EP14-Gabarito

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EP14 � Gabarito � Métodos Determinísticos I
Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado na Aula 14 do Caderno Didático.
Exercício 1 Esboce os grá�cos das funções dadas a seguir.
a) f(x) = x2 − x− 2
b) g(x) = x2 + 4x + 6
c) h(x) = −x + 7
d) r(x) = 2x− 5
Solução:
Note que os grá�cos das funções f e g são parábolas e os das funções h e r são retas.
a) Usando Bhaskara, podemos encontrar as raízes da equação. A partir das raízes podemos encontrar
o vértice. Veja que estes pontos estão todos marcados no grá�co.
b) Neste item, quando usamos Bhaskara descobrimos que não há raízes reais para essa função. Então
precisamos determinar 3 pontos de alguma outra forma. É simples, vamos encontrar primeiro o ponto
(0, g(0)). Substituindo x por 0, temos g(0) = 6. Podemos, agora, encontrar o outro ponto em que
g vale 6: g(x) = 6⇔ x2 + 4x + 6 = 6⇔ x2 + 4x = 0⇔ x(x + 4) = 0⇔ x = 0 ou x = −4.
Como pode ser visto no grá�co, o valor da coordenada x do vértice deve ser a média entre 0 e -4,
isto é, no vértice temos x = −2. Calculando o valor da função nesse ponto, obtemos nossos três
pontos para traçar o grá�co.
Métodos Determinísticos I EP14 2
c) Nesse item e no próximo, como os grá�cos das funções são retas, basta determinarmos dois pontos
de cada uma das retas. Vamos escolher estes dois pontos como sendo os pontos de interseção destas
retas com os eixos coordenados. Assim, neste caso, em que h(x) = −x + 7, para encontrar os dois
pontos de interseção da reta y = −x + 7 com os eixos coordenados temos:
- para x = 0, y = h(0) = −0 + 7 = 7. Logo, o par ordenado (0, 7) pertence ao grá�co de h.
- para y = 0, 0 = h(x) = −x + 7 = 7 ⇐⇒ x = 7. Logo, o par ordenado (7, 0) pertence ao grá�co
de h.
d) Neste item, caso em que r(x) = 2x − 5, para encontrar os dois pontos de interseção da reta
y = 2x− 5 com os eixos coordenados temos:
- para x = 0, y = r(0) = 2 · (0)0− 5 = −5. Logo, o par ordenado (0,−5) pertence ao grá�co de r.
- para y = 0, 0 = r(x) = 2x− 5 = 7⇐⇒ x = 5
2
. Logo, o par ordenado
(
5
2
, 0
)
pertence ao grá�co
de r.
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Métodos Determinísticos I EP14 3
Exercício 2 Considere as funções f(x) = −x2 + 6x + 10 e g(x) = 3x − 8. Encontre o conjunto
dos valores de x para os quais f(x) ≥ g(x).
Solução:
Devemos resolver a inequação f(x) ≥ g(x). Temos assim, que
f(x) ≥ g(x) ⇔ f(x)− g(x) ≥ 0
⇔ −x2 + 6x + 10− (3x− 8) ≥ 0
⇔ −x2 + 3x + 18 ≥ 0.
Vamos achar as raízes da equação −x2 + 3x + 18 = 0:
∆ = 9 + 4× 18 = 9 + 72 = 81
donde
x =
−3±
√
81
−2
=
−3± 9
−2
x = 6 ou x = −3.
Temos portanto, que y = −x2 + 3x + 18 é uma parábola com concavidade voltada para baixo, pois
a = −1 < 0, cortando o eixo x nos pontos x = 6 e x = −3. Logo, y = −x2 + 3x + 18 será maior
ou igual a zero quando esta parábola estiver acima do eixo x, o que acontece quando −3 ≤ x ≤ 6.
Portanto, teremos f(x) ≥ g(x) quando x pertencer ao conjunto [−3, 6].
Observe que optamos, neste exemplo, por resolver inequação −x2 + 3x+ 18 ≥ 0 veri�cando quando
o sinal da parábola y = −x2 + 3x + 18 é maior ou igual a zero. Poderíamos ter resolvido esta
inequação fatorando −x2 + 3x + 18 = −(x− 6)(x + 3) e construindo a tabela de sinais. Contudo,
agora que já sabemos construir parábolas, vamos optar por este caminho. Um bom exercício seria
voltar aos exemplos anteriores e resolvê-los através de parábolas.
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Exercício 3 Às 11 horas da manhã certa caixa d'água de 1000 litros que encontra-se cheia começa
a perder água por um furo na base com vazão constante. Às 17 horas, ela está com 850 litros.
Responda:
a) A que horas a caixa �ca com 700 litros?
b) A que horas a caixa �ca com 500 litros?
c) Encontre a função V (t) que para cada t nos dá o volume de água na caixa após t horas.
d) Esboce o grá�co da função V .
e) Quanto tempo levará para que a caixa �que vazia?
Solução:
a) Das 11 às 17 horas, passam-se 6 horas e a caixa d'água perde 150 litros. Isso signi�ca que ela perde
25 litros por hora. Para chegar aos 700 litros, ela terá que perder mais 150 litros, logo decorrerão
mais 6 horas. A caixa �cará com 700 litros às 23 horas.
b) Para chegar aos 500 litros terá que perder mais 200 litros (depois de chegar a 700). Para isso
serão necessárias mais 8 horas. Portq anto a caixa estará com 500 litros às 7 horas da manhã do dia
seguinte.
c) V (t) = 1000− 25t (veja que essa fórmula é válida até a hora em que a caixa �ca vazia. Depois
disso, ela continua com zero litros).
d)
e) Façamos V (t) = 0:
1000− 25t = 0⇔ 1000 = 25t⇔ t = 40
Logo ela �cará vazia após 40 horas (como vemos no grá�co).
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Métodos Determinísticos I EP14 5
Exercício 4 Certo banco cobra taxa de juros diária no cheque especial de 0,3% (isto é, 9% mensal).
Nessas condições se você �car devendo 1000 reais por x dias no cheque especial, vai pagar como
encargos (juros) um valor
y = 1000× 0, 3
100
× x.
Já o cartão de crédito deste mesmo banco, em caso de atraso de pagamento, cobra uma multa �xa
de 2% mais juros diários de 0,2% (isto é, 6% ao mês) sobre o valor devido. Portanto, se você �car
devendo 1000 reais no cartão de crédito por x dias (até um mês), terá como encargos (juros +
multa) o valor
y = 1000× 2
100
+ 1000× 0, 2
100
× x.
a) Uma pessoa �ca devendo 1000 reais a esse banco por dez dias. Quanto pagará de encargos se
a dívida for no cheque especial?
b) Ainda devendo 1000 reais por 10 dias, quais serão os encargos se a dívida for no cartão de
crédito?
c) Devendo 1000 reais por 30 dias, quais são os encargos se a dívida for no cheque especial e
quais são os encargos se a dívida for no cartão de crédito?
d) Imagine que uma pessoa precisa contrair uma dívida de 1000 reais nesse banco por menos de
um mês e sabe que levará exatamente x dias para pagar a dívida. Quanto deve ser x para que
o cartão de crédito seja mais vantajoso?
Solução:
Observe que quando a pessoa �ca devendo 1000 reais no cheque especial por x dias, paga como
encargos
y = 1000× 0, 3
100
× x = 3x
e quando a dívida é no cartão de crédito, os encargos são de
y = 1000× 2
100
+ 1000× 0, 2
100
× x = 20 + 2x.
a) Se a pessoa �car devendo 1000 reais por 10 dias no cheque especial pagará como encargos
y = 3× 10 = 30 reais.
b) Se a pessoa �car devendo 1000 reais por 10 dias no cartão de crédito pagará como encargos
y = 20 + 2× 10 = 20 + 20 = 40 reais.
c) Devendo 1000 reais por 30 dias, os encargos no cheque especial são de
y = 3× 30 = 90 reais.
e os do cartão de crédito são de
y = 20 + 2× 30 = 20 + 60 = 80 reais.
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Métodos Determinísticos I EP14 6
d) Para decidir entre o cheque especial e o cartão de crédito, temos que descobrir qual das duas
formas resultará em menos encargos. Isto é, se vamos levar x dias para pagar a dívida, devemos usar
o cheque especial se
3x < 20 + 2x,
e devemos usar o cartão de crédito se
3x > 20 + 2x
e podemos usar qualquer um dos dois quando valer a igualdade 3x = 20 + 2x.
Vemos que 3x < 20 + 2x⇔ x < 20, isto é, devemos usar o cheque especial se pretendemos pagar a
dívida em menos de 20 dias. Se pagamos em 20 dias, tanto faz usar um ou outro. Para pagamentos
após o vigésimo dia, é melhor que a dívida seja feita no cartão de crédito.
Exercício 5 A empresa de telefonia FALE oferece aos seus clientes diversos planos de serviço para
celulares. Veja alguns deles:
• Plano 60: o cliente paga 60 reais e tem direito a falar 60 minutos para qualquer número �xo
ou móvel (franquia de 60 minutos). Por cada minuto que exceda os 60 da franquia, o cliente
deve pagar mais 90 centavos.
• Plano 110: o cliente paga 80 reais e tem direito a falar 110 minutos para qualquer número
�xo ou móvel (franquia de 110 minutos). Por cada minuto que exceda os 110 da franquia, o
cliente deve pagar mais 60 centavos.
O Plano 60 pode ser modelado pela função f : R+ → R+, onde R+ = {x ∈ R;x ≥0}, dada por:
f(t) =
{
60 , se t ≤ 60 (isto é, se a pessoa falar até 60 minutos)
60 + 0.9(t− 60) , se t > 60 (isto é, se a pessoa falar mais que 60 minutos)
Acima, t é o tempo das chamadas feitas pelo cliente e f(t) nos dá quanto o cliente pagará por esse
tempo usando o Plano 60.
Já o Plano 110 é modelado pela pela função g : R+ → R+ dada por:
g(t) =
{
80 , se t ≤ 110
80 + 0.6(t− 110) , se t > 110.
Acima, t também indica o tempo das chamadas feitas pelo cliente e g(t) nos dá quanto o cliente
pagará por esse tempo usando o Plano 110.
A seguir vemos os grá�cos de cada uma dessas funções:
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Considerando as informações acima, responda aos itens a seguir.
a) Se uma pessoa fala sempre 70 minutos por mês, quanto ela pagará se usar o Plano 60? E se
usar o Plano 110?
b) Se a pessoa falar sempre 100 minutos, quanto ela pagará mensalmente com cada um dos planos
acima?
c) Quanto a pessoa deve falar mensalmente para que o Plano 60 seja mais vantajoso? Qual deve
ser o consumo mensal para que o Plano 110 seja mais em conta?
d) A empresa FALE oferece ainda um terceiro plano, o Plano 170. Neste plano o cliente paga
100 reais por mês e usufrui de uma franquia de 170 minutos. Cada minuto excedente custa
50 centavos. Encontre a função h : R+ → R+ que modela este plano, esboce sobre a �gura
acima o grá�co da função h e descubra qual deve ser o consumo mensal para que este plano
seja mais vantajoso que os outros dois.
Solução:
a) Falando 70 minutos por mês, no Plano 60, a pessoa pagará os 60 reais da franquia mais 90
centavos por cada um dos 10 minutos excedentes, resultando em 69 reais. Outra forma de fazer este
cálculo é usar a fórmula da função f que nos dá o valor a ser pago nos plano 60. Para t > 60, a
função nos dá que
f(t) = 60 + 0, 9(t− 60), logo, f(70) = 60 + 0, 9(70− 60) = 60 + 0, 9× 10 = 69
Usando o Plano 110, a pessoa pagará os 80 reais da franquia (não há minutos excedente, pois o
consumo foi menor que a franquia).
b) Pelo Plano 60, a pessoa que fala 100 minutos paga f(100) = 60+0, 9(100−60) = 60+0, 9×40 =
96 reais.
Usando o Plano 110, ela pagará apenas os 80 reais da franquia.
c) No grá�co apresentado na questão está marcado um ponto B. À esquerda do ponto B, vemos
que o Plano 60 sai mais barato, à direita do ponto B, vemos que o custo do Plano 60 ultrapassa o
do Plano 110 e este último �ca mais em conta. Temos então que descobrir a que tempo corresponde
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o ponto B. Pelo grá�co, vemos que este ponto encontra-se entre as retas t = 60 e t = 110. Logo,
a abcissa, t, do ponto B é o valor para o qual f(t) = 60 + 0, 9(t− 60) se iguala com g(t) = 80:
60 + 0, 9(t− 60) = 80⇔ 0, 9t− 54 = 20⇔ 0, 9t = 74⇔ t = 74/0, 9 ≈ 82, 22
Desta forma, o Plano 60 é mais vantajoso se a pessoa falar até 82 minutos. A partir daí se torna
mais interessante o Plano 110.
d) A função h que corresponde ao Plano 170 é:
h(t) =
{
100 , se t ≤ 170
100 + 0.5(t− 170) , se t > 170.
O grá�co é:
Vemos que o Plano 170 se torna mais vantajoso à direita do ponto P. Vamos achar o tempo corres-
pondente a este ponto igualando h(t) = 100 a g(t) = 80 + 0, 6(t− 110):
80 + 0, 6(t− 110) = 100⇔ 0, 6t− 66 = 20⇔ 0, 6t = 86⇔ t ≈ 143, 33
Logo, a partir de 143 minutos, o Plano 170 é o melhor dos três.
Exercício 6 Considere as funções f(x) = 7 − 4x e g(x) = 6x2 + 5x − 6. A função F é de�nida
como
F (x) =
√
g(x)√
f(x)
.
a) Esboçe o grá�co da função f
b) Esboçe o grá�co da função g
c) Determine o ponto em que a função g atinge seu mínimo. Qual é este valor mínimo?
d) Determine, na forma de intervalo ou de uma união �nita de intervalos, o domínio da função F
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Solução:
a) Observe que a função f é uma função a�m, de modo que seu grá�co é uma reta. Mais especi-
�camente, o grá�co da função f é a reta y = 7 − 4x. Desta forma, para determinar o grá�co da
função f , basta determinarmos dois pontos da reta. Vamos determinar as interseções da reta como
os eixos y e x. Neste caso, temos que
• x = 0⇐⇒ y = 7. Ou seja, (0, 7) é um ponto da reta.
• y = 0⇐⇒ 7− 4x = 0⇐⇒ −4x = −7⇐⇒ x = 7
4
. Ou seja,
(
7
4
, 0
)
é um ponto da reta.
Na Figura 1 plotamos o grá�co da função f .
7
4
x
7
y
Figura 1: Questão 6
b) Observe que a função g é uma função quadrática, de modo que seu grá�co é uma parábola. Mais
especi�camente, o grá�co da função g é a parábola y = 6x2 + 5x − 6. Note que esta parábola
possui concavidade voltada para cima, pois o coe�ciente de x2 é positivo. Lembre-se ainda, que para
determinar a parábola y = 6x2 + 5x− 6 (grá�co da função g), é necessário, no mínimo, três pontos.
Neste caso, vamos encontrar os pontos de interseções da parábola como os eixos coordenados e seu
vértice. Temos assim, que
• x = 0⇐⇒ y = 6(0)2 + 5(0)− 6 = −6.
Portanto, a parábola intercepta o eixo y no ponto (0,−6).
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•
6x2 + 5x− 6 = 0 ⇐⇒ x =
−5±
√
52 − 4(6)(−6)
2 · 6
⇐⇒ x = −5±
√
25 + 144
12
⇐⇒ x = −5±
√
169
12
⇐⇒ x = −5± 13
12
⇐⇒ x = −5− 13
12
ou x =
−5 + 13
12
⇐⇒ x = −18
12
ou x =
8
12
⇐⇒ x = −3
2
ou x =
2
3
.
Portanto, a parábola intercepta o eixo x nos pontos
(
−3
2
, 0
)
e
(
2
3
, 0
)
.
• O vértice (xv, yv) da parábola tem coordenadas
(xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− 5
2(6)
,−(169)
4(6)
)
=
(
− 5
12
,−169
24
)
.
Na Figura 2 plotamos o grá�co da função f .
-
3
2
-
5
12
2
3
x
-
169
24
-6
y
Figura 2: Questão 6
c) O ponto em que a função g atinge seu mínimo é dado pelo x do vértice da parábola, calculado
acima em xv = −
5
12
e o valor do mínimo é dado pelo y do vértice da parábola, calculado acima em
yv = −
169
24
.
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d) Observe que na de�nição da função F , tomamos a raiz quadrada da função f , da função g e ainda
realizamos o quociente entre as duas raizes. Portanto, para que a função F esteja bem de�nida,
precisamos que todas estas operações sejam válidas. Isto signi�ca que, o que for radicando, ou seja,
o que estiver dentro do símbolo de raiz quadrada, precisará ser maior ou igual a zero e, o que for
denominador, precisará ser diferente de zero. Desta forma, o domínio de F é formado pelos valores
de x ∈ R, tais que f(x) > 0 e g(x) ≥ 0. Desta forma, temos que
f(x) > 0 ⇔ 7− 4x > 0
⇔ −4x > −7
⇔ x < 7
4
⇔ x ∈
(
−∞, 7
4
)
e
g(x) ≥ 0 ⇔ 6x2 + 5x− 6 ≥ 0
⇔ x ≤ −3
2
ou x ≥ 2
3
,
⇔ x ∈
(
−∞,−3
2
]
∪
[
2
3
,∞
)
Portanto, o domínio de F é dado por
x ∈
((
−∞,−3
2
]
∪
[
2
3
,∞
))
∩
(
−∞, 7
4
)
x ∈
(
−∞,−3
2
]
∪
[
2
3
,
7
4
)
Explicamos a seguir como resolver a inequação 6x2 + 5x− 6 ≥ 0.
Podemos resolver a inequação utilizando nossos conhecimentos de parábola. Desta forma, cha-
mando y de 6x2 + 5x − 6, isto é y = 6x2 + 5x − 6, podemos estudar o sinal da inequação
6x2 + 5x − 6 ≥ 0 estudando o sinal do y da parábola. Conforme calculado na Questão 7, as
raízes da equação 6x2 + 5x− 6 = 0, são x = 2
3
e x = −3
2
. Como a = 6 > 0, temos que a parábola
possui concavidade para cima, cortando o eixo x em x =
2
3
e x = −3
2
. Desta forma, y será positivo
para valores de x, tais que, x ≤ −3
2
ou x ≥ 2
3
.
Uma forma alternativa de fazer a análise de sinal para a inequação
6x2 + 5x− 6 = 6
(
x +
3
2
)(
x− 2
3
)
≥ 0
é utilizar a tabela abaixo.
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(−∞,−3/2) (−3/2, 2/3) (2/3,∞)
sinal de 6 + + +
sinal de
(
x +
3
2
)
− + +
sinal de
(
x− 2
3
)
− − +
sinal de 6
(
x +
3
2
)(
x− 2
3
)
+ − +
Como vemos na tabela acima,
6x2 + 5x− 6 = 6
(
x +
3
2
)(
x− 2
3
)
≥ 0 ⇐⇒ x ≤ −3
2
ou x ≥ 2
3
.
Exercício 7 O salário de um vendedor é formado de uma parte �xa igual a R$ 1.050,00, mais 2, 5%
do valor das vendas efetivadas no mês.
a) Considere que a variável x representa o valor das vendas efetivadas. Determine uma expressão
que relacione o salário em funçãode x.
b) Em um mês que o salário foi de R$ 1.730,00, qual foi o valor das vendas?
c) Seu empregador lhe fez uma proposta de diminuir a parte �xa em 15% e aumentar a porcentagem
sobre o valor das vendas realizadas para 3%. Determine a função salário que representa a proposta
feita pelo empregador.
d) Esboce o grá�co da função salário da Questão 8 e o da função salário proposto na Questão 10
em um mesmo sistema de eixos.
e) O funcionário possui uma média de vendas em torno de R$ 28.000,00. Ele deve aceitar a proposta
do empregador, pois será mais vantajosa para ele, ou deve recusar, pois lhe será prejudicial?
Solução:
a) Chamando de S a função que de�ne o salário do vendedor, temos que
S(x) = 1.050 +
2, 5
100
· x, x ≥ 0.
b) Para descobrir o valor das vendas quando o salário foi de R$ 1.730,00, precisamos resolver a
equação
1.730 = 1.050 +
2, 5
100
· x.
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Desta forma, segue que
1.730 = 1.050 +
2, 5
100
· x ⇔ 2, 5
100
· x = 1.730− 1.050
⇔ 2, 5
100
· x = 680
⇔ x = 680 · 100
2, 5
⇔ x = 68.000
2, 5
⇔ x = 68.0000
25
⇔ x = 27.200.
Portanto, quando o salário foi de R$ 1.730,00, o valor das vendas foi de R$ 27.200,00.
c) Vamos chamar de PF a parte �xa da proposta feita pelo empregador. Desta forma, como ele
propõe uma diminuição de 15%, temos que
PF = 1.050− 15% · 1.050
= 1.050− 15
100
· 1.050
= 1.050− 15 · 1.050
100
= 1.050− 15.750
100
= 1.050− 157, 50
= 892, 50.
Chamando de Sp a função que de�ne a proposta de salário feita pelo empregador, temos que
Sp(x) = 892, 50 +
3
100
· x, x ≥ 0.
d) Observe que as funções S e Sp são funções a�ns, de modo que seus grá�cos são retas. Mais
especi�camente, o grá�co da função S é a reta y = 1.050 +
2, 5
100
· x, x ≥ 0, e o grá�co da função
Sp é a reta y = 892, 50 +
3
100
· x, x ≥ 0 . Desta forma, para determinar o grá�co da funções S e
Sp, basta determinarmos dois pontos de cada reta.
Grá�co de S:
Vamos determinar as interseções da reta com os eixos y e x. Neste caso, temos que
• x = 0⇐⇒ y = 1.050. Ou seja, (0, 1.050) é um ponto da reta.
• y = 0⇐⇒ 1.050 + 2, 5
100
·x = 0⇐⇒ 2, 5
100
·x = −1.050⇐⇒ x = −1.050 · 100
2, 5
= −105.000
2, 5
=
−42.000. Ou seja, (−42.000 , 0) é um ponto da reta.
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Grá�co de Sp:
Vamos determinar as interseções da reta com os eixos y e x. Neste caso, temos que
• x = 0⇐⇒ y = 892, 50. Ou seja, (0 ; 892, 50) é um ponto da reta.
• y = 0 ⇐⇒ 892, 50 + 3
100
· x = 0 ⇐⇒ 3
100
· x = −892, 50 ⇐⇒ x = −892, 50 · 100
3
=
−892.500
3
= −29.750. Ou seja, (−29.750 , 0) é um ponto da reta.
Para o esboço �car mais preciso, vamos identi�car a abscissa do ponto de interseção das duas retas.
1.050 +
2, 5
100
· x = 892, 50 + 3
100
· x ⇔ 3
100
· x− 2, 5
100
· x = 1.050− 892, 50
⇔ 0, 5
100
· x = 157, 50
⇔ x = 157, 50 · 100
0, 5
⇔ x = 31.500
Na Figura 3 plotamos o grá�co das funções S e Sp.
S
Sp
-42 000 -29 750 31 500
x
892.5
1050
1837.5
y
Figura 3: Questão 7
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e) Gra�camente, podemos observar que quando x > 31.500, a reta y = 892, 50 +
3
100
· x, grá�co
da função Sp, está acima da reta y = 1.050 +
2, 5
100
· x, grá�co da função S. Isto signi�ca que
para x > 31.500, Sp(x) > S(x). Já para 0 ≤ x < 31.500, a reta y = 1.050 +
2, 5
100
· x, grá-
�co da função S, está acima da reta y = 892, 50 +
3
100
· x, grá�co da função Sp. Isto signi�ca
que para 0 ≤ x < 31.500, S(x) > Sp(x). Como a média de vendas do vendedor é em torno de
R$ 28.000,00, que é um valor entre 0 e 31.500, a proposta do empregador é prejudicial, pois, ele
ganharia menos com o salário calculado pela função Sp do que com o salário calculado pela função S.
Exercício 8 Um país aplica uma tabela progressiva para o Imposto de Renda. A alíquota varia de
acordo com o rendimento anual total de cada pessoa, da seguinte forma
• Se o rendimento é menor ou igual a $ 20.000,00, não há tributação.
• O rendimento que superar $ 20.000,00 é tributado em 20% do que exceder $ 20.000,00 e for
inferior a $ 40.000,00.
• O rendimento que superar $ 40.000,00 é tributado em 30% do que exceder $ 40.000,00 e for
inferior a $ 60.000,00.
• O rendimento que superar $ 60.000,00 é tributado em 40% do que exceder $ 60.000,00.
Um rendimento anual de $ 70.000, por exemplo, é tributado da seguinte forma:
20% de 20.000,00 = 4.000,00 (Parcela entre $ 20.000,00 e $ 40.000,00)
+ 30% de 20.000,00 = 6.000,00 (Parcela entre $ 40.000,00 e $ 60.000,00)
+ 40% de 10.000,00 = 4.000,00 (Parcela que excede $ 60.000,00)
Imposto total = 14.000,00
Resultando em um imposto total de $14.000,00.
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Um rendimento anual de $ 55.000, por exemplo, é tributado da seguinte forma:
20% de 20.000,00 = 4.000,00 (Parcela entre $ 20.000,00 e $ 40.000,00)
+ 30% de 15.000,00 = 4.500,00 (Parcela entre $ 40.000,00 e $ 60.000,00)
Imposto total = 8.500,00
Resultando em um imposto total de $8.500,00.
a) Qual é o imposto pago por uma pessoa com rendimento anual x, com
20.000, 00 6 x < 40.000, 00? A resposta deve estar, obviamente, em função de x.
b) Qual é o imposto pago por uma pessoa com rendimento anual x, com
40.000, 00 6 x < 60.000, 00? A resposta deve estar, obviamente, em função de x.
c) Qual é o imposto pago por uma pessoa com rendimento anual x, com
x > 60.000, 00? A resposta deve estar, obviamente, em função de x.
d) Dê a expressão e esboce o grá�co da função f : [0,+∞) → R que representa o imposto a ser
pago por uma pessoa que teve rendimentos anuais iguais a x.
e) Qual o rendimento anual de uma pessoa que pagou $11.000,00 de imposto?
Solução:
a) Incidirá imposto de 20% sobre a parcela x− 20.000. Assim, o imposto será de
20% · (x− 20.000) = 20
100
· (x− 20.000) = 1
5
· (x− 20.000) = x
5
− 4.000.
b) Incidirá imposto de 20% sobre 20.000 e de 30% sobre x− 40.000. Assim, o imposto será de
20% · 20.000 + 30%(x− 40.000) = 20
100
· 20.000 + 30
100
(x− 40.000)
=
1
5
· 20.000 + 3
10
(x− 40.000)
= 4.000 +
3x
10
− 12.000
=
3x
10
− 8.000
c) Incidirá imposto de 20% sobre 20.000, de 30% sobre 20.000 e de 40% sobre x− 60.000. Assim,
o imposto será de
20% · 20.000 + 30% · 20.000 + 30% · (x− 60.000) = 20
100
· 20.000 + 30
100
· 20.000 + 40
100
· (x− 60.000)
= 4.000 + 6.000 +
2
5
(x− 60.000)
= 4.000 + 6.000 +
2x
5
− 24.000
=
2x
5
− 14.000.
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d) Pelo que foi visto nas questões anteriores, a função que representa o imposto em função dos
rendimentos é dada por
f(x) =

0, se x < 20.000
x
5
− 4.000, se 20.000 6 x < 40.000
3x
10
− 8.000, se 40.000 6 x < 60.000
2x
5
− 14.000, se x > 60.000
Em cada intervalo acima, a função será a�m, e seu grá�co será um segmento reta. Sabendo
disso, determinando os pontos dos extremos dos segmentos, podemos traçar o grá�co da função.
f(0) = 0,
f(20.000) =
20.000
5
− 4.000 = 0,
f(40.000) =
3 · 40.000
10
− 8.000 = 4.000,
f(60.000) =
2 · 60.000
5
− 14.000 = 10.000.
Calculemos agora algum ponto com x maior que 60.000, por exemplo, o x = 80.000:
f(80.000) =
2 · 80.000
5
− 14.000 = 18.000.
Marcando estes pontos e esboçando o grá�co, temos
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e) Pelo grá�co, vemos que uma pessoa que pagou $11.000 de imposto está teve rendimentos anuais
maiores que $ 60.000, assim,
f(x) = 11.000⇔ 2x
5
− 14.000 = 11.000⇔ 2x
5
= 25.000⇔ 2x = 125.000⇔ x = 62.500.
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