Cap.-9-Funcao-Geratriz-de-Momentos

Prévia do material em texto

1
EST029 – Cálculo de Probabilidade I
Cap. 9 – Função Geratriz de 
Momentos
Prof. Clécio da Silva Ferreira
Depto Estatística - UFJF
2
Função Geradora de Momentos
Utilidade:
Vimos que podemos definir uma variável
aleatória a partir de sua função densidade de
probabilidade (ou função de probabilidade, no
caso discreto) ou por sua função de
distribuição acumulada.
A função geratriz de momentos (fgm) é outra
forma de identificarmos uma variável aleatória
(v.a.). Isto é, uma v.a. possui uma única fgm.
Por outro lado, uma fgm corresponde a uma
única v.a.
A fgm possui várias propriedades.
3
Definições de Momentos
Momento não-centrado:
Seja X uma variável aleatória e r≥0 um número
inteiro. Dizemos que X tem um momento não
centrado de ordem r se Xr tem esperança finita.
Assim definimos o r-ésimo momento de X como
E(Xr).
Momento centrado:
Seja X uma v.a. Então o r-ésimo momento
centrado de X, onde µ é a média de X, é definido
como E[(X- µ)r], caso exista.
Casos particulares:
 O momento não centrado de ordem 1 corresponde ao
valor esperado e o momento centrado de ordem 2
corresponde à variância.
4
Função Geratriz de Momentos - Definição
A Função Geratriz de Momentos MX(t) da
variável aleatória X é definida para todos os
valores de 𝒕 ∈ ℝ como
𝑴𝑿 𝐭 = 𝑬 𝒆
𝒕𝑿 =
 
𝒙
𝒆𝒕𝒙𝒑(𝒙) ,
𝒔𝒆 𝑿 é 𝒗. 𝒂. 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒓𝒆𝒕𝒂 𝒄𝒐𝒎 𝒇𝒖𝒏çã𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒑(𝒙)
 
−∞
∞
𝒆𝒕𝒙𝒇(𝒙) ,
𝒔𝒆 𝑿 é 𝒗. 𝒂. 𝒄𝒐𝒏𝒕í𝒏𝒖𝒂 𝒄𝒐𝒎 𝒇𝒖𝒏çã𝒐 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒏𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒇(𝒙)
Chama-se de Função Geratriz de Momentos
porque todos os momentos de X podem ser
obtidos pelo cálculo sucessivo da derivada de
MX(t) e avaliando esta em t=0. Veremos isto
mais adiante.
5
Exemplos
Mostre que:
Se X~Bernoulli(p), 𝑴𝑿 𝒕 = 𝒑𝒆
𝒕 + 𝟏 − 𝒑, 𝟎 ≤ 𝒑 ≤ 𝟏
Se X~Normal(0,1), 𝑴𝑿 𝒕 = 𝒆
 𝒕
𝟐
𝟐, 𝝁 ∈ ℝ, 𝝈 > 𝟎
Se X~Poisson(λ), 𝑴𝑿 𝒕 = 𝒆
𝝀(𝒆𝒕−𝟏), 𝝀 > 𝟎
Se X~exp(λ), 𝑴𝑿 𝒕 =
𝝀
𝝀−𝒕
, 𝝀 > 𝟎
Se X~Geométrica(p), 𝑴𝑿 𝒕 =
𝒑𝒆𝒕
𝟏−(𝟏−𝒑)𝒆𝒕
, 𝟎 ≤ 𝒑 ≤ 𝟏
Se X~Uniforme(a,b), 𝑴𝑿 𝒕 =
𝒆𝒕𝒃−𝒆𝒕𝒂
𝒕(𝒃−𝒂)
, 𝒂 < 𝒃
Se X~Gama(β,λ), 𝑴𝑿 𝒕 =
𝝀
𝝀−𝒕
𝜷
, 𝝀 > 𝟎, 𝜷 > 𝟎, 𝒕 < 𝝀
6
FGM e Momentos
 Série de Maclaurin: 𝒆𝒙 = 𝒌=𝟎
+∞ 𝒙
𝒌
𝒌!
(converge para
todo 𝒙 ∈ ℝ).
 Logo, 𝒆𝒕𝒙 = 𝒌=𝟎
+∞ (𝒕𝒙)
𝒌
𝒌!
 Portanto, 𝑴𝑿(𝒕) = 𝑬 𝒆
𝒕𝑿 = 𝑬 𝒌=𝟎
+∞ (𝒕𝑿)
𝒌
𝒌!
=
𝟏 + 𝒕𝑬(𝑿) +
𝒕𝟐
𝟐
𝑬(𝑿𝟐) +
𝒕𝟑
𝟑!
𝑬(𝑿𝟑) +
𝒕𝟒
𝟒!
𝑬(𝑿𝟒) + ⋯+
𝒕𝒏
𝒏!
𝑬(𝑿𝒏) + ⋯
 Portanto,
𝑴𝑿
′ 𝒕
= 𝑬(𝑿) + 𝒕𝑬(𝑿𝟐) +
𝒕𝟐
𝟐!
𝑬(𝑿𝟑) +
𝒕𝟑
𝟑!
𝑬(𝑿𝟒) + ⋯+
𝒕𝒏−𝟏
(𝒏 − 𝟏)!
𝑬(𝑿𝒏)
+ ⋯
𝑴𝑿
′ 𝟎 = 𝑬(𝑿)
7
FGM e Momentos – Resultado Geral
 O m-ésimo momento não-centrado de uma v.a. X é dado pela
derivada de ordemm de𝑴𝑿(𝒕) aplicada em t=0. Isto é,
 𝑬 𝑿𝒎 = 𝑴𝑿
(𝒎)
𝟎
 Em particular, 𝑬 𝑿 = 𝑴𝑿
′ 𝟎 e 𝑬 𝑿𝟐 = 𝑴𝑿
′′ 𝟎 .
 Sejam 𝝁𝒊 = 𝑬 𝑿
𝒊 . Logo, 𝑴𝑿 𝒕 = 𝟏 + 𝒊=𝟏
+∞ 𝝁𝒊𝒕
𝒊
𝒊!
 Exemplos: Calcule E(X) e V(X) pela fgm de
X~Bernoulli(p) e X~N(0,1).
8
Mais propriedades da fgm
1. Combinação linear de uma v.a.: Seja X uma
variável aleatória com f.g.m MX e seja
Y=aX+b. Então a f.g.m de Y (MY) é dada por
MY(t)= e
btMX(at).
Exemplo: Se Z~N(0,1) e X=μ+σZ ~N(μ, σ2).
2. Sejam as variáveis aleatórias X e Y com f.g.m
MY(t) e MX(t). Se MY(t)=MX(t) para todo t,
então X e Y têm a mesma distribuição de
probabilidade.
3. Soma de n v.a’s independentes: Se X1, X2, ...,
Xn são v.a. independentes, a fgm de 𝒁 = 𝒊=𝟏
𝒏 𝑿𝒊
é dada por MZ(t)=𝑴𝑿𝟏 𝒕 ∗ ⋯∗ 𝑴𝑿𝒏 𝒕 = 𝒊=𝟏
𝒏 𝑴𝑿𝒊 𝒕 .
9
Exemplos
Utilizando a propriedade 3, mostre que:
Se X~Binomial(n,p), 𝑴𝑿 𝒕 = (𝒑𝒆
𝒕 + 𝟏 − 𝒑)𝒏, 𝟎 ≤ 𝒑 ≤ 𝟏
Se X~Gama(n,λ), 𝑴𝑿 𝒕 =
𝝀
𝝀−𝒕
𝒏
, 𝝀 > 𝟎, 𝒏 ∈ ℤ∗, 𝒕 < 𝝀
Se X~Binomial Negativa(n,p), 
𝑴𝑿 𝒕 =
𝒑𝒆𝒕
𝟏 − (𝟏 − 𝒑)𝒆𝒕
𝒏
, 𝟎 ≤ 𝒑 ≤ 𝟏
Somas de variáveis independentes:
Se Xi~Poisson(λi), i=1,...,n, então 
𝒁 = 𝒊=𝟏
𝒏 𝑿𝒊 ~Poisson( 𝒊=𝟏
𝒏 𝝀𝒊).
Se Xi~ 𝝌𝝂𝒊
𝟐 , i=1,...,n, então 𝒁 = 𝒊=𝟏
𝒏 𝑿𝒊 ~𝝌𝜶
𝟐 , 𝜶 =
 𝒊=𝟏
𝒏 𝝂𝒊.
Se Xi~𝑵(𝝁𝒊, 𝝈𝒊
𝟐), i=1,...,n, então 𝒁 = 𝒊=𝟏
𝒏 𝑿𝒊~𝑵 𝝁𝒔, 𝝈𝒔
𝟐 ,
𝝁𝒔 = 𝒊=𝟏
𝒏 𝝁𝒊 𝐞 𝝈𝒔
𝟐 = 𝒊=𝟏
𝒏 𝝈𝒊
𝟐.