ANALISE_NUMERICA_Uma_Abordagem_Algoritmi

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ 
SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS 
EM ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE NUMÉRICA: 
Uma Abordagem Algorítmica e Computacional 
, 
por 
Lucas Máximo Alves 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURITIBA – PARANÁ 
MARÇO – 2007 
 
LUCAS MÁXIMOALVES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE NUMÉRICA: 
Uma Abordagem Algorítmica e Computacional 
, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURITIBA – PARANÁ 
MARÇO – 2007 
 
LUCAS MÁXIMOALVES 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE NUMÉRICA: 
Uma Abordagem Algorítmica e Computacional 
 
, 
 
 
Apostila organizada como resultado do estudo das aulas da 
Disciplina de ANÁLISE NUMÉRICA para obtenção de 
créditos no curso de Doutorado do Programa de Pós-
Graduação em Métodos Numéricos do Setor de 
Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de 
Engenharia Civil/Departamento de Matemática da 
Universidade Federal do Paraná 
 
 
 
 
Orientador: Prof. Dr. José Antonio Marques 
Carrer 
 
Orientador: Prof. Dr. 
 
 
 
 
CURITIBA – PARANÁ 
MARÇO – 2007 
 
Dedicatória 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedico este trabalho a todos os que, não se 
conformando com este mundo da forma como o 
encontraram, querem torná-lo em um lugar cada vez 
melhor, através de suas atitudes e de seu trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agradecimentos 
 
 Agradeço a Deus pelo seu imenso amor e misericórdia revelado nas oportunidades 
que a vida me trouxe. Quero também agradecer: 
 À minha Família pelo apoio emocional e espiritual, ao meu orientador o Prof. Dr. 
....., ao meu Co-Orientador o Prof. Dr. .... , a Maristela Bradil pela amizade e dedicação com 
que nos atende, aos amigos, ...., .... ...., ......., e toda a galera do CESEC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Epígrafe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“vida é um algo multidimensional cuja 
imprevisível curvatura temporal só é 
conhecida quando se experimenta os fatos a 
cada dia e, mesmo assim, não se consegue 
prever com exatidão a curvatura temporal dos 
fatos seguintes, mesmo que se expanda esta (a 
curvatura futura) numa vizinhança em torno 
do fato no instante presente” (Lucas M. Alves) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
Apresentação ............................................................................................................................19 
Capítulo I ..................................................................................................................................20 
INTRODUÇÃO AOS ERROS EM COMPUTADORES ........................................................20 
1. 1 - Objetivos do Capítulo .....................................................................................................20 
1. 2 - Introdução 20 
1. 3 - Noções Básicas sobre Erros ............................................................................................21 
1. 4 - Representação dos Números em um Computador ..........................................................22 
1. 5 - Aritmética de Ponto Flutuante ........................................................................................24 
1.5.1 – Exemplo - 1 ..................................................................................................................24 
1.5.2 – Exemplo - 2 ..................................................................................................................25 
1. 6 – Análise de Erros 26 
1.6.1 - Erro absoluto: ................................................................................................................26 
1.6.2 - Erro relativo: .................................................................................................................26 
1. 7 - Erros de arredondamento e truncamento em um Sistema de Artimética de ponto 
Flutuante 27 
1.7.3 – Exemplo - 3 ..................................................................................................................27 
1.7.1 - Truncamento: ...............................................................................................................28 
1.7.2 – Arredondamento ...........................................................................................................28 
1.7.4 – Exemplo - 4 ..................................................................................................................30 
Solução: 31 
Conclusão:31 
1. 8 – Erro absoluto e Erro relativo nas Operações Aritméticas com Erros na representação 
das Parcelas ou Fatores 31 
1.8.1 – Adição...........................................................................................................................32 
1.8.2 - Subtração.......................................................................................................................32 
1.8.3 – Multiplicação ................................................................................................................33 
1.8.4 - Divisão ..........................................................................................................................34 
1. 9 - Exemplos e Aplicações ...................................................................................................36 
1. 10 - Exercícios e Problemas .................................................................................................37 
Capítulo II.................................................................................................................................38 
ARITIMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE EM PROGRAMAÇÃO....................................38 
2. 1 - Objetivos do Capítulo .....................................................................................................38 
2. 2 – Introdução 38 
2. 3 – História e Evolução dos Computadores..........................................................................39 
2.3.1 - Máquinas Calculadoras Mecânicas ...............................................................................39 
2.3.2 - Inicio da Era da Computação – Eletromecânico ...........................................................39 
2.3.3 - Inicio da Era da Computação Eletrônica.......................................................................39 
2. 4 – Representação Binária de Números................................................................................40 
 
2.4.1 - Esquema de um Computador ........................................................................................40 
2.4.2 - Base Numéricas.............................................................................................................40 
2.4.3 - Sistema Binário .............................................................................................................40 
2.4.4 - Exemplos de Representação de Números .....................................................................42 
2.4.5 - Transformação de um Valor Positivo em um Numero Negativo..................................42 
2.4.6 - Aritmética Binária .........................................................................................................43 
2. 5 – Representação Normalizada ...........................................................................................44 
2. 6 – Programação em FORTRAN..........................................................................................45 
2. 7 – Exemplos e Aplicações...................................................................................................462. 8 – Exercícios e Problemas...................................................................................................47 
Capítulo III ...............................................................................................................................48 
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES ................................................................................48 
3. 1 -Objetivos do Capítulo ......................................................................................................48 
3. 2 - Introdução 48 
3. 3 – Resolução de Sistemas Lineares.....................................................................................49 
3. 4 – Métodos Iterativos ..........................................................................................................49 
3.4.1 - Esquema Iterativo..........................................................................................................49 
3.4.2 - Critério de Parada do Processo Iterativo .......................................................................50 
3.4.3 - Utilização dos métodos iterativos .................................................................................50 
3. 5 – Método de Gauss-Jacobi.................................................................................................51 
3.5.1 - Exemplo ........................................................................................................................52 
3.5.2 - Verificação da convergência: ........................................................................................53 
3.5.1 - Convergência do método...............................................................................................54 
3. 6 – Método de Gauss-Seidel.................................................................................................55 
3.6.1 - O Processo Iterativo ......................................................................................................55 
3.6.1 - Exemplo ........................................................................................................................58 
3.6.2 - Solução ..........................................................................................................................58 
3.6.2 - Convergência do Método ..............................................................................................64 
3.6.3 - Exemplo ........................................................................................................................65 
3.6.4 - Solução ..........................................................................................................................65 
3. 7 - Exemplos e Aplicações ...................................................................................................66 
3.7.1 - Exemplo ........................................................................................................................66 
3.7.2 - Solução ..........................................................................................................................66 
3. 8 - Exercícios e Problemas ...................................................................................................68 
Capítulo IV ...............................................................................................................................69 
ZEROS DE FUNÇÕES E RAIZES DE EQUAÇÕES.............................................................69 
4. 1 -Objetivos do Capítulo ......................................................................................................69 
4. 2 - Introdução 69 
4. 3 - Zeros de Funções Reais...................................................................................................70 
4.3.1 - Problema .......................................................................................................................70 
4.3.2 - Aproximação inicial para raiz: .....................................................................................70 
4.3.3 – Método da Bi-Secção (ou de Bolzano).........................................................................71 
Exemplo : 74 
 
4.3.3.1 – Prova da Convergência do Método da Bi-Secção .....................................................76 
4. 4 – Iteração Linear 78 
4.4.1 - Uma equação de iteração...............................................................................................79 
4.4.2 - Um critério de parada para as iterações ........................................................................80 
4.4.3 - Conclusão:.....................................................................................................................80 
4. 5 - Critério de Convergência para a iteração x = (x)..........................................................82 
4.5.1 - Teorema do Valor Médio ..............................................................................................82 
4.5.2 - Teorema da Permanência do Sinal ................................................................................82 
4.5.3 – Teorema do Limitante da Derivada da função de Iteração...........................................83 
4. 6 – Ordem de Convergência de uma Iteração.......................................................................85 
4. 7 – Métodos de Aproximação...............................................................................................87 
4.7.1 – Método das Aproximações Sucessivas ou Ponto Fixo .................................................87 
4.7.1 – Interpretação Geométrica .............................................................................................87 
4.7.2 – Método de Newton-Raphson ........................................................................................88 
4.7.1 – Interpretação Geométrica .............................................................................................89 
4.7.2.1 – Critério de Convergência do Método de Newton-Raphson.......................................90 
4.7.2 – Método de Newton-Raphson Modificado ....................................................................92 
4.7.1 – Interpretação Geométrica .............................................................................................92 
4.7.2.1 – Critério de Convergência do Método de Newton-Raphson Modificado...................95 
4.7.3 – Método da Secante........................................................................................................96 
4.7.1 – Interpretação Geométrica .............................................................................................96 
4.7.3.1 – Cálculo da Ordem de Convergência do Método da Secante ....................................98 
4.7.3.2 – Prova da Convergência do Método da Secantes......................................................103 
4.7.4 – Método da Falsa Posição ou Regula-Falsi..................................................................104 
4.7.1 – Interpretação Geométrica ...........................................................................................104 
4. 8 - Exemplos e Aplicações .................................................................................................107 
4.8.1 - Problema .....................................................................................................................107 
Solução 107 
Solução 111 
4. 9 - Exercícios e Problemas .................................................................................................113 
Solução pelo Método do Ponto Fixo ......................................................................................113 
Solução pelo Método de Newton-Raphson ............................................................................117 
Solução 120 
Capítulo V ..............................................................................................................................123 
SISTEMA DE EQUAÇÕESNÃO-LINEARES ....................................................................123 
5. 1 - Objetivos do Capítulo ...................................................................................................123 
5. 2 - Introdução 123 
5. 3 - Exemplos e Aplicações .................................................................................................125 
5. 4 - Exercícios e Problemas .................................................................................................126 
Capítulo VI .............................................................................................................................127 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL........................................................................................127 
6. 1 – Objetivos do Capítulo...................................................................................................127 
6. 2 – Introdução 127 
6. 3 – Interpolação – Polinômio de Interpolação....................................................................128 
 
6.3.1 - Teorema - 1 .................................................................................................................128 
Prova 129 
6.3.2 - Definição - 1................................................................................................................130 
6.3.3 - Exemplo - 1 .................................................................................................................131 
6. 4 – Interpolação Polinomial de Lagrange...........................................................................133 
6. 5 – Forma de Newton – Interpolação Polinomial por Diferenças Dividas.........................135 
6.5.1 – Propriedade das Diferenças Divididas........................................................................136 
6.5.2 – Forma de Newton para o Polinômio Interpolador ......................................................137 
6. 6 – Estudo do Erro na Interpolação pelo Método de Newton ............................................140 
6.6.1 – Teorema de Rolle........................................................................................................140 
6.6.2 – Limitante para o Erro..................................................................................................141 
6. 7 – Problemas na Interpolação Polinomial .........................................................................142 
6. 8 –Interpolação Polinomial de Hermite..............................................................................143 
6.8.1 - Teorema.......................................................................................................................143 
6.8.2 - Método Alternativo de Newton das Diferenças Divididas .........................................145 
6. 9 –Interpolação Polinomial de Bezier ................................................................................146 
6.9.1 - Introdução ...................................................................................................................146 
6.9.2 - Definições Básicas ......................................................................................................147 
6.9.3 - Definição Matemática da Curva de Bezier .................................................................148 
6.9.4 - Exemplo de Curva de Bezier.......................................................................................149 
6.9.5 - Propriedades da Curva de Bezier ................................................................................151 
6.9.6 - Curva de Bezier na Forma Matricial ..........................................................................154 
6.9.7 - Conexão de várias Curva de Bezier ...........................................................................155 
6.9.8 - Vantagens e Desvantagens da Curva de Bezier .........................................................156 
6. 10 – Interpolação Polinomial de Bernstein.........................................................................157 
6.10.1 - Motivação de sua Existência .....................................................................................157 
6.10.2 - Definição dos Polinômios .........................................................................................158 
6.10.3 - Propriedades dos Polinômios ....................................................................................160 
6.10.4 - Base de Potência de Bernstein ..................................................................................164 
6.10.5 – Aproximação de Funções Contínuas ........................................................................164 
Prova 165 
6.10.6 - Derivadas dos Polinômios.........................................................................................165 
6.10.7 - Matriz de Representação dos Polinômios .................................................................166 
6.10.8 - Exemplo de Aplicação de Interpolação de uma curva Bezier...................................167 
6. 11 –Interpolação Polinomial por Spline .............................................................................170 
6.11.1 - Definição das Splines ................................................................................................170 
6.11.2 - Base para splines lineares (n = 1)..............................................................................171 
6.11.3 - Base para splines cúbicas (n = 3) ..............................................................................172 
6.11.4 - Uso de Splines na Interpolação .................................................................................172 
6. 12 –Interpolação Polinomial por B-Spline .........................................................................174 
6. 13 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................177 
6.13.1 – Método de Interpolação de Lagrange – Exemplo 1..................................................177 
Solução 177 
6.13.2 – Método de Interpolação de Lagrange – Exemplo 2..................................................178 
Solução: 178 
 
6.13.3 – Método de Interpolação – Exemplo 3.......................................................................179 
Solução: 179 
6.13.4 – Método de Interpolação das Diferenças Divididas de Newton – Exemplo - 1.........181 
Solução 181 
6.13.5 – Análise do Erro no Método das Diferenças Divididas – Exemplo - 1 .....................184 
Solução 184 
6.13.6 – Método de Interpolação das Diferenças Divididas de Newton – Exemplo - 2.........185 
Solução 185 
6.13.7 – Cálculo dos Limitantes do Erro – Exemplo - 1 ........................................................187 
6.13.8 – Estimativa para o Erro – Exemplo 1.........................................................................188 
6.13.9 – Método de Interpolação das Diferenças Divididas de Newton – Exemplo - 3.........189 
Solução: 189 
b. Limitante do erro em cada caso..........................................................................................191 
6.13.10 - Exemplo de Interpolação do Método de Bernstein - 1............................................193 
6.13.11 - Exemplo de Interpolação do Método de Hermite - 1 ..............................................194 
Solução 194 
6.13.12 - Exemplo de Interpolação do Método de Hermite - 2 ..............................................199 
Solução 199 
6. 14 – Exercícios e Problemas...............................................................................................201 
6.14.1 - Trabalho para casa.....................................................................................................201 
Capítulo VII............................................................................................................................202 
MÉTODOS DE AJUSTE DE CURVAS ...............................................................................2027. 1 - Objetivos do Capítulo ...................................................................................................202 
7. 2 - Introdução 202 
7. 3 – Método dos Mínimos Quadrados .................................................................................203 
7. 4 - Exemplos e Aplicações .................................................................................................204 
7. 5 - Exercícios e Problemas .................................................................................................205 
Capítulo VIII ..........................................................................................................................206 
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA................................................................................................206 
8. 1 -Objetivos do Capítulo ....................................................................................................206 
8. 2 - Introdução 206 
8. 3 – Integração Numérica.....................................................................................................207 
8. 4 – Método do Trapézio para a Integração .........................................................................208 
8.4.1 - Erro no Método do Trapézio .......................................................................................208 
8.4.1 - Exemplo ......................................................................................................................210 
8. 5 – Método de Integração de Simpson ...............................................................................211 
8.5.1 - Erro no Método de Simpson .......................................................................................213 
8.5.2 - Exemplo ......................................................................................................................215 
8. 6 – Integração Numérica pelo Método da Quadratura de Gauss ........................................217 
8. 7 – Método de Integração de Chébychev ...........................................................................223 
8.7.1 - Exemplo ......................................................................................................................225 
8.7.2 - Solução ........................................................................................................................225 
8. 8 - Exemplos e Aplicações .................................................................................................226 
 
8. 9 - Exercícios e Problemas .................................................................................................227 
Capítulo IX .............................................................................................................................228 
SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ..............................................228 
9. 1 - Objetivos do Capítulo ...................................................................................................228 
9. 2 - Introdução 228 
9. 3 – Solução Numérica de Equações Diferenciais ...............................................................229 
9. 4 – Métodos de Integração..................................................................................................229 
9. 5 – Métodos Iterativos de passo um, usando só anterior  nx ...........................................230 
9.5.7 - Ordem do Método Numérico ......................................................................................230 
9.5.1 - Método de Euler Linear ou de ordem mm ..................................................................231 
9.5.2 - Exemplo ......................................................................................................................232 
9.5.3 - Solução ........................................................................................................................232 
9.5.4 - Método Quadrático da Série de Taylor com Três Termos ..........................................234 
9.5.5 - Exemplo ......................................................................................................................234 
9.5.6 – Solução .......................................................................................................................234 
9.5.10 - Método de Heun ou Método de Euler Modificado ...................................................236 
9.9.2 - Exemplo ......................................................................................................................236 
9. 6 – Métodos de Runge-Kutta..............................................................................................238 
9.6.1 - Método de Runge-Kutta de Ordem 1 ..........................................................................238 
9.6.2 - Método de Runge-Kutta de Ordem 2 ..........................................................................238 
9.6.3 - Método de Runge-Kutta de Ordem 3 ..........................................................................241 
9.6.4 - Método de Runge-Kutta de Ordem 4 ..........................................................................242 
9.6.5 - Método de Runge-Kutta de Ordem m.........................................................................244 
9.9.2 - Exemplo ......................................................................................................................244 
9. 7 – Métodos de Predição-Correção ....................................................................................245 
9. 8 – Métodos Implícitos que usam  1nx  como Corretor ...................................................246 
9.9.1 - Algorimo .....................................................................................................................246 
9.9.2 - Exemplo ......................................................................................................................247 
9. 9 – Métodos Explícitos, passo múltiplo, que usam  1 2, ,n n nx x x  como Previsor ............250 
9.10.1 - Adams-Moutton: .......................................................................................................250 
9.10.2 - Adams-Bashforth: .....................................................................................................250 
9.10.3 - Método de Hamming:................................................................................................250 
9. 10 – Métodos de Passos Múltiplos .....................................................................................251 
9.11.1 - Método de Milne-Simpson (4ª ordem)......................................................................252 
9. 11 - Exemplos e Aplicações ...............................................................................................253 
9.12.1 - Exemplo ....................................................................................................................253 
9. 12 - Exercícios e Problemas ...............................................................................................254 
Anexos....................................................................................................................................255 
A1 - Os códigos para compilação em MATLAB para Curvas de Bezier...............................255 
A2 – Superfícies de Bezier .....................................................................................................257 
A3 – Superfícies de B-Spline .................................................................................................259 
 
Bibliografia.............................................................................................................................261 
 
 
 
 
 
 
 
Lista de Figuras 
 
Figura - 1. 1. Diagrama de transformação de um problema real em um modelo matemático .21 
Figura - 1. 2. Seqüência de aparecimento ouintrodução natural dos erros nas etapas de cálculo 
da solução de um problema físico. ...........................................................................................21 
Figura - 1. 3. Esquema da faixa de Operação Numérica de um Computador ..........................25 
Figura - 1. 4. Representação Esquemática de um Computador................................................40 
Figura - 1. 5. Representação Esquemática de um Computador................................................40 
Figura - 1. 6. .............................................................................................................................44 
Figura - 4. 1. .............................................................................................................................71 
Figura - 4. 2. .............................................................................................................................72 
Figura - 4. 3. .............................................................................................................................73 
Figura - 4. 4. .............................................................................................................................74 
Figura - 4. 5. Teorema do valor médio .....................................................................................82 
Figura - 4. 6. Função de Iteração ..............................................................................................85 
Figura - 4. 7. Representação Geométrica do Método de Aproximações Sucessivas ou Ponto 
Fixo...........................................................................................................................................87 
Figura - 4. 8. Representação Geométrica do Método de Newton-Raphson. ............................89 
Figura - 4. 9. Representação Geométrica do Método de Newton-Raphson Modificado..........92 
Figura - 4. 10. Representação Geométrica do Método da Secante...........................................97 
Figura - 4. 11. Representação Geométrica da Falsa Posição..................................................104 
Figura - 4. 12. .........................................................................................................................105 
Figura - 6. 1. Escolha da ordem do polinômio de interpolação, Interpolação: Linear, 
Quadrática, Cúbica. ................................................................................................................128 
Figura - 6. 2. ...........................................................................................................................134 
Figura - 6. 3. ...........................................................................................................................137 
Figura - 6. 4. ...........................................................................................................................140 
Figura - 6. 5. ...........................................................................................................................142 
Figura - 6. 6. ...........................................................................................................................143 
Figura - 6. 7. ...........................................................................................................................148 
Figura - 6. 8. Funções de mistura. (a) Polígono de três pontos, n = 2; (b) Polígono de quatro 
pontos, n = 3; (c) Polígono de cinco pontos, n = 4; (d) Polígono de cinco pontos, n = 5; .....153 
Figura - 6. 9. Sergi Natanovich Bernstein quem primeiro utilizou os polínios que levam o seu 
nome. ......................................................................................................................................157 
Figura - 6. 10. .........................................................................................................................160 
Figura - 6. 11. .........................................................................................................................167 
Figura - 6. 12. .........................................................................................................................168 
 
Figura - 6. 13. .........................................................................................................................168 
Figura - 6. 14. .........................................................................................................................168 
Figura - 6. 15. .........................................................................................................................169 
Figura - 6. 16. .........................................................................................................................169 
Figura - 6. 17. .........................................................................................................................169 
Figura - 6. 18. a) Spline linear (n = 1); b) Spline cúbica (n = 3). ...........................................170 
Figura - 6. 19. .........................................................................................................................171 
Figura - 6. 20 ..........................................................................................................................172 
Figura - 6. 21.A função B-Spline não passa pelos pontos de controle. ..................................174 
Figura - 8. 1. Processo de integração numérica. .....................................................................207 
Figura - 8. 2. Transformação de coordenadas do mapeamento linear do contorno................217 
Figura - 8. 3. Integral de Gauss da função z() nas coordenadas de generalizadas k...........218 
Figura - 8. 4. Processo de Integração de Gauss. .....................................................................221 
Figura - 8. 5. Integração de Gauss para um função linear. .....................................................222 
Figura - 9. 1. ...........................................................................................................................231 
Tabela - IX.1...........................................................................................................................235 
Figura - A. 1. Os dezesseis pontos de controle de uma superfície de Bézier. ........................258 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lista de Tabelas 
 
Tabela - I. 1...............................................................................................................................25 
Tabela - IV. 1............................................................................................................................75 
Tabela - IV. 2..........................................................................................................................108 
Tabela - IV. 3..........................................................................................................................112 
Tabela - IV. 4..........................................................................................................................112 
Tabela - IV. 5..........................................................................................................................113 
Tabela - IV. 6..........................................................................................................................114 
Tabela - IV. 7..........................................................................................................................115 
Tabela - IV. 8..........................................................................................................................116 
Tabela - IV. 9..........................................................................................................................117 
Tabela - IV. 10........................................................................................................................118Tabela - IV. 11........................................................................................................................118 
Tabela - IV. 12........................................................................................................................119 
Tabela - IV. 13........................................................................................................................121 
Tabela - VI. 1. Tabela de Diferença Divididas.......................................................................135 
Tabela - VI. 2..........................................................................................................................151 
Tabela - VI. 3..........................................................................................................................177 
Tabela - VI. 4..........................................................................................................................179 
Tabela - VI. 5..........................................................................................................................179 
Tabela - VI. 6..........................................................................................................................181 
Tabela - VI. 7..........................................................................................................................181 
Tabela - VI. 8..........................................................................................................................183 
Tabela - VI. 9..........................................................................................................................184 
Tabela - VI. 10........................................................................................................................184 
Tabela - VI. 11........................................................................................................................185 
Tabela - VI. 12........................................................................................................................188 
Tabela - VI. 13........................................................................................................................189 
Tabela - VI. 14........................................................................................................................189 
Tabela - VI. 15........................................................................................................................190 
Tabela - VI. 16........................................................................................................................190 
Tabela - VI. 17........................................................................................................................194 
Tabela - VI. 18........................................................................................................................199 
 
Tabela - VI. 19........................................................................................................................199 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lista de Siglas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lista de Símbolos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apresentação 
 Esta apostila é resultado da digitação das aulas do prof. José Antonio Marques 
Carrer. Ela é resultado de estudos pessoais do estudante de doutorado Lucas Máximo Alves. 
Alguns acréscimos as notas de aulas foram feitos com o intuito de se esclarecer mais algum 
assunto, ou detalhar algum tópico ou exercício em questão. A idéia é fornecer, a quem possa 
interessar, um material com os cálculos detalhados e mastigados para que a consulta seja 
rápida e fácil, principalmente para aqueles estudantes que em época de provas sesejam fazer 
uma revisão rápida da matéria, lendo-a como se fosse um jornal de notícias, sem embargos e 
confusões. A estruturação visual do texto desta apostila procura facilitar uma leitura dinâmica. 
Ela foi desenvolvida durante alguns anos de experiência no preparo de notas de aulas na 
Universidade Estadual de Ponta Grossa. Esta forma de estruturação busca uma forma de se 
obter uma consulta visual rápida e agradável (não cansativa aos olhos), a partir do conteúdo 
contido numa página. Pensou-se em uma diagramação do texto de forma que fosse possível 
coletar informações do conteúdo das páginas visualmente, para uma rápida reindexação 
mental do conteúdo em ministração durante as aulas em tempo real. Desta forma, uma pessoa 
familiarizada com o assunto do texto terá facilidade de encontrar o que lhe interessa no 
momento, por meio de um rápido exame de uma página de interesse. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo I 
INTRODUÇÃO AOS ERROS EM COMPUTADORES 
RESUMO 
 Neste capítulo será visto uma introdução a teoria matemática dos erros e suas 
definições gerais. Serão apontado as principais fontes de erros numéricos. Serão fornecidos 
exemplos de casos de erros numéricos para que o estudante possa adquirir uma sensibilidade 
no entendimento e na detecção de erros numéricos cometidos em cálculos por computadores. 
1. 1 - Objetivos do Capítulo 
 i) Entender as várias definições de tipos de erro, tais como: erro absoluto e 
relativo, etc; 
 ii) Saber detectar fontes de erros matemáticos; 
 iii) Saber quantificar, estimar e calcular erros; 
 iv) Entender a fonte de erros em um computador; 
 v) Entender como funciona os erros na aritmética de ponto flutuante. 
1. 2 - Introdução 
 O erro experimental é algo inerente a medida. Por outro lado, o erro de cálculo 
pode surgir de várias fontes que vão, desde o método de aproximação escolhido até a máquina 
utilizada no cálculo. Estudar erros e tipos de erros matemáticos é imprescindível no Cálculo 
Numérico de quantidades físicas. Saber estimá-los é de vital importância na ciência e na 
engenharia. Saber prevê-los facilita a análise numérica e define os resultados finais dos 
cálculos. Dele depende a limitação de muitas estruturas em física química e engenharia. 
 
1. 3 - Noções Básicas sobre Erros 
 De uma maneira geral, um problema real é descrito, em termos matemáticos, por 
meio de equações diferenciais que envolvem variáveis relevantes no estudo do problema real. 
Essa seleção de variáveis não deve impedir que o modelo matemático seja uma boa 
representação do modelo real, conforme mostra a Figura - 1. 1. 
 
 Figura - 1. 1. Diagrama de transformação de um problema real em um modelo matemático 
 Dado um problema físico, para resolvê-lo devemos matematizá-lo por meio de 
equações diferenciais que em geral possui dois tipos de soluções: uma analítica e outra a 
solução numérica ou aproximada. Dada uma solução nós teremos erros. É impossível 
matematizar em um problema real abarcando todos os detalhes. Portanto, o modelo que 
fornece a solução analítica já é uma aproximação do problema real. 
 A solução analítica é a solução exata do modelo matemático que tenta representar 
o problema real. Contudo, já a solução analítica pode ser truncada ou aproximada quando está 
é fornecida por uma série infinita, por exemplo. Esta seqüencia de erros é esquematizada na 
Figura - 1. 2. 
 
 Figura - 1. 2. Seqüência de aparecimento ou introdução natural dos erros nas etapas de cálculo da 
solução de um problema físico. 
 
 Se o modelo matemático não possuir solução analítica pode-se recorrer aos 
métodos numéricos para a solução das equações que representam o modelo. 
* Métodos Numéricos: Conjunto de procedimentos utilizados para transformar o modelo 
matemático em um problema numérico. 
 A descrição seqüencial dos passosem um número finito, que caracterizam um 
método numérico chama-se algoritmo. 
 Na solução do problema com o emprego de métodos numéricos e de 
computadores surgem erros devidos a representação dos números no computador e resultantes 
de operações aritméticas. Se x representa a solução analítica e x , a numérica deseja-se saber: 
quão próximo x está de x. 
1. 4 - Representação dos Números em um Computador 
 Ao se efetuar os somatórios: 
 


30000
1
1 5,0,
i
ii xxS (1. 1) 
e 
 


30000
1
2 1,0,
i
ii xxS (1. 2) 
e 
 


30000
1
3 0,2,
i
ii xxS (1. 3) 
Usando o seguinte algoritmo em FORTRAN 
 
(1. 4) 
Encontram-se os resultados: 
 Em precisão simples: 
 
S1 = 15000 
S2 =3000,576 
S3 = 60000 
(1. 5) 
 Em precisão dupla: 
S1 = 15000 
S2 =2999,99999999837 
S3 = 60000 
(1. 6) 
 O resultado correto para S2 seria 3000. A diferença entre esse resultado e os 
fornecidos pelo computador, isto é, o erro, ocorre devido à representação de 0,1 no 
computador. 
 A representação de um número depende da base disponível na máquina em uso e 
do numero máximo de dígitos usados. Um computador opera, normalmente, no sistema 
binário. No dia a dia emprega-se a base decimal. Uma fonte de erros é proveniente da 
conversão do sistema binário para o decimal. 
 De um modo geral, um número na base ,  
ojjj
aaaaaa 1221 ... , 
10  ka , jk ,...,2,1,0 , pode ser escrito na forma polinomial: 
    

 01
1
11221 ...... o
j
j
j
jojjj aaaaaaaaaa 

 (1. 7) 
Por exemplo: 
    1010012342 )23(2.12.12.12.02.110111  (1. 8) 
 O número 10)5,0( possui representação finita na base 2, igual 2)1,0( ; o número 
10)1,0( possui representação infinita na base 2...)00110000110011,0(2  
 Um número inteiro decimal sempre pode ser representado exatamente no sistema 
binário porque os números inteiros podem ser expressos como a soma de potências de 2. 
 Uma fração racional só pode ser expressa por um número finito de dígitos no 
sistema binário quando pode ser escrita como o quociente de dois inteiros p/q onde q é uma 
potência de 2: q = 2n para algum inteiro n. 
 
1. 5 - Aritmética de Ponto Flutuante 
 Um computador representa um número real no sistema denominado aritmética de 
ponto flutuante. 
 A forma normalizada de um número representado na base  em aritmética de 
ponto flutuante de t dígitos é: 
  etddd .... 21 (1. 9) 
onde 0;,...,2,1;10 1  dtjd j  (forma normalizada), “ e ” é o expoente 
no intervalo ],[ ul ; em geral , ul  . 
 A nomenclatura utilizada é a dos logaritmos: O expoente é denominado 
característica e a parte fracionária, mantissa. 
1.5.1 – Exemplo - 1 
 Considerando uma máquina que opera no sistema: ]5,5[,3,10  et 
nesse sistema os números serão representados como: 
  11 2
0
. ... 10
0 9, 1, 2, 3
e
t
j
d
d d d
d j t

     
 (1. 10) 
O maior número representado é (em módulo): 
9990010.999,0 5 M (1. 11) 
O menor é: 
65 1010.100,0  m (1. 12) 
 Para um número real x: 
1) Mxm  
 Se 
310.23589,089,235 x (1. 13) 
com truncamento: 
310.235,0x (1. 14) 
 
com arredondamento: 
310.236,0x (1. 15) 
2) underflowmx  e overflowMx  
 Estes números não podem ser representados nesta máquina porque estão fora dos 
intervalos de representação dos números. 
 Conforme mostra a Figura - 1. 3 
 
 Figura - 1. 3. Esquema da faixa de Operação Numérica de um Computador 
1.5.2 – Exemplo - 2 
 Representar os números em um sistema de aritmética de ponto flutuante de três 
dígitos com 10 e ]4,4[e , 999010.999,0;1010.1,0 454   Mm 
Tabela - I. 1 
x Representação por 
arredondamento 
Representação por 
truncamento 
1,25 0,125.101 0,125.101 
10,053 0,101.102 0,100.102 
-238,15 -0,238.103 -0,238.103 
2,71828... 0,272.101 0,271.101 
0,000007 0,7.105 (Underflow) 0,7.10-5 (Underflow) 
718235,32 0,719.106 (Overflow) 0,718.106 (Overflow) 
10,53 0,101.102 0,100.102 
 
 
1. 6 – Análise de Erros 
 Vamos a partir de agora introduzir uma análise elementar de erros a partir da 
conceituação de erros absoluto e relativo. 
1.6.1 - Erro absoluto: 
 É a diferença entre o valor exato de um número x e seu valor aproximado x : 
xxEAx  (1. 16) 
 Nem sempre é possível conhecer o valor exato de um número por isso o erro pode 
ser calculado em relação ao ser valor aproximado, 
0,01(limitante superior do erro)xEA x x   (1. 17) 
1.6.2 - Erro relativo: 
 O erro relativo é empregado quando o erro absoluto de duas medidas são 
próximas, mas o valor absoluto delas são distintos. Portanto, o erro relativo é o erro relativo 
dividido pelo seu valor exato x: 
0,  x
x
xx
x
EAER xx (1. 18) 
e 
x
xx
x
EAER xx

 (1. 19) 
 Se o erro exato não é conhecido, mas apenas o valor aproximado, o erro relativo é 
dado por: 
x
x
EA x xER
x x

  (1. 20) 
E 
x
x
EA x xER
x x

  (1. 21) 
 
 
1. 7 - Erros de arredondamento e truncamento em um Sistema de 
Artimética de ponto Flutuante 
 Seja x um número real no sistema de ponto flutuante, logo: 
  etddd .... 21 (1. 22) 
onde  é a base em que a máquina opera, t é o número de dígitos na mantissa, com 
0 1jd    ; 1, 2,...,j t e 1 0d  (forma normalizada), e “ e ” é o expoente no intervalo 
[ , ]u u . 
 Se x está na base 10 com t dígitos este pode ser escrito da seguinte forma: 
.10 .10e e tx xx f g
  (1. 23) 
onde 0,1 1xf  e 0 1xg  
1.7.3 – Exemplo - 3 
 Se 234,57x  e 4t  , temos: 
234,5 0,07x   (1. 24) 
ou 
3 10,2345.10 0,7.10x    (1. 25) 
Logo 
3 1.10 .10x xx f g
  (1. 26) 
onde 0, 2345xf  e 0,7xg  
 É claro que na representação de x neste sistema .10e txg
 não pode ser 
incorporado totalmente à mantissa. Então surge a questão de como considerar esta parcela na 
mantissa e definir o máximo erro absoluto (ou relativo) cometido. 
 Dado um sistema de aritmética de ponto flutuante de t dígitos na base 10, as 
seguintes limitações são encontradas para os erros absolutos e relativos, de truncamento e 
arredondamento: 
 
1.7.1 - Truncamento: 
 O erro absoluto no truncamento, .10e txg
 é desprezado e .10exx f daí: 
xEA x x  (1. 27) 
ou seja 
.10 .10 .10e e t ex x x xEA f g f
   (1. 28) 
logo 
.10e tx xEA g
 (1. 29) 
como 1xg  temos: 
te
xEA
10 (1. 30) 
 O erro relativo é dado por: 
x
x
EA x xER
x x

  (1. 31) 
ou seja 
1
.10 10 10
.10 0,1.10
10
10
e t e t e t
xx
x e e
x
e t
x e
gEAER
x x f
ER
  


   

 (1. 32) 
Portanto, 
110  txER (1. 33) 
 
1.7.2 – Arredondamento 
 No arredondamento, xf é modificado para levar em consideração xg 
.10 .10e e tx xx f g
  (1. 34) 
 
1.10
2
1.10 10
2
e
x x
e e t
x x
f se g
x
f se g
 
 
  

 (1. 35) 
Então o erro absoluto é dado por: 
xEA x x  (1. 36) 
ou seja 
.10 .10 .10e e t ex x x xEA f g f
   (1. 37) 
logo 
.10e tx xEA g
 (1. 38) 
como 1
2x
g  temos: 
110
2
e t
xEA
 (1. 39) 
 E o erro relativo é dado por: 
x
x
EA x xER
x x

  (1. 40) 
ou seja 
1
110.10 1 102
2.10 0,1.10
1 10
2 10
e te t e t
xx
x e e
x
e t
x e
gEAER
x x f
ER
 


 
      
 
 
   
 
 (1. 41) 
Portanto, 
110
2
1  txER (1. 42) 
 Por outro lado se 1
2x
g  , teremos: 
 
Então o erro absoluto é dado por: 
xEA x x  (1. 43) 
ouseja 
.10 .10 .10 10e e t e e tx x x xEA f g f
     (1. 44) 
logo 
1 .10e tx xEA g
  (1. 45) 
como 1
2x
g  temos: 
110
2
e t
xEA
 (1. 46) 
 E o erro relativo é dado por: 
x
x
EA x xER
x x

  (1. 47) 
ou seja 
1
110.10 1 102
2.10 0,1.10
1 10
2 10
e te t e t
xx
x e e
x
e t
x e
gEAER
x x f
ER
 


 
      
 
 
   
 
 (1. 48) 
Portanto, 
1110
2
t
xER
  (1. 49) 
 
1.7.4 – Exemplo - 4 
 Sendo t = 4 base 10 e sendo dados x = 0,937.104 e y = 0,1272.102, obter (x + y) e 
xy, usando truncamento e arredondamento: 
 
Solução: 
a) 
444 10.938272,010.001272,010.937,0  yx (1. 50) 
Como t = 4, o resultado arredondado é: 
40,9383.10x y  (1. 51) 
O resultado truncado é: 
40,9382.10x y  (1. 52) 
b) 
624 10.1191864,010.1272,0.10.937,0. yx (1. 53) 
Como t = 4, o resultado arredondado é: 
6. 0,1192.10x y  (1. 54) 
O resultado truncado é: 
6. 0,1191.10x y  (1. 55) 
Conclusão: 
 Ainda que as parcelas ou fatores em uma expressão estejam representados 
exatamente no sistema, não se pode esperar que o resultado da equação seja exato. 
1. 8 – Erro absoluto e Erro relativo nas Operações Aritméticas 
com Erros na representação das Parcelas ou Fatores 
 Dada uma seqüência de operações é importante a noção de como o erro se 
propaga em uma operação ao longo das operações subseqüentes. 
 O erro total em uma operação é composto pelo erro das parcelas ou “features” e 
pelo erro no resultado da operação. 
 Sejam x e y tais que: 
xEAxx  (1. 56) 
e 
 
yEAyy  (1. 57) 
1.8.1 – Adição 
 O erro absoluto é dado por: 
)()(
)()(
yx
yx
EAEAyx
EAyEAxyx


 (1. 58) 
Ou 
yxEAyxyx  (1. 59) 
Onde yxyx EAEAEA  e o erro absoluto da soma. 
 O erro relativo é dado por: 
. . .
( ) ( )
x y y yx x
x y
EA EA EAEA EA x yER
x y x y x y x x y y x y

         
 (1. 60) 
logo 
. .x y
x y
x ER y ER
ER
x y



 (1. 61) 
1.8.2 - Subtração 
 Analogamente temos: 
)()(
)()(
yx
yx
EAEAyx
EAyEAxyx


 (1. 62) 
Ou 
yxEAyxyx  (1. 63) 
Onde yxyx EAEAEA  e o erro absoluto da soma. 
 O erro relativo é dado por: 
   
. .x y yxx y
EA EAEA x yER
x y x x y y x y

     
 (1. 64) 
 
logo 
. .x y
x y
x ER y ER
ER
x y



 (1. 65) 
1.8.3 – Multiplicação 
 O erro absoluto é dado por: 
. ( ).( )
( . ) ( )
x y
y x x y
x y x EA y EA
x y xEA yEA EA EA
   
   
 (1. 66) 
Admitindo que o produto x yEA EA pode ser desprezado temos: 
. ( . ) ( )y xx y x y xEA yEA   (1. 67) 
E, portanto xy y xEA xEA yEA  é o erro absoluto da soma. 
 O erro relativo é dado por: 
.
y x
xy
xEA yEA
ER
x y

 (1. 68) 
ou 
. .
. . .
xy
xy y x
EA x yER EA EA
x y x y x y
   (1. 69) 
Logo o erro relativo é: 
yx
xy
EAEAER
x y
  (1. 70) 
ou seja 
xy x yER ER ER  (1. 71) 
 
1.8.4 - Divisão 


















y
EAy
EAx
EAy
EAx
y
x
y
x
y
x
1
1 (1. 72) 
Expandindo 
1
1








y
EAy em Série e desprezando-se as potências maiores do que 1, 
encontra-se: 
y
EA
y
EA
y
y


1
1
1 
(1. 73) 
Então: 












y
EA
y
EAx
EAy
EAx
y
x yx
y
x 1 (1. 74) 
Que resulta em: 
2y
EAEAEAyEAxyx
y
EAy
y
EAx
y
x yxxyyx 




 





 
 (1. 75) 
 Desprezando o produto dos erros absolutos 





 






 2y
EAxEAy
y
x
y
x yx (1. 76) 
E, portanto, 





 
 2/ y
EAxEAy
EA yxyx (1. 77) 
E 
 
/
/ 2/
x y x y
x y
EA yEA xEAyER
x y x y
 
    
 
 (1. 78) 
Logo 
2
/ 2 2
.
. .
yx
x y
y xEAy EAER
x y x y
  (1. 79) 
ficando 
/ .
yx
x y
EAEAER
x y
  (1. 80) 
Portanto, 
/x y x yER ER ER  (1. 81) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. 9 - Exemplos e Aplicações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. 10 - Exercícios e Problemas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo II 
ARITIMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE EM 
PROGRAMAÇÃO 
RESUMO 
 Neste capítulo será visto um breve histórico da evolução dos computadores. Um 
resumo da representação binária dos números, um estudo do funcionamento binário dos 
computadores e exemplos de aritmética de ponto flutuante. 
2. 1 - Objetivos do Capítulo 
 i) Adquirir uma rápida visão da evolução dos computadores durante as decadas 
 ii) Entender como funciona a aritmética de ponto flutuante 
 iii) Conhecer o funcionamento da representação dos números em um computador 
 iv) Entender a geração ea representação binária e decimal dos números 
2. 2 – Introdução 
 O computador deixou de ser um objeto privativo dos cientistas e entrou no dia a 
dia da sociedade. Porém poucos são os que verdadeiramente conhecem a sua evolução e seu 
funcionamento. Para o cientista e calculista de engenharia é imprescindível ter acesso a 
informações mais detalhadas sobre o funcionamento do cálculo nos computadores nos dias de 
hoje. Pois dessas informações dependem a qualidade dos seus cálculos. Um curso de Análise 
Numérica como este visa dar ao estudante uma rápida visão do funcionamento dos 
computadores e das máquinas de cálculo. O estudante deve adquirir através do entendimento 
 
do funcionamento do computador uma sensibilidade profissional para o estudo e análise dos 
erros cometidos nos cálculos numéricos utilizados em ciência e engenharia. 
2. 3 – História e Evolução dos Computadores 
 
2.3.1 - Máquinas Calculadoras Mecânicas 
 
1) Ábaco 
2) Pascalina 
3) Calculadora de Leibnitz 
4) Tear de Jacquard 
5) Máquina Diferencial de Babbage – que utilizava os cartões de Jacquard 
6) Máquina Analítica de Babbage – Pai do Computador 
2.3.2 - Inicio da Era da Computação – Eletromecânico 
1) Tabulador de Holleitz (1890) 
2) Mark I – (1944) Máquina Eletromecânica 
3) 
2.3.3 - Inicio da Era da Computação Eletrônica 
1) ENIAC (1942): Usava válvulas 
2) EDVAC (1944) 
3) EDSAC (1949) – 1º computador de programa armazenado operacional de grande escala 
 Válvula x Transistor 
4) UNIVAC – I: 1º computador comercial de sucesso 
5) IBM System/360 – modelos 40, 50, 65 e 75 
6) PDP-8 (1965): 1º minicomputador comercial, PDP 10, PDP 11 
7) Cray – I (1976) 1º supercomputador 
8) Micromputadores: Apple IIc Plus, Xerox Alto 
9) IBM/PC: Computador Pessoal 
 
 
 
2. 4 – Representação Binária de Números 
 Vamos a partir de agora descrever resumidamente o funcionamento da 
representação dos números em um computador. 
2.4.1 - Esquema de um Computador 
 
 Figura - 1. 4. Representação Esquemática de um Computador 
 
2.4.2 - Base Numéricas 
Base 10: (2.310)d = 2 x 103 + 3 x 102 + 1 x 101 + 0 x 100 (2. 1) 
 
Base 2: (10011)b = 1 x 24 + 0 x 23 + 0 x22 + 1 x 21 + 1 x 20 = (19)d (2. 2) 
 
2.4.3 - Sistema Binário 
 O sistema binário requer mais dígitos que o sistema decimal, porque só possui 
dois algarismo o zero e o um (0 ou 1). 
 
 Figura - 1. 5. Representação Esquemática de um Computador 
 
 Palavra de Dados – PD: 
1) Valor Máximo: 240000 1111
0 15


 (2. 3) 
 
2) Valor Máximo: 28 
 
 
 
00000000 11111111
0 255


 (2. 4) 
 
3) Valor Máximo: 216 
 
 
 
0000000000000000 1111111111111111
0 65535


 (2. 5) 
 
4) Valor Máximo: 232 
 
 
 
00000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111
0 4294967295


 
(2. 6) 
 
5) 264 
 
00000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111
0 ...
 
 
 

 
(2. 7) 
.... 
 O Windows Vista é o 1º Sistema Operacional que pretende usar toda a 
capacidade. 
2.4.4 - Exemplos de Representação de Números 
 Considerando-se palavras de 32 bits temos: 
 Complemento a dois para sinais 
0000.0000...0000 = 0d (2. 8) 
 
0000.0000...0001 = 1d (2. 9) 
 
0111.1111...1111b = 2.147.483.647 (2. 10) 
 
1000. 0000...1111b = -2.147.483.647 (2. 11) 
 
1111.1111...1111b = -1d (2. 12) 
 
       31 30 1 02 2 ... 2 2        (2. 13) 
 
2.4.5 - Transformação de um Valor Positivo em um Numero Negativo 
 
2d = 0010b (2. 14) 
Ida 
 
 Inverte o número e soma com o número 0001: 
2 0010 ( )
1101 ( )
1
2 1110
d b inverte
b soma
d


 
 (2. 15) 
ou 
-2d = 1101 + 0001 = 1110 = -2d (2. 16) 
Volta 
 Soma 0001 com 1 
0001 + 1 = 0010b = +2d (2. 17) 
 
2.4.6 - Aritmética Binária 
 
1) Soma 
 
6d + 7d = 13d (2. 18) 
 
00000111 7
00000110 6
00001110 13
d
d
d

 

 (2. 19) 
 
2) Subtração 
 
7d – 6d = (2. 20) 
* BYTE DE CARRY QUE CARREGA O (1) 
 
 
 
 
 
2. 5 – Representação Normalizada 
2043 = 2,043 x 103 
 = 20,43 x 102 
 = 0,2043 x 104 
(2. 21) 
 

1, 2
Alcance
YYYY
Precisão
XXXXX   (2. 22) 
 O padrão IEEE 754 padroniza os pontos flutuantes da seguinte forma: 
 
 Figura - 1. 6. 
 Máquinas de precisão com dois tipos de representação de ponto flutuante. 
1) Precisão Simples 
 6 dígitos de precisão  37 expoentes 
2) Precisão Dupla 
 15 dígitos de precisão  307 expoentes 
 
(2. 23) 
Erro 255 0,0Ex fração   
 
 
 
 
 
 
2. 6 – Programação em FORTRAN 
 
INTEGER : KNDI 
KNDI = SELECTED_INT_KIND (r) – você declara o que você quer e fica como precisão padrão 
(r = 50) 
 
REAL : KNDR 
KNDR = SELECTEC_REAL_KIND([p][r]) – precisão , alcance 
SELECTED_INT_KIND([p][r]) 
(p = 15 r = 100) - Retorna o número inteiro referente ao KIND ( “tipo”que diz qual o número o processador 
usa para identificar simples ou dupla precisão) 
 
INTEGER 
TYPE 
REAL*8 
REAL(KIND = KND) 
 
A = 2.0 * B 
A = 2.0_KND * B – garante o número digitado ganhe a precisão que você quer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 7 – Exemplos e Aplicações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 8 – Exercícios e Problemas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo III 
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES 
RESUMO 
 
 
 
 
3. 1 -Objetivos do Capítulo 
 
 
 
 
 
 
3. 2 - Introdução 
 
 
 
 
 
 
 
3. 3 – Resolução de Sistemas Lineares 
 Os métodos numéricos para a resolução de um sistema linear podem ser divididos 
em métodos diretos e métodos iterativos. 
 Métodos Diretos são aqueles que fornecem a solução exata do sistema linear, 
quando ela existe, após um número finito de operações. 
 Métodos Iterativos são aqueles que, partindo de uma aproximação inicial, por 
exemplo, (0)
~
x , geram uma seqüência de ( )
~
kx que converge para a solução do problema, caso 
ela exista, sob certas condições. 
3. 4 – Métodos Iterativos 
 Idéia central: Generalização do Método do Ponto Fixo 
 Assim, o sistema 
~ ~ ~
A x b onde 
~
A é a matriz dos coeficientes, 
~
x é o vetor das 
incógnitas e 
~
b é o vetor independente, pode ser convertido em um sistema do tipo: 
~ ~ ~ ~ ~
( )x C x g x   (3. 1) 
onde a matriz 
~
C tem a mesma dimensão de 
~
A e o vetor 
~
g tem a mesma dimensão de 
~
b . O 
vetor 
~
( )x é a função de iteração. 
3.4.1 - Esquema Iterativo 
 Dada uma aproximação inicial (0)
~
x : 
1ª Aproximação 
(1) (0) (0)
~ ~ ~ ~ ~
( )x C x g x   (3. 2) 
2ª Aproximação 
(2) (1)
~ ~ ~ ~
x C x g  (3. 3) 
.... 
K- ésima aproximação 
 
( ) ( 1)
~ ~ ~ ~
k kx C x g  (3. 4) 
Se a seqüência de aproximações (0) (1) ( )
~ ~ ~
, ,...., kx x x converge para a solução do problema, seja 
1
~~ ~
A b  (3. 5) 
então, 
( )
~ ~lim
k
k
x 

 (3. 6) 
e 
~ ~ ~ ~
C g   (3. 7) 
3.4.2 - Critério de Parada do Processo Iterativo 
 O processo iterativo é repetido até que o vetor ( )
~
kx esteja suficientemente 
próximo do vetor ( 1)
~
kx  ou que o número máximo de iterações tenha sido ultrapassado. 
 Para uma precisão  , o vetor ( )
~
kx é considerado solução aproximada do 
problema se: 
( ) ( ) ( 1)
1
max | |k k ki ii n
d x x 
 
   (3. 8) 
 Adotando como critério de parada o erro relativo, pode-se escrever: 
( ) ( ) ( 1)
1
max | |k k ki ii n
d x x 
 
   (3. 9) 
3.4.3 - Utilização dos métodos iterativos 
 Quando a matriz 
~
A for esparsa (isto é, apresentar grande numero de elementos 
nulos). Os Métodos Iterativos utilizam apenas elementos da matriz original, enquanto que o 
Método da Eliminação de Gauss, não preserva esparsidade, isto é, durante o processo de 
eliminação de muitos elementos nulos podem se tornar não nulos. 
 
3. 5 – Método de Gauss-Jacobi 
 Considerando o sistema: 
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
  
   


   

 (3. 10) 
E admitindo que 0, 1, 2,..,iia i n  , o vetor 
~
x é isolado mediante a separação pela diagonal: 
1 1 12 2 1
11
1 ( ... )n nx b a x a xa
    (3. 11) 
e 
2 2 21 1 2
22
1 ( ... )n nx b a x a xa
    (3. 12) 
e 
1 1 1 1
1 ( ... )n n n n n n
nn
x b a x a x
a  
   

 (3. 13) 
Em forma matricial temos: 
~ ~ ~ ~
x C x g  (3. 14) 
onde 
13 112
11 11 11
23 221
22 22 22
31 32 3~
33 33 33
1 2 3
0
0
0...
: : : ... :
... 0
n
n
n
n n n
nn nn nn
a aa
a a a
a aa
a a a
C a a a
a a a
a a a
a a a
  
 
 
  
 
 
   
 
 
 
 
   
  


 (3. 15) 
com 
 
1
11
2
22
~
n
nn
b
a
b
ag
b
a
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 

 (3. 16) 
assim a relação recursiva do método é dado pela seguinte formula. 
( 1) ( )
~ ~ ~ ~
k kx C x g   (3. 17) 
3.5.1 - Exemplo 
 Resolver o sistema 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
10 2 7
5 8
2 3 10 6
x x x
x x x
x x x
  

   
   
 (3. 18) 
pelo Método de Gauss-Jacobi com 0,05  e usando 
(0)
~
7
10
8
5
6
10
x
 
 
  
 
 
  
 (3. 19) 
 Para o processo iterativo tem-se: 
( 1) ( ) ( )
1 2 3
( 1) ( ) ( )
2 1 3
( 1) ( ) ( )
23 1
0,2 0,1 0,7
0,2 0,2 1,6
0,2 0,3 0,6
k k k
k k k
k k k
x x x
x x x
x x x


    

   
    
 (3. 20) 
Ou 
( 1) ( )
1 1
( 1) ( )
2 2
( 1) ( )
3 3
0 0, 2 0,1 0,7
0,2 0 0,2 1,6
0,2 0,3 0 0,6
k k
k k
k k
x x
x x
x x



       
                
              
 (3. 21) 
 Para k = 0 tem-se: 
 
(1) (0)
~ ~ ~ ~
0,96
1,86
0,94
x C x g
 
 
    
 
 
 (3. 22) 
3.5.2 - Verificação da convergência: 
(1) (0)
1 1
~ ~
(1) (0)
2 2
~ ~
(1) (0)
3 3
~ ~
| | 0, 26
| | 0,26
| | 0,34
x x
x x
x x
  

 

  

 (3. 23) 
onde 
(1) (0)
(1) 1
(1)
1,2,3
max 0,34 0,1828
1,86max
i ii n
k
ii
x x
d
x
 


    (3. 24) 
Fazemos os outros e como está maior que o erro, continuamos o procedimento 
 Para k = 1 tem-se: 
(2) (1)
~ ~ ~ ~
0,978
1,98
0,966
x C x g
 
 
    
 
 
 (3. 25) 
onde 
(2) (1)
(2) 1
(2)
1,2,3
max 0,12 0,0606
1,98max
i ii n
k
ii
x x
d
x
 


    (3. 26) 
Veja que o valor x(2) tem dk(2) > erro 
 Para k = 2 tem-se: 
(3) (2)
~ ~ ~ ~
0,9994
1,9888
0,9984
x C x g
 
 
    
 
 
 (3. 27) 
onde 
 
(3) (2)
(3) 1
(3)
1,2,3
max 0,0324 0,0163
1,9888max
i ii n
k
ii
x x
d
x
 


    (3. 28) 
O valor x(3) tem dk(3) < erro, logo a solução aproximada do problema é: 
(3)
~
0,9994
1,9888
0,9984
x
 
 
  
 
 
 (3. 29) 
 
3.5.1 - Convergência do método 
 Uma condição suficiente para a convergência do Método Iterativo de Gauss-
Jacobi é dada pelo “critério das linhas”: 
 Dado o sistema linear 
~ ~ ~
A x b (3. 30) 
Seja 
1
| |
| |
n
kj
k
j kk
j k
a
a



 (3. 31) 
se 
1
max 1kk n
 
 
  (3. 32) 
então, o método de Gauss-Jacobi gera uma seqüência ( )
~
kx convergente para a solução do 
sistema dado, independentemente da escolha da aproximação inicial (0)
~
x . 
 Para a matriz 
~
A do exemplo : 
 
1
2 3
3
2 1 0,3
10 10
1 1 0,4 0,5 1
5 10
2 3 0,5
10 10

  

   


     


  
 (3. 33) 
logo, o método é convergente 
3. 6 – Método de Gauss-Seidel 
 Considere o sistema 
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
  
   


   

 (3. 34) 
 Do mesmo modo que no Método Gauss-Jacobi, no Método de Gauss-Seidel o 
sistema 
~ ~ ~
A x b também é escrito na forma 
( ) ( 1)
~ ~ ~ ~ ~
( )k kx C x g x   (3. 35) 
por separação da diagonal. 
3.6.1 - O Processo Iterativo 
 Dada a aproximação inicial (0)
~
x , as demais são calculadas considerando o novo 
sistema: 
 
 
 
( 1) ( ) ( ) ( )
1 1 12 2 13 3 1
11
( 1) ( 1) ( ) ( )
2 2 21 1 23 3 2
22
( 1) ( 1) ( 1) ( )
3 3 31 1 32 2 3
33
( 1) ( 1) ( 1) ( 1
1 1 1 2 2 ( 1) ( 1)
1 ...
1 ...
1 ...
:
1 ...
k k k k
n n
k k k k
n n
k k k k
n n
k k k k
n n n n n n
nn
x b a x a x a x
a
x b a x a x a x
a
x b a x a x a x
a
x b a x a x a x
a

 
  
   
 
    
    
    
     )
 (3. 36) 
 
E admitindo que 0, 1, 2,..,iia i n  , o vetor 
~
x é isolado mediante a separação pela diagonal: 
1 2
( 1) ( ) ( )
1 12 1
11
1 ( ... )k k kn nx b a x a xa
     
2 1
( 1) ( 1) ( ) ( )
2 21 3 3 2
22
1 ( ... )k k k kn n nx b a x a x a xa
      
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
3 31 1 32 2 3 ( 1)
1 ( ... )k k k kn n n
nn
x b a x a x a x
a
   
     
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 2 2 1 ( 1)
1 ( ... )k k k kn n n n n n n
nn
x b a x a x a x
a
   
     

 
(3. 37) 
 Portanto, no cálculo de ( 1)kjx
 são utilizados os ( 1) , 1,2,3,...,( 1)kix i j
   já 
calculados e os valores ( ) , ( 1),...,kmx m j n  restantes. 
 Para a representação matricial do esquema, a matriz 
~
A é escrita com 
~ ~ ~ ~
A L D R   (3. 38) 
onde: 
~
L é uma matriz triangular inferior com diagonal nula, 
~
D é uma matriz diagonal com 0, 1, 2,...,iid i n  
~
R é uma matriz triangular superior com diagonal nula, 
11 12 1
21 22 2
~ ~ ~
1 2
0 0 ... 0 0 ... 0 0 ...
0 ... 0 0 ... 0 0 0 ...
; ;
: : : .. 0 : : : .. 0 : : : .. :
... 0 0 0 ... 0 0 ... 0
n
n
n n nn
a a a
a a a
L D R
a a a
     
     
       
     
     
    
 
(3. 39) 
 Então 
~ ~ ~
A x b (3. 40) 
substituindo pela expressão 
~ ~ ~ ~
A L D R   temos 
 
 ~ ~ ~ ~ ~
~ ~ ~ ~
1 1 1
~ ~ ~ ~
L D R x b
Dx b Lx Rx
x D b D Lx D Rx  
  
  
  
 (3. 41) 
Para o processo iterativo vale: 
( 1) 1 1 ( 1) 1 ( )
~ ~ ~ ~
k k kx D b D Lx D Rx       (3. 42) 
 A expressão: 
( 1) ( )
~ ~ ~ ~
k kx C x g   (3. 43) 
é obtida da equação (3. 42), agrupando as matrizes que multiplicam ( 1)
~
kx  da seguinte forma: 
1 ( 1) 1 ( ) 1
~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~
k kD L I x D R x D b        
 
 (3. 44) 
 Resolvendo para x(k+1) temos: 
1 1
( 1) 1 1 ( ) 1 1
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~
k kx D L I D R x D L I D b
 
              
   
 (3. 45) 
Chamando 
1
1 1
~ ~ ~ ~ ~~
C D L I D R

     
 
 (3. 46) 
e 
1
1 1
~ ~ ~ ~ ~~
g D L I D b

    
 
 (3. 47) 
obtém-se 
( 1) ( )
~ ~ ~ ~
k kx C x g   (3. 48) 
 
 
3.6.1 - Exemplo 
 Resolver o sistema 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
5 5
3 4 6
3 3 6 0
x x x
x x x
x x x
  

  
   
 (3. 49) 
Utilizando o método de Gauss-Seidel com 
(0)
~
0
0
0
x
 
   
  
 (3. 50) 
e  =0,05 
3.6.2 - Solução 
 A matriz do sistema linear: 
~ ~ ~
A x b (3. 51) 
é: 
1
2
3
5 1 1 5
3 4 1 6
3 3 6 0
x
x
x
     
          
         
 (3. 52) 
rasgando as matrizes temos: 
~ ~ ~
0 0 0 5 0 0 0 1 1
3 0 0 ; 0 4 0 : 0 0 1
3 3 0 0 0 6 0 0 0
L D R
     
            
     
     
 (3. 53) 
onde 
1
~
1 0 0
5
10 0
4
10 0
6
D
 
 
 
   
 
  
 
 (3. 54) 
Logo 
 
 
1
1 1
~ ~ ~ ~ ~~
1
1 10 0 0 0
5 50 0 0 1 0 0 0 1 1
1 10 0 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
4 4
3 3 0 0 0 1 0 0 01 10 0 0 0
6 6
C D L I D R

 

   
    
    
         
                  
              
            
 (3. 55) 
ou 
  11 1~ ~ ~ ~ ~~
1
1 0 0
50 0 0 1 0 0 0 1 1
13/ 4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
4
3/ 6 3/ 6 0 0 0 1 0 0 010 0
6
C D L I D R

 

   
 
 
       
              
              
  
 
 (3. 56) 
E 
  11 1~ ~ ~ ~ ~~
1
1 0 0
51 0 0 0 1 1
13/ 4 1 0 0 0 0 0 1
4
3/ 6 3/ 6 1 0 0 010 0
6
C D L I D R

 

   
 
 
    
    
    
       
  
 
 (3. 57) 
Como 
1
1 0 0
0 0
10 0
1
aa
dd b
ab b
f e c de bf e
abc bc c

 
 
   
      
       
  
 (3. 58) 
temos: 
 
 
 
1
1 1
~ ~ ~ ~ ~~
1 0 0
51 0 0 0 1 1
13/ 4 1 0 0 0 0 0 1
4
3/ 4 3/ 6 3/ 6 3/ 6 1 0 0 010 0
6
C D L I D R

 