os plásticos. A maioria dos compostos orgânicos puros são produzidos artificialmente.
A etimologia da palavra "orgânico" significa que procede de "organos", relacionada com a vida, em oposição ao inorgânico que teria o significado de tudo que carece de vida.
Para os químicos antigos, as substâncias orgânicas eram provenientes de fontes animais ou vegetais, e as substâncias inorgânicas seriam aquelas de procedência mineral.
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computadores (sem mencionar as nossas vidas) ao longo das 2 décadas passadas. 
 
 
1.4 - NECESSIDADES DE MATERIAIS MODERNOS 
 
A despeito do tremendo progresso que tem sido feito no entendimento e desenvolvimento de 
materiais dentro dos poucos anos passados, remanescem desafios tecnológicos requerindo materiais 
mesmo mais sofisticados e especializados. Algum comentário é apropriado nesta consideração para 
completar a perspectiva de materiais. 
Energia é um interesse corrente. Existe uma reconhecida necessidade para encontrar 
novas e econômicas fontes de energia e, em adição, usar as fontes atuais mais eficientemente. 
Materiais desempenharão sem dúvida um papel significativo nestes desenvolvimentos. Por exemplo, 
a conversão direta de energia solar em energia elétrica tem sido demonstrada. Células solares 
empregam materiais bastante complexos e caros. Para assegurar uma tecnologia viável, materiais 
que são altamente eficientes neste processo de conversão ainda menos custosos devem ser 
desenvolvidos. 
Energia nuclear mantém alguma promessa, mas as soluções para muitos problemas que 
remanecem irá necessariamente envolver materiais, desde combustíveis até estruturas de recipientes 
para instalações para guarda de resíduos radioativos. 
Além disto, qualidade ambiental depende da nossa capacidade para controlar a poluição 
do ar e da água. Técnicas de controle da poluição empregam vários materiais. Em adição, os 
métodos de processamento e refino de materiais têm que ser melhorados de maneira que eles 
produzam menor degradação ambiental, isto é, menor poluição e menos despojo da paisagem a 
partir da mineração de matérias primas. 
Significativas quantidades de energia são envolvidas no transporte. Redução de peso dos 
veículos transportadores (automóveis, aeronaves, trens, etc.), bem como o aumento das 
temperaturas de operação dos motores, melhorarão eficiência de combustível. Novos materiais 
estruturais de alta resistência e baixa densidade remanescem para serem desenvolvidos, bem como 
materiais que têm maiores capacidades de temperatura, para uso em componentes de motores. 
Muitos materiais que nós usamos são derivados de recursos que não são renováveis, isto 
é, não capazes de serem regenerados. Estes incluem polímeros, para os quais a matéria prima 
principal é o óleo, e alguns metais. Estes recursos não renováveis estão se tornando gradualmente 
esgotados, o que implica na necessidade descobrir reservas adicionais ou o desenvolvimento de 
novos materiais tendo propriedades comparáveis e impacto ambiental menos adverso. Esta última 
alternativa é um grande desafio para os cientistas de materiais e engenheiros de materiais. 
MATERIAIS SCIENCE AND ENGINEERING: An Introduction - William D. Callister, Jr., 
Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., New York,NY,1991. 
 
2. ESTRUTURA ATÔMICA E LIGAÇÃO INTERATÔMICA 
 
2.1 - INTRODUÇÃO 
 
Algumas das importantes propriedades de materiais sólidos depende dos arranjos geométricos dos 
átomos, e também das interações que existem entre os átomos ou moléculas constituintes. Este 
Capítulo, por meio de preparação para subsequentes discussões, considera vários conceitos 
fundamentais e importantes, isto é: 
(a) estrutura, 
(b) configurações eletrônicas em átomos e na tabela periódica, e 
(c) os vários tipos de ligações interatômicas primárias e secundárias que mantém juntos os átomos 
 que compõem um sólido. 
Estes tópicos são revistos brevemente, sob a suposiçào de que um pouco do material é familiar ao 
leitor. 
 
ESTRUTURA ATÔMICA 
 
2.2 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 
Cada átomo consiste de um núcleo muito pequeno composto de prótons e neutrons, que são 
circundados por elétrons em movimento. Tanto elétrons quanto prótons são eletricamente 
carregados, a magnitude da carga sendo 1,60 x 10-19C, que é negativa em sinal para elétrons e 
positiva para prótons; neutrons são eletricamente neutros. As massas destas partículas subatômicas 
são infinitesimalmente pequenas; prótons e neutrons têm aproximadamente a mesma massa, 1,67 x 
10-27kg, que é significativamente maior do que aquela de um elétron, 9,11 x 10-31 kg. 
Cada elemento químico é caracterizado pelo número de prótons no núcleo, ou o número 
atômico (Z). Para um átomo eletricamente neutro ou completo, o número atômico também é igual 
ao número de elétrons. Este número atômico varia em unidades inteiras desde 1 para o hidrogênio 
até 94 para o plutônio, o de número atômico mais alto dentre os elementos que ocorrem na natureza 
 (naturalmente). 
A massa atômica (A) de um átomo específico pode ser expressa como a soma das 
massas dos prótons e dos neutrons. Embora onúmero de prótons é o mesmo para todos os átomos 
de um dado elemento, o número de neutrons (N) pode ser variável. Assim, átomos de alguns 
elementos têm 2 ou mais diferentes massas atômicas, sendo eles denominados isótopos. O peso 
atômico corresponde à média pesada das massas atômicas de isótopos que ocorrem naturalmente. 
 A unidade de massa atômica (u.m.a., ou amu em inglês) pode ser usada para cálculos de peso 
atômico. Foi estabelecida uma escala na qual 1 u.m.a. é definida como 1/12 da massa atômica do 
isótopo mais comum do carbono, carbono 12 (isto é, 12C) (A = 12,00000). Dentro deste 
esquema, as massas de prótons e neutrons são ligeiramente maiores do que a unidade, e 
 
 A – Z + N (2.1) 
 
O peso atômico de um elementoou peso molecular de um composto podeser especificado com base 
em u.m.a. por átomo (ou molécula) ou em massa por mol de material. Num mol de uma substância 
existem 6,023 x 1023 (número de Avogadro) átomos ou moléculas. Estes dois esquemas de peso 
atômico estão relacionados entre si através da seguinte equação: 
 1 u.m.a./átomo (ou molécula) = 1 g/mol 
 
Por exemplo, o peso atômico do ferro é 55,85 u.m.a./átomo, ou55,85g/mol. Algumas vezes o uso 
de u.m.a. por átomo ou molécula é conveniente; em outras ocasiões g (ou kg)/mol é preferido; este 
últimoé usado neste livro. 
 
2.3 - ELÉTRONS EM ÁTOMOS 
 
Modelo Atômico de Bohr 
 
Durante a última parte do século dezenove verificou-se que muitos fenômenos envolvendo elétrons 
em sólidos poderíam ser explicados em termos de mecânica clássica. O que aconteceu foi o 
estabelecimento de um conjunto de princípios e leis que governam sistemas de entidades atômicas e 
subatômicas, que ficaram conhecidos como mecânica quântica. Um entendimento do 
comportamento de elétrons em átomos e sólidos cristalinos necessariamente envolve a discussão de 
conceitos de mecânica quântica. Entretanto, uma exploração detalhada destes princípios está além 
do escopo deste livro, e apenas um tratamento muito superficial e simplificado é dado. 
Um dos primeiros frutos da mecânica quântica foi o simplificado modelo atômico de 
Bohr, no qual elétrons são supostos revolver ao redor do núcleo do átomo em orbitais discretos, e 
a posição de qualquer particular elétron é mais ou menos bem definida em termos de seu orbital. 
Este modelo do átomo está representado na Figura 2.1. 
 
Figura 2.1 - Representação esquemática do átomo de Bohr. 
 
Um outro importante princípio de mecânica quântica estipula que as energias de elétrons 
são quantizadas; isto é, elétrons são permitidos ter apenas valores específicos de energia. Um 
elétron pode mudar de energia, mas ao fazer isto efetua um salto quântico quer a um outro permitido 
nível de energia mais alto (com absorção de energia) ou a um nível de energia mais baixo (com 
emissão de energia). Às vezes é conveniente pensar que estes níveis permitidos de energias de 
elétrons como estando associado com níveis de energia ou estados de energia. Estes estados não 
variam continuamente com energia, isto é, estados adjacentes são separados por energias finitas. 
Por exemplo, permitidos estados para o átomo de hidrogênio de Bohr estão representados na 
Figura 2.2a. Estas energias são tomadas como sendo negativas, enquanto que a referência zero é o 
elétron não ligado ou o elétron livre. Naturalmente, o elétron livre associado com o átomo de 
hidrogênio preencherá apenas um destes estados. 
 
 
Figura 2.2 - (a) Os 3 primeiros estados de energia de elétron para o átomo de hidrogênio de Bohr. 
(b) Estados de energia de elétron para as 3 primeiras cascas do átomo de hidrogênio mecânico-
ondulatório. (Adaptado a partir de W.G. Moffatt, G.W.Pearsall,and J. Wullf, The Structure and 
Properties of Materials, Vol.I, Structure, p. 10, Copyright , 1964 por John Wiley & Sons, New 
York, Reimpresso por permissão de John Wiley & Sons, Inc.). 
 
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Assim o modelo de Bohr representa uma primeira tentativa para descrever elétronsem 
átomos, em termos tanto da posição (orbitais dos elétrons) quanto da energia (níveis de energia 
quantizados). 
 
 
 
Modelo Atômico Mecânico-Ondulatório 
 
Verificou-se eventualmente que o modelo atômico de Bohr tinha algumas limitações significativas por 
causa de sua incapacidade de explicar vários fenômenos envolvendo elétrons. A resolução destas 
deficiências foi encontrada com o desenvolvimento do que se tornou conhecido como a mecânica 
ondulatória (uma subdivisão da mecânica quântica), e um mais adequado modelo do átomo. No 
modelo mecânico-ondulatório, considera-se que um elétron exibe características tanto de onda 
quanto de partícula, e o movimento de um elétron é descrito por matemática que governa o 
movimento de onda. 
Uma importante consequência da mecânica de onda é que elétrons não são mais tratados 
como partículas se movendo em orbitais discretos; em vez disto, considera-se posição como 
decorrente da probabilidade deum elétron estar em várias localidades ao redor do núcleo. Em 
outras palavras, posição é descrita por uma distribuição de probabilidade ou nuvem de elétron. A 
Figura 2.3 compara entre si os modelos de Bohr e de mecânica-ondulatória para o átomo de 
hidrogênio. Ambos estes modelos são usados ao longo de todo o curso neste livro; a escolha 
depende de qual dos 2 modelos torna a explicação mais simples. 
 
Figura 2.3 - Comparação dos modelos atômicos de (a) Bohr e (b) mecânico-ondulatório em termos 
de distribuição de elétron. (Adaptado de Z.D. Jastrzebski, The Nature and Properties of 
Engineering Materials , 3a. Edição, p.4 , Copyright 1987 por JohnWiley & Sons, New York, 
Reimpresso por permissão de John Wiley & Sons,Inc.). 
 
 
Números Quânticos 
 
Usando a mecânica ondulatória, todo elétron num átomo é caracterizado por4 parâmetro, 
denominados números quânticos. O tamanho, forma e orientação espacial da densidade de 
probabilidade de um elétron são especificados por 3 números quânticos. Além disto, os níveis de 
energia de Bohr se separa em subcamadas de elétrons, e números quânticos ditam o número de 
estados dentro de cada subcamada. Camadas são especificiadas por um número quântico 
principal n, que pode tomar valores inteiros começando com a unidade; algumas vezes estas 
camadas são designadas pelas letras K, L, M, N, O, e assim por diante, que correspondem, 
respectivamente, a n = 1, 2, 3, 4, 5, ....., como indicado na Tabela 2.1. Dever-se-ía também notar 
que este número quântico, e somente êle, está também associado com o modelo de Bohr. 
 
Tabela 2.1 - O número de Estados de Elétrons Disponíveis em Algumas das Camadas e 
Subcamadas de Elétrons. 
 
 
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Typewriter
s
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Typewriter
O segundo número quântico, l, significa subcamada, que é denotada por uma letra 
minúscula - um s, p, d, ou f. Em adição , o número de camadas para os vários valores de n estão 
representados na Tabela 2.1. O número de estados de energia para cada subcamada é determinado 
pelo número quântico, ml . Para uma subcamada s existe um único estado de energia, enquanto que 
 para subcamadas p, d, e f, existem 3, 5 e 7 estados, respectivamente (Tabela 2.1). Na ausência de 
um campo magnético externo, os estados dentro de cada subcamada são idênticos. Entretanto, 
quando um campo magnético é aplicado estes estados de subcamadas se dividem, cada estado 
assumindo uma energia ligeiramente diferente. 
Associado a cada elétron se encontra um momento de spin, que deve estar orientado ou 
para cima ou para baixo. Relacionado a este momento de spin encontra-se o quarto número 
quântico, ms , para o qual são possíveis 2 valores ( + 1/2 e -1/2), um para cada uma das 
orientações de spin. 
Assim o modelo de Bohr foi refinado mais uma vez pela mecânica ondulatória, na qual a 
introdução de 3 novos números quânticos dá origem a subcamadas eletrônicas dentro de cada 
camada. Uma comparação entre estes dois modelos com base nisto é ilustrada nas Figuras 2.2a e 
2.2b, para o átomo de hidrogênio. 
Um diagrama completo de nível de energia para as várias camadas e subcamadas usando 
o modelo de mecânica ondulatória é mostrado na Figura 2.4. Vale a pena notar várias 
características do diagrama. Primeiro, quanto menor for o número quântico principal, tanto menor o 
nível de energia; por exemplo, a energia de um estado 1s é menor do que aquela de um estado 2s, 
que por sua vez é menor do que aquela de um estado 3s. Segundo, dentro de cada camada a 
energia de uma subcamada cresce com o valor do número quântico l. Por exemplo, a energia de um 
estado 3d é maior do que aquela de um estado 3p, que é maior do que aquela de um estado 3s. 
Finalmente, pode haver superposição em energia de um estado numa camada com estados numa 
camada adjacente, que é especialmente verdadeiro de estados d e f; por exemplo, a energia de um 
estado 3d é maior do que aquela para um estado 4s. 
 
 
Figura 2.4 - Representação esquemática das energias relativas dos elétrons para as várias camadas 
e subcamadas (fonte: K.M.Ralls, T.H.Courtney, e J. Wulff, Introduction to Materials Science and 
Engineering, p. 22 Copyright 1976 by John Wiley & Sons,New York, Reprinted by permission of 
John Wiley & Sons). 
 
Configurações Eletrônicas 
 
A discussão precedentes tratou principalmente dos estados eletrônicos - valoresde energia que 
são permitidos aos elétrons. Para determinar a maneira na qual estes estados são preenchidos com 
elétrons, nós usamos o princípio de exclusão de Pauli, um outro conceito mecânico-quântico. 
Este princípio estipula que cada estado eletrônico pode manter não mais do que 2 elétrons, que 
devem ter spins opostos. Assim, as subcamadas s, p, d e f podem acomodar cada uma, 
respectivamente, um total de 2, 6, 10 e 14 elétrons; Tabela 2.1 sumaria um número máximo de 
elétrons que podem ocupar cada uma das primeiras 4 camadas. 
 
 
Tabela 2.1 - O número de estados eletrônicos disponíveis em algumas das Camadas e Subcamadas 
 Eletrônicas. 
 
 
Naturalmente, nem todos os estados possíveis num átomo são preenchidos com elétrons. 
Para muitos átomos, os elétrons preenchem os mais baixos possíveis estados de energia nas 
camadas e subcamadas eletrônicas, 2 elétrons (tendo spins opostos) por estado. A estrutura de 
energia para um átomo de sódio é representada esquematicamente na Figura 2.5. Quando todos os 
elétrons ocupam as energias mais baixas possíveis de acordo com as precedentes restrições, diz-se 
que um átomo está no estado do chão. Entretanto, transições de elétrons para estados de energia 
superiores são possíveis, como discutido nos Capítulos 19 e 22. A configuração eletrônica ou 
estrutura de um átomo representa a maneira na qual estes estados são ocupados. Na notação 
convencional o número de elétrons em cada subcamada é indicado por um superscrito após a 
designação camada-subcamada. Por exemplo, a configurações eletrônicas para hidrogênio, hélio e 
sódio são, respectivamente, 1s1, 1s2, e 1s22s22p63s1. Configurações eletrônicas para alguns dos 
elementos mais comuns estão listadas na Tabela 2.2; uma tabulação para todos os elementos está 
contido no Apêndice B. 
 
Figura 2.5 - Representação esquemática dos estados de energia preenchidos para um átomo de 
sódio. 
 
 
Tabela 2.2 - Uma Listagem das Configurações Eletrônicas para Alguns dos Elementos Comuns. 
 
 
Neste ponto, comentários referentes a estas configurações eletrônicas são necessárias. 
Primeira, os elétrons de valência são aqueles que ocupam a camada preenchida mais externa. 
Estes elétrons são extremamente importantes; como será visto, eles participam na ligação entre os 
átomos para formar agregados atômicos e moleculares. Além disto, muitas das propriedades físicas 
e químicas de sólidos estão baseadas nestes elétronsde valência. 
Em adição, alguns átomos têm o que é denominado "configurações eletrônicas estáveis"; 
isto é, os estados dentro da camada eletrônica mais externa ou de valência estão completamente 
preenchidos. 
Normalmente isto corresponde à ocupação justamente dos estados s e p para a camada 
mais externa por um total de 8 elétrons, como num neônio, argônio e criptônio; uma exceção é o 
hélio, que contém apenas 2 elétrons 1s. Estes elementos (Ne, Ar, Kr, e He) são gases inertes ou 
nobres, que são virtualmente não reativos quimicamente. Alguns átomos dos elementos que têm 
camadas de valência não preenchidas assumem configurações eletrônicas estáveis por ganho ou 
perda de elétrons para formar íons carregados, ou pelo compartilhamento de elétrons com outros 
átomos. Esta é a base para algumas reações químicas, e também para ligação atômica em sólidos, 
como explicado na Seção 2.6. 
 
 
2.4 - A TABELA PERIÓDICA 
 
Todos os elementosforam classificados de acordo com a configuração eletrônica na tabela 
periódica (Figura 2.6). Aqui, os elementos estão situados, com crescente número atômico, em 7 
filas horizontais denominadas períodos. O arranjo é tal que todos os elementos que são dispostos 
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numa dada coluna ou grupo têm similares estruturas de elétrons de valência, do mesmo modo que 
similares propriedades químicas e físicas. Estas propriedades mudam gradualmente e 
sistematicamente, movendo-se horizontalmente através cada período. 
 
Figura 2.6 - A tabela periódica dos elementos. Os números entre parêntesis são pesos atômicos dos 
isótopos mais estáveis ou comuns. 
 
 
Os elementos posicionados no Grupo 0, o grupo da extrema direita, são gases inertes, que 
têm camadas eletrônicas preenchidas e configurações eletrônicas estáveis. Os elementos dos Grupos 
VIIA e VIA têm 1 e 2 elétrons a menos , respectivamente, para terem estruturas estáveis. Os 
elementos do Grupo VIIA (F, Cl, Br, I e At) são às vezes denominados halogêneos. Os metais 
alcalinos e alcalino-terrosos (Li, Na, K, Be, Mg, Ca, etc.) são denominados como do Grupo IA e 
IIA, tendo, respectivamente, 1 e 2 elétrons a mais do que o necessário para estruturas estáveis. Os 
elementos dos 3 períodos longos, Grupos IIIB até IIB, são denominados metais de transição, que 
possuem estados eletrônicos partialmente preenchidos e em alguns casos 1 ou 2 elétrons na próxima 
camada de energia mais alta. Grupos IIIA, IVA e VA (B, Si, Ge, As, etc.) exibem características 
que são intermediárias entre as dos metais e as dos não-metais em virtude de suas estruturas de 
elétron de valência. 
Como pode ser notado a partir da tabela periódica, muitos elementos realmente se 
incluem na classificação de metal. Estes são algumas vezes denominados elementos eletropositivos, 
indicando que êles são capazes de ceder seus poucos elétrons de valência para se tornarem íons 
positivamente carregados. Além disso, os elementos situados à direita da tabela são 
eletronegativos; isto é, eles prontamente aceitam elétrons para formar íons negativamente 
carregados, ou às vezes êles compartilham elétrons com outros átomos. A Figura 2.7 exibe os 
valores de eletronegatividade que foram atribuídos aos vários elementos arranjados na tabela 
periódica. Como uma regra geral, a eletronegatividade aumenta ao se mover da esquerda para a 
direita e de base para o topo da tabela periódica. 
 
 
Figura 2.7 - Os valores de eletronegatividade para os elementos. (Re-impresso a partir de Linus 
Pauling, The Nature of Chemical Bond, 3a. edição. Copyright 1939 e 1940, Copyright da 3a. 
Edição, 1960, por Cornell University. Usado por permissão do publicante, Cornell University 
Press). 
 
 
 
LIGAÇÃO ATÔMICA EM SÓLIDOS 
 
 
2.5 - FORÇAS DE LIGAÇÃO E ENERGIAS DE LIGAÇÃO 
 
Um entendimento de muitas propriedades físicas de materiais é previsto através do conhecimento 
das forças interatômicas que ligam os átomos entre si. Talvez os princípios de ligação atômica sejam 
melhor ilustrados pela consideração da interação entre dois átomos isolados à medida que êles são 
colocados em estreita proximidade um do outro a partir de uma distância infinita de separação entre 
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os mesmos. Em grandes distâncias as interações são desprezíveis, mas à medida que os átomos se 
aproximam mutuamente, cada átomo exerce força sobre o outro. Estas forças são de 2 tipos, 
atrativa e repulsiva, e a magnitude de cada é uma função da distância interatômica de separação. A 
origem de uma força atrativa FA depende do particular tipo de ligação que existe entre os 2 átomos. 
Sua magnitude varia com a distância, como representada esquematicamente na Figura 2.8(a). 
Ultimamente, as camadas eletrônicas externas dos 2 átomos começam a se superpor e uma força 
repulsiva forte FR entra em ação. A força líquida FN entre os 2 átomos é justo a soma das 
componentes tanto atrativa quanto repulsiva; isto é, 
 
 FN = FA + FR (2.2) 
 
que é também uma função da separação interatômica como também graficada na Figura 2.8(a). 
 
 
Figura 2.8 (a) A dependência das forças repulsiva, atrativa e líquida como uma função de separação 
interatômica para 2 átomos isolados. (b) A dependência das energias potenciais repulsiva, atrativa e 
líquida como uma função de separação interatômica para 2 átomos isolados. 
 
 
Quando FA e FR se compensam, ou se tornam iguais, não existe nenhuma força líquida; isto é,FA + FR = 0 (2.3) 
Então existe um estado de equilíbrio. Os centros dos 2 átomos permanecerão separados por um 
espaçamento de equilíbrio ro, como indicado na Figura 2.8(a). Para muitos átomos ro é 
aproximadamente 0,3 nm (3Å). Uma vez nesta posição, os 2 átomos reagirão com ação oposta a 
qualquer tentativa de separá-los (reação com uma força atrativa) ou de aproximá-los (reação com 
uma força repulsiva). 
Às vezes é mais conveniente trabalhar com as energias potenciais entre 2 átomos em vez 
de forças. Matematicamente, a energia (E) e a força (F) estão relacionadas como 
 
 E = I F dr (2.4) 
 
Ou, para sistemas atômicos, 
 
 EN = I4r FN dr (2.5) 
 
 = I4r FA dr + I4rFR dr (2.6) 
 
 = EA + ER (2.7) 
 
onde EN, EA e ER são ,respectivamente, as energias líquida, atrativa e repulsiva para 2 átomos 
isolados e adjacentes. 
Figurta 2.8(b) grafica as energias potenciais atrativa, repulsiva e líquida como uma função 
da separação interatômica para 2 átomos. A curva líquida, que é de novo a soma das duas outras, 
tem uma calha (ou poço) de energia potencial ao redor do seu mínimo. Aqui, o mesmo espaçamento 
de equilíbrio, ro , corresponde à distância de separação no ponto de mínimo da curva de energia 
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potencial. A energia de ligação para estes 2 átomos, Eo , corresponde à energia neste ponto de 
mínimo (também mostrado na Figura 2.8(b)); ela representa a energia que seria requerida para 
separar estes 2 átomos até uma distância infinita de separação. 
Embora o tratamento precedente tenha tratado com uma situação ideal envolvendo apenas 
2 átomos, existe uma condição similar ainda mais complexa para materiais sólidos porque interações 
de força e de energia entre muitos átomos devem ser consideradas. Não obstante, uma energia de 
ligação, análoga a Eo acima, pode ser associada a cada átomo. A magnitude desta energia de 
ligação e a forma da curva de energia versus separação interaômica varia de material a material, 
ambas as variáveis dependendo do tipo de ligação atômica. Substâncias sólidas são formadas para 
grandes energias de ligação, enquanto que para pequenas energias o estado gasos o é favorecido; 
líquidos prevalecem quando as energias são de magnitude intermediária. Em geral, para materiais 
sólidos, temperatura de fusão bem como propriedades coesivas refletem a magnitude da energia de 
ligação. 
Três diferentes tipos de ligação primária ou química são encontrados em sólidos - iônica, 
covalente e metálica. Para cada tipo, a ligação necessariamente envolve os elétrons de valência; 
além disso, a natureza da ligação depende das estruturas de separação dos átomos constituintes. Em 
geral, cada um destes tipos de ligação surge a partir da tendência dos átomos de assumir estruturas 
eletrônicas estáveis, tais como aquelas dos gases inertes, pelo preenchimento completo da camada 
eletrônica mais externa. 
Energias e forças físicas ou secundárias são também encontradas em muitos materiais 
sólidos; elas são mais fracas do que as primárias, mas não obstante influencia as propriedades físicas 
de alguns materiais. As seções que seguem explicam os vários tipos de ligações interatômicas 
primárias e secundárias. 
 
 
 
2.6 - LIGAÇÕES INTERATÔMICAS PRIMÁRIAS 
 
Ligação Iônica 
 
Talvez ligação iônica seja a mais fácil para descrever e visualizar. Ela é sempre encontra em 
compostos que são constituídos de elementos tanto metálicos quanto não-metálicos, elementos que 
estão situados nas extremidades horizontais da tabela periódica. Átomos de um elemento metálico 
facilmente cedem seus elétrons de valência aos átomos não metálicos. No processo todos os 
átomos adquirem configurações estáveis ou de gás inerte e, em adição, uma carga elétrica; isto é, 
eles se tornam íons. Cloreto de sódio (NaCl) é um material iônico clássico. Um átomo de sódio 
pode assumir o elétron de neon (e uma carga positiva simples) por uma transferência de um seu 
elétron de valência 3s a um átomo de cloro. Após uma tal transferência, o íon cloreto tem uma 
carga negativa líquida e uma configuração eletrônica idêntica daquela do argônio. In cloreto de 
sódio, todo sódio e cloro existem como íons. Este tipo de ligação é ilustrado esquematicamente na 
Figura 2.9. 
 
Figura 2.9 - Representação esquemática da ligação iônica em cloreto de sódio (NaCl). 
 
As forças de ligação atrativa são culômbicas; isto é, íons positivos e negativos, em virtude 
de suas cargas elétricas, se atraem mutuamente. Para 2 íons isolados, a energia atrativa EA é uma 
função da distância interatômica de acordo a relação* 
 
 EA = - A/r (2.8) 
 
 
* A constante A na Equação 2.8 é igual a (1/4πεo)(Z1 e)(Z2 e) onde εo é a permissividade de um 
vácuo (8,85 x 10-12F/m), Z1 e Z2 são as valências dos 2 típosde íons, e e é a carga eletrônica (1,6 
x 10-19C). 
 
 
Uma equação análoga para a energia repulsiva é 
 
 ER = B/rn (2.9) 
 
Nestas expressões, A, B e n são constantes cujos valores dependem do particular sistema iônico. O 
valor de n é aproximadamente 8. 
Ligação iônica é denominada não-direcional, isto é, a magnitude da ligação é igual em 
todas as direções ao redor de um íon. Segue-se que para materiais iônicos serem estáveis, todos os 
íons positivos devem ter como seus vizinhos mais próximos íons negativamente carregados num 
esquema tridimensional, e vice-versa. A ligação predominante em materiais cerâmicos é iônica. 
Alguns dos arranjos iônicos para estes materiais são discutidos no Capítulo 13. 
Energiasde ligação, que geralmente variam na faixa de 600 a 1500 kJ/mol (3 e 
8eV/átomo), são relativamente grandes, como refletidas em altas temperaturas de fusão**. Tabela 
2.3 contém energias de ligação e pontos de fusão para vários materiais iônicos. Materiais iônicos 
são caracteristicamente duros e frágeis e, além disso, isolantes eletricamente e termicamente. Como 
discutido em capítulos subsequentes, estas propriedades são uma consequência direta das 
configurações eletrônicas e/ou da natureza da ligação iônica. 
 
 
** Algumas vezes energias de ligação são expressas por átomo ou por íon. Sob estas 
circunstâncias o elétron-volt (eV) é uma unidade de energia convenientemente pequena. Ela é, 
por definição, a energia conferida a um elétron à medida que ele cai através de um potencial 
elétrico de 1 volt. O equivalente em joule do elétron-volt é o seguinte: 1,602 x 10-19J = 1 
eV. 
 
 
Tabela 2.3 - Energias de Ligação e Temperaturas de Fusão de Várias Substâncias. 
 
 
Ligação Covalente 
 
Na ligação covalente configurações eletrônicas estáveis são assumidas pelo compartilhamento de 
elétrons entre átomos adjacentes. Dois átomos que são covalentemente ligados contribuirão com 
pelo menos 1 elétron para a ligação e elétrons compartilhados podem ser considerados como 
pertencentes a ambos os átomos. Ligação covalente é esquematicamente ilustrada na Figura 2.10 
para uma molécula de metano (CH4). O átomo de carbono tem 4 elétrons de valência, enquanto que 
cada um dos 4 átomos de hidrogênio possui um único elétron de valência. Cada átomo de 
hidrogênio pode adquirir uma configuração eletrônbica do hélio (2 elétrons de valência 1s) quando 
os átomos de carbono compartilham com ele 1 elétron. O carbono agora tem 4 elétrons 
compartilhados adicionais, 1 de cada átomo de hidrogênio, para um total de 8 elétrons de valência e 
estrutura eletrônica do neon. A ligação covalente é direcional; isto é, é entre átomos específicos e 
pode existir apenas na direção entre um átomo e um outro que participa no compartilhamento 
eletrônico. 
 
 
Figura 2.10 - Representação esquemática da ligação covalente numa molécula de metano (CH4). 
 
 
Muitas moléculas elementares não-metálicas (H2, Cl2, F2, etc..) bem como moléculas 
contendo átomos dissimilares, tais como CH4, H2O, HNO3 e HF, são covalentemente ligadas. Além 
disso, este tipo de ligação é encontrado em sólidos elementares tais como diamante (carbono), 
silício e germânio e outros compostos sólidos constituídos de elementos queestão localizados no 
lado direito da tabela periódica, tais como arsenieto de gálio (GaAs), antimonieto de índio (InSb), e 
carbeto de silício (SiC). 
O número de ligações covalentes que são possíveis para um particular átomo é 
determinado pelo número de elétrons de valência. Para N' elétrons de valência, um átomo pode se 
ligar covalentemente com no máximo 8 - N' outros átomos. Por exemplo, N' = 7 para o cloro, e 8 
- N' = 1, o que significa que 1 átomo de Cl pode ser ligar apenas com 1 outro átomo, como em 
Cl2. Similarmente, para o carbono, N' = 4, e cada átomo de carbono tem 8 - 4, ou 4, elétrons para 
compartilhar. Diamante é simplesmente a estrutura de interconexão tridimensional onde cada átomo 
de carbono se liga covalentemente com outros 4 átomos de carbono. Este arranjo está representado 
na figura 13.5. 
Ligações covalentes pode ser muito fortes, como no diamante, que é muito duro e tem 
uma muito alta temperatura de fusão, > 3550oC (6400oF), ou elas podem ser muito fracas, como 
no bismuto, que se funde a 270oC (518oF). Energias de ligação e temperaturas de fusão para uns 
poucos materiais covalentemente ligados estão apresentados na Tabela 2.3. Materiais poliméricos 
tipificam esta ligação, a estrutura molecular básica sendo um longa cadeia de átomos de carbono 
que estão covalentemente ligados entre si com 2 de suas 4 ligações disponíveis por átomo. As 2 
remanescentes ligações normalmente são compartilhadas com outros átomos, que estão também 
covalentemente ligados. Estruturas moleculares poliméricas são discutidas em detalhe no Capítulo 
15. 
 
Figura 13.5 - Uma célula unitária para a estrutura cristalina cúbica do diamante. 
 
É possível ter ligações interatômicas que são parcialmente iônicas e parcialmente 
covalente, e, de fato, muito poucos compostos exibem ligação iônica pura ou ligação covalente pura. 
Para um composto, o grau de cada tipo de ligação depende das posições relativas dos átomos 
constituintes na tabela periódica (Figura 2.6). Quanto maior a separação (tanto horizontalmente - 
relativo ao Grupo IVA - quanto verticalmente) a partir do canto esquerdo inferior para o canto 
direito superior, tanto mais iônica é a ligação; ou, quanto mais próximos estiverem os átomos entre 
si, tanto maior será o grau de covalência. 
 
 
Ligação Metálica 
 
Ligação metálica, o tipo final de ligação primária, é encontrada em metais e suas ligas. Existe 
proposto um modelo relativamente simples que muito de perto se aproxima do esquema de ligação. 
Materiais metálicos têm 1, 2 ou, no máximo, 3 elétrons de valência. Com este modelo, estes elétrons 
de valência não se encontram ligados a qualquer particular átomo no sólido e são mais ou menos 
livres para se moverem ao longo de todo o metal. Eles podem ser pensados como pertencendo ao 
metal como um todo, ou formando um "mar de elétrons" ou uma "núvem de elétrons". Os 
remanescentes elétrons não valentes e os núcleos atômicos foram o que é chamado de núcleos 
iônicos, que possuem uma carga positiva líquida, igual em magnitude à carga total de elétrons de 
valência por átomo. A Figura 2.11 é uma ilustração esquemática da ligação metálica. Os elétrons 
livres protegem os núcleos de íons positivamente carregados contra forças eletrostáticas 
mutuamente repulsivas, que doutra forma poderiam exercer uns aos outros; consequentemente a 
ligação metálica é não-direcional em caráter. Em adição, estes elétrons livres agem com uma 
"cola"para manter os núcleos iônicos juntos. Energias de ligaçào e temperaturas de fusão para 
vários metais estão listadas na Tabela 2.3. A ligação pode ser fraca ou forte; energias de ligação 
variam desde 68 kJ/mol (0,7 eV/átomo) para o mercúrio até 850 kJ/mol (8,8 eV/átomo) para o 
tungstênio. As suas respectivas temperaturas de fusão são -39oC e 3410oC (-38oF e 6170oF). 
 
 
Figura 2.11 - Representação esquemática da ligação metálica. 
 
 
Este tipo de ligação é encontrado para os elementos dos Grupos IA e IIA na tabela 
periódica e, de fato, para todos os metais elementares. Estes materiais são bons condutores tanto de 
eletricidade quanto de calor, como uma consequência dos elétrons de valência livres. 
 
 
 
2.7 - LIGAÇÃO SECUNDÁRIA OU LIGAÇÃO DE VAN DER WAALS 
 
Ligações secundárias, de van der Waals ou físicas são fracas em comparação com as ligações 
primárias ou químicas; energias de ligação estão tipicamente na ordem de apenas 10 kJ/mol (0,1 
eV/átomo). Ligação secundária existe entre virtualmente todos os átomos ou moléculas, mas sua 
presença pode ser obscurecida se qualquer dos 3 tipos de ligação primária estiver presente. Ligação 
secundária é evidenciada para os gases inertes, que possuem estruturas eletrônicas estáveis, e, em 
adição, entre moléculas em estruturas moleculares que são covalentemente ligadas. 
Forças de ligação secundárias surgem dos dipolos atômicos ou moleculares. Em essência, 
um dipolo elétrico existe sempre que exista alguma separação das porções positiva e negativa de um 
átomo ou molécula. A ligação resulta da atração culômbica entre o terminal positivo de um diplo e a 
região negativa de um outro diplo adjacente, como indicado na Figura 2.12. Interações de dipolo 
ocorrem entre dipolos induzidos, entre diplos induzidos e moléculas polares (que possuem dipolos 
permanentes), e entre moléculas polares. Verifica-se que ligação de hidrogênio, uma classe 
especial de ligação secundária, existe entre algumas moléculas que tem hidrogênio como um dos 
constituintes. Estes mecanismos de ligação agora discutidos brevemente. 
 
Figura 2.12 - Ilustração esquemática de ligação de van der Waals entre dois dipolos. 
 
 
Ligações de Dipolo Induzido Flutuante 
 
Um dipolo pode ser criado ou induzido num átomo ou molécula que é normalmente simétrica 
eletricamente; isto é, a distribuição espacial global dos elétrons é simétrica em relação ao núcleo 
positivamente carregado, como mostrado na Figura 2.13a. Todos os átomos estão experimentando 
movimento vibracional constante, que pode causar distorções instantâneas ou de curta duração 
desta simetria elétrica para alguns dos átomos ou moléculas, e a criação de pequenos dipolos 
elétricos, como representado na Figura 2.13b. Um destes dipolos pode por sua vez produzir um 
deslocamento da distribuição de elétron de uma molécula ou átomo adjacente, induzindo este último 
a também se tornar um diplo que é então fracamente atraído ou ligado primeiro; este é um tipo de 
ligação de van der Waals. Estas forças atrativas podem existir entre grande número de átomos ou 
moléculas, cujas forças são temporárias e flutua com o tempo. 
 
 
Figura 2.13 - Representações esquemáticas de (a) um átomo eletricamente simétrico e (b) um 
dipolo atômico induzido. 
 
 
A liquefação e, em alguns casos, a solidificação dos gases inertes e outras moléculas 
eletricamente neutras e simétricas tais como H2 e Cl2 acontecem por causa deste tipo de ligação. 
Temperaturas de fusão e de ebulição são extremamente baixas em materiais para os quais 
predominam dipolos de ligação induzidos; de todas as possíveis ligações intermoleculares, estas são 
as mais fracas. Energias de ligação e temperaturas de fusão para argônio e cloro estão também 
tabeladas na Tabela 2.3. 
 
 
Ligações de Dipolo Induzido por Molécula Polar 
 
Momentos de dipolo permanentes existem em algumas moléculas em virtude de um arranjo 
assimétrico de regiões carregadas positivamente ou negativamente; tais moléculas são denominadas 
moléculares polares. A Figura 2.14 é uma representação esquemática de uma molécula de cloreto 
de hidrogênio; um momento de dipolo permanente surge a partir de cargas positivas e negativas 
líquidas que estão respectivamente associadas com as extremidades do hidrogênio e do cloro da 
molécula de Hcl. 
 
Figura 2.14 - Representação esquemática de uma molécula polar de cloreto de hidrogênio (Hcl). 
 
Moléculas polares podem também induzir dipolos em moléculas não-polares adjacentes, e 
uma ligação se formará como um resultado forças atrativas entreas duas moléculas. Além disso, a 
magnitude desta ligação será maior do que aquela para diplos induzidos flutuantes. 
 
 
 
Ligações de Dipolo Permanentes 
 
Forças de van der Waals existirão entre moléculas polares adjacentes. As energias de ligação 
associadas são significativamente maiores do que para ligações envolvendo dipolos induzidos. 
O tipo de ligação secundária mais forte, a ligação de hidrogênio, é um caso especial de 
ligação por molécula polar. Ele ocorre entre moléculas nas quais hidrogênio é covalentemente ligado 
ao fluor (como em HF), oxigênio (como em H2O),e nitrogênuio (como em NH3). Para cada ligação 
H-F, H-O, ou H-N, o elétron único do hidrogênio é compartilhado com o outro átomo. Assim a 
extremidade de hidrogênio da ligação é essencialmente um próton nu positivamente carregado, que 
não se encontra envolto por quaisquer elétrons. Esta extremidade altamente carregada positivamente 
de uma molécula é capaz de uma força atrativa forte com a extremidade negativa de uma molécula 
adjacente, como demonstrado na Figura 2.15 para HF. Em essência, este próton solitário forma 
uma ponte entre 2 átomos negativamente carregados. A magnitude da ligação de hidrogênio é 
geralmente maior do que aquela para outros tipos de ligações secundárias e pode ser tão alta 
quanto 51 kJ/mol (0,52 eV/molécula) como mostrado na Tabela 2.3. Temperaturas de fusão e de 
ebulição para fluoreto de hidrogênio e água são anormalmente altos à luz de seus pesos moleculares 
baixos, como uma consequência da ligação de hidrogênio. 
 
Figura 2.15 - Representação esquemática de ligação de hidrogênio em fluoreto de hidrogênio (HF) 
 
 
2.8 - MOLÉCULAS 
 
Na conclusão deste capítulo, tomemos um momento para discutir o conceito de uma molécula em 
termos de materiais sólidos. Uma molécula pode ser definida como um grupo de átomos que estão 
ligados entre si por fortes ligações primárias. Dentro deste contexto, todo o conjunto das amostras 
sólidas ligadas ionicamente ou metalicamente pode ser considerado como uma molécula simples. 
Entretanto, isto não é o caso pra muitas substâncias nas quais ligações covalentes predominam; 
estas incluem moléculas elementares (F2, O2, H2, etc..), bem como uma hoste de compostos (H2O, 
CO2, HNO3, C6H6, CH4, etc.). Nos estados condensados líquido e sólido, ligações entre moléculas 
são ligações secundárias fracas. Consequentemente, materiais moleculares têm relativamente baixas 
temperaturas de fusão e de ebulção. Muitos daqueles que têm moléculas pequenas constituídas de 
uns poucos átomos são gases em temperaturas e pressões ordinárias ou ambientes. Por outro lado, 
muitos dos modernos polímeros,sendo materiais moleculares compostos por moléculas 
extremamente grandes, existem como sólidos; algumas de suas propriedades são fortemente 
dependentes da presença das ligações secund'rias de van der Waals ou de hidrogênio. 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
Este capítulo começou com uma visão global dos fundamentos de estrutura atômica, apresentando 
os modelos de Bohr e da mecânica ondulatória de elétrons em átomos. Enquanto o modelo de Boh 
supõe que os elétrons são partículas orbitando ao redor do núcleo em trajetórias discretas, na 
mecânica ondulatória nós os consideramos como de natureza ondulatória e tratamos a posição de 
elétrons em termos de uma distribuição de probabilidade. 
Estados de energia de elétrons são especificados em termos de números quânticos que 
dão origem a camadas e subcamadas eletrônicas. A configuração de elétron de um átomo 
corresponde à maneira na qual estas camadas e subcamadas são preenchidas com elétrons de 
acordo com o princípio de exclusão de Pauli. A tabela periódica dos elementos é gerada pelo 
arranjo dos vários elementos de acordo com a configuração do elétron de valência. 
Ligação atômica em sólidos podem ser consideradas em termos de forças e energias 
atrativa e repulsiva. Os 3 tipos de ligações principais (primárias) em sólidos são iônico, covalente e 
metálico.Para ligações iônicas, íons eletricamente carregados são formados pela transferência de 
elétrons de valência a partir de um tipo de átomo para um outro; forças são culômbicas. Existe um 
compartilhamento de elétrons de valência entre átomos adjacentes quando a ligação é covalente. 
Com ligação metálica, os elétrons de valência formam um "mar de elétrons"que é uniformemente 
disperso ao redor dos núcleos de íons de metal e age como que formando uma cola para eles. 
Tanto as ligações de van der Waals quanto as ligações de hidrogênio são denominadas 
secundárias, sendo fracas em comparação com as ligações primárias. Elas resultam das forças 
atrativas entre dipolos elétricos, dos quais existem 2 tipos - induzido e permanente. Para a ligação 
de hidrogênio, moléculas altamente polares se formam quando hidrogênio se liga covalentemente a 
um elemento não metálico como flúor. 
MATERIALS SCIENCE AND ENGINEERING An Introduction 
William D. Callister, Jr. - John Wiley & Sons, Inc., New York, NY, 1991. 
 
3. A ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINOS 
 
3.1 - INTRODUÇÃO 
 
O Capítulo 2 dedicou-se principalmente aos vários tipos de ligação atômica, que são determinadas 
pela estrutura eletrônica dos átomos individuais. A presente discussão é devotada ao seguinte nível 
da estrutura dos materiais, especificamente, a alguns dos arranjos que podem ser adotados pelos 
átomos no estado sólido. Dentro deste horizonte, conceitos de cristalinidade e não-cristalinidade são 
introduzidos. Para sólidos cristalinos a noção de estrutura cristalina é apresentada, especificamente 
em termos de uma célula unitária. As 3 estruturas cristalinas comuns encontradas em metais são 
discutidas em detalhe, juntamente com o esquema pelo qual direções e planos cristalográficos são 
expressos. Monocristais, materiais policristalinos e não-cristalinos são considerados. 
 
 
ESTRUTURAS CRISTALINAS 
 
3.2 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 
Materiais sólidos podem ser classificados de acordo com a regularidade com que átomos ou íons 
se arranjam entre si. Um material cristalino é um no qual átomos estão situados numa disposição 
repetitiva ou periódica ao longo de grandes distâncias atômicas; isto é, existe uma ordenação de 
grande alcance tal que na solidificação, os átomos se posicionarão entre si num modo tridimensional 
repetitivo, onde cada átomo está ligado aos seus átomos vizinhos mais próximos. Todos os metais, 
muitos materiais cerâmicos, e certos polímeros foram estruturas cristalinas sob condições normais de 
solidificação. Para aqueles que não se cristalizam, não existe esta ordenação atômica de longo 
alcance; estes materiais não-cristalinos ou amorfos são discutidos brevemente ao final desta 
capítulo. 
Algumas das propriedades dos sólidos cristalinos depende da estrutura cristalina do 
material, a maneira na qual átomos, íons ou moléculas são espacialmente arranjados. Existe um 
extremamente grande número de estruturas cristalinas diferentes todas elas tendo uma ordenação 
atômica de longo alcance; estas variam desde estruturas relativamente simples para metais, até 
estruturas excessivamente complexas, como exibidas por alguns materiais cerâmicos ou poliméricos. 
A presente discussão trata das várias estruturas cristalinas metálicas comuns. Capítulos 13 e 15 são 
devotados a estruturas cristalinas para cerâmicas e polímeros, respectivamente. 
Quando se descreve estruturas cristalinas, pensa-se em átomos (ou íons) como sendo 
esferas sólidas tendo diâmetros bem definidos. Isto é denominado modelo atômico de esfera 
rígida no qual as esferas representando os átomos vizinhos mais próximos se tocam entre si. Um 
exemplo do modelo de esfera rígida para o arranjo atômico encontrado em alguns dos metais 
elementares comuns é exposto na Figura 3.1c. Neste caso particular todos os átomos são idênticos. 
 Algumas vezes o termo rede é usado no contexto de estruturas cristalinas; neste sentido "rede" 
significa um arranjo tridimensional de pontos coincidindo com as posições dos átomos (ou centros 
deesferas). 
 
 
3.3 - CÉLULAS UNITÁRIAS 
 
A ordenação atômica em sólidos cristalinos indica que pequenos grupos de átomos foram um 
modelo repetitivo. Assim, ao descrever estruturas cristalinas, é muitas vezes conveniente subdividir a 
estrutura em pequenas entidades de repetição denominadas células unitárias. Células unitárias 
para a maioria das estruturas cristalinas são paralelepípedos ou prismas tendo 3 conjuntos de faces 
paralelas; dentro do agregado de esferas (Figura 3.1c) está traçada uma célula unitária, que neste 
caso consiste de um cubo. Uma célula unitária é escolhida para representar a simetria da estrutura 
cristalina, dentro do qual todas as posições dos átomos no cristal podem ser geradas por 
translações das distâncias integrais da célula unitária ao longo de suas arestas. Assim a célula unitária 
é a unidade estrutural básica ou o tijolo de construção da estrutura cristalina e define a estrutura 
cristalina em razão da sua geometria e das posições dos átomos dentro dela. A conveniência 
usualmente dita que os cantos em paralelepípedo coincidam com centros dos átomos de esfera 
rígida. Além disso, mais do que uma célula unitária individual pode ser escolhida para uma particular 
estrutura cristalina; entretanto, nós geralmente usamos a célula unitária tendo o mais alto nível de 
simetria geométrica. 
 
Figura 3.1 - Para a estrutura cúbica de face centrada: (a) representação de uma célula unitária de 
esfera rígida; (b) uma célula unitária de esfera reduzida; e (c) um agregado de muitos átomos (Figura 
(c) adaptada a partir de W.G.Moffatt, G.W. Pearsall, and J. Wulff, The Structure and Properties of 
Materials, Vol.I, Structure, p.51, Copyright 1964 by John Wiley & Sons, New York. Reimpresso 
por permissão de John Wiley & Sons, Inc.). 
 
 
3.4 - ESTRUTURAS CRISTALINAS METÁLICAS 
 
A ligação atômica neste grupo de material é metálica e assim não-direcional em natureza. 
Consequentemente, não existem restrições quanto ao número e posição dos átomos vizinhos mais 
próximos; isto conduz a números relativamente grandes de vizinhos mais próximos e empilhamento 
atômico denso para a maioria das estruturas cristalinas. Também para metais, usando o modelo da 
esfera rígida para a estrutura cristalina, cada esfera representa um núcleo do íon. A Tabela 3.1 
apresenta os raios atômicos para um número de metais. Três estruturas cristalinas relativamente 
simples são encontradas para muitos dos metais comuns: cúbica de face centrada, cúbica de corpo 
centrado e hexagonal compacta. 
 
TABELA 3.1 Raios Atômicos e Estruturas Cristalinas para 16 Metais. 
 
 
A Estrutura Cristalina Cúbica de Face Centrada 
 
A estrutura cristalina encontrada para muitos metais têm uma célula untaria de geometria cúbica, 
com os átomos localizados em cada um dos cantos e nos centros de todas as faces do cubo. Ela é 
apropriadamente chamada estrutura cúbica de face centrada (CFC). Alguns dos metais familiares 
 tendo esta estrutura cristalina são cobre, alumínio, prata e ouro (vide também a Tabela 3.1). A 
Figura 3.1a mostra um modelo de esfera rígida para a célula unitária CFC, enquanto que na Figura 
3.1b os centros dos átomos estão representados por pequenos círculos a fim de fornecer uma 
melhor visualização das posições dos átomos. O agregado de átomos na Figura 3.1c representa 
uma seção do cristal que consiste de muitas células unitárias CFC. Estas esferas ou núcleos de íon 
se tocam entre si ao longo de uma diagonal de face; o comprimento da aresta de cubo a e o raio 
atômico R estão relacionados através 
 
 a = 2R √2 (3.1) 
 
Este resultado é obtido como um problema exemplo. 
Para a estrutura cristalina CFC, cada átomo do canto é compartilhado por 8 células 
unitárias, enquanto que um átomo de face centrada pertence a apenas duas células unitárias. 
Portanto, um oitavo de cada um dos oito átomos de canto e metade de cada um dos 6 átomos 
faciais, ou um total de 4 átomos inteiros, podem ser atribuídos a uma dada célula unitária. Isto é 
esboçado na Figura 3.1a, onde estão representadas apenas as porções esféricas confinadas no 
interior do cubo. A célula compreende o volume do cubo, que é gerado a partir dos centros dos 
átomos dos cantos como mostrado na figura. 
As posições de vértice e de face são realmente equivalentes: isto é, translação do canto do 
cubo a partir de um átomo do vértice original para um átomo de centro de face não irá alterar a 
estrutura da célula. 
Duas outras importantes características de uma estrutura cristalina são o número de 
coordenação e o fator de empacotamento atômico (APF, em inglês). Para metais, cada átomo 
tem o mesmo número de átomos vizinhos mais próximos ou que se tocam, que é o número de 
coordenação. Para estruturas cristalinas cúbicas de face centrada, o número de coordenação é 12. 
Isto pode ser confirmado pelo exame da Figura 3.1a; o átomo da face frontal tem 4 átomos de 
vértice vizinhos mais próximo circundando-o, 4 átomos faciais que se encontram em contato com 
ele pela parte traseira, e 4 outros átomos faciais equivalentes que residem na próxima célula unitária 
à frente, que não está mostrada. 
O APF é a fração do volume de esfera sólida numa célula unitária, supondo o modelo de 
esfera rígida, ou 
 
APF = (volume de átomos numa célula unitária/volume da célula unitária) (3.2) 
 
Para a estrutura CFC, o fator de empacotamento atômico é 0,74 , que é o máximo empacotamento 
possível para esferas tendo todas o mesmo diâmetro. O cálculo deste APF está também incluído 
como um problema exemplo. Metais tipicamente têm relativamente grandes fatores de 
empacotamento afim de maximizar o escudo fornecido pela nuvem de elétrons livres. 
 
 
A Estrutura Cristalina Cúbica de Corpo Centrado 
 
Uma outra estrutura cristalina metálica comum também tem uma célula unitária cúbica com átomos 
localizados em todos os 8 vértices e um único átomo no centro do cubo. Esta é a estrutura cristalina 
Cúbica de Corpo Centrado (CCC). Uma coleção de esferas representando esta estrutura 
cristalina é mostrada na Figura 3.2c, enquanto que as Figuras 3.2a e 3.2b são diagramas de células 
unitárias CCC com os átomos representado por modelos de esfera rígida e de esfera reduzida, 
respectivamente. Átomos do centro e dos cantos se tocam entre si ao longo das diagonais do cubo 
e comprimento da célula unitária a o raio atômico R estão relacionados através de 
 
a = 4R / √3 (3.3) 
 
Cromo, ferro, tungstênio, bem como vários outros metais listados na Tabela 3.1 exibem uma 
estrutura CCC. 
Figura 3.2 - Para a estrutura cristalina cúbica de corpo centrado, (a) representação de célula unitária 
de esfera rígida; (b) uma célula unitária de esfera reduzida, e (c) um agregado de muitos átomos. 
(Figura (c) a partir de W.G.Moffatt, G.W. Pearsall, e J.Wulff, The Structure and Properties of 
Materials, Vol.I, Structure, p.51, Copyright 1964 por John Wiley & Sons, New York, 
Reimpresso por permissão de John Wiley & Sons, Inc.). 
 
Dois átomos estão associados com cada célula unitária CCC: a equivalência de um átomo 
a partir dos 8 cantos, cada um dos quais é compartilhado entre 8 células unitárias, e o único átomo 
do centro, que está integralmente contido dentro da sua célula. Em adição, as posições dos átomos 
no canto e no centro são equivalentes. O número de coordenação para a estrutura cristalina CCC é 
8; cada átomo do centro tem como vizinhos mais próximos seus 8 átomos dos cantos. De vez que o 
número de coordenação é menor do que para CFC, também o fator de empacotamento, de 0,68 , 
 será menor do que aquele para CFC, que é de 0,74. 
 
 
 
A Estrutura Cristalina Hexagonal Compacta 
 
Nem todos os metais têm células unitárias com simetria cúbica; a estrutura cristalina metálica comum 
final a ser discutida tem uma célula unitária que é hexagonal. A Figura 3.3a mostra uma célula 
unitária de esfera reduzida para esta estrutura, que é denominada hexagonal compacta (HC); uma 
montagem de várias células unitárias HC é apresentada na Figura 3.3b. As faces do topoe da base 
da célula unitária consiste de 6 átomos que formam hexágonos regulares e circundam um único 
átomo no centro. Um outro plano que fornece 3 átomos adicionais à célula unitária está situado entre 
os planos do topo e da base. Os átomos neste plano intermediário têm como átomos vizinhos mais 
próximos em ambos os 2 planos adjacentes. A equivalência de 6 átomos está contida em cada 
célula unitária; 1/6 de cada um dos 12 átomos dos cantos das faces do topo e da base, 1/2 de cada 
um dos 2 átomos da face central, e todos os 3 átomos do plano intermediário interior. Se a e c 
representarem, respectivamente, as dimensões curta e longa da célula unitária da Figura 3.3a, a 
razão c/a deveria ser 1,633; entretanto, para alguns metais HC, esta razão se desvia do valor ideal. 
 
Figura 3.3 - Para a estrutura cristalina hexagonal compacta, (a) uma célula unitária de esfera 
reduzida (a e c representam os comprimentos das arestas curta e longa, respectivamente, e (b) um 
agregado de átomos. (Figura (b) de W.G.Moffatt, G.W.Pearsall, e J.Wulff, The Structure and 
Properties of Mateials, Vol.I, Structure, p.51, Copyright 1964 por John Wiley & Sons, New 
York, Reimpresso por permissão de John Wiley & Sons, Inc.). 
 
O número de coordenação e o fator de empacotamento atômico para a estrutura cristalina 
HC são os mesmos daqueles para CFC: 12 e 0,74, respectivamente. Os metais HC incluem 
cádmio, magnésio, titânio, e zinco, alguns destes estão listado na Tabela 3.1. 
 
 
3.5 - CÁLCULOS DE DENSIDADES 
 
Um conhecimento da estrutura do cristal de um sólido metálico permite cálculo de sua densidade 
verdadeira ρ através da correlação 
 
 ρ = (nA)/(VCNA) (3.5) 
onde 
n = número de átomos associados com cada célula unitária 
A = peso atômico 
VC = volume da célula unitária 
NA = número de Avogadro (6,023 x 1023 átomos/mol) 
 
 
3.5 - POLIMORFISMO E ALOTROPIA 
 
Alguns metais, bem como não-metais, pode ter mais do que uma estrutura cristalina, um fenômeno 
conhecido como polimorfismo. Quando encontrado em sólidos elementares, a condição é as vezes 
denominada alotropia. A estrutura cristalina predominante depende tanto da temperatura quanto da 
pressão externa. Um exemplo familiar é encontrado em carbono: grafita é a polimorfa estável nas 
condições ambientes, enquanto que diamante é formado em pressões extremamente altas. Também, 
ferro puro tem uma estrutura cristalina CCC à temperatura ambiente, com mudanças para ferro 
CFC a 912oC (1674oF). Muitas vezes uma modificação da densidade e outras propriedades físicas 
acompanha a transformação polimórfica. 
 
 
3.7 - SISTEMAS CRISTALINOS 
 
De vez que existem muitas estruturas cristalinas possíveis, é às vezes conveniente dividi-las em 
grupos de acordo com as configurações da célula unitária e/ou arranjos atômicos. Um tal esquema 
baseia-se na geometria da célula unitária, isto é, a forma da apropriada célula unitária 
paralelepipetada sem levar em conta as posições atômicas na célula. Dentro deste arcabouço, um 
sistema coordenado x, y e z é estabelecido com a sua origem num dos cantos da célula unitária; 
cada um dos eixos x, y e z coincide com uma das 3 paralelepipetadas arestas que se estendem a 
partir deste canto, como ilustrado na Figura 3.4. A geometria da célula unitária é completamente 
definida em termos de 6 parâmetros: os 3 comprimentos de arestas a, b e c, e os 3 ângulos α, β e 
γ. Estes estão indicados na Figura 3.4 e são às vezes denominados parâmetros de rede de uma 
estrutura cristalina. 
 
Figura 3.4 - Uma célula unitária com os eixos coordenados x, y e z, mostrando os comprimentos 
axiais (a , b e c ) e os ângulos interaxiais (α, β e γ). 
 
 
Nesta base, têm sido encontrados cristais tendo 7 diferentes possíveis combinações de a, 
b e c e α, β e γ, cada um dos quais representa um distinto sistema cristalino. Estes 7 sistemas 
cristalinos são cúbico, tetragonal, hexagonal, ortorrômbico, romboédrico, monoclínico e triclínico. 
As correlações de parâmetro de rede e o esboço da célula unitária para cada sistema cristalino está 
 representado na Tabela 3.2. O sistema cúbico, para o qual a = b = c e α = β = γ = 90o, tem o 
mais alto grau de simetria. A simetria mínima é exibida pelo sistema triclínico, de vez que a … b … c 
 e α… β … γ. 
A partir da discussão das estruturas cristalinas metálicas, deveria ficar claro que tanto a 
estrutura cristalina CFC quanto a estrutura cristalina CCC pertencem ao sistema cristalino cúbico, 
enquanto que HC cai dentro do hexagonal. A célula unitária hexagonal realmente consiste de 3 
paralelepípedos situados como mostrado na Tabela 3.2. 
 
 
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 
 
Quando estiver lidando com materiais cristalinos, às vezes se torna necessário especificar algum 
particular plano cristalográfico de átomos ou uma direção cristalográfica. Foram estabelecidas 
convenções de nomenclatura onde 3 números inteiros ou índices são usados para designar direções 
e planos. A base para determinar valores dos índices é a célula unitária, com um sistema de 
coordenadas consistindo de 3 eixos (x, y e z) situados num dos cantos e coincidindo com as arestas 
da célula unitária, como mostrado na Figura 3.4. Para alguns sistemas cristalinos - isto é, hexagonal, 
romboédrico, monoclínico e triclínico - os 3 eixos não são mutuamente perpendiculares, como no 
familiar esquema de coordenada Cartesiana. 
 
 
3.8 - DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
 
Uma direção cristalográfica é definida como uma linha entre 2 pontos, ou um vetor. As seguintes 
etapas são utilizadas na determinação dos 3 índices direcionais: 
 
(1a.) Um vetor de comprimento conveniente é posicionado tal que ele passe através da origem do 
 sistema coordenado. Qualquer vetor pode ser transladado através da rede cristalina sem 
 alteração, se paralelismo for mantido. 
(2a.) O comprimento da projeção do vetor sobre cada um dos 3 eixos é determinado; estes 
 comprimentos são medidos em temos das dimensões da célula unitária a, b e c. 
(3a.) Estes 3 números são multiplicados ou divididos por um fator comum a fim de reduzi-los aos 
 menores valores inteiros. 
(4a.) Os 3 índices, não separados por vírgula, são contidos entre colchetes, da seguinte maneira: 
 [uvw]. Os números inteiros u, v e w correspondem às projeções reduzidas ao longo dos 
 eixos x, y e z, respectivamente. 
 
Para cada um dos 3 eixos, existirão coordenadas tanto positivas quanto negativas. Assim, 
 são também possíveis índices negativos que são representados por uma barra sobre o apropriado 
índice. Por exemplo, a direção [1_1] poderia ter uma componente na direção y. Também, mudança 
nos sinais de todos os índices produz uma direção antiparalela; isto é [_1_] é diretamente oposta a 
[1_1]. Se mais de uma direção ou plano tiver que ser especificado para uma particular estrutura, é 
imperativo, para a manutenção consistência, que uma convenção positivo-negativo, uma vez 
estabelecida, não seja mudada. 
As direções [100],[110] e [111] são direções comuns; elas estão traçadas na célula 
unitária da Figura 3.5 
 
 
Figura 3.5 - As direções [100], [110] e [111] dentro de uma célula unitária. 
 
 
Cristais Hexagonais 
 
Para cristais tendo simetria hexagonal surge um problema que consiste no fato de que algumas 
direções cristalograficamente equivalentes não terão os mesmos índices. Isto é contornado pela 
utilização de um sistema coordenado de 4 eixos, ou de Miller-Bravais, como mostrado na Figura 
3.6. Os 3 eixos a1 , a2 e a3 estão todos contidos dentro de um único plano (chamado plano basal) e 
em ângulos de 120o entre si. O eixo z é perpendicular a este plano basal. Índices direcionais, que 
são obtidos como descritos acima, serão denotados por 4 índices, na forma [uvtw]; por convenção, 
os 3 primeiros índices pertencem às projeções ao longo dos respectivos eixos a1 , a2 e a3 no plano 
basal. 
 
Figura 3.6 - Sistema de eixos coordenados para uma célula unitária hexagonal (esquema de Miller-
Bravais). 
 
 
A conversão a partir do sistema de 3 índices parao sistema de 4 índices, 
 
 [u'v'w'] 6 [uvtw] 
 
é acompanhada pelas seguintes fórmulas: 
 
u = [n(2u' - v')]/3 (3.6a) 
 
v = [n(2v'- u')]/3 (3.6b) 
 
t = - (u + v) (3.6c) 
 
w = nw' (3.6d) 
 
onde os índices com primo ( ' ) estão associados ao esquema de 3 índices, enquanto que os índices 
não-primados estão associados ao novo sistema de Miller-Bravais de 4 índices; n é um fator que 
pode ser requerido para reduzir u, v, t e w aos mínimos inteiros. Por exemplo, usando esta 
conversão a direção [010] se torna [_2_0]. Várias direções diferentes estão indicadas na célula 
unitária hexagonal (Figura 3.7a). 
 
Figura 3.7 - Para o sistema cristalino hexagonal, (a) direções [0001], [1_00] e ]02[11 e 
(b) planos (0001), (10_1) e (_010). 
 
 
3.9 - PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 
 
As orientações dos planos para uma estrutura cristalina são representadas numa maneira similar. 
De novo, a base é a célula unitária, com o sistema coordenado de 3 eixos como representado na 
Figura 3.4. Em todos os sistemas cristalinos, exceto o hexagonal, os planos cristalográficos são 
especificados por 3 índices de Miller como (hkl). Quaisquer 2 planos paralelos entre si são 
equivalentes e têm índices idênticos. O procedimento empregado na determinação dos números dos 
índices h, k e l é o seguinte: 
 
(1o.) Se o plano passar através da selecionada origem, quer um outro plano paralelo deve ser 
 construído dentro da célula unitária por uma apropriada translação, quer uma nova 
 origem deve ser estabelecida no canto de uma outra célula unitária. 
 
(2o.) Neste ponto o plano cristalográfico ou intersectará ou ficará paralelo a cada um dos 3 eixos; 
 o comprimento da interseção planar para cada eixo é determinado em termos dos 
 parâmetros da rede a, b e c. 
 
(3o.) Os recíprocos destes números são tomados. Um plano que seja paralelo a um eixo pode ser 
 considerado como um intercepto infinito, e, portanto, um índice zero. 
 
(4o.) Se necessário, estes 3 números são mudados para resultar o conjunto dos mínimos inteiros por 
multiplicação ou divisão usando um fator comum. 
 
(5o.) Finalmente, os índices inteiros, não separados por vírgulas, são colocados dentro de 
parêntesis, assim: (hkl). 
 
Um intercepto no lado negativo da origem é indicado por uma barra ou sinal de menos 
posicionado sobre o apropriado índice. Além disso, a reversão dos sentidos de todos índices 
especifica um outro plano paralelo ao primeiro, do outro lado da origem e eqüidistante da mesma. 
Vários planos de baixos índices estão representados na Figura 3.8. 
Uma característica interessante e única dos cristais cúbicos é que planos e direções tendo 
os mesmos índices são perpendiculares entre si; entretanto, para outros sistemas cristalinos não 
existes nenhuma correlação geométrica simples entre planos e direções tendo os mesmos índices. 
 
Figura 3.8 - Representações de uma série de planos cristalográficos (a) (001), (b) (110) e 
(c) (111). 
 
 
Arranjos Atômicos 
 
O arranjo atômico para um plano cristalográfico, que é às vezes interessante, depende da estrutura 
cristalina. Os planos atômicos (110) para estruturas cristalinas CFC e CCC estão representados nas 
Figuras 3.9 e 3.10; células unitárias de esfera reduzida estão também incluídas. Note-se que o 
empacotamento atômico é diferente para cada caso. Os círculos representam átomos que ficam nos 
planos cristalográficos como poderiam ser obtidos a partir de uma fatia fina tomada através dos 
centros das esferas rígidas de tamanho pleno. 
 
Figura 3.9 (a) Célula unitária CFC de esfera reduzida com o plano (110). 
(b) Empacotamento atômico num plano (110) CFC. Correspondentes posições de 
átomos a partir de (a) são indicadas. 
 
Figura 3.10(a) Célula unitária CCC de esfera reduzida com o plano (110). 
(b) Empacotamento atômico de um plano (110) CCC. Correspondentes posições a partir 
 de (a) são indicadas. 
 
 
Empacotamento atômico pode ser o mesmo para vários planos cristalográficos tendo 
diferentes índices, que dependerão da simetria da particular estrutura cristalina; tais planos 
pertencem a uma família de planos equivalentes. Uma família de planos é designada pela colocação 
entre chaves. Por exemplo, em cristais cúbicos os planos (111), (___), (_11), (1__), (11_), 
(__1), (_1_) e (1_1) todos eles pertencem à família {111}. Também, apenas no sistema cúbico, 
planos tendo os mesmos índices, independente da ordem e do sinal, são equivalentes. Por exemplo, 
tanto o plano )32(1 quanto o plano (3_2) pertencem à família {123}. 
 
 
 
 
Cristais Hexagonais 
 
Para cristais tendo a simetria hexagonal, é desejável que planos equivalentes tenham os mesmos 
índices; tal como com direções, isto é realizado pelo sistema Miller-Bravais mostrado na Figura 3.6. 
Esta convenção conduz ao esquema de 4 índices (hkil), que é favorecido em muitas instâncias, de 
vez que ele identifica mais claramente a orientação de um plano num cristal hexagonal. Existe alguma 
redundância no sentido de que i é determinado soma de h e k, através da relação 
 i = - (h + k) (3.7) 
 
Caso contrário os 3 índices h, k e l são idênticos para ambos os sistemas de indexação. A Figura 
3.7b apresenta vários planos comuns que são encontrados para cristais tendo simetria hexagonal. 
 
 
3.10 - DENSIDADES ATÔMICAS LINEAR E PLANAR 
 
As duas seções prévias discutiram a equivalência de direções e planos não-paralelos, onde a 
equivalência está relacionada ao grau de espaçamento atômico ou empacotamento atômico. 
Percebe-se que agora é o momento apropriado para introduzir os conceitos de densidades atômicas 
 linear e plana. Densidade linear corresponde à fração do comprimento de linha numa particular 
direção cristalográfica que passa através dos centros dos átomos. Similarmente, densidade planar é 
simplesmente a fração da área total do plano cristalográfico que é ocupada por átomos 
(representada como círculos); o plano deve passar através do centro de um átomo para que o 
particular átomo seja incluído. Estes conceitos, os análogos unidimensional e bidimensional do fator 
de empacotamento, estão ilustrados nos seguintes problemas exemplos. 
 
 
3.11 - ESTRUTURAS CRISTALINAS ESTREITAMENTE-COMPACTADAS 
 
Pode-se lembrar da discussão sobre estruturas cristalinas metálicas que tanto a estrutura cúbica de 
face centrada (CFC) quanto a estrutura hexagonal compacta têm fatores de empacotamento iguais a 
0,74 , que é o mais eficiente empacotamento de esferas ou átomos de igual tamanho. Em adição 
para representações de células unitárias, estas 2 estruturas cristalinas podem ser descritas em termos 
de planos de átomos densamente empilhados (isto é, planos tendo a máxima densidade de 
compactação de átomos ou esferas; uma porção de um tal plano está ilustrado na Figura 3.12a. 
Ambas as estruturas cristalinas podem ser geradas pelo empilhamento destes planos estreitamente 
empacotados no topo de um outro; a diferença entre as 2 estruturas reside na seqüência de 
empilhamento. 
 
Figura 3.12 (a) Uma porção do plano de átomos estreitamente compactado; estão indicadas as 
posições A, B e C. (b) A seqüência de empilhamento AB para planos atômicos estreitamente 
compactados. (Adaptado a partir de W.G.Moffatt,G.W. Pearsall, e J.Wulff, The Structure and 
Properties of Materials. Vol.1, Structure, p. 50, Copyright 1964 por JohnWiley & Sons,New 
York, Reimpresso por permissão de John Wiley & Sons, Inc.). 
 
Denomine-se por A os centros de todos os átomos num plano estreitamente empacotado. 
Associados a este plano estão 2 conjuntos de depressões triangulares equivalentes formadas por 3 
átomos adjacentes, dentro das quais o próximo plano de átomos estreitamente empacotados pode 
se repousar. Aquelas tendo o vértice do triângulo apontando para cima estão arbitrariamente 
designadas como posições B, ao passo que as depressões remanescentes são aquelas com os 
vértices voltados para baixo, sendo elas denominadas C na Figura 3.12a. 
Um segundo plano estreitamente empacotado pode ser posicionado com os centros de 
seusátomos sobre os sítios de B ou de C; neste ponto, ambos são equivalentes. Suponha-se que as 
posições B sejam arbitrariamente escolhidas; a seqüência de empilhamento é denominada AB, que 
está ilustrada na Figura 3.12b. A distinção real entre CFC e HC reside na posição em que o terceiro 
plano estreitamente empacotado é colocado. Para HC, os centros desta camada estão alinhados 
diretamente acima das posições A originais. A seqüência de empilhamento, ABABAB... é repetida e 
repetida. Naturalmente, o arranjo ACACAC... seria equivalente. Estes planos densamente 
compactados para HC são planos do tipo (0001), e a correspondência entre este e a 
representação da célula unitária é mostrada na Figura 3.13. 
 
Figura 3.13 Seqüência de empilhamento de plano estreitamente compactado para estrutura 
hexagonal compacta. (Adaptado a partir deW.G. Moffatt, G.W. Pearsall, and J. Wulff, The 
Structure and Properties of Materials, Vol.1, Structure, p.51, Copyright 1964 por John Wiley & 
Sons,New York, Reimpresso por permissão de John Wiley & Sons, Inc.). 
 
Para a estrutura cúbica de face centrada, os centros do terceiro plano estão situados 
sobre os sítios C do primeiro plano (Figura 3.14a). Isto fornece uma seqüência de empilhamento 
ABCABCABC...; isto é, o alinhamento atômico se repete em cada terceiro plano. 
É mais difícil correlacionar o empilhamento de planos estreitamente compactados para a célula 
unitária CFC. Entretanto, esta correlação é demonstrada na Figura 3.14b; estes planos são do tipo 
(111). A significância destes planos estreitamente compactados CFC e HC se tornará visível 
(notória) no Capítulo 7. 
 
Figura 3.14 - (a) Seqüência de empilhamento estreitamente compactado para cúbica de face 
centrada. (b) Um canto foi removido para mostrar a relação entre o empilhamento de plano de 
átomos estreitamente compactado e a estrutura cristalina CFC; o triângulo pesado delineia um plano 
(111). (Figura (b) a partir de W.G. Moffatt, G.W. Pearsall, e J.Wulff, The Structure and 
Properties of Materials, Vol.I,Structure,p.51`, Copyright 1964 por John Wiley & Sons, New 
York, Reimpresso por permissão de John Wiley & Sons, Inc.). 
 
 
 
 
MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO-CRISTALINOS 
 
 
3.12 - MONOCRISTAIS 
 
Para um material cristalino, quando o arranjo periódico e repetido de átomos for perfeito ou se 
estende através de toda a amostra sem interrupção, o resultado é um monocristal. Todas as 
células unitárias encadeiam-se da mesma maneira e têm a mesma orientação. Monocristais existe 
na natureza, mas eles podem ser também produzidos artificialmente. Eles são ordinariamente de 
difícil crescimento, porque o ambiente deve ser cuidadosamente controlado. 
Se as extremidades de um monocristal forem permitidas crescer sem nenhum 
constrangimento externo, o cristal assumirá a forma geométrica tendo faces planas, tal como em 
algumas das pedras gemas; a forma é indicativa da estrutura cristalina. Uma fotografia de vários 
monocristais está mostrada na Figura 3.15. Dentro de poucos anos passados, monocristais 
cerâmicos têm se tornado extremamente importantes em muitas das nossas modernas tecnologias, 
em particular microcircuitos eletrônicos. 
 
 
Figura 3.15 - Fotografia mostrando vários monocristais de fluorita, CaF2. (Smithsonian Institution 
photograph number 38181P). 
 
 
3.13 - MATERIAIS POLICRISTALINOS 
 
Virtualmente todos os familiares sólidos cristalinos são compostos de muitos pequenos cristais ou 
grãos; tais materiais são denominados policristalinos. Vários estágios na solidificação de uma 
amostra policristalina estão representados esquematicamente na Figura 3.16. Inicialmente, pequenos 
cristais ou núcleos formam em várias posições. Estes têm orientações cristalográficas randômicas, 
como indicadas pelas malhas quadradas. Os pequenos grãos crescem por sucessiva adição a partir 
do líquido circunvizinho de átomos para a estrutura de cada grão. As extremidades dos grãos 
adjacentes impingem uns aos outros à medida em que o processo de solidificação se aproxima do 
término. Como indicado na Figura 3.16, a orientação cristalográfica varia de grão para grão. 
Também, existe algum desarranjo (desajuste) atômico dentro da região onde 2 grãos se encontram; 
esta área, denominada um contorno de grão, é discutida em detalhe na Seção 4.5. 
 
Figura 3.16 - Diagramas esquemáticos dos vários estágios na solidificação de um material 
policristalino; as malhas quadradas esboçam células unitárias. (a) Núcleos cristalinos pequenos. (b) 
Crescimento dos cristalitos; a obstrução de alguns grãos que estão adjacentes entre si também está 
mostrada. (c) Ao término da solidificação, grãos tendo formas irregulares haviam se formado.(d) A 
estrutura do grão, como ela apareceria sob microscópio; linhas escuras estão nos contornos de 
grão. (Adaptado a partir de W. Rosenhain, An Introduction to the Studyt of Physical 
Metallurgy, 2a. Edição, Constable & Company Ltd., London, 1915). 
 
 
3.14 - ANISOTROPIA 
 
As propriedades físicas de monocristais de algumas substâncias dependem da direção cristalográfica 
na qual as medições sejam feitas. Por exemplo, o módulo elástico, a condutividade elétrica, e o 
índice de refração podem ter valores diferentes nas direções [100] e [111]. Esta direcionalidade das 
propriedades é denominada anisotropia e está associada com a variância do espaçamento atômico 
ou iônico com a direção cristalográfica. Substâncias nas quais as propriedades medidas são 
independentes da direção de medição são isotrópicas. A extensão e magnitude dos efeitos 
anisotrópicos em materiais cristalinos são funções da simetria da estrutura cristalina; o grau de 
anisotropia aumenta com o decréscimo da simetria estrutural - estruturas triclínicas normalmente são 
altamente anisotrópicas. Os valores do módulo de elasticidade nas orientações [100], [110] e [111] 
para vários materiais estão apresentados na Tabela3.3. 
 
Tabela 3.3 - Valores de Módulo de Elasticidade para Vários Metais em Várias Orientações 
 Cristalográficas. 
 
Para muitos materiais policristalinos, as orientações critalográficas dos grãos individuais 
são totalmente randômicas. Nestas circunstâncias, mesmo embora cada grão possa ser anisotrópico, 
uma amostra composta de agregados de grãos se comportam isotropicamente. Também, a 
magnitude de uma propriedade medida representa alguma média dos valores direcionais. São 
disponíveis técnicas para a produção de materiais policristalinos para os quais os grãos têm uma 
orientação preferencial. Estes são utilizados quando características anisotrópicas são desejáveis. 
 
 
3.15 - DIFRAÇÃO DE RAIOS-X; DETERMINAÇÃO DE ESTRUTURAS CRISTALINAS 
 
O leitor pode perguntar como estruturas cristalinas são estudadas, de vez que os átomos são de 
tamanhos que virtualmente impede a sua observação direta. Muito do nosso entendimento referente 
aos arranjos atômico e molecular em sólidos resultou das investigações feitas através da difração de 
raios-X. Uma breve visão superficial do fenômeno da difração de raios-X e como, usando raios-X, 
distâncias atômicas interplanares e estruturas cristalinas são deduzidas será agora dada. 
 
 
O Fenômeno da Difração 
 
Difração ocorre quando uma onda encontra uma série de obstáculos regularmente espaçados, que 
(1) são capazes de espalhara onda, e (2) têm espaçamentos que são comparáveis em magnitude ao 
comprimento de onda. Além disso, difração é uma conseqüência de correlações fásicas específicas 
que são estabelecidas entre 2 ou mais ondas que foram espalhadas pelos obstáculos. 
Considere ondas 1 e 2 na Figura 3.17a, que têm o mesmo comprimento de onda (λ) e 
estão em fase no ponto O-O'. Suponhamos agora que ambas as ondas são espalhadas numa tal 
maneira que elas trafeguem diferentes caminhos. A correlação de fase entre as ondas espalhadas, 
que dependerão da diferença no comprimento do passo, é importante. Uma possibilidade resulta 
quando esta diferença de comprimento de passo é um número inteiro de comprimentos de onda. 
Como notado na Figura3.17a, estas ondas espalhadas (agora denominadas "1" e "2") ainda estão 
em fase. Diz-se que elas reforçam-se mutuamente (ou construtivamente interferirem-se 
mutuamente); e quando amplitudes são somadas resulta a onda mostrada no lado direito da figura. 
Esta é uma manifestação de difração e nós referimos a um feixe difratado como um composto de 
um grande número de ondas espalhadas que mutuamente se reforçam. 
 
 
Figura 3.17 (a) Demonstração de como 2 ondas (denominadas 1 e 2) que têm o mesmo 
comprimento de onda λ e que remanescem em fase após o espalhamento (ondas 1' e 2') se 
intereferem de modo mutuamente construtivo. As amplitudes das ondas espalhadas se somam na 
onda resultante. (b) Demonstração de como 2 ondas (denominadas 3 e 4) que tem o mesmo 
comprimento de onda e que se tornam fora de fase após o evento de espalhamento (ondas 3' e 4') 
interferem-se mutuamente de modo destrutivo. As amplitudes das 2 ondas espalhadas se cancelam 
mutuamente. 
 
São possíveis outras correlações de fase entre ondas espalhadas que não conduzirão a 
este reforço mútuo. O outro extremo é aquele demonstrado na Figura 3.17b, onde a diferença de 
comprimento de passo após o espalhamento é algum número inteiro de meio comprimentos de 
onda. As ondas espalhadas estão fora de fase - isto é, amplitudes correspondentes se cancelam ou 
se anulam entre si, ou se interferem destrutivamente (isto é, a onda resultante tem amplitude zero), 
como indicado no lado extremamente direito da figura..Naturalmente, existem correlações de fase 
intermediárias entre estas 2 correlações extremas, resultando em reforço parcial apenas. 
 
Figura 3.18 - Difração de raios-X por planos de átomos (A-A' e B-B'). 
 
 
Difração de Raio-X e Lei de Bragg 
 
Raios-X são uma forma de radiação eletromagnética que possui altas energias e pequenos 
comprimentos de onda - comprimentos de onda da ordem de grandeza do espaçamento atômicos 
para sólidos. Quando um feixe de raios-X impingem num material sólido, uma porção deste feixe 
será espalhado em todas as direções pelos elétrons associados com cada átomo ou íon que fica no 
caminho do feixe. Examinemos agora as condições necessárias para a difração de raios-X por um 
arranjo periódico de átomos. 
Considere-se os 2 planos paralelos de átomos A-A' e B-B' na Figura 3.18, que possuem 
os mesmo índices de Miller e estão separados pelo espaçamento interplanar dhkl. Suponha-se agora 
que um feixe de raios-X de comprimento de onda λ paralelo, monocromático e coerente (em fase) 
incida sobre estes 2 planos segundo um ângulo θ. Dois raios neste feixe, denominados 1 e 2, são 
espalhados por átomos P e Q. Interferência construtiva dos raios espalhados 1' e 2' ocorre também 
num ângulo θ aos 2 planos, se a diferença do comprimento do passo entre 1-P-1' e 2-Q-2' (isto é, 
QT + SQ ) é igual a um número inteiro n, de comprimento de onda. Isto é, a condição para difração 
é 
 QT + SQ = nλ (3.8) 
ou 
 θθθλ send2 = send + send = n hklhklhkl (3.9) 
 
A Equação (3.9) é conhecida como lei de Bragg; também, n é a ordem de reflexão, que pode ser 
qualquer inteiro (1,2,3,....) consistente com senθ não excedendo a unidade. Assim temos uma 
expressão simples relacionando o comprimento de onda de raios-X e o espaçamento interatômico 
para o ângulo do feixe difratado. Se a lei de Bragg não for satisfeita, então a interferência será não 
construtiva em natureza fornecendo um feixe difratado de muito baixa intensidade. 
A magnitude da distância entre os dois planos adjacentes e paralelos de átomos (isto é, o 
espaçamento interplanar dhkl ) é uma função dos índices de Miller (h, k e l) bem como os 
parâmetros da rede. Por exemplo, as estruturas cristalinas tendo simetria cúbica, 
 
 dhkl = [ a ] / (h2 + k2 + l2) 1/2 (3.10) 
 
 
na qual a é o parâmetro da rede (comprimento da aresta da célula unitária). Correlações similares à 
Equação (3.10), mas que são mais complexas, existem para os outros 6 sistemas cristalinos notados 
na Tabela 3.2. 
 
A lei de Bragg, Equação 3.9, é uma condição necessária mas não suficiente para a 
difração por cristais reais. Ela especifica quando a difração ocorrerá para células unitárias tendo 
átomos posicionados somente no cantos das células. Entretanto, átomos situados em outros sítios 
(por exemplo, posições da face e do interior da célula unitária tal como em estruturas CFC e CCC) 
age como centros de espalhamento extras, que pode produzir espalhamento fora de fase em certos 
ângulos de Bragg. O resultado líquido é a ausência de alguns feixes difratados que, de acordo com a 
Equação (3.9), deveriam estar presentes. Por exemplo, para a estrutura cristalina CCC, h + k + l 
deve ser par para que a difração ocorra, ao passo que para CFC, h,k, e l deve ser ímpar ou par. 
 
 
Técnicas de Difração 
 
Uma técnica comum de difração emprega uma amostra em pó ou policristalina consistindo de muitas 
partículas finas e randomicamente orientadas que são expostas à radiação-X monocromática. Cada 
partícula do pó é um cristal, e a existência de um grande número deles com orientações randômicas 
assegura que algumas partículas estão apropriadamente orientadas de tal maneira que todo conjunto 
de planos cristalográficos possíveis estarão disponíveis para difração. 
O difratômetro é um aparelho usado para determinar os ângulos nos quais a difração 
ocorre para amostras em pó; suas características estão representadas esquematicamente na Figura 
3.19. A amostra S na forma de uma placa plana é suportada de maneira que rotações ao redor do 
eixo denominado O seja possível. Este eixo é perpendicular ao plano da página. O feixe de raios-X 
monocromático é gerado no ponto T e as intensidades dos feixes difratados são detectadas com um 
contador denominado C na Figura. A amostra, a fonte do raios-X, e o contador são todos co-
planares. 
 
Figura 3.19 - Diagrama esquemático de um difratômetro de raios-X, T = fonte de raio-X, S = 
amostra, C = detetor, e O = o eixo ao redor do qual a amostra e o detetor fazem a rotação. 
 
O contador é montado num carro móvel que pode também ser girado ao redor do eixo O. 
Sua posição angular em termos de 2θ é marcada numa escala graduada. O carro e a amostra estão 
mecanicamente casados de tal maneira que uma rotação da amostra através θ é acompanhada por 
uma rotação 2θ do contador; isto assegura que os ângulos de incidência e de reflexão sejam 
mantidos iguais entre si (Figura 3.19). Colimadores estão incorporados dentro do caminho do feixe 
a fim de produzir um feixe bem definido e focado. Utilização de um filtro fornece um feixe 
praticamente monocromático. 
À medida em que o contador se move numa velocidade angular constante, um registrador 
automaticamente desenha a intensidade do feixe difratado (monitorado pelo contador) como uma 
função de 2θ, onde 2θ é denominado ângulo de difração que é medido experimentalmente. A 
Figura 3.20 mostra um perfil de difração para uma amostra em pó de chumbo. Os picos de alta 
intensidade ocorrem quando a condição de difração de Bragg é satisfeita por algum conjunto dos 
planos cristalográficos. Estes picos estão indexados na Figura com os índices dos planos. 
Têm sido desenvolvidas outras técnicas de pó onde a intensidade e a posição do feixe 
difratado são registrados num filme fotográfico em vez de serem medidos pelo contador. 
Um dos principais usos da difratometria de raios-X é para a determinação da estrutura 
cristalina. O tamanho e a geometria da célula unitária podem ser resolvidos a partir das posições 
angulares dos picos de difração, enquanto que arranjo de átomos dentro da célula unitária está 
associado com as intensidades relativas destes picos. 
 
Raios-X, bem como feixes de elétrons e neutrons, são também usados em outros tipos de 
investigações de materiais. Por exemplo, orientações cristalográficas de monocristais são possíveis 
usando fotografias de Difração de raios-X (ou Laue). Na página 30 uma tal fotografia é mostrada 
para um cristal de magnésio. Cada mancha brilhante ( com a exceçãoda mancha brilhante do 
centro) resultados do feixe de raios-X que foi difratado por um específico conjunto de planos 
cristalográficos. Outros usos de raios-X incluem identificações químicas qualitativas e quantitativas, e 
a determinação da tensão residuais e tamanho cristalino. 
MATERIALS SCIENCE AND ENGINEERING An Introduction 
William D. Callister, Jr. - John Wiley & Sons, Inc., New York, NY, 1991 
 
4. IMPERFEIÇÕES EM SÓLIDOS 
 
4.1 - INTRODUÇÃO 
 
Até aqui foi tacitamente suposto que existe uma ordem perfeita através de todos os materiais 
cristalinos numa escala atômica. Entretanto, um tal idealizado sólido não existe: todos êles contém 
um grande número de vários defeitos ou imperfeições. Em verdade, muitas das propriedades de 
materiais são profundamente sensíveis a desvios a partir da perfeição cristalina; a influência não é 
sempre adversa e às vezes características específicas são deliberadamente conferidas pela 
introdução de controladas quantidades ou números de defeitos particulares, como detalhado nos 
capítulos que se seguem. 
Por "defeito cristalino" é entendida uma irregularidade de rede tendo uma ou mais de suas 
dimensões da ordem de um diâmetro atômico. Classificação de imperfeições cristalinas é 
frequentemente feita de acordo com a geometria ou dimensionalidade do defeito. Várias diferentes 
imperfeições como discutidas nesta capítulo, incluindo defeitos de ponto (aqueles associados com 
uma ou 2 posições atômicas), defeitos lineares (ou uni-dimensionais), bem como defeitos interfaciais, 
ou de contornos, que são bi-dimensionais. Impurezas em sólidos são também discutidas, de vez que 
átomos de impureza podem existir como defeitos de ponto. Finalmente, técnicas para o exame 
microscópico dos defeitos e da estrutura de materiais são brevemente descritas. 
 
 
DEFEITOS DE PONTO 
 
 
4.2 - VACÂNCIAS E AUTO-INTERSTICIAIS 
 
O mais simples dos defeitos de pontos é uma vacância ou sítio vazio da rede, isto é, está faltando 
um átomo (Figura 4.1) no sítio normalmente ocupado. Vacâncias são formadas durante a 
solidificação e também como um resultado de vibrações atômicas, que causam o deslocamento de 
átomos a partir de seus sítios normais na rede. 
 
 
Figura 4.1 - Representações bidimensionais de uma vacância e de um átomo auto-intersticial 
(Adaptado a partir de W.G.Moffatt, G.W. Pearsall, e J.Wulff, The Structure and Properties of 
Materials, Vol. I, Structure, p.77, Copyright 1964 por John Wiley & Sons,New York, 
Reimpresso por permissão de John Wiley & Sons, Inc.) 
 
 
O número de equilíbrio de vazios Nv para uma dada quantidade de material depende da 
temperatura e cresce com ela de acordo com a equação 
 
 Nv = N exp( - Qv / kT ) (4.1) 
 
Nesta expressão, N é o número total de sítios de átomos, Qv é a energia de ativação (energia de 
vibração requerida para a formação de uma vacância), T é a temperatura absoluta1, en kelvin, e k é 
a constante universal do gás ideal por molécula ou constante de Boltzmann. O valor de k é 1,38 
x 10-23 J/atom-K, ou 8,62 x 10-5 eV/atom-K, dependendo das unidades de Qv . 
___________________________________________________________________________
_ 
1Temperatura absoluta em kelvin (K) é igual a oC + 273. 
2Constante de Boltzman por mol de átomos se torna a constante R; num tal caso R = 8,31 J.mol-1K-
1 
 ou 1,987 cal.mol-1K-1. 
 
___________________________________________________________________________
_ 
Assim, o número de vacâncias cresce exponencialmente com a temperatura; isto é, à medida em que 
T na equação 4.1 aumenta, também aumenta a expressão exp - (Qv / kT). Para muitos metais, a 
fração de vacâncias Nv / N justo abaixo da temperatura de fusão é da ordem de 10-4; isto é, um 
sítio da rede em cada 10000 estará vazio. Como indicam as discussões que se seguem, um número 
de outros parâmetros de materiais têm dependência exponencial em relação à temperatura similar 
àquela da Equação 4.1. 
 
Um auto-intersticial é um átomo do cristal que é comprimido (empurrado) para dentro 
de um sítio intersticial, um pequeno espaço vazio que sob condições ordinárias não é ocupado. Este 
tipo de defeito está também representado na Figura 4.1. Em metais, um auto-intersticial introduz 
distorções relativamente grandes na rede circundangte porque o átomo é substancialmente maior do 
que a posição intersticial em que está situado. Consequentemente, a formação deste defeito não é 
altamente provável, e êle existe em concentrações muito pequenas, que são significativamente 
menores do que aquelas para vacâncias. 
 
 
PROBLEMA EXEMPLO 4.1 (Vide no texto original). 
 
 
4.3 - IMPUREZAS EM SÓLIDOS 
 
Um metal puro consistindo de apenas um único tipo de átomo não é justamente possível; átomos 
impurezas ou estranhos estarão sempre presentes e alguns existirão como defeitos de ponto 
cristalinos. De fato, mesmo com técnicas relativamente sofisticadas, é difícil refinar metais até uma 
pureza que exceda 99,9999%. Neste nível, da ordem de 1022 a 1023 átomos impurezas estarão 
presentes num metro cúbico de material. Muitos metais familiares não são altamente puros; ao 
contrário, eles são ligas, nas quais átomos impurezas foram adicionados intencionalmente para 
conferir características específicas aos materiais. Ordinariamente se usada adicionar elementos de 
liga em metais para melhorar resistência mecânica e resisência à corrosão. Por exemplo, prata de lei 
é uma liga constituída de 92,5% de Prata e 7,5% de cobre. Em ambientes normais, prata pura é 
altamente resistente à corrosão, mas é também muito macia. A constituição de liga com cobre 
melhora significativamente a resistência mecânica, sem depreciar a resistência à corrosão 
apreciavelmente. 
A adição de átomos impurezas a um metal resultará na formação de uma solução sólida 
e/ou uma nova segunda fase, dependendo dos tipos de impurezas, suas concentrações, e a 
temperatura da liga. A presente discussão é concernente à noção de uma solução sólida; tratamento 
da formação de uma nova fase é deferida ao Capítulo 9. 
Vários termos relacionados a impurezas e soluções sólidas merece menção. No que se 
refere a ligas, soluto e solvente são termos que são comumente empregados. "Solvente" representa 
o elemento ou composto que está presente na máxima quantidade; ocasionalmente, átomos 
solventes são denominados átomos hospedeiros. "Soluto"é usado para denotar um elemento ou 
composto presente numa menor concentração. 
 
 
Soluções Sólidas 
 
Uma solução sólida se forma quando, como átomos solutos são adicionados ao material hospedeiro, 
a estrutura cristalina é mantida, e nenhuma estrutura nova é formada. Talvez seja útil traçar uma 
analogia com uma solução líquida. Se dois líquidos, solúveis entre si (tal como água e álcool) são 
combinados, uma solução líquida é produzida à medida em que as moléculas se intermisturam, e sua 
composição é homogênea em toda a sua extensão. Uma solução sólida é também 
composicionalmente homogênea; os átomos impurezas são randomicamente e uniformemente 
dispersos dentrodo sólido. 
Defeitos de ponto de impurezas são encontrados em soluções sólidas, que são de 2 tipos: 
substitucionais e intersticiais.. Para soluções sólidas substitucionais, os átomos de soluto ou de 
impureza substituem os átomos hospedeiros (Figura 4.2). Existem várias características dos átomos 
do soluto e do solvente que determinam o grau até onde o primeiro se dissolve no segundo. Uma é 
o fator de tamanho atômico; apreciáveis quantidades de um soluto podem ser acomodadas neste 
tipo de solução sólida apenas quando a diferença em raios atômicos entre os 2 tipos de átomos é 
menor do que cerca de "15%. Do contrário, átomos do soluto criarão substanciais distorções de 
rede nova fase se formará. Uma outra característica é denominada fator eletroquímico; quanto mais 
eletropositivo um elemento e quanto mais eletronegativo o outro elemento, tanto maior é a 
probabilidade de que eles irão formar um composto intermediário em vez de uma solução sólida 
substitucional.Em adição, as valências relativas dos 2 tipos de átomos irá também uma influência. 
Outros fatores sendo iguais, um metal terá maior tendência a se dissolver num outro metal de maior 
valência do que num metal de menor valência. Um requisito final para solubilidade sólida completa é 
que as estruturas cristalinas para metais de ambos os tipos de átomos sejam as mesmas. 
 
 
Figura 4.2 - Representações esquemáticas bidimensionais de átomos substitucionais e de átomos de 
impureza intersticiais. (Adaptado a partir de W.G. Moffatt, G.W. Pearsall, e J.Wulff, The Structure 
and Properties of Materiails, vol. I, Structure, p.77, Copyright 1964 por John Wiley & Sons, 
New York, Reimpresso por permissão de John Wiley & Sons, Inc.). 
 
 
Um exemplo de uma solução sólida substitucional é encontrada para cobre e níquel. Estes 
2 elementos são completamente solúveis entre si em todas as proporções. Em relação às referidas 
regras que governam o grau de solubilidade, os raios atômicos do cobre e do níquel são 0,128 e 
0,125 nm (1,28 e 1,25D), respectivamente; suas eletronegatividades são 1,9 e 1,8 (Figura 2.7); e 
as valências mais comuns são +1 para o cobre (embora ele às vezes possa ser +2) e +2 para o 
níquel. Finalmente, ambos têm estrutura cristalina CFC. 
 
Para soluções sólidas intersticiais, átomos de impurezas preencherão os vazios ou 
interstícios entre os átomos hospedeiros (vide Figura 4.2). Para materiais metálicos que têm fator de 
empacotamento atômico relativamente grandes, estas posições intersticiais são relativamente 
pequenas. Consequentemente, o diâmetro atômico de uma impureza intersticial deve ser 
substancialmente menor do que aquele de átomos hospedeiros. Normalmente, a concentração 
máxima permissível de átomos de impureza intersticiais é baixa (menos do que 10%). Mesmo 
átomos impurezas muito pequenos são ordinariamente maiores doque os sítios intersticiais e como 
uma consequência eles introduzem algumas deformações de rede nos átomos adjacentes. 
Carbono forma uma solução sólida intersticial quando adicionado ao ferro; a concentração 
máxima de carbono é de cercade 2%. O raio atômico do átomo de carbono é muito menor do que 
aquele do ferro: 0,071 nm (0,71D) contra 0,124 nm (1,24D). Soluções sólidas são também 
possíveis para materiais cerâmicos, como discutido na Seção 13.4. 
 
 
Especificação de Composição 
 
É às vezes necessário exprimir a composição global de uma liga em termos de concentrações dos 
seus elementos constituintes. Os meios mais comuns de especificar concentração são porcentagem 
em peso (ou massa) e porcentagem atômica. A base para porcentagem em peso é o peso de um 
particular elemento em relação ao peso total da liga. Para uma liga que contenha apenas hipotéticos 
átomos A e B, a concentração de A em porcentagem em peso, CA, é definida como 
 
 CA = [ mA/ (mA + mB)] x 100 (4.3) 
 
onde mA e mB representam o peso (ou massa) de elementos A e B, respectivamente. A 
concentração de B seria calculada de maneira análoga. 
A base para cálculos de porcentagem atômica é o número de moles de um elemento 
em relação ao número total de moles de todos os elementos na liga. O número de moles numa 
especificada massa de um elemento hipotético D, Nm(D), pode ser calculado do seguinte modo: 
 
.............................................................Nm (D) = m'D / AD (4.4) 
 
Aqui, m'D e AD denotam a massa (em gramas) e o peso atômico, respectivamente, para o elemento 
D. 
Concentrações em termos de porcentagem atômica de elemento D numa liga contendo 
átomos D e E, é definida por: 
 
 C'D = { Nm(D)/[Nm(D) + Nm(E)]}x 100 (4.5) 
 
De maneira análoga, a porcentagem atômica do elemento E pode ser determinada. 
Cálculos de porcentagem atômica podem ser realizados com base no número de átomos 
em vez de moles, de vez que cada mol de todas as substâncias contém o mesmo número de átomos. 
 
 
IMPERFEIÇÕES MISCELÂNEAS 
 
4.4 - DISCORDÂNCIAS - DEFEITOS LINEARES 
 
Uma discordância é um defeito linear ou unidimensional ao redor de alguns átomos desalinhados. 
Um tipo de discordância é apresentado na Figura 4.3; uma porção extra de um plano de átomos, ou 
meio plano, cuja aresta termina dentro do cristal. Esta é denominada uma discordância de aresta; 
ela é um defeito linear que se centra ao redor da linha que é definida ao longo da extremidade do 
meio-plano extra de átomos. Esta é às vezes denominada linha de discordância, que, para a 
discordância de aresta na Figura 4.3, é perpendicular ao plano da página. Dentro da região ao 
redor da discordância de linha está alguma distorção localizada da rede. Os átomos acima da linha 
de discordância na Figura 4.3 estão espremidos juntos e aqueles abaixo da discordância se encontra 
puxados para um longe do outro; isto está refletido na ligeira curvatura para os planos verticais de 
átomos quando eles se fletem ao redor deste meio-plano extra. A magnitude desta distorção 
decresce com a distância a partir da linha de discordância; em posições bem distantes, a rede 
cristalina é virtualmente perfeita. Algumas vezes a discordância de linha na Figura 4.3 é representada 
pelo símbolo - , que também indica a posição da linha de discordância. Uma discordância de linha 
pode também ser formada por um meio-plano extra de átomos que é incluída na parte da base do 
cristal; sua designação é um - . 
 
 
Figura 4.3 - As posições dos átomos ao redor de uma discordância de aresta; meio-plano extra de 
átomos mostrado em perspectiva. (Adaptado a partir de A.G. Guy, Essentials of Materials Science, 
McGraw-Hill Book Company, New York, 1976,p.153). 
 
 
Existe um outro tipo de discordância, denominada uma discordância em parafuso, que 
pode ser pensada como sendo formada por uma tensão cizalhante que é aplicada para produzir a 
distorção mostrada na Figura 4.4a: a região da frente superior do cristal é deslocada de uma 
distância atômica para a direita em relação à porção da base. A distorção atômica associada a uma 
discordância em parafuso é também linear e ao longo de uma linha de discordância, linha AB na 
Figura 4.4b. A discordância em parafuso derivou seu nome a partir de um passo ou rampa em 
espiral ou helicoidal que é traçado ao redor da linha de discordância pelos planos atômicos. Às 
vezes o símbolo @ é usado para designar uma discordância em parafuso. 
 
 
Figura 4.4 (a) Uma discordância em parafuso dentro de um cristal. (b) A discordância em parafuso 
de (a) como visto de cima. A linha de discordância se estende ao longo da linha AB. Posições dos 
átomos acima do plano de escorregamento são designadas por círculos vazios, aquelas abaixo do 
plano de escorregamento por círculos cheios. (Figura (b) a partirde W.T.Read,Jr., Disllocations in 
Crystals,McGraw-Hill Book Company, New York, 1953). 
 
 
Muitas discordâncias encontradas em materiais cristalinos provavelmente não são nem 
discordâncias de aresta pura nem discordâncias em espiral puras, mas sim compostas de ambos os 
tipos discordâncias; estas são denominadas discordâncias mistas. Todos os 3 tiposde 
discordâncias estão representados esquematicamente na Figura 4.5; a distorção da rede que é 
produzida para fora das duas faces é mista, tendo variáveis graus de caráter de espiral e de aresta. 
 
 
Figura 4.5 (a) Representação esquemática de uma discordância que tem caráter de aresta, parafuso 
e misto. (b) Vista de topo, onde círculos abertos (vazios) denotam posições de átomos acima do 
plano de escorregamento. Círculos cheios, posições de átomo abaixo. No ponto A, a discordância é 
puramente em parafuso, enquanto que no ponto B, é em aresta puramente. Para regiões no meio 
onde existe curva na lina de discordância, o caráter é misto de aresta e de espiral. (Figura (b) a 
partir de W.T. Read,Jr., Dislocations in Crystals, McGraw-Hill Book Company, New York, 
1953). 
 
 
A magnitude e direção da distorção da rede associada com a discordância é expressa em 
termos de vetor de Burgers , denotado por um b. Vetores de burgers estão indicados nas Figuras4.3 e 4.4 para discordâncias de aresta e de parafuso, respectivamente. Além disso, a natureza de 
uma discordância (isto é, aresta, parafuso ou mista) é definida pelas orientações relativas da linha de 
discordância e do vetor de Burgers. Para uma discordância de aresta, eles são perpendiculares entre 
si (Figura 4.3), enquanto que para uma discordância em parafuso, ambos são paralelos (Figura 4.4); 
 eles não são nem perpendiculares nem paralelos para uma discordância mista. Também, mesmo 
embora uma discordância mude direção e natureza dentro de um cristal (por exemplo, a partir de 
aresta para mista para parafuso), o vetor de Burgers será o mesmo em todos os pontos ao longo de 
sua linha. Por exemplo, todas posições da discordância curva na Figura 4.5 terão mostrado o vetor 
de Burgers. Para materiais metálicos, o vetor de Burgers para uma discordância apontará numa 
direção cristalográfica densamente empilhada e será de magnitude igual ao espaçamento 
interatômico. 
Discordâncias podem ser observadas em materiais cristalinos usando técnicas de 
microscopia eletrônica. Na Figura 4.6, uma micrografia eletrônica de transmissão de alta 
amplificação, linhas escuras são as discordâncias. 
Virtualmente todos os materiais cristalinos contém algumas discordâncias que são 
introduzidas durante a solidificação, durante a deformação plástica, e como uma consequência de 
tensões térmicas que resultam do rápido resfriamento. Discordâncias são envolvidas em 
deformações plásticas de materiais cristalinos, a discussão das quais é deferida ao Capítulo 7. 
 
 
Figura 4.6 - Uma micrografia eletrônica de transmissão de uma liga de titânio na qual as linhas 
escuras são discordâncias, 51450 x. (Cortesia de M.R. Plichta,Michigan Technological University). 
 
 
4.5 - DEFEITOS INTERFACIAIS 
 
Defeitos interfaciais são contornos que têm 2 dimensões e normalmente separam regiões dos 
materiais que têm diferentes estruturas cristalinas e/ou orientações cristalográficas. Estas 
imperfeições incluem superfícies externas, contornos de grão, contornos de maclas, falhas de 
empilhamento e contornos de fases. 
 
Superfícies Externas 
 
Um dos contornos mais óbvios é a superfície externa, que é considerada como uma imperfeição 
visto que ela representa o contorno ao longo do qual a estrutura do cristal termina. Átomos da 
superfície não estão ligados ao número máximo de vizinhos mais próximos e estão, portanto, num 
estado de maior energia do que os átomos nas posições do interior. As ligações destes átomos da 
superfície que não estão satisfeitas dão origem a uma energia de superfície, expressa em unidades de 
energia por unidade de área (J/m2 ou erg/cm2). Para reduzir esta energia, materiais tendem a 
minimizar, se for de qualquer modo possível, a área de superfície total. Por exemplo, líquidos 
assumem uma forma tendo uma área mínima - as gotículas se tornam esféricas. Naturalmente, isto 
não é possível com sólidos, que são mecânicamente rígidos. 
 
 
 
Contornos de grão 
 
Um outro defeito interfacial, o contorno de grão, foi introduzido na Seção 3.13 como o contorno 
separando 2 pequenas grãos ou cristais tendo diferentes orientações cristalográficas em materiais 
policristalinos. Um contorno de grão é representado esquematicamente a partir de uma perspectiva 
atômica na Figura 4.7. Dentro da região de contorno, que é provavelmente justo várias distâncias 
atômicas de largura, existe uma certo desajuste atômico ao longo do qual existe uma transição a 
partir da orientação cristalina de um grão para aquela de um grão adjacente. 
 
 
Figura 4.7 - Diagrama esquemático mostrando contornos de grão de baixo e de alto-ângulo e as 
posições dos átomos adjacentes. 
 
 
Vários graus de desalinhamento cristalográfico entre grãos adjacentes são possíveis 
(Figura 4.7). Quando este desajuste de orientação é leve, da ordem de de uns poucos graus, então 
o termo contorno de grão de pequeno ângulo é usado. Estes contornos podem ser descritos em 
termos de disposição de discordâncias. Um contorno de grão simples de pequeno ângulo é 
formado quando discordâncias de aresta são alinhadas na maneira indicada na Figura 4.8. Este tipo 
é chamado um contorno de inclinação ( tilt boundary ); o ângulo de desorientação, θ, é também 
indicado na figura.Contornos de grão de torção (twist) de baixo ângulo resulta a partir de uma 
disposição de discordâncias em parafuso. Frequentemente, regiões de material separadas por 
contornos de grão de pequeno ângulo são denominadas subgrãos. 
 
 
Figura 4.8 - Demonstração de como um contorno de grão de inclinação (tilt) tendo uma 
desorientação de ângulo θ resulta do alinhamento de discordâncias de aresta. 
 
 
Nem todos os átomos estão ligados a outros átomos ao longo de um contorno de grão e, 
consequentemente, existe uma energia de contorno interfacial ou de grão similar àquela da energia 
superficial descrita acima. A magnitude desta energia é uma função do grau de desorientação, sendo 
maior para contornos de alto ângulo. Contornos de grão são quimicamente mais reativos do que os 
grãos em si como uma consequência desta energia de contorno. Além disto, átomos de impureza às 
vezes se segregam preferencialmente ao longo destes contornos por causa do seu estado de maior 
energia. A energia interfacial total é menor em materiais grãos grandes ou grosseiros do que em 
materiais de granulação fina, de vez que existe uma menor área de contorno total no primeiro. 
Grãos crescem a elevadas temperaturas a fim de reduzir a energia, um fenômeno explicado na 
Seção 7.13. 
A despeito deste desordenado arranjo de átomos e falta de ligação completa ao longodos 
contornos de grão, um material policristalino é ainda muito forte; forças coesivas dentro e através do 
contorno estão presentes. Além disso, a densidade de uma amostra policristalina é virtualmente 
idêntica daquelade um monocristal do mesmo material. 
 
 
Contornos de Macla 
 
Um contorno de macla ( twin boundary) é um tipo especial de contorno de grão através do qual 
existe uma específica simetria de rede especular; isto é, átomos de um lado do contorno estão 
localizados em posições de imagem de espelho dos átomos que estão do outro lado (Figura 4.9). A 
região de material entre estes contornos é apropriadamente denominada uma macla (twin). Maclas 
resultam de deslocamentos atômicos que são produzidos a partir de forças de cizalhamento 
mecânico aplicadas (maclas mecânicas) e também durante os tratamentos térmicos de recozimento 
em seguida à deformação (maclas de recozimento). Maclação ocorre num definido plano 
cristalográfico e numa direção específica, sendo que ambos dependem da estrutura cristalina. 
Maclas de recozimento são tipicamente encontradas em metais que têm estrutura cúbica de face 
centrada (CFC), enquanto que as maclas mecânicas são observadas em metais CCC e HC. O 
papel das maclas mecânicas no processo de deformação é discutido na Seção 7.7. Maclas de 
recozimento podem ser observadas em fotomicrografia de amostras policristalinas de latão 
mostradas na Figura 4.11c. As maclas correspondem àquelas regiões tendo lados relativamente 
retos e paralelos e um contraste visual diferente daquele de regiões de grãos sem maclas dentro das 
quais eles residem. Uma explicação para a variedade de contrastes texturais nesta fotomicrografia é 
fornecida na Seção 4.9. 
 
 
Figura 4.9 - Diagrama esquemático mostrando um contorno ou plano de macla e as posições dos 
átomos adjacentes (círculos escuros). 
 
 
 
Defeitos Interfaciais Miscelâneos 
 
Outros defeitos interfaciais são possíveis para incluir falhas de empilhamento, contornos de fases e 
paredes de domínio ferromagnético. Falhas de empilhamento são encontradas em metais CFC 
quando existe uma interrupção na sequência de empilhamento ABCABCABC... de planos 
estreitamente compactados (Seção 3.11). Contornos de Fase existem em materiais multifásicos 
(Seção 9.3) através do qual existe uma mudança repentina em características físicas e químicas. 
Para materiais ferromagnéticose ferrimagnéticos, o contorno que separa regiões tendo diferentes 
direções de magnetização é denominado uma parede de domínio, que é discutido na seção 21.7. 
Associada a cada um dos defeitos discutidos nesta seção está uma energia interfacial, cuja 
magnitude depende do tipo de contorno e também varia de material para material. Normalmente, a 
energia interfacial será a máxima para as superfícies externas e a mínima para as paredes de 
domínio. 
 
 
4.6 - DEFEITOS DE MASSA OU DE VOLUME 
 
Existem outros defeitos em todos os materiais sólidos que são muito maiores do que aqueles 
discutidos até aqui. Estes incluem poros, trincas, inclusões estranhas e outras fases. Elas são 
normalmente introduzidas durante as etapas de processamento e de fabricaçào. Alguns destes 
defeitos e seus efeitos sobre as propriedades dos materiais são discutidos em subsequentes 
capítulos. 
 
 
4.7 - VIBRAÇÕES ATÔMICAS 
 
Cada átomo num material sólido está vibrando muito rapidamente ao redor de sua posição na rede 
dentro do cristal. Num certo sentido, estas vibrações pode ser pensadas como imperfeições ou 
defeitos. Em qualquer instante de tempo nem todos os átomos vibram com a mesma frequência e 
amplitude, nem com a mesma energia. Numa dada temperatura existirá uma distribuição de energias 
para os átomos constituintes ao redor de uma energia média. Ao longo do tempo, a energia 
vibracional de qualquer específico átomo variará também de uma maneira randômica. Com a 
elevação da temperatura, esta energia média aumenta e, de fato, a temperatura de um sólido é 
realmente justo uma medida da atividade vibracional média de átomos e moléculas. À temperatura 
ambiente, uma frequência vibracional característica é da ordem de 1013 vibrações por segundo, 
enquanto que a amplitude é alguns milhares de um nanômetro. 
Muitas propriedades e processos em sólidos são manifestações deste movimento atômico 
 vibracional. Por exemplo, fusão ocorre quando as vibrações são suficientemente vigorosas para 
romper grande número de ligações atômicas. Uma discussão mais detalhadas de vibrações atômicas 
e as suas influências sobre as propriedades dos materiais é apresentada no Capítulo 20 . 
 
 
EXAME MICROSCÓPICO 
 
 
4.8 - GERAL 
 
Ocasionalmente é necessário ou desejável examinar os elementos estruturais e defeitos que 
influenciam as propriedades dos materiais. A capacidade para executar tais exames é importante: 
primeiro, para assegurar que associações entre as propriedades e estrutura (e defeitos) estão bem 
entendidas e, segundo , para prever as propriedades de materiais uma vez estas correlações tenham 
sido estabelecidas. Várias das técnicas que são comumente usadas em tais investigações são a 
seguir discutidas. 
Alguns elementos estruturais são de dimensões macroscópicas, isto é, são grandes 
suficientes para serem observadas a olho nu. Por exemplo, aforma e o tamanho ou diâmetro médio 
dos grãos para uma amostra policristalina são elementos estruturais importantes. Grãos 
macroscópicos são às vezes evidentes em postes de iluminação de rua e também em latas de lixo. 
Grãos relativamente grandes tendo diferentes texturas são claramente visíveis na superfície da seção 
de um lingote de chumbo mostrada na Figura 4.10. Entretanto, em muitos materiais os grãos 
constituintes são de dimensões microscópicas, tendo diâmetros que podem ser da ordem de 
micrômetros3 e seus detalhes devem ser investigados usando algum tipo de microscópio. Tamanhos 
e formas de grão são apenas 2 características que são denominadas microestrutura; estas e outras 
características microestruturais são discutidas em capítulos subsequentes. 
 
___________________________________________________________________________
_ 
3 
Um micrômetro (µm), frequentemente chamado micron, é 10-6m. 
 
___________________________________________________________________________
_ 
 
 
Figura 4.10 - Lingote de chumbo de alta pureza no qual os grãos individuais podem ser discernidos 
(distinguidos). 0,7x. (Reproduzido com permissão a partir de Metals Handbook, Vol.9, 9a. Edição, 
Metallography and Microstructures, American Society for Metals, Metals Park, OH, 1985. 
 
 
 
4.9 - MICROSCOPIA 
 
Os microscópios tanto ótico quanto eletrônico são comumente usados em microscopia. Estes 
instrumentos ajudam em investigações das características estruturais de todos os 3 tipos de materiais 
(metais, cerâmicas e polímeros). Muitas outras técnicas empregam equipamento fotográfico em 
conjunção com o microscópio; a fotografia na qual a imagem é registrada é chamada 
fotomicrografia. 
Microscopia Ótica 
 
Com microscopia ótica, o microscópio de luz é usado para estudar a microestrutura; sistemas ótico 
e de iluminação são seus elementos básicos. Para materiais que são opacos à luz visível (todos os 
metais de muitas cerâmicas e polímeros), apenas a superfície é submetida à observação e o 
microscópio de luz deve ser usado num modo refletivo. Contrastes na imagem produzem resultados 
decorrentes de diferenças na refletividade das várias regiões da microestrutura. Investigações deste 
tipo são muitas vezes denominadas metalográficas, de vez que metais foram os primeiros materiais 
examinados usando esta técnica. 
Normalmente, cuidadosas e meticulosas preprações de superfície são necessárias para 
revelar os importantes detalhes da microestrutura. A superfície da amostra deve ser primeiro lixada e 
polida até um acabamento liso e especular. Isto é realizado pelo uso de sucessivamente mais finas 
lixas de papel e de pós abrasivos (de alumina ou diamante). A microestrutura é revelada por um 
tratamento de superfície usando um apropriados reagente químico num procedimento chamado 
ataque. A reatividade química dos grãos de alguns materiais monofásicos depende da orientação 
cristalográfica. Consequentemente, numa amostra policristalina, características de ataque variam de 
grão a grão. Figura 4.11b mostra como normalmente luz incidente é refletida pelos 3 grãos atacados 
da superfície, cada um tendo uma diferente orientação cristalográfica. A Figura 4.11b esboça a 
estrutura da superfície tal como ela apareceria quando vista com o microscópio; o brilho ou a textura 
de cada grão depende das suas propriedades de reflectância. Uma microfotografia de uma amostra 
policristalina exibindo estas características é mostrada na Figura 4.11c. 
 
 
Figura 4.11 - (a) Grãos polidos e atacados tal como eles poderiam aparecer quando vistos com um 
microscópio ótico. (b) Seção tomada através destes grãos mostrando como as características de 
ataque e resultante textura da superfície varia de grão a grão por causa das diferenças em orientação 
cristalográfica. (c) Fotomicrografia de uma amostra de latão policristalino. 60x. (Fotomicrografia 
cortesia de J.E.Burke,General Electric Co.). 
 
 
Também, pequenos sulcos se formam nos contornos de grão como uma consequência do 
ataque. De vez que átomos que estão ao longo de regiões de contorno de grão são quimicamente 
mais ativos, eles se dissolvem numa taxa maior doque aqueles que estão no interior dos grãos. Estes 
sulcos se tornam distinguíveis quando vistos através de um microscópio porque eles refletem luz num 
ângulo diferente daquele dos grãos em si; este efeito é exibido na figura 4.12a. A Figura 4.12b é um 
fotomicrografia de uma amostra policristalina na qual os sulcos de contorno de grão são claramente 
visíveis como linhas escuras. 
Quando a microestrutura de uma liga bifásica deve ser examinada, é escolhido um 
reagente de ataque capaz de produzir uma textura diferente para cada fase de maneira que fases 
diferentes possam ser distinguidas umas das outras. 
 
 
Figura 4.12 - (a) Seção de um contorno de grão e do sulco da sua superfície produzido por ataque; 
as características de reflexão da luz na vizinhança do sulfo são mostradas. (b) Fotomicrografia de 
uma superfície polida e atacada de uma amostra policristalina de uma liga de ferro-cromo na qual os 
contornos de grão aparecem escuros. 100x. (Fotomicrografia cortesia de L.C. Smith eC. Brady, 
National Bureau of Standards, Washington,DC.). 
 
 
Microscopia Eletrônica 
 
O limite superior de ampliação possível com um microscópio ótico é aproximadamente de 2000 
diâmetros. Consequentemente, alguns elementos estruturais são demasiado finos ou pequenos para 
permitir observação usando microscopia ótica. Sob tais circunstâncias o microscópio eletrônico, que 
é capaz de ampliações muito maiores, pode ser empregado. 
Uma imagem da estrutura sob investigação é formada usando feixes de elétrons em vez de 
uma radiação de luz. De acordo com a mecânica quântica, um elétron com velocidade da luz se 
tornará ondulatório, tendo um comprimento de onda que é inversamente proporcional à sua 
velocidade. Quando acelerado através de grandes voltagens, elétrons tornam-se capazes de terem 
comprimentos de onda da ordem de 0,003 nm (3 pm). Altas ampliações e poderes de resolução 
destes microscópios são consequências de pequenos comprimentos de onda dos feixes de elétrons; 
de fato, características atômicas podem ser resolvidas. O feixe de elétron é focado e a imagem é 
formada com lentes magnéticas; por outro lado a geometria dos componentes do microscópio é 
essencialmente a mesma dos sistemas óticos. Modos de operação tanto de transmissão quanto de 
reflexão são possíveis para microscópios eletrônicos. 
 
 
Microscopia Eletrônica de Tranmissão. A imagem vista com um microscópio 
eletrônico de transmissão (MET ou TEM, em inglês) é formada por um feixe de elétrons que 
passa através da amostra. Detalhes das características microestruturais internas são acessíveis para 
observação; contrastes na imagem são produzidos por diferenças no espalhamento ou difração do 
feixe produzido entre os vários elementos da microestrutura ou do defeito. De vez que materiais 
sólidos são altamente absorvedos para os feixes eletrônicos, uma amostra para ser examinada deve 
ser preparada na forma de uma lâmina muito fina; isto assegura transmissão através da amostra de 
uma fração do feixe incidente. O feixe transmitido é projetado sobre uma tela fluorescente ou um 
filme fotográfico de maneira que a imagem possa ser vista. Ampliações de aproximadamente 
1000000x são possíveis com microscopia eletrônica de transmissão,que é frequentemente utilizada 
no estudo de discordâncias. 
 
 
Microscopia Eletrônica de Transmissão. Uma inovação mais recente, tendo provado 
ser uma extremamente útil ferramenta de investigação (pesquisa), é o microscópio eletrônico de 
varredura (MEV ou SEM, em inglês). A superfície de uma amostra a ser examinada é varrida 
com um feixe de elétron e o feixe de elétron refletido (ou retro-espalhado) é coletado e depois 
exibido na mesma taxa de varredura sobre um tubo de raio catódico (similar a uma tela de TV). A 
imagem que aparece na tela, e que pode ser fotografada, representa as características superficiais 
da amostra. A superfície pode ou não pode ser polida e atacada, mas deve ser eletricamente 
condutiva; um muito fino revestimento metálico deve ser aplicado a materiais não condutivos. 
Ampliações variando de 10 a mais do que 50000 diâmetros são possíveis, do mesmo modo que são 
possíveis grandes profundidades de campo. Equipamento acessório permite análise qualitativa e 
semiquantitativa da composição elementar de muito localizadas áreas de superfície. 
Exame microscópico é uma ferramenta extremamente útil no estudo e caracterizaçãode 
materiais. Isto se tornará evidente nos subsequentes capítulos que correlacionam a microestrutura 
com as várias características e propriedades. Exame de microestrutura é também útil para 
determinar o modo da fratura mecânica, para prever as propriedades mecânicas de ligas, para 
mostrar se uma liga foi corretamente tratada termicamente e também para projetar ligas com novas 
combinações de propriedades. 
 
 
4.10 - DETERMINAÇÃO DE TAMANHO DE GRÃO 
 
O tamanho de grào é às vezes determinado quando as propriedades de um material policristalino 
estiver sendo considerado. Neste sentido, existe um número de técnicas pelas quais tamanho é 
especificado em termos de volume médio de grão, diâmetro médio de grão ou área média de grão. 
Tamanho de grão pode ser estimado pelo uso de um método do intercepto, descrito a seguir. Linhas 
retas todas de mesmo comprimento são traçadas através de várias fotomicrografias que mostram a 
estrutura do grão. Os grãos intersectados por cada segmento de linha são contados; o comprimento 
de linha é então dividido pelo número médio de grãos intersectados, tomados sobre todos os 
sementos de linha. O diâmetro médio de grão é encontrado pela divisào deste resultado pela 
ampliação linear das fotomicrografias. 
Provavelmente o método mais comum utilizado é, entretanto, aquele descoberto pela 
American Society for Testing and Materials (ASTM).A ASTM preparou 10 cartas (gráficos) 
padrões de comparação, todas tendo diferentes tamanhos de grão médios. Para cada carta 
(gráfico) é atribuída um número compreendido entre 1 e 10, que é denominado número de 
tamanho de grão; quanto maior este número tanto menores os grãos. Uma amostra deve ser 
apropriadamente preparada para revelar a estrutura de grão, que é fotografada numa ampliação de 
100x. Tamanho de grão é expresso em termos do número de tamanho de grão da carta que mais 
de perto se ajusta (se identifica) aos grãos na micrografia. Assim uma determinação visual 
relativamente simples e conveniente de número de tamnho de grão é possível. Número de tamanho 
de grào é usado extensivamente na especificação de aços. 
A justificativa racional por detrás da alocação (atribuição) do número de tamanho de grão 
 a estas várias cartas é a seguinte. Seja n representando o número de tamanho de grão, e N o 
número médio de grãos por polegada quadrada numa ampliação de 100x. Estes 2 parâmetros estão 
relacionados um ao outro através da expressão 
 
 N = 2n-1 (4.6) 
 
MATERIALS SCIENCE AND ENGINEERING - An Introduction 
William D. Callister,Jr., John Wiley & Sons, 1991, New York,N.Y.. 
 
5. DIFUSÃO 
 
 
5.1 - INTRODUÇÃO 
 
Muitas reações e processos que são importantes no tratamento de materiais baseiam-se na 
transferência de massa quer dentro de um sólido específico (ordinariamente num nível microscópico) 
quer a partir de um líquido, um gás ou uma outra fase sólida. Isto é necessariamente realizado por 
difusão, o fenômeno do transporte de material por movimento atômico. Este capítulo discute os 
mecanismos atômicos pelos quais ocorre a difusão, a matemática da difusão e a influênciada 
temperatura e das espécies difusoras sobre a taxa de difusão. 
O fenômeno da difusão pode ser demonstrado com o uso de um par de difusão, que é 
formado pela união de 2 barras de 2 metais diferentes juntas de maneira que exista contato íntimo 
entre as 2 faces, como ilustrado para cobre e níquel na Figura 5.1, que inclui representações 
esquemáticas de posições de átomos e composição através da interface. Este par é aquecido 
durante um período de tempo extenso numa temperatura elevada (mas abaixo da temperatura de 
fusão de ambos os metais) e resfriada até a temperatura ambiente. Análise química revelará uma 
condição similar àquela representada na Figura 5.2, isto é, cobre puro e níquel puro nas 2 
extremidades do par, separados por uma região ligada. As concentrações de ambos os metais 
variam com a posição como mostrado na Figura 5.2c. Este resultado indica que átomos de cobre 
se migraram ou se difundiram para dentro do níquel e que o níquel se difundiu para dentro do cobre. 
Este processo, pelo qual átomos de um metal se difundem para dentro de um outro, é denominado 
interdifusão ou difusão de impureza. 
 
 
Figura 5.1 - (a) Par de difusão cobre-níquel antes de um tratamento térmico de alta temperatura 
(b)Representações esquemáticas de localizações de átomos de Cu (círculos coloridos) e de Ni 
(círculos pretos) dentro do par de difusão. (c) Concentrações de cobre e de níquel como uma 
função da posição através do par. 
 
 
Figura 5.2 - (a) O par de difusão cobre-níquelapós tratamento térmico a alta temperatura, 
mostrando a zona de difusão ligada. (b) Representações esquemáticas de localizações de átomos de 
Cu (círculos coloridos) e de Ni (círculo pretos) dentro do par. (c) Concentrações de cobre e de 
níquel como uma função de posição através do par. 
 
 
Interdifusão pode ser discernida (distinguida) a partir de uma perspectiva macroscópica por 
mudanças em concentração que ocorre ao longo do tempo, como no exemplo do par de difusão 
Cu-Ni. Existe um arraste ou transporte líquido de átomos a partir de regiões de alta concentração 
para regiões de baixa concentração. 
Difusão ocorre também para metais puros, mas todos os átomos que trocam posições são do 
mesmo tipo; isto é denominado auto-difusão. Naturalmente, auto-difusão normalmente não está 
sujeita à observação através da verificação de mudanças composicionais. 
 
 
5.2 - MECANISMOS DE DIFUSÃO 
 
De uma perspectiva atômica, difusão é justo a migração em etapas de átomos de um sítio de rede 
para outro sítio da rede. De fato, os átomos em materiais sólidos se encontram em movimento 
constante, rapidamente mudando de posições. Para que um átomo se mova, duas condições devem 
ser satisfeitas: (1) deve existir um sítio adjacente vazio, e (2) o átomo deve ter suficiente energia para 
quebrar as ligações com seus átomos vizinhos e assim causar uma distorção da rede durante o 
deslocamento. Esta energia é vibracional em natureza (Seção 4.7). Numa temperatura específica 
alguma pequena fração do número total de átomos são capazes de realizar o movimento difusivo, 
em virtude das magnitudes das energias de vibração. Esta fração aumenta com o aumento da 
temperatura. 
Vários modelos diferentes para o movimento atômico têm sido propostos; destas 
possibilidades, existem duas dominantes para a difusão metálica. 
 
 
Difusão Através Vacâncias 
 
Um mecanismo envolve a intertroca de um átomo a partir de uma posição normal da rede para um 
adjacente sítio de rede vazio ou vacância, como esquematicamente representado na Figura 5.3a. 
Este mecanismo é apropriadamente denominado difusão através vacância. Naturalmente, este 
processo necessita a presença de vacâncias e a extensão na qual a difusão através de vacância 
pode ocorrer é uma função do número destes defeitos presentes; concentrações significativas de 
vacâncias podem existir em metais a elevadas temperaturas (Seção 4.2). De vez que átomos em 
difusão e vacâncias trocam posições entre si, a difusão de átomos num sentido corresponde ao 
movimento de vacâncias no sentido oposto. Tanto a auto-difusão quanto a interdifusão ocorre por 
este mecanismo; para a última, os átomos impurezas devem substituir os átomos hospedeiros. 
 
 
Figura 5.3 Representações esquemáticas de (a) difusão através de vacâncias e (b) difusão 
intersticial. 
 
 
 
Difusão Intersticial 
 
O segundo tipo de difusão envolve átomos que se migram de uma posição intersticial para uma 
outra vizinha que esteja vazia. Este mecanismo é encontrado para interdifusão de impurezas tais 
como hidrogênio, carbono, nitrogênio e oxigênio, que têm átomos que são pequenos suficientes para 
se ajustar às posições intersticiais. O átomos hospedeiros ou de impureza substitucional raramente 
formam intersticiais e normalmente não se difundem através deste mecanismo. Este fenômeno é 
apropriadamente denominado difusão intersticial (Figura 5.3b). 
Em muitas ligas metálicas, difusão intersticial ocorre muito mais rapidamente do que difusão 
através de vacâncias, de vez que átomos intersticiais são menores do que os átomos da rede e, 
assim, mais móveis. Além disto, exitem mais posições intersticiais vazias do que vacâncias; portanto, 
a probabilidade de movimento atômico intersticial é maior do que a difusão através vacância. 
 
 
 
5.3 - DIFUSÃO EM ESTADO PERMANENTE 
Difusão é um processo que depende do tempo, isto é, num sentido microscópico, a quantidade de 
um elemento que é transportado dentro de um outro é uma função do tempo. Às vezes é necessário 
conhecer o quanto rapidamente a difusão ocorre, ou a taxa de transferênciade massa. Esta taxa é 
frequentemente expressa como um fluxo de difusão (J), definido como a massa (ou, 
equivalentemente, o número de átomos) M que se difundem perpendicularmente por unidade de 
área através de uma seção reta do sólido por unidade de tempo. Em forma matemática, isto pode 
ser expresso como 
 J = ( M / At) (5.1a) 
 
onde A denota a área através da qual a difusão está ocorrendo e t é o tempo no qual a difusão 
ocorre. Em forma diferencial, esta expressão se torna 
 
 J = dM / A dt (5.1b) 
 
As unidades de J são quilogramas ou átomos metro quadrado por segundo (kg/ m2s ou 
átomos/m2s). 
Se o fluxo de difusão não varia com o tempo, então existe uma condição de estado 
estacionário. Um exemplo comum de difusão em estado estacionário é a difusão de átomos de 
um gás através de uma placa de metal para a qual as concentrações (ou pressões) das espécies que 
se difundem em ambas as superfícies da placa são mantidas constantes. Isto está representado 
esquematicamente na Figura 5.4a. 
 
Figura 5.4 (a) Difusão em estado estacionário através de uma fina placa. (b) Um perfil linear de 
concentração para a situação de difusão em (a). 
 
Quando a concentração C é graficada contra a posição x (ou distância ) dentro do sólido, a 
curva resultante é denominada perfil de concentação; a inclinação num ponto particular nesta curva 
é o gradiente de concentração: 
 
 gradiente de concentração = dC/dx (5.2a) 
 
No presente tratamento, o perfil de concentração é suposto linear, como esboçado na Figura 5.4b 
e 
 gradiente de concentração = ∆C / ∆x = (CA - CB) / (xA - xB) (5.2b) 
 
Para problemas de difusão, é usualmente muito conveniente exprimir concentração em termos de 
massa de espécies difusoras por unidade de volume do sólido (kg/m3 ou g/cm3). 
A matemática da difusão em estado estacionário numa única direção (x) é relativamente 
simples, visto que o fluxo é proporcional ao gradiente de concentração através da expressão 
 
 J = - D (dC/dx) (5.3) 
 
A constante de proporcionalidade D é denominada coeficiente de difusão, que é expresso em 
metros quadrados por segundo. O sinal negativo nesta expressão indica que o sentido de difusão é 
gradiente de concentração abaixo, a partir de uma alta concentração para uma baixa concentração. 
A Equação 5.3 é às vezes denominada primeira lei de Fick. 
Algumas vezes o termo força motriz é usado no contexto do que compele (obriga) uma 
reação a ocorrer. Para reação de difusão, várias de tais forças são possíveis; mas quando a difusão 
se fizer de acordo com a Equação 5.3, o gradiente de concentração é a força motriz. 
Um exemplo prático de difusão em estado estacionário é encontrado na purificação do gás 
hidrogênio. Um lado de uma folha de metal paládio é exposto ao gás impuro composto de 
hidrogênio e outras espécies gasosas tais como nitrogênio, oxigênio, e vapor dágua. O hidrogênio se 
difunde seletivamente através da chapa de paládio para o outro lado, que é mantido a uma pressão 
de hidrogênio constante e inferior à do primeiro lado. 
 
PROBLEMA EXEMPLO 5.1 
 
 
5.4 - DIFUSÃO EM ESTADO NÃO-ESTACIONÁRIO 
 
 
Figura 5.5 - Perfis de concentração para difusão em regime não estacionário tomado em 3 
diferentes tempos, t1, t2 e t3. 
 
 
Muitas situações práticas de difusão são de difusão em estado não-estacionário. Isto é, o fluxo de 
difusão e o gradiente de concentração nalgum ponto particular num sólido varia com o tempo, 
resultando um acúmulo líquido ou uma uma decréscimo líquido (esgotamento) das espécies 
difusoras. Isto é ilustrado na Figura 5.5, que mostra perfis de concentração em 3 diferentes tempos 
de difusão. Sob condições de estado não estacionário, o uso da Equação 5.3 não é mais 
conveniente; equação diferencial parcial para estado não estacionário 
 
 MC / Mt = M{D(MC/Mx)} / Mx (5.4a) 
 
conhecida como a segunda lei de Fick, é usada. Se o coeficiente de difusão for independente da 
composição (que deveriaser verificada para cada particular situação de difusão), Equação 5.4.a se 
simplifica para 
..........................................................MC Mt = D (M2C / Mx2) (5.4b) 
 
Soluções para esta expressão ( concentração em termos tanto de posição quanto de tempo) são 
possíveis quando condições de contorno fisicamente significativas forem especificadas. Coleções 
compreensivas destas são fornecidas por Crank e por Carslaw & Jaegar (vide Referências). 
Uma solução praticamente importante é aquela para um sólido semi-infinito1 no qual a 
concentração superficial é mantida constante. Frequentemente, a fonte da espécie difusora é uma 
fase gasosa, cuja pressão parcial é mantida num valor constante. Além disto, as seguintes 
suposições são feitas: 
 
(1a) Antes da difusão, quaisquer átomos do soluto difusor no sólido são uniformemente distribuídos 
com concentração de Co. 
(2a.) O valor de x na superfície é zero e aumenta com a distância para dentro do sólido. 
(3a.) O tempo é tomado como igual a zero no instante antes que o processo de difusão comece. 
___________________________________________________________________________
_ 
1 Uma barra de sólido é considerada como uma barra infinita quando nenhum dos átomos em 
difusão atinge a extremidade da barra durante o tempo no qual a difusão ocorre.Uma barra de 
comprimento l é considerada como sendo semi-infinita quando l > 10 Dt. 
___________________________________________________________________________ 
Estas condições de contorno são simplesmente estabelecidas do seguinte modo: 
 
 Para t = 0, C = Co em 0# x # 4 
 Para t>0, C = Cs ( a concentração superficial constante) em x = 0. 
 C = Co em x = 4 
Aplicação destas condições de contorno à Equação 5.4b fornece a solução 
 
 (Cx - Co)/(Cs - Co) = 1 - erf {x / [2 (Dt)1/2]} (5.5) 
 
onde Cs representa a concentração numa profundidade x após o tempo t. A expressão erf {x / 
[2 (Dt)1/2]} é a função erro de Gauss2, cujos valores são fornecidos em tabelas matemáticas para 
vários valores de {x/[2(Dt)1/2]}; uma listagem parcial é fornecida na Tabela 5.1. Os parâmetros de 
concentração que aparecem na Equação 5.5 são vistos na Figura 5.6, um perfil de concentração 
tomado num tempo específico. Equação 5.5 assim demonstra a correlação entre concentração, 
posição e tempo, isto é, que Cx, sendo uma função do parâmetro adimensional {x/(Dt)1/2}, pode ser 
determinado em qualquer tempo e posição se os parâmetros C0, Cs e D forem conhecidos 
 
 
Tabela 5.1 - Tabulação de Valores da Função Erro 
 
 
Figura 5.6 - Perfil de concentração para difusão em estado não-estacionário; parâmetro de 
concentração relacionam-se à Equação 5.5. 
 
 
___________________________________________________________________________
_ 
2 Esta função erro de Gauss é definida por 
 
 erf(z) = [2/(π)1/2]I0z exp(-y2)dy 
 
onde {x/ [2(Dt)1/2]} foi substituído pela variável z. 
___________________________________________________________________________
_ 
 
 
Suponha que seja desejado encontrar alguma concentração específicade de soluto, C1 , numa 
 liga; o lado esquerdo da Equação 5.5 agora torna-se 
 
 (C1 - C0) /(Cs - C0) = constante 
 
Se este for o caso, o lado direito desta mesma expressão ( na Eq.5.5) é também constante e, 
subsequentemente, 
 {x/[2(Dt)1/2]} = constante (5.6a) 
 
ou 
 [x2 / Dt] = constante (5.6b) 
 
Alguns cálculos de difusão são assim facilitados com base nesta correlação, como 
demonstrado no Problema Exemplo 5.3. 
PROBLEMA EXEMPLO 5.2 
 
PROBLEMA EXEMPLO 5.3 
 
 
5.5 - FATORES QUE INFLUENCIAM A DIFUSÃO 
 
Espécies Difusoras 
 
A magnitude do coeficiente de difusão D é indicativo da taxa na qual átomos de hidrogênio se 
difundem. A Tabela 5.2 lista coeficiente de difusão, tanto de auto-difusão quanto de interdifusão, 
para vários sistemas metálicos. A espécie difusora bem como o material hospedeiro influenciam o 
coeficiente de difusão. Por exemplo, existe uma significativa diferença na magnitude entre 
autodifusão do ferro e difusão de carbono no ferro α a 500oC, o valor D sendo maior para a 
autodifusão do carbono ( 1,1 x 10-20 versus 2,3 x 10-12 m2/s). Esta comparação também fornece um 
contraste entre taxas de difusão via vacância e difusão intersticial como discutido acima. 
Autodifusão ocorre por um mecanismo de vacância, enquanto que a difusão de carbono no ferro é 
intersticial. 
 
 
Temperatura 
 
Temperatura tem uma mais profunda influência sobre os coeficientes de difusão e sobre as taxas de 
difusão. Por exemplo, para a autodifusão de Fe em Ferro-α, o coeficiente de difusão cresce 
aproximadamente 5 ordens de grandeza (de 1,1 x 10-20 para 3,9 x 10-15 m2/s) ao se elevar a 
temperatura de 500 para 900oC (Tabela 5.2). A dependeência dos coeficientes de difusão em 
relação à temperatura está relacionada à temperatura de acordo com a equação 
 
 D = Do exp [-Qd / RT] (5.8) 
 
onde 
 
Do = um pré-exponencial independente da temperatura (m2/s) 
Qd = energia de ativação para difusão (J/mol, cal/mol, ou eV/átomo) 
R = constante do gás, 8,31 J.mol-1K-1, 1,987 cal.mol-1K-1, ou 8,62 x 10-5 eV/átomo 
T = temperatura absoluta (K) 
 
A energia de ativação pode ser pensada como a energia requerida para produzir o movimento 
difusivo de 1 mol de átomos. Uma grande energia de ativação resulta num relativamente pequeno 
coeficiente de difusão. A Tabela 5.2 pode também conter uma lista de valores de Do e Qd para 
vários sistemas de difusão. 
Tomando-se o logarítmo natural da Equação 5.8 resulta 
 
 ln D = ln Do - [Qd / R] (1/T) (5.9) 
 
De vez que Do , Qd e R são todas constantes, esta expressão toma a forma de uma equação de uma 
linha reta: 
 
 y = b + mx 
 
onde y e x são análogas, respectivamente, às variáveis ln D e 1/T. Assim, se ln D for graficado 
contra o recíproco da temperatura absoluta, deveria resultar uma linha reta, tendo como inclinação e 
intercepto de -Qd/R e ln Do , respectivamente. Esta é, de fato, a maneira na qual os valores de Qd 
 e Do são determinados experimentalmente. A partir de um tal gráfico para vários sistemas de ligas 
(Figura 5.7), pode-se notar que existe correlação linear em todos os casos mostrados. 
 
 
Tabela 5.2 - Uma Tabulação de Dados de Difusão 
 
 
Figura 5.7 - Gráfico do logarítmo do coeficiente de difusão versus o recíproco da temperatura 
absoluta para vários metais. [Dados tomados a partir de C.J. Smithells e E.A. Brandes (Editores), 
Metals Reference Book, 5a. Edição, Butterworths, Londres, 1976]. 
 
PROBLEMA EXEMPLO 5.4 
 
 
5.6 - OUTROS PASSOS DE DIFUSÃO 
 
Migração atômica pode também ocorrer ao longo de discordâncias, contornos de grão e superfícies 
externas. Estes são às vezes chamados passos de difusão de "curto-circuitos " na medida em que 
as taxas são muito maiores do que aquelas para difusão pelo interior da rede cristalina. Entretanto, 
em muitas situações as contribuições de curto-circuito para o fluxo global de difusão são 
insignificantes porque as áreas de seção reta destes caminhos são extremamente pequenos. 
 
 
5.7 - PROCESSAMENTO DE MATERIAIS E DIFUSÃO 
 
Algumas propriedades de materiais estão sujeitas a alteração e melhoria como um resultado de 
processos e transformações que envolvem difusão atômica. Para que estas transformações ocorram 
dentro de razoáveis períodos de tempo (usualmente da ordem de horas), elas são ordinariamente 
realizadas em altas temperaturas nas quais as taxas de difusão são comparativamente rápidas. Estes 
procedimentos de alta temperatura, muitas vezes denominados tratamentos térmicos, são 
utilizados pelo menos 1 vez durante a produção de quase todos materiais comuns metálicos, 
cerâmicos e poliméricos. Por exemplo, a resistência de alguns aços repousa-se em apropriados 
tratamentos térmicos (Capítulo 11), o mesmo acontecendo com a integridade mecânicade muitas 
cerâmicas (Seção 14.9). 
MATERIALS SCIENCE AND ENGINEERING An Introduction 
William D. Callister, Jr. , John Wiley & Sons, 1991. 
 
6. PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS METAIS 
 
6.1 - INTRODUÇÃOMuitos materiais, quando em serviço, são submetidos a forças ou cargas; exemplos incluem a liga de 
alumínio a partir da qual uma asa de avião é construída e o aço do eixo da roda de um automóvel. 
Em tais situações é necessário conhecer as características do material e projetar o elemento 
estrutural a partir do qual ele é feito de tal maneira que qualquer resultante deformação não será 
excessiva e fratura não ocorrerá. O comportamento mecânico do material reflete a correlação entre 
sua resposta ou deformação a uma carga ou força aplicada. Importantes propriedades mecânicas 
são resistência mecânica, dureza, dutilidade e rigidez. 
As propriedades mecânicas de materiais são apuradas (deteminadas) pela execução de 
cuidadosamente projetados experimentos de laboratório que replicam tanto quanto possível as 
condições de trabalho. Fatores a serem considerados incluem a natureza da carga aplicada e a sua 
duração, bem como as condições ambientais. É possível para a carga que ela seja de tração, 
compressão, ou cizalhamento, e sua magnitude pode ser constante com o tempo, ou ela pode flutuar 
continuamente. O tempo de aplicação pode ser apenas uma fração de segundo ou ele pode 
estender-se por um período de muitos anos. A temperatura de serviço pode ser um importante 
fator. 
O papel dos engenheiros estruturais é determinar tensões e distribuições de tensões entre 
componentes estruturais que são submetidos a bem definidas cargas. Isto pode ser executado por 
técnicas de testes experimentais e/ou por análises de tensões teóricas e matemáticas. Estes tópicos 
são tratados em textos tradicionais de análise de tensão e de resistência de materiais. 
Engenheiros de materiais e metalúrgicos, por outro lado, estão concernes à produção e 
fabricação de materiais para satisfazer requisitos de serviço como previstos por estas análises de 
tensões. Isto necessariamente envolve um entendimento das correlações entre a microestrutura (isto 
é, características internas) de materiais e suas propriedades mecânicas. 
Materiais são frequentemente escolhidos para aplicações estruturais porque eles possuem 
combinações desejáveis de características mecânicas. A presente discussão está confinada 
principalmente ao comportamento mecânico de metais; polímeros e cerâmicas estão tratados 
separadamente porque eles são, num grande grau, mecanicamente dissimilares aos metais. Este 
capítulo discute o comportamento tensão-deformação de metais e as principais propriedades 
mecânicas relacionadas a ele e examina outras características mecânicas que são importantes. 
Tratamentos relacionados aos aspectos microscópicos do mecanismo de deformação e métodos 
para fortalecer e regular o comportamento mecânico de metais são deferidos para capítulos 
posteriores. 
 
 
6.2 - CONCEITOS DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO 
 
Se uma carga é estática ou varia de maneira relativamente lenta com o tempo e está aplicada 
uniformemente sobre uma seção reta ou superfície de um elemento estrutural, o comportamento 
mecânico pode ser determinado por um teste simples de tensão-deformação; este teste é muito 
comumente conduzido para metais à temperatura ambiente. Existem 3 principais meios nos quais 
uma carga pode ser aplicada, isto é: tensão, compressão e cizalhamento (Figura 6.1a, b e c). Na 
prática de engenharia muitas cargas são de torsão em vez de cizalhamento puro; este tipo de 
carregamento é ilustrado na Figura 6.1d. 
 
 
Figura 6.1 (a) Ilustração esquemática de como uma carga de tensão produz uma elongação e 
deformação linear positiva. Linhas pontilhadas representam a forma antes da deformação; linhas 
cheias, após a deformação. (b) Ilustração esquemática de como uma carga de compressão produz 
contração e uma deformação linear negativa. (c) Reprsentação esquemática da deformação 
cizalhante γ, onde γ = tg θ. (d) Representação esquemática da deformação de torsão (isto é, ângulo 
de torsão φ) produzido por um torque aplicado T. 
 
 
Testes de Tração 
 
Um dos testes mecânicos mais comuns de tensão-deformação é realização em tração. Como será 
visto, o teste de tração pode ser usado para determinar várias propriedades mecânicas de materiais 
que são importante em projeto. Uma amostra é deformada, usualmente até à fratura,com carga de 
tração que é aplicada uniaxialmente ao longo do eixo de uma amostra. Uma amostra padrão de 
tração é mostrada na Figura 6.2. Normalmente, a seção reta é circular, mas amostras retangulares 
são também usadas. Durante o teste, a deformação é confinada a uma estreita região central, que 
tem uma seção reta uniforme ao longo do seu comprimento. O diâmetro padrão é aproximadamente 
0,5 polegadas (12,8 mm), enquanto que o comprimento da seçãoa reduzida deveria ser pelo menos 
 4 vezes este diâmetro; 2,25 polegadas (60 mm) é comum. A Base deMedida ou o comprimento de 
calibre ("gauge length") é usado em cálculos de dutilidade, como discutido na Seção 6.6; o valor 
padrão é 2,0 polegadas (50mm). A amostra é montada por suas extremidades que são colocadas 
dentro das garras do aparelho de teste (Figura 6.3). A máquina de teste de tração é projetada para 
elongar a amostra numa taxa constante e para medir continuamente e simultaneamente a carga 
aplicada instantânea (com uma célula de carga) e as resultantes elongações (usando um 
extensômetro). Um teste de tensão-deformação tipicamente toma vários minutos para executar e é 
destrutivo; isto é, a amostra de teste é permanentemente deformada e usualmente fraturada. 
 
Figura 6.2 - Uma amostra padrão de tração com seção reta circular. 
 
 
Figura 6.3 - Representação esquemática do aparelho usado para conduzir testes de tensão-
deformação. A amostra é elongada pelo travessão ("crosshead") em movimento; célula de carga e 
extensômetro medem, respectivamente, a magnitude da carga aplicada e a elongação. (Adaptado a 
partir de H.W. Hayden, W.G. Moffatt e J.Wulff, The Structure and Properties of Materials 
, Vol. III, Mechanical Behavior, p.2, Copyright 1965 por John Wiley & Sons, New York. 
Reimpresso por permissão de John Wiley & Sons, Inc.). 
 
 
O resultado de uma tal teste de tração é recordado numa carta de formulário contínuo como 
carga ou força versus elongação. Estas características carga-deformação são dependentes do 
tamanho da amostra. Por exemplo, requerir-se-á 2 vezes a carga para produzir a mesma elongação 
se a área da seção reta da amostra for dobrada. Para minimizar estes fatores geométricos, carga e 
elongação são normalizadas para os respectivos parâmetros de tensão de engenharia e 
deformação de engenharia. Tensão de engenharia σ é definida pela correlação 
 
 σ = F / Ao (6.1) 
 
onde F é a carga instantânea aplicada perpendicularmente à seção reta da amostra, em unidade de 
libra-força (lbf) ou newtons (N) e Ao é área da seção reta original antes que qualquer carga seja 
aplicada ( in2 ou m2). As unidades de tensão de engenharia (referidas subsequentemente justo como 
tensão) são libra-força por polegada quadrada, psi (Costumeiro nos Estados Unidos da América) 
ou megapascals, MPa (SI); 1 MPa = 106N/m2. 1 
Deformação de engenharia ε é definida de acordo com a relação 
 
 ε = [(li - lo) / lo] = ∆l / lo (6.2) 
 
na qual lo é o comprimento original antes que qualquer carga seja aplicada e li é o comprimento 
instantâneo. Às vezes a quantidade li - lo é denotada como ∆l e é a elongação de deformação ou 
mudança em comprimento em algum instante, como referenciado ao comprimento original. 
Deformação de engenharia (subsequentemente chamada, tão somente, deformação) é adimensional, 
mas polegada por polegada ou metros por metro são às vezes usadas; o valor de deformação é 
obviamente independente do sistema de unidades. Às vezes deformação é também expressa como 
uma porcentagem, na qual o valor de deformação é multiplicado por 100. 
 
___________________________________________________________________________ 
1 Conversão a partir de um sistema de tensão para o outro é feito pela correlação 
 145 psi = 1 MPa 
___________________________________________________________________________Testes de Compressão 
 
Testes de tensão de compressão-deformação podem ser conduzidos se as forças em serviço forem 
deste tipo. Um teste de compressão é conduzido numa maneira similar àquela de um teste de tração, 
exceto que a força é compressiva e a amostra se contrai ao longo da direção da tensão. Equações 
6.1 e 6.2 são usadas para calcular tensão e deformação, respectivamente. Por convenção, uma 
força compressiva é tomada como negativa, o que fornece uma tensão negativa. Além disso, de vez 
que lo é maior do que li, deformações compressivas calculadas a partir da Equação 6.2 são 
necessariamente também negativas. Testes de tração são comuns porque eles são mais fáceis de 
executar; também, para muitos materiais usados em aplicações estruturais, muito pouca informação 
adicional é obtida a partir de testes de compressão de vez que um material se comporta da mesma 
maneira em cada teste. Testes compressivos são usados quando um comportamento de material sob 
grandes e permanentes deformações (por exemplo, plástico) é desejado, como em aplicações de 
fabricação. 
 
 
Testes de Cizalhamento e Torsão 
 
Para testes realizados usando uma força cizalhante pura como mostrado na Figura 6.1c, a tensão 
cizalhante τ é calculada de acordo com a relação 
 
 τ = F / Ao (6.3) 
 
onde F é a carga ou força imposta paralelamente às faces superior e inferior, cada uma das quais 
tem uma área de Ao. A deformação cizalhante γ é definida como a tangente do ângulo de 
deformação θ, como indicado na figura. As unidades para tensão de cizalhamento e deformação de 
cizalhamento são as mesmas daquelas das suas contrapartes de tração. 
Torção é uma variação do cizalhamento puro, onde um componente estrutural é torcido numa 
maneira igual àquela da figura 6.1d; forças de torção produz um movimento rotacional ao redor do 
eixo longitudinal de uma extremidade do elemento estrutural em relação à outra extremidade. 
Exemplos de torção são encontrados para eixos de rodas de máquinas e árvores de direção e 
também para brocas helicoidais. Testes de torção são normalmente realizados sobre árvores 
cilíndricas sólidas (maciças) ou sobre tubos cilíndricos. Uma tensão cizalhante τ é uma função do 
torque aplicado T, enquanto que a deformação cizalhante γ está relacionada ao ângulo de torção, φ 
na Figura 6.1d. 
 
 
DEFORMAÇÃO ELÁSTICA 
 
6.3 - COMPORTAMENTO TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
 
O grau até onde uma estrutura se deforma ou se escoa depende da magnitude de uma tensão 
imposta. Para muitos metais que são tensionados em tração e em relativamente baixos níveis, tensão 
e deformação são proporcionais entre si através da correlação 
 
 σ = E ε (6.4) 
 
Esta é conhecida como a lei de Hooke e a constante de aproporcionalidade E (psi ou MPa) é o 
módulo de elasticidade ou módulo de Young. Para muitos metais típicos a magnitude deste 
módulo varia entre 6,5 x 106 psi (4,5 x 104 MPa), para o magnésio, e 59 x 106 psi (40,7 x 104 
MPa), para o tungstênio. Valores de módulo de elasticidade para vários metais à temperatura 
ambiente são apresentados na Tabela 6.1. 
 
 
Tabela 6.1 - Módulos Elásticos e de Cizalhamento à Temperatura Ambiente e Razão de Poisson 
para Várias Ligas Metálicas. 
 
 
Deformação na qual tensão e deformação são proporcionais é chamada deformação 
elástica; um gráfico de tensão (ordenada) versus deformação (abcissa) resulta numa correlação 
linear, como mostrado na Figura 6.4. A inclinação deste segmento linear corresponde ao módulo de 
elasticidade E. Este módulo pode ser pensado como a rigidez ou uma resistência do material à 
deformação elástica. Quanto maior o módulo, tanto mais rígido é o material, ou menor é a 
deformação elástica que resulta da aplicação de uma dada tensão. O módulo é um importante 
parâmetro de projeto usado para calcular flexões elásticas. 
Deformação elástica é não-permanente, o que significa que quando a carga aplicada for 
aliviada, a peça se retorna à sua forma original. Como mostrado no gráfico de tensão-deformação 
(Figura 6.4), aplicação da carga corresponde a mover-se a partir da origem para cima e ao longo da 
linha reta. Ao se aliviar a carga, a linha é atravessada no sentido oposto, de volta à origem. 
 
 
Figura 6.4 - Diagrama Esquemático tensão-deformação mostrando deformação elástica linear para 
ciclos de carregamento e descarregamento. 
 
Existem alguns materiais (por exemplo, ferro fundido cinzento e concreto) para os quais esta 
porção inicial elástica da curva de tensão-deformação não é linear (Figura 6.5); portanto, não é 
possível determinar um módulo de elasticidade como descrito acima. Para este comportamento não-
linear, tanto o módulo tangente quanto o módulo secante é normalmente usado. Módulo tangente 
é tomado como a inclinação da curva de tensão-deformação nalgum especificado nível de tensão, 
enquanto que o módulo secante representa a inclinação de uma secante traçada a partir da origem 
até algum dado ponto da curva σ-ε. A determinação destes módulos é ilustrada na Figura 6.5. 
 
 
Figura 6.5 - Diagrama esquemático tensão-deformação mostrando comportamento elástico não-
linear e como módulos secante e tangente são determinados. 
 
 
Numa escala atômica, deformação elástica macroscópica é manifestada como pequenas 
mudanças no espaçamento interatômico e o esticamento de ligações interatômicas. Como uma 
consequência, a magnitude do módulo de elasticidade é uma medida da resistência para a separação 
de átomos adjacentes, isto é, forças de ligação interatômica. Além disto, este módulo é proporcional 
à inclinação da curva força interatômica-separação (Figura 2.8a) no espaçamento de equilíbrio: 
 
 E α (dF / dr)ro (6.5) 
 
A Figura 6.6 mostra curvas da força-separação para mateiais tendo ligações interatômicas tanto 
fortes quanto quanto fracas; a inclinação em ro é indicada para cada. 
 
 
Figurta 6.6 - Força versus separação interatômica para átomos fracamente ligados e fortemente 
ligados. A magnitude do módulo de elasticidade é proporcional à inclinação de cada curva na 
separação interatômica de equilíbrio ro. 
 
 
Valores do módulo de elasticidade para materiais cerâmicos são caracteristicamente maiores 
do que aqueles para metais; para polímeros, eles são menores. Estas diferenças são uma 
consequência direta dos diferentes tipos de ligação atômica nos 3 tipos de materiais. Além disso, 
com o aumento da temperatura, o módulo de elasticidade decresce, tal como é mostrado na Figura 
6.7 para vários metais. 
 
 
Figura 6.7 - Gráfico de módulo de elasticidade versus temperatura para tungstênio, aço e alumínio. 
(Adaptado a partir de K.M.Ralls, T.H. Courtney e J.Wulff, Introduction to Materials Science and 
Engineering, Copyright 1976 por John Wiley & Sons, New York. Reimpresso por permissão de 
John Wiley & Sons, Inc.) 
 
 
Como poderia ser esperado, a imposição de tensões compressiva, cizalhante ou de torção 
também evocam comportamento elástico. As características de tensão-deformação em baixos níveis 
de tensão são virtualmente as mesmas para as situações tanto de tração quanto de compressão, 
para incluir o módulo de elasticidade. Tensão cizalhante e deformação cizalhante são porporcionais 
entre si através da expressão 
 
 τ = Gγ (6.6) 
 
 
onde G é o módulo cizalhante, a inclinação da região elástica linear da curva de tensão cizalhante-
deformação. Tabela 6.1 dá os módulos cizalhantes para um número de metais comuns. 
 
 
 
6.4 - ANELASTICIDADE 
 
Até este ponto, foi suposto que deformação elástica é dependente do tempo, isto é, que uma tensào 
aplicada produz uma deformação elástica instantânea que remanesce constante ao longo do período 
de tempo em que a tensão é mantida. Foi também suposto que ao se aliviar a carga a deformação é 
totalmente recuperada, isto é, que a deformação imediatamente retorna a zero. Em muitos materiais 
de engenharia, existirá também uma componente de deformação elástica dependente do tempo. Isto 
é, a deformação elástica continuará após a aplicação da tensão e após o alívio algum tempo é 
requeridopara recuperação completa. Este comportamento elástico dependente da temperatura é 
conhecido como anelasticidade e é devida a processos microscópicos e atomísticos dependentes 
do tempo que estão acompanhando a deformação. Para metais a componente anelástica é 
normalmente pequena e às vezes desprezada. Entretanto, para alguns materiais poliméricos sua 
magnitude é significativa; neste caso ela é denominada comportamento viscoelástico, que é tópico 
de discussão da Seção 16.6. 
 
PROBLEMA EXEMPLO 6.1 
 
 
6.5 - PROPRIEDADES ELÁSTICAS DOS MATERIAIS 
 
Quando uma tensão de tração é imposta sobre uma amostra metálica, uma elongação elástica e 
uma acompanhante deformação εz resulta na direção da tensão aplicada (arbitrariamente tomada 
como sendo a direção z), como indicado na Figura 6.8. Como um resultado desta elongação, 
haverão constricções (apertos) nas direções laterais (x e y) perpendiculares à tensão aplicada; a 
partir destas contrações, a deformação compressiva εx e εy podem ser determinadas. Se a tensão 
aplicada for uniaxial (apenas na direção z), então εx = εy . Um parâmetro denominado razão de 
Poisson ν é definido como a razão entre as deformações lateral e axial, ou 
 
 ν = - εx / εz = - εy / εz (6.7) 
 
 
Figura 6.8 - Elongação axial (z) (deformação positiva) e lateral (x e y) contrações (deformações 
negativas) em resposta a uma imposta tensão de tração. As linhas cheias representam dimensões 
após a aplicação da tensão; linhas tracejadas, antes. 
 
 
 
O sinal negativo é incluído na expressão de maneira que ν será sempre positivo, de vez que εx e εz 
serão sempre de sinal positivo. Teoricamente, a razão de Poisson para materiais isotrópicos 
deveríam ser 0,25; além disso, o valor máximo para ν (ou aquele valor para o qual não existe 
nenhuma mudança líquida de volume) é 0,50. Para muitos metais e outras ligas, valores de razão de 
Poisson variam entre 0,25 e 0,35. Tabela 6.1 mostra valores de ν para vários materiais metálicos 
comuns. 
Módulos cizalhante e elástico estão relacionados entre si e à razão de Poisson de acordo com 
a equação 
 
 E = 2G ( 1 + ν ) (6.8) 
 
Em muitos metais G é cerca de 0,4E; assim, se o valor de um módulo for conhecido, o outro pode 
ser aproximado. 
Muitos materiais são elasticamente anisotrópicos; isto é, o comportamento elástico (por 
exemplo, a magnitude de E) varia com a direção cristalográfica (vide Tabela 3.3). Para estes 
materiais as propriedades elásticas são completamente caracterizadas apenas pela especificação de 
várias constantes elásticas, seu número dependendo das características da estrutura cristalina. 
Mesmo para materiais isotrópicos, para caracterização completa das propriedades elásticas, pelo 
menos 2 constantes devem ser fornecidas. De vez que a orientação de grão é aleatória em muitos 
materiais policristalinos, estes devem ser considerados isotrópicos; vidros cerâmicos inorgânicos são 
também isotrópicos. A remanescente discussão do comportamento mecânico assume isotropia e 
policristalinidade porque tal é o caráter de muitos materiais de engenharia. 
 
PROBLEMA EXEMPLO 6.2 
 
 
Para muitos materiais metálicos, deformação elástica persiste apenas para deformações de cerca de 
0,005. À medida em que o material é deformado além deste ponto, a tensão não é mais 
proporcional à deformação (lei de Hooke, Equação 6.4, deixa de ser válida) e ocorre deformação 
permanente, não-recuperável, ou deformação plástica. A Figura 6.9a grafica esquematicamente o 
 comportamento tensão de tração-deformação para dentro da região plástica para um metal típico. 
A transição a partir de elástico para plástico é uma transição gradual para muitos metais; alguma 
curvatura resultano ponto de início de deformação plástica, que cresce mais rapidamente com a 
elevação da tensão. 
 
 
Figura 6.9 (a) Comportamento típico tensão-deformação para um metal mostrando deformações 
elástica e plástica, o limite proporcional P e o limite de elasticidade convencional σy , como 
determinado usando o método de desvio com deformação 0,002. (b) Comportamento 
representativo tensão-deformação encontrado para alguns aços demonstrando o fenômeno do limite 
superior do escoamento. 
 
De um ponto de vista atômico, deformação plástica corresponde ao rompimento das ligações 
com os vizinhos originais do átomo e a seguir reformar as ligaçòes com novos vizinhos uma vez que 
grande número de átomos ou moléculas movem-se uma em relação a uma outra; após a remoção da 
tensão eles não se retornam mais às suas posições originais. O mecanismo desta deformação é 
diferente para materiais cristalinos e materiais amorfos. Para sólidos cristalinos, deformação é 
realizada por meio de um processo chamado escorregamento ("slip") que envolve o movimento de 
discordâcias como discutido na Seção 7.2. Deformação plástica em sólidos não-cristalinos (bem 
como líquidos) ocorre por um mecanismo de escoamento viscoso, que é delineado na Seção 13.8. 
 
 
6.6 PROPRIEDADES DE TRAÇÃO 
 
Escoamento e Limite Convencional de Escoamento 
 
Muitas estruturas são projetadas para assegurar que apenas deformação elástica resultará quando 
uma tensão for aplicada. É, portanto, desejável conhecer o nível de tensão no qual deformação 
plástica começa, ou onde ocorre o fenômeno do escoamento ("yielding"). Para metais que 
experimentam esta gradual transição, o ponto de escoamento pode ser determinado como o desvio 
inicial a partir da linearidade da curva tensão-deformação; isto é às vezes denominado limite 
proporcional, como indicado pelo ponto P na Figura 6.9a. Em tais casos a posição deste ponto 
pode não ser determinado precisamente. Como uma consequência, uma convencãofoi estabelecida 
onde uma linha reta é constrúida paralelamente à porção elástica dacurvade tensão-deformaçào num 
especificado desvio de deformação, usualmente 0,002. A tensão correspondente à interseção desta 
linha e a curva tensão-deformação quando ela se curva na região plástica é definida como o limite 
convencional de escoamento σy.2 Isto é demonstrado na Figura 6.9a. 
Para aqueles materiais tendo uma região elástica não linear (Figura 6.5), o uso do método do 
desvio de deformação não é possível e a prática usual é definir o limite de escoamento como a 
tensão requerida para produzir alguma quantidade de deformação (por exemplo, ε = 0,005). 
________________________________________________________________________ 
2 Resistência é usada em lugar de tensão porque resistência é uma propriedade do metal, enquanto 
que tensão está relacionada à magnitude da carga aplicada. 
________________________________________________________________________ 
Alguns aços e outros materiais exibem o comportamento de tensão de tração-deformação 
como mostrado na Figura 6.9b. A transição elástica-plástica é muito bem definida e ocorre 
abruptamente no que é denominado um fenômeno de ponto de escoamento. No ponto superior de 
escoamento, deformação plástica é iniciada com um real decréscimo na tensão. Deformação 
continuada flutua levemente ao redor de um valor constante de tensão, denominado o ponto inferior 
de escoamento; tensão subsequentemente sobe com crescente deformação. Para metais que exibem 
este efeito, o limite convencional de escoamento é tomado como a tensão média que está associada 
 com o ponto inferior de escoamento, de vez que êle é bem definido e relativamente insensívelao 
procedimento de teste.3 Assim não é necessário empregar o método do desvio de deformação para 
estes materiais. 
A magnitude do limite convencional de escoamento para um metal é justo uma medida de sua 
resistência à deformação plástica. Limites de escoamento podem variar desde 5000 psi (35 MPa) 
para uma liga de alumínio de baixa resistência até mais de 200000 psi (1400 MPa) para aços de alta 
resistência. 
 
________________________________________________________________________ 
3 Dever-se-ía assinalar que para observar o fenômeno do ponto de escoamento, um "rigido" 
aparelho de teste por tração deve ser usado; por rígido é significadoque existe uma muito pequena 
deformação elástica da máquina durante o carregamento. 
________________________________________________________________________ 
 
 
Limite de Resistência à Tração 
 
Após o escoamento, a tensão necessária para continuar a deformação plástica cresce até um 
máximo, ponto M na Figura 6.10 e a seguir decresce até a fratura eventual, ponto F. O limite de 
resistência à tração TS (psi ou MPa) é a tensão no máximo na curva de tensão-deformação de 
engenharia (Figura 6.10). Isto corresponde à tensão máxima que pode ser suportada por uma 
estrutura em tração; se esta tensão é aplicada e mantida, a fratura acontecerá. Toda deformação até 
este ponto é uniforme através de toda a região mais estreita da amostra de tração. Entretanto, nesta 
tensão máxima, uma pequena constricção ou pescoço começa a se formar em algum ponto e toda 
subsequente deformação é confinada neste pescoço, como indicado pelas amostras esquemáticas 
inseridas na Figura 6.10. Este fenômeno é denominado estricção ("necking") e a fratura finalmente 
ocorre no pescoço. A resistência à fratura ou resistência à ruptura correspondeà tensão na fratura. 
Os limites de resistência à tração podem variar em qualquer lugar desde 7000 psi (50 MPa) 
para um alumínio até um valor tão alto quanto 450000 psi (3000 MPa) para aços de alta resistência 
mecânica. Ordinariamente, quando a resistência mecânica de um metal é citada para propósitos de 
projeto, o limite convencional de elasticidade ("yield strength") é usado. Isto é devido ao fato de que 
no tempo em que uma tensão correspondente ao limite de resistência à tração tenha sido aplicada, 
às vezes a estrutura terá experimentado tão grande deformação plástica que ela é inútil. Além disto, 
resistências à fratura não são normalmente especificadas para propósitos de projeto de engenharia. 
 
PROBLEMA EXEMPLO 6.3 
 
 
 
Dutilidade 
 
Dutilidade é uma outra importante propriedade mecânica. Ela é uma medida do grau de 
deformação plástica que foi sustentada na fratura. Um material que experimenta muito pouca ou 
nenhuma deformação plástica antes da fratura é denominado frágil ("brittle"). Os comportamentos 
de tensão de tração-deformação para materiais tanto dúteis quanto frágeis são esquematicamente 
ilustrados na figura 6.12. 
 
Figura 6.12 - Representações esquemáticas de comportamento tensão de tração-deformação para 
materiais frágil e dútil carregados até à fratura. 
 
A dutilidade pode ser expressa quantitativamente tanto como porcentagem de elongação 
quanto como porcentagem de redução de área. A porcentagem de elongação, %EL, é a 
porcentagem de deformação plástica na fratura, ou 
 
 %EL = [(lf - lo) / lo] x 100 (6.10) 
 
onde lf é o comprimento de fratura4 e lo é o comprimento original de cálibre (ou base de medida) 
como acima discriminado. Porquanto uma porção significativa da deformação plástica na fratura está 
confinada à região do pescoço, a magnitude de %EL dependerá da Base de Medida. Quanto 
menor lo tanto maior a fração da elongação total a partir do pescoço e , consequentemente, tanto 
maior o valor de %EL. Portanto, lo deveria ser especificado quando os valores de porcentagem de 
elongação forem citados; a Base de Medida é comumente igual a 2 polegadas (50mm). 
Porcentagem de Redução de Área %RA é definida como 
 
 %RA = [(Ao - Af)/Ao] x 100 (6.11) 
 
onde Ao é a área da seção reta original e Af é a área da seçãoreta no ponto de fratura4. Valores de 
porcentagem de redução de área são independentes tanto de lo quanto de Ao. Além disto, para um 
dado material as magnitudes de %EL e %RA serão, em geral, diferentes. Muitos metais possuem 
pelo menos um moderado grau de dutilidade à temperatura ambiente; entretanto, alguns se tornam 
frágeis à medida em que a temperatura é abaixada (Seção 8.6). 
 
__________________________________________________________________________ 
4Tanto lf quanto Af são medidos depois da fratura e após as duas extremidades quebradas terem 
sido reposicionadas de novo juntas. 
_________________________________________________________________________ 
 
 
Um conhecimento da dutilidade dos materiais é importante por pelo menos 2 razões. 
Primeiro, ela indica a um projetista o grau até onde uma estrutura se deformará plásticamente antes 
da fratura. Segundo, ela especifica o grau de deformação permissível durante operações de 
fabricação. Nós algumas vezes nos referimos a materiais relativamente dúteis como sendo 
"generosos"("forgiving") no sentido de que eles podem experimentar deformação local sem fratura 
caso exista um erro em magnitude no cálculo de tensão do projeto. 
Materiais frágeis são aproximadamente considerados como aqueles que possuem uma 
deformação de fratura de menos de cerca de 5%. 
Assim várias importantes propriedades mecânicas de metais podem ser determinadas a partir 
de testes de tensão de tração-deformação. A Tabela 6.2 apresenta alguns valores típicos à 
temperatura ambiente de limite convencional de elasticidade, limite de resistência à tração e 
dutilidade para vários metais comuns, que foram tratados termicamente a fim de conferir-lhes 
resistência mecânica relativamente baixa. Estas propriedades são sensíveis a qualquer deformação 
prévia, à presença de impurezas e/ou a qualquer tratamento térmico ao qual o metal tenha sido 
submetido. O módulo de elasticidade é um parâmetro mecânico que é insensível a estes 
tratamentos.Do mesmo modo que para o módulo de elasticidade, as magnitudes tanto do limite 
convencional de elasticidade quanto do limite de resistência à tração declinam-se com a elevação da 
temperatura; justamente o oposto se aplica para a dutilidade - ela cresce com a elevação da 
temperatura. A Figura 6.13 mostra como o comportamento tensão-deformação do ferro varia com 
a temperatura. 
 
Tabela 6.2 - Propriedades Mecânicas Típicass de Vários Metais num Estado Recozido e em Estado 
Comercialmente Puro. 
 
Figura 6.13 - Comportamento tensão de engenharia-deformação para ferro em 3 temperaturas. 
 
 
 
Resiliência 
 
Resiliência é a capacidade de um material absorver energia quando ele é deformado elasticamente 
e então, no descarregamento, ter recuperada esta energia. A propriedade associada é o módulo de 
resiliência, Ur , que é a energia de deformação por unidade de volume requerida para tensionar o 
material a partir do estado não-carregado até o ponto de escoamento. 
Computacionalmente, o módulo de resiliência para uma amostra submetida a um teste de 
tração uniaxial é justamente a área sob a curva de tensão de engenharia-deformação tomada até o 
escoamento (Figura 6.14), ou 
 
 Ur = Ioεy σdε (6.12a) 
 
Figura 6.14 - Representação esquemática mostrando como o módulo de resiliência 
(correspondendo à área sombreada) é determinado a partir do comportamento de tensão de 
tração-deformação do material. 
 
 
Supondo uma região elástica linear, 
 
 Ur = (1/2)σyεy (6.12b) 
 
na qual εy é a deformação no escoamento. 
As unidades de resiliência são o produto das unidades de cada um dos 2 eixos do gráfico de 
tensão-deformação. Para unidades costumeiras nos Estados Unidos da América este produto é 
polegada-libraforça por polegada cúbica (in.lbf.in-3, equivalente a psi), ao passo que com as 
unidades do SI êle é joule por metro cúbico (J.m-3, equivalente a Pa). Tanto polegada-libraforça e 
joule são unidades de energia e assim esta área sob a curva de tensão-deformação representa 
absorção de energia por unidade de volume (em in3 ou m3) de material. 
A incorporação da Equação 6.4 à Equação 6.12b fornece 
 
 Ur = (1/2)σyεy = (1/2)σy (σy / E) = σy2 / 2E (6.13) 
 
Assim, materiais resilientes são aqueles tendo aos limites convencionais de elasticidade e baixos 
módulos de elasticidade; tais ligas seríam usadas em aplicações de molas. 
 
 
 
Tenacidade 
 
Tenacidade é um termo mecânico que é usado em vários contextos; falando de uma maneira 
liberal, é uma medida da capacidade de um material para absorver energia até a fratura. Geometria 
de amostra bem como a maneirade aplicação da carga são importantes nas determinações de 
tenacidade. Para condições de carregamento dinâmico (alta taxa de deformação) e quando um 
entalhe (ou ponto de concentração de tensão) estiver presente, tenacidade de entalhe é assessada 
pelo uso de um teste de impacto, como discutido na Seção 8.6. Além disso, tenacidade à fratura é 
uma propriedade indicativa da resistência do material à fratura quando uma trinca estiver presente 
(Seção 8.5). 
Para a situação estática (baixa taxa de deformação), tenacidade pode ser determinada a partir 
dos resultados de um teste de tensão de tração-deformação. É a área sob a curva σ-ε até o ponto 
de fratura. As unidades para tenacidade são as mesmas daquelas para resiliência (isto é, energia por 
unidade de volume de material). Para um materia ser tenaz, ele deve exibir tanto resistência 
mecânica quanto dutilidade; e às vezes, materiais dúteis são mais tenazes do que outros materiais 
frágeis. Isto está demonstrado na Figura 6.12, na qual as curvas tensão-deformação são graficadas 
para ambos os tipos de material. Portanto, mesmo embora o material frágil tenha maior limite 
convencional de escoamento e maior limite de resistência à tração, em virtude de falta de dutilidade, 
ele tem uma menor tenacidade do que um material dútil; isto é deduzido por comparação das áreas 
ABC e AB'C' na Figura 6.12. 
 
 
 
6.7 - TENSÃO VERDADEIRA E DEFORMAÇÃO VERDADEIRA 
 
A partir da Figura 6.10, o declínio na tensão necessário para continuar a deformação após passar 
pelo máximo, ponto M, parece indicar que o material está se tornando mais fraco. Isto não é 
inteiramente o caso; na verdade, a resistência do material está aumentando. Entretanto, a área da 
seção reta está decrescendo rapidamente dentro da região de pescoço, onde deformação está 
ocorrendo. Isto resulta numa redução na capacidade da amostra em suportar carga. A tensão,como 
calculada a partir da Equação 6.1, baseia-se na área da seção reta original antes que qualquer 
deformação ocorra e não leva em conta este diminuição em área no pescoço. 
Às vezes é mais significativo usar um esquema de tensão verdadeira-deformação verdadeira. 
Tensão verdadeira σT é definida como a carga F dividida pela área da seção reta instantânea Ai 
na qual a deformação está ocorrendo (isto é, o pescoço, passado o ponto de tração), ou 
 σT = F / Ai (6.14) 
 
Além disso, é ocasionalmente mais conveniente representar deformação como deformação 
verdadeira εT definida por 
 
 εT = ln (li / lo) (6.15) 
 
Se não ocorrer nenhuma mudança de volume durante a deformação, isto é, se 
 
 Aili = Aolo (6.16) 
 
tensão verdadeira, tensão de engenharia, deformação verdadeira e deformação de engenharia estão 
relacionadas de acordo com as relações 
 
 σT = σ ( 1 + ε ) (6.17a) 
 
 εT = ln ( 1 + ε ) (6.17b) 
 
Equações 6.17a e 6.17b são válidas apenas até o estabelecimento do pescoço; além deste ponto a 
tensão verdadeira e deformação verdadeira deveríam ser calculados a partir da carga real, área de 
seção reta real e comprimento real da Base de Medida. 
Uma comparação esquemática dos comportamentos tensão-deformação de engenharia e 
verdadeira é feita na Figura 6.15. Vale a pena notar que a tensão verdadeira necessária para 
sustentar a crescente deformação continua a subir além do ponto de tração M'. 
 
Figura 6.15 - Uma comparação dos comportamentos típicos tensão de tração de engenharia versus 
deformação e tensão de tração verdadeira versus deformação. A formação de pescoço começa no 
ponto M na curva de engenharia, o qual corresponde a M' na curva verdadeira. Esta curva 
"corrigida" de tensão verdadeira-deformação verdadeira leva em conta o complexo estado de 
tensão no interior da região de pescoço. 
 
 
Coincidente com a formação de um pescoço é a introdução de um complexo estado de 
tensão dentro da região do pescoço (isto é, a existência de outros componentes em adição à tensão 
axial). Como uma consequência, a tensão correta (axial) dentro do pescoço é ligeiramente inferior 
do que aquela calculada a partir da carga aplicada e da área da seção reta do pescoço. Isto conduz 
à curva corrigida na Figura 6.15. 
Para alguns metais e ligas a região da curva de tensão-deformação verdadeira a partrir do 
estabelecimento da deformação plástica até o ponto no qual a formação de pescoço começa pode 
ser aproximadamente obtida por 
 
 σT = K εnT (6.18) 
 
Nesta expressão K e n são constantes, cujos valores variarão de liga para liga e também 
dependerá da condição do material (isto é, se êle foi plasticamente deformado, tratado 
termicamente, etc..). O parâmetro n é às vezes denominado expoente de endurecimento por 
deformação e tem um valor menor do que a unidade. Valores de n e de K para várias ligas estão 
contidos na Tabela 6.3. 
 
 
Tabela 6.3 - Tabulação de Valores de n e de K (Equação 6.18) para Várias Ligas. 
 
 
PROBLEMA EXEMPLO 6.4. 
 
 
PROBLEMA EXEMPLO 6.5 
 
 
6.8 - RECUPERAÇÃO ELÁSTICA DURANTE DEFORMAÇÃO PLÁSTICA 
 
Ao se aliviar a carga durante o ucrso de um teste de tensão-deformação, alguma fração da 
deformação total é recuperada como deformação elástica. Este comportamento é demonstrado na 
Figura 6.16, que é um gráfico esquemático de tensão-deformação de engenharia. Durante o ciclo 
de descarregamento, a curva traça uma linha praticamente reta a partir do ponto de 
descarregamento (ponto D) e a sua inclinação é virtualmente idêntica ao módulo de elasticidade, ou 
paralelo à porção inicial elástica da curva. A magnitude desta deformação elástica, que é revertida 
durante o descarregamento, corresponde à recuperação da deformação, como mostrado na Figura 
6.16. Se a carga for reaplicada, a curva andará essencialmente na mesma porção linear no sentido 
oposto ao do descarregamento; escoamento ocorrerá novamente no nível de tensão do 
descarregamento onde o descarregamento começou. Haverá também uma recuperação da 
deformação elástica associada com fratura. 
 
 
 
6.9 - DEFORMAÇÃO COMPRESSIVA, DEFORMAÇÃO CIZALHANTE E 
DEFORMAÇÃO DE TORÇÃO 
 
Naturalmente, metais podem experimentar deformação plástica sob a influência de aplicadas cargas 
compressivas, cizalhantes e de torção. O resultante comportamento tensão-deformação para dentro 
da região plástica será semelhante à da contraparte da tração (Figura 6.9a: escoamento e curvatura 
associada). Entretanto, para compressão, não haverá nenhum máximo, de vez que não ocorrerá 
formação pescoço; o modo de fratura será diferente daquele para a tração. 
 
6.10 - DUREZA 
 
Uma outra propriedade mecânica importante que pode ser importante considerar é a dureza, que é 
uma medida da resistênia de um material à deformação plástica local (por exemplo, um pequeno 
endentamento ou um risco). Os primeiros testes de dureza eram baseados em minerais naturais com 
uma escala construída somente com base na capacidade de um material riscar um outro que é mais 
macio. Um qualitativo e algo arbitrário esquema de indexação de dureza foi visualizado, denominado 
escala de Mohs, que variou desde 1 na extremidade macia para o talco até 10 para o diamante. Ao 
longo dos anos foram desenvolvidas Técnicas de Dureza Quantitatias nas quais um pequeno 
indentador é forçado para dentro da superfície de um material a ser testado, sob controladas 
condições de carga e de taxa de aplicaçào. É medida a profundidade ou o tamanho da resultante 
indentação que por sua vez é relacionada(o) ao número de dureza; quanto mais macio o material, 
tanto maior e mais profunda a indentação e tanto menor o número índice de dureza. Durezas 
medidas são apenas relativas (em vez de absolutas) e cuidado deveria ser exercido ao se comparar 
valores determinados por diferentes técnicas. 
 
 
Testes de Dureza Rockwell 
 
Os testes Rockwell constituem o método mais comum usado para medir dureza porque eles são 
simples para realizar e não requerem nenhum habilidade especial. Várias diferentes escalas podem 
ser utilizadas a partir de possíveis combinações de vários indentadores e diferentescargas, que 
permitem o teste de virtualmente todos os metais e ligas, desde o mais duro até o mais macio. 
Indentadores incluem bolas de aço esféricas e endurecidas de diâmetros de 1/16, 1/8, 1/4 e 0,5 
polegadas (1,588 mm, 3,175 mm, 6,350 mm e 12,70 mm) e um indentador cônico de diamante, 
que é usado para os mais duros materiais. 
Com este sistema o número de dureza é determinado pela diferença na profundidade de 
penetração resultante da aplicação de uma carga inicial menor seguida por uma carga maior; 
utilização de uma carga menor melhora a precisão do teste. Com base na magnitude das cargas 
tanto maior quanto menor, existem 2 tipos de testes: Rockwell e Rockwell superficial. Para 
Rockwell, a carga menor é 10 kg, enquanto que as cargas maiores são 60, 100 e 150 kg. Cada 
escala é representada por uma letra do alfabeto; várias estão listadas com o correspondente 
indentor e carga nas Tabelas 6.4 e 6.5a. Para testes superficiais , 3 kg é a carga menor; 15, 30 e 
45kg são os possíveis valores da carga maior. Estas escalas são identificadas por 15, 30 ou 45 (de 
acordo com a carga), seguidos por N, T,W, X ou Y, dependendo do indentor. Testes superficiais 
são frequentemente realizados sobre amostras finas. Tabela 6.5b apresenta várias escalas 
superficiais. 
Quando se estiver especificando durezas Rockwell e superficial, devem ser indicados tanto o 
número de dureza quanto o símbolo da escala. A escala é designada pelo simbolo HR seguido pela 
apropriada identificação da escala.5 Por exemplo, 80 HRB representa uma dureza Rockwell de 80 
na escala B, e 60 HR30W indica uma dureza superficial de 60 na escala 30W. 
___________________________________________________________________________ 
5 Escalas Rockwell são frequentemente designadas por um R com a letra da escala 
apropriada como um subscrito, por exemplo, RC denota a escala Rockwell C. 
___________________________________________________________________________ 
 
Tabela 6.4 - Técnicas de Teste de Dureza 
Tabela 6.5a - Escalas de Dureza Rockwell 
Tabela 6.5b - Dureza Rockwell Superficial. 
 
 
Para cada caso, durezas podem variar até 130; entretanto, à medida em que os valores de 
dureza sobem acima de 100 ou caem abaixo de 20 em qualquer escala, elas se tornam imprecisas e, 
porque as escalas têm alguma superposição, numa tal situação é melhor utilizar a próxima escala 
mais dura ou mais mole. 
Podem também resultar imprecisões se a amostra de teste for demasiado fina, se uma 
indentação for feita excessivamente próxima de uma aresta da amostra ou se 2 indentações forem 
feitas muito próximas entre si. Espessura de amostra deveria ser pelo menos 10 vezes a 
profundidade da indentação, enquanto que se deveria deixar pelo menos 3 diâmetros de indentação 
entre uma indentação e a aresta da amostra, ou o centro de uma segunda indentação. Além disso, 
amostras de teste empilhadas uma sobre o topo de uma outra não é recomendado. Também, a 
precisão é dependente da indentação ser feita numa superfície plana e lisa ou não. 
O aprelho moderno para realizar as medições de dureza Rockwell é automatizado e muito 
simples para usar; a dureza é lida diretamente e cada medição requer apenas uns poucos segundos. 
O aprelho moderno de teste também permite uma variação do tempo de aplicação da carga. 
Esta variável deve ser também considerada na interpretação dos dados de dureza. 
 
 
Testes de Dureza Brinell 
 
Em testes Brinell, tal como nas medições Rockwell, um indentador esférico duro é forçado para 
dentro da superfície do metal a ser testado. O diâmetro indentador de aço endurecido (ou de 
carbeto de tungstênio) é de 10,00 mm (0,394 polegadas). Cargas padrões variam entre 500 e 3000 
kg em incrementos de 500kg; durante um teste, a carga é mantida constante por um especificado 
tempo (entre 10 e 30 s). Materiais mais duros requerem maiores cargas aplicadas. O número de 
dureza Brinell, HB, é uma função tanto da magnitude da carga quanto do diâmetro da indentação 
resultante (vide Tabela 6.4)6. Este diâmetro é medido com um microscópio especial de baixa 
potência, utilizando uma escala que está atacada na ocular. O diâmetro medido é entào convertido 
ao apropriado número HB usando um gráfico; apenas uma escala é empregada com esta técnica. 
Requisitos de máxima espessura de amostra bem como a posição de indentação 
(relativamente às arestas da amostra) e de mínimo espaçamento entre indentações são os mesmos 
daqueles dos testes Tockwell. Em adição, é requerida uma muito bem definida indentação; isto 
necessita uma supefície plana lisa na qual a indentação é feita. 
_________________________________________________________________________ 
6 O número de dureza Brinell é também representado BHN 
_________________________________________________________________________ 
 
 
Testes de Microdureza Knoop e Vickers 
 
Duas outras técnicas de testes de dureza são Knoop (pronuncia-se n_p) e Vickers (às vezes 
também denominado pirâmide de diamante). Para cada teste um indentador de diamante muito 
pequeno tendo geometria piramidal é forçado para dentro da superfície da amostra. Cargas 
aplicadas são muito menores do que para os testes Rockwell e Brinell, variando entre 1 e 1000 g. A 
resultante impressão é observada sob um microscópio e medida; esta medição é então convertida a 
um número de dureza (Tabela 6.4). Cuidadosa preparação superficial da amostra (lixamento e 
polimento) pode ser necessária para assegurar uma bem definida indentação que possa ser 
precisamente medida. Os números de dureza Knoop e Vickers são designados por HK e HV, 
respectivamente7 e escalas de dureza para ambas as técnicas são aproximadamente equivalentes. 
Knoop e Vickers são referidos como métodos de testes de microdureza com base na carga e no 
tamanho do indentador. Ambos são bem adequados para medição de dureza de selecionadas 
regiões pequenas e selecionadas; além disso, Knoop é usado para testar materiais frágeis tais como 
cerâmicas. 
__________________________________________________________________________ 
 
7 Às vezes KHN e VHN são usadas para denotar números de dureza Knoop e Vickers, 
respectivamente. 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
Conversão de Dureza 
 
A facilidade de converter a dureza medida numa escala para aquela de uma outra escala é muito 
desejável. Entretanto, de vez que dureza não é uma bem definida propriedade de material e por 
causa das dissimilares experimentais entre as várias técnicas, um compreensivo esquema de 
conversão não poude ser determinado. Dados de conversão de dureza têm sido determinados 
experimentalmente e encontrou-se que dependem do tipo e características do material. Os mais 
confiáveis dados de conversão existem para os aços e tais dados são apresentados na Figura 6.17 
para as escalas Knoop e Brinell e 2 escalas Rockwell: a escala de Mohs está também incluída. À luz 
da discussão acima, cuidado deve ser exercido na extrapolação destes dados a outros sistemas de 
ligas. 
 
Figura 6.17 - Comparação de várias escalas de dureza. (Adaptado a partir de G.F.Kinney, 
Engineering Properties and Applications of Plastics, p. 202, Copyright 1957 por John Wiley & 
Sons, New York, Reimpresso por permissào de John Wiley & Sons, Inc.). 
 
 
 
Correlação Entre Dureza e Limite de Resistência à Tração 
 
Tanto o limite de resistência à tração quanto a dureza são indicadores de resistência dos metais à 
deformação plástica. Consequentemente, êles são grosseiramente proporcionais, como mostrado na 
Figura 6.18, para o limite de resistência à tração como uma função da HB para ferro fundido, aço e 
latão. A mesma correlação de proporcionalidade não se mantém para todos os metais, como indica 
a Figura 6.18. Como uma norma empírica para muito aços, a dureza HB e o limite de resistência à 
tração estão relacionados do seguinte modo 
 
 TS (psi) = 500 x HB (6.19a) 
 
 TS (MPa) = 3,45 x HB (6.19b) 
 
Testes de dureza são realizados mais frequentemente do qualquer outro teste mecânicopor 
várias razões: 
 
(1a.) Êles são mais simples e mais baratos - ordinariamente nenhuma amostra especial terá que ser preparada.
(2a.) O teste é não destrutivo - a amostra nem é fratura nem é excessivamente deformada; uma pequena indentação é a única deformação.
(3a.) Outras propriedades mecânicas às vezes podem ser estimadas a partir dos dados de 
 dureza, tais como limite de resistência à tração (Figura 6.18). 
 
 
Figura 6.18 - Correlações entre dureza e limite de resistência à tração de aço, latão e ferro fundido. 
(Dados tomados a partir de Metals Handbook: Propriedades e Seleção, Irons and Steels, Vol. 1, 
9a. Edicão, B. Bardes, Editor, American Society for Metals, 1978,p.36 e 461; e Metals 
Handbook: Properties and Selection: Nonferrous Alloys and Pure Metals, Vol.2, 9a. edição, H. 
Baker, Managing Editor, American Society for Metals, 1979, p.327). 
 
 
6.11 - VARIABILIDADE DE PROPRIEDADES DE MATERIAIS 
 
Neste ponto vale a pena discutir uma questão que às vezes provoca problemas a muitos estudantes 
de engenharia, isto é, que as propriedades de materiais não são quantidades exatas. Isto é, mesmo 
se nós tivéssemos um aparelho de medição muito precisa e um altamente controlado procedimento 
de teste, haverá sempre uma dispersão ou variabilidade nos dados que são coletados a partir de 
amostras do mesmo material. Por exemplo, considere-se um número de idênticas amostras de 
tração que são preparadas a partir de uma única barra de alguma liga metálica, cujas amostras são 
subsequentemente testadas quanto a tensão-deformação no mesmo aparelho. Nós iríamos muito 
provavelmente observar que cada resultante gráfico de tensão-deformação é ligeiramente diferente 
dos outros. Isto poderia conduzir a uma variedade de valores de módulos de elasticidade, limite 
convencional de elasticidade e limite de resistência à tração. Um número de fatores conduz a 
incertezas nos dados medidos. Estes incluem o método de teste, variações nos procedimentos de 
fabricação da amostra, desvios do perador e calibração do aparelho. Além disso, dentro de um 
mesmo lote de material podem existir inhomogeneidades e/ou ligeiras diferenças de composição ou 
ligeiras outras diferenças de lote para lote. Naturalmente, apropriadas medidas deveríam ser 
tomadas para minimizar a possibilidade de êrros de medição e também para atenuar aqueles fatores 
que conduzem à variabilidade dos dados. 
Dever-se-ía também mencionar que este dispersão existe para outras propriedades de 
materiais tais como densidade, condutividade elétrica e coeficiente de expansão térmica. 
É importante para o engenheiro projetista conscientizar-se de que esta dispersão e 
variabilidade das propriedades dos materiais são inevitáveis e deve ser tratada com propriedade. 
Ocasionalmente, dados devem ser submetidos a tratamentos estatísticos e probabilidades 
determinadas. Por exemplo, em vez de fazer uma pergunta, "Qual é a resistência à fratura desta 
liga?" o engenheiro deveria acostumar-se a perguntar, "Qual é a probabilidade de falha desta liga 
sob estas circunstâncias dadas?". 
A despeito da variação de alguma propriedade medida, especificação de um valor "típico" é 
ainda desejável. Mais comumente, o valor típico é descrito tomando-se uma média dos dados. Isto 
é obtido dividindo-se a soma de todos os valores medidos pelo número de medições tomadas. Em 
termos matemáticos, a média _ de algum parâmetro x é 
 
 
 _ = [ 3i = 1i = n xi] / n (6.20) 
 
onde n é o número de observações ou medições e xi é o valor de uma medida discreta. 
Às vezes é desejável quantificar o grau de dispersão, ou espalhamento, dos dados medidos. 
A medida mais comum desta variabilidade é o desvio padrão s, que é determinado usando a 
seguinte expressão: 
 
 s = [{3i = 1i = n (xi - _)2} / (n - 1)]1/2 (6.21) 
 
onde xi , _ e n são definidos acima. Um grande valor do desvio padrão corresponde a um alto grau 
de dispersão. 
 
PROBLEMA EXEMPLO 6.6 
 
Figura 6.19 - (a) Dados de limite de resistência à tração associados com o Problema 6.6. (b) A 
maneira na qual estes dados poderíam ser graficados. O ponto dos dados corresponde ao valor 
médio do limite de resistência à tração ( __); barras de erro que indica o grau de dispersão 
correspondem ao valor médio mais e menos o desvio padrão ( __ + s). 
 
 
 
6.12 - FATORES DE SEGURANÇA 
 
Na seção anterior foi notado que virtualmente todos os materiais de engenharia exibem uma 
variabilidade em suas propriedades mecânicas. Além disso, incertezas também existirão na 
magnitude das cargas aplicadas para aplicações em serviço; ordinariamente, cálculos de tensão são 
apenas aproximados. Portanto, tolerâncias de projeto devem ser feitas para proteger-se contra uma 
falha não antecipada.Isto é realizado estabelecendo-se, para o particular material usado, uma 
tensão de segurança ou tensão de trabalho, usualmente denotada como σw. Para situações 
estáticas e metais dúteis, σw é tomada como o limite convencional de elasticidade dividido por um 
fator de segurança, N, ou 
 
 σw = σw / N (6.22) 
 
Com materiais cerâmicos frágeis, existe quase sempre um alto grau de dispersão nos valores de 
resistência; portanto, análises estatísticas mais sofisticadas são requeridas. 
Naturalmente, a escolha de um apropriado valor de N é necessário. Se N é demasiado 
grande, então resultará um superdimensionamento do componente, isto é, ou demasiada quantidade 
de material ou uma liga tendo uma resistência maior do que a necessária será usada. Valores 
normalmente usado variam entre 1,2 e 4,0; um bom valor médio é 2,0. Seleção de N dependerá de 
um número de fatores, incluindo a economia, experiência anterior, precisão com a qual forças 
mecânicas e propriedades de materiais podem ser determinadas, e, o que é mais importante, as 
consequências de falha em termos de perda de vida e/ou dano à propriedade. 
MATERIALS SCIENCE AND ENGINEERING An Introduction 
William D. Callister, Jr. , John Wiley & Sons, 1991. 
 
7. DISCORDÂNCIAS E MECANISMOS DE FORTALECIMENTO 
 
 
7.1 - INTRODUÇÃO 
 
Capítulo 6 explicou que materiais pode experimentar 2 tipos de deformação: elástica e plástica. 
Deformação plástica é permanente e resistência mecânica e dureza são medidas da resistência de 
um material à esta deformação. Numa escala microscópica, deformação plástica corresponde ao 
movimento líquido de grandes números de átomos em resposta a uma tensão aplicada. Durante este 
processo, ligações atômicas devem ser rompidas e depois reformadas. Em sólidos cristalinos, 
deformação plástica muitas vezes envolve o movimento de discordâncias, defeitos cristalinos lineares 
que foram introduzidos na Seção 4.4. Este capítulo discute as características de discordâncias e seu 
movimento em deformação plástica. Em adição, e provavelmente mais importantemente, são 
apresentadas várias técnicas para fortalecer metais monofásicos, sendo descritos os mecanismos 
delas em termos de discordâncias. Finalmente, as últimas seções deste capítulo são concernentes 
com os processos de recuperação e recristalização que ocorrem em metais plasticamente 
deformados, normalmente em elevadas temperaturas - e, em adição, crescimento de grão. 
 
 
DISCORDÂNCIAS E DEFORMAÇÃO PLÁSTICA 
 
Primeiros estudos de materiais conduziram ao cálculo de resistências teóricas de cristais perfeitos, 
que eram muitas vezes maiores do que aqueles realmente medidos. Durante a década de 1930 foi 
teorizado que esta discrepância em resistências mecânicas poderiam ser explicadas por um tipo de 
defeito cristalino linear que tinha se tornado conhecido a partir desta época como uma discordância. 
Entretanto, o estabelecimento da existência de tal defeito de discordância por observação direta 
com o microscópio eletrônico não havia acontecido até a década de 1950. Depois disto, evoluiu-se 
uma teoria de discordâncias que explica muitos dos fenômenos físicos e mecânicos em materiais 
cristalinos, principalmente metais e cerâmicas. 
 
 
7.2 - CONCEITOS BÁSICOS 
 
Discordâncias de aresta e de parafusosão os 2 tipos fundamentais de discordâncias. Numa 
discordância de aresta, existe localizada distorção da rede ao longo da extremidade de um meio-
plano extra de átomos, que também define a linha de discordância (Figura 4.3). Pode-se pensar 
que uma discordância em parafuso resulte a partir de uma distorção cizalhante; sua linha de 
discordância passa através do centro de uma espiral, rampa de plano atômico (Figure 4.4). Muitas 
discordâncias em materiais cristalinos têm componentes tanto de aresta quanto de parafuso; estas 
são discordâncias mistas (Figura 4.5). 
Deformação plástica corresponde ao movimento de um grande número de discordâncias. 
Um discordância de aresta se move em resposta a uma tensão cizalhante aplicada numa direção 
perpendicular à sua linha; a mecânica do movimento de discordância está representada na Figura 
7.1. Seja o plano A o meio plano inicial extra de átomos. Quando uma tensão cizalhante é 
aplicada como indicada (Figura 7.1a), plano A é forçado para a direita; este por sua vez empurra as 
metades do topo dos planos B, C, D e assim por diante, na mesma direção. Se a tensão cizalhante 
aplicada for de suficiente magnitude; as ligações interatômicas de plano B são separadas ao longo do 
plano de cizalhamento e a metade superior do plano B se torna o meio-plano extra à medida em que 
o plano A se liga com a metade da base do plano B (Figura 7.1b). Este processo é 
subsequentemente repetido para outros planos, de tal maneira que o meio-plano extra, por etapas 
discretas, se mova da esquerda para a direita por sucessivas e repetidas quebras de ligações e 
deslocamentos por distâncias interatômicas de meios-planos superiores. Antes e após o movimento 
de uma discordância através de alguma particular região do cristal, o arranjo atômico é ordenado e 
perfeito; é apenas durante a passagem do meio-plano extra que a estrutura da rede é interrompida. 
Finalmente, este meio-plano extra pode emergir a partir da superfície certa do cristal, formando 
uma aresta tem uma distância atômica de largura; isto é mostrado na Figura 7.1c. 
O processo pelo qual deformação é produzida por movimento de discordância é 
denominado escorregamento ("slip"); o plano ao longo do qual a linha de discordância percorre é 
o plano de escorregamento, como indicadona Figura 7.1. Deformação plástica macroscópica 
simplesmente corresponde à deformação permanente que resulta a partir do movimento de 
discordâncias, ou escorregamento, em resposta a uma aplicada tensão cizalhante, como 
representada na Figura 7.2a. 
 
 
Figura 7.2 - A formação de um degrau na superfície de um cristal pelo movimento de (a) uma 
discordância de aresta e (b) uma discordância em parafuso. Note-se que para uma discordância de 
aresta, a linha de discordância se move na direção da tensão cizalhante aplicada τ; para uma 
discordância em parafuso, o movimento da linha de discordância é perpendicular à direção da 
tensão. (Adaptado a partir de H.W. Hayden, W.G. Muffatt e J. Wulf, The Structure and 
Properties os Materials,Vol. III, Mechanical Behavior,p. 70. Copyright 1965 por John Wiley & 
Sons, New York, Reimpresso por permissãode John Wiley & Sons.) 
 
 
O movimento de discordância é análogo ao modo de locomoção empregado por uma 
lagarta (Figura 7.3). A lagarta forma uma corcova perto da sua extremidade posterior puxando o 
seu último par de pernas até uma distância igual a uma unidade de perna. A corcova é impulsionada 
para a frente por repetida elevação e deslocamento de um par de pernas. Quando a corcova atinge 
a extremidade anterior, toda a larva terá se movido para a frente de um espaço igual à distância de 
separação das pernas. A corcova da larva e o seu movimento correspondem ao meio-plano extra 
de átomos no modelo de discordância da deformação plástica. 
 
 
Figura 7.3 - Representação da analogia entre os movimentos da larga e da discordância. 
 
 
O movimento de uma discordância em parafuso em resposta à tensão cizalhante aplicada 
é mostrada na Figura 7.2b; a direção do movimento é perpendicular à direção da tensão. Para uma 
discordância de aresta, o movimento é paralelo à tensão cizalhante. Entretanto , a deformação 
plástica líquida para o movimento de ambos os tipos de discordância é a mesma (vide figura 7.2). A 
direção do movimento da linha de discordância mista nem é perpendicular nem é paralela à tensão 
aplicada, mas sim se situa em algum lugar entre as mesmas. 
Virtualmente todos os materiais cristalinos contém algumas discordâncias que foram 
introduzidas durante a solidificação, durante deformação plástica e como uma consequência das 
tensões térmicas que resultam de um resfriamento rápido. O número de discordâncias ou densidade 
de discordância num material é expresso como o comprimento total da discordância por unidade 
de volume, ou, equivalentemente, o número de discordâncias que intersectam a unidade de área de 
uma seção aleatória. As unidades de densidade de discordâncias são milímetros de discordância por 
milímetro cúbico ou justo por milímetro quadrado. Densidades de discordância tão baixas quanto 
103 mm-2 são tipicamente encontradas em cristais metálicos cuidadosamente preparados. Para 
metais intensamente deformados, a densidade de discordâncias pode chegar a valores tão altos 
quanto 109 a 1010 mm-2. O tratamento térmico conseguirá reduzir a densidade de discordâncias de 
uma amostra de metal deformado até o nível de 105 a 106 mm-2. 
 
 
7.3 - CARACTERÍSTICAS DE DISCORDÂNCIAS 
 
Várias características de discordâncias são importantes no que se refere às propriedades mecânicas 
de metais. Estas incluem campos de deformação que existem ao redor de discordâncias, que são 
influentes na determinação da mobilidade das discordâncias, bem como sua capacidade de se 
multiplicar. 
Quando metais são plasticamente deformados, alguma fração da energia de deformação 
(aproximadamente 5%) é retida internamente; a parte remanescente é dissipada como calor. A 
porção maior desta energia armazenada está como energia de deformação associada com 
discordâncias. Considere-se uma discordância de aresta representada na Figura 7.4. Como já 
mencionado, existe alguma distorcão da rede atômica ao redor da linha de discordância por causa 
da presença de um meio-plano extra de átomos. Como uma consequência, existem regiões nas 
quais deformações da rede compressivas, trativas e cizalhantes são impostas sobre os átomos 
vizinhos. Por exemplo, átomos imediatamente acima e adjacentes à linha de discordância são 
apertados entre si. Como um resultado, pode-se pensar que estes átomos estão experimentando 
uma deformação compressiva relativamente aos átomos posicionados no cristal perfeito e bem 
removidos a partirda discordância; isto é ilustrado na Figura 7.4. Diretamente abaixo do meio-plano, 
o efeito é justamente oposto; átomos da rede suportam uma deformação trativa imposta, que é 
como mostrada. Tensão cizalhante também existena vizinhança da discordância de aresta. Para 
discordância em parafuso, deformações da rede são apenas de cizalhamento puro. Estas distorções 
da rede podem ser consideradas como campos de deformação que se irradiam a partirda linha de 
discordância. As deformações se estendem para dentro dos átomos circunvizinhos e sua magnitude 
decrescem com a distância radial a partir da discordância. 
 
 
Figura 7.4 - Regiões de compressão (escura) e de tração (clara) localizadas ao redor de uma 
discordância de aresta. (Adaptada a partir de W.G.Moffatt, G.W.Pearsall e J.Wullf, The Structure 
and Properties of Materials, Vol.I, Structure, p.85, Copyright 1964 por John Wiley & Sons, 
New York, Reimpresso por permissão de John Wiley & Sons, Inc.). 
 
 
Os campos de deformação circundando as discordâncias em estreita proximidade entre si 
podem interagir de tal maneira que forças são impostas em cada discordância pelas interações 
combinadas de todas as discordâncias vizinhas. Por exemplo, considere-se 2 discordâncias de 
aresta que têm omesmo sinal e o idêntico plano de escorregamento, como representado na Figura 
7.5a. Os campos de deformação compressiva e trativa para ambos se situam no mesmo lado do 
plano de escorregamento; a interação do campo de deformação é tal que existe entre estas duas 
discordâncias isoladas uma força mutuamente repulsiva que tende a movê-las uma para longe da 
outra. Por outro lado, 2 discordâncias de sinais opostos e tendo o mesmo plano de escorregamento 
serão atraídos entre si, como indicado na Figura 7.5b e ocorrerá aniquilação de discordância 
quando elas se encontrarem. Isto é, os 2 meio-planos extras de átomos se alinharão e se tornarão 
um plano inteiro. Interações de discordâncias são possíveis entre discordâncias de aresta, 
discordâncias em parafuso e/ou discordâncias mistas, para uma variedade de orientações. Estes 
campos de deformação e associadas forças são importantes nos mecanismos de fortalecimento para 
metais. 
 
 
Figura 7.5 (a) Duas discordâncias de aresta de mesmo sinal e situando-se no mesmo plano de 
escorregamento exercem uma força repulsiva entre si; C e T denotam regiões de compressão e 
tração, respectivamente.(b) Discordâncias de aresta de sinais opostos e situando-se no mesmo 
plano de escorregamento exercem uma força de atração entre si. Ao se encontrarem, elas se 
aniquilam mutuamente e deixam uma região de cristal perfeito. (Adaptado a partir de H.W. Hayden, 
W.G. Moffatt e J.Wulff, The Structure and Properties of Materials, Vol. III, Mechanical 
Behavior, p.75, Copyright 1965 por John Wiley & Sons,New York, Reimpresso por permissão de 
John Wiley & Sons,Inc.). 
 
 
Durante deformação plástica, o número de discordâncias aumenta dramaticamente. Nós 
sabemos que a densidade de discordâncias num metal que tenha sido altamente deformado pode ser 
tão alto quanto 1016 mm-2. Contornos de grão, bem como defeitos internos e irregularidades de 
superfície tais como arranhões e pequenos entalhes, que agem como concentrações de tensão, 
podem servir como sítios de formação de discordâncias durante a deformação. Sob algumas 
circunstâncias, discordâncias existentes pode também se multiplicar. 
 
 
7.4 - SISTEMAS DE ESCORREGAMENTO 
 
Discordâncias não se movem com o mesmo grau de facilidade em todos os planos cristalográficos 
de átomos e em todas as direções cristalográficas. Ordinariamente existe um plano preferido e 
naquele plano existem direções específicas ao longo das quais o movimento de discordâncias 
ocorrem. Este plano é chamado o plano de escorregamento; segue-se que a direção de 
movimento é chamada a direção de escorregamento. Esta combinação de plano de 
escorregamento e direção de escorregamento é denominada o sistema de escorregamento. O 
sistema de escorregamento depende da estrutura cristalinado metal e é tal que a distorção atômica 
que acompanha o movimento de uma discordância é um mínimo. Para uma particular estrutura 
cristalina, o plano de escorregamento é aquele plano tendo o mais denso empilhamento atômico, isto 
é, tem a mais alta densidade planar. A direção de escorregamento corresponde à direção, neste 
plano, que é a mais estreitamente compactada com átomos, isto é, tem a mais alta densidade linear. 
Densidades atômicas planar e linear foram discutidas na Seção 3.10. 
Considere-se, por exemplo, a estrutura cristalina CFC, da qual uma célula unitária é 
mostrada na Figura 7.6a. Existe um conjunto de planos, a família{111}, todos eles estreitamente 
compactados. Um plano tipo (111) é indicado na célula unitária; na Figura 7.6b, este plano está 
posicionado dentro plano da página, no qual átomos estão agora representados como tocando os 
vizinhos mais próximos. 
 
 
Figura 7.6 (a) Um sistema de escorregamento {111}<110> mostrado dentro de uma célula unitária 
CFC. (b) O plano {111} de (a) e três direções de escorregamento <110> (como indicado por 
setas dentro daquele plano compreende possíveis sistemas de escorregamento. 
 
Escorregamento ocorreao longo das direções tipo <110> dentro dos planos {111}, como 
se encontra também indicado na Figura 7.6. Portanto, {111}<110> representam a combinação 
plano de escorregamento e direção de escorregamento ou o sistema de escorregamento para CFC. 
Figura 7.6b demonstra que um dado plano de escorregamento pode conter mais do que uma única 
direção de escorregamento. Assim podem existir vários sistemas de escorregamento para uma 
particular estrutura cristalina; o número de sistemas de escorregamento independentes representa as 
diferentes combinações possíveis de planos e direções de escorregamento. Por exemplo, para 
estrutura cúbica de face centrada, existem 12 sistemas de escorregamento; 4 únicos planos {111} e 
, dentro de cada plano, 3 independentes direções <110>. 
Os possíveis sistemas de escorregamento para estruturas cristalinas CCC e HC estão 
listados na Tabela 7.1. Para cada uma destas estruturas, o escorregamento é possível em mais de 
uma família de planos (por exemplo, {110}, {211} e {321} para CCC). Para metais tendo estas 2 
estruturas cristalinas alguns sistemas de escorregamento são às vezes operáveis somente a elevadas 
temperaturas. 
 
 
TABELA 7.1 - Sistemas de Escorregamento para Metais Cúbico de Face Centrada, Cúbico de 
Corpo Centrado e Hexagonal Compacta. 
 
 
Metais com estruturas cristalinas CFC ou CCC têm relativamente grande número de 
sistemas de escorregamento (pelo menos 12). Estes metais são bastante dúteis porque deformação 
plástica extensiva é normalmente possível ao longo de vários sistemas. Ao contrário, metais HC 
tendo uns poucos sistemas de escorregamento ativos são normalmente bastante frágeis. 
 
 
7.5 - ESCORREGAMENTO EM MONOCRISTAIS 
 
Uma explicação adicional de escorregamento é simplificada tratando o processoem monocristais, 
então fazendo a apropriada extensão a materiais policristalinos. Como mencionado anteriormente, 
discordâncias de aresta, em parafuso e mistas se movem em resposta a tensões de cizalhamento 
aplicadas ao longo de um plano de escorregamento e numa direção de escorregamento. Mesmo 
embora uma tensão aplicada possa ser uma tensão pura de tração (ou compressão), componentes 
cizalhantes existem em todas as direções exceto naqueles alinhamentos paralelos ou perpendiculares 
à direção da tensão. Estas são denominadas tensões de cizalhamento resolvidas e suas 
magnitudes dependem não apenas da tensãoaplicada, mas também da orientação tanto do plano de 
escorregamento quanto da direção de escorregamento dentro daquele plano. Seja representado por 
φ o ângulo entre a normal ao plano de escorregamento e a direção da tensão aplicada e λ o ângulo 
entre as direções de escorregamento e de tensão, como indicado na Figura 7.7; pode ser mostrado 
que para a tensão cizalhante resolvida τR 
 
 τR = σ cosφ cosλ (7.1) 
 
onde σ é a tensão aplicada. Em geral, φ + λ … 90o, de vez que não há necessidade de que o eixo 
de tração, a normal ao plano de escorregamento e a direção de escorregamento todas fiquem no 
mesmo plano. 
 
 
Figura 7.7 - Correlações geométricas entre eixo de tração, plano de escorregamento e direção de 
escorregamento usadas no cálculode tensão de cizalhamento resolvida para um monocristal. 
Um monocristal de metal tem um número de diferentes sistemas de escorregamento que 
são capazes de operar. A tensão de cizalhamento resolvida normalmente se difere para cada um 
porque a orientação de cada um em relação ao eixo da tensão (ângulos φ e λ) também se diferem. 
Entretanto, um sistema de escorregamento está geralmente orientado mais favoravelmente, isto é, 
tem a mais alta tensão cizalhante resolvida, σR (max): 
 
 σR(max) = σ(cosφ cosλ)max (7.2) 
 
 
Em resposta a uma tensão de tração (ou compressão) aplicada, escorregamento num monocristal 
começa no sistema de escorregamento mais favoravelmente orientado quando a tensão de 
cizalhamento resolvida atinge algum valor crítico, denominado tensão de cizalhamento resolvida 
crítica τcrss ; ela representa a tensão cizalhante mínima requerida para iniciar o escorregamentoe é 
uma propriedade do material que determina quando ocorre o escoamento.O monocristal 
praticamente se deforma ou se escoa quando τR (max) = τcrss e a magnitude da tensão aplicada 
requerida para iniciar o escoamento (isto é, o limite convencional de elasticidade σy) é 
 
 σy = τcrss / (cosφ cosλ)max (7.3) 
 
A tensão mínima necessária para introduzir o escoamento ocorre quando um monocristal é orientado 
de tal maneira que φ = λ = 45o ; sob estas condições, 
 
 σy = 2 τcrss (7.4) 
 
Para uma amostra de monocristal que está tensionada em tração, deformação será tal 
como na Figura 7.8, onde o escorregamento ocorre ao longo de um número de equivalentes e mais 
favoravelmente orientados planos e direções em várias posições ao longo do comprimento da 
amostra. Esta deformação de escorregamento se forma como pequenos detraus na superfície do 
monocristal que são paralelos entre si e dão volta ao redor da circunferência da amostra como 
indicado na Figura 7.8. Cada degrau resulta a partir do movimento de um grande número de 
discordâncias ao longo do mesmo plano de escorregamento. Na superfície de uma amostra polida 
de monocristal, estes degrau aparecem como linhas que são denominadas linhas de escorregamento. 
Um monocristal de zinco que foi plasticamente deformado ao grau em que estas marcas de 
escorregamento são discerníveis é mostrado na Figura 7.9. 
 
Figura 7.8 - Escorregamento macroscópico de um monocristal. 
 
Figura 7.9 - Escorregamento num monocristal de zinco. (A partir de C.F. Elam, The Distortion of 
Metal Crystals, Oxford University Press, London, 1935). 
 
Com continuada extensão de um monocristal, tanto o número de linhas de escorregamento 
quando a largura do degrau de escorregamento aumentarão. Para metais CFC e CCC, 
escorregamento pode eventualmente começar ao longo de um segundo sistema de escorregamento, 
que é aquele o seguindo mais favoravelmente orientado com o eixo de tração. Além disso, para 
cristais HC tendo poucos sistemas de escorregamento, se, para o sistema de escorregamento mais 
favorável, o eixo da tensão é ou perpendicular à direção de escorregamento (λ = 90o) ou paralelo 
ao plano de escorregamento (φ = 90o), a tensão de cizalhamento resolvida crítica será zero. Para 
estas orientações extremas o cristal ordinariamente se fratura em vez dedeformar-se plasticamente. 
 
PROBLEMA EXEMPLO 
Considere-se um monocristal de ferro CCC orientado de tal maneira que uma tensão de tração é 
aplicada ao longo de uma direção [010]. 
(a) Calcule a tensão de cizalhamento resolvida ao longo de um plano (110) e uma direção [_11] 
quando uma tensão de tração 7500 psi (52 MPa) é aplicada. 
(b) Se escorregamento ocorrer num plano (110) e numa direção [_11] e a tensão cizalhante 
resolvida crítica é 4350 psi (30 MPa), calcule a magnitude da tensão de tração aplicada necessária 
para iniciar o escoamento. 
 
SOLUÇÃO 
(a) A célula unitária CCC juntamente com a direção de escorregamento e o plano de 
escorregamento, bem como a direção da tensão aplicada, está mostrada no diagrama (a) abaixo. 
Como indicado, φ, o ângulo entre a normal ao plano (110) e a direção [010] é 45o. A partir do 
triângulo ABC no diagrama (b), λ, o ângulo entre as direções [_11] e [010] é tg-1[a (2/a)1/2] = 
54,7o , a sendo o comprimento da célula unitária. Assim, deacordo com a Equação 7.1 , 
 
 τR = σ cosφ cosλ = (7500 psi)(cos 45o)(cos 54.7o) 
 = 3060 psi (21,1 MPa) 
 
(b) O limite convencional de elasticidade σy pode ser calculado a partirda Equação7.3, φ e λ serão 
 as mesmas daquelas da parte (a) e 
 
 σy = 4350 psi / [(cos 45o)(cos 54,7o)] = 10600 psi (73,1 MPa). 
 
 
7.6 DEFORMAÇÃO PLÁTICA DE MATERIAIS POLICRISTALINOS 
 
Deformação e escorregamento em materiais policristalinos é algo mais complexo. Por causa das 
orientações cristalográficas randômicas dos numerosos grãos, a direção de escorregamento varia de 
um grão para outro. Para cada um, o movimento de discordância ocorre ao longo do sistema de 
escorregamento que tem a orientação mais favorável, como definido acima. Isto é exemplificado 
por uma fotografia de uma amostra de cobre policristalina que foi deformada plasticamente (Figura 
7.10); antes da deformação a superfície foi polida. Linhas de escorregamento são visíveis e parece 
que para a maioria dos grãos 2 sistemas de escorregamento operaram, como evidenciado pelos 2 
conjuntos de linhas paralelas que também se intersectam. Além disso, variação na orientação de 
grão está indicada pela diferença em alinhamento das linhas de escorregamento para vários grãos. 
 
 
Figura 7.10 - Linhas de escorregamento na superfície de uma amostra policristalina de cobre que foi 
polida e subsequentemente deformada. 173x. (Fotomicrografia cortesiade C. Brady, National 
Bureau of Standards). 
 
 
 
Deformação plástica bruta de uma amostra policristalina corresponde à comparável 
distorção dos grãos individuais por meio de escorregamento. Durante a deformação, integridade 
mecânica e coerência são mantidas ao longo dos contornos de grão; isto é, os contornos de grão 
não se espedaçam ou não se abrem. Como uma consequência, cada grão individual é constrangido, 
num certo grau, na forma em que ele pode assumir por seus grãos vizinhos. A maneira na qual grãos 
se distorcem como um resultado de deformação plástica bruta é indicada na Figura 7.11. Antes da 
deformação os grãos são equiaxiais, ou têm aproximadamente a mesma dimensão em todas as 
direções. Para esta particular deformação, os grãos se tornaram elongados ao longo da direção na 
qual a amostra foi estendida. 
 
 
Figura 7.11 - Alteração da estrutura do grão de um metal policristalino como um resultado de 
deformação plástica.(a) Antes da deformação os gràos eram equiaxiais. (b) A deformação produziu 
grãos alongados 170x. (A partir de W.G.Moffatt, G.W. Pearsall e J.Wulff, The Structure and 
Properties of Materials, Vol.I, Structure, p.140, Copyright 1964 por John Wiley & Sons, New 
York, Reimpresso por permissão de John Wiley & Sons, Inc.). 
 
Metais policristalinos são mais fortes do que seus monocristais equivalentes, o que significa 
que maiores tensões são requeridas para iniciar escorregamento e o acompanhante escoamento. 
Isto é, até num grande grau, também um resultado de constrangimentos geométricos que são 
impostos sobre os grãos durante a deformação. Mesmo embora um monogrão pode ser 
favoravelmente orientado com a tensão aplicada para escorregar, êle não pode se defomar até que 
grãos adjacentes e menos favoravelmente orientados sejam capazes de se escorregar também; isto 
requer um maior nível de tensão aplicada. 
 
 
 
7.7 - DEFORMAÇÃO POR MACLAÇÃO 
 
Em adição ao escorregamento, deformação plástica em alguns materiais metálicos pode ocorrer pela 
 formação de maclas mecânicas ou maclação ("twinning"). O conceito de uma macla foi introduzido 
na Seção 4.5; isto é, uma força cizalhante pode produzir deslocamentos atômicos tais que de um 
lado de um plano (o contorno de macla), átomos fiquem localizados em posições de imagem de 
espelho de átomos do outro lado do referido plano. A maneira na qual isto é realizado é 
demonstrado na Figura 7.12. Aqui, círculos abertos representam átomos que não se moveram e 
círculos tracejados e escuros representam posições originais e finais, respectivamente, de átomos 
dentro da região maclada. Como pode ser notado nesta figura, a magnitude de deslocamento dentro 
da região de macla (indicada por setas) é proporcional à distância a partir do plano de macla. Além 
disso, maclação ocorre num definido plano cristalográfico e numa direção específica que depende 
da estrutura cristalina. Por exemplo, para metais CCC, o plano de macla e a direção de macla são 
(112) e [111], respectivamente. 
 
Figura 7.12 - Diagrama esquemático mostrando como maclação (geminação) resulta a partir de uma 
tensão cizalhante aplicada τ. Em (b), círculosabertos representam átomos que não mudaram de 
posição; círculos tracejadose círculos escuros representam as posições original efinal de átomos, 
respectivamente. (A partir de G.E. Dieter, Mechanical Metallurgy, 3a. Edição, Copyright 1986 
por McGraw-Hill Book Company,New York, Reproduzido com permissão de McGraw-Hill Book 
Company.). 
 
As deformações de escorregamento e de maclação são comparadas na Figura7.13 para 
um monocristal que é submetido a uma tensão cizalhante τ. Bordas(frisos) de escorregamento, cuja 
formação foi descrita na Seção 7.5, são mostrados na Figura 7.13a. Para maclação, a deformação 
cizalhante é homogênea (Figura 7.13b). Estes 2 processos se diferem entre si em vários sentidos. 
Primeiro, para escorregamento, as orientação cristalográfica acima e abaixo do plano de 
escorregamento é a mema tanto antes quanto depois da deformação; enquanto isso, para maclação 
existirá uma reorientação através do plano de macla. Em dição, escorregamento ocorre em distintos 
múltiplos do espaçamento atômico, enquanto que o deslocamento atômico para maclação é menor 
do que a separação interatômica. 
 
Figura 7.13 - Para um monocristal submetido a uma tensão cizalhante τ, (a) deformação por 
escoregamento; (b) deformação por maclação. 
 
Maclação mecânica ocorre em metais que têm estruturas cristalina CCC e HC, a baixas 
temperaturas, e altas taxas de carregamento (carregamento de choque), condições a que está 
restrito o processo de escorregamento; isto é, existem uns poucos sistemas de escorregamento 
operáveis. A quantidade de deformação plástica a partir da maclação é normalmente pequena 
relativamente àquela resultante a partir do escorregamento. Entretanto, a importância real da 
maclação reside nas acompanhantes reorientações cristalográficass; maclação pode colocar novos 
sistemas de escorregamento em orientações que são favoráveis relativas ao eixo da tensão de tal 
maneira que o processo de escorregamento pode agora ocorrer. 
 
 
 
MECANISMOS DE FORTALECIMENTO EM METAIS 
 
Engenheiros metalúrgico e de materiais são às vezes solicitados a projetar ligas tendo altas 
resistências juntamente com alguma dutilidade e tenacidade; ordinariamente, dutilidade é sacrificada 
quando uma liga é fortalecida.Várias técnicas de endurecimento são disponíveis a um engenheiro e, 
frequentemente, a seleção de liga depende da capacidade do material de ser desenvolvidocom as 
características mecânicas requeridas para uma particular aplicação. 
Importante para entender os mecanismos de fortalecimento é a relação entre o movimento 
de discordância e o comportamento mecânico de metais. Uma vez que deformação plástica 
macroscópica corresponde ao movimento de grandes números de discordâncias, a capacidade de 
um material de se deformar plasticamente depende da capacidade das discordâncias se 
moverem. Uma vez que dureza e resistência mecânica ( tanto o limite convencional de elasticidade 
quanto o limite de resistência à tração) está relacionada à facilidade com a qual a deformação 
plástica pode ocorrer, por redução da mobilidade de discordâncias, a resistência mecânica pode ser 
melhorada; isto é, maiores forças mecânicas serão requeridas para iniciar a deformação plástica. 
Em contraste, quanto mais descontrangido o movimento das discordâncias, tanto maior a facilidade 
com a qual um metal pode se deformar e mais macio e mais fraco ele se torna. virtualmente todas as 
técnicas de fortalecimento repousam sobre este princípio simples: restrição ou endurecimento do 
movimento de discordância torna a um material mais duro e mais forte. 
A presente discussão é confinada aos mecanismos de fortalecimento para metais 
monofásicos, por redução de tamanho de grão, formação de liga por solução sólida e 
endurecimento por deformação. Deformação e fortalecimento de ligas multifásicas são mais 
complicadas, envolvendo conceitos a serem discutidos. 
 
 
7.8 - FOTALECIMENTO POR REDUÇÃO DE TAMANHO DE GRÃO 
 
O tamanho dos grãos, ou diâmetro médio de grão, num metal policristalino influencia as 
propriedades mecânicas. Grãos adjacentes normalmente têm diferentes orientações cristalográficas 
e, naturalmente, um contorno de grão comum, como indicado na Figura 7.14. Durante a deformação 
plástica, movimento de escorregamento ou discordância deve ocorrer através deste contorno 
comum, digamos a partir do grão A para o grão B na Figura 7.14. O contorno de grão age como 
uma barreira ao movimento da discordância por 2 razões: 
 
(1) De vez que 2 grãos são de diferentes orientações, uma discordância passando através 
 do grão B terá que mudar sua direção de movimento; isto se torna mais difícil quando 
 a desorientação cristalográfica aumenta. 
 
(2) A desordem atômica dentro de uma região de contorno de grão resulta numa 
 descontinuidade de planos de escorregamento a partir de um grão para o outro. 
 
 
Figura 7.14 - O movimento de uma discordância quando ela encontra um contorno de grão, 
ilustrando como o contorno age como uma barreira ao escorregamento continuado. Planos de 
escorregamento são descontínuos e mudam de direção através do contorno. (Adaptado a partir de 
L.H. Van Vlack, A Textbook of Materials Technology, Copyright 1973 por Addison-Wesley 
Publishing Co., Reimpresso por permissão de Addison-Wesley Publishing Co., Inc. Reading,MA). 
 
 
 
Deveria ser mencionado que não é o caso para que discordâncias passem através contornos de 
grão durante a deformação para contornos de grão de alto ângulo; em vez disto, uma concentração 
de tensão à frente de um plano de escorregamento num grão pode ativar fontes para novas 
discordâncias num grão adjacente. 
Um material finamente granulado (um que tem grãos pequenos) é mais duro e mais forte 
do que um que seja grosseiramente granulado, de vez que o primeiro tem uma maior área total de 
contorno de grão para impedir o movimento da discordância. Para muitos materiais, o limite 
convencional de elasticidade σy varia com o tamanho de grão de acordo com a relação 
 
 σy = σo + kyd -1/2 (7.5) 
 
Nesta expressão, d é o diâmetro médio de grão e σo e ky são constantes para um particular material. 
A Figura 7.15 demonstra a dependência do limite convencional de elasticidade em relação ao 
tamanho de grão para uma liga de latão. Tamanho de grão pode ser regulado pela taxa de 
solidificação a partir da fase líquida e também por deformação plástica seguida por um apropriado 
tratamento térmico, como discutido na Seção 7.13. 
 
 
Figura 7.15 - A influência do tamanho de grão sobre o limite convencional de elasticidade de uma 
liga de latão de 70Cu-30Zn. Note-se que o diâmetro do grão aumenta a partir da direita para a 
esquerda e não é linear. (Adaptado a partir de H.Suzuki, "A Relação entre Estrutura e Propriedades 
Mecânicas de Metais", Vol. II, National Physical Laboratory Symposium No.15, p.524). 
 
Contornos de grão de baixo ângulo (Seção 4.5) não são efetivos em interferir com o 
processo de escorregamento por causa do ligeiro desalinhamento cristalográfico através do 
contorno. Por outrolado, contornos de macla (Seção 4.5) efetivamente bloqueará escorregamento e 
aumentar a resistência do material. Contornos entre 2 diferentes fases são também impedimentos 
para movimento de discordâncias. Os tamanhos e formas das fases constituintes afetam 
significativamente as propriedades mecânicas de ligas multifásicas; estes são tópicos de discussão 
nas Seções 10.7, 10.8 e 17.1. 
 
7.9 - ENDURECIMENTO POR SOLUCÃO SÓLIDA 
 
Uma outra técnica para fortalecer e endurecer metais é a formação de liga com átomos impurezas 
que entram em soluções sólidas quer substitucionais quer intersticiais. Concordantemente, isto é 
denominado endurecimento por solução sólida. Metais de alta pureza são quase sempre mais 
macios e fracos do que ligas compostas do mesmo metal base. Aumentando da concentração da 
impureza resulta num acompanhante aumento no limite de resistência à tração, e dureza, como 
indicado nas Figuras 7.16a e 7.16b para zinco em cobre; a dependência da dutilidade em relação à 
concentração de zinco é apresentada na Figura 7.16c. 
 
 
Figura 7.16 - Variação com a concentração dezinco: (a) do limite de resistência à tração, (b) 
dureza e (c) dutilidade (%EL) para ligas cobre-zinco, mostrando fortalecimento. (Adaptado a partir 
de Metals Handbook, Propertiesand Selection Nonferrous Alloys and Pure Metals, Vol. 2, 
9a.Edição, H.Baker, Managing Editor, American Society for Metals, 1979, p.314). 
 
 
Ligas são mais fortes do que metais puros porque átomos impurezas que vão para a 
solução sólida ordinariamente impõe deformações na rede dos circundantes átomos hospedeiros. 
Resultam interações de campos de deformação de rede entre discordâncias e estes átomos 
impurezas e, consequentemente, o movimento da discordância é restringido. Por exemplo, um 
átomo de impureza que seja menor do que um átomo hospedeiro a quem êle substitui exerce 
deformações trativas sobre a circundante rede cristalina, como ilustrado na figura 7.17a. Ao 
contrário, um átomo substitucional maior impõe deformações compressivas em sua vizinhança 
(Figura 7.18a). Estes átomos solutos tendema se segregar ao redor de discordâncias numa maneira 
que permita reduzir a energia global de deformação, isto é, cancer alguma deformação numa rede 
que circunda uma discordância. Para realizar isto, um átomo de impureza menor é localizado onde 
sua deformação trativa irá anular parcialmente alguma deformação compressiva de discordância. 
Para a discordância de aresta na Figura 7.17b, este estaria adjacente à linha da discordâncvia e 
acima deste plano de escorregamento. Um átomo de impureza maior estaria situado como na figura 
7.18b. 
 
Figura 7.17 (a) Representação de deformações de rede trativas impostas sobre átomos hospedeiros 
por um átomo de impureza substitucional menor. (b) Localizações possíveis de um átomo de 
impureza menor em relação a uma discordância de aresta tal que existe cancelamento parcial de de 
deformações de rede impureza-discordância. 
 
Figura 7.18 (a) Representação de deformações compressivas impostas sobre átomos hospedeiros 
por um átomo impureza substitucional maior. (b) Localizaçòes possíveis de átomos de impureza 
maiores em relação a uma discordância de aresta tal que existe cancelamento parcial de 
deformações de rede impureza-discordância. 
 
 
A resistência ao escorregamento é maior quando átomos impurezas estão presentes 
porque a deformação global da rede deve aumentar se uma discordância for arrancada a partir dela. 
Além disto, as mesmas interações de deformação de rede (Figuras 7.17b e 7.18b) existirão entre 
átomos impurezas e discordâncias que estão em movimento durante deformação plástica. Assim 
uma maior tensão aplicada é necessária para primeiro iniciar e a seguir continuar a deformação 
plástica para ligas de solução sólida, como oposto para metais puros; isto é evidenciado pela 
melhoria da resistência mecânica e da dureza. 
 
7.10 - ENDURECIMENTO POR DEFORMAÇÃO 
 
Endurecimento por deformação é um fenômeno pelo qual um metal dútil se torna mais duro e 
mais forte quando êle é plasticamente deformado. Às vezes êle é também denominado 
endurecimento por trabalho , ou, porque a temperatura na qual a deformação ocorre é "fria" em 
relação à temperatura absoluta de fusão do metal, trabalho a frio. Muitos metais se endurecem por 
deformação à temperatura ambiente. 
É às vezes conveniente exprimir o grau de deformação plástica como porcentagem de 
trabalho a frio em lugar de deformação. Porcentagem de trabalho a frio (%CW) é definida como 
 
 %CW = ([Ao - Ad] / Ao) x 100 (7.6) 
 
onde Ao é a área original da seção reta que experimenta a deformação e Ad é a área após a 
deformação. 
Figuras 7.19a e 7.19b demonstramcomo aço, latão e cobre aumentam em limite 
convencional de elasticidade e em limite de resistência à tração com o aumento de trabalho a frio. O 
preço para estas melhorias de dureza e de resistência mecânica é a dutilidade do metal. Isto é 
mostrado na Figura 7.19c, na qual a dutilidade, em porcentagem de elongação, experimenta uma 
redução com o aumento da porcentagem de trabalho a frio para as mesmas 3 ligas. A influência de 
trabalho frio sobre o comportamento de um aço é claramente retratada na Figura 7.20. 
 
Figura 7.19 - Para um aço 1040, latão e cobre, (a) o aumento do limite convencional de 
elasticidade, (b) o aumento do limite de resistência à traçào, e (c) o decréscimo da dutilidade (%EL) 
com a porcentagem de trabalho a frio. (Adaptadoa partir de Metals Handbook: Properties and 
Selection, Irons and Steels, Vol.1, 9a.Edição, B. Bardes, Editor, American Society for Metals, 
1978, p.226, e Metals Handbook: Properties and Selection: Nonferrous Alloys and Pure 
Metals, Vol.2, 9a. Edição, H. Baker, Managing Editor, American Society for Metals, 1979, pp.276 
e 327). 
 
Figura 7.20 - A influência do trabalho a frio sobre o comportamento tensão-deformação para um 
aço baixo carbono. (A partir de Metals Handbook: Properties and Selection: Irons and Steels, 
Vol.1, 9a. Edição, B. Bardes, Editor, American Society for Metals, 1978,p.221). 
 
Endurecimento por deformação é demonstrado num diagrama tensão-deformação 
apresentado anteriormente (Figura 6.16). Inicialmente, o metal com limite convencional de 
elasticidade σyo é plasticamente deformado até o ponto D. A tensão é aliviada, a seguir reaplicada 
com um resultante novo limite convencional de elasticidade, σyi. O metal tornou-se assim mais forte 
durante o processo porque σyi é maior do que σyo. 
O fenômeno do endurecimento por deformação é explicado com base em interações dos 
campos de deformação discordância-discordância similares àqueles discutidos na Seção 7.3. A 
densidade de discordância num metal aumenta com a deformaçào ou trabalho a frio, como já 
mencionado. Consequentemente, a distância média de separação entre discordâncias decresce - as 
discordâncias são posicionadas mais próximas entre si. Em média, interações de deformação 
discordância-discordância são repulsivas. O resultado líquido é que o movimento de uma 
discordância é impedido pela presença de outras discordâncias. À medida em que a densidade de 
discordâncias aumenta , esta resistência ao movimento de discordância por outras discordâncias se 
torna mais pronunciada. Assim a tensão imposta necessária para deformar um metal aumenta com o 
aumento do trabalho a frio. 
Endurecimento por deformação é às vezes utilizado comercialmente para melhorar as 
propriedades mecânicas de metais durante os procedimentos de fabricação. Os efeitos de 
endurecimento por deformação podem ser removidos por um tratamento térmico de recozimento, 
como discutido na Seção 11.2. 
De passagem, para a expressão matemática que relacionada a tensão verdadeira e 
deformação verdadeira, Equação 6.18, o parâmetro n é denominado expoente de endurecimento 
por deformação, que é uma medida da capacidade de um metal de se endurecer por deformação; 
quanto maior a sua magnitude, tanto maior o endurecimento por deformação para uma dada 
quantidade de deformação plástica. 
 
PROBLEMA EXEMPLO 7.2 
 
 
 
RECUPERAÇÃO, RECRISTALIZAÇÃO E CRESCIMENTO DE GRÃO 
 
Como delineado nos parágrafos anteriores deste capítulo, a deformação plástica de uma amostra de 
 metal policristalino em temperaturas que sejam baixas em relação à sua temperatura absoluta de 
fusão produz variações microestruturais e de propriedade que incluem: 
(1) uma mudança na forma de grão (Seção 7.6), 
(2) endurecimento por deformação (Seção 7.10), e 
(3) um aumento na densidade de discorância (Seção 7.3). 
Alguma fração da energia expendida na deformação é armazenada no metal como energia de 
deformação que está associada com zonas trativa, compressivas e cizalhante ao redor das récem 
criadas discordâncias (Seção 7.3). Além disto, outras propriedades como conduvidade elétrica 
(Seção 19.8) e resistência à corrosão podem ser modificadas como uma consequência de 
deformação plástica. 
Estas propriedades e estruturas pode revertidas aos estados anteriores ao trabalho a frio 
mediante apropriado tratamento térmico. Tal restauração resulta a partir de 2 diferentes processos 
queocorrem em elevadas temperaturas recuperação e recristalização, que pode ser seguida de 
crescimento de grão. 
 
 
7.11 - RECUPERAÇÃO 
 
Durante a recuperação, uma parte da energia interna de deformação armazenada é aliviada em 
virtude do movimento discordância (na ausência de uma tensão aplicada externamente), como um 
resultado da melhorada difusão atômica a elevada temperatura. Existe alguma redução no 
númerode discordâncias e configurações de discordâncias (similares àquelas mostrada na Figura 
4.8) , tendo baixas energias de deformação, são produzidas. Em adição, propriedades físicas tais 
como condutividades elétrica e térmica e outras parecidas são recuperadas de volta aos seus 
estados antereriores ao trabalho a frio. 
 
 
7.12 - RECRISTALIZAÇÃO 
 
Mesmo após a recuperação ter-se completado,os grãos ainda se encontarão num estado de energia 
de deformação relativamente alto. Recristalização é a formação de um novo conjunto de grãos 
equiaxiais e livres de deformação que têm baixas densidades de discordâncias e são característicos 
da condição anterior ao trabalho a frio. A força motriz para produzir esta nova estrutura de grão é a 
diferença na energia interna entre material deformado e não deformado. Os novos grãos formam 
núcleos muito pequenose crescem até que êles substituam completamente o material matriz, 
processos que envolvem difusão de curta distância. Vários estágios no processo de recristalização 
estão representados nas Figuras 7.21a a 7.21d; nestas fotomicrografias, os grãos pequenos são 
aqueles que se recristalizaram. Assim, recristalização de metais trabalhados a frio pode ser usada 
para refinar a estrutura de grão. 
 
 
Figura 7.21 - Fotomicrografias mostrando vários estágios da recristalização e crescimento de grão 
de latão. (a) estrutura de grão trabalhado a frio (33%CW). (b) Estágio inicial de recristalização após 
aquecimento durante 3 s a 580oC (1075oF); os grãos muito pequenos são aqueles que se 
recristalizaram. (c) Substituição parcial dos grãos trabalhados a frio por grãos recristalizados (4 s a 
580oC. (d) Recristalização completa (8s a 580oC). (e) Crescimento de grão após 15 min a 580oC. 
(f) Crescimento de grão após 10 minutos a 700oC (1290oF). Todas as fotomicrografias 75x. 
(Fotomicrografia cortesia de J.E.Burke, General Electric Company.). 
 
 
Também, durante a recristalização, as propriedades mecânicas que foram mudadas como 
um resultado de trabalho a frio são restauradas de volta aos valores anteriores ao trabalho a frio; isto 
é, o metal se torna mais macio, mais fraco e também mais dútil. Alguns tratamentos térmicos são 
projetados para permitir a ocorrência da recristalização com estas modificações nas características 
mecânicas (Seção 11.2). 
Recristalização é um processo cuja extensão depende tanto do tempo quanto da 
temperatura. O grau (ou fração) de recristalização aumenta com o tempo, como pode ser notado 
nas fotomicrografias mostradas nas Figuras 7.21a-d. A explícita dependência da recristalização em 
relação ao tempo é deixada para ser tratada em mais detalhes na Seção 10.3. 
A influência da temperatura é demonstrada na Figura 7.22, que grafica o limite de 
resistência à tração e a dutilidade (à temperatura ambiente) de uma liga de latão como uma função 
da temperatura e pra um constante tempo de tratamento térmico de 1h. As estruturas de grão 
encontradas em vários estágios do processo são apresentadas esquematicamente. 
 
 
Figura 7.22 - A influência da temperatura de recozimento sobre o limite de resistência à tração e 
dutilidade de uma liga de latão. Tamanho de grão como uma função da temperatura de recozimento 
é indicada. Estrutura de grão durante os estágios de recuperação, recristalização e crescimento de 
grão é mostrada esquematicamente. (Adaptada a partir de G. Sachs e K.R. Van Horn, Practical 
Metallurgy, Applied Metallurgy and the Industrial Processing of Ferrous and Nonferrous 
Metals and Alloys, American Society for Metals, 1940, p.139.) 
 
 
 
O comportamento de recristalização de uma liga metálica particular é às vezes 
especificado em termos de uma temperatura de recristalização, a temperatura na qual a 
recristalização justo se completa em 1 h. Assim a temperatura de recristalização para liga de latão 
da Figura 7.22 é de cerca de 450oC (850oF). Tipicamente, ela se situa entre 1/3 e 1/2 da 
temperatura absoluta de fusão de um metal ou liga e depende de vários fatores, incluindo a 
quantidade de trabalho a frio prévio e a pureza da liga. O aumento da porcentagem de trabalho a 
frio aumenta a taxa de recristalização, com isso abaixando a temperatura de recristalização; este 
efeito é mostrado na Figura 7.23. Existe algum grau crítico de trabalho a frio abaixo do qual a 
recristalização não terá condições de ocorrer, como mostrado na figura; normalmente, este está 
entre 2 e 20% de trabalho a frio. 
 
Figura 7.23 - A variação da temperatura de recristalização com a porcentagem de deformação a 
frio para o ferro. Para deformações menores do que a crítica (cerca de 5%CW), recristalização não 
ocorrerá. 
 
 
 
Recristalização se processa mais rapidamente em metais puros do que em ligas. Assim a 
formação de liga eleva a temperatura de recristalização, às vezes bastante substancialmente. Para 
metais puros, a temperatura de recristalização é normalmente 0,3Tm , onde Tm é a temperatura 
absoluta de fusão; para algumas ligas comerciais ela pode chegar a um valor tão alto quanto 0,7Tm. 
As temperaturas de recristalização e de fusão para um número de metais e ligas estãolistas na Tabela 
7.2. 
 
 
TABELA 7.2 - Temperaturas de Recristalização e de Fusão para Vários Metais e Ligas 
 
 
PROBLEMA EXEMPLO 7.3 
 
 
 
7.13 - CRESCIMENTO DE GRÃO 
 
Após a recristalização estar completa, os grãos livres de deformação continuarão a crescer se a 
amostra de metal é deixada em temperatura elevada - um fenômeno denominado crescimento de 
grão. Crescimento de grão não precisa ser precedido por recuperação e recristalização; êle pode 
ocorrer em todos os materiais policristalinos, metais e cerâmicas igualmente. 
Uma energia associada com contornos de grão, como explicado na Seção 4.5. À medida 
em que grãos crescem em tamanho, a área total de contorno decresce, fornecendo uma 
acompanhante redução na energia total; esta é a força motriz para o crescimento de grão. 
Crescimento de grão ocorre pela migração de contornos de grão. Obviamente, nem todos 
os grãos pode crescer, mas alguns crescem às expensas de outros que se encolhem. Assim o 
tamanho médio de grão aumenta com o tempo e num particular instante existirá uma gaixa de 
tamanhos de grão. Movimento de contorno é justo a difusão de curta distância de átomos a partir de 
um lado do contorno para o outro. As direções de movimento do contorno e o movimento atômico 
são opostos entre si, como mostrado na Figura 7.24. 
 
 
Figura 7.24 - Representação esquemática de crescimento de grão via difusão atômica. (Adaptado a 
partir de L.H. Van Vlack, Elements of Materials Science and Engineering, 6a.Edição, Copyright 
1989 por Addiwon-Wesley Publishing Co. Reimpresso por permissão de Addison-Wesley 
Publishing Co., Inc., Reading, MA). 
 
 
Para muitos mateiais policristalinos, o diâmetro de grão d varia com o tempo t de acordo 
com a correlação 
 
 dn - don = Kt (7.7) 
 
onde do é o diâmetro de grão inicial em t = 0, e K e n são constantes independentes do tempo; o 
valor de n é geralmente igual ou maior a 2. 
A dependência do tamanho de grão em relação ao tempo e à temperatura é demonstrada 
na Figura 7.25, um gráfico do logarítmo do tamanho de grão como uma função do logarítmo do 
tempo para uma liga de latão em várias temperaturas. Em temperaturas menores a dependência em 
relação à temperatura é linear a partir do gráfico. Além disso, crescimento de grão se processa mais 
rapidamente à medida em que a temperatura aumenta.; isto é, as curvas são deslocadas para cima 
no sentido de tamanhos de grão maiores. Isto é explicado pela melhoria da taxa de difusão com oaumento da temperatura. 
 
 
Figura 7.25 - O logarítmo do tamanho de grão versus logarítmo do tempo para crescimento de grão 
em latão em várias temperaturas. (A partir de J.E.Burke, "Some Factors Affecting the Rate of Grain 
Growth in Metals". Reimpresso com permissão a partir de Metallurgical Transactions, Vol. 180, 
1949, uma publicação de The Metallurgical Society of AIME, Warrandale,Pennsylvania). 
 
 
 
As propriedades mecânicas à temperatura ambiente de um metal de granulação fina são 
usualmente superiores àquelas de metais de granulação grosseira. Se a estrutura de grão de uma liga 
monofásica é mais grossa do que a desejada, refinamento pode ser realizado por deformação 
plástica do material, a seguir submetendo-o a um tratamento térmico de recristalização, como 
descrito acima. 
MATERIALS SCIENCE AND ENGINEERING An Introduction 
William D. Callister, Jr., John Wiley & Sons, 1991. 
 
8. FALHA EM SERVIÇO 
 
 
8.1 - INTRODUÇÃO 
 
A falha de materiais de engenharia é quase sempre um evento indesejável por várias razões; estas 
incluem vidas humanas que são postas em risco, perdas econômicas e a interferência com a 
disponibilidade de produtos e serviços. Mesmo embora as causas de falhas e o comportamento de 
materiais possam ser conhecidos, prevenção de falhas é difícil de garantir. As causas usuais são 
seleção e processamento impróprios de materiais e inadequado projeto do componente ou seu mau 
 uso. É responsabilidade do engenheiro antecipar-se e planejar-se para possível falha e, na 
eventualidade da ocorrência da falha, assessar sua causa e a seguir tomar medidas preventivas 
apropriadas contra incidentes futuros. 
Tópicos a serem abordados neste capítulo são os seguintes: fratura simples (tanto dútil 
quanto frágil), fundamentos de mecânica da fratura, testes de fratura por impacto, 
 a transição dútil a frágil, fadiga e cripe. Estas discussões incluem mecanismos de falha, técnicas de 
teste e métodos pelos quais falha pode ser prevenida ou controlada. 
 
 
FRATURA 
 
8.2 - FUNDAMENTOS DE FRATURA 
 
Fratura simples é a separação de um corpo em 2 ou mais peças em resposta a uma tensão imposta 
que é estática (isto é, constante ou variando lentamente com o tempo) e em temperaturas que são 
baixas relativamente à temperatura de fusão do material. A tensão aplicada pode ser de tração, 
compressão, cizalhamento ou torção; a presente discussão será confinada a fraturas que resultam a 
partir de cargas de tração uniaxial. Para materiais de engenharia, 2 modos de fratura são possíveis: 
dúteis e frágeis. A classificação baseia-se na capacidade de um material experimentar deformação 
plástica. Materiais dúteis tipicamente exibem substancial deformação plástica com alta absorção de 
energia antes da fratura. Por outro lado, existe normalmente pouca ou nenhuma deformação com 
baixa absorção de energia acompanhando uma fratura frágil. Os comportamentos tensão de tração-
deformação de ambos os tipos de fratura pode ser revisto na Figura 6.12. 
"Dútil" e "frágil" são termos relativos; se uma particular fratura é de um modo ou do outro 
depende da situação. Dutilidade pode ser quantificada em termos de porcentagem de elongação 
(Equação 6.10) e porcentagem de redução de área (Equação 6.11). Além disso, dutilidade é uma 
função da temperatura do material, da taxa de deformação e do estado de tensão. 
 A disposição de materiais normalmente dúteis em falhar de uma maneira frágil é discutida na Seção 
8.6. 
Qualquer processo de fratura envolve 2 etapas - formação da trinca e sua propagação - 
em resposta a uma tensão imposta. O modo de fratura depende grandemente do mecanismo de 
propagação. Fratura dútil é altamente dependente do mecanismo de propagação de trinca. Fratura 
dútil é caracterizada por uma extensa deformação plástica na vizinhanca de uma trinca que avança. 
Além disso, o processo ocorre de uma maneira relativamente lenta à medida em que o comprimento 
da trinca é estendido. Às vezes diz-se que uma tal trinca é estável. Isto é, ela resiste a uma 
adicional extensão a menos que exista um aumento na tensão aplicada. Em adição, haverá 
ordinariamente evidência de apreciável deformação bruta nas superfçies da fratura (por exemplo, 
torcimento e rasgamento). Por outro lado, para fratura frágil, trincas podem se espalhar de maneira 
extremamente rápida, com muito pouca deformação plática acompanhante. Pode-se dizer que tais 
trincas são instáveis e propagação da trinca, uma vez iniciada, continuará espontâneamente sem um 
aumento na magnitude da tensão aplicada. 
Fratura dútil é quase sempre preferida por 2 razões. Primeiro, fratura frágil ocorre 
repentinamente e catastroficamente sem qualquer aviso; esta é uma consequência da espontânea e 
rápida propagação da trinca. Por outro lado, para fratura dútil, a presença de deformação plástica 
dá aviso de que a fratura é iminente, permitindo que medidas preventivas sejam tomadas. 
Segundo, mais energia de deformação é requerida para induzir fratura dútil porquanto materials 
dúteis são geralmente mais tenazes. Sob a ação de uma tensão de tração aplicada, muitas ligas 
metálicas são dúteis, enquanto que cerâmicas são notavelmente frágeis e polímeros podem exibir 
ambos os tipos de fratura. 
 
 
8.3 - FRATURA DÚTIL 
 
Superfícies de fratura dútil têm suas próprias características distintivas nos níveis tanto macroscópico 
quanto microscópico. A Figura 8.1 mostra representações esquemáticas para 2 caracteísticos perfis 
macroscópicos de fratura. A configuração mostrada na Figura 8.1a é encontrada em materiais 
extremamente macios, tais como ouro puro e chumbo puro à temperatura ambiente e em outros 
metais, polímeros e vidros inorgânicos em temperaturas elevadas. O pescoço destes materiais 
altamente dúteis diminui continuamente até chegar a um únco ponto, mostrando virtualmente 100% 
de redução de área. 
 
 
Figura 8.1 - (a) Uma fratura altamente dútil na qual a amostra tem seu pescoço final reduzido a um 
ponto. (b) Fratura moderadamente dútil após a formação de algum pescoço. (c) Fratura frágil sem 
nenhuma deformação plástica. 
 
 
O tipo mais comum de perfil de fratura de tração para metais dúteis é aquele representado 
na Figura 8.1b, cuja fratura é precedida por somente uma moderada quantidade de 
empescoçamento. O processo de fratura normalmente ocorre em vários estágios (Figura 8.2). 
 Primeiro, após o início do empescoçamento, pequenas cavidades, ou microvazios, se formam no 
interior da seção reta, como indicado na Figura 8.2b. Depois, à medida em que a deformação 
continua, estes microvazios crescem, encostam-se mutuamente e se coalescem para formar uma 
trinca elítica, que tem seu eixo longo perpendicular à direção da tensão. A trinca continua a crescer 
numa direção paralela ao eixo maior por este processo de coalescência de microvazios (Figura 
8.2c). Finalmente, a fratura resulta pela rápida propagação de uma trinca ao redor do perímetro 
externo do pescoço (Figura 8.2d), pela deformação cizalhante num ângulo de cerca de 45o com o 
eixo de tração - este é o ângulo no qual a tensão cizalhante é máxima. Às vezes uma fratura tendo 
este característico contorno superficial é denominada uma fratura de taça-e-cone ("cup-and-cone 
fracture") porque uma das superfícies que se acasalam encontra-se na forma de uma taça, a outra 
se parecendo com um cone. Neste tipo de amostra fraturada(Figura 8.3a), a região central interior 
da superfície tem uma aparência irregular e fibrosa, que é indicativa de deformação plástica. 
 
 
 
Figura 8.2 - Estágios na fratura em taça-e-cone (a) Empescoçamento inicial. (b) Formação de 
pequena cavidade. (c) Coalescência de cavidades para formar uma trinca. (d) Propagação de trinca. 
(e) Fratura cizalhante final num ângulo de 45o em relação à direção da tensão. (A partir de 
K.M.Ralls, T.H. Courtney e J.Wulff, Introduction to Materials Science and Engineering. , p.468. 
Copyright 1976 por John Wiley & Sons, New York, Reimpresso por permissão de John Wiley & 
Sons, Inc.). 
 
 
Figura8.3 (a) Fratura em taça-e-cone em alumínio. (b) Fratura frágil em aço doce. A partir de 
H.W.Hayden, W.G. Moffat e J.Wulff, The Structure and Properties of Materials, Vol. III, 
Mechanical Behavior, p.144, Copyright 1965 por John Wiley & Sons, New York, Reimpresso 
por permissão de John Wiley & Sons, Inc.) 
 
 
Informação muito mais detalhada relacionada ao mesmo de fratura é disponível a partir do 
exame microscópico, normalmente usando microscopia eletrônica. 
Estudos deste tipo são denominados fractográficos. 
O microscópio eletrônico é preferido para exames fractográficos uma vez que êle tem uma 
resolução muito melhor e profundidade de campo muito maior do que os dos microscópios óticos; 
estas características são necessárias para revelar as características topográficas de superfícies de 
fratura. Ordinariamente, o microscópio eletrônico de varredura (MEV ou "SEM" em inglês) é usado 
e nele a amostra é vista diretamente. 
Quando a região central fibrosa de uma superfície de fratura em taça-e-cone é examinada 
com o microscópio eletrônico numa alta ampliação, verificar-se-á que ele consiste de numerosas 
"covinhas" esféricas (Figura 8.4a); esta estrutura é característica de fratura resultante de falha sob 
tensão uniaxial. Cada covinha é uma metade de um microvazio que se formou e se separou durante 
o processo de fratura. Covinhas também se forma sobre a borda de cizalhamento de 45o da fratura 
em taça-e-cone. Entretanto, estas serão elongadas ou postas em forma de C como vistas na Figura 
8.4b. Esta forma parabólica pode ser indicativa de falha por cizalhamento. Além disto, outras 
características superficiais microscópicas de fratura são também possíveis. Fractografias tais como 
as mostradas nas Figuras 8.4a e 8.4b fornecem informação valiosa na análise de fratura, tais como o 
modo de fratura, o estado de tensão, bem como o local de inciação da trinca. 
 
 
Figura 8.4 (a) Fractografia eletrônica de varredura mostrando covinhas esféricas características de 
fratura dútil resultante de cargas de tração uniaxial. (b) fractografia eletrônica de varredura 
mostrando covinhas em forma parabólica característica de fratura dútil resultante de carga de 
cizalhamento. (A partir de R.W. Hertzberg, Deformation and Fracture Mechanics of 
Engineering Materials, 3a. Edição, Copyright 1989 por John Wiley & Sons, New York, 
Reimpresso por permissão de John Wiley & Sons, Inc.) 
 
8.4 - FRATURA FRÁGIL 
 
 
Fratura frágil ocorre sem qualquer apreciável deformação e por rápida propagação de trinca. 
A direção do movimento de trinca é muito proximamente perpendicular à direção da tensão de 
tração aplicada e fornece uma superfície de fratura relativamente plana, como indicado na Figura 8.1 
Superfícies de fratura de materiais que falharam numa maneira frágil terão seus próprios 
padrões(modelos) distintivos; quaisquer sinais de deformação plástica bruta estarão ausentes. Por 
exemplo, em algumas peças de aço, uma série de marcas fratura estriadas em forma de V pode se 
formar perto do centro da seção reta da fratura que apontam para trás no sentido do sítio de 
inciação da trinca (Figura 8.5a). Outras superfícies de fratura frágil contém linhas ou arestas que se 
irradiam a partir da origem da trinca numa forma de leque (Figura 8.5b). Às vezes, ambos estes 
padrões(modelos) de marcas serão suficientemente grossos para serem discernidos com olho nú. 
Para metais muito duros e finamente granulados, não haverá nenhum discernível padrão(modelo) de 
fratura. Fratura frágil em materiais amorfos, tais como vidros cerâmicos, fornecem uma superfície 
relativamente brilhante e lisa. 
 
 
Figura 8.5 (a) Fotografia mostrando marcas estriadas em forma de V características de fratura frágil. 
(A partir de R.W. Hertzberg, Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materials, 
3a. Edição, Copyright 1989 por John Wiley & Sons, New York, Reimpresso por permissão de 
John Wiley & Sons, Inc. Fotografia cortesia de Roger Slutter, Lehigh University.) (b) Fotografia de 
uma superfície de fratura frágil mostrando estrias radiais em forma de leque. Setas indicando a 
origem da trinca. (Reproduzida com permissão de D.J. Wulpi, Understanding How Components 
Fail, American society for Metals, Materials Park, OH, 1985. 
 
 
Para muitos materiais cristalinos, propagação de trinca corresponde à sucessiva e repetida 
quebra de ligações atômicas ao longo de planos cristalográficos específicos; um tal processo é 
denominado clivagem. Diz-se que este tipo de fratura é transgranular (ou transcristalina), 
porque as trincas de fratura passam através dos grãos. Macroscopicamente, a superfície de fratura 
pode ter uma textura granular ou facetada (Figura 8.3b), como um resultado de mudanças de 
orientação dos planos de clivagem de grão a grão. Este característica é mais evidente na micrografia 
eletrônica de varredura mostrada na Figura 8.6a. 
Em algumas ligas, propagação de trinca é ao longo de contornos de grão; esta fratura é 
denominada intergranular. A Figura 8.6b é uma microgrfia eletrônica de varredura mostrando uma 
fratura intergranular típica na qual a natureza tridimensional dos grãos pode ser vista. Este tipo de 
fratura normalmente resulta subsequente à ocorrência de processos que enfraquecem ou fragilizam 
regiões de contorno de grão. 
 
 
Figura 8.6 (a) Fractografia eletrônica de varredura de ferro fundido mostrando uma superfície de 
fratura transgranular. (A partir de V.J. Colangelo e F.A.Heiser, Analysis of Metallurgical 
Failures, 2a. Edição, Copyright 1987 por John Wiley & Sons, New York, Reimpresso por 
permissão de John Wiley & Sons, Inc.) (b) Fractografia eletrônica de varredura mostrando uma 
superfície de fratura intergranular. (Reproduzida com permissão de D.J.Wulpi, Understanding 
How Components Fail, American Society for Metals, Materials Park, OH, 1985.) 
 
 
 
8.5 - PRINCÍPIOS DE MECÂNICA DE FRATURA 
 
 
Fratura frágil de materiais normalmente dúteis, tais como aquela mostrada na página 189, 
demonstrou a necessidade de um melhor entendimento dos mecanismos de fratura.Extensos 
esforços de pesquisa ao longo de várias décadas passadas conduziram à evolução do campo da 
mecânica de fratura . Conhecimento compilado a partir daí permite quantificação das correlações 
entre propriedades de materiais, nível de tensão, a presença defeitos produtoras de trinca e 
mecanismos de propagação de trinca. Os engenheiros projetistas estão agora melhor equipados 
para se antecipar e, assim ,prevenir falhas estruturais. A presente discussão centra-se sobre alguns 
princípios fundamentaisda mecânica da fratura. 
 
 
Concentração de Tensão 
 
A resistência à fratura de um material sólido é uma função das forças coesivas que existem entre os 
átomos.Nesta base, estimou-se que a resistência coesiva teóricade um sólido elástico frágil é 
aproximadamente E / 10, onde E é o módulo de elasticidade. As resistências à fratura experimentais 
da maioria dos materiais de engenharia normalmente caem entre 10 e 1000 vezes abaixo deste 
valor teórico. Na década de 1920, A.A.Griffith propuseram que esta discrepância entre a força 
coesiva teórica e a resistência à fratura observada poderia ser explicada pela presença de defeitos 
ou trincas muito pequenos e microscópicos quesempre existem sob condições normais na superfície 
e dentro do interior de um corpo material. Os defeitos são um detrimento para a resistência à fratura 
porque uma tensão aplicada pode ser amplificada ou concentrada na ponta, a magnitude desta 
amplificação dependendo da orientação e geometria da trinca. Este fenômenos está demonstrado 
na Figura 8.7, um perfil de tensão através de uma seção reta contendo uma trinca interna. Como 
indicado por este perfil, a magnitude desta tensão localizada diminui com a distância para longe da 
ponta da trinca. Em posições bem longe do referido ponto, a tensão é justoa tensão nominal σo ou a 
cargadividida pela seção reta da amostra. Devido à sua capacidade de amplificar um tensão 
aplicada em seus locais,estes defeitos (falhas) às vezes denominadas elevadores tensão. 
 
 
Figura 8.7 - (a) A geometria de trincas superficial e interna. (b) Perfil esquemático de tensão ao 
longo da linha X-X' em (a), demonstrando amplificação de tensão em posições de ponta de trinca. 
 
 
É suposto que umatrincatem uma forma elítica e está orientada com o seu eixo maior 
perpendicular à tensão aplicada, a tensão máxima na ponta da trinca, σm , pode ser aproximada por 
 
 σm = 2 σo (a/ρt)1/2 (8.1) 
 
onde σo é a magnitude da tensão de tração aplicada nominal, ρt é o raio de curvatura da ponta da 
trinca (Figura 8.7a), e a representa o comprimento de uma trinca superficial ou a metade do 
comprimento de uma trinca interna. Assim para uma microtrinca relativamente longa que tem um 
pequeno raio de curvatura na ponta, o fator (a / ρt)1/2 pode ser muito grande. Isto vai fornecer um 
valor de σm que é muitas vezes aquele de σo. 
Às vezes a razão σm / σo é denotada como o fator de concentração de tensão, Kt : 
 
 Kt = σm / σo = 2(a / ρt)1/2 (8.2) 
 
que é simplesmente uma medida do grau até onde uma tensão externa é amplificada na ponta de 
uma pequena trinca. 
 
Como um comentário, deveria ser dito que amplificação de tensão não está restrita a estes 
defeitos microscópicos; ela pode ocorrer em descontinuidades internas macroscópicas (por 
exemplo, buracos), em arestas vivas e entalhes em estruturas grandes. A Figura 8.8 mostra curvas 
teóricas de fator de concentração de tensão para város componentes simples e comuns. 
 
 
Figura 8.8 - Curvas teóricas de fator de concentração de tensão para 3 formas geométricas simples. 
(A partirde G.H. Neugebauer, Prod. Eng.(NY), Vol. 14, pp.82-87, 1943). 
 
 
Além disso, o efeito de um elevador de tensão é mais significativo em materiais frágeis do 
que em materiais dúteis. Para um material dútil, a deformação plástica ocorre quando a tensão 
máxima excede a resistência ao escoamento (limite convencional de elasticidade). Isto conduz a uma 
distribuição mais uniforme de tensão na vizinhança do elevador de tensão e ao desenvolvimento de 
um fator de concentração de tensão máxima menor do que o valor teórico. Tal escoamento e 
redistribuição de tensão não ocorre em qualquer extensão apreciável ao redor das falhas (defeitos) e 
descontinuidades em materiais frágeis; portanto, resultará essencialmente a concentração teórica de 
tensão. 
Griffith a seguir propôs que todos os materiais frágeis contivessem uma população de 
pequenas trincas e falhas que têm uma variedade de tamanhos, geometrias e orientações. A fratura 
resultará quando, sob aplicação de uma tensão de tração, a resistência coesiva teórica do material é 
excedida na ponta de uma destas falhas. Isto conduz à formação de uma trinca que então se 
propaga rapidamente. Se nenhuma falha estiver presente, a resistência à fratura seria igual à 
resistência coesiva do material.Whiskers (filamentos ou agulhas) metálicos ou cerâmicos muito 
pequenos e virtualmente livres de defeito foram crescidos com resistências à fratura que se 
aproximam dos seus valores teóricos. 
 
 
A Teoria de Griffith da Fratura Frágil 
 
Durante a propagação de uma trinca, existe uma liberação do que é denominado energia de 
deformação elástica , alguma energia que é estocada no material quando êle é elásticamente 
deformado. Além disso, durante o processo de extensão da trinca, novas superfícies livres são 
criadas nas faces de uma trinca, que dá origem a um aumento na energia superficial do sistema. 
Griffith desenvolveu um critério para a propagação de trinca de uma trinca elítica (Figura 8.7a) 
realizando um balanço de energia usando estas duas energias.Êle demonstrou que a tensão crítica σc 
requerida para propagação de trinca num material é descrita por 
 
 σc = (2 E γs / πa )1/2 (8.3) 
 
 
onde 
 
E = módulo de elasticidade 
γs = energia superficial específica 
a = metade do comprimento de uma trinca interna 
 
Vale a pena notar que esta expressão não envolve o raio da ponta da trinca ρt , como faz a equação 
de concentração de tensão (Equação 8.1); entretanto, é suposto que o raio é suficientemente 
pequeno (da ordem do espaçamento atômico, a que corresponde um acutângulo ou "aresta muito 
viva") de maneira a elevar a tensão local na ponta da trinca acima da resistência coesiva do material. 
O desenvolvimento prévio se aplica somente a materiais frágeis para os quais não existe 
nenhuma deformação plástica. A maioriados metais e muitos polímeros experimentam alguma 
deformação plástica durante a fratura; isto conduz a um embotamento (perda de gume cortante ou 
cegueira de gume) da ponta da trinca, um decréscimo do raio da ponta da trinca e 
subsequentemente um aumento na tensão de fratura. Matematicamente, isto pode ser acomodado 
pela substituição de γs na equação 8.3 por γs + γp , onde γp representa uma energia de 
deformação plástica associada com a extensão da trinca. Para materiais altamente dúteis, pode ser o 
caso de se ter γp >> γs . 
Na década de 1950, G.R. Irwin escolheu incorporar tanto γs quanto γp num único termo 
U , tal que 
 
 U = 2 (γs + γp) (8.4) 
 
U é conhecido como a taxa de liberação de energia de deformação , e a extensão da trinca 
ocorre quando ela excede um valor crítico, Uc. 
 
 
Análise de Tensão de Trincas 
 
À medida em que continuamos a explorar o desenvolvimento da mecânica da fratura, vale a pena 
examinar as distribuições de tensão na vizinhança da ponta de uma trinca que avança. 
Existem 3 meios (ou modos) fundamentais pelos quais uma carga pode operar sobre uma trinca e 
cada um afetará um diferente deslocamento da superfície da trinca; estes estão ilustrados na Figura 
8.9. Modo I é uma carga de abertura (ou de tração), enquanto que os modos II e III são modos de 
deslizamento e de rasgamento ("tearing"), respectivamente. Modo I é encontrado mais 
frequentemente e somente êle será tratado aqui na discussão que se segue sobre a mecânica de 
fratura. 
 
 
Figura 8.9 - Os 3 modos de deslocamento da superfície da trinca. (a) Modo I, modo de abertura 
ou de tração; (b) modo II, modo deslizante; e (c) modo III, modo de rasgamento (ou de corte com 
tesoura; "tearing") 
 
 
Para a configuração deste modo I, as tensões que agem sobre um elemento de material 
estão mostrados na Figura 8.10. 
Usando princípios de teoria elástica e a notação indicada, tensões de tração (σx e σy ) e cizalhante 
(τxy) são funções tanto da distância radial r quanto do ângulo θ como segue1: 
 
 σx = [K / (2πr)1/2] fx (θ) (8.5a) 
 
 σy = [ K / (2πr)1/2] fy (θ) (8.5b) 
 
 τxy = [K / (2πr)1/2 ] fxy (θ) (8.5c) 
 
 
Figura 8.10 - As tensões agindo em frente de uma trinca que é carregada numa configuração em 
modo I de tração. 
 
_________________________________________________ 
1 As funções f(θ) são as seguintes: 
 
 fx(θ) = cos (θ/2) [ 1 - sen (θ/2) sen (3θ/2)] 
 
 fy(θ) = cos (θ/2) [ 1 + sen (θ/2) sen (3θ/2)] 
 
 fxy (θ) = sen (θ/2) cos (θ/2) cos (3θ/2) 
 
_________________________________________________ 
 
Se a placa for fina em relação às dimensòes da trinca, então σz = 0, ou se diz que existe uma 
condição de tensão plana. No outro extremo (uma placa relativamente espessa), σz = ν (σx + σy), e 
o estado é referido como deformação plana (uma vez que εz = 0); ν nesta expressão é a razão de 
Poisson. 
Na Equação 8.5, o parâmetro K é denominado fator intensidade de tensão; seu uso 
proporciona uma conveniente especificação da distribuição da tensão ao redor de uma falha. 
Dever-se-ía notar que este fator de intensidade de tensão e o fator de concentraçào de tensão Kt na 
equação 8.2, embora similares, não são equivalentes. 
O valor do fator de intensão de tensão é uma função da tensão aplicada, o tamanho e 
posição da trinca, bem como a geometria da peça sólida na qual a trinca está localizada. 
 
 
 
Tenacidade à Fratura 
 
Na discussão acima, um critério foi desenvolvido para a propagação de trinca num material frágil 
contendo um defeito(falha); fratura ocorre quando o nível da tensão aplicadaexcede algum valor 
crítico σc (Equação 8.3). Similarmente, de vez que as tensões na vizinhança de uma ponta de trinca 
pode ser definida em termos do fator intensidade de tensão, existe um valor crítico deste parâmetro 
que pode ser usado para especificar as condições de fratura frágil;este valor crítico é denominado 
tenacidade à fratura Kc . Em geral, ela pode ser expressa na forma 
 
 Kc = Y σ(πa)1/2 (8.6) 
 
onde Y é um parâmetro adimensional que depende das geometrias tanto da amostra quanto da 
trinca. Por exemplo, para placa de largura infinita na Figura 8.11a, Y = 1,0 ; ou para uma placa de 
largura semi-infinita contendo uma trinca de aresta de comprimento a (Figura 8.11b), Y = 1,1. 
 
 
Figura 8.11 - Representações esquemáticas de (a) uma trinca do interior numa placa de largura 
infinita, e (b) uma trinca de aresta num plano de largura semi-infinita. 
 
 
Por definição, tenacidade à fratura é uma propriedade que é a medidad da resistência de 
um material à fratura frágil quando uma trinca estiver presente. Dever-se-ía notar também que 
tenacidade à fratura tem unidades não-usuais de psi (polegada)1/2 (ou MPa [m]1/2). 
Para amostras relativamente finas, o valor de Kc dependerá da espessura da amostra B e 
decrescerá com o aumento da mesma, como indicado na Figura 8.12. Eventualmente, Kc se torna 
independente de B, no tempo em que a condição de deformação plana existir2. O valor da 
constante Kc para amostra mais grossas é conhecido como tenacidade à fratura de deformação 
plana , KIc , que é também definida por 
 
 KIc = Y σ (πa)1/2 (8.7) 
 
É a tenacidade à fratura normalmente citada de vez que seu valor é sempre menor do que Kc . 
O subscrito para KIc denota que o valor crítico de K é para o deslocamento da trinca no modo I , 
como ilustrado na Figura 8.9a. Materiais frágeis, para os quais apreciável deformação plástica não é 
possível na frente de uma trinca avançante, têm baixos valores de KIc e são vulneráveis à falha 
castrastrófica em serviço. Por outro lado, valores de KIc são relativamente grandes para materiais 
dúteis. Mecânica de fratura é especialmente útil na previsão de falha castrófica em serviço em 
materiais tendo dutilidades intermediárias. Valores de tenacidade à fratura de deformação plana para 
um número de diferentes materiais são apresentados na Tabela 8.1. 
 
 
 
Figura 8.12 - Representação esquemática mostrando o efeito de espessura de placa na tenacidade à 
fratura. 
 
 
 
Tabela 8.1 - Resistência ao Escoamento à Temperatura Ambiente para Selecionados Materiais de 
Engenharia. 
 
 
_________________________________________________ 
2 Experimentalmente, foi verificado que condições de deformação plana 
 
 B $ 2,5 (KIc / σy)2 (8.8) 
 
onde σy é o limite de escoamento para um valor de desvio de deformação 0,002 do material. 
_________________________________________________ 
 
 
O fator de intensidade de tensão nas Equações 8.5 e tenacidade à fratura de deformação 
plana KIc estão inter-relacionados no mesmo sentido que o relacionamento entre tensão de 
escoamento e resistência ao escoamento. Um material pode ser submetido a muitos valores de 
tensão; entretanto, existe um nível de tensão específico no qual o material se deforma plasticamente - 
isto é, a resistência ao escoamento. Do mesmo modo, uma variedade de valores de K são possíveis 
mas KIc é única para um particular material. 
Várias técnicas diferentes de teste são usadas para medir KIc. Virtualmente quaisquer 
tamanho e forma de amostra consistente com o modo I de deslocamento da trinca pode ser utilizado 
e valores precisos serão obtidos desde que o parâmetro de escala Y na equação 8.7 tenha sido 
apropriadamente determinado. 
A tenacidade à fratura de deformação plana KIc é uma propriedade material fundamental 
que depende de muitos fatores, dos quais os mais influentes são, taxa de deformação e 
microestrutura. A magnitude de KIc decresce com o aumento da taxa de deformação e com o 
decréscimo da temperatura. Além disso, uma melhoria na resistência ao escoamento trabalhado por 
solução sólida ou adições de dispersão ou por endurecimento por deformação geralmente produz 
um correspondente decréscimo em KIc . Além disso, KIc normalmente decresce com a reduçãodo 
tamanho de grão quando a composição e as variáveis microestruturais são mantidas constantes. 
Resistências ao escoamento para alguns materiais estão listados na Tabela 8.1. 
 
 
Projeto Usando Mecânica de Fratura 
 
De acordo com a Equações 8.6 e 8.7, três variáveis devem ser consideradas em relação à 
possibilidade de ocorrência de fratura de algum componente estrutural - isto é, a tenacidade à 
fratura (KI ) ou tenacidade à fratura por deformação plana (KIc), a tensão imposta (σ), e o tamanho 
do defeito (a), supondo, naturalmente,que Y tenha sido determinado. Quando se estiver projetando 
um componente é primeiro importante decidir quais destas variáveis estão constrangidas pela 
aplicação e quais estão sujeitas ao controle do projeto. Por exemplo, seleção de material (e 
portanto Kc ou KIc) é às vezes ditado por fatores tais como densidade (para aplicações de baixo 
peso) ou as características de corrosão do ambiente. Ou o tamanho permissível de defeito é quer 
medido ou especificado pelas limitações das disponíveis técnicas de detecção de falhas. É 
importante perceber, entretanto, que uma vez qualquer combinação de 2 dos parâmetros acima 
sejam prescritos, o terceiro se torna fixo (Equações 8.6 e 8.7). Por exemplo, suponha que Kc e a 
magnitude de a sejam especificadas pelos constrangimentos da aplicação; portanto,a tensão de 
projeto (ou tensão crítica) σc deve ser 
 
 σc # KIc / [ Y (πa)1/2] (8.9) 
 
Por outro lado, se o nível de tensão e a tenacidade à fratura por deformação plana são fixados pela 
situação do projeto, então o máximo tamanho de falha permissível ac é 
 
 ac = (1/π)[KIc / (σY)]2 (8.10) 
 
Foram desenvolvidas um número de técnicas de teste não destrutivo (TND ou"NDT", em 
inglês) que permitem detectar e medir defeitos tanto internos quanto superficiais. Tais métodos de 
TND são usados para evitar a ocorrência de falhas catastróficas por exame de componentes 
estruturais em relação aos defeitos e falhas que têm dimensões que se aproximam do tamanho 
crítico. 
 
 
PROBLEMA EXEMPLO 8.1. 
 
 
8.6 - TESTE DE FRATURA POR IMPACTO 
 
Anterior ao advento da mecânica de fratura como uma disciplina científica, técnicas de testes de 
impacto foram estabelecidas de maneira a determinar as características de fratura de materiais. 
Percebeu-se que os resultados de testes de tração de laboratório não poderíam ser extrapolados 
para prevero comportamento de fratura; por exemplo, sob algumas circunstâncias metais 
normalmente dúteis se fraturavam abruptamente e com muito pouca deformação plástica. Foram 
escolhidas condições de teste de impacto para representar aquelas mais severas em relação ao 
potencial para fratura (isto é: (1) deformação numa temperatura relativamente baixa, (2) uma alta 
taxa de deformação e (3) um estado de tensão triaxial (que pode ser introduzido pela presença de 
um entalhe). 
 
 
Técnicas de Teste de Impacto 
 
Dois testes padronizados, o Charpy e o Izod, foram projetados e ainda são usados para medir a 
energia de impacto, às vezes também denominada tenacidade de entalhe. A técnica Charpy 
entalhe em V (CEV ou "CVN", em inglês) é a mais comumente usada nos Estados Unidos da 
América. Tanto para Charpy quando para Izod, a amostra tem a forma de uma barra de seção 
quadrada, na qual é usinado um entalhe em V (Figura 8.13a). O aparato para realizar testes de 
impacto com entalhe em V é ilustrado na Figura 8.13b. A carga é aplicada como um golpe de 
impacto a partir de um martelo de pêndulo que é liberado a partida de uma posição engatilhada 
numa altura fixa h. A amostra é posicionada na base como mostrado. Ao ser liberado, uma aresta 
de faca montada no pêndulo bate e fratura a amostra no entalhe, que age como um ponte de 
concentração de tensão para este golpe de impactoem alta velocidade. O pêndulo continua sua 
oscilação, subindo até uma altura máxima h' , que é inferior a h. A absorção de energia, computada 
a partir da diferença entre h e h' , é a medida da energia de impacto. A diferença principal entre as 
técnicas Charpy e Izod reside na maneira como a amostra é suportada, como ilustrado na Figura 
8.13b. Além disso, estes são denominados testes de impacto à luz da maneira como a carga é 
aplicada. Variáveis incluindo tamanho e forma da amostra bem como configuração e profundidade 
do entalhe influenciam os resultados do teste. 
 
 
 
 
Tanto os testes de tenacidade à fratura por deformação plana quanto estes testes de 
impacto determinam as propriedades de fratura de materiais. Os primeiros são quantitativos em 
natureza, no sentido de que a propriedade específica do material é determinada (isto é, KIc). Os 
resultados dos testes de impacto, por outro lado, são mais qualitativos e são de menor uso para 
propósitos de projeto. As energias de impacto são de interesse principalmente num sentido relativo 
e para fazer comparações - valores absolutos são de pouca significância. Tentativas têm sido feitas 
para correlacionar tenacidade à fratura por deformação plana e energias Charpy de Entalhe em V 
(CEV ou "CVN", em inglês), com apenas limitado sucesso. Testes de tenacidade à fratura por 
deformação plana não são tão simples de realização quanto testes de impacto; além disso, 
equipamento e amostras são mais caros. 
 
 
Transição Dútil-a-Frágil 
 
Uma das funções principais dos testes Charpy e Izod é determinar se um material experimenta ou 
não uma transição dútil-a-frágil com o abaixamento da temperatura e, se este for o caso, a faixa de 
temperatura na qual ela ocorre. A transição dútil-a-frágil está relacionada à dependência em relação 
à temperatura da medida absorção de energia de impacto. Esta transição é representada pra um aço 
pela curva A na Figura 8.14. Em temperaturas maiores a energia CEV (ou "CVN") é relativamente 
grande, em correlação com o modo de fratura dútil. À medida em que a temperatura é abaixada, a 
energia de impacto decresce repentinamente ao longo de uma relativamente estreita faixa de 
temperatura, abaixo da qual a energia tem um valor constante mas de valor pequeno; isto é, o modo 
de fratura é frágil. 
 
 
Alternativamente, aparência da superfície de falha é indicativa da natureza da fratura e 
pode ser usada em determinações de temperatura de transição. Para fratura dútil, esta superfície 
aparenta fibrosa (ou de caráter cizalhante); ao contrário, supefície totalmente frágeis têm uma textura 
granular (ou caráter de clivagem). Ao longo da transição dútil-a-frágil, existem as caractgerísticas de 
ambos os tipos de fratura (Figura 8.15). Frequentemente, a porcentagem de fratura cizalhante é 
graficada como uma função da temperatura - curva B na figura 8.14. 
 
 
 
 
Para muitas ligas existe uma faixa de temperatura na qual ocorre a transição dútil-a-frágil 
(Figura 8.14); isto apresenta alguma dificuldade na especificação de uma única temperatura de 
transição dútil-a-frágil. Nenhum critério explícito foi estabelecido e assim esta temperatura é às vezes 
definida como aquela temperaturta na qual a energia CEV (ou "CVN") assume algum valor (por 
exemplo, 20 J ou 15 ft-lb), ou correspondente a alguma dada aparência de fratura (por exemplo, 
50% fratura fibrosa). Os assuntos se complicam mais ainda porquanto uma diferente temperatura de 
transição pode ser obtida para cada um desses critérios. Talvez a mais conservadora temperatura de 
transição dútil-a-frágil é aquela na qual a superfície de fratura se torna 100% fibrosa; nesta base, a 
temperatura de transição é aproximadamente 110oC (230oF) para aço liga que é o assunto da 
Figura 8.14. 
Estruturas construídas a partir de ligas que exibem este comportamento dútil-a-frágil 
deveríam ser usadas apenas em temperaturas acima da temperatura de transição, a fim de evitart 
falha frágil e catastrófica. Exemplos clássicos deste tipo de falha ocorreram, com desastrosas 
consequências, durante a Segunda Guerra Mundial quando um número de navios de transporte 
soldados, fora de combate, repentinamente e precipitadamente se partiram ao meio. Estes vasos 
foram constrúidos com um aço liga que tinha adequada dutilidade em testes de tração à temperatura 
ambiente de sala (aprox. 25oC). As fraturas dúteis ocorreram em temperaturas ambientes 
relativamente baixas, cerca de 4oC (40oF), na vizinhança da temperatura de transição da liga. Cada 
trinca de fratura se originou em algum ponto de concentração de tensão, provavelmente em cantos 
vivos ou defeitos de fabricação, cujas trincas se propagaram ao redor de toda a barrigueira ("girth") 
dos navios que se partiram. 
Nem todas as ligas metálicas apresentam uma transição dútil-a-frágil. Aquelas tendo 
estruturas cristalinas CFC (incluindo ligas à base de alumínio e à base de cobre) remanescem dúteis 
mesmo em temperaturas extremamente baixas. Entretanto, ligas CCC e HC experimentam esta 
transição. Para estes materiais a temperatura de transição é sensível tanto à composição da liga 
quanto à sua microestrutura. Por exemplo, o decréscimo do tamanho médio de grão de aços resulta 
num abaixamento da temperatura de transição. Também, o teor de carbono tem uma influência 
decisiva sobre o comportamento da energia CEV(ou "CVN")-temperatura de um aço, como 
indicado na Figura 8.16. 
 
 
 
 
A maioria das cerâmicas e polímeros experimentam a transição dútil-a-frágil. Para 
materiais cerâmicos, a transição ocorre apenas em temperaturas elevadas, ordinariamente acima de 
1000oC (1850oF). Este comportamento, no que se relaciona a polímeros, é discutido na Seção 
16.9. 
 
 
 
FADIGA 
 
Fadiga é uma forma de falha que ocorre em estruturas submetidas a tensões dinâmicas e flutuantes 
(por exemplo, pontes, aeronaves e componentes de máquinas). Sob estas circunstâncias é possível 
para a falha ocorrer num nível de tensão consideravelmente inferior ao limite de resistência à tração 
ou ao limite de escoamento para uma carga estática. O termo "fadiga" é usado porque este tipo de 
falha normalmente ocorre após um prolongado período de ciclagem de tensão ou deformação. 
Fadiga é importante porquanto êle é a maior causa simples de falha metais, estimada como 
compreendendo aproximadamente 90% de todas as falhas metálicas; polímeros e cerâmicas (exceto 
par vidros) são também susceptíveis a este tipo de falha. Além disto, ela é catastrófica e traiçoeira, 
ocorrendo muito repentinamente e sem aviso. 
Falhas de fadiga é do tipo frágil em natureza mesmo em metais normalmente dúteis, no 
sentido de que existe muito pouca, se é que exista alguma, deformação plástica bruta associada com 
a falha. O processo ocorre pela iniciação e propagação de trincas e ordinariamente a superfície de 
fratura é perpendicular à direção de uma tensão de tração aplicada. 
 
 
8.7 - TENSÕES CÍCLICAS 
 
A tensão aplicada pode ser axial (tração-compressão), flexiva (dobramento), ou de torsão (torsiva) 
em natureza. Em geral, 3 diferentes modos flutuantes de tensão-tempo são possíveis. Um está 
representado esquematicamente por uma regular e senoidal dependência em relação ao tempo na 
Figura 8.17a, onde a amplitude é simétrica ao redor de uma média de nível zero de tensão, por 
exemplo, alterando a partir de uma tensão máxima de tração (σmax) para uma tensão compressiva 
mínima (σmin) de igual magnitude; isto é referido como um ciclo de tensão revertido. Um outro tipo 
denominado ciclo de tensão repetido, é ilustrado na Figura 8.17b; os máximos e mínimos são 
assimétricos em relação ao nível de tensão zero. Finalmente, o nível de tensão pode variar 
randomicamente em amplitude e frequência, como exemplificado na Figura 8.17c. 
 
 
 
 
Também indicada na Figura 8.17b estão vários parâmetros usados para caracterizar o 
ciclo de tensão flutuante. A amplitude da tensão se alternaao redor de uma tensão média σm , 
definida como a média das tensões máxima e mínima no ciclo,ou 
 
 σm = (σmax + σmin) / 2 (8.11) 
 
Além disso, a faixa de tensão σr é justo a diferença entre σmax e σmin , isto é, 
 
 σr = σmax - σmin (8.12) 
 
A amplitude da tensão σa é justo a metade desta faixa de tensão, ou 
 
 σa = σr / 2 = ( σmax - σmin) / 2 (8.13) 
 
Finalmente, a razão de tensão R é justo a razão de mínima e máxima amplitudes de tensão: 
 
 R = σmin / σmax (8.14) 
 
Por convenção, tensões de tração são positivas e tensões de compressão são negativas. Por 
exemplo, para ciclo de tensão revertido, o valor de R é -1. 
 
 
8.8 - A CURVA S-N 
 
Tal como com as outras características mecânicas, as propriedades de fadiga de materiais podem 
ser determinadas a partir de testes simulativos de laboratório. Um aparelho de teste deveria ser 
projetado para duplicar de maneira tão próxima quanto possível as condições de tensão de serviço 
(nível de tensão, frequência de tempo, modelo de tensão, etc..). Um diagrama esquemático de um 
aparelho de teste de rotação-dobramento, comumente usado para testes de fadiga, é mostrado na 
Figura 8.18; as tensões de compressão e tração são impostas sobre a amostra enquanto ela 
simultaneamente se dobra e roda. Testes são também frequentemente conduzidos usando um ciclo 
alternativo de de tensão uniaxial tração-compressão. 
 
 
 
 
Uma série de testes são começados submetendo uma amostra à ciclagem da tensão numa 
relativamente grande amplitude de tensão máxima (σmax), usualmente da ordem de 2/3 do limite de 
resistência à tração estática; o número de ciclos para a falha é encontrada. Este procedimento é 
repetido em outras amostras em progressivamente decrescentes amplitudes detensão máxima. 
Dados são graficados na forma de tensão S versus o logarítmo do número N de ciclos para falha 
para cada uma das amostras. Os valores de S são normalmente tomados como amplitudes de 
tensão (σa, Equação 8.13); ocasionalmente, valores de σmax ou σmín podem ser usados. 
São observados dois distintos tipos de comportamento S-N , que são representados 
esquematicamente nas Figuras 8.19. Conforme estes gráficos indicam, quanto maior a magnitude da 
tensão, tanto menor número de ciclos o material é capaz de suportar antes da fratura. Para algumas 
ligas ferrosas (à base de ferro) e ligas de titânio, a curva S-N (Figura 8.19a) se torna horizontal em 
maiores valores de N ; ou, existe um nível de tensão limite, chamado limite de fadiga (também às 
vezes conhecido como limite de resistência à fadiga ["endurance limit"]) abaixo do qual falha 
por fadiga não ocorrerá. Este limite de fadiga representa o mais alto valor de tensão flutuante que 
não causará falha para um número essencialmente infinito de ciclos. Para muitos aços, limites de 
fadiga variam entre 35 e 60% do limite de resistência à tração. 
 
 
 
 
 
A maioria das ligas não-ferrosas (por exemplo, de alumínio, cobre, magnésio) não têm um 
limite de fadiga, uma vez que a curva S-N continua a sua tendência para baixo em valores 
crescentemente maiores de N (Figura 8.19b). Assim fadiga finalmente ocorrerá independente da 
magnitude da tensão. Para estes materiais, a resposta de fadiga é especificada como resistência à 
fadiga, que é definida como o nível de tensão na qual falha ocorrerá para algum especificado 
número de ciclos (por exemplo, 107 ciclos). A determinaçào da resistência à fadiga é também 
demonstrada na Figura 8.19b. 
Um outro importante parâmetro que caracteriza um comportamento de fadiga de um 
material é a vida em fadiga Nf . Ela é o número de ciclos para causar falha num especificado nível 
de tensão, como tomado a partir do gráfico S-N (Figura 8.19b). 
Desafortunadamente, existe sempre considerável dispersão em dados de fadiga, isto é, 
uma variação no valor N medido para um número de amostras testadas no mesmo nível de tensão. 
Isto pode conduzir a uma significativa incerteza quando vida em fadiga e/ou limite(ou resistência) de 
fadiga estiver sendo considerado. A dispersão em resultados é uma consequência da sensibilidade 
da fadiga a um número de teste e de parâmetros de teste que são impossíveis de controlar 
precisamente. Estes parâmetros incluem fabricação da amostra e preparação da superfície, variáveis 
metalúrgicas, alinhamento da espécie no aparelho, tensão média e frequência de teste. 
Curvas S-N similares àquelas mostradas na figura 8.19 representam curvas de "melhor 
ajuste" que foram traçadas através dos pontos dos dados de valor médio. É um pouco difícil de 
perceber que aproximadamente metade das amostras testadas realmente falharam em níveis de 
tensão que ficam aproximadamente 25% abaixo da curva (como deteminado com base nos 
tratamentos estatísticos). 
Foram desenvolvidas várias técnicas estatísticas que são usadas para especificar vida em 
fadiga e limite de fadiga em termos de probabilidades. Um meio conveniente de representar dados 
tratados desta maneira é com uma série de curvas de probabilidade constante, várias das quais 
estão graficadas na Figura 8.20. O valor de P associado a cada curva representa a probabilidade de 
falha. Por exemplo, numa tensão de 30000 psi, nós esperamos que 1% das amostras falhem ao 
redor de 106 ciclos e 50% falhem ao redor de 2 x 107 ciclos, e assim por diante. Dever-se-ía 
lembrar que curvas S-N representadas na literatura são normalmente valores médios, a menos que 
doutra forma especificado. 
 
 
 
 
Os comportamentos de fadiga representados nas Figuras 8.19a e 8.19b pode ser 
classificados em 2 domínios. Um associado a relativamente altas cargas que produz não apenas 
deformação elástica mas também alguma deformação plástica durante cada ciclo. 
Consequentemente, vidas em fadiga são relativamente pequenas; este domínio é denominado 
fadiga de baixo-ciclo e ocorre com menos de cerca de 104 ou 105 ciclos. Para menos níveis de 
tensão onde deformações são totalmente elásticas, tem-se vidas mais longas. Isto é chamado fadiga 
de alto-ciclo porquanto um relativamente grande número de ciclos é requerido para produzir a falha 
por fadiga. Fadiga de alto-ciclo está associado com vidas em fadiga maiores do que 104 a 105 
ciclos. 
 
 
8.9 - INICIAÇÃO E PROPAGAÇÃO DE TRINCA 
 
O processo de falha por fadiga é caracterizado pelos 3 distintos estágios: (1) iniciação de trinca, 
onde uma pequena trinca se forma em algum ponto de alta concentração de tensão; (2) propagação 
de trinca, durante a qual esta trinca avança incrementalmente com cada ciclo de tensão; e (3) falha 
final, que ocorre muito rapidamente uma vez a trinca avançante tenha atingido um tamanho crítico. A 
vida em fadiga Nf , o número total de ciclos para fadiga, portanto pode ser tomado como a soma do 
número de ciclos para iniciação de trinca Ni e para propagação de trinca Np. 
 
 Nf = Ni + Np (8.15) 
A contribuição do estágio final de falha à vida total em fadiga é significativa de vez que ela ocorre 
tão rapidamente. Porções de Ni e de Np em relação à vida total dependem do particular material e 
das condições de teste. Em baixos níveis de tensão (isto é, para fadiga de alto-ciclo), uma grande 
fração da vida em fadiga é utilizada na iniciação da trinca. Com o aumento do nível de tensão, Ni 
decresce e trincas se formam mais rapidamente. Assim para fadiga de baixo-ciclo (altos níveisde 
tensão), o estágio de propagação predomina (isto é, Np > Ni). 
Trincas associadas com falha por fadiga quase sempre iniciam-se (ou nucleiam-se) na 
superfície de um componente em algum ponto de concentração de tensão. Sítios de nucleação de 
trinca incluem arranhões de superfície, filetes agudos, rasgo de chaveta, fios de rosca, dentes e 
similares. Em adição, carregamento cíclico pode produzir descontinuidades superficiais 
microscópicas resultantes de degraus de escorregamento de discordâncias que podem agir como 
elevadores de tensão e, portanto, como sítios de iniciação de trinca. 
Uma vez uma trinca estável tenha se nucleado, ela então se propagará inicialmente de 
maneira muito lenta e, em metais policritalinos, ao longo dos planos cristalográficosde alta tensão 
cizalhante; isto é às vezes denominado propagação de estágio I (Figura 8.21). Este estágio pode 
constituir uma grande ou pequena fraçào da vida total em fadiga dependendo do nível de tensão e 
da natureza da amostra de teste; altas tensões e presença de entalhes favorecem um estágio I de 
vida-curta. Em metais policristalinos, trincas normalmente se estendem através de apenas alguns 
grãos durante este estágio de propagação. A superfície de fadiga que é formada durante o estágio I 
de propagação tem uma aparência plana e não-característica. 
 
 
 
 
Eventualmente, acontece um segundo estágio de propagação (estágio II) onde a taxa de extensão 
da trinca aumenta dramaticamente. Além disso, neste ponto existe também uma mudança em 
direção de propagação para uma que é grosseiramente perpendicular à tensão de tração aplicada 
(vide Figura 8.21). Durante este estágio de propagação, procede-se o crescimento da trinca por um 
processo repetitivo de embotamento (cegueira da aresta viva) plástico e afiamento (criação de 
aresta viva) na ponta da trinca, um mecanismo ilustrado na Figura 8.22. No começo do ciclo de 
tensão (carga zero), a ponta da trinca tem a forma de um entalhe duplo (Figura 8.22a). Quando a 
tensão de tração é aplicada (Figura 8.22b), ocorre deformação localizada em cada um destes 
entalhes da ponta ao longo de planos de escorregamento que estão orientados em ângulos de 45o 
em relação ao plano da trinca. Com o crescente alargamento da trinca, a ponta avança por 
continuada deformação cizalhante e a adoção de uma configuração embotada (Figura 8.22c). 
Durante a compressão, as direções de deformação cizalhante na ponta da trinca são revertidas 
(Figura 8.22d) até que,no auge do ciclo, um a nova ponta aguda duplamente entalhada tenha se 
formado (Figura 8.22e). Assim a ponta da trinca terá avançado um entalhe em distância durante o 
curso de um ciclo completo. Este processo é repetido em cada subsequente ciclo até que 
eventualmente seja alcançada uma dimensão crítica de trinca que precipite o estágio final de falha e 
aconteça a falha catastrófica. 
 
 
 
 
A regiãode uma superfície de fratura que se formou durante o estágio II de propgação 
pode ser caracterizada por 2 tipos de marcas denominadas marcas de praia ("beachmarks") e 
estriações ("striations") . Ambas estas características indicam a posição da ponta da trinca em 
algum ponto no tempo e aparecem como estrias concêntricas que se expandem para fora a partir 
dos sítios de inciação da trinca, frequentemente num forma circular ou semi-circular. Marcas-de-
praia (às vezes denominadas marcas de concha-de-mexilhão, "clamshell marks") são de dimensões 
macroscópicas (Figura 8.23) e podem ser observadas com a olho nu. Estas marcas são encontradas 
em componentes que experimentaram interrupções durante o estágio II de propgação - por 
exemplo, uma máquina que operou apenas durante as horas normais de (expediente) trabalho. Cada 
banda de marca-de-praia representa um período de tempo ao longo do qual ocorreu o crescimento 
de trinca. 
 
 
 
 
Por outro lado, estriações de fadiga são microscópicas em tamanho e só observáveis com 
o microscópio eletrônico (quer MET (ou "TEM") quer MEV (ou "SEM")). A Figura 8.24 é uma 
fractografia eletrônica que mostra esta característica. Cada estriação é pensada como 
representando a distância de avanço da frente da trinca durante um único ciclo de carregamento. A 
largura de estriação depende da faixa de tensão e cresce com o aumento da mesma. 
 
 
 
 
Neste ponto dever-se-ía enfatizar que embora tanto as marcas-de-praia quanto 
estriações sejam características de superfícies de fratura por fadiga tendo aparências semelhantes, 
elas, não obstante, são diferentes, tanto em origem quanto em tamanho. Podem existir literalmente 
milhares de estriações dentro de uma única marca-de-praia. 
Às vezes, a causa da falha pode ser deduzida após exame das superficies de falha. A 
presença de marcas-de-praia e/ou estriações numa superfície de fratura confirma que a causa da 
fratura foi fadiga. Não obstante, a ausência de uma ou ambas não exclui a fadiga como a causa da 
falha. 
Um comentário final a respeito das superfícies de falha por fadiga: Marcas-de-praia e 
estriações não aparecerão naquela região sobre a qual ocorre falha rápida. Em vez disto, falha 
rápida pode ser ou dútil ou frágil; evidência de deformação plástica estará presente para falha dútil e 
ausente em falha frágil. Esta região de falha pode ser notada na Figura 8.25. 
 
 
 
 
8.10 - TAXA DE PROPAGAÇÃO DE TRINCA 
 
Mesmo embora medidas possam ser tomadas para minimizar a possibilidade de falha por fadiga, 
trincas e sítios de nucleação de trinca sempre existirão em componentes estruturais. Sob a influência 
de tensões cíclicas, trincas se formarão inevitavelmente e crescerão; este processo, se não for 
impedido, pode ultimamente conduzir à falha. A intenção da presente discussão é desenvolver um 
critério pelo qual vida em fadiga possa ser prevista com base nos parâmetros do material e dos 
estados de tensão. Princípios de mecânica de fratura (Seção 8.5) serão empregados porquanto o 
tratamento envolve determinação de um comprimento máximo detrinca que pode ser tolerado sem 
induzir à falha. Dever-se-ía notar que esta discussão relaciona-se ao domínio de fadiga de alto-ciclo, 
isto é, para vidas em fadiga maiores do que cerca de 104 a 105 ciclos. 
Resultados de estudos de fadiga mostraram que a vida de um componente estrutural pode 
ser relacionada à taxa de crescimento de trinca. Durante o estágio II de propagação, trincas podem 
crescer a partir de um tamanho dificilmente perceptível até algum comprimento crítico. São 
disponíveis técnicas experimentais que são empregadas para monitorar comprimento de trinca 
durante o estressamento(tensionamento) cíclico. Dados são registrados e a seguir graficados como 
comprimento de trinca a versus o número de ciclos N. 3 Um gráfico típico é mostrado na Figura 
8.26, onde estão incluídas curvas de dados gerados em 2 diferentes níveis de tensão; o 
comprimento inicial de trinca ao para ambos os conjuntos de testes é o mesmo. A taxa de 
crescimento de trinca da/dN é tomado como a inclinação de algum ponto da curva. Vale a pena 
notar dois importantes resultados: (1) inicialmente, taxa de crescimento é pequena, mas cresce com 
o aumento do comprimento da trinca; e (2) taxa de crescimento é acentuada com o crescente nível 
de tensão aplicada e para um específico comprimento de trinca (a1 na Figura 8.26). 
 
 
__________________________________________________________________________ 
3 O símbolo N no contexto de Seção 8.8 representa o número de ciclos para falha por fadiga ; na 
presente discussão êle denota o número de ciclos associado a um comprimento de trinca anterior à 
fratura. 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
Taxa de propagação de trinca de fadiga é uma função não apenas do nível de tensão e do 
tamanho de trinca mas também de variáveis do material. Matematicamente, esta taxa pode ser 
expressa em termos de fator de intensidade de tensão K (desenvolvido usando mecânica de fratura 
na Seção 8.5) e toma a forma 
 
 da/dN = A (∆K )m (8.16) 
 
Os parâmetros A e m são constantes para o particular material, que também dependerão do 
ambiente, frequência e razão de tensão (R na equação 8.14). O valor de m normalmente varia entre 
1 e 6. 
Além disso, ∆K é a faixa do fator de intensidade de tensão na ponta da trinca, isto é 
 
 ∆K = Kmax - Kmin (8.17a) 
 
ou, a partir da Equação 8.6 , 
 
 ∆K = Y∆σ (πa)1/2 = Y (σmax - σmin)(πa)1/2 (8.17b) 
 
 
De vez que crescimento de trinca se interrompe ou se torna desprezível para uma porção de 
compressão do ciclo de torsão, se σmin for compressiva, então Kmin e σmin são tomados como 
zero; isto é, ∆K = Kmax e ∆σ = σmax. Também note-se que Kmax e Kmin na Equação 8.17a 
representam fatores de intensidade, não tenacidade à fratura KI nem tenacidade à fraturapor 
deformação plana KIc . 
Comportamento típico de taxa de crescimento de trinca de fadiga de materiais está 
representado esquematicamente na Figura 8.27 como logarítmo da taxa de crescimento de trinca 
da/dN versus o logarítmo da faixa do fator intensidade de tensão ∆K . A curva resultante tem uma 
forma sigmoidal que pode ser dividida em 3 distintas regiões, denominadas I, II e III. Na região I 
(em baixos níveis de tensão e/ou pequenos tamanhos de trinca), trincas pré-existentes não crescerão 
com carga cíclica. Além disso, associado com a região III está o crescimento de trinca acelerado, 
que ocorre justo antes da fratura rápida. 
 
 
 
 
A curva é essencialmente linear na região II, que é consistente com Equação 8.16. Isto 
pode ser confirmado tomando-se o logarítmo de ambos os lados desta expressão, o que conduz a 
 log (da/dN) = log [ A (∆K)m] (8.18a) 
 
 log (da/dN) = m log ∆K + log A (8.18b) 
 
De fato, de acordo com a Equação 8.18b, um segmento de linha reta resulta quando 
dados de log (da/dN) versus log ∆K são graficados; a inclinação e o intercepto correspondem aos 
valores de m e log A , respectivamente, que podem ser determinados a partir de dados de teste 
que tenha sido representados na maneira da Figura 8.27. A Figura 8.28 é um tal gráfico para uma 
liga Ni-Mo-V. Pode ser notada a linearidade dos dados que verifica a correlação da lei da 
potência da Equação 8.16. Além disso, a inclinação fornece um valor de 3 para m; A é 
aproximadamente 1,8 x 10-14, como tomado a partir do intercepto extrapolado para da/dN em 
polegada/ciclo e ∆K em psi/ (polegada)1/2. 
 
 
 
 
Uma das metas da análise de falha é ser capaz de prever vida em fadiga para alguns 
componentes, dados os seus constrangimentos em serviço e os dados de teste de laboratório. Nós 
agora somos capazes de desenvolver uma expressão analítica para Nf por integração da Equação 
8.16. É necessário antes fazer um rearranjo como se segue: 
 
 dN = da / [A(∆K)m] (8.19) 
 
que pode ser integrada como 
 
 Nf = I0NfdN = Iaoac da / [A (∆K)m] (8.20) 
 
Os limites da segunda integral estão entre o comprimento inicial da falha(defeito) ao , que pode ser 
medida usando técnicas de exame não-destrutivas e o comprimento crítico da trinca ac determinado 
a partir de testes de tenacidade à fratura. 
Substituição da expressão para ∆K (Equação 8.17b) conduz a 
 
 Nf = Iaoac da / [ A (Y ∆σ)m(πa)m/2] 
 
 = { 1 / [A πm/2 (∆σ)m] Iaoac {da / [Ymam/2]} (8.21) 
 
Aqui é suposto que ∆σ (ou σmax - σmin) é constante; além disso, em geral Y dependerá do 
comprimento da trinca a e portanto não pode ser removido a partir de dentro da integral. 
Uma palavra de cautela: Equação 8.21 presume a validade da Equação 8.16 ao longo de 
toda a vida do componente, que pode ou não manter-se verdade. Portanto, esta expressão deveria 
ser tomada apenas como uma estimativa de Nf . 
 
 
PROBLEMA EXEMPLO 8.2 
 
 
 
8.11 - FATORES QUE AFETAM A VIDA EM FADIGA 
 
Como mencionado na Seção 8.8, o comportamento de fadiga de materiais de engenharia é 
altamente sensível a um número de variáveis. Alguns destes fatores incluem nível de tensão médio, 
projeto geométrico, efeitos superficiais, variáveis metalúrgicas, bem como o ambiente. Esta seção é 
devotada à discussão destes fatores e, em adição, a medidas que podem ser tomadas para 
melhorar a resistência à fadigade componentes estruturais. 
 
 
Tensão Média 
 
A dependência da vida em fadiga em relação à amplitude da tensão está representada no gráfico S-
N. Tais dados são tomados para uma tensão média constante σm , às vezes para a situação de ciclo 
revertido (σm = 0). Tensão média, entretanto, também afetará a vida em fadiga, cuja influência pode 
ser representada por uma série de curvas S-N, cada uma medida numa diferente σm ; isto é 
esboçado esquematicamente na Figura 8.29. Como pode ser notado, o aumento do nível de tensão 
média conduz a um decréscimo na vida em fadiga. 
 
 
 
 
 
Efeitos de Superfície 
 
Para muitas situações de carregamento comuns, a tensão máxima dentro de um componente ou 
estrutura ocorre tal como na sua superfície. Consequentemente, a maioria das trincas conduzindo à 
falha por fadiga se origina em posições da superfície, especificamente em sítios de amplificação de 
tensão. Portanto, tem sido observado que a vida em fadiga é especialmente sensível à condição e 
configuração da superfície do componente. Numerosos fatores influenciam a resistência à fadiga, a 
apropriada administração dos mesmos conduzirão a uma melhoria na vida em fadiga. Estes incluem 
critérios de projeto bem como vários tratamentos superficiais. 
 
 
Fatores de Projeto. O projeto de um componente pode ter significativa influência sobre suas 
características de fadiga. Qualquer entalhe ou descontinuidade geométrica pode agir como um 
elevador de tensão e sítio de iniciação de trinca de fadiga; estes fatores de projeto incluem ranhuras, 
buracos, rasgosde chaveta, adoçamento e assim por diante. Quando mais aguda for a 
descontinuidade (isto é, quanto menor for o raio de curvatura), tanto mais severo é a concentração 
de tensão. A probabilidade de falha por fadiga pode ser reduzida evitando-se (quando possível) 
estas irregularidades estruturais ou fazendo-se modificações de projeto pelas quais mudanças 
bruscas de contorno conduzindo a arestas vivas são eliminadas - por exemplo, exigindo 
adoçamentos arredondados com grandes raios de curvatura no ponto onde exista uma mudança de 
diâmetro para uma árvore rotativa (Figura 8.30). 
 
 
 
 
Tratamentos de Superfície. Durante operações de usinagem, pequenos arranhões e ranhuras são 
invariavelmente introduzidos na superfície da peça de trabalho por ação de ferramenta cortante. 
Estas marcas de superfície podem limitar a vida em fadiga. Tem sido observado que melhorando o 
acabamento da superfície por polimento melhorará significativamente a vida em fadiga. 
Um dos mais efetivos métodos de aumentar o desempenho de fadiga é impondo tensões 
residuais compressivas dentro de de uma fina camada superficial externa.Assim uma tensão de 
tração superficial de origem externa será parcialmente nulificada e reduzida em magnitude pela 
tensão compressiva residual. O efeito líquido é que a probabilidade de formação de trinca e 
portanto de falha por fadiga é reduzida. 
Tensões residuais compressivas são comumente introduzidas mecanicamente dentro de 
metais dúteis por deformação plástica localizada dentro da região da superfície externa. 
Comercialmente, isto é às vezes realizado por um processo denominado encruamento por jato-
percussão ("shot peening"). Partículas pequenas e duras tendo diâmetro dentro da faixa de 0,1 a 
1,0 mm são projetadas em altas velocidades sobre a superfície a ser tratada. A deformação 
resultante induz tensões compressivas até uma profundidade entre 1/4 e 1/2 do diâmetro da partícula 
("shot"). 
 
 
Cementação é uma técnica pela qual tanto a dureza superficial quanto a vida em fadiga 
são melhoradas para ligas de aço. Isto é realizado por um processo de carburação ou nitretação 
pelo qual um componente é exposto a uma atmosfera carbonosa ou nitrogenosa numa elevada 
temperatura. Uma camada superficial externa (ou capa, "case") rica em carbono ou nitrogênio (é 
introduzida por difusão atômica a partir da fase gasosa). A capa é normalmente da ordem de 1 mm 
de profundidade e é mais dura do que o núcleo interior do material. (A influência do teor de carbono 
sobre a dureza de ligas Fe-C está demonstrada na Figura 10.21a). A melhoria das propriedades de 
fadiga resulta da aumentada dureza dentro da capa, bem como as desejadas tensões residuais 
compressivas cuja formação assiste ao processo de carburação e nitretação. Uma capa externa rica 
em carbono pode ser observada para a engrenagem mostrada na fotografia da página 94; ela 
aparece como uma casca externa preta dentro do segmento seccionado. O aumento na dureza da 
capa é demonstrada na fotomicrografia que aparece na Figura 8.31.As escuras e alongadasformas 
de diamante são indentações de microdureza Knoop. A indentação superior, que cai dentro da 
camada carburada, é menor do que a indentação no núcleo. 
 
 
 
8.12 - EFEITOS AMBIENTAIS 
 
Fatores ambientais podem também afetar o comportamento de fadiga dos materiais. Uns poucos 
comentários breves serão dados em relação a 2 tipos de falhas por fadiga assitido pelo ambiente: 
fadiga térmica e fadiga por corrosão. 
 
Fadiga térmica é normalmente induzida em temperaturas elevadas por tensões térmicas 
flutuantes; tensões mecânicas a partir de uma fonte externa não precisa estar presente. A origem 
destas tensões térmicas é o restringimento à expansão e/ou contração dimensional que normalmente 
ocorreria num elemento estrutural com variações na temperatura. A magnitude de uma tensão 
térmica desenvolvida por uma mudança de temperatura ∆T é dependente do coeficiente de 
expansão térmica α l e do módulo de elasticidade E de acordo com 
 σ = α l E ∆T (8.22) 
 
(Os tópicos de expansão térmica e tensões térmicas são discutidas nas Seções 20.3 e 20.5). 
Naturalmente, tensões térmicas não aparecerão se este restringimento mecânico estiver ausente. 
Portanto, um meio óbvio de prevenir este tipo de fadiga é eliminar ,ou pelo menos reduzir, a fonte de 
restringimento, assim permitindo desimpedidas mudanças dimensionais com variações de 
temperatura, ou escolher materiais com apropriadas propriedades físicas. 
Falha que ocorre pela ação simultânea de uma tensão cíclica e ataque químico é 
denominada fadiga por corrosão. Ambientes corrosivos têm uma influência deletéria e produz 
menores vidas em fadiga. Mesmo a atmosfera ambiente normal afetará o comportamento de fadiga 
de alguns materiais. Pequenos buracos podem se formar como um resultadode reações químicas 
entre o ambiente e o material, servindo estes mesmos buracos como pontos de concentração de 
tensões e, portanto, como sítios de nucleação de trinca. Em adição, taxa de propagação de trinca é 
acentuada como um resultado do ambiente corrosivo. A natureza dos ciclos de tensão influenciará o 
comportamento de fadiga; por exemplo, abaixamento da frequência de aplicação de carga conduz a 
períodos mais longos durante os quais a trinca aberta estará em contato com o ambiente e a uma 
redução na vida em fadiga. 
Existem várias abordagens para prevenção de fadiga por corrosão. Por um lado, nós 
podemos tomar medidas para reduzir a taxa de corrosão por alguma das técnicas discutidas no 
Capítulo 18, por exemplo, aplicar revestimento superficiais protetores, selecionar um material mais 
resistente à corrosão e reduzir a corrosividade do ambiente. E/ou seria aconselhável tomar ações 
para minimizar a probabilidade de falha normal por fadiga, como delineado acima, por exemplo, 
reduzir o nível de tensão de tração aplicada e impor tensões compressivas residuais na superfície do 
elemento estrutural. 
 
 
 
FLUÊNCIA ("CREEP") 
 
Materiais são às vezes colocados em serviço a elevadas temperaturas e expostos a tensões 
mecânicas estáticas (por exemplo, rotores de turbinas em engenhos a jato e geradores de vapor 
dágua que experimentam tensões centrífugas, e linhas de vapor de água de alta pressão). 
Deformação sob tais circunstâncias é denominada fluência ("creep"). Definida como deformação 
permanente, dependente do tempo, de materiais quando submetidos a uma carga ou tensão 
constante, a fluência é normalmente um fenômeno indesejável e às vezes o fator limitante na vida de 
uma parte. Ela é observada em todos os tipos de materiais; para metais ela só se torna importante 
para temperaturas maiores do que cerca de 0,4 Tm ( Tm = temperatura absoluta de fusão). 
Polímeros amorfos, que incluem plásticos e borrachas, são especialmente sensíveis à deformação 
por fluência como discutido na Seção 16.6. 
 
 
8.13 - COMPORTAMENTO GENERALIZADO DE FLUÊNCIA 
 
Um teste típico de fluência consiste em submeter uma amostra a uma carga ou tensão constante 
enquanto se mantém a temperatura constante; deformação é medida e graficada como uma função 
do tempo decorrido. A maioria dos testes é do tipo de carga constante, que fornece informação de 
uma natureza de engenharia; testes de tensão constante são empregados para fornecer um melhor 
entendimento dos mecanismos de fluência. 
A Figura 8.32 é uma representação esquemática do comportamento típico de fluência de 
metais sob carga constante. Ao se aplicar a carga existe uma deformação instantânea, como 
indicada na figura, que é principalmente elástica. A resultante curva de fluência consiste de 3 regiões, 
cada qual tendo a sua própria característica distintiva deformação-tempo. Fluência prinmária ou 
transiente ocorre primeiro, tipificada por uma continuamente decrescente taxa de fluência; isto é, a 
inclinação da curva diminui com o tempo. Isto sugere que o material está experimentando um 
aumento na resistência à fluência ou endurecimento por deformação (Seção 7.10) - deformação se 
torna mais difícil à medida em que o material é esticado. Para a fluência secundária, às vezes 
denominada fluência de estado estacionário, a taxa é constante; isto é, o gráfico se torna linear. 
Este é às vezes o estágio de fluência que é de mais longa duração. A constância da taxa de fluência 
é explicada com base num balanço entre os processos competitivos de endurecimento por 
deformação e recuperação, recuperação (Seção 7.11) sendo o processo pelo qual um material se 
torna mais macio e retém sua capacidade para experimentar deformação. Finalmente, para a 
fluência terciária, existe uma aceleração da taxa e da falha final. Esta falha é frequentemente 
denominada ruptura e resulta a partir de mudanças microestrutural e/ou metalúrgicas; por exemplo, 
separação de contorno de grão e a formação de trincas internas, cavidades e vazios. Também para 
cargas de tração, um pescoço pode se formar em algum ponto dentro da região de deformação. 
Tudo isto conduz a um decréscimo na área da seção reta efetiva e um aumento na taxa de 
deformação. 
 
 
 
Para materiais metálicos a maioria dos testes de fluência são conduzidos em tensão 
uniaxial usando uma amostra tendo a mesma geometria que para os testes de tração (Figura 6.2). 
Por outro lado, testes de compressão uniaxial são mais apropriados para materiais frágeis; estes 
fornecem uma melhor medida das intrínsecas propriedades de fluência porquanto não exista 
nenhuma amplificação de tensão e propagação de trinca, tal comocom cargas de tração. Amostras 
de testes compressivos são usualmente cilindros retos ou paralelepípedos tendo razões 
comprimento-para-diâmetro variando a partir de 2 até 4. Para a maioria dos materiais propriedades 
de fluênciasão virtualmente independente da direção de carregamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Possivelmente o mais importante parâmetro a partir de um teste de fluência é a inclinação 
da porção secundária da curva de fluência (∆ε/∆t na Figura 8.32); esta é às vezes chamada taxa de 
fluência mínima ou taxa de fluência de estado estacionário εs. Ela é o parâmetro de projeto de 
engenharia que é considerado para aplicações de longa vida, tal como componente de uma planta 
de potêcia nuclear que é planejada para operar durante várias décadas, e quando falha ou 
demasiada deformação não é uma opção. Por outro lado, para muitas situações de fluência de 
relativamente curta vida (por exemplo lâminas de turbina em aviões militares ou bicos de motores de 
foguetes), tempo de vida para a ruptura tr é a dominante consideração de projeto; êle também 
está indicado na Figura 8.32. Naturalmente, para a sua determinação, testes de fluência devem ser 
conduzidas até o ponto da falha; estes são denominados testes de ruptura de fluência. Assim um 
conhecimento destas características de fluência de um material permite ao engenheiro de projeto 
determinar sua adequacidade para uma aplicação específica. 
 
 
8.14 - EFEITOS DA TENSÃO E DA TEMPERATURA 
 
Tanto temperatura quanto o nível da tensãoaplicada influenciam as características de fluência 
(Figura 8.33). Numa temperatura substancialmente abaixo de 0,4 Tm e após a deformação inicial, 
o esticamento é virtualmente independente do tempo. Com o aumento da tensão ou da temperatura, 
o seguinte será notado: (1) a deformação instantânea no tempo da aplicação de tensão aumenta; (2) 
a taxa de fluência em estado estacionário é aumentada; e (3) o tempo de vida de ruptura é 
diminuído. 
 
 
Figura 8.33 - Influência da tensão σ e da temperatura T sobre o comportamento de fluência. 
 
 
Os resultados de testes de ruptura por fluência são muito comumente apresentados como 
o logarítmo da tensão versus o logarítmo do tempo de vida. A Figura 8.34 é um tal gráfico para uma 
liga de níquel em que se pode observar a existência de uma correlação linear em cada temperatura. 
Para algumas ligas e ao longo de relativamente grandes faixas de tensão, não linearidade é 
observada. 
 
 
Figura 8.34 - Logarítmo da tensão versus logarítmo do tempo de vida de ruptura para uma liga de 
níquel de baixo carbono nas 3 temperaturas. (A partir de Metals Handbook: Properties and 
Selection : Stainless Steels, Tool Materials and Special Purpose Metals, Vol.3, 9a. Edição, D. 
Benjamin, Editor Senior, American Society for Metals,1980, p.130). 
 
 
Foram desenvolvidas correlações empíricas nas quais é expressa a taxa de fluência em 
estado estacionário como uma função da temperatura. Sua dependência em relação à tensão é 
escrita na forma 
 
 _s = K1 σn (8.23) 
 
onde K1 e n são constantes do material. Um gráfico do logarítmo de _s versus o logarítmo de σ 
fornece uma linha retacom inclinação n ; isto é mostrado na Figura 8.35 para uma liga de níquel em 
3 diferentes temperaturas. Claramente, um segmento de linha reta é traçado em cada temperatura. 
 
 
 
Figura 8.35 Logarítmo da tensão versus logarítmo da taxa de fluência em estado estacionário para 
uma liga de níquel de baixo carbonoem 3 temperaturas (A partir de Metals Handbook: 
Propriedades e Seleção : Aços Inoxidáveis, Materiais Ferramentas e Metais para Propósitos 
Especiais, Vol. 3, 9a. Edição, D.Benjamin, Editor Senior, American Society for Metals, 
1980,p.131). 
 
 
Agora, quando a influência da temperatura for incluída, 
 
 _s = K2 σn exp( - Qc / RT ) (8.24) 
 
onde K2 e Qc são constantes; Qc é denominado a energia de ativação para a fluência. 
Vários mecanismos teóricos foram propostos para explicar o comportamento de fluência 
para vários materiais; 3 mecanismos envolvem difusão de vacância induzida por tensão; difusão por 
contorno de grão; movimento de discordâncias e deslizamento de contorno de grão. Cada 
umconduz a um diferente valor do expoente n , da tensão , na Equação 8.23. Foi possível elucidaro 
mecanismo de fluência para um material particular por comparação do seu valor experimental de n 
com os valores previstos pelos diferentes mecanismos. Em adição, correlações foram feitas entre a 
energia de ativação para fluência (Qc) e a energia de ativação para difusão (Qd, na Equação 5.8). 
Dados de fluência desta natureza estão representados pictorialmente para alguns distemas 
bem estudados na formade diagramas de tensão-temperatura, os quais são chamados mapas de 
mecanismos de deformação. Estes mapas indicam os regimes tensão-temperatura (ou áreas) ao 
longo dos quais vários mecanismos operam. Contornos de taxa constante de deformação às vezes 
são também incluídos. Assim algumas situações de fluência, dado o apropriado mapade mecanismo 
de deformação e quaisquer 2 dos 3 parâmetros - temperatura, nível de tensão e taxa de deformação 
por fluência - o terceiro parâmetro pode ser determinado. 
 
 
 
8.15 - MÉTODOS DE EXTRAPOLAÇÃO DE DADOS 
 
Às vezes surge a necessidade de dados de engenharia sobre fluência que são coleta impraticável a 
partir de testes normais de laboratório. Isto é especialmente verdadeiro para exposições 
prolongadas (da ordem de anos). Uma solução deste problema envolve a realização de testes de 
fluência ou de ruptura por fluência em temperaturas maiores do que aquelas requeridas, a fim de 
diminuir os períodos de tempo e num nível de tensão comparável, e a seguir realizar uma adequada 
extrapolação para a condição de serviço. Um procedimento de extrapolação comumente usado 
emprega o parâmetro de Larson-Miller, definido como 
 
 T ( C + log tr ) (8.25) 
 
onde C é uma constante (usualmente da ordem de 20), para T em Kelvin e o tempo de vida de 
ruptura tr em horas. O tempo de vida de ruptura de um dado material medido num específico nível 
de tensão variará com a temperatura de tal maneira que este parâmetro permaneça constante. Ou, 
os dados podem ser graficados como o logarítmo da tensão versus o parâmetro de Larson-Miller, 
como mostrado na Figura 8.36. Utilização desta técnica é demonstrada no seguinte problema 
exemplo. 
 
 
Figura 8.36 Logarítmo da tensão versus o parâmetro de Larson-Miller para um ferro S-590. (A 
partir de F.R.Larson e J. Miller, Trans.ASME, 74, 765 (1952), Reimpresso por permissão de 
ASME). 
 
 
PROBLEMA EXEMPLO 8.3 
 
 
 
8.16 - LIGAS PARA USO EM ALTA TEMPERATURA 
 
Existem vários fatores que afetam as características de metais. Estas incluem temperatura de fusão, 
módulo elástico e tamanho de grão. Em geral, quanto maior a temperatura de fusão, quanto maior o 
módulo elástico e quanto maior o tamanho de grão e tanto melhor é a resistência do material à 
fluência. Aços inoxidáveis (Seção 12.5), os metais refratários (Seção 12.11) e as superligas (Seção 
12.12) são especialmente resilientes à fluência e comumente empregados em aplicações de alta 
temperatura de serviço. A resistência à fluência de ligas de cobalto e de níquel é melhorada por 
ligagem por solução sólida e também pela adição de uma fase dispersa que seja virtualmente 
insolúvel na matriz. Em adição, técnicas de processamento avançadas tem sido utilizadas, das quais 
uma é a solidificação direcional, que produz quer grãos altamente alongados ou componentes de 
monocristal (Figura 8.37). Uma outra é a solidificação controlada unidirecional de ligas tendo 
composições especialmente projetadas onde resultam compósitos bifásicos. 
 
 
Figura 8.37 (a) Lâmina policristalina de turbina que foi produzida por técnica convencional de 
fundição. Resistência à fluência em alta temperatura é melhorada como um resultado de uma 
estrutura granular orientada colunar. (b) produzida por sofisticada técnica de solidificação 
unidirecional. Resistência à fluência é adicionalmente aumentada quando lâminas de monocristal (c) 
são usadas (Cortesia dePratt & Whitney). 
MATERIALS SCIENCE AND ENGINEERING An Introduction 
William D. Callister, Jr., John Wiley & Sons, 1991 
 
9. DIAGRAMAS DE FASES 
 
 
9.1 - INTRODUÇÃO 
 
O entendimento de diagramas de fases para sistemas de ligas é extremamente importante porque 
existe uma forte correlação entre microestrutura e propriedades mecânicas e o desenvolvimento de 
microestrutura de uma liga está relacionado às características de seu diagrama de fases. Em adição, 
diagramas de fases fornecem valiosa informação sobre fusão, solidificação, cristalização e outros 
fenômenos. 
Este capítulo apresenta e discute os seguintes tópicos: (1) terminologia associada com 
diagramas de fases e transformações de fase; (2) a interpretação de diagramas de fases; (3) alguns 
dos diagramas de fases binários comuns e relativamente simples, incluindo aquele para o sistema 
ferro-carbono; e (4) o desenvolvimento de microestruturas de equilíbrio, no resfriamento, para 
várias situações. 
 
 
DEFINIÇÕES E CONCEITOS BÁSICOS 
 
É necessário estabelecer uma base de definições e conceitos básicos relacionados a ligas, fases e 
equilíbrio antes de estudar a interpretação e a utilização de diagramas de fases. O termo 
componente é frequentemente usado nesta discussão; componentes são metais puros e/ou 
compostos dos quais uma liga é constituída. Por exemplo, num latão de cobre-zinco, os 
componentes são Cu e Zn. Soluto e solvente, que são tambémtermos comuns, foram definido na 
Seção 4.3. Um outro termo usado neste contexto é sistema, que tem 2 significados. Primeiro, 
"sistema" pode referir-se a um específico corpo de material sob consideração (por exemplo, uma 
panela de aço líquido). Ou, êle pode relacionar à série de possíveis ligas do mesmo componente, 
mas sem consideração à composição da liga (por exemplo, sistema ferro-carbono). 
O conceito de uma solução sólida foi introduzido na Seção 4.3. À guisa de revisão, uma 
solução sólida consiste de átomos de pelo menos 2 diferentes tipos; os átomos de soluto ocupam 
posições quer substitucionais quer intersticiais na rede do solvente, e a estrutura cristalina do 
solvente é mantida. 
 
 
9.2 - LIMITE DE SOLUBILIDADE 
 
Para muitos sistemas de ligas e alguma temperatura específica, existe uma máxima concentração de 
átomos soluto que podem se dissolver no solvente para formar uma solução sólida; isto é 
denominado um limite de solubilidade . A adição de soluto em excesso a este limite de solubilidade 
resulta na formação de uma outra solução sólida ou um composto que tenha composiçã 
distintamente diferente. Para ilustrar este conceito, considere-se o sistema açucar-água ( 
C12H22O11-H2O). Inicialmente, à medida em que açucar é adicionado à água, a solução açucar-água 
ou xarope se forma. À medida em que mais açucar é introduzido, a solução se torna mais 
concentrada, até que o limite de solubilidade seja atingido ou a solução se torna saturada com 
açucar. Neste ponto a solução não é mais capaz de dissolver nenhum açucar mais e novas adições 
simplesmente sedimentam-se na base do recipiente.Assim, o sistema agora o sistema consiste de 2 
substâncias separadas: uma solução líquida açucar-água e cristais sólidos de açucar não dissolvidos. 
O limite de solubilidade do açucar em água depende da tempeatura da água e pode ser 
representado na forma gráfica num gráfico de temperatura ao longo da ordenada e composição 
(porcentagem em peso de açucar) na abcissa, como mostrado na Figura 9.1. Ao longo do 
eixodacomposição, o aumento da concentração de açucar é da esquerda para a direita e a 
porcentagem de água é lida da direita para a esquerda. Uma vez que apenas 2 componentes estão 
envolvidos (açucar e água) a soma da concentrações em qualquer composição será iguala 100% em 
peso. O limite de solubilidade está representado na Figura 9.1 como uma linha quase vertical. Para 
composicões e temperaturas no lado esquerdo da linha de solubilidade, existe apenas solução 
líquida de xarope; no lado direito da linha, coexistem xarope e açucar sólido. O limite de 
solubilidade numa temperatura é a composição que corresponde à interseção da coordenada da 
dada temperatura e a linha do limite de solubilidade. Por exemplo, a 20oC a máxima solubilidade de 
açucar em água é 65% em peso. Como a Figura 9.1 indica, o limite de solubilidade cresce 
levemente com a elevação da temperatura. 
 
 
9.3 FASES 
 
O conceito de fase é também crítico para o entendimento de diagramas de fases. Uma fase pode 
ser definida como uma porção homogênea de um sistema que tem características química e físicas 
uniformes. Todo material puro é considerado como sendo uma fase; assim é também toda solução 
 sólida, solução líquida e solução gasosa. Por exemplo, a solução de xarope açucar-água justo 
discutida é uma fase e o açucar sólido é uma outra. Cada uma tem diferentes propriedades físicas 
(uma é um líquido, a outra é um sólido); além disso, cada uma é diferente quimicamente (isto é, tem 
uma composição química diferente); uma é um açucar virturalmente puro, a outra é uma solução de 
água e C12H22O11. Se mais de uma fase estiver presente num dado sistema, cada uma terá suas 
propriedades distintas e existirá um limite separando as fases através do qual haverá uma 
descontínua e abrupta mudança em características físicas e/ou químicas. Quando 2 fases estiverem 
presentes num sistema, não é necessário que haja uma diferença simultaneamente em propriedades 
físicas e químicas; uma disparidade num ou outro conjunto de propriedades é suficiente. Quando 
água e gelo estiverem presentes num recipiente, existem 2 fases separadas ; elas são fisicamente 
dissimilares (uma é solida, a outra é um líquido) mas idênticas em composição química. Também, 
quando uma substância pode existirem 2 ou mais formas polimórficas ( por exemplo, tendo 
estruturas tanto CFC quanto CCC), cada uma destas estruturas é uma fase separada porque suas 
respectivas características físicas se diferem. 
Às vezes, um sistema monofásico é denominado "homogêneo". Sistemas compostos de 2 
ou mais fases são denominados "misturas" ou "sistemas heterogêneos". A maioria das ligas metálicas 
e para tal fim sistemas cerâmicos, poliméricos e compósitos são heterogêneos. Ordinariamente, as 
fases se interagem em tal maneira que a combinação de propriedade do sistema multifásico é 
diferente em relação a cada uma das fases individuais e mais atraentre do que cada uma das 
mesmas. 
 
 
9.4 - MICROESTRUTURA 
 
Muitas vezes , as propriedades típicas e, em particular, o comportamento mecânico de um material 
depende da microestrutura. Microestrutura é assunto para observação microscópica direta, usando 
microscópios ótico ou eletrônico; este tópico foi tocado na Seção 4.9. Em ligas metálicas, 
microestrutura é caracterizada pelo número de fases presentes, suas proporções e a maneira na qual 
elas estão distribuídas ou arranjadas. A microestrutura de uma liga depende de tais variáveis como 
os elementos de liga presentes, suas concentrações e o tratamento térmico da liga (isto é, a 
temperatura do tratamento, o tempo de aquecimento até a temperatura do tratamento e a taxa de 
resfriamento desde a temperatura do tratamento até à temperatura ambiente). 
O procedimento para a preparação da amostra para exame microscópico foi brevemente 
delineado na Seção 4.9. Após apropriado polimento e ataque, as diferentes fases podem ser 
distintuidas pelas suas aparências. Por exemplo, a fotomicrografia mostrada na página 246 é de uma 
liga bifásica alumínio-cobre; uma das fases aparece clara, a outra fase é escura. Quando apenas uma 
única fase ou solução sólida estiver presente,. a textura será uniforme, exceto para os contornos de 
grão que podem ser revelados (Figura 4.12b). 
 
 
 
9.5 - EQUILÍBRIOS DE FASES 
 
Equilíbrio é um outro conceito essencial. Ele é melhor descrito em termos de uma quantidade 
termodinâmica chamada energia livre . Brevemente, energia livre é uma função da energia interna 
de um sistema e também da randomicidade ou desordem dos átomos ou moléculas (ou entropia). 
Um sistema se encontra em equilíbrio se sua energia livre estiver num mínimo sob alguma 
especificada combinação de temperatura, pressão e composição. Num sentido macroscópico, isto 
significa que as características do sistema não mudam com o tempo mas sim persiste 
indefinidamente; isto é, o sistema é estável. Uma mudança em temperatura, pressão e/ou 
composição para um sistema em equilíbrio resultará num aumento na energia livre e numa possível 
mudança esponânea para um outro estado mediante o que a energia livre é abaixada. 
O termo equilíbrio de fase, às vezes usado no contexto desta discusssão, refere-se a 
equilíbrio como ele se aplica a sistemas nos quais mais do que uma fase pode existir. Equilíbrio de 
fase é refletido por uma constância com o tempo nas características de fases de um sistema. Talvez 
um exemplo melhor ilustre este conceito. Suponha-se que um xarope açucar- água esteja contido 
num vaso fechado e a solução esteja em contato com açucar sólido a 20oC. Se o sistema estiver em 
equilíbrio, a composição do xarope é 65% C12H22O11-35%H2O, em peso (Figura9.1) e as 
quantidades e composições do xarope e de açucar sólido remanescerão constantes com o tempo. 
Se a temperatura do sisrtema é repentinamente elevada - digamos, para 100oC - este equilíbrio ou 
balanço é temporaraiamente perturbado no sentido de que o limite de solubilidade foi aumentado 
para80%C12H22O11 (Figura 9.1). Assim, uma quantidade de açucar sólido se dissolverá na solução 
de xarope. Isto continuará até que nova concentração de equilíbrio do xarope é establecida na 
tempeatura maior. 
 
 
Figura 9.1 - A solubilidade de açucar (C12H22O11) num xarope açucar-água. 
 
 
Este exemplo açucar-xarope ilustrou o princípio de equilíbrio de fase usando um sistema 
líquido-sólido. Em muitos sistemas metalúrgicos e materiais de interesse, equilíbrios de fases 
envolvem justo fases sólidas. Neste sentido o estado do sistema é refletido nas características da 
microestrutura, que necessariamente incluem não apenas as fases presentes e suas composições 
mas, em adição, as quantidades relativas de fases e seus arranjos ou distribuiçòes espaciais. 
Considerações de energia livre e diagramas similares àquele da Figura 9.1 fornecem 
informação sobre as características de equilíbrio de um particular sistema, que é importante; mas 
êles não indicam o período de tempo necessário para o atingimento de um novo estado de 
equilíbrio. É às vezes o caso, especialmente em sistemas sólidos, que um estado de equilíbrio não é 
nunca atingido completamente porque a taxa de aproximação do equilíbrio é extremamente lenta; um 
tal sistema é dito estar em estado de não-equilíbrio ou metaestável. Um estado metaestável ou 
uma microestrutura metaestável pode persistir indefinidamente, experimentando apenas 
extremamente leves e quase imperceptíveis mudanças com o progresso do tempo. Às vezes, 
estruturas metaestáveis são de importância prática maior do que aquelas de equilíbrio. Por exemplo, 
alguns aços e ligas de alumínio devem suas resistências mecânicas está em suas microestruturas 
metaestáveis geradas durante cuidadosamente projetados tratamentos térmicos (Seção 10.5 e 
11.7). 
Assim, não apenas é importante o entendimento dos estados de equilíbrio e das estruturas 
de equilíbrio, mas também deve ser considerados a velocidade ou taxa na qual êles são 
estabelecidos e os fatores que afetam a taxa. Este capítulo é devotado quase que exclusivamente a 
estruturas de equilíbrio; o tratamento de taxas de reações e de estruturas de não-equilíbrio é 
deferido aos Capítulos 10 e 11. 
 
 
DIAGRAMAS DE FASES DE EQUILÍBRIO 
 
Muito da informação sobre o controle de microestrutura ou estrutura de fase de um particular 
sistema de liga é convenientemente e concisamente exposto no que é chamado um diagrama de 
fases, também às vezes denominado um diagrama de equilíbrio ou diagrama constitucional. 
Muitas microestruturas se desenvolvem a partir de transformações de fase, as mudanças que 
ocorrem entre fases quando a temperatura é alterada (ordinariamente no resfriamento). Isto pode 
envolver a transiçãoa partir de uma fase para uma outra, ou o aparecimento ou desaparecimento de 
uma fase. Diagramas de fases são úteis na previsão de transformações e as microestruturas 
resultantes, que podem ter caráter de equilíbrio ou de não-equilíbrio. 
Diagramas de fase de equilíbrio representam a correlação entre temperatura e as 
composições e quantidades de fases em equilíbrio. Existem várias diferentes variedades; mas na 
presente discussão, temperatura e composição são os parâmetros variáveis, para ligas binárias. Uma 
liga binária é uma que contém 2 componentes. Se maais de 2 componentes estiverem presentes, 
diagramas de fase se tornam extremamente complexos e difíceis de representar. Os princípios de 
controle microestrutural com a ajuda de diagrama de fases pode ser ilustrado com ligas binárias 
mesmo embora, na realidade, a maioria das ligas contenham mais do que 2 componentes. Pressão 
externa é também um parâmetro que influencia a estrutura de fase. Entretanto, em praticalidade, 
pressão remanesce virtualmente constante; assim, os diagramas de fases apresentados aqui são para 
uma pressão constante de uma atmosfera ( 1 atm). 
 
 
 
9.6 - SISTEMAS ISOMORFOS BINÁRIOS 
 
Possivelmente o tipo mais fácil de diagrama de fases binário para entender e interpretar é aquele 
caracterizado pelo sistema cobre-níquel (Figura 9.2). Temperatura é graficada ao longo da 
ordenada e a abcissa representa a composição da liga, em porcentagem em peso (base) e 
porcentagem atômica (topo) de níquel. As faixas de composição de 0%Ni (100%Cu), em peso, na 
extremidade horizontal esquerda até 100%Ni(0%Cu), em peso, na extremidade horizontal direita. 
Três diferentes regiões de fase, ou campos, aparecem no diagrama de fases, um campo alfa (α), um 
campo de líquido (L) e um campo bifásico α + L. Cada região é definida pela fase ou fases que 
existem ao longo da faixa de temperaturas e composições delimitadas pelas linhas de limites de fase. 
 
 
Figura 9.2 (a) Diagrama de fases cobre-níquel. (Adaptado a partir de Metals Handbook: 
Metallography, Structures and Phase Diagrams, Vol. 8, 8a.Edição, ASM Handbook 
Committee, T. Lyman, Editor, American Society for Metals, 1973,p.294) (b) Uma porção do 
diagrama de fases cobre-níquel para a qual composições e quantidades de fase são determinadas 
no ponto B. 
 
 
O líquido L é uma solução líquida composta de cobre e de níquel. A fase α é uma solução 
sólida substitucional consistindo de átomos de Cu e de Ni e tendo uma estrutura cristalina CFC. Em 
temperaturas abaixo de cerca de 1080oC cobre e níquel são mutuamente solúveis no estado sólido 
para todas as composições. Esta solubilidade completa é explicada pelo fato de que Cu e Ni têm a 
mesma estrutura cristalina (CFC), raios iônicos e eletronegatividades quase idênticos e valências 
similares (como discutido na Seção 4.3). O sistema cobre-níquel é denominado isomorfo por 
causa desta completa solubilidade líquida e sólida dos 2 componentes. 
Existem um par de comentários a respeito da nomenclatura. Primeiro, para ligas metálicas, 
soluções sólidas são comumente designadas por letras gregas minúsculas ( α, β , γ, etc..). Em 
relação aos limites de fase a linha que separa os campos das faes L e α + L é denominada a linha 
liquidus, como indicada na Figura 9.2a; a fase líquida está presente em todas as temperaturas e 
composições acima desta linha. A linha solidus está localizada entre as regiões α e α + L , abaixo 
da qual só existe a fase α sólida. 
Para a Figura 9.2a, as linhas solidus e liquidus se intersectam nas 2 extremidades de 
composição; estas correspondem às temperaturas de fusão dos componentes puros. Por exemplo, 
as temperaturas de fusão de cobre puro e de níquel puro são 1085oC e 1455oC, respectivamente. 
O aquecimento do cobre puro corresponde a se mover para cima ao longo do eixo da temperatura 
no lado esquerdo do diagrama. O cobre se mantém sólido até que a sua temperatura de fusão seja 
atingida. A transformação sólido-a-líquido ocorre na temperatura de fusão e nenhum aquecimento 
adicional é possível até que esta transformação tenha se completado. 
Para qualquer composição que não seja a dos componentes puros, este fenômeno de 
fusão ocorrerá ao longo da faixa de temperatura entre as linhas solidus e liquidus; as fases sólido α 
e líquida estarão em equilíbrio dentro da faixa de temperatura. Por exemplo, ao se aquecer uma liga 
de composição em peso igual a 50%Ni-50%Cu, em peso, (Figura9.2a), a fusào se inicia a 
aproximadamente 1280oC; a quantidade de fase líquida cresce continuamente com a elevação da 
temperatura até cerca de 1320oC, na qual a liga estará completamente líquida. 
 
 
 
Interpretação de Diagramas de Fases 
 
Para um sistema binário de composição e temperatura conhecidas que esteja em equilíbrio, pelo 
menos 3 tipos de informação são disponíveis: (1) as fases que estão presentes; (2) as composiçòes 
destas fases, e (3) as porcentagens ou frações das fases. Os procedimentos para fazer estas 
determinações serão demonstrados usando o sistema cobre-níquel. 
 
Fases presentes. O estabelecimento de que fases estão presentes é relativamente 
simples. Se deve justo localizar o ponto temperatura-composição no diagrama e notar a(s) fase(s) 
que corresponde(m ) ao campo de fase rotulado. Por exemplo,uma liga de composição em peso 
igual a 60%Ni e 40%Cu a 1100oC estaria localizada no ponto A na Figura 9.2a; de vez que este 
ponto se situa na região α, apenas a única fase α estará presente. Por outro lado, uma liga 35%Ni-
65%Cu, em peso, a 1250oC (ponto B ) consistirá das fases α e líquido em equilíbrio. 
 
Determinação das composições de fases. A primeira etapa na determinação de 
composições de fases (em termos das concentrações dos componentes) é localizar o ponto 
tempeatura-composição no diagrama de fases. Diferentes métodos são usados para regiões 
monofásicas e bifásicas. Se apenas uma fase estiver presesente, o procedimento é trivial: a 
composição desta fase é simplesmente a mesma composição global da liga. Por exemplo, 
considere-se a liga 60%Ni-40%Cu, em peso, a 1100oC (ponto A, Figura 9.2a.). Nesta composição 
e temperatura, apenas a fase α está presente, tendo uma composição 60%Ni-40%Cu, em peso. 
Para uma liga tendo composição e temperatura localizada numa região bifásica, a situaçào 
é mais complicada. Em todas as regiões bifásicas (e em regiões bifásicas apenas apenas), se pode 
imaginar uma série de linhas horizontais, uma em cada uma das temperaturas; cada uma destas linhas 
horizontais é conhecida como uma linha de ligação ("tie line"), ou às vezes como uma isoterma. 
Estas linhas de ligação se estendem através da região de 2 fases e teminam nas linhas de limite de 
fases em ambos os lados. Para calcular as concentrações de equilíbrio das 2 fases, o seguinte 
procedimento é usado: 
1. Uma linha de ligação é construída através da região de 2 fases na temperatura da liga. 
2. As interseções da linha de ligação com as linhas de limites de fases em cada lado são 
 notadas . 
3. Perpendiculares são traçadas a partir destas interseções ao eixo horizontal de 
 composição, onde a composição de cada uma das respectivas fases é lida. 
Por exemplo, considere-se de novo a liga 35%Ni-65%Cu, em peso, a 1250oC, localizada 
no ponto B na Figura 9.2b e situando-se na região α + L. Assim o problema é determinar a 
composição (em % em peso de Ni e de Cu) para as fases α e líquido. A linha de ligaçào foi 
construída através da região de fase α + L, como mostrado na Figura 9.2b. A perpendicular a partir 
da interseção da linha de ligação com o limite de liquidus encontra o eixo da composição em 32% 
de Ni e 68%de Cu, em peso, que é a composição da fase líquida, CL . Do mesmo modo, para a 
interseção solidus-linha de ligação, nós encontramosuma composiçào para a fase solução sólida α, 
 Cα , de 43%de Ni e 57% de Cu, em peso. 
 
Determinação das Quantidades de Fases. As quantidades relativas (como fração ou 
porcentagem) das fases presentes em equilíbrio podem também ser calculadas com a ajuda de 
diagrama de fases. Na região monofásica a liga é composta inteiramente daquela fase, isto é 100%. 
Para uma liga 60%Ni-40%Cu, em peso, a 1100oC (ponto A, da Figura 9.2a), apenas a fase α está 
presente; portanto, a liga é completamente α ou 100%α. 
Se a posição da composição e temperatura estiver localizada dentro de uma região de 2 
fases, a linha de ligação deve ser utilizada em conjunção com um procedimento que é às vezes 
conhecido como a regra da alavanca ("lever rule", ou regra da alavanca inversa), que é aplicada 
do seguinte modo: 
1. A linha de ligação é construída através da região de 2 fases na temperatura da liga. 
2. A composição total da liga é localizada na linha de ligação. 
3. A fração de uma fase é calculada tomando o comprimento da linha de ligação a partir 
 da composição global da liga até o limite de fase para a outra fase e dividindo pelo 
comprimento total da linha de ligação. 
4. A fração da outra fase é determinada da mesma maneira. 
5. Se as porcentagens de fases forem desejadas, cada fração deve ser multiplicada por 
 100. Quando o eixo de composição for posto em escala de porcentagem em peso, as frações 
de fase computadas usando a regra da alavanca são frações de massa - a massa (ou 
peso) de uma fase específica dividida pela massa (ou peso) total da liga. A massa de cada 
fase é calculada a partir do produto da fração de cada fase e a massa total da liga. 
Ocasionalmente, se torna necessário calcular as frações volumétricas de fases, que é 
realizado considerando as densidades das fases, como delineado no Problema Exemplo 9.3. 
 
No emprego da regra da alavanca, os comprimentos da linha de ligação podem ser 
determinados quer por medição direta a partir do diagrama de fases usando uma escala linear, de 
preferência em mm, ou subtraindo composições tomadas a partir do eixo das composições. 
Considere-se novamente o exemplo mostrado na Figura 9.2b, no qual a 1250oC para uma 
liga 35%Ni-65%Cu, em peso, as fases α e líquido estão presentes. O problema é calcular a fração 
de cada uma das fases α e líquido. Foi construída a linha de ligação que foi usada para 
determinação das composições de α e L. Seja localizada a composição global da liga ao longo a 
linha de ligação e denotada como Co e representadas por WL e Wα as frações mássicas para as 
respectivas fases. A partir da regra da alavanca, WL pode ser calculada de conformidade com 
 
 WL = S / (R + S) (9.1a) 
 
ou, por subtração de composições, 
 
 WL = (Cα - Co) / (Cα - CL) (9.1b) 
 
Composição tem que ser especificada apenas em termos de um dos constituintes para uma liga 
binária; para o cálculo acima, a % em peso de Ni será usada (isto é, Co = 35%Ni, em peso, Cα = 
43%Ni e CL = 32%Ni) e 
 
 WL = (43 - 35) / (43 - 32) = 0,73 
 
Similarmente, para a fase α, 
 
 WL = R / (R+S) (9.2a) 
 
 = (Co - CL) / (Cα - CL) (9.2b) 
 
 = (35 - 32) / (43 - 32) = 0,27 
 
 
PROBLEMA EXEMPLO 9.1 
 
 
 
DESENVOLVIMENTO DE MICROESTRUTURA EM LIGAS ISOMÓRFICAS 
 
Neste ponto é instrutivo examinar o desenvolvimento de microestrutura que ocorre para ligas 
isomórficas durante a solidificação. Nós primeiro tratamos a situação na qual o resfriamento ocorre 
muito lentamente, no sentido de que o equilibrio de fase é continuamente mantido. 
Consideremos o sistema cobre-níquel (Figura 9.2a), especificamente uma liga de 
composição 35%Ni-65%Cu, em peso, enquanto ela é resfriada a partir de 1300oC. A região do 
diagrama de fase Ni-Cu na vizinhança desta composição está mostrada na Figura 9.3. O 
resfriamento de uma liga de composição acima corresponde a mover-se para baixo ao longo da 
linha vertical tracejada. A 1300oC, ponto a, a liga está completamente líquida (de composição 
35%Ni-65%Cu) e tem a microestrutura representada pelo círculo inserido na figura.Quando o 
resfriamento se inicia, nenhuma mudança microestrutural ou de composição ocorrerá até que 
atinjamos a linha liquidus (ponto b, aproximadamente 1270oC). Neste ponto, começa a se formar o 
primeiro sólido α, que tem uma composição ditada pela linha de ligação traçada nesta temperatura 
(isto é, 49%Ni-51%Cu, em peso); a composição do líquido é ainda aproximadamente 35%Ni-
65%Cu, que é diferente daquela do sólido α. Com o continuado resfriamento, tanto as 
composições quanto as quantidades relativas de cada uma das fases mudarão. As composições das 
fases líquido e α seguirão as linhas liquidus e solidus, respectivamente. Além disso, a fração da fase 
α aumentará com o continuado resfriamento.Também, a composição global da liga (35%Ni-
65%Cu) remanesce a mesma durante o resfriamento mesmo embora exista uma redistribuição de 
cobre e de níquel entre as fases. 
 
 
Figura 9.3 - Representação esquemática do desenvolvimento de microestrutura durante a 
solidificação de equilíbrio de uma liga 35%Ni-65%Cu. 
 
 
A 1250oC, ponto c na Figura 9.3, as composições, em peso, das fases líquido e α são 
30%Ni-70%Cu e 43%Ni-57%Cu, respectivamente. 
O processo de solidificação está virtualmente completo a 1220oC, ponto d; a composição 
do sólido é aproximadamente 35%Ni-65%Cu (a composição global da liga) enquanto que aquela 
do último líquido remanescente é 23%Ni-77%Cu. Ao atravessar a linha solidus, estelíquido 
remanescente se solidificará; o produto final é então uma fase policristalina de fase α que tem uma 
composição uniforme 35%Ni-65%Cu (ponto e, Figura 9.3). Subsequente resfriamento não 
produzirá nenhuma alteração microestrutural ou composicional. 
Condições de solidificação de equilíbrio são realizadas apenas para taxas de resfriamento 
extremamente lentas. A razão para isto é que com mudanças na temperatura, devem existir reajustes 
nas composições das duas fases de acordo com o diagrama de fases, como discutido nos 
parágrafos precedentes. Estes reajustes são realizados por processos difusionais, isto é, difusão nas 
fases tanto sólida quanto líquida e também através da interface sólido-líquido. Porquanto difusão é 
um fenômeno dependente do tempo (Seção 5.3), para manter equilíbrio durante o resfriamento, 
suficiente tempo deve ser permitido em cada temperatura para os apropriados ajustes de 
composição. Taxas de difusão (isto é, a magnitude dos coeficientes de difusão) são especialmente 
baixas para a fase sólida e, para ambas as fases, decrescem com o abaixamento da temperatura. Em 
virtualmente todas as situações práticas de solidificação, taxas de resfriamento são demasiado 
rápidas para permitir estes ajustes de composição e a manutenção de equilíbrio e resultam 
microestruturas outras que aquelas descritas acima. 
Uma consequência importante de solidificação de não-equilibrio para ligas isomorfas é 
uma distribuição não uniforme dos dois elementos dentro dos grãos, que é denominada segregação. 
A região central de cada grão, que é a primeira a se solidificar, é rica em elemento de alto ponto de 
fusão (por exemplo, níquel para um sistema Ni-Cu), enquanto que a concentração do elemento de 
baixo ponto de fusão aumenta com a posição a partir desta região para o contorno do grão; assim, 
são estabelecidos gradientes de concentração através dos grãos, que está esquematicamente 
representado na Figura 9.4. Isto é às vezes denominado uma estrutura "em camadas concêntricas", 
que dá origem a propriedades menores do que as ótimas. Quand uma peça fundida (soldificada em 
moldes) tendo uma estrutura em camadas concêntricas é reaquecida, regiões de contorno de grão se 
fundirão primeiro porquanto elas sejam mais ricas no componente de menor ponto de fusão. Isto 
produz uma repentina perda na integridade mecânica devida ao filme fino líquido que separa os 
grãos. Além disso, esta fusão pode começar numa temperatura abaixo da temperatura solidus de 
equilíbrio da liga. A estrutura em camadas concêntricas pode ser eliminada por um tratamento 
térmico de homogenização realizado numa temperatura abaixo do ponto de solidus para a particular 
composição de liga. Durante este processo, ocorre a difusão atômica, que produz grãos 
composicionalmente uniformes. 
 
Figura 9.4 - Representação esquemática de formação de camadas concêntricas num único grão. 
Para uma estrutura de camadas concêntricas, gradientes de concentração são estabelecidos através 
dos grãos; linhas tracejadas indicam contornos de concentração constante (C1, C2 e C3, etc..). 
 
 
 
 
PROPRIEDADES MECÂNICAS DE LIGAS ISOMORFAS 
 
Agora exploraremos brevemente como as propriedades mecânicas de ligas sólidas isomorfas são 
afetadas por composição quando outras variáveis estruturais (por exemplo, tamanho de grão) são 
mantidas constantes. Para todas as temperaturas e composições existirá apenas uma única fase 
sólida abaixo da temperatura de fusão do componente de mais baixo ponto de fusão. Portanto, cada 
componente experimentará endurecimento por solução sólida (Seção 7.9), ou um aumento na 
resistência mecânica ou na dureza por adições do outro componente. Este efeito é demonstrado na 
Figura 9.5a na forma de resistência à tração versus composição para o sistema níquel-cobre à 
temperatura ambiente; em alguma composição intermediária, a curva necessariamente passa através 
de um máximo. Graficado na Figura 9.5b está o comportamento dutilidade (%EL)-composição, que 
é justo o oposto da resistência à tração; isto é, a dutilidade decresce com adições do segundo 
componente, e a curva exibe um mínimo. 
 
Figura 9.5 - Para um sistema cobre-níquel, (a) resistência à tração versus composição, e (b) 
dutilidade (%EL) versus dutilidade. Existe uma solução sólida para todas as composições deste 
sistema binário. 
 
 
9.7 - SISTEMAS EUTÉTICOS BINÁRIOS 
 
Um outro tipo de diagrama de fase comum e relativamente simples encontrado para ligas binárias é 
mostrado na Figura 9.6 para o sistema cobre-prata; este é conhecido como diagrama de fase 
eutético binário. Um número de características deste diagrama de fase são importantes e vale a pena 
notá-las. Antes de mais nada, são encontradas no diagrama 3 regiões monofásicas: α, β e líquido. 
 A fase α é uma solução sólida rica em cobre; ela tem prata como o componente soluto e uma 
estrutura cristalina CFC. A fase solução sólida β também tem uma estrutura CFC, mas cobre é o 
soluto. Tecnicamente, cobre puro e prata pura são considerados como sendo fases α e β , 
respectivamente. 
 
 
Figura 9.6 - Diagrama de fase cobre-prata. (Adaptado a partir de Metals Handbook: 
Metallography, Structures and Phase Diagrams, Vol.8, 8th edition, ASM Handbook Committee, T. 
Lyman, Editor, American Society for Metals, 1973, p.253). 
 
 
Assim a solubilidade de cada uma destas fases sólidas é limitada, no sentido de que em 
qualquer temperatura abaixo da linha BEG apenas uma limitada concentração de prata se dissolve 
em cobre (para a fase α) e, similarmente, para o cobre em prata (para a fase β). O limite de 
solubilidade para a fase α corresponde à linha de limite de fase, denominada CBA, entre as regiões 
de fases α/(α + β) e α/(α + L) ; ele cresce com a temperatura até um máximo [7,9 %Ag, em 
peso, a 780oC (1436oF)] no ponto B, e decresce até zero na temperatura de fusão do cobre puro, 
ponto A [1085oC (1985oF)]. Em temperatura inferior a 780oC (1436oF), a linha de limite de 
solubilidade sólida separando as regiões de fase α e α + β é denominada a linha solvus ; o 
limite AB entre os campos de α e de α + L é a linha solidus, como indicado na Figura 9.6. Para a 
fase β , existem também as linhas tanto solvus quanto solidus, HG e GF, respectivamente, como 
mostrado. A solubilidade máxima de cobre na fase β , ponto G (8,8% em peso de Cu), também 
ocorre a 780oC (1436oF). Esta linha horizontal BEG, que é paralela ao eixo da composição e se 
estende entre estas posições de máxima solubilidade, pode ser considerada como sendo uma linha 
solidus; ela representa a mais baixa temperatura na qual uma fase líquida pode existir para qualquer 
liga cobre-prata que esteja em equilíbrio. 
Existem também 3 regiões bifásicas no diagrama de fase do sistema cobre-prata (Figura 
9.6): α + L, β + L e α + β . As soluções sólidas das fases α e β coexistem para todas as 
composições e temperaturas dentro do campo de fase α + β; as fases α + L e β + L também 
coexistem em suas respectivas regiões de fases. Além disso, composições e quantidade relativas 
para as fases podem ser determinadas usando linhas de ligação e a regra da alavanca como 
delineada na seção precedente. 
À medida em que prata é adicionada ao cobre, a temperatura na qual as ligas se tornam 
totalmente líquidas decrescem ao longo da linha liquidus, linha AE; assim a temperatura de fusão do 
cobre é abaixada por adições de prata. O mesmo pode ser dito para a prata: a introdução de cobre 
reduz a temperatura de fusão completa ao longo da outra linha liquidus, FE. Estas linhas liquidus se 
encontram no ponto E do diagrama de fase, por onde também passa a linha horizontal isotérmica 
BEG. O ponto E é chamado um ponto invariante e é designado pela composição CE e 
temperatura TE ; para o sistema cobre-prata, os valores de CE e TE são 71,9% em peso de Ag 
e 780oC (1436oF), respectivamente. 
Quando uma liga de composição CE muda de temperatura e passa por TE , ocorre uma 
importante reação, que pode ser escrita da seguintemaneira: 
 
 resfriamento 
 L(CE) º α(CαE) + β(CβE) (9.5) 
 aquecimento 
 
 
Ou, no resfriamento, uma fase líquida é transformada em 2 fases sólidas α e β à temperatura TE ; 
 a reação oposta ocorre no aquecimento. Esta é chamada uma reação eutética (eutética signifca 
facilmente fundida) e CE e TE representama composição e temperatura eutéticas, 
respectivamente; CαE e CβE são as respectivas composições das fases α e β na temperatura 
TE. Assim, para o sistema cobre-prata, a Equação 9.5 pode ser escrita como segue: 
 
 resfriamento 
 L (71,9 % Ag em peso) º α(7,9 %Ag) + β (91,2%Ag) 
 aquecimento 
 
Às vezes, a linha solidus horizontal em TE é chamada a isoterma eutética. 
A reação eutética, no resfriamento, é similar à solidificação para componentes puros no 
sentido de que a reação se processa até o fim numa temperatura constante, ou isotermicamente em 
TE. Entretanto, o produto sólido da solidificação eutética é sempre o conjunto de 2 fases, enquanto 
que para um componente puro apenas uma única fase se forma. Por causa desta reação eutética, 
diagramas de fase similares aqueles da Figura 9.6 são denominados diagramas de fase eutéticos; 
componentes exibindo este comportamento compreendem um sistema eutético. 
Na construção de diagramas de fase binários, é importante entender que uma ou no 
máximo 2 fases podem estar em equilíbrio dentro de um campo de fase. Isto se aplica para os 
diagramas de fase da Figura 9.2a e 9.6. Para um sistema eutético, 3 fases (α, β e L) pode estar em 
equilíbrio, mas apenas em pontos ao longo da isoterma eutética. Uma outra regra geral é que regiões 
monofásicas são sempre separadas entre si por uma região bifásica que consiste das 2 fases simples 
que ela separa. Por exemplo, o campo α + β está situado entre as regiões de monofases α e β na 
Figura 9.6. 
Um outro sistema eutético comum é aquele para chumbo e estanho; o diagrama de fase 
(Figura 9.7) tem uma forma geral similar aquela do sistema cobre-prata. Para o sistema chumbo-
prata as fases solução sólida são também designadas por α e β; neste caso, α representa uma 
solução sólida de estanho em chumbo e para β o estanho é o solvente e chumbo é o soluto. O 
ponto invariante eutético está localizado em 61,9%Sn, em peso, e 183oC (361oF). Naturalmente, 
composições de máxima solubilidade sólida bem como temperaturas de fusão dos componentes 
serão diferentes para os sistemas cobre-prata e chumbo-estanho, como pode ser observado pela 
comparação do seus diagramas. 
 
 
Figura 9.7 - Diagrama de fase chumbo-estanho. (Adaptado a partir de Metals Handbook: 
Metallography, Structures and Phase Diagrams, Vol.8, 8th edition, ASM Handbook Committee, T. 
Lyman, Editor, American Societyfor Metals, 1973,p.330). 
 
 
Ocasionalmente, são preparadas ligas de baixo ponto de fusão tendo composições quase 
eutéticas. Um exemplo familiar é a solda 60-40, contendo 60%Sn e 40%Pb, em peso. Figura 9.7 
indica que uma liga desta composição está completamente fundida a cerca de185oC (365oF), o que 
faz deste material especialmente atrativo como uma solda de baixa temperatura, de vez que ele é 
facilmente fundido. 
 
 
PROBLEMA EXEMPLO 9.2. 
 
 
PROBLEMA EXEMPLO 9.3. 
 
 
DESENVOLVIMENTO DE MICROESTRUTURA EM LIGAS EUTÉTICAS 
 
Dependendo da composição, vários diferentes tipos de microestrutura são possíveis para 
resfriamento lento de ligas pertencendo a sistemas eutéticos binários. Estas possibilidades serão 
consideradas em termos dos diagrama de fase chumbo-estanho, Figura 9.7. 
O primeiro caso é para composições variando entre um componente puro e a máxima 
solubilidade sólida para aquele componente à temperatura ambiente [20oC (70oF)]. Para o sistema 
chumbo-estanho, isto inclui ligas ricas em chumbo contendo entre 0 e cerca de 2% em peso de Sn ( 
para a solução sólida α) e também estanho essencialmente puro, de vez que a solubilidade de 
chumbo em estanho(para a fase β) é desprezível à temperatura ambiente. Por exemplo, considere-
se uma liga de composição C1 (Figura 9.9) quando ela é resfriada a partir de uma temperatura 
compreendida dentro da região de fase líquida, por exemplo, 350oC; isto corresponde a mover-se 
para baixo ao longo da linha vertical ww' na figura. A liga remanesce totalmente líquida e a 
composição C1 até nós cruzarmos a linha liquidus a cerca de aproximadamente 330oC, tempo em 
que a fasse α sólida começa a se formar. Enquanto se passa através desta estreita região de fase α 
+ L, solidificação se processa da mesma maneira como descrita para a liga cobre-níquel na sseção 
precedente; isto é, com continuado resfriamento mais sólido α se forma. Além disso, são diferentes 
entre si as composições de líquido e de fase sólida que seguem ao longo dos limites liquidus e 
solidus, respectivamente. Solidificação se completa no ponto onde ww cruza a linha solidus. A liga 
resultante é policristalina com uma composição uniforme de C1 e nenhuma subsequente mudança 
ocorrerá no resfriamento até à temperatura ambiente. Esta microestrutura está representada 
esquematicamente pela inserção no pontoc na Figura 9.9. 
 
 
Figura 9.9 - Representações esquemáticas de microestruturas de equilíbrio para liga chumbo-
estanhode composição C1 à medida em que ela é resfriada a partir da região de fase líquida. 
 
 
O segundo caso considerado é para composições que variam entre o limite de 
solubilidade à temperatura ambiente e a solubilidade máxima na temperatura eutética. Para o sistema 
chumbo-estanho (Figura 9.7), estas composições se estendem desde cerca de 2%Sn, em peso, até 
19,2%Sn (para ligas ricas em chumbo) e desde 97,5%Sn até estanho virtualmente puro (para ligas 
ricas em estanho). Examinemos uma liga de composição C2 à medida em que ela é resfriada ao 
longo da linha vertical xx ' na Figura 9.10. Para baixo até a interseção de xx ' e a linha solvus, 
mudanças que ocorrem são similares ao caso anterior, quando nós passamos através das 
correspondentes regiões de fase (como demonstrado pelas inserções nos pontos d, e e f). Justo 
acima da interseção de solvus, ponto f, a microestrutura consiste de grãos α de composição C2. 
Ao cruzar a linha solvus, a solubilidade no sólido α é excedida, o que resulta na formação de 
pequenas partículas de fase β; estas estão indicadas na inserção de microestrutura no ponto g. Com 
o continuado resfriamento, estas partículas crescerão em tamanho porque a fração mássica da fase 
β cresce ligeiramente com o decrescimo da temperatura. 
 
 
Figura 9.10 - Representações esquemáticas da microestrutura de equilíbrio para uma liga chumbo-
estanho de composição C2 à medida em que ela é resfriada a partir da região de fase líquida. 
 
 
 
O terceiro caso envolve solidificação da composição eutética, 61,9% em peso de Sn ( C3 
na Figura 9.11). Considere-se uma liga tendo esta composição que é resfriada a partir de uma 
temperatura situada na região de fase líquida (por exemplo, 250oC) para baixo ao longo da linha yy' 
na Figura 9.11. À medida em que a temperatura é abaixada, nenhuma mudança ocorre até que nós 
atingimos a temperatura eutética, 183oC. Ao se cruzar a isotérma eutética, o líquido se transforma 
nas duas fases α e β . Esta transformação pode ser representada pela reação 
 
 L (61,9%Sn em peso) 6 α (19,2%Sn em peso) + β(97,5%Sn em peso) (9.6) 
 
na qual as composições das fases α e β são ditadas pelos pontos extremos da isoterma eutética. 
Durante esta transformação deve existir necessariamente uma redistribuição dos componentes 
chumbo e estanho, porquanto as fases α e β têm diferentes composições sendo que nenhuma delas 
é a mesma daquela do líquido. Esta redistribuição é realizada por difusão atômica. 
 
 
Figura 9.11 - Representações esquemáticas das microestruturas de equilíbrio para uma liga 
chumbo-estanho de composição eutética C3 acima e abaixo da temperatura eutética. 
 
 
 
A microestrutura resultante consiste de camadas alternadas(às vezes denominadas 
lamelas) de fases α e β que se formam simultaneamente durante a transformação. Esta 
microestrutura, representada esquematicamente na Figura 9.11, ponto i, é chamada uma estrutura 
eutética e é característica desta reação. Uma fotomicrografia desta estrutura para o eutético 
chumbo-estanho é mostrada na Figura 9.12. As fases α e β se formam nestas camadas alternantes 
porque, para esta configuração lamelar, difusão atômica necessita apenas ocorrer ao longo de 
relativamente pequenas distâncias. Subsequente resfriamento da liga a partir de justo abaixo da 
temperatura eutética até a temperatura ambiente resultará apenas em menores variações 
microestruturais. 
 
 
Figura 9.12 - Fotomicrografia mostrando a microestrutura de uma liga chumbo-estanho de 
composição eutética. Esta microestrutura consiste de camadas alternadas de uma fase solução sólida 
α (camadas escuras) rica em chumbo e de uma fase solução sólida β rica em estanho (camadas 
claras), 375x. (Reproduzida com permissão a partir de Metals Handbook, Vol.9, 9a.Edição, 
Metallography and Microstructures, American Society for Metals, Materials Park, OH, 1985. 
O quarto e último caso microestrutural para este sistema inclui todas as composições 
outras que não a eutética que, quando resfriada, cruzam a isoterma eutética. Considere-se, por 
exemplo, a composição C4, Figura 9.13a, que se situa no lado esquerdo do eutético; à medida em 
que a temperatura é abaixada, nós movemos para baixo a linha zz', começando no ponto j. O 
desenvolvimento microestrutural entre pontos j e l é similar aquele para o segundo caso, de tal 
maneira que justo antes de cruzar a isotérma eutética (ponto l ), as fases α e líquido estão presentes 
tendo composições de aproximadamente 19,2 e 61,9%Sn em peso, respectivamente, como 
determinado a partirda apropriada linha. À medida em que a temperatura é baixada até justo abaixo 
do eutético, a fase líquida, que é de composição eutética, se transformará à estrutura eutética (isto 
é, lamelas alternadas de fases α e β); variações insignificantes ocorrerão com a fase α que ses 
formou durante o resfriamento através da região α + L. Esta microestrutura está representada 
esquematicamente pela inserçào no ponto m na Figura 9.13a. Assim a fase α estará presente tanto 
na estrutura eutética quando também à medida em que a fase que se formou durante o resfriamento 
através do campo de fase α + L. Para distinguir uma α da outra, aquela que reside na estrutura 
eutética é denominada α eutético, enquanto que a outra que se formou antes da passagem pela 
isoterma eutética é denominada α primário; ambos se encontram denominados na Figura 9.13a. A 
fotomicrografia da Figura 9.13b é de uma liga de chumbo-estranho na qual as estruturas tanto de α 
primário quanto de eutético estão mostradas. 
 
 
Figura 9.13 (a) Representações esquemáticas das microestruturas de equilíbrio para uma liga 
chumbo-estanho de composição C4 à medida em que ela é resfriada a partir da região de fase 
líquida. (b) Fotomicrografia mostrando a microestrutura de uma liga chumbo-estanho de 
composiçào 50%Sn-50%Pb, em peso. Esta microestrutura é composta de uma fase α rica em 
chumbo (regiões escuras grandes) dentro de uma estrutura eutética lamelar que consiste de uma fase 
β rica em estanho (camadas claras) e uma fase α rica em chumbo (camadas escuras). 400x. 
(Reproduzida com permissãoa partir de Metals Hambook, Vol.9, 9a.Edição, Metallography jand 
Microstructures, American Society for Metals, Materials Park, OH, 1985). 
 
 
 
Ao tratar com microestruturas, é às vezes conveniente usar o termo microconstituinte, 
isto é, um elemento da microestrutura tendo uma estrutura identificável e característica. Por exemplo, 
na inserção do ponto m, Figura 9.13a, existem 2 microconstituintes, isto é, α primário e a estrutura 
eutética. Assim a estrutura eutética é um microconstituinte mesmo embora seja uma mistura de 2 
fases, porque ela tem uma estrutura lamelar distinta, com um razão fixa das 2 fases. 
É possível calcular as quantidades relativas dos microconstituintes tanto de eutético quanto 
de α primário. De vez que o microconstituinte eutético sempre se forma a partir do líquido tendo a 
composição eutética, este microconstituinte pode ser suposto tendo uma composição de 61,9%Sn 
em peso. Portanto, a regra da alavanca é aplicada usando a linha de ligação entre o limite de fase 
α-(α + β), correspondente a 19,2%Sn em peso, e a composição eutética. Por exemplo, considere-
se a composição C4 na Figura 9.14. A fração do microconstituinte eutético We é justo a mesma 
fração de líquido WL a partir do qual se transforma, ou 
 
 We = WL = P / (P + Q) = 
 
 = (C4 - 19,2) / (61,9 - 19,2) = (C4 - 19,2)/42,7 (9.7) 
 
 
Figura 9.14 - Diagrama chumbo-estanho usado em cálculos para quantidades relativas dos 
microconstituintes α primário e eutético para uma liga de composição C4 . 
 
 
Além disso, a fração de α primário, Wα , é justo a fração da fase α que existiu antes da 
transformação eutética; ou, a partir da Figura 9.14, 
 
 Wα' = Q / (P + Q) = 
 
 = (61,9 - C'4 ) / (61,9 - 19,2) = (61,9 - C'4)/42,7 (9.8) 
 
As frações de α total, Wα (tanto eutético quanto primário) e também de β total, Wβ , são 
determinadas pelo uso da regra da alavanca e uma linha de ligação que se estende inteiramente 
através do campo de fase α + β . De novo, para uma liga tendo composição C'4 , 
 
 Wα = (Q + R)/(P + Q + R) = 
 = (97,5 - C'4)/(97,5 -19,2) = (97,5 - C'4)/78,3 (9.9) 
 
e 
 Wβ = P / (P + Q + R) = 
 
 = (C'4 - 19,2) / (97,5 - 19,2) = (C'4 - 19,2) / 78,3 (9,10) 
 
Transformações e microestruturas análogas resultam para ligas que têm composiçòes à 
direita da composição eutética (isto é, entre 61,9%Sn e 97,5%Sn). Entretanto, abaixo da 
temperatura eutética, a microestrutura consistirá dos microconstituintes eutético e β primário porque 
no resfriamento a partirdo líquido, nós passamos através do campo de fase β + líquido. 
Quando, para o caso 4 (representado na Figura 9.13a), condições de equilíbrio não são 
mantidas enquanto se passa através da região de fase α (ou β) + líquido, as seguintes 
consequências serão realizadas para a microestrutura ao se cruzar a isoterma eutética: (1) grãos do 
microconstituinte primário serão em camadas concêntricas, isto é, terão uma distribuição não-
uniforme de soluto através dos grãos; e (2) a fração do microconstituinte eutético formado será 
maior do que para a situação de equilíbrio. 
 
 
 
9.8 - DIAGRAMAS DE EQUILÍBRIO TENDO FASES OU COMPOSTOS 
INTERMEDIÁRIOS 
 
Os diagramas de fase isomorfos e eutéticos discutidos até aqui são relativamente simples, mas 
aqueles para muitos sistemas de ligas binárias são muito mais complexos. Os diagramas de fases 
eutéticos cobre-prata e chumbo-estanho (Figuras 9.6 e 9.7) têm apenas duas fases sólidas, α e β; 
estas são às vezes denominadas soluções sólidas terminais, porque elas existem ao longo de faixas 
de composição próximas às extremidades de concentração do diagrama de fase. Para outros 
sistemas de ligas, soluções sólidas intermediárias (ou fases intermediárias) podem ser 
encontradas em outras que não as 2 composições extremas. Tal é ocaso para o sistema cobre-
zinco. Seu diagrama de fase (Figura 9.15) em primeiro lugar revela-se formidável porque existem 
alguns pontos invariantes e reações similares à eutética que ainda não haviam sido discutidos. Em 
adição, existem 6 diferentes soluções sólidas - 2 terminais e 4 intermediárias (β , γ, δ e ε). ( A fase 
β ' é denominada uma solução sólida ordenada, uma na qual átomos de cobre e de zinco estão 
situados num arranjo específico e ordenado dentro de cada célula unitária). Algumas linhas de limite 
de fases perto da base da Figura 9.15 estão tracejadas para indicar que suas posições não foram 
determinadas de uma maneira exata. A razão para isto é que em baixas temperaturas, taxas de 
difusão são muito lentas e tempos ordinariamente longos são requeridos para atingir o equilíbrio. Denovo, apenas regiões monofásicas e bifásicas são encontradas no diagrama e as mesmas regras 
delineadas na Seção 9.6 são utilizadas para calcular as composições de fase e as quantidades 
relativas de fases. Os latões comerciais são ligas ligas cobre-zinco ricas em cobre; por exemplo, 
latão para cartuchos tem uma composição de 70%Cu-30%Zn, em peso, e uma microestrutura 
consistindo de uma fase α única. 
 
 
Figura 9.15 - O diagrama de fase cobre-zinco. (Adaptado apartir de Metals Handbook: 
Metallography, Structures and Phase Diagrams, Vol.8, 8a. edição, ASM Handbook Committee, 
T. Lyman, Editor, American Society for Metals, 1973,p.301). 
 
 
Para alguns sistemas, compostos intermediários discretos em vez de soluções sólidas 
podem ser encontradas no diagrama de fase e estes compostos tem distintas fórmulas químicas ; 
para sistemas metal-metal, eles são chamados compostos intermetálicos. Por exemplo, considere-
se o sistema magnésio-chumbo (Figura 9.16). O composto Mg2Pb tem uma composição de 
19%Mg em peso-81%Pb em peso (33at%Pb) e está representado como uma linha vertical no 
diagrama, em vez de uma região de fase de largura finita; portanto, Mg2Pb pode existir por si 
mesmo somente nesta composição precisa. 
 
 
Figura 9.16 - O diagrama de fase magnésio-chumbo. (Adaptado a partir de Metals Handbook: 
Metallography, Structures and Phase Diagrams, Vol.8, 8a.Edição, ASM Handbook Committee, 
T. Lyman, Editor, American Society for Metals, 1973,p.315). 
 
 
Vale a pena notar várias outras características para este sistema magnésio-chumbo. 
Primeiro, o composto Mg2Pb se funde a aproximadamente 550oC (1020oF), como indicado pelo 
ponto M na Figura9.16. Também, a solubilidade do chumbo em magnésio é bastante extensa, como 
indicada pela relativamente grande extensão de composição para o campo da fase α. Por outro 
lado, a solubilidade do magnésio em chumbo é extremamente limitada. Isto está evidente a partir da 
muito estreita região de solução sólida terminal β no lado direito ou lado rico em chumbo do 
diagrama. Finalmente, este diagrama de fase pode ser pensado como sendo 2 diagramas eutéticos 
simples juntados pelas suas traseiras, um para o sistema Mg-Mg2Pb, o outro para Mg2Pb-Pb; 
como tal, o composto Mg2Pb é realmente considerado como sendo um componente. Esta 
separação de diagramas de fase complexos em unidades de componentes menores pode simplificá-
los e, além disso, apressar a sua interpretação. 
 
 
 
9.9 - REAÇÕES EUTETÓIDES E PERITÉTICAS 
 
Em adição ao ponto eutético, outros pontos invariantes envolvendo 3 diferentes fases são 
encontrados em alguns sistemas de ligas. Um deles ocorre nosistema cobre-zinco (Figura 9.15) a 
558oC(1036oF) e 75%Zn-25%Cu, em peso. Uma porção do diagrama de fase nesta vizinhança 
aparece ampliada na Figura 9.17. No resfriamento,uma fase sólida δ transforma-se a 2 outras fases 
sólidas (γ e ε) de acordo com a reação 
 
 resfriamento 
 δ W γ + ε (9.11) 
 aquecimento 
 
 
 
Figura 9.17 - Uma região do diagrama de fase cobre-zinco que foi ampliada para mostrar pontos 
eutetóide e peritético, denominados E (558oC, 75%Zn em peso) e P (598oC, 78,6%Zn em peso), 
respectivamente. 
 
 
A reação reversa ocorre no aquecimento. Ela é denominada uma reação eutetóide (ou do tipo 
eutético) e o ponto invariante (ponto E, Figura 9.17) e a linha de ligação horizontal em 558oC são 
denominados eutetóide e isoterma eutetóide, respectivamente. A característica que distingue 
"eutetóide"de "eutética" é que uma fase sólida em vez de um líquido transforma-se em 2 outras fases 
sólidas numa única temperatura. Uma reaçào eutetóide é encontrada no sistema ferro-carbono 
(Seção 9.13), que é muito importante no tratamento térmico de aços. 
A reação peritética é ainda uma outra reação invariante envolvendo 3 fases em 
equilíbrio. Com esta reação, no aquecimento,uma fase sólida se transforma numa fase líquida e numa 
outra fase sólida. Existe uma reação peritética para o sistema cobre-zinco (Figura 9.17, ponto P ) a 
598oC(1108oF) e 78,6%Zn-21,4%Cu; esta reação é como se segue: 
 
 resfriamento 
 δ + L W ε (9.12) 
 aquecimento 
 
A fase sólida de baixa temperatura pode ser uma solução sólida intermediária (por exemplo, ε na 
reação acima), ou ela pode ser uma solução sólida terminal. Existe um dos últimos peritéticos ao 
redor de 97%Zn em peso a 425oC(797oF), onde a fase η , quando aquecida, transforma-se às 
fases ε e líquida. São encontrados no sistema Cu-Zn outros 3 peritéticos, cujas reações envolvem 
soluções sólidas intermediárias β , δ e γ como as fases de baixa temperatura que se transformam no 
aquecimento. 
 
 
 
9.10 - TRANSFORMAÇÕES DE FASE CONGRUENTES 
 
Transformações de fase podem ser classificadas de acordo com a existência ou não de qualquer 
mudança na composição para a fase envolvida. Aquelas para as quais não existem nenhuma 
alteração de composição são ditas transformações congruentes. Ao contrário, para 
transformaçòes incongruentes, pelo menos uma das fases experimentará uma mudança em 
composição. Exemplos de transformações congruentes incluem transformações alotrópicas (Seção 
3.6) e fusão de materiais puros. Reações eutética e eutetóide, bem como a fusãode uma liga que 
pertence a um sistema isomorfo, todas elas representam transformações incongruentes. 
Fases de solução sólida intermediárias são às vezes classificadas em função delas se 
fundirem congruentemente ou incongruentemente. O composto intermetálico Mg2Pb se funde 
congruentemente no ponto designado M no diagrama magnésio-chumbo, Figura 9.16. Também, 
para o sistema níquel-titânio, Figura 9.18, existe um ponto de fusão congruente para a solução sólida 
γ que corresponde ao ponto de tangência para os pares de linhas de liquidus e solidus, a 1312oC e 
44,9%Ti em peso. Além disso, a reação peritética é um exemplo de fusão incongruente para uma 
fase intermediária. 
 
 
Figura 9.18 - Uma porção do diagrama de fase níquel-titânio no qual é mostrado um ponto de fusão 
congruente para a fase solução sólida γ a 1312oC e 44,9%Ti em peso. (Adaptado com permissão a 
partir de Metals Handbook, Vol.8, 8a.Edição, Metallography, Structures and Phase Diagrams, 
American Society for Metals, Metals Park, OH, 1973.). 
 
 
 
 
9.11 - DIAGRAMAS DE FASE CERAMICOS E TERNÁRIOS 
 
Não é necessário supor que diagramas de fase existem apenas sistemas metal-metal; de fato, 
diagramas de fase que são muito úteis no projeto e processamento de sistemas cerâmicos têm sido 
experimetalmente determinados para um bom número destes materiais. Diagramas de fase 
cerâmicos são discutidos na Seção 13.5. 
Diagramas de fase também foram determinados para sistemas metálicos (bem como para 
sistemas cerâmicos) contendo mais de 2 componentes; entretanto, sua representação e interpretação 
pode ser excessivamente complexa. Por exemplo, um diagrama de fase composição-temperatura 
ternário, ou tri-componente, em sua integridade é desenhado por um modelo tridimensional. 
Descrição de características do diagrama ou modelo em 2 dimensões é possível mas algo difícil. 
 
 
 
 
9.12 - A REGRA DE FASE DE GIBBS 
 
A construção de diagramas bem como alguns dos princípios que governam as condições para 
equilíbrios de fases são ditadas por lei da termodinâmica. Uma destas é a regra de fases de 
Gibbs , proposta pelo físico do século XIX J. Willard Gibbs. Esta regra representa um critério para 
o número de fases que coexistirão num sistema em equilíbrio e é expresso pela equação simples 
 P + F = C + N (9.13) 
 
onde P é o número de fases presentes (o conceito de fase é discutido na Seção 9.3). O parâmetro 
F é denominado o número de graus de liberdade ou o número de variáveis externamente 
controladas (por exemplo, temperatura, pressão, composiçào) que devem ser especificadas para 
definir completamente o estado do sistema. Ou, expresso de outra maneira, F é o número destas 
variáveis que podem ser mudadas independentemente sem alterar o número de fases que coexistem 
em equilíbrio. O parâmetro C na equação 9.13representa o númerode componentes no sistema. 
Componentes são normalmente elementos ou compostos estáveis e, no caso dos diagramas de 
fases, são os materiais das 2 extremidades do eixo horizontal de composição (por exemplo H2O e 
C12H22O11, e Cu e Ni para os diagramas de fase das Figuras 9.1 e 92a, respectivamente). 
Finalmente, N na Equação 9.13 é o número de variáveis não-composicionais (por exemplo, 
temperatura e pressão). 
Demonstremos a regra de fases aplicando-a a diagramas de fase temperatura-composição 
binários, especificamente sistema cobre-prata, Figura 9.6. De vez que a pressão é constante (1 
atm), o parâmetro N é 1 - temperatura é a única variável não-composicional. Equação 9.13 
agora toma a forma 
 P + F = C + 1 (9.14) 
 
Além disso, o número de componentes C é 2 (isto é, Cu e Ag) e 
 
 P + F = 2 + 1 = 3 
ou 
 F = 3 - P 
 
Considere-se o caso dos campos monofásicos do diagrama de fases (por exemplo, 
regiões de α, β e líquido). De vez que somente uma fase está presente, P = 1 e 
 
 F = 3 - P = 3 - 1 = 2 
 
Isto significa que para descrever completamente as características de qualquer liga que existe dentro 
de um destes campos de fase, nós devemos especificar 2 parâmetros; estes são composição e 
temperatura, que localiza, respectivamente, as posições horizontal e vertical da liga no diagrama de 
fases. 
Para a situação onde 2 fases coexistem, por exemplo, regiões de fase α+ L, β + L e α 
+ β , Figura 9.16, a regra de fases estipula que nós temos apenas um grau de liberdade uma vez que 
 F = 3 - P = 3 - 2 = 1 
 
Assim, é necessário especificar ou a temperatura ou a composição de uma das fases para definir 
completamente o sistema. Por exemplo, suponha que nós decidimos especificar a temperaturta para 
a região de fase α + L, digamos, T1 na Figura 9.19. As composições das fases α e líquido ( Cα e 
CL) são assim ditadas pelas extremidades da linha de ligaçào construídas em T1 através através do 
campo α + L. As composições das fases α e líquido (Cα e CL) são assim ditadas pelas 
extremidades da linha de ligaçào construída em T1 através do campo α + L. Dever-se-ía notar que 
apenas a natureza das fases é importante neste tratamento e não as quantidades relativas. Isto é para 
dizer que a composição global da liga poderia situar-se em qualquer lugar ao longo da linha de 
ligaçào construída na temperatura T1 e ainda fornece composições Cα e CL para as respectivas 
fases α e líquido. 
 
 
Figura 9.19 - Seção ampliada da seção rica em cobre do diagrama de fases Cu-Ag na qual a regra 
de fase de Gibbs para a coexistência de 2 fases (isto é, α e L) é demonstrada. 
 
 
 
A segunda alternativa é estipular a composiçào de uma das fases para esta situação 
bifásica, que deste modo fixa completamente o estado do sistema. Por exemplo, se nós 
especificarmos Cα como a composição da fase α que se encontra em equilíbrio com o líquido 
(Figura 9.19)d, então tanto a temperatura da liga ( T1) quanto a composição da fase líquida ( CL) 
são estabelecidos, de novo pela linha de ligação traçada através do campo de fase α + L de 
maneira a dar esta composição Cα . 
Para sistemas binários, quando 3 fases estiverem presentes, não há nenhum grau de 
liberdade, uma vez que 
 F = 3 - P = 3 - 3 = 0 
 
Isto significa que as composições de todas as 3 fases bem como a temperatura são fixas. Esta 
condição é encontrada para o sistema eutético pela isoterma eutética; para o sistema Cu-Ag (Figura 
9.6), é a linha horizontal que se estende entre os pontos B e G. Nesta temperatura, 780oC, os 
pontos nos quais cada um dos campos de fases α, L e β tocam a linha isoterma correspondem às 
respectivas composições das fases; isto é, a composição da fase α é fixa em 7,9%Ag em peso, 
aquela do líquido em 71,9%Ag em peso e aquela da fase β em 91,2%Ag em peso. Assim, o 
equilíbrio trifásico não será representado por uma campo de fase, mas sim pela única linha isoterma 
horizontal. Além disso, todas a 3 fases estarão em equilíbrio para qualquer composição de liga que 
se situa ao longo do comprimento da isoterma eutética (por exemplo, para o sistema Cu-Ag a 
780oC e composições entre 7,9 e 91,2%Ag em peso). 
Um uso da regra de fases de Gibbs é na análise de condições fora de equilíbrio. Por 
exemplo, uma microestrutura para uma liga binária que desenvolveu ao longo de uma faixa de 
temperaturas e consistindo de 3 fases é uma microestrutura fora do equilíbrio; sob estas 
circunstâncias, 3 fases existirão somente numa única temperatura. 
 
 
 
O SISTEMA FERRO-CARBONO 
 
De todos os sistemas de ligas binárias, uma que é possivelmente a mais importante é aquele para 
ferro e carbono. Tanto aços quanto ferros-fundidos, principais materiais estruturais em todas as 
culturas tecnologicamente avançadas, são essencialmente ligas ferro-carbono. Esta seção é 
devotada ao um estudo do diagrama de fases para este sistema e o desenvolvimento de várias 
possíveis microestruturas. As correlações entre tratamento térmico, microestrutura e propriedades 
mecânicas são exploradas nos Capítulos 10 e 11. 
 
 
9.13 - DIAGRAMA DE FASE FERRO-CARBONETO DE FERRO (Fe-Fe3C) 
 
Uma porção do diagrama de fase ferro-carbono é apresentada na Figura 9.20. Ferro puro, no 
aquecimento, experimenta 2 mudanças em estrutura cristalina antes de se fundir. À temperatura 
ambiente a forma estável, chamada ferrita, ou ferro α, tem uma estrutura cristalina CCC. A ferrita 
experimenta uma transformação polimórfica à austenita CFC, ou ferro γ, a 912oC(1674oF). Esta 
austenita persiste até 1394oC(2541oF), temperatura na qual a austenita CFC se reverte de volta 
para a fase CCC conhecida como ferrita δ, que finalmente se funde a 1538oC(2800oF). Todas estas 
mudanças são visíveis ao longo do eixo vertical esquerdo do diagrama de fases. 
 
 
Figura 9.20 - O diagrama ferro-carboneto de ferro. (Adaptado a partir de Metals Handbook: 
Metallography, Structures and Phase Diagrams, Vol.8, 8a.Edição, ASM Handbook Committee, 
T. Lyman, Editor, American Society for Metals, 1973, p.275). 
 
 
O eixo de composição na Figura 9.20 se estende apenas até 6,70%C, em peso; nesta 
concentração o composto intermediário carboneto de ferro (ou carbeto de ferro), ou cementita 
(Fe3C), é formada, sendo ela representada por uma linha vertical no diagrama de fases. Assim o 
sistema ferro-carbono pode ser dividido em 2 partes: uma porção rica em ferro, como na Figura 
9.20 e a outra (não mostrada) para composições entre 6,70%C e 100%C em peso (grafita pura). 
Na prática, todos os aços e ferros-fundidos têm teores de carbono menores doque 6,70%C, em 
peso; portanto, nós consideramos apenas o sistema ferro-carboneto de ferro. A Figura 9.20 seria 
mais apropriadamente denominada diagrama de fases Fe-Fe3C, de vez que Fe3C é agora 
considerado como sendo um componente. Convenção e conveniência ditam que composição seja 
ainda expressa em "%C em peso" em vez de "%Fe3C em peso"; 6,70%C corresponde a 
100%Fe3C. 
Carbono é uma impureza intersticial em ferro e forma uma solução sólida com cada uma 
das ferritas α e δ e também com austenita, como indicado pelos campos de monofases α, δ e γ na 
Figura 9.20. Na ferrita α CCC, apenas pequenas concentrações de carbono são solúveis; a máxima 
solubilidade é 0,022%C em peso a 727oC (1341oF). A limitada solubilidade é explicada pela forma 
e tamanho das posições intersticiais, que torna difícil acomodar os átomos de carbono. Mesmo 
embora presente em relativamente baixas concentrações, o carbono afeta significativamente as 
propriedades mecânicas da ferrita. Esta particular fase ferro-carbono é relativamente macia, pode 
ser tornada magnética em temperaturas inferiores a 768oC(1414oF) e tem uma densidade de 
7,88g.cm-3. Figura 9.21a é uma fotomicrografia da ferrita α. 
 
 
Figura 9.21 - Fotomicrografia de (a) ferrita α (90x) e (b) austenita (325x). (Copyright 1971 por 
United States Steel Corporation). 
 
 
A austenita, ou a fase γ do ferro, quando em liga justamente com o carbono,