AULA 2 - Circuitos de Segunda Ordem

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ANÁLISE DE CIRCUITOS 
ELÉTRICOS 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Priscila Ertmann Bolzan 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Olá! Vamos começar os estudos de circuitos de segunda ordem! 
São considerados circuitos de segunda ordem aqueles circuitos que 
possuem dois elementos que armazenam energia, porque são descritos com 
equações diferenciais de segunda ordem. O principal exemplo de circuitos assim 
são os RLC (circuitos com resistores, indutores e capacitores). Mas, além de 
circuitos com dois tipos deferentes de elementos armazenadores de energia, são 
considerados circuitos de segunda ordem aqueles com dois elementos do 
mesmo tipo (dois capacitores, por exemplo), caso eles não possam ser 
simplificados para um capacitor equivalente. 
Exemplos de circuitos de segunda ordem são apresentados na Figura 1 e 
na Figura 2. 
Figura 1 – Exemplo de circuitos de segunda ordem: RLC 
 
Fonte: adaptado de Alexander; Sadiku, 2013. 
Figura 2 – Exemplo de circuitos de segunda ordem: RL com dois indutores 
 
Fonte: adaptado de Alexander; Sadiku, 2013. 
TEMA 1 – VALORES INICIAIS E FINAIS 
A fim de facilitar as análises dos circuitos RLC na sequência desta aula, 
primeiramente são estudados os valores de tensão e corrente nos elementos. 
Os valores que devem ser analisados são: tensão inicial 𝑣(0), corrente inicial 𝑖(0), 
 
 
3 
derivada de tensão 𝑑𝑣/𝑑𝑡, derivada de corrente 𝑑𝑖/𝑑𝑡, tensão final 𝑣(∞) e corrente 
final 𝑖(∞). 
 É válido lembrar que capacitores são elementos com inércia à variação 
de tensão, por isso a tensão no capacitor no instante antes de um evento de 
chaveamento e logo após o evento será a mesma, conforme mostrado em (1), 
considerando que o chaveamento acontece em 𝑡 = 0. 
 𝑣(0−) = 𝑣(0+) (1) 
No caso da corrente no indutor, segue-se o mesmo princípio, conforme 
apresentado em (2). 
 𝑖(0−) = 𝑖(0+) (2) 
Para as análises de valor inicial e de valor final, é considerado que os 
capacitores e os indutores já estão carregados e/ou descarregados, portanto, o 
capacitor pode ser substituído por um circuito aberto e o indutor por um curto-
circuito, conforme mostrado na Figura 3. 
Figura 3 – Comportamento em regime permanente para (a) capacitor e (b) 
indutor 
 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
Para as análises das derivadas, no caso do capacitor será utilizada a 
equação de corrente no capacitor, conforme mostrado em (3), que pode ser 
reescrita conforme (4). 
 
𝑖𝐶(𝑡) = 𝐶 ∙
𝑑𝑣𝐶(𝑡)
𝑑𝑡
 (3) 
 𝑑𝑣𝐶(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑖𝐶(𝑡)
𝐶
 (4) 
No caso dos indutores, será utilizada a equação de tensão no indutor, 
conforme mostrado em (5) e que pode ser reescrita como em (6). 
 
 
4 
 
𝑣𝐿(𝑡) = 𝐿 ∙
𝑑𝑖𝐿(𝑡)
𝑑𝑡
 (5) 
 𝑑𝑖𝐿(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑣𝐿(𝑡)
𝐿
 (6) 
A fim de exemplificar como são feitos os cálculos para encontrar todas 
essas variáveis, observe o exemplo 1 mostrado na Figura 4, em que o interruptor 
fecha em 𝑡 = 0. 
Figura 4 – Exemplo 1: valores iniciais, finais e derivadas 
 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
Para se encontrar os valores iniciais, considera-se que o circuito se 
encontra com o interruptor aberto há muito tempo, a ponto de que os 
componentes já entraram em regime permanente, o capacitor já está carregado 
e a corrente no indutor já está em seu valor final. Assim, o circuito da Figura 4 
pode ser redesenhado para o mostrado na Figura 5. 
Figura 5 – Exemplo 1: equivalente do circuito para os valores iniciais 
 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
𝒕 = 𝟎 
𝒊(𝒕) 
𝒗(𝒕) 
+ 
− 
𝒊(𝒕) 
𝒗(𝒕) 
+ 
− 
 
 
5 
Uma vez que o capacitor se comporta como um circuito aberto, a corrente 
no indutor será definida apenas pelos resistores de 5 Ω e 10 Ω, ou seja, pode-se 
fazer o cálculo conforme demonstrado em (7). 
 
𝑖(0−) =
30
5 + 10
= 2 𝐴 (7) 
A tensão no capacitor pode ser calculada pela Lei das Tensões de 
Kirchhoff, em que se vê que a tensão no capacitor é a mesma tensão do resistor 
de 10 Ω, conforme (8). 
 𝑣(0−) = 𝑅 ∙ 𝑖 = 10 ∙ 2 = 20 𝑉 (8) 
Conforme estudado, a corrente no indutor e a tensão no capacitor não 
variam instantaneamente, portanto tem-se (9) e (10). 
 𝑖(0+) = 𝑖(0−) = 2 𝐴 (9) 
 𝑣(0+) = 𝑣(0−) = 20 𝑉 (10) 
No momento 𝑡 = 0+, o interruptor será fechado, como no circuito 
equivalente da Figura 6. Observe que o resistor de 10 Ω não aparece mais no 
circuito, pois não faria diferença, uma vez que estaria em paralelo com o curto-
circuito provocado pelo interruptor fechado. 
Figura 6 – Exemplo 1: equivalente do circuito para as derivadas 
 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
Assim, a derivada de tensão pode ser obtida conforme é mostrado em 
(11). 
 𝑑𝑣(0+)
𝑑𝑡
=
𝑖𝐶(0
+)
𝐶
=
20/15
10 ∙ 10−3
= 133,33 𝑉/𝑠 (11) 
Enquanto a derivada da corrente segue o mesmo raciocínio, conforme 
(12). 
 𝑑𝑖(0+)
𝑑𝑡
=
𝑣𝐿(0
+)
𝐿
=
20
2
= 10 𝐴/𝑠 (12) 
𝒗(𝒕) 
+ 
− 
 
 
6 
Para o tempo tendendo ao infinito, o circuito equivalente é mostrado na 
Figura 7. O indutor se comporta como um curto-circuito, enquanto o capacitor se 
comporta como um circuito aberto. 
Figura 7 – Exemplo 1: equivalente do circuito para os valores finais 
 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
A corrente no indutor para o tempo tendendo a infinito pode ser calculada 
conforme (13). 
 
𝑖(∞) =
30
5
= 6 𝐴 (13) 
E a tensão no capacitor, por estar em paralelo com um curto-circuito, será 
de 0 V, como mostrado em (14). 
 𝑣(∞) = 0 𝑉 (14) 
TEMA 2 – CIRCUITO RLC SÉRIE SEM FONTE 
Os circuitos RLC possuem uma resposta característica descrita por uma 
equação de segundo grau. Neste tema serão estudadas as equações que 
descrevem o comportamento desses circuitos. 
Um circuito RLC série sem fonte pode ser visto na Figura 8. 
𝒗(𝒕) 
+ 
− 
 
 
7 
Figura 8 – Circuito RLC série sem fonte 
 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
Observe que o indutor possui uma corrente inicial 𝑖(0) = 𝐼0 e o capacitor 
possui uma tensão inicial 𝑣(0) = 𝑉0. 
Utilizando-se da Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK) na malha, a equação 
ficará como em (15). 
 
𝑅 ∙ 𝑖 + 𝐿 ∙
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
1
𝐶
∙ ∫ 𝑖 𝑑𝑡
𝑡
−∞
= 0 (15) 
Na qual R é a resistência, L é a indutância e C é a capacitância. A fim de 
não trabalhar com a integral, aplicou-se uma derivada dos dois lados da equação 
e, a fim de simplificação, dividiram-se todos os termos por L, resultando em (16). 
 𝑑2𝑖
𝑑𝑡2
+
𝑅
𝐿
∙
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
𝑖
𝐿 ∙ 𝐶
= 0 (16) 
A corrente inicial é conhecida e é dada pela corrente inicial do indutor 𝐼0. 
Para descobrir a derivada da corrente no tempo 𝑡 = 0, pode-se utilizar (15), 
conforme mostrado em (17). 
 
𝑅 ∙ 𝑖(0) + 𝐿 ∙
𝑑𝑖(0)
𝑑𝑡
+ 𝑉0 = 0 (17) 
Ou, isolando a derivada, tem-se (18). 
 𝑑𝑖(0)
𝑑𝑡
= −
1
𝐿
∙ (𝑅. 𝐼0 + 𝑉0) (18) 
Sabendo-se que circuitos de primeira ordem possuem uma resposta 
exponencial (conforme apresentado na Aula 1), tem-se (19). 
 𝑖 = 𝐴 ∙ 𝑒𝑠∙𝑡 (19) 
Assim, por substituição de (19) em (16), tem-se (20). 
 
𝐴 ∙ 𝑠2 ∙ 𝑒𝑠∙𝑡 +
𝐴 ∙ 𝑅
𝐿
∙ 𝑠 ∙ 𝑒𝑠∙𝑡 +
𝐴
𝐿 ∙ 𝐶
∙ 𝑒𝑠∙𝑡 = 0 (20) 
Reorganizando-se os termos, conclui-se o mostrado em (21). 
 
𝐴 ∙ 𝑒𝑠∙𝑡 ∙ (𝑠2 +
𝑅
𝐿
∙ 𝑠 +
1
𝐿 ∙ 𝐶
) = 0 (21) 
Partindo do princípio de que 𝐴 ∙ 𝑒𝑠∙𝑡 não pode ser zero, então se tem (22). 
𝑽𝟎 
+ 
− 
𝑰𝟎 
𝒊(𝒕) 
 
 
8 
 
(𝑠2 +
𝑅
𝐿
∙ 𝑠 +
1
𝐿 ∙ 𝐶
) = 0 (22) 
A partir dessa equação, pode-se calcular as raízes de s, conforme 
apresentado em (23) e (24). 
 
𝑠1 = −
𝑅
2 ∙ 𝐿
+ √(
𝑅
2 ∙ 𝐿
)
2
−
1
𝐿 ∙ 𝐶
 (23) 
 
𝑠2 = −
𝑅
2 ∙ 𝐿
− √(
𝑅
2 ∙ 𝐿
)
2
−
1
𝐿 ∙ 𝐶
 (24) 
Pode-se compactar (23) e (24) na forma de (25) e (26), respectivamente. 
 𝑠1 = −𝛼 + √𝛼
2 − 𝜔0
2 (25) 
 𝑠2 = −𝛼 − √𝛼
2 − 𝜔0
2 (26) 
sendo que as novas variáveis são descritas por (27) e (28), em que 𝛼 é o fator 
de amortecimento do circuito enquanto 𝜔0 é a frequência de amortecimento. 
 
𝛼 =
𝑅
2 ∙ 𝐿
 (27) 
 
𝜔0 =
1
√𝐿 ∙ 𝐶
 (28) 
As raízes 𝑠1 e 𝑠2 são asfrequências naturais do circuito. A equação (22) 
pode ser reescrita como (29). 
 𝑠2 + 2 ∙ 𝛼 ∙ 𝑠 + 𝜔0
2 = 0 (29) 
Sabendo-se que a equação (29) possui duas raízes, existem duas 
respostas para o circuito, conforme mostrado em (30) 
 𝑖1 = 𝐴1 ∙ 𝑒
𝑠1∙𝑡 𝑖2 = 𝐴2 ∙ 𝑒
𝑠2∙𝑡 (30) 
Assim, a resposta completa para o circuito RLC será conforme mostrado em 
(31). 
 𝑖(𝑡) = 𝐴1 ∙ 𝑒
𝑠1∙𝑡 + 𝐴2 ∙ 𝑒
𝑠2∙𝑡 (31) 
A partir dos parâmetros 𝛼 e 𝜔0, podem-se estabelecer três tipos de 
solução para o circuito: 
 Caso superamortecido (𝛼 > 𝜔0); 
 Caso criticamente amortecido (𝛼 = 𝜔0); 
 Caso subamortecido (𝛼 < 𝜔0). 
Para melhor entender a diferença entre eles, a Figura 9 mostra como a 
corrente do circuito se comporta em cada um dos casos. 
 
 
9 
Figura 9 – Comportamento da corrente em um circuito RLC série (a) 
superamortecido; (b) criticamente amortecido; e (c) subamortecido 
 
 
(a) (b) (c) 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
Na sequência é mostrada a equação de corrente do circuito para cada um 
dos três casos. Para o circuito RLC série, o cálculo da corrente no indutor é o 
mais interessante, pois a corrente é a mesma em todos os componentes (uma 
vez que eles estão em série); assim, sabendo-se a corrente, é possível se 
determinar a tensão dos elementos com facilidade. 
2.1 Caso superamortecido (𝜶 > 𝝎𝟎) 
A equação que descreve a resposta da corrente para esse caso é vista em 
(32). 
 𝑖(𝑡) = 𝐴1 ∙ 𝑒
𝑠1∙𝑡 + 𝐴2 ∙ 𝑒
𝑠2∙𝑡 (32) 
O seu comportamento é mostrado na Figura 9 (a). 
2.2 Caso criticamente amortecido (𝜶 = 𝝎𝟎) 
A equação que descreve a resposta da corrente para esse caso é vista 
em (33). 
 𝑖(𝑡) = (𝐴1 + 𝐴2 ∙ 𝑡) ∙ 𝑒
−𝛼∙𝑡 (33) 
O seu comportamento é mostrado na Figura 9 Figura (b). 
2.3 Caso subamortecido (𝜶 < 𝝎𝟎) 
A equação que descreve a resposta da corrente para esse caso é vista 
em (34). 
 𝑖(𝑡) = 𝑒−𝛼∙𝑡 ∙ (𝐵1 ∙ cos 𝜔𝑑 ∙ 𝑡 + 𝐵2 ∙ sen 𝜔𝑑 ∙ 𝑡) (34) 
Em que 𝜔𝑑 é calculado em (35). 
 
 
10 
 𝜔𝑑 = √𝜔0
2 − 𝛼2 (35) 
O seu comportamento é mostrado na Figura 9Figura (c). 
TEMA 3 – CIRCUITO RLC PARALELO SEM FONTE 
Um circuito RLC paralelo sem fonte é apresentado na Figura 10, em que 
o indutor possui uma corrente inicial 𝑖(0) = 𝐼0 e o capacitor possui uma tensão 
inicial 𝑣(0) = 𝑉0. 
Figura 10 – Circuito RLC paralelo sem fonte 
 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
Da mesma maneira mostrada anteriormente, pode-se aplicar a Lei das 
Correntes de Kirchhoff (LCK) no nó superior, resultando em (36). 
 𝑣
𝑅
+
1
𝐿
∙ ∫ 𝑣 𝑑𝑡
𝑡
−∞
+ 𝐶 ∙
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 0 (36) 
Para se eliminar a integral, derivaram-se os dois lados da equação e 
dividiram-se todos os elementos por C, conforme mostrado em (37). 
 𝑑2𝑣
𝑑𝑡
+
1
𝑅 ∙ 𝐶
∙
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
1
𝐿 ∙ 𝐶
∙ 𝑣 = 0 (37) 
Da mesma forma que feito no circuito anterior, substituiu-se a segunda 
derivada por s² e a derivada por s, conforme mostrado em (38). 
 
𝑠2 +
1
𝑅 ∙ 𝐶
∙ 𝑠 +
1
𝐿 ∙ 𝐶
= 0 (38) 
Assim, as raízes de (38) são mostradas em (39) e simplificadas conforme 
apresentado em (40). 
 
𝑠1,2 = −
1
2 ∙ 𝑅 ∙ 𝐶
± √(
1
2 ∙ 𝑅 ∙ 𝐶
)
2
−
1
𝐿 ∙ 𝐶
 (39) 
 𝑠1,2 = −𝛼 ± √𝛼
2 − 𝜔0
2 (40) 
Para esse caso, as variáveis 𝛼 e 𝜔0 são calculadas como mostrado em 
(41) e (42), respectivamente. 
𝑰𝟎 
𝑽𝟎 
+ 
− 
𝒗(𝒕) 
+ 
− 
𝒗(𝒕) 
+ 
− 
 
 
11 
 
𝛼 =
1
2 ∙ 𝑅 ∙ 𝐶
 (41) 
 
𝜔0 =
1
√𝐿 ∙ 𝐶
 (42) 
Também conforme apresentado anteriormente, pode-se ter três casos de 
solução para a tensão do circuito. 
Os mesmos três casos são válidos agora, conforme apresentado na 
sequência. É válido observar que, para o circuito RLC paralelo, as equações 
definem a sua tensão. O cálculo da tensão no capacitor é o mais indicado para 
esse circuito, pois a tensão no capacitor é a mesma tensão de todos os 
componentes, ou seja: sabendo-se o valor da tensão, é possível se calcular 
todas as outras variáveis, como as correntes dos componentes, de forma 
simples. 
3.1 Caso superamortecido (𝜶 > 𝝎𝟎) 
A equação que descreve a resposta da corrente para esse caso é vista 
em (43). 
 𝑣(𝑡) = 𝐴1 ∙ 𝑒
𝑠1∙𝑡 + 𝐴2 ∙ 𝑒
𝑠2∙𝑡 (43) 
3.2 Caso criticamente amortecido (𝜶 = 𝝎𝟎) 
A equação que descreve a resposta da corrente para esse caso é vista 
em (44). 
 𝑣(𝑡) = (𝐴1 + 𝐴2 ∙ 𝑡) ∙ 𝑒
−𝛼∙𝑡 (44) 
3.3 Caso subamortecido (𝜶 < 𝝎𝟎) 
A equação que descreve a resposta da corrente para esse caso é vista 
em (45): 
 𝑣(𝑡) = 𝑒−𝛼∙𝑡 ∙ (𝐴1 ∙ cos 𝜔𝑑 ∙ 𝑡 + 𝐴2 ∙ sen 𝜔𝑑 ∙ 𝑡) (45) 
Em que 𝜔𝑑 é calculado em (46). 
 𝜔𝑑 = √𝜔0
2 − 𝛼2 (46) 
A fim de exemplificar o cálculo completo para circuitos RLC sem fonte, 
tem-se o exemplo apresentado na sequência. 
 
 
 
12 
3.4 Continuação: exemplo 2 
Exemplo 2: tem-se um circuito RLC paralelo conforme mostrado na 
Figura 11. As condições iniciais do circuito são: 𝑣(0) = 5 𝑉 e 𝑖(0) = 0 𝐴. Serão 
utilizados três valores de resistor, para mostrar os três casos de resposta do 
circuito, em que: 
a. 𝑅 = 1,923 Ω 
b. 𝑅 = 5 Ω 
c. 𝑅 = 6,25 Ω 
Figura 11 – Exemplo 2: circuito RLC paralelo sem fonte 
 
Fonte: adaptado de Alexander; Sadiku, 2013. 
 
a. 𝑅 = 1,923 Ω 
Inicialmente, deve-se calcular 𝛼 e 𝜔0. Dessa maneira, é possível se 
identificar qual será o estilo da resposta. Os cálculos são mostrados em (47). 
 
𝛼 =
1
2 ∙ 𝑅 ∙ 𝐶
=
1
2 ∙ 1,923 ∙ 10 ∙ 10−3
= 26 
𝜔0 =
1
√𝐿 ∙ 𝐶
=
1
√1 ∙ 10 ∙ 10−3
= 10 
(47) 
Com base nos valores encontrados, percebe-se que 𝛼 > 𝜔0; logo, trata-se 
de um circuito com resposta superamortecida. A resposta utilizada será a 
apresentada em (43). 
Após o cálculo do fator de amortecimento e da frequência de ressonância, 
deve-se encontrar as raízes da equação, conforme mostrado em (48). 
 𝑠1,2 = −𝛼 ± √𝛼
2 − 𝜔0
2 = −26 ± √262 − 102 
𝑠1 = −2 𝑠2 = −50 
(48) 
Dessa maneira, a resposta da equação de tensão no capacitor está 
conforme mostrada em (49). 
𝒗(𝒕) 
+ 
− 
𝒗(𝒕) 
+ 
− 
 
 
13 
 𝑣(𝑡) = 𝐴1 ∙ 𝑒
−2∙𝑡 + 𝐴2 ∙ 𝑒
−50∙𝑡 (49) 
Para se encontrar os valores de 𝐴1 e 𝐴2, primeiramente escreve-se a 
equação (49) para 𝑡 = 0 , conforme mostrado em (50). 
 𝑣(0) = 𝐴1 ∙ 𝑒
−2∙0 + 𝐴2 ∙ 𝑒
−50∙0 
5 = 𝐴1 + 𝐴2 
(50) 
Com uma equação e duas variáveis, não é possível se calcular os valores, 
por isso a equação será derivada e será considerado 𝑡 = 0, conforme (51). 
 𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑(𝐴1 ∙ 𝑒
−2∙𝑡 + 𝐴2 ∙ 𝑒
−50∙𝑡)
𝑑𝑡
 
𝑑𝑣(0)
𝑑𝑡
= −2 ∙ 𝐴1 ∙ 𝑒
−2∙0 − 50 ∙ 𝐴2 ∙ 𝑒
−50∙0 
𝑑𝑣(0)
𝑑𝑡
= −2 ∙ 𝐴1 − 50 ∙ 𝐴2 
(51) 
Para o cálculo da derivada da tensão, utiliza-se a equação de braço do 
capacitor, como em (52). 
 
𝑑𝑣(0)
𝑑𝑡
=
𝑖𝐶(0)
𝐶
=
−𝑖𝑅(0) − 𝑖𝐿(0)
𝐶
=
−
5
1,923 − 0
10 ∙ 10−3
= −260 
(52) 
Logo, tem-se a segunda equação necessária para se encontrar o valor de 
de 𝐴1 e 𝐴2, conforme (53). 
 −260 = −2 ∙ 𝐴1 − 50 ∙ 𝐴2 (53) 
Com base em (50) e (53), tem-se duas equações e duas variáveis. Assim, 
pode-se calcular o valor de 𝐴1 e 𝐴2, que ficam como apresentado em (54). 
 𝐴1 = −0,2083 𝐴2 = 5,208 (54) 
Depois de calcular todas as variáveis, pode-se escrever a equação 
completa de resposta para o circuito, conforme (55). 
 𝑣(𝑡) = −0,2083 ∙ 𝑒−2∙𝑡 + 5,208 ∙ 𝑒−50∙𝑡 𝑉 (55) 
b. 𝑅 = 5 Ω 
O começo dos cálculos segue a mesma ordem, deve-se calcular 𝛼 e 𝜔0 
inicialmente, conforme mostrado em (56). 
 
𝛼 =
1
2 ∙ 𝑅 ∙ 𝐶
=
1
2 ∙ 5 ∙ 10 ∙ 10−3
= 10 
𝜔0 =
1
√𝐿 ∙ 𝐶
=
1
√1 ∙ 10 ∙ 10−3
= 10 
(56) 
Com base nesses valores é possível determinar o tipo de resposta do 
circuito. Considerando que 𝛼 = 𝜔0, a resposta será criticamente amortecida. 
Para essa resposta não é necessário se calcular as raízes 𝑠1 e 𝑠2. P Portanto, 
 
 
14 
pode-se passar para o próximo passo, que é escrever a equação da resposta 
considerando 𝑡 = 0, como em (57). 
 𝑣(0) = (𝐴1 + 𝐴2 ∙ 0) ∙ 𝑒
−𝛼∙0 
5 = 𝐴1 
(57) 
Após esta etapa, deve-se derivar a equação e considerar 𝑡 = 0 
novamente.Este cálculo é mostrado em (58). 
 𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑((𝐴1 + 𝐴2 ∙ 𝑡) ∙ 𝑒
−𝛼∙𝑡)
𝑑𝑡
 
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
= −𝐴1 ∙ 𝛼 ∙ 𝑒
−𝛼∙𝑡 + 𝐴2 ∙ 𝑒
−𝛼∙𝑡 − 𝐴2 ∙ 𝑡 ∙ 𝛼 ∙ 𝑒
−𝛼∙𝑡 
𝑑𝑣(0)
𝑑𝑡
= −𝐴1 ∙ 𝛼 ∙ 𝑒
−𝛼∙0 + 𝐴2 ∙ 𝑒
−𝛼∙0 − 𝐴2 ∙ 0 ∙ 𝛼 ∙ 𝑒
−𝛼∙0 
𝑑𝑣(0)
𝑑𝑡
= −𝐴1 ∙ 𝛼 + 𝐴2 
(58) 
Aplicando-se a LCK, chega-se a (59). 
 
𝑑𝑣(0)
𝑑𝑡
=
𝑖𝐶(0)
𝐶
=
−𝑖𝑅(0) − 𝑖𝐿(0)
𝐶
=
−
5
5
− 0
10 ∙ 10−3
= −100 
(59) 
Portanto, pode-se reescrever (58) como (60). 
 −100 = −𝐴1 ∙ 10 + 𝐴2 (60) 
Substituindo-se (57) em (60), tem-se (61). 
 −100 = −5 ∙ 10 + 𝐴2 
𝐴2 = −50 
(61) 
Finalizando a resposta, pode-se escrever a equação final de resposta do 
circuito como apresentado em (62). 
 𝑣(𝑡) = (5 − 50 ∙ 𝑡) ∙ 𝑒−10∙𝑡 𝑉 (62) 
 
c. 𝑅 = 6,25 Ω 
O começo dos cálculos segue a mesma ordem. Deve-se calcular 𝛼 e 𝜔0 
inicialmente, conforme mostrado em (63). 
 
𝛼 =
1
2 ∙ 𝑅 ∙ 𝐶
=
1
2 ∙ 6,25 ∙ 10 ∙ 10−3
= 8 
𝜔0 =
1
√𝐿 ∙ 𝐶
=
1
√1 ∙ 10 ∙ 10−3
= 10 
(63) 
Como 𝛼 < 𝜔0, o circuito terá uma resposta subamortecida, completando 
assim o terceiro caso possível de resposta para o circuito. 
 
 
15 
Para essa resposta, deve-se calcular 𝜔𝑑, conforme mostrado em (64). 
 𝜔𝑑 = √𝜔0
2 − 𝛼2 = √102 − 82 = 6 (64) 
Na continuação, escreve-se a equação de resposta considerando 𝑡 = 0, 
como mostrado em (65). 
 𝑣(0) = 𝑒−𝛼∙0 ∙ (𝐴1 ∙ cos 6 ∙ 0 + 𝐴2 ∙ sen 6 ∙ 0) 
5 = 𝐴1 
(65) 
Para encontrar 𝐴2, derivam-se os dois lados da equação e depois se 
considera 𝑡 = 0. 
 𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑒−𝛼∙𝑡 ∙ (𝐴1 ∙ cos 𝜔𝑑 ∙ 𝑡 + 𝐴2 ∙ sen 𝜔𝑑 ∙ 𝑡))
𝑑𝑡
 
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑒−𝛼∙𝑡 ∙ (−𝛼 ∙ 𝐴1 ∙ cos 𝜔𝑑 ∙ 𝑡 −𝜔𝑑 ∙ 𝐴1 ∙ sen 𝜔𝑑 ∙ 𝑡 − 𝛼 ∙ 𝐴2
∙ sen 𝜔𝑑 ∙ 𝑡 + 𝜔𝑑 ∙ 𝐴2 ∙ cos 𝜔𝑑 ∙ 𝑡) 
𝑑𝑣(0)
𝑑𝑡
= 𝑒−𝛼∙0
∙ (−8 ∙ 5 ∙ cos 6 ∙ 0 − 6 ∙ 5 ∙ sen 6 ∙ 0 − 8 ∙ 𝐴2
∙ sen 6 ∙ 0 + 6 ∙ 𝐴2 ∙ cos 6 ∙ 0) 
𝑑𝑣(0)
𝑑𝑡
= −8 ∙ 5 + 6 ∙ 𝐴2 
(66) 
Para a derivada, tem-se (67). 
 
𝑑𝑣(0)
𝑑𝑡
=
𝑖𝐶(0)
𝐶
=
−𝑖𝑅(0) − 𝑖𝐿(0)
𝐶
=
−
5
6,25
− 0
10 ∙ 10−3
= −80 
(67) 
Com isso, pode-se reescrever (66) como mostrado em (68) 
 −80 = −40 + 6 ∙ 𝐴2 
𝐴2 = −6,666 
(68) 
Portanto, a equação completa da resposta para o circuito é a apresentada 
em (69). 
 𝑣(0) = 𝑒−8∙𝑡 ∙ (5 ∙ cos 6 ∙ 𝑡 − 6,666 ∙ sen 6 ∙ 𝑡) (69) 
Com isso, mostrou-se um exemplo de cada um dos casos. Para o circuito 
RLC série, segue-se a mesma metodologia de cálculos, porém com o cuidado 
no cálculo das derivadas, que serão em relação às tensões do circuito. 
Os três casos calculados podem ser vistos na Figura 12. 
 
 
16 
Figura 12 – Exemplo 2: resposta para os três casos de circuito RLC paralelo 
sem fonte 
 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
TEMA 4 – RESPOSTA AO DEGRAU DE UM CIRCUITO RLC SÉRIE 
Um circuito RLC série com uma fonte de tensão é mostrado na Figura 13. 
Pode-se perceber que a fonte de tensão é uma função degrau, pois o interruptor 
só irá permitir que a fonte seja conectada ao circuito quando 𝑡 = 0. 
Figura 13 – Circuito RLC série com fonte 
 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
Para o circuito RLC com fonte, a equação característica de tensão no 
capacitor será formada por duas partes: a resposta natural 𝑣𝑛(𝑡) e a resposta 
forçada 𝑣𝑓(𝑡), conforme mostrado em (70). 
 𝑣(𝑡) = 𝑣𝑛(𝑡) + 𝑣𝑓(𝑡) (70) 
A resposta natural do circuito é a mesma vista para circuitos RLC série 
sem fonte, mostradas resumidamente em (71). 
 𝑣𝑛(𝑡) = 𝐴1 ∙ 𝑒
𝑠1∙𝑡 + 𝐴2 ∙ 𝑒
𝑠2∙𝑡 → superamortecido 
𝑣𝑛(𝑡) = (𝐴1 + 𝐴2 ∙ 𝑡) ∙ 𝑒
−𝛼∙𝑡 → criticamente amortecido 
(71) 
𝒕 = 𝟎 
𝒊(𝒕) 
𝒗(𝒕) 
+ 
− 
 
 
17 
𝑣𝑛(𝑡) = 𝑒
−𝛼∙𝑡 ∙ (𝐴1 ∙ cos 𝜔𝑑 ∙ 𝑡 + 𝐴2 ∙ sen 𝜔𝑑 ∙ 𝑡) → 
subamortecido 
A resposta forçada é o regime permanente do circuito, ou seja, quando o 
tempo tende a infinito. Para o circuito RLC série, a tensão do capacitor em regime 
permanente será a mesma tensão da fonte, conforme mostrado em (72). 
 𝑣𝑓(𝑡) = 𝑣(∞) = 𝑉𝑠 (72) 
Com base em (71) e (72) pode-se escrever as equações completas de 
resposta para a tensão no capacitor em um circuito RLC série com entrada em 
degrau, conforme apresentado em (73). 
 𝑣(𝑡) = 𝑉𝑠 + 𝐴1 ∙ 𝑒
𝑠1∙𝑡 + 𝐴2 ∙ 𝑒
𝑠2∙𝑡 → superamortecido 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑠 + (𝐴1 + 𝐴2 ∙ 𝑡) ∙ 𝑒
−𝛼∙𝑡 → criticamente amortecido 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑠 + 𝑒−𝛼∙𝑡 ∙ (𝐴1 ∙ cos 𝜔𝑑 ∙ 𝑡 + 𝐴2 ∙ sen 𝜔𝑑 ∙ 𝑡) → 
subamortecido 
(73) 
 
Exemplo 3: tem-se um circuito RLC série conforme mostrado na Figura 
14Figura . As condições iniciais do circuito são: 𝑣(0) = 4,8 𝑉 e 𝑖(0) = 4,8 𝐴 e 
deseja-se calcular a tensão 𝑣(𝑡). Considere que a fonte de tensão só entra no 
circuito depois de 𝑡 = 0. 
Figura 14 – Exemplo 3: circuito RLC série com fonte 
 
Fonte: adaptado de Alexander; Sadiku, 2013. 
Sabendo-se que a resposta do circuito é a união da resposta forçada com 
a resposta natural, pode-se definir a resposta forçada como em (74). 
 𝑣𝑓(𝑡) = 𝑣(∞) = 24 𝑉 (74) 
Para a resposta natural, faz-se da mesma maneira que para um circuito 
RLC série sem fonte, começando pelo cálculo de 𝛼 e 𝜔0, conforme (75). 
 
 
𝛼 =
𝑅
2 ∙ 𝐿
=
4
2 ∙ 1
= 2 (75) 
𝒗(𝒕) 
+ 
− 
 
 
18 
 
𝜔0 =
1
√𝐿 ∙ 𝐶
=
1
√1 ∙ 0,25
= 2 
Uma vez que 𝛼 e 𝜔0 são iguais, o circuito possui uma resposta 
criticamente amortecida, portanto a resposta final será conforme mostrado em 
(76). 
 𝑣(𝑡) = 24 + (𝐴1 + 𝐴2 ∙ 𝑡) ∙ 𝑒
−2∙𝑡 (76) 
Para encontrar as variáveis restantes, primeiramente assume-se 𝑡 = 0, 
conforme (77). 
 𝑣(0) = 24 + (𝐴1 + 𝐴2 ∙ 0) ∙ 𝑒
−2∙0 
4,8 = 24 + 𝐴1 
𝐴1 = −19,2 
(77) 
Além disso, faz-se a derivada de 𝑣(𝑡), como em (78). 
 𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑉𝑠 + (𝐴1 + 𝐴2 ∙ 𝑡) ∙ 𝑒
−𝛼∙𝑡)
𝑑𝑡
 
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
= −𝐴1 ∙ 𝛼 ∙ 𝑒
−𝛼∙𝑡 + 𝐴2 ∙ 𝑒
−𝛼∙𝑡 − 𝐴2 ∙ 𝑡 ∙ 𝛼 ∙ 𝑒
−𝛼∙𝑡 
𝑑𝑣(0)
𝑑𝑡
= −𝐴1 ∙ 𝛼 ∙ 𝑒
−𝛼∙0 + 𝐴2 ∙ 𝑒
−𝛼∙0 − 𝐴2 ∙ 0 ∙ 𝛼 ∙ 𝑒
−𝛼∙0 
𝑑𝑣(0)
𝑑𝑡
= −𝐴1 ∙ 𝛼 + 𝐴2 
(78) 
Aplicando LCK, chega-se a (79). 
 𝑑𝑣(0)
𝑑𝑡
=
𝑖𝐶(0)
𝐶
=
𝑖𝐿(0)
𝐶
=
4,8
0,25
= 19,2 (79) 
E, portanto, utilizando (79) em (78), tem-se (80). 
 19,2 = −(−19,2) ∙ 2 + 𝐴2 
𝐴2 = −19,2 
(80) 
Portanto, a resposta final de 𝑣(𝑡) é (81). 
 𝑣(𝑡) = 24 + (−19,2 − 19,2 ∙ 𝑡) ∙ 𝑒−2∙𝑡 𝑉 (81) 
TEMA 5 – RESPOSTA AO DEGRAU DE UM CIRCUITO RLC PARALELO 
Um circuito RLC paralelo com fonte de corrente é mostrado na Figura 15. 
 
 
 
19 
Figura 15 – Circuito RLC paralelo com fonte 
 
Fonte: adaptado de Alexander; Sadiku, 2013. 
Da mesma maneira que visto anteriormente, a corrente no indutor será 
descrita pela resposta natural mais a resposta forçada, conforme (82). 
 𝑖(𝑡) = 𝑖𝑛(𝑡) + 𝑖𝑓(𝑡) (82) 
A resposta natural do circuito é a mesma vista para circuitos RLC sem 
fonte, mostrada resumidamente em (83). 
 𝑖𝑛(𝑡) = 𝐴1 ∙ 𝑒
𝑠1∙𝑡 + 𝐴2 ∙ 𝑒
𝑠2∙𝑡 → superamortecido 
𝑖𝑛(𝑡) = (𝐴1 + 𝐴2 ∙ 𝑡) ∙ 𝑒
−𝛼∙𝑡 → criticamente amortecido 
𝑖𝑛(𝑡) = 𝑒
−𝛼∙𝑡 ∙ (𝐴1 ∙ cos 𝜔𝑑 ∙ 𝑡 + 𝐴2 ∙ sen 𝜔𝑑 ∙ 𝑡) → 
superamortecido 
(83) 
Para o circuito RLC paralelo, a corrente no indutor em regime permanente 
será a mesma corrente da fonte, conforme mostrado em (84). 
 𝑖𝑓(𝑡) = 𝑖(∞) = 𝐼𝑠 (84) 
Com base em (83) e (84), pode-se escrever as equações completas de 
resposta para a corrente no indutor em um circuito RLC paralelo com entrada em 
degrau, conforme apresentado em (85). 
 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑠 + 𝐴1 ∙ 𝑒
𝑠1∙𝑡 + 𝐴2 ∙ 𝑒
𝑠2∙𝑡 → superamortecido 
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑠 + (𝐴1 + 𝐴2 ∙ 𝑡) ∙ 𝑒
−𝛼∙𝑡 → criticamente amortecido 
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑠 + 𝑒−𝛼∙𝑡 ∙ (𝐴1 ∙ cos 𝜔𝑑 ∙ 𝑡 + 𝐴2 ∙ sen 𝜔𝑑 ∙ 𝑡) → 
superamortecido 
(85) 
 
Exemplo 4: para o circuito da Figura 16Figura , calcule a resposta de 
corrente 𝑖(𝑡) para o circuito considerando 𝑣(0) = 15 𝑉 e 𝑖(0) = 4 𝐴. 
 
𝒕 = 𝟎 
𝒊(𝒕) 𝒗(𝒕) 
+ 
− 
 
 
20 
Figura 16 – Exemplo 4: circuito RLC paralelo com fonte 
 
Fonte: adaptado de Alexander; Sadiku, 2013. 
Inicialmente deve-se calcular 𝛼 e 𝜔0, a fim de descobrir qual tipo de 
resposta será a apresentada pelo circuito,conforme (86). 
 
𝛼 =
1
2 ∙ 𝑅 ∙ 𝐶
=
1
2 ∙ 10 ∙ 8 ∙ 10−3
= 6,25 
𝜔0 =
1
√𝐿 ∙ 𝐶
=
1
√20 ∙ 8 ∙ 10−3
= 2,5 
(86) 
Como, para este caso, 𝛼 > 𝜔0, o circuito terá uma resposta 
superamortecida, ou seja, a resposta completa irá ser conforme (87). 
 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑠 + 𝐴1 ∙ 𝑒
𝑠1∙𝑡 + 𝐴2 ∙ 𝑒
𝑠2∙𝑡 (87) 
A corrente Is é conhecida, sendo a corrente da fonte de corrente. O 
próximo passo é calcular as raízes da equação, tal qual apresentado em (88). 
 𝑠1,2 = −𝛼 ± √𝛼
2 − 𝜔0
2 = −6,25 ± √6,252 − 2,52 
𝑠1 = −11,978 𝑠2 = −0,5218 
(88) 
Então escreve-se a equação da corrente em 𝑡 = 0, conforme (89). 
 𝑖(0) = 4 + 𝐴1 ∙ 𝑒
𝑠1∙0 + 𝐴2 ∙ 𝑒
𝑠2∙0 
4 = 4 + 𝐴1 + 𝐴2 
𝐴1 + 𝐴2 = 0 
𝐴1 = −𝐴2 
(89) 
Para se encontrar a outra equação que relaciona as duas variáveis, aplica-
se a derivada dos dois lados da equação, conforme (90). 
 𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑(4 + 𝐴1 ∙ 𝑒
−11,978∙𝑡 + 𝐴2 ∙ 𝑒
−0,5218∙𝑡)
𝑑𝑡
 
𝑑𝑖(0)
𝑑𝑡
= 0 − 11,978 ∙ 𝐴1 ∙ 𝑒
−11,978∙0 − 0,5218 ∙ 𝐴2 ∙ 𝑒
−0,5218∙0 
𝑑𝑖(0)
𝑑𝑡
= −11,978 ∙ 𝐴1 − 0,5218 ∙ 𝐴2 
(90) 
Para o cálculo da derivada da corrente, utiliza-se a equação de braço do 
indutor, conforme (91). 
𝒊(𝒕) 
𝒗(𝒕) 
+ 
− 
 
 
21 
 𝑑𝑖(0)
𝑑𝑡
=
𝑣𝐿(0)
𝐿
=
𝑣𝐶(0)
𝐿
=
15
20
= 0,75 (91) 
Substituindo (91) em (90), tem-se (92). 
 0,75 = 11,978 ∙ 𝐴2 − 0,5218 ∙ 𝐴2 
0,75 = 11,4562 ∙ 𝐴2 
𝐴2 = 0,0655 
(92) 
Portanto, pode-se calcular o valor da outra variável, conforme (93). 
 𝐴1 = −𝐴2 = −0,0655 (93) 
Portanto, a equação final que descreve a corrente no indutor é (94). 
 𝑖(𝑡) = 4 − 0,0655 ∙ 𝑒−11,978∙𝑡 + 0,0655 ∙ 𝑒−0,5218∙𝑡 𝐴 (94) 
E assim finalizam-se os estudos de circuitos RLC. 
FINALIZANDO 
É possível encontrar outros circuitos de segunda ordem diferentes dos 
estudados. Fazendo a mesma análise mostrada inicialmente, para o cálculo da 
tensão ou da corrente, é possível chegar à solução. Os circuitos mais facilmente 
encontrados serão os apresentados nesta aula, RLC série e paralelo sem fonte 
e RLC série e paralelo com fonte. As respostas características são bastante 
similares e é importante que se saiba como calcular qual a resposta 
característica do circuito, bem como todas as suas variáveis, a fim de se chegar 
a uma resposta completa para o circuito. 
 
 
 
22 
REFERÊNCIAS 
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M, N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 
5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013. 
BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. 12. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2012. 
NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. 10. ed. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2015.