Exercícios.AM.II

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Ficha de Exerćıcios 1
1Análise Matemática II. Vı́ctor Santos, 2019
1
Caṕıtulo 1
Integrais Indefinidas
1. Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫ (
x
2
3 − 1
x
2
3
− 2
x5
− 2
x
)
dx;
(b)
∫
(a
2
3 − x
2
3 )3dx
(c)
∫
dx
x2 + 7
;
(d)
∫
dx
x2 − 5
;
(e)
∫
dx
2x2 + 3
;
(f)
∫ √
1 + x2 +
√
1− x2√
1− x4
dx.
(g)
∫
x2(5− x)4dx
(h)
∫ (
1− x
x
)2
dx
(i)
∫
x+ 1√
x
dx
(j)
∫
(1− x)3
x 3
√
x
dx
(k)
∫
x2
1− x2
dx
(l)
∫ √
x2 + 1−
√
x2 − 1√
1− x4
dx
(m)
∫
2x+1 − 5x−1
10x
dx
2. Usando a substituição adequada, calcule:
(a)
∫
cos
√
x
dx√
x
;
2
(b)
∫
cot(4x− 7)dx;
(c)
∫
x sin(x2 + 1)dx;
(d)
∫
dx
(1 + x2) arctanx
;
(e)
∫
3x2 − 6x+ 1
x3 − 3x2 + x+ 1
dx;
(f)
∫
exdx√
ex + 1 + 1
;
(g)
∫
arcsinxdx√
1− x
;
(h)
∫ (
sin 3x+ cos 5x− sin x
2
)
dx;
(i)
∫
sin2 x
cos4 x
;
(j)
∫
dx
x lnx
;
(k)
∫
dx
x+ x ln2 x
;
(l)
∫
cosxdx√
1 + sin2 x
.
3. Utilizando o método de integração por partes, calcule:
(a)
∫
x2 lnxdx;
(b)
∫
x
(
ln
x
2
+ sin
x
2
)
dx;
(c)
∫
(3x2 − 4x+ 3) lnxdx;
(d)
∫
x sinxdx;
(e)
∫
x arcsinxdx;
(f)
∫
x arctanxdx;
(g)
∫
ex sinxdx.
4. Calcule as seguintes integrais contendo o trinómio quadrático:
(a)
∫
3x− 1
x2 − x+ 1
dx;
(b)
∫
dx√
1 + x+ x2
;
3
(c)
∫
(x+ 3)dx√
4x2 + 4x+ 3
;
(d)
∫
dx√
2− 3x− 2x2
;
(e)
∫
xdx√
5 + x− x2
;
(f)
∫
dx√
x2 + 8x+ 15
;
(g)
∫
3x+ 2√
9− 16x− 4x2
dx.
5. Usando o método de coeficientes indeterminados, calcule:
(a)
∫
x− 2
x3 − 3x2 − x+ 3
dx;
(b)
∫
x3 + 3x− 1
x3 − 4x2
dx;
(c)
∫
2x2 + 5x+ 4
x3 + x2 + x− 3
dx;
(d)
∫
dx
(x+ 1)(x+ 3)(x+ 5)
dx;
(e)
∫
dx
x(x− 1)3
;
(f)
∫
2x3 + 8x2 + 10x− 9
x3 + 3x2 + 2x− 6
dx;
(g)
∫
3x2 + x− 1
x3 − 1
;
(h)
∫
2x2 − 3x− 3
(x− 1)(x2 − 2x+ 5)
dx;
(i)
∫
2x3 + x2 + 3
(x2 + 1)2
dx.
6. Recorrendo as fórmulas trigonométricas:
sin ax sin bx =
1
2
[cos(a− b)x− cos(a+ b)x]
sin ax cos bx =
1
2
[sin(a+ b)x+ cos(a− b)x]
cos ax cos bx =
1
2
[cos(a− b)x+ cos(a+ b)x]
sin2 ax =
1
2
− 1
2
cos 2ax
sin2 ax =
1
2
+
1
2
cos 2ax
calcule as seguintes integrais:
4
(a)
∫
sin 3x cos 5xdx;
(b)
∫
sin 10x sin 15xdx;
(c)
∫
cos
x
2
cos
x
3
dx;
(d)
∫
sin2 xdx;
(e)
∫
cos4 xdx;
(f)
∫
sin5 x cos3 xdx;
7. Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫
dx
sinx
;
(b)
∫
dx
5− 3 cos 3x
;
(c)
∫
dx
5 sinx+ 12 cosx
;
(d)
∫
dx
3− sinx+ 2 cosx
;
(e)
∫
dx
5 + 7 sinx− cosx
.
5
Caṕıtulo 2
Integrais Definidas Segundo Rieman.
Fórmula de Newton-Laibniz
1. Obtenha as somas de Darboux para a função f(x) = ax a > 0 no segmanto [0, 2].
2. Calcule a integral
1∫
0
x2dx, como limite da soma integral.
3. Calcule a integral
10∫
0
(x+ 1)dx, como limite da soma integral.
4. Utilizando a fórmula de Newton-Leibniz, calcule:
(a)
1∫
0
x3dx;
(b)
π∫
−π
| sinx|dx;
(c)
1∫
0
dx
(x+ 1)(x2 + 1)
;
(d)
−3∫
0
dx√
25 + 3x
;
(e)
1∫
0
(
x
x2 + 1
− x
x+ 1
)
dx;
5. Fazendo a mudança de variável mais adequada, calcule:
(a)
3∫
1
x3
√
x2 − 1dx;
6
(b)
1∫
0
√
x− 1
x
dx;
(c)
e∫
1
lnx+ ln2 x+ 3 ln3 x
x
dx;
(d)
1/
√
2∫
0
x arcsinx2√
1− x4
dx;
(e)
1∫
0
dx
(1 + x)
√
x
;
(f)
ln 5∫
0
ex
√
ex − 1
ex + 3
dx;
(g)
4∫
0
√
4− x2dx.
6. Utilizando o método de integração por partes, calcule:
(a)
π∫
0
x cos 3xdx;
(b)
π/3∫
−π/3
x sinx
cos2 x
dx;
(c)
e∫
1
x3(lnx)2dx;
(d)
e∫
1
(e− x) ln2 xdx;
(e)
π∫
0
e2x cosxdx.
7
Caṕıtulo 3
Aplicação da Integral Definida
1. Ache o valor médio das seguintes funções nos segmentos indicados:
(a) f(x) = 10 + 2 sin x+ 3 cosx, 0 ≤ x ≤ pi;
(b) f(x) = 2x3(π2 − x2)9, 0 ≤ x ≤ π;
(c) f(x) =
√
x arctan
√
x, 0 ≤ x ≤ 1.
2. Calcule a área delimitada por:
(a)
x2
4
+
x2
16
= 1;
(b) f(x) = x3 − x e g(x) = x2;
(c) y = −x2 + 4x− 3 e sua tangentes nos pontos (0,−3), (4,−3);
(d) x = 3− y2 e sua tangente no ponto (2, 1);
(e) x = y2 − 2y − 2 e x = −2y2 + y + 4;
(f) y = sinx e y = πx− x2;
(g) y − x = 6, y − x3 = 0 e 2y + x = 0;
(h) y = lnx e as rectas x = 1/2, x = 6;
(i) y = ex, y = lnx e as rectas x = 1, x = e.
3. Ache o volume do corpo gerado pela rotação em volta do eixo Ox de uma superficie plana
limitada pelas seguintes linhas:
(a) y = 4x2 e y = 2x;
(b) y = 6− x2 e y = 2;
(c) y = sinx e y = 0;
(d) y = e−x e as rectas x = −1, x = 0.
8
Caṕıtulo 4
Integrais Impróprias
1. Calcule as seguintes integrais impróprias:
(a)
+∞∫
1
dx
xλ
;
(b)
1∫
0
dx
(1− x)λ
;
(c)
+∞∫
−1
xe−x
2
dx;
(d)
2∫
0
dx√
1− (x− 1)2
;
(e)
1∫
0
lnxdx;
(f)
+∞∫
0
arctanx
1 + x2
dx;
(g)
∫ 1
0
dx√
x
;
(h)
∫ 2
−1
dx
x
;
(i)
∫ 3
0
dx
(x− 1)2
;
(j)
∫ 1
0
dx
xp
;
(k)
∫ 1
0
dx√
1− x2
;
(l)
∫ ∞
1
dx
x2
;
9
(m)
∫ ∞
−∞
dx
1 + x2
;
(n)
∫ ∞
−∞
dx
x2 + 4x+ 9
;
(o)
∫ ∞
0
sinxdx;
(p)
∫ 1
2
1
dx
x lnx
;
(q)
∫ 1
2
0
arctanxdx;
(r)
∫ ∞
0
e−kxdx (k > 0).
2. Investigue a convergência das seguintes integrais:
(a)
3∫
1
√
7− x
3− x
dx;
(b)
+∞∫
0
sinxdx
x
√
x
;
(c)
+∞∫
0
x6 + x
x7 + 6x4 + 25
dx;
(d)
π∫
0
(π − x) lnx√
ln(1 + sin x)
.
10
Caṕıtulo 5
Séries Numéricas
1. Dada a série númerica a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · · =
∞∑
n=1
an. Obtenha a soma parcial e
o resto da série.
2. Escrever a fórmula mais simples do enésimo termo das seguintes séries
(a) 1 +
1
2
+
1
3
+
1
7
+ · · ·
(b)
1
2
+
1
4
+
1
6
+
1
8
+ · · ·
(c) 1 +
2
2
+
3
4
+
4
8
+ · · ·
(d) 1 +
1
4
+
1
9
+
1
16
· · ·
(e)
3
4
+
4
9
+
5
16
+
6
25
+ . . .
(f)
2
5
+
4
8
+
6
11
+
8
14
+ . . .
(g) 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · ·
3. Investigue a convergência das série numéricas
(a)
∞∑
n=1
(
1
2n
+
1
32
)
;
(b) 1− 1 + 1− 1 + · · ·+ (−1)n−1 + · · ·
(c)
2
3
+
3
5
+
4
7
+ · · ·+ n+ 1
2n+ 1
+ · · ·
(d)
∞∑
n=1
2n− 1
2n
;
(e)
∞∑
n=1
1
n(n+ 3)
;
4. Usando o critério de comparação investigue a convergência das séries
(a)
1
1.2
+
1
2.22
+
1
3.22
+ · · ·+ 1
n.2n
+ · · ·
11
(b)
∞∑
n=1
1
(2n− 1)22n−1
;
(c)
∞∑
n=1
1
(n+ 1)(n+ 4)
;
(d)
∞∑
n=1
tan
π
4n
;
(e)
∞∑
n=1
1
ln(1 + 4)
;
(f)
∞∑
n=1
1
n(
√
n+ 1−
√
n− 1)
;
5. Usando o critério de D’alambert investigue a convergência das séries
(a)
1√
2
+
3
2
+
5
2
√
2
+ · · ·+ 2n− 1
(
√
2)n
+ · · ·
(b)
1
2
+
2.5
1.5
+
2.5.8
1.5.9
+ · · ·+ 2.5.8 · · · (3n− 1)
1.5.9 · · · (4n− 3)
+ · · · ;
(c)
∞∑
n=1
n tan
π
2n+1
;
(d)
∞∑
n=1
n2 sin
π
2n
;
(e)
∞∑
n=1
(n+ 1)!
n!2n
;
(f)
∞∑
n=1
n
(n+ 1)!
;
6. Usando o critério de radical de Cauchy, investigue a convergência das séries
(a)
2
1
+
(
3
3
)2
+
(
4
5
)3
+ · · ·+
(
n+ 1
2n− 1
)n
+ · · ·
(b)
1
2
+
(
2
5
)3
+
(
3
8
)5
+ · · ·+
(
n
3n− 1
)2n−1
+ · · ·
(c)
∞∑
n=1
arcsin
(
1
n
)n
;
(d)
∞∑
n=1
(
n+ 1
n
)n2
.
1
3n
;
7. Investigue a convergência das séries altaernadas. Se são convergentes, provar se o são
absoluta ou condicionalmente
(a) 1− 1
3
+
1
5
− · · ·+ (−1)
n−1
2n− 1
+ · · ·
12
(b) 1− 1√
2
+
1√
3
− · · ·+ (−1)
n−1
√
n
+ · · ·
(c) 1− 1
4
+
1
9
− · · ·+ ()
n−1
n2
+ · · ·
(d) 1− 2
7
+
3
13
− · · ·+ (−1)
n−1
6n− 5
+ · · ·
(e)
∞∑
n=1
(−1)
n(n−1)
2
2n
;
(f)
∞∑
n=1
(−1)n
(
2n+ 100
3n+ 1
)n
;
(g)
∞∑
n=1
(−1)n−1
mp+
1
2
;
(h)
∞∑
n=2
sin nπ
12
lnn
;
13
Caṕıtulo 6
Cálculo Diferêncial Para Funções de
Várias Variáveis
1. Determine o domı́nio de existência das seguintes funções:
(a) z = x
√
1− y2;
(b) z = ln(−x+ y);
(c) z =
√
x+
√
y +
√
1− x− y.
2. Achar as derivadas parciais de primeira ordem e o diferencial total das seguintes funções:
(a) z = x2 − 3xy − 4y2 − x+ 2y + 1;
(b) z =
x√
x2 + y2
;
(c) z = xy2 − sin x
y
;
(d) z =
x2 − y2
x2 + y2
;
(e) z = arctan
y
1 + x2
;
(f) z = x sinxy + y cosxy;
(g) z = xy;
(h) u = exyz sin
y
x
;
(i) u = 2y
√
x+ 3y2
3
√
z2.
3. Mostre que a função z = yy/x sin(y/x) satisfaz a equação x2
∂z
∂x
+ xy
∂z
∂y
= yz.
4. Mostre que a função z = y ln(x2 − y2) satisfaz a equação 1
x
∂z
∂x
+
1
y
∂z
∂y
=
z
y2
.
5. Determine o valor aproximado de:
(a) A = (3, 1)2(1, 9)3;
(b) B =
√
5e0,02 + 2, 032;
14
(c) C =ln(0, 092 + 0, 993);
(d) D =
1, 022
3
√
0, 97 4
√
1, 08
.
6. z =
1
2
ln
u
v
, onde u = tan2 x, v = cot2 x. Achar
dz
dx
.
7. z =
x2 − y
x2 + y,
onde y = 3x+ 1. Achar
dz
dx
.
8. z = u2 + y2, onde u = x cos y, v = x sin y.Achar
∂z
∂x
e
∂z
∂y
;
9. z = ln(u2 + v2), onde u = xy, v =
x
y
. Achar
∂z
∂x
e
∂z
∂y
;
10. Achar as derivadas de segunda ordem das seguintes funções:
(a) z = 4x3 + 3x2y + 3xy2 − y3;
(b) z = x sinxy + y cosxy;
(c) z = x ln y + cos(ax+ ey);
(d) z =
x4 − xy3
x− 2y
;
(e) z = x2 ln(x+ y) + sin(x+ cos y);
11. Ache o diferencial da segunda ordem, nos seguintes casos:
(a) z = sinx sin y;
(b) z = x ln y;
(c) z = x2 + y2 − xy − 2x+ y + 7.
12. Determine e classifique os extremos relativos das seguintes funções:
(a) z =
1
2
xy + (47− x− y)
(x
3
+
y
4
)
;
(b) z = x3 + y3 − 15xy;
(c) z = x4 + y4 + x2 − 2xy − y2 + 2;
(d) z = xy2(1− x− y);
(e) z = xyex−y;
(f) z =
x
1 + x2 + y2
13. Ache os extremos condicionados das seguintes funções:
(a) z = 3− x− y, quando x2 + 2y2 = 6;
(b) z = xy, quando x2 + y2 = 2;
(c) z = 2x2 + y2, quando x4 − x2 + y2 − 5 = 0;
(d) z = xy + yz, quando x2 + y2 = 2 e
y + z = 2, (x > 0, y > 0, z > 0).
14. Calcule o máximo e mı́nimo absoluto da função
z = x2−xy+y2−4x, no domı́nio limitado pelas rectas x = 0, y = 0 e 2x+3y−12 = 0.
15
Caṕıtulo 7
Noção da Integral Dupla
1. Calcule a integral I =
∫ 1
0
dx
∫ 1
x
(x+ y)dy
2. Calcular as seguintes integrais reiteradas
(a)
∫ 2
0
dy
∫ 1
0
(x2 + 2y)dx
(b)
∫ 2
0
dy
∫ 1
0
(x2 + 2y)dx
(c)
∫ 4
3
dx
∫ 2
1
dy
(x+ y)2
(d)
∫ 1
0
dx
∫ 1
0
x2dy
1 + y2
(e)
∫ 2
1
dx
∫ x
1
2
x2dy
y2
(f)
∫ 3
−3
dy
∫ 5
y2−4
(x+ 2y)dx
(g)
∫ 2π
0
dφ
∫ a
a sinφ
rdr
3. Escrever as equações das linhas que limitam os campos a que se estendem as integrais
reiteradas abaixo indicadas e desenhar estes campos:
(a)
∫ 2
−6
dy
∫ 2−y
y2
4
−1
f(x, y)dx
(b)
∫ 3
1
dx
∫ x+9
x2
f(x, y)dy
(c)
∫ 4
0
dy
∫ 10−y
y
f(x, y)dx
(d)
∫ 3
1
dx
∫ 2x
x
3
f(x, y)dy
16
4. Colocar os limites de integração, em uma ou outra ordem, na integral dupla∫∫
S
f(x, y)dxdy
para os campos S seguintes:
(a) S é um rectângulo com vértices 0(0; 0), A(2; 0), B(2; 1), C(0; 1).
(b) S é um triângulo com vértices 0(0; 0), A(1; 0), B(1; 1).
(c) S é um paralelogramo com vértices A(1; 2), B(2; 4), C(2; 7, D(0; 1).
(d) S está limitado pela hipérbole y2 − x2 = 1 e pela circunferência x2 + y2 = 9
(considera-se o campo que compreende a origem das coordenadas).
(e) S está determinado pelas seguintes desigualdades
i. x ≥ 0; y ≥ 0; x+ y ≤ 1
ii. x2 + y2 ≤ a2
iii. x2 + y2 ≤ x
iv. y ≥ x; x ≥ −1; y ≤ 1.
5. Passar às coordenadas polares r e φ e colocar os limites de integração para novas variáveis
nas seguintes integrais (f é uma função cont́ınua):
(a)
∫ 1
0
dx
∫ 1
0
f(x, y)dy
(b)
∫ 2
0
dx
∫ x
0
f(
√
x2 + y2)dy
(c)
∫∫
S
f(x, y)dxdy, onde S é um triângulo limitado pelas rectas y = x, y = −x,
y = 1.
6. Passando às coordenadas polares, calcular a seguinte integral dupla
∫∫
S
(x2 + y2)dxdy
que se estende ao campo limitado pela circunferência x2 + y2 = 2ax.
17
Caṕıtulo 8
Anexo
8.1 Tabela derivadas
Nota: u e v designam funções de x , k e a são constantes e a > 0.
Função Derivada
y = k y′ = 0
y = x y′ = 1
y = u y′ = u′
y = ku y′ = ku′
y = u+ v y′ = u′ + v′
y = uv y′ = u′v + uv′
y = u
v
y′ = u
′v−uv′
v2
y = k
u
y′ = −ku′
u2
y = uk y′ = kuk−1u′
y = au y′ = u′au ln a
y = eu y′ = u′eu
y = uv y′ = uv lnuv′ + vuv−1u′
y = loga u, a 6= 1 y′ = u
′
u ln a
y = lnu y′ = u
′
u
y = sinu y′ = u′ cosu
y = cosu y′ = −u′ sinu
y = tanu y′ = u
′
cos2 u
y = cotu y′ = − u′
sin2 u
y = arcsinu y′ = u
′
√
1−u2
y = arccosu y′ = − u′√
1−u2
y = arctanu y′ = u
′
1+u2
y = arctanu y′ = − u′
1+u2
18
8.2 Fórmulas trigonométricas
1. secα = 1
cosα
;
2. cscα = 1
sinα
;
3. sin(−α) = − sinα;
4. sin(α + β) = sinα cos β + cosα sin β;
5. sin(α− β) = sinα cos β − cosα sin β;
6. cos(α + β) = cosα cos β − sinα sin β;
7. sin(α− β) = cosα cos β + sinα sin β;
8. sin 2α = 2 sinα cosα;
9. cos 2α = cos2α− sin2 α;
10. sinα + sin β = 2 sin α+β
2
cos α−β
2
;
11. sinα− sin β = 2 sin α−β
2
cos α+β
2
;
12. cosα + cos β = 2 cos α+β
2
cos α−β
2
;
13. cosα− cos β = −2 sin α+β
2
sin α−β
2
;
8.3 Tabela de integrais de funções elementares
Nota: u é uma função, α, a e C são constantes
1.
∫
uαdu =
uα+1
α + 1
+ C, α 6= −1;
2.
∫
du
u
= ln |u|+ C;
3.
∫
audu =
au
ln a
+ C, a > 0, a 6= 1;
(a)
∫
eudu = eu + C;
4.
∫
du
a2 + u2
=
1
a
arctan
u
a
+ C, a 6= 0;
5.
∫
du
a2 − u2
=
1
2a
ln
∣∣∣∣a+ ua− u
∣∣∣∣+ C, a 6= 0;
6.
∫
du√
a2 − u2
= arcsin
u
a
+ C, a 6= 0;
7.
∫
du√
a2 + u2
= ln |u+
√
a2 + u2|+ C, a 6= 0;
19
8.
∫
cos audu =
1
a
sin au+ C, a 6= 0;
9.
∫
sin audu = −1
a
cos au+ C, a 6= 0;
10.
∫
du
cos2 u
= tanu+ C
11.
∫
du
sin2 u
= − cotu+ C
20