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A CRIANÇA E 
O NÚMERO
CONSTANCE KAMII
Quem é...
• Constance Kamii, nascida em Genebra, Suíça, é uma psicóloga nipo-
americana, filha de pai japonês e mãe estadunidense, viveu no Japão 
até os 18 anos, transferindo-se depois para os Estados Unidos, onde 
em 1955 bacharelou-se em Sociologia.
• Mestra em Educação e Doutora em Educação e Psicologia, pela 
Universidade de Michigan / EUA. Foi aluna e colaboradora de Jean 
Piaget, tendo feito diversos cursos de Pós-Doutorado nas 
universidades de Genebra e de Michigan, relacionados com a 
epistemologia genética e com outras áreas educacionais pertinentes 
tanto à teoria piagetiana como de outros pesquisadores. Atualmente 
é professora da Universidade do Alabama. Publicou diversos livros, 
entre os quais “Aritmética: Novas Perspectivas: Implicações da 
Teoria de Piaget”, “Conhecimento Físico na Educação O Pré-Escolar”, 
“A Criança e o Número”, “Crianças Pequenas Reinventando a 
Aritmética”, “Desvendando a Aritmética: Implicações da Teoria de 
Piaget”, “Jogos em Grupo na Educação Infantil”, “Piaget para a 
Educação Pré-Escolar” e “Reinventando a Aritmética: Implicações da 
Teoria de Piaget” entre diversos outros. 
1 – Como as Crianças Adquirem 
Conceitos Numéricos?
Questionamento - Como as crianças 
adquirem conceitos numéricos?
Teoria de Piaget – Explicação científica 
• Conhecimento lógico matemático, número e 
aritmética é construído ( criado) por cada 
criança de dentro para fora, na interação com o 
ambiente...
• O conhecimento lógico matemático não é 
adquirido diretamente por internalização 
mas pelo contato e o estabelecimento de 
relações entre os conhecimentos 
anteriores e os construídos cotidianamente.
Revisão da Base Epistemológica...
É o estudo da natureza e das origens do 
conhecimento.
vEmpiristas ( Locke, Berkeley e Hume) – o 
conhecimento tem sua fonte fora do individuo 
 e que ele é internalizado através dos 
sentidos.
 Afirmam ainda que o individuo é ao nascer 
uma tábula rasa, ( uma folha de papel em 
branco) na qual as experiências são escritas à 
medida que ele cresce.
vRacionalistas (Descartes, Spinoza e kant) -
A razão é mais poderosa que a experiência 
sensorial ( matemática disciplina puramente 
dedutiva) conceitos são inatos e se 
desenvolvem em função do amadurecimento.
 
Piaget via elementos de verdade e inverdade em ambas as teorias. Mas 
reconhece a importância da informação sensorial e do raciocínio. Nas suas 
pesquisas ele mostra a inadequação do empirismo.
Piaget estabeleceu uma distinção fundamental entre três tipos de 
conhecimento considerando suas fontes básicas e seu modo de 
estruturação;
 Físico
 Social
 Lógico-Matemático
A NATUREZA DO CONHECIMENTO 
LÓGICO-MATEMÁTICO
v Conhecimento Físico - é o conhecimento de 
objetos na realidade externa ( cor e peso 
de fichas e objetos);
v Conhecimento Social - tem origem nas 
convenções criadas pelas pessoas ( A língua 
- A palavra um, dois, três , quatro são 
exemplos de conhecimento social. Cada 
idioma tem seu conjunto de palavras 
diferente que serve para o ato de contar. 
Contudo, a ideia subjacente de número 
pertence ao conhecimento lógico-
matemático, o qual é universal. Portanto, 
2+3=5 em qualquer lugar do mundo. 
v Conhecimento lógico-matemático – 
consiste de relações mentais, e a fonte 
final destas relações está em cada indivíduo.
Quando notamos a diferença entre duas fichas,
uma vermelha e outra azul, esta diferença é
outro exemplo de pensamento lógico-matemático.
A diferença é uma relação criada mentalmente
pelo indivíduo que relaciona os dois objetos. A
diferença não está nem em uma ficha nem em
outra; se a pessoa não colocasse os objetos
dentro desta relação, para ela não existiria a
diferença. A relação na qual uma pessoa coloca os
objetos é uma decisão sua.
Outras relações poderiam criar: são parecidas, mesmo 
peso e duas.
Fichas são observáveis, mas a “dualidade” não. 
Número é uma relação criada mentalmente por cada 
indivíduo. Números pequenos até quatro ou cinco são 
perceptivos.
• Piaget reconhecia fontes externas e internas 
de conhecimento. 
• O conhecimento físico e social é parcialmente 
externa para o indivíduo. E a fonte do 
conhecimento lógico-matemático é interna. 
TAREFA DE CONSERVAÇÃO-DE-NÚMERO
Conservação de número refere-se à nossa 
capacidade de deduzir, por meio de raciocínio 
lógico-matemático, que a quantidade de uma 
coleção permanece a mesma quando seu arranjo 
espacial e sua aparência empírica são 
alterados.
Correspondência termo a termo
Níveis 
I - Quando as crianças não construíram a lógica 
do número elas utilizam o critério de 
fronteiras espaciais para julgar a igualdade 
quantitativa.
II - As crianças usam a correspondência termo 
a termo, mas elas não conservam a igualdade.
III - Crianças são conservadoras argumentam: 
ØHá tantas fichas azuis como vermelhas, pois 
não tirou e nem acrescentou nenhuma;
Ø Poderíamos colocar todas as azuis no lugar 
que elas estavam antes e terá o mesmo número. 
Ø A carreira azul é mais longa porque há mais 
espaço entre elas.
• Nível intermediário (entre dois e três): 
crianças hesitam ou ficam mudando de 
ideia. Quando as crianças dão a resposta 
correta mas não podem justificá-la 
também estão no nível intermediário. 
Apenas quando as crianças podem fazer 
relações numéricas entre as fichas é que 
elas podem deduzir por força da 
necessidade lógica que as duas carreiras 
têm o mesmo número. 
Abstração e Representação
 Os conservadores conservam, porque eles 
estão em um nível mais elevado de abstração 
( abstração construtiva).
 Os que não conservam não o fazem porque não 
têm conceitos numéricos em suas mentes.
A síntese de inclusão hierárquica e 
ordemPiaget para explicar o desenvolvimento de conceitos 
numéricos é necessário dois tipos de relações:
• Inclusão Hierárquica e Ordem
• Inclusão Hierárquica – se pedirmos para uma criança 
de quatro anos para contar 8 objetos arranjados em 
uma carreira , elas frequentemente os contam 
corretamente e anunciam que há oito. Se lhes 
pedimos então “mostre-me o oito”, elas com 
frequência, apontam para o oitavo objeto.
• Para a criança as palavras um, dois, três e assim 
por diante são nomes para elementos individuais 
em uma série como segunda-feira...
• Para essa criança, a palavra oito representa o 
último objeto na série e não o grupo inteiro.
• Para quantificar um conjunto de objetos 
numericamente, a criança deve colocá-los em uma 
relação hierárquica.
Ordem 
É comum as crianças contarem objetos 
espalhados, contando duas vezes o mesmo objeto 
ou deixando de contar algum.
 A única certeza de não esquecermos nenhum 
ou de não contarmos o mesmo objeto duas vezes 
é colocá-los em uma relação de ordem.
Ordem
 
• As crianças conservam ou não conservam 
fazendo seu próprio raciocínio. A inclusão 
hierárquica e ordem pode ser vista em uma 
outra tarefa na qual a correspondência 
termo a termo é feita empiricamente. Os 
professores pode utilizar este tipo de 
tarefa para identificar a diferença entre 
conhecimento empírico e conhecimento 
lógico - matemático.
• Uma vez que as crianças podem inventar 
seus próprios símbolos, as figuras que 
aparecem nos livros são desnecessárias.
• Se elas necessitam de uma figura para 
resolver um problema, elas desenharão 
suas próprias figuras.
• Os símbolos e sinais, portanto, têm 
origens diferentes, e os sinais (como os 
numerais escritos) não se desenvolvem a 
partir de símbolos ( como as figuras). 
• Sinais ( + ) as palavras são faladas maçã, oito e o 
numeral escrito 8. Os sinais não lembram os 
objetos representados e suas fontes são 
convenções criadas pelas pessoas.
 A não conservação é um exemplo de 
egocentrismo de crianças pequenas bem 
como de seus pensamentos pré-lógicos. 
Quando elas pensam que há mais fichas na 
carreira maior, elas estão centradas no 
espaço ocupado pelas fichas,porque a 
lógica ainda não permite pensar 
numericamente.
 A conservação de número é geralmente 
alcançada por volta dos cinco a seis anos de 
idade entre as crianças de famílias 
de classe média.
Em outras palavras o construtivismo de Piaget 
afirma que a lógica é construída 
 por abstração construtiva dentro da 
criança, na interação com outras pessoas, e não 
adquirida de outras pessoas por internalização.
Interação Social na Construção da Ciência
 Os cientistas constroem a ciência através de 
debate e conflito sociocognitivo, este é um 
argumento para dizer que as crianças também 
deveriam ser capazes de construir a 
matemática através de debate e 
sociocognitivo. Os relatos de Perret – Clermont 
e Doise e Mugny apoiam amplamente este 
argumento.
Implicações Educacionais
 Lista de regras – não é necessário .
• Deixar acontecer e perguntar as crianças: “O 
que podemos fazer para resolver este 
problema?
• Portanto discutir em classe problemas comuns 
são muito melhores do que imposição de regras 
prontas. A moral outônoma pode desenvolver-se 
apenas de dentro da criança. Isso leva tempo, e 
pode desenvolver-se apenas através de 
discussões e descentralização no contexto de 
respeito mútuo.
Quando ameaçamos crianças com punição, 
reforçamos sua heteronomia.
Os livros didáticos não incluem problemas 
de multiplicação e divisão nos níveis de pré-
escola e 1º ano por terem uma visão 
tradicional destas operações.Entretanto as 
pesquisas realizadas indicam que crianças 
pequenas são capazes de usar adição para 
resolver problemas matemáticos de 
multiplicação e divisão. Elas constroem 
multiplicação e divisão a partir de adição 
repetida e é adequado propor estes tipos 
de problemas matemáticos, pois elas 
resolvem com facilidade. 
v Faça perguntas em vez de mostrar o que 
fazer;
v Dê problemas no nível apropriado;
v Peça para cada criança resolver problemas 
por conta própria;
Todas as crianças realmente inventam 
soluções?
 As invenções de algumas crianças são 
verdadeiramente novas , na medida em que elas 
inventam soluções às quais elas nunca foram 
expostas. Entretanto, muitas crianças entendem 
que os argumentos de seus colegas mais avançados 
e começam a imitá-los. 
Não diga que uma resposta está certa ou 
errada
 No ensino tradicional, quando o professor diz 
que a resposta está correta, todo o 
pensamento pára porque não há necessidade 
de pensar mais.
Se o professor não expressa nenhuma 
opinião, as crianças ficam motivadas a 
continuar pensando.
Deixe o cálculo originar-se de situações 
cotidianas e problemas matemáticos.
Reconheça a superioridade dos jogos sobre 
as folhas de exercícios.
 A repetição nos jogos é muito melhor que 
folhas de exercícios. O feedback é 
imediato em jogos, pois as crianças 
supervisionam umas as outras. As folhas 
de exercícios são geralmente devolvidas no 
dia seguinte, e as crianças não podem 
lembrar e se preocupar com o que fizeram 
ontem.
 Nas folhas de exercícios, a verdade é decidida 
pelo professor, e as crianças recebem a 
mensagem de que a verdade pode vir apenas do 
professor. Em um jogo , os jogadores decidem se 
a resposta está correta.
 Os jogos podem ser jogados em muitos níveis e 
de várias formas, enquanto a folha de exercícios 
 encorajam as crianças darem respostas 
mecanicamente.
 Ter que escrever respostas interfere na 
possibilidade de lembrar somas.
 Em um jogo as crianças tem mais probabilidades 
de construir uma rede de
de relações numéricas.
 As crianças escolhem os jogos que elas querem 
jogar, mas raramente podem escolher a folha 
de exercícios que recebem.
 Em último argumento as crianças não se 
desenvolvem sociomoralmente sentado-se 
sozinhas para preencher folhas de exercícios. 
Nos jogos as crianças tem que interagir com as 
outras, tomar decisões juntas e resolver 
conflitos. 
Ao darmos folhas de exercícios estamos 
reforçando a heteronomia das crianças e 
impedindo o desenvolvimento de sua autonomia.
 Você deixa as crianças mudarem as regras do 
jogo?
Algumas modificações dos jogos são 
introduzidos pelo professor, e outras são 
iniciadas pelas crianças. 
As regras do jogo pertencem ao 
conhecimento social( convencional) e cada 
convenção pode ser mudada por 
concordância entre os membros do grupo.
 
Qual a melhor coisa para o professor 
fazer enquanto as crianças estão 
jogando? 
 A atividade mais útil é jogar com as 
crianças e observar avaliando seus níveis 
raciocínio numérico: as crianças estão 
contanto para frente? Que somas estão 
na sua memória?
Circular pela sala e observar também que 
jogos são atualmente populares, quem 
está jogando, qual jogo, qual nível.
 Mudar isso... 
 Para isto...
	Slide 1
	Quem é...
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	1 – Como as Crianças Adquirem Conceitos Numéricos?
	Revisão da Base Epistemológica...
	Slide 6
	A NATUREZA DO CONHECIMENTO LÓGICO-MATEMÁTICO
	Slide 8
	Slide 9
	Correspondência termo a termo
	Níveis
	Slide 12
	Slide 13
	A síntese de inclusão hierárquica e ordem
	Slide 15
	Slide 16
	Ordem
	
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	Slide 21
	Slide 22
	Implicações Educacionais
	Slide 24
	Slide 25
	Slide 26
	Slide 27
	Slide 28
	Slide 29
	Slide 30
	Slide 31
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