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Unidade II MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Luiz Felix Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos São desenvolvidos, basicamente, para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo pagamentos periódicos do principal e encargos financeiros. Abaixo segue relação de alguns sistemas: Sistema de amortização constante. Sistema de amortização francês. Sistema de amortização misto. Sistema de amortização americano. Sistema de amortização crescente. Definições básicas Encargos financeiros: representam os juros da operação, caracterizados como custo para o devedor e retorno para o credor. Amortização: a fração (parte) do capital paga ou recebida em um determinado período (data). Saldo devedor: valor principal da dívida. Prestação: é o pagamento efetuado ao longo da série de pagamentos. Carência: prazo concedido nas operações de financiamento em que o credor não paga ou não amortiza o valor principal da dívida contraída. Sistema de Amortização Constante (SAC) As amortizações do principal são sempre iguais em todo o prazo da operação. O valor da amortização é obtido pela divisão do capital emprestado pelo número de prestações. Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o pagamento de cada amortização, assumem valores decrescentes nos períodos. As prestações são decrescentes em progressão aritmética. Sistema de Amortização Constante (SAC): exemplo Construa a tabela do SAC: Valor do empréstimo R$ 100.000,00, concedido dentro de um prazo de 10 anos, com pagamento em 20 prestações semestrais com taxa de juros de 7% ao semestre. Amortização = Valor empréstimo nº de prestações Amortização = 100.000 = 5000 20 Amortização = R$ 5.000,00 ao semestre Sistema de Amortização Constante (SAC): exemplo Sistema de Amortização Constante (SAC): expressões de cálculo Amortização (Amort): valores sempre iguais. Em que: PV = principal (valor do financiamento). n = número de prestações. Saldo Devedor (SD): é decrescente pelo valor constante da amortização. Amort = PV n Sistema de Amortização Constante (SAC): expressões de cálculo Juros (J): diminuem linearmente ao longo do tempo. Sendo i a taxa de juros, temos: J = PV . (n – t + 1) . i n Prestação (PMT): soma da amortização com juros e encargos administrativos, que deve ser analisado em cada situação de empréstimo com a instituição financeira. PMT = Amort + J (não consideramos encargos administrativos nesse modelo). PMT = PV . [ 1+ (n – t + 1) . i ] n Expressões de cálculo (SAC): exemplos Exemplo 1: Um capital de R$ 100.000,00 foi financiado em 5 anos, com pagamento em 10 prestações semestrais com taxa de juros de 30% a.a.. Calcular o valor do juros no 3º semestre. Em primeiro lugar, vamos converter a taxa de 30% ao ano em uma taxa semestral. Sistema de Amortização Constante (SAC): exemplo Taxa equivalente semestral de 30% a.a. é de 14,0175% ao semestre Semestral Anual iq = (1 + i) 1/q – 1 2 semestres 1 ano iq = (1 + 0,30) 1/2 – 1 iq = (1,30) 1/2 – 1 iq = 1,140175 – 1 iq = 0,140175 iq = 14,0175% a.s. Expressões de cálculo (SAC): exemplos Juros no 3º semestre = ? PV = 100.000 n = 10 semestres i = 14,0175% a.s. J = PV . (n – t + 1) . i n J = 100000 . (10 – 3 + 1) . 0,140175 10 J = 10000 . 8 . 0,140175 J = R$ 11.214,00 Expressões de cálculo (SAC): exemplos Exemplo 2: Um capital de R$ 100.000,00 foi financiado em 5 anos com 10 prestações semestrais e taxa de juros de 30% a.a. Calcular o valor da prestação no 5º semestre. PMT = PV . [ 1+ (n – t + 1) . i ] n PMT = 100000 . [ 1 + (10 – 5 + 1) . 0,140175] 10 PMT = 10000 . [ 1 + (6) . 0,140175] PMT = 10000 . [ 1 + 0,84105] PMT = 10000 . 1,84105 PMT = R$ 18.410,50 Interatividade Calcular o valor da prestação no 7º semestre, sabendo que o valor do empréstimo é de R$ 100.000,00 dentro de um prazo de 5 anos em 10 prestações semestrais com a taxa de juros de 30% ao ano. a) R$ 15.607,00 b) R$ 28.035,00 c) R$ 13.233,50 d) R$ 20.460,00 e) R$ 24.831,50 Resposta A alternativa correta é: a) R$ 15.607,00 Resolução PMT = PV . [ 1+ (n – t + 1) . i ] n PMT = 100000 . [ 1 + (10 – 7 + 1) . 0,140175] 10 PMT = 10000 . [ 1 + (4) . 0,140175] PMT = 10000 . [ 1 + 0,5607] PMT = 10000 . 1,5607 PMT = R$ 15.607,00 Sistema de Amortização Constante (SAC): com carência Os exemplos anteriores não apresentaram prazo de carência para amortização do empréstimo. A próxima tabela demonstra uma situação em que os juros são pagos durante a carência estipulada. Ao final dos quatro primeiros semestres, a prestação, constituída unicamente dos encargos financeiros, é de R$ 14.017,50; ou seja: 14,0175% x R$ 100.000,00. A partir do quinto semestre, inicia-se a amortização do principal emprestado, sendo o fluxo de prestações, deste momento em diante, idêntico ao desenvolvido anteriormente. Sistema de Amortização Constante (SAC): com carência – exemplo Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$) 0 100.000,00 - - - 1 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 2 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 3 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 4 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 5 90.000,00 10.000,00 14.017,50 24.017,50 6 80.000,00 10.000,00 12.615,75 22.615,75 7 70.000,00 10.000,00 11.214,00 21.214,00 8 60.000,00 10.000,00 9.812,25 19.812,25 9 50.000,00 10.000,00 8.410,50 18.410,50 10 40.000,00 10.000,00 7.008,75 17.008,75 11 30.000,00 10.000,00 5.607,00 15.607,00 12 20.000,00 10.000,00 4.205,25 14.205,25 13 10.000,00 10.000,00 2.803,50 12.803,50 14 - 10.000,00 1.401,75 11.401,75 TOTAL - 100.000,00 133.166,25 233.166,25 Sistema de Amortização Constante (SAC): com carência – exemplo Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$) 0 100.000,00 - - - 1 114.017,50 - - - 2 129.999,90 - - - 3 148.222,64 - - - 4 168.999.75 - - - 5 152.099,77 16.899,97 23.689,54 40.589,51 6 135.199,80 16.899,97 21.320,59 38.220,56 7 118.299,82 16.899,97 18.951,64 35.851,61 8 101.399,85 16.899,97 16.582,68 33.482,65 9 84.499,87 16.899,97 14.213,73 31.113,70 10 67.599,90 16.899,97 11.844,77 28.744,74 11 50.699,92 16.899,97 9.475,82 26.375,79 12 33.799,95 16.899,97 7.106,87 24.006,84 13 16.899,97 16.899,97 4.737,91 21.637,88 14 - 16.899,97 2.368,96 19.268,93 TOTAL - 168.999,75 130.292,47 299.292,22 SAC com carência (2 anos) com juros (14,0175% a.s.) capitalizados e acrescidos ao saldo devedor Sistema de Amortização Francês (SAF) Sistema amplamente adotado no mercado financeiro brasileiro, estipula que as prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas. Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes e as parcelas de amortização assumem valores crescentes. O valor da prestação é a soma dos juros com o valor da amortização. Para compor a planilha financeira desse sistema, vamos partir da última coluna para a primeira, isto é, vamos calcular inicialmente as prestações e a seguir os juros, as parcelas de amortização e o respectivo saldo devedor. Sistema de Amortização Francês (SAF): exemplo Construa a tabela do SAF: Valor do empréstimo R$ 100.000,00; pagamentos semestrais durante 5 anos com taxa de juros de 30% ao ano. As prestações semestrais são determinadas pela fórmula: PV = PMT . FPV (i,n) Em que: PV = valor presente PMT = valor prestação FPV = fator de valor presente, sendo: FPV = 1 – (1+ i) –n i Sistema de Amortização Francês (SAF): exemplo Vamos calcular o valor das prestações (PMT): PV = PMT . FPV (i,n) Em que: FPV = 1 – (1+ i) –n i Empréstimo (PV) = 100000 Número de prestações (n) = 10 Taxa de juros (i) = 14,0175% a.s. 100000 = PMT . 1 – (1+ 0,140175) -10 0,140175 100000 = PMT . 1 – (1,140175) -10 0,140175 100000 = PMT . 1 – 0,26933 0,140175 100000 = PMT. 5,212556 PMT = 100000 / 5,212556 = 19.184,44 Sistema de Amortização Francês (SAF): exemplo Taxa de juros: 14,0175% ao semestre Interatividade Com base nos exemplos apresentados do Sistema de Amortização Constante (SAC), qual deles apresenta o maior valor como total das prestações pagas? a) SAC sem carência. b) SAC com carência e pagamento dos juros na carência. c) SAC com carência, com juros capitalizados e acrescidos ao saldo devedor. d) SAC sem carência e com carência, sendo os juros pagos na carência. e) Não há variação entre os totais das prestações. Resposta Com base nos exemplos apresentados do Sistema de Amortização Constante (SAC), qual deles apresenta o maior valor como total das prestações pagas? a) SAC sem carência. b) SAC com carência e pagamento dos juros na carência. c) SAC com carência, com juros capitalizados e acrescidos ao saldo devedor. d) SAC sem carência e com carência, sendo os juros pagos na carência. e) Não há variação entre os totais das prestações. Sistema de Amortização Francês (SAF): expressões de cálculo Amortização (Amort): é a diferença entre o valor da prestação e os juros. Amort = PMT – J Amort1 = 19184,40 – 14017,50 = 5166,90 A amortização em um momento t qualquer é calculada: Amort = Amort1 . (1 + i) t – 1 Exemplo: qual o valor da amortização no quarto semestre? Amort = 5166,90 . (1 + 0,140175) 4 – 1 Amort = 5166,90 . (1,140175) 3 Amort = 7658,60 Sistema de Amortização Francês (SAF): expressões de cálculo Prestação (PMT): conforme visto, as prestações semestrais são determinadas pela fórmula: PV = PMT . FPV (i,n) Em que: PV = valor presente PMT = valor prestação FPV = fator de valor presente, sendo: FPV= 1 – (1+ i) –n i Juros (J): incidem sobre o saldo devedor apurado no início de cada período (ou ao final de cada período imediatamente anterior). J1 = SD0 . i J2 = SD1 . i J3 = SD2 . i e assim por diante. Sistema de Amortização Francês (SAF): expressões de cálculo Saldo Devedor (SD): para cada período é calculado pela diferença entre o valor devido no início do intervalo de tempo e a amortização do período. SDt = PMT . FPV (i, n – t) Por exemplo, o saldo devedor no 6º semestre é: SD6 = 19184,40 . FPV (14,175%, 10 – 6) FPV= 1 – (1+ i) –n = 1 – (1+0,140175) -4 i 0,140175 FPV= 1 – 0,591717 = 0,408283 = 2,91267 0,140175 0,140175 SD6=19184,40 . 2,91267 = 55877,90 Sistema Price de Amortização (Tabela Price) O Sistema Price de Amortização (ou Tabela Price) representa uma variante do SAF (Sistema de Amortização Francês). Sistema Price de Amortização (Tabela Price): exemplo Construa a Tabela Price: Valor do empréstimo R$ 100.000,00; pagamentos anuais durante 10 anos com taxa de juros de 25% ao ano. As prestações anuais são determinadas pela fórmula: PV = PMT . FPV (i,n) Em que: PV = valor presente PMT = valor prestação FPV = fator de valor presente, sendo: FPV = 1 – (1+ i) –n i Sistema Price de Amortização (Tabela Price): exemplo Vamos calcular o valor das prestações (PMT): PV = PMT . FPV (i,n) Em que: FPV = 1 – (1+ i) –n i Empréstimo (PV) = 100000 Número de prestações (n) = 10 Taxa de juros (i) = 25% a.a. 100000 = PMT . 1 – (1+ 0,25) -10 0,25 100000 = PMT . 1 – (1,25) -10 0,25 100000 = PMT . 1 – 0,107374 0,25 100000 = PMT . 3,570503 PMT = 100000 / 3,570503 = 28007,26 Sistema Price de Amortização (Tabela Price): exemplo Taxa de juros: 25% ao ano Interatividade Um empréstimo de R$ 800.000,00 deve ser devolvido pelo sistema francês em 5 prestações semestrais, considerando uma taxa de juros de 4% ao semestre. Sabendo que a prestação a ser paga é de R$ 179.701,70 e que a amortização no primeiro semestre é de R$ 147.701,70; calcule a amortização no terceiro semestre. a) R$ 180.328,43 b) R$ 159.754,15 c) R$ 233.431,50 d) R$ 201.552,00 e) R$ 141.733,18 Resposta A alternativa correta é: b) R$ 159.754,15 Resolução Amort = Amort1 . (1 + i) t – 1 Amort = 147701,70 . (1 + 0,04) 3 – 1 Amort = 147701,70 . (1,04) 2 Amort = 147701,70 . 1,0816 Amort = 159754,15 Sistema de Amortização Misto (SAM) Desenvolvido originalmente para operações de financiamento do Sistema Financeiro de Habitação. Representa a média aritmética entre o sistema francês e o sistema de amortização constante. Sistema de Amortização Misto (SAM) PMTSAM = 24.017,50 + 19.184,44 = 21.600,97 2 SDSAM = 90.000,00 + 94.833,06 = 92.416,53 2 SAC SAF Sistema de Amortização Americano (SAA) A devolução do capital emprestado é efetuada no final do período contratado, ou seja, deve ser efetuada de uma só vez. Amortizações intermediárias durante o período de empréstimo não estão previstas. Os juros costumam ser pagos periodicamente. Sistema de Amortização Americano (SAA): exemplo Construa a tabela do SAA: Valor do empréstimo R$ 100.000,00; pagamentos semestrais durante 3 anos com taxa de juros de 30% ao ano. Sistema de Amortização Americano (SAA): exemplo Taxa de juros: 14,0175% ao semestre Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$) 0 100.000,00 - - - 1 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 2 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 3 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 4 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 5 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 6 100.000,00 100.000,00 14.017,50 114.017,50 TOTAL - 100.000,00 84.105,00 184.105,00 Sinking fund ou fundo de amortização No Sistema de Amortização Americano ocorre o sinking fund ou fundo de amortização. Consiste em acumular poupanças periódicas durante o prazo do empréstimo para que, no final do período, o montante do fundo seja igual ao valor da dívida. Esse fundo é usado para evitar que o mutuário desembolse uma grande quantia de uma só vez. R = S / k em que: S = montante igual ao principal R = depósito do período k = fator de valor presente Sinking fund ou fundo de amortização: exemplo Um empréstimo de R$ 100.000,00 a uma taxa de juros de 12% ao ano e um prazo de quatro anos, pode-se criar um fundo de amortização com uma taxa de aplicação de 10% ao ano com k = 4,641 i = taxa de juros do fundo = 10% a.a. S = montante igual ao principal = 100.000,00 R = depósito anual k = fator de valor presente = 4,641 Temos: R = S / k R = 100000 / 4,641 R = R$ 21.547,08 Sinking fund ou fundo de amortização: exemplo Anos Saldo Credor (R$) Depósito (R$) Juros (R$) 0 - - - 1 21.547,08 21.547,08 - 2 45.248,87 21.547,08 2.154,71 3 71.320,84 21.547,08 4.524,89 4 100.000,00 21.547,08 7.132,08 TOTAL - 86.188,32 13.811,68 Sistema de amortização crescente (SACRE) O Sacre é um sistema misto de cálculos do SFH, muito utilizado pela Caixa Econômica Federal. Foi desenvolvido com o objetivo de permitir maior amortização do valor emprestado, reduzindo-se simultaneamente a parcela de juros sobre o saldo devedor. O grande atrativo do Sacre é que, enquanto na Tabela Price as prestações tendem a aumentar sempre, nele, a partir de um momento, as prestações começam a diminuir. Interatividade Com base nas tabelas SAC e SAF abaixo, calcule o valor da prestação do período 2, utilizando o sistema de amortização misto. SAC SAF a) R$ 21.600,97 b) R$ 92.416,53 c) R$ 20.900,10 d) R$ 19.184,44 e) R$ 22.615,75 Resposta A alternativa correta é: c) R$ 20.900,10 Resolução PMTSAM = 22.615,75 + 19.184,44 = 20.900,10 2 ATÉ A PRÓXIMA!