Matematica Unidade II

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Unidade II
Unidade II
3 FUNÇÕES
Conforme demonstrado na unidade anterior, o conceito de função é um dos mais importantes na 
Matemática e é uma ferramenta poderosa nos processos de modelagem de problemas, ou seja, entender 
como as variáveis estão relacionadas entre si.
A ideia que vem à mente do aluno é: para que vou aprender a usar esse conceito? Será que o 
aprendizado desse conteúdo trará algum benefício para mim? A resposta para essas indagações é: 
• O conceito de função está presente em nosso dia a dia, portanto é fundamental o entendimento 
de como as grandezas estão relacionadas entre si.
• A interpretação de tabelas e gráficos, nos diversos meios de comunicação do mundo moderno, é 
facilitada com o conceito de função. Além do mais, saber interpretá‑los contribui para ampliar o 
conhecimento do mundo que o cerca.
• Atividades do cotidiano, como cálculo do imposto de renda, que depende, entre outras coisas, 
do valor do salário, poderão ser entendidas mais facilmente. O conceito de função está presente 
também no cálculo do preço de uma refeição em um restaurante por quilo, que dependerá da 
quantidade de comida a ser colocada no prato, e em diversos outros ramos de atividade, como 
economia, saúde, artes etc.
O conceito de função, portanto, tenta explicar como as grandezas estão relacionadas. De acordo 
com Caraça (1989), esse conceito surgiu da necessidade de estudar as variações quantitativas presentes 
nos fenômenos naturais por meio de duas ferramentas principais: interdependência e variabilidade.
Na Grécia Antiga, os fenômenos eram interpretados usando mitos, e tudo o que acontecia era 
vontade dos deuses. A partir do desenvolvimento da filosofia, houve uma procura por explicações mais 
racionais para os eventos, e tudo poderia ser explicado usando conceitos matemáticos. 
Para introduzir a Matemática na explicação dos fenômenos e estabelecer o conceito de função, 
ou seja, relação entre grandezas que variam, foi necessário inserir o conceito de variável, o que 
se deu a partir da simbolização da álgebra, ou seja, usar símbolos para descrever determinado 
acontecimento.
Os símbolos que usamos para designar essas relações são as letras x e y. Chamamos de x as variáveis 
independentes, ou seja, as que podem assumir quaisquer valores, e de y, as variáveis dependentes.
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
A partir disso, foram criadas várias formas de descrever como a correspondência é feita. Existem 
descrições verbais que podem ser feitas por meio de um texto, por uma tabela. Outra maneira de 
representar uma função é utilizando fórmulas matemáticas, ou por meio de um desenho ou gráfico. 
Para descrever essas relações, passou‑se a utilizar um plano com duas retas graduadas 
ortogonais destacadas, uma para representar os valores de x e outra para representar os valores 
de y. Assim, precisamos ter um par de números (x, y), chamados coordenadas, para caracterizar 
uma função. O número x é conhecido como abscissa (do latim cortar), e o número y, como 
ordenada. Em 1692, Leibniz (1646‑1716), famoso matemático e cientista alemão, usou essa 
nomenclatura pela primeira vez.
Um exemplo de representação num plano é dado a seguir:
xx
y
y
P(x,y)
Figura 8 – Representação, no plano cartesiano, do par ordenado P(x,y)
O plano para representar essas posições é chamado de plano cartesiano, em homenagem a 
Descartes, físico, filósofo e matemático francês (1596‑1650) que, em 1637, teve a ideia de tratar as 
curvas geométricas por meio de expressões algébricas. Em 1734, Euler, físico, filósofo e matemático 
suíço (1707‑1783), criou a notação f(x) para designar uma função que depende da variável x.
Pode‑se representar a dependência entre as variáveis por meio de uma tabela de dados, como a que 
descreve a posição P de um carro conforme o tempo t vai passando.
Tabela 1
t (horas) P (quilômetros)
0 0
1 70
2 140
3 210
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Unidade II
Fórmulas algébricas podem descrever o comportamento entre grandezas. Voltando ao caso do exemplo 
anterior, a posição P de um carro em função do tempo t, a cada hora, somam‑se 70 km à sua posição; para 
t = 1 h, temos P = 0 + 70 = 70 km, para t = 2 h, temos P = 70 + 70 = 140 e assim por diante; portanto, 
generalizando esse procedimento, temos que a fórmula para o deslocamento do carro é:
P = 2t
O mesmo exemplo pode ser utilizado para demonstrar que a linguagem gráfica também fornece 
informações. Os gráficos podem trazer informações adicionais; o que descreve a posição de um ponto P 
em função do tempo é dado por:
0 1 2 3
P
t210
140
70
0
Figura 9 – Gráfico da posição de um ponto P em função do tempo
3.1 Simetrias: translação, rotação e reflexão
A natureza apresenta vários casos de simetria, e muitos seres vivos apresentam configurações 
simétricas. 
Figura 10 – Figura na natureza que apresenta simetria
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Figura 11 – Simetria na natureza
Observamos que as figuras são simétricas, já que, se traçarmos uma reta passando pelo centro, 
veremos que os lados divididos são iguais. Se sobrepusermos as duas partes divididas, elas se 
sobreporão.
A translação corresponde a um deslocamento total, ou seja, todos os pontos da figura se deslocam 
na mesma direção, no mesmo sentido e de uma mesma distância. Por exemplo:
(a) (b)
Figura 12 – Representação da translação de um objeto
A reflexão ocorre por meio de uma reta chamada eixo. O ponto refletido e o ponto original 
apresentam a mesma distância em relação a esse eixo. Tomemos como exemplo a figura a seguir: 
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Unidade II
espelho
Figura 13 – Representação da reflexão de um objeto em torno de seu centro de simetria
A rotação é o giro da figura em torno de algum ponto e de um determinado ângulo, como a figura: 
p
Figura 14 – Representação da rotação de um objeto em torno de seu centro de simetria
As simetrias são importantes no estudo das funções, conforme veremos nesta unidade. Assim, 
iniciaremos descrevendo funções afins, quadráticas, exponenciais e logarítmicas; para cada uma delas, 
associaremos suas aplicações.
3.2 Função afim
A função afim pode ser definida como uma função polinomial do 1º grau, em que existe um termo dependente 
de x (variável dependente) e outro constante (independente de x). Matematicamente, é escrita como:
f(x)=ax+b
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Onde a e b são números reais. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta, e b é 
chamado coeficiente linear da reta.
Exemplos de função afim:
f(x)=2x‑1 a=2 b=‑1
f(x)=x‑1 a=1 b=‑1
f(x)=‑x‑1 a=‑1 b=‑1
f x x a b( ) = − + = − =1
3
2
1
3
2
f x
x
a b( ) = + = =1
3
1
3
1
3
Considere agora a função f(x)=2x‑4. Note que f(3)=2∙(3)‑4=2,ou seja, apenas atribuímos o valor 
3 à variável x e substituímos na equação. Se substituirmos o número 2 na mesma função, teremos 
f(2)=2∙(2)‑4=0. Quando atribuímos um número à variável x e obtemos como resultado f(x)=0, dizemos 
que x é a raiz ou zero da função.
Assim, a raiz de uma função real de variável real é todo número x, tal que f(x)=0.
A raiz da função f(x)=2x‑3 são todos os valores de x, tais que f(x)=0, ou seja:
f(x)=2x‑3=0
∴ − = → = → =2 3 0 2 3
3
2
x x x
 Observação
Toda função do 1º grau f(x)=ax+b, em que b=0 recebe o nome particular 
de função linear. São exemplos dessas funções: f(x)=2x, f(x)=x,y=x etc.
Vamos calcular as raízes das seguintes funções do 1º grau:
a) f x
x( ) = − +
3
1
Para calcular a raiz, ou seja, o valor de x que anula a equação, temos de igualar a função a zero, 
ou seja:
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f x
x
x
x
( ) = − + =
∴
−
= − → =
3
1 0
3
1 3
b) f x x
x
x x
( ) = −
− =
= → = =
2 6
2 6 0
2 6
6
2
3
c) f x x
x
x x x
( ) = − +
− + =
∴− = − → =
−
−
→ =
4 2
4 2 0
4 2
2
4
1
2
d) f x x
x
x
x
( ) = − +
− + =
− = −
=
1
2
2
1
2
2 0
1
2
2
4
Gráfico de uma função afim
O gráfico de uma função afim é uma reta. A construção desse gráfico é feita obtendo dois de seus 
pontos distintos e traçando a reta determinada por eles.
Considere a função f(x)=3x+2. Para obtermos o gráfico, devemos construir a tabela usando dois 
pontos iniciais: 
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f(x)=3x+2
1 2 3 4 5
17
14
11
8
5
x f(x)
1 5
2 8
3 11
Figura 15 – Tabela de dados e representação gráfica da função f(x)=3x+2
Outro exemplo de uma função linear é a que determina o perímetro de um quadrado de lado ι. 
Como o perímetro de um quadrado é a soma das medidas de seus lados ι, a função ƒ(ι) pode ser escrita 
como ƒ(ι)=4ι, e seu gráfico correspondente é:
perímetro (cm)
lado (cm)
0 1 2 3 4 5
1,5
4
6
12
20
Figura 16 – Representação gráfica da função ƒ(ι)=4ι
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No caso de a função afim ser constante f(x)=4, o gráfico correspondente é:
x
6
4
 
2
0
y
1 2 3 4 5
Figura 17 – Representação gráfica da função f(x)=4
Vamos observar o gráfico das funções y = x e y = ‑x
y = ‑x y = x
Figura 18 – Representação gráfica das funções y = x e y = ‑x
Podemos observar que os gráficos são simétricos. O gráfico da função y=x é reflexão de y=x.
Agora, vamos ver o que ocorrerá se acrescentarmos 1 à função y=x. Vejamos o gráfico:
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y=x+1
y=x
Figura 19 – Representação gráfica das funções y=x+1 e y=x
Observamos que, para um mesmo valor de x, a ordenada foi acrescida de uma unidade, quando 
comparada ao gráfico original. Assim, no gráfico y=x+1, houve uma translação vertical de uma unidade, 
quando comparado ao gráfico de y=x.
3.3 Variação do sinal da função
Considere a função do 1º grau: f(x)=2x‑2
0 1 2 3 4
x
y
8
6
4
2
0
‑2
‑4
Figura 20 – Representação gráfica da função y=2x‑2 
Observamos que:
• 1 é a raiz da função, pois f(1)=2∙(1)‑2= 0, ou seja, f(x)=0;
• a função é crescente; 
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• para qualquer x real, x>1, temos f(x)>0; por exemplo, f(4)>0;
• para qualquer x real, x<1, temos f(x)<0; por exemplo, f(0)<0.
Podemos afirmar, portanto, que a função anula‑se para x=1, a função é positiva para todo x>1 e 
negativa para todo x<1. O gráfico a seguir mostra essa variação no sinal da função:
0 1 2 3 4
x
+
‑
y
8
6
4
2
0
‑2
‑4
Figura 21 – Variação do sinal da função y=2x‑2
Outro exemplo de função para análise da variação do sinal f(x)=‑x+1
0 1 2 3 4
x
y
8
6
4
2
0
‑2
‑4
Figura 22 – Gráfico da função y=‑x+1
Observamos que:
• 1 é a raiz da função, pois f(1)=‑1(1)+1= 0, ou seja, f(x)=0;
• a função é decrescente; 
• para qualquer x real, x>1, temos f(x)<0; por exemplo, f(4)<0;
• para qualquer x real, x<1, temos f(x)>0; por exemplo, f(0)>0.
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Podemos afirmar, portanto, que a função anula‑se para x=1, é positiva para todo x<1 e negativa 
para todo x>1. O gráfico mostra essa variação no sinal da função:
0 1 2 3 4
x
y
8
6
4
2
0
‑2
‑4
-
+
Figura 23 – Variação do sinal da função y=‑x‑1
Analisemos o comportamento das seguintes funções do 1º grau:
a) f(x)=‑3x+1
Nessa equação, temos a=‑3 e b=1.
Como a é um valor negativo, essa função é decrescente.
b) f(x)=2x+1
a=2 e b=1
A função, portanto, é crescente.
c) Vamos analisar o gráfico da função f(x)=‑2x+2
0 1 2 3 4
x
y4
2
0
‑2
‑4
‑6
Figura 24
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Podemos ver que:
• 1 é a raiz da função;
• a função é decrescente;
• para qualquer x real, x>2, temos que f(x)<0;
• para qualquer x real, x<2, temos que f(x)>0.
 Lembrete
O estudo da variação do sinal das funções pode ser feito também sem 
o auxílio de gráficos, usando apenas álgebra. 
Vamos resolver mais alguns exercícios de função afim, agora com aplicações práticas do cotidiano. 
1) A matemática envolvida no preço de uma corrida de táxi poderá ser entendida se você souber 
o conceito de função. O preço a ser pago por uma corrida de táxi já vem com uma parcela fixa, 
chamada bandeirada, e outra que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 
e cada quilômetro rodado custa, por exemplo, R$ 0,86, pergunta‑se:
a) Qual o valor a ser pago em função da distância x (em quilômetros) percorrida?
b) Quanto vai ser pago por uma corrida de 11 km?
c) Qual a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 21,50 pela corrida?
Solução:
a) Para resolver esse problema, precisamos, inicialmente, montar a função que caracteriza o preço P 
da corrida em função da distância x, assim: 
P = 3,44 + 0,86x
b) Se a corrida for de 11 km, bastará colocar esse valor no lugar de x.
P = 3,44 + 0,86∙11 = 12.9
c) Se um passageiro fez uma corrida e gastou R$ 21,50, então bastará colocar esse valor no lugar de 
P e calcular x.
21,50 = 3,44 + 0,86x→→→x = 21km
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2) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma fixa, correspondente 
a um valor de R$ 900,00, e outra variável, que corresponde a um valor de comissão de 8% sobre 
tudo o que ele vender durante o mês. Pergunta‑se:
a) Qual a função que representa o salário total do vendedor?
b) Qual o salário do vendedor no mês em que ele vendeu R$ 50.000,00 em produtos?
Solução:
a) A função que representa o salário total é composta pelo valor fixo de R$ 900,00 mais 8% sobre a 
venda dos produtos. Assim:
f (x) = 900 + 0,08x
b) Se o vendedor vendeu R$ 50.000,00 de produtos, então o salário será:
f (x) = 900 + 0,08∙50000 = 4900,00
3) Dado o gráfico, determine a função que o caracteriza:
4
2
0
‑2
‑4
‑6
0 1 2 3
x
y
Figura 25
Solução:
Observando o gráfico, vemos que f(2) = ‑2 e f(1) = 1; além disso, a função é decrescente e, portanto, 
o coeficiente a é negativo. 
A função do 1º grau é escrita como:
f(x) = ax + b
Como f(2) = ‑2, temos:
f(2) = a2 + b = ‑2
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e f(1) = 1, o que implica:
f(1) = a1 + b = 1
Logo, o sistema apresenta duas equações e duas incógnitas: 
a2 + b = ‑2
a1 + b = 1
Isolando b na primeira equação e substituindo na segunda, temos:
b = ‑2 ‑2a
∴→a + (‑2 ‑2a) = 1 → a = ‑3
Logo:
a1 + b = 1
‑3 + b = 1 → b = 4
Portanto:
f(x) = ax + b
f(x) = ‑3x + 4
Assim, a função que caracteriza o gráfico é f(x)=‑3x+4.
4) Dado o gráfico, determine a função que o caracteriza:
‑3
x
2
y
Figura 26
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Solução:
O gráfico mostra que f(0) = 2 e f(‑3) = 0; além disso, a função é crescente e, portanto, o coeficiente 
a é positivo. 
A função do 1º grau é escrita como:
f(x) = ax + b
Como f(0) = 2, temos:
f(0) = a ∙ 0 + b = 2
e f(‑3) = 0, o que implica: 
f(‑3) = a ∙ (‑3) + b = 0
Logo, o sistema apresenta duas equações e duas incógnitas: 
a . 0 + b = 2 
a . (‑3) + b = 0
Isolando b na primeira equação, temos:
b = 2
Logo: 
a . (‑3) + 2 = 0
3a = 2 
a =
2
3
Portanto:
f x ax b
f x x
( ) = +
( ) = +2
3
2
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Assim, a função que caracteriza o gráfico é f x x( ) = +2
3
2 .
5) Estima‑se que a população de um certo município, daqui a x anos, a contar de hoje, será dada por 
f x
x
( ) = −
+
10
2
1
 milhares de pessoas. Pede‑se:
a) Qual será a população daqui a três anos?
b) Qual será a população daqui a dez anos?
Solução: 
Daqui a três anos, a população será dada por:
f x
x
f x
f x
( ) = −
+
( ) = −
+
( ) = − = =
10
2
1
10
2
3 1
10
1
2
19
2
9 5,
Daqui a dez anos, a população será dada por:
f x
f x
f x
( ) = −
+
( ) = −
( ) =
10
2
10 1
10
2
11
9 820,
6) O gráfico mostra a velocidade v de um automóvel em função do tempo t. A velocidade v é medida 
em m/s, e o tempo t, em s.
v
8
t
0 2 8 10
Figura 27
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
a) Em que instante de tempo a velocidade é crescente?
b) Em que instante de tempo a velocidade é decrescente?
c) Em que instante de tempo a velocidade é constante?
Solução:
a) A velocidade é crescente no intervalo 0 <x <2, pois a reta tem inclinação positiva.
b) A velocidade é decrescente no intervalo 2 <x <10, pois a reta tem inclinação negativa.
c) A velocidade é constante no intervalo 2 <x <8, pois a reta não apresenta inclinação.
3.4 Função quadrática
Uma função quadrática é uma função do tipo f(x) = ax2 + bx + c , onde a, b e c são constantes 
pertencentes ao conjunto dos números reais. São exemplos de funções do segundo grau:
f x x x a b e c
f x x x a b e c
f x
( ) = + + = = =
( ) = + + = = =
( ) =
2 3 1 2 3 1
4 4 1 4 4
2
2
,
,
−− + = − = =
( ) = − = − = =
( ) = − +
x x a b e c
f x x a b e c
f x x a
2
2
2
3 1 3 0
1 0 0
1
,
,
== − = =
( ) = − + = − = =
1 0 1
3 2 3 2 02
,
,
b e c
f x x x a b e c
Existem vários fenômenos que podem ser explicados com o auxílio dessas funções; por exemplo, 
o lançamento de projéteis cujas trajetórias podem ser descritas por essas equações, o processo de 
fotossíntese realizado pelas plantas, os radares, os faróis, a administração, ao descrever as funções custo, 
receita etc. e a computação, na criação de algoritmos.
Em Arquitetura, uma aplicação interessante das funções quadráticas é no formato de pontes, como 
a JK, em Brasília, que apresenta, em sua estrutura, três arcos parabólicos que fazem parte do suporte da 
ponte e são um exemplo concreto dos conceitos de funções do segundo grau envolvidos.
Por falar em parábola, é ela que descreve as funções quadráticas. Veja, por exemplo, a função f(x)=x2 
e sua representação gráfica:
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Unidade II
‑5 ‑3 ‑1 1 3 5
y
x
25
20
15
10
5
0
Figura 28 – Gráfico da função f(x) = x2
Para fazermos uma análise melhor do gráfico, precisamos entender os elementos que formam uma 
parábola, que são: concavidade, vértice e os pontos em que os eixos e os vértices cruzam o plano cartesiano.
Observando o gráfico, vemos que os pontos (1,0) e (0,1) interseccionam o eixo x; os pontos x que 
cortam o gráfico nesse eixo são chamados raízes da equação. O vértice é o ponto em que a parábola 
começa a mudar sua direção. Nesse caso, dizemos que o vértice é o ponto (0,0), e também é verificado 
que a parábola possui a concavidade voltada para cima, ou, numa linguagem mais popular, tem a “boca” 
voltada para cima. Como tudo isso é determinado? 
Para entender, começaremos com o conceito de raiz de uma equação do segundo grau. As raízes são 
os pontos em que f(x) = x2. Para as determinarmos, usamos a famosa Fórmula de Bhaskara. 
Assim, considere a função f(x) = x2 + 4x + 3.
O primeiro passo é fazer f(x) = x2 + 4x + 3 = 0.
O cálculo das raízes é dado pela fórmula:
x
b
a
onde b ac=
− ±
= −,
∆ ∆
2
42 (chamado também de discriminante).
Assim, 
f x x x
b ac
x
b
a
x
( ) = + + =
= − = − =
=
− ±
=
− ±
=
− ±
∴ =
2
2 2
1
4 3 0
4 4 4 1 3 4
2
4 4
2
4 2
2
∆
∆
. .
−− = −3 12ex
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14
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Temos dois valores de raízes: x1 = ‑3 e x2 = ‑1
Portanto, a solução é S = {‑3, ‑1}.
Vamos ver outros exemplos de cálculo de raízes:
a) f(x) = x2 + 4x = 0
Solução:
∆
∆
= − = − =
=
− ±
=
− ±
=
− ±
∴ = = −b ac
x
b
a
x ex
2 2
1 2
4 4 4 1 0 16
2
4 16
2
4 4
2
0 4
. .
A solução da equação é S = {0,‑4}
b f x x
b ac
x
b
a
x
) ( ) = − =
= − = − ⋅ ⋅− =
=
− ±
=
±
=
±
∴ = +
2
2 2
1
9 0
4 0 4 1 9 36
2
0 36
2
6
2
∆
∆
33 32e x = −
A solução da equação é S= {+3, ‑3}.
c) f(x) = x2 + 4x + 4 = 0 
Solução:
∆
∆
= − = − =
=
− ±
=
− ±
=
− ±
∴ = − = −
b ac
x
b
a
x ex
2 2
1 2
4 4 4 1 4 0
2
4 0
2
4 0
2
2 2
. .
A solução da equação é S = {‑2, ‑2}.
d) f(x) = 2x2 + x + 1= 0 
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Unidade II
Solução:
∆
∆
= − = − = −
=
− ±
=
− ± −
b ac
x
b
a
2 4 1 4 2 1 7
2
1 7
2
. .
Quando o valor do discriminante é um número negativo, dizemos que a função não apresenta 
solução real ou raízes reais.
Assim, resumindo, temos:
Se ∆=0, a função apresentará duas raízes reais e iguais.
Figura 29
Figura 30
Se ∆ >0, a função apresentará duas raízes reais e distintas.
x
y
Pontos de corte
Figura 31
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14
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
x
y
Pontos de corte
Figura 32
Se ∆<0, a função não apresentará raízes reais.
Figura 33
Figura 34
 Observação
Quando o discriminante ∆ <0, as raízes serão números negativos; portanto, 
a função não apresentará raízes reais, e sim raízes complexas, que serão 
estudadas no final deste livro‑texto.
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Unidade II
Determinadas as raízes da equação, vamos agora definir em que pontos ocorre a intersecção da 
parábola com o eixo x. Para tanto, vamos considerar a função f(x) = x2 ‑ 6x + 5.
Os pontos em que a parábola intercepta o eixo y são obtidos atribuindo o valor 0 à variável x, assim:
y = x2 ‑ 6x + 5
y = 02 ‑ 6 . 0 + 5 = 5
Nesse exemplo, o ponto de intersecção é o ponto (0,5).
‑5 ‑3 ‑1 1 3 5 7 9
y14
9
4
‑1
‑6
x
Figura 35
No caso da função →f(x) = x2 ‑ 4x + 3:
∆
∆
= − = − =
=
− ±
=
+ ±
=
+ ±
b ac
x
b
a
2 4 16 4 3 1 4
2
4 4
2
4 2
2
. .
As raízes são 3 e 2, e o ponto de cruzamento com o eixo y é dado por:
f(x) = 02‑4 . 0 + 3 = 3
Portanto, o ponto (0,3) é o que intercepta o eixo y.
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
‑5 ‑3 ‑1 1 3 5 7 9
y
16
13
10
7
4
1
2
x
Figura 36
Pelos diversos exemplos mostrados, vemos que o gráfico apresenta ora concavidade para cima, ora 
concavidade para baixo, mas o que determina essa concavidade?
Vamos considerar duas funções e seus respectivos gráficos:
f(x) = x2 + 2x + 1
‑6 ‑4 ‑2 0 2 4 6
x
y23
19
15
11
7
3
‑1
Figura 37
 
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Unidade II
f(x) = ‑x2 + 2x + 1
‑6 ‑4 ‑2 0 2 4 6
x
y2
‑2
‑6
Figura 38
Podemos ver que a única diferença entre as duas funções é o sinal do coeficiente a. Quando a>0, 
a concavidade é positiva; quando a<0, a concavidade é negativa. O valor de a, portanto, determina a 
concavidade da parábola.
Outro elemento importante é o vértice V da função. O vértice é o ponto no qual a parábola muda de 
direção, e está localizado no eixo de simetria s que a divide em duas partes iguais. 
Para exemplificar, vamos considerar a função f(x) = x2 ‑ 4x ‑ 5 e seu respectivo gráfico.
‑2 0 2 4 6
x
V (2.9)
s
y
3
‑1
‑5
‑9
Figura 39 – Gráfico da função →f(x) = x2 ‑ 4x ‑ 5
O vértice (x, y) pode ser calculado por meio da seguinte fórmula:
V
b
a a
=
− −


,2 4
∆
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Para a equação, então, temos:
∆
∆
= − = − − =
=
− ±
=
+ ±
b ac
x
b
a
2 4 16 4 1 5 36
2
4 36
2
. .( )
As raízes são 5 e ‑1, e o valor do vértice:
V
b
a a
=
− −


 =
− − −


 = −,
( )
, ( , )
2 4
4
2
36
4
2 9
∆
 Observação
O ponto x do vértice pode ser obtido também se fazendo a média 
aritmética das raízes da equação.
Até aqui, calculamos o vértice de funções que possuem raízes reais, mas o que ocorre quando a 
função não apresenta esse tipo de raízes? É o que veremos a seguir.
Vamos esboçar o gráfico da função →f(x) = ‑x2 + 4x ‑5
‑2 0 2 4 6
x
V (2, ‑1)
y
3
‑1
‑5
‑9
Figura 40 – Gráfico da função f(x) = ‑x2 + 4x ‑ 5
Analisando somente o gráfico, podemos ver que essa função não apresenta raízes reais, já que não 
existem pontos da parábola que interceptam o eixo x, mas, para calcular o vértice, necessitamos apenas 
dos valores de a, b e ∆; portanto:
∆= b2 ‑ 4ac
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Unidade II
O valor do vértice é dado por:
V
b
a a
=
− −


 =
−
−
− −
−



 = −( ),
( )
( )
,
( )
( )
,
2 4
4
2 1
4
4 1
2 1
∆
Valor máximo de uma função 
Vimos que a concavidade de uma função está associada com o coeficiente a da função f(x) = ax2 + 
bx + c, e essa concavidade está relacionada aos pontos de máximo e mínimo da função. Para funções 
com a<0, a concavidade é para baixo, portanto a função apresenta um ponto de máximo; já para a>0, 
a concavidade é para cima, e a função apresenta um ponto de mínimo.
Assim, seja a função →f(x) = ‑x2 + 4x e seu respectivo gráfico:
‑2 0 2 4 6
x
V (2,4)y5
2
‑1
‑4
Figura 41 – Gráfico da função f(x) = ‑x2 + 4x
Observamos que o valor máximo da função ocorre no ponto de máximo x = 2, ou seja, f(2) = 4.
Por meio da análise das propriedades do vértice, temos que, se a<0, a coordenada x dada por 
−b
a2
 é 
o ponto de máximo da função, e a coordenada y, dada por 
−∆
4a
, é o valor máximo dessa função.
No caso da função f(x) = x2 ‑ 4x e seu gráfico:
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
‑2 0 2 4 6
x
V (2, ‑4)
y5
2
‑1
‑4
Figura 42 – Gráfico da função f(x) = x2 ‑ 4x
Observamos que o valor mínimo da função ocorre no ponto de máximo x =2, ou seja, f(2) = ‑4.
Pela análise das propriedades do vértice, temos que, se a>0, a coordenada x, dada por 
−b
a2
, é o ponto 
de mínimo da função, e a coordenada y, dada por −∆
4a
, é o valor mínimo dessa função.
Mais um exemplo para fixação:
Dada a equação x2 ‑ 2x ‑ 3, obtenha:
a) as raízes da equação;
b) o gráfico da equação;
c) os pontos de intersecção da parábola com o eixo das abscissas;
d) os pontos de intersecção da parábola com o eixo das ordenadas;
e) o vértice da parábola e os pontos de máximo ou mínimo.
Solução:
As raízes são obtidas igualando‑se a função a zero e aplicando‑se a Fórmula de Bhaskara.
∆
∆
= − = − − =
=
− ±
=
±
=
±
∴ = = −
b ac
x
b
a
x ex
2 2
1 2
4 2 4 1 3 16
2
2 16
2
2 4
2
3 1
. .( )
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Unidade II
Assim, as raízes são 3 e ‑1.
‑5 ‑3 ‑1 1 3 5
x
V (1, ‑4)
y5
4
3
2
1
0
‑1
‑2
‑3
‑4
‑5
Figura 43
c) A parábola intercepta o eixo das abscissas, ou seja, o eixo x, nos pontos ‑1 e 3.
d) A parábola intercepta o eixo das ordenadas, ou seja, o eixo y, no ponto ‑3. 
e) O vértice é calculado por:
V
b
a a
=
− −


 =
− − −
⋅



 = −( ),
( )
, ,
2 4
2
2
16
4 1
1 4
∆
Como a função apresenta concavidade para cima, existe um ponto de mínimo que corresponde ao 
vértice dessa função. A abscissa do vértice é chamada de ponto de mínimo, e a ordenada y é o valor do 
mínimo da função. No caso, o ponto de mínimo é 1, e o valor desse ponto, ‑4.
Mais exemplos para fixação: 
Calcule a, b e c, de modo que o vértice da parábola represente a função f(x) = ax2 + bx + c , seja 
(1,‑16) e que ‑3 seja um zero da função.
Solução:
Se ‑3 é um zero da função, então vale:
f(‑3) = a(‑3)2 ‑3b + c = 0 (I)
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
O vértice é dado por:
V
b
a a
b
a
e
a
b a e
=
− −


 = −( )
−
= −
−
=
∴ = − = −
, ,
2 4
116
2
1
4
16
2 64
∆
∆
∆ aa (II)
∆ = ‑64a → b2 ‑4ac = ‑64a (III)
Substituindo b = ‑2a em (III), temos:
(‑2a)2 ‑4ac = 64a
4a2 ‑ 4ac = 64a
Dividindo por 4, temos:
a ‑ c = 16
Agora, basta resolver o sistema: 
a(‑3)2 ‑ 3b + c = 0 → 9a ‑ 3(2a) + c = 0 → 3a + c = 0
a ‑ c = 16
Então:
3a + c = 0
a ‑ c = 16
4a = 16a
a = 4 → c = ‑12 e b = 2a =8
A função é, portanto, 
f(x) = ax2 + bx + c
f(x) = 4x2 + 8x ‑ 12
Assim, a função é f(x) = 4x2 + 8x ‑ 12.
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Unidade II
Outro exemplo:
2) Construir o gráfico da função f(x) = ‑x2 + 4x ‑ 5 e determinar sua imagem.
Solução:
O gráfico é dado por: 
y10
5
0
‑5
‑10
‑1 1 3 5
x
Figura 44
O vértice é dado por:
V
b
a a
=
− −


 = −, ( , )2 4 2 1
∆
Assim, a imagem é formada por todos os y, tais que:
Im = {y ∈ R|y ≤ 1}
3) Um ônibus de 40 lugares transporta, diariamente, turistas de determinado hotel para um passeio 
ecológico pela cidade. Se todos os lugares estiverem ocupados, o preço de cada passagem será de 
R$ 20,00. Caso contrário, para cada lugar vago será acrescida a importância de R$ 1,00 ao preço 
de cada passagem. Assim, o faturamento da empresa de ônibus, em cada viagem, é dado pela 
função f(x)=(40 ‑ x) (20 + x), onde x indica o número de lugares vagos (0 ≤ x ≤ 40). Determine: 
a) Quantos devem ser os lugares vagos no ônibus, em cada viagem, para que a empresa obtenha 
faturamento máximo? 
b) Qual é o faturamento máximo obtido em cada viagem?
Solução:
Para que a empresa tenha faturamento máximo, devemos obter o valor de x que maximiza essa 
função, e isso, como sabemos, é dado pelo valor da abscissa x do vértice; assim, para calcularmos os 
lugares vagos no ônibus a fim de atingir o máximo faturamento, devemos proceder da seguinte forma:
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
f(x) = (40 ‑ x) (20 + x) = ‑x2 + 20x + 800
‑x2 + 20x + 800 = 0
∆ = b2 ‑ 4ac = 400 ‑ 4 . (‑1) . 800 = 3600
O vértice é dado por:
V
b
a a
=
− −


 =
−( )
−
−
−( )



 = ( ), ( ) , ,2 4
20
2 1
3600
4 1
10 900
∆
Assim, para que a empresa tenha faturamento máximo, deve haver dez lugares vagos no ônibus, e o 
valor desse faturamento é de R$ 900,00.
4) Uma bala é atirada de um canhão e descreve uma parábola de equação y = ‑3x2 ‑ 60x (sendo x e 
y medidos em metros). Calcule:
a) a altura máxima atingida pela bala;
b) o alcance do disparo.
y
V
Figura 45
Solução:
a) Como a = ‑3, a parábola apresenta concavidade para baixo, portanto um ponto de máximo, que 
é dado por:
y
a
=
−
=
−
−
=
∆
4
3600
12
300
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Unidade II
Assim, a altura máxima atingida é 300 m.
b) Resta‑nos calcular o alcance do disparo, ou seja, devemos calcular a distância quando a bala toca 
o solo, que ocorre quando y = 0; assim:
y = ‑3x2 ‑ 60x = 0 → x=0 x = 20
x = 0 representa o ponto de partida, então o alcance do disparo foi de 20 m.
5) Um azulejista usou 2.000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m2 de parede. Qual é a 
medida do lado de cada azulejo?
Solução:
Sendo cada lado do quadrado x, temos que a área de cada quadrado é dada por: 
A = x2 
x
Figura 46
Foram usados, porém, 2.000 azulejos, então a área total é dada por:
A = 2000x2
Como A = 45m2
2000x2 = 45
x
x m
2 45
2000
9
400
9
400
3
20
0 15
= =
= = = ,
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14
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Assim, cada lado do quadrado vale 0,15 m. 
6) A área de um retângulo é de 64m2. Nessas condições, determine suas dimensões, sabendo que o 
comprimento mede (x + 6)m, e a largura, (x ‑ 6)m.
x‑6
x+6
Figura 47
Solução:
A área de um retângulo de lados (x + 6) e (x ‑ 6) é dada por: 
A = (x + 6) (x ‑ 6)
A área tem um valor total de 64m2 ∴
64 = (x + 6) (x ‑ 6)
x2 ‑ 36 = 64
x2 = 100
x = 10
Se x = 10, então cada um dos lados vale: 
(x + 6) = 10 + 6 = 16
(x ‑ 6) = 10 ‑ 6 = 4
Um lado vale, portanto, 16 cm, e o outro, 4 cm.
7) Qual deve ser o valor do coeficiente b na equação 10x2 ‑ bx ‑ 1 = 0 para que a soma de suas raízes 
seja igual a 
5
4
 ?
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14
Unidade II
Solução:
Seja a equação do 2º grau 10x2 ‑ bx ‑1 = 0.
Vamos calcular suas raízes:
10 1 0
4
4 10 1
40
2
2
2
2
2
2
x bx
b ac
b
b
x
b
a
x
b b
− − =
= −
= − ( ) −
= +
=
− ±
=
− ± +
∆
∆
∆
∆
. .( )
440
20
A equaçãoapresenta, portanto, duas raízes, que são: 
x
b b
ex
b b
1
2
2
240
20
40
20
=
+ +
=
− +
 A soma de x1 e x2, conforme enunciado, é:
x x1 2
5
4
+ =
Mas:
x x
b b b b
x x
b b b b
1 2
2 2
1 2
40
20
40
20
20 20
2
20 10
+ =
+ +
+
− +
+ = + = =
Logo:
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
b
b
10
5
4
10 5
4
20
4
=
∴ =
⋅
=
Assim, b = 5
8) Esboce o gráfico da função f(x) = 2x2 ‑ 5x + 2.
Solução:
Essa função apresenta as seguintes características:
Concavidade voltada para cima, pois a = 2 > 0.
Raízes f x x x x ex( ) = − + = → = =2 5 2 0 2 1
2
2 .
Vértice V
b
a a
=
− −


 =
−


, ,2 4
5
4
9
8
∆
.
Intersecção com o eixo y no ponto (0, 2).
 
6
4
2
0
‑2
‑0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
x
y
Figura 48
4 FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
Na Unidade I, vimos as propriedades de cálculos algébricos envolvendo potenciação. Neste tópico, 
usaremos esses conceitos para introduzir uma nova função matemática: as funções denominadas 
exponenciais. Você poderá perguntar: para que serve isso? Em que se usa?
Você já deve ter ouvido falar que a população do mundo está crescendo exponencialmente, ou que a 
violência nas principais capitais brasileiras está aumentando numa progressão exponencial, ou seja, estamos 
falando de situações que envolvem crescimento ou decrescimento em curtos intervalos de tempo.
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Unidade II
Existem diversas aplicações das funções exponenciais, em diversos ramos das ciências, como: na 
Biologia, na descrição das taxas de crescimento de bactérias; na Economia, nos cálculos do aumento 
ou na redução de taxas de juros, entre outros; na Computação, na criação de algoritmos utilizados em 
programas que descrevem taxas de crescimento ou decrescimento, em linguagens como Java, Latex etc.
O que é uma função exponencial?
Uma função exponencial de base a, sendo a um número real (a > 0 e a 1), toda função f definida no 
conjunto dos números reais por: 
f(x) = ax
O domínio dessa função é o conjunto dos números reais, e o contradomínio é formado por todos os 
reais positivos maiores que zero.
São exemplos de funções exponenciais:
f x
f x
f x
x
x
x
( ) = 


( ) = ( )
( ) = 


−
1
2
3
1
2
2 1
O gráfico de uma função exponencial é uma curva, e dois casos devem ser considerados:
Para funções crescentes, isto é, quando a > 1, temos:
(0,1)
a>1
x
y
Figura 49 – Gráfico de uma função exponencial crescente
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Para funções decrescentes, isto é, quando a < 1, temos:
(0,1)
a<1
x
y
Figura 50 – Gráfico de uma função exponencial decrescente
Vamos construir o gráfico da função f(x) = 2x.
Primeiro, atribuímos os valores de x e construímos a seguinte tabela:
Tabela 2
x ‑2 ‑1 0 1 2
y 0,25 0,5 1 2 4
Assim, o gráfico tem a seguinte forma:
x
y
4
2
0
‑2 1 0 1 2
Figura 51
Para a função f x
x
( ) = 


1
2
Atribuindo os valores de x e construindo a tabela, temos:
Tabela 3
x ‑2 ‑1 0 1 2
y 4 2 1 0,5 0,25
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Unidade II
O gráfico tem a seguinte forma:
x
y
4
2
0
‑2 1 0 1 2
Figura 52
Analisando os dois gráficos, podemos ver as similaridades:
• os gráficos nunca cruzam o eixo horizontal, ou seja, o eixo dos x, o que significa que a função não 
tem raízes;
• os gráficos interceptam o eixo vertical, eixo y, no ponto (0,1);
• os valores de y são sempre positivos, implicando que o Conjunto Imagem é formado somente 
pelos números reais positivos.
4.1 Propriedades das funções exponenciais
Considerando a, x e y números reais e k um número racional, temos as seguintes propriedades 
válidas para as funções exponenciais:
• ax a^y=a^(x+y)
• a
a
a
x
y
x y
=
−
• (ax)y = axy
• (ab)x = ax bx
• a
b
a
b
x x
x



 =
• a
a
x
x
−
=




1
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Existe uma constante muito importante na Matemática, tal que:
e = exp (1) = ex
O número e é um número irracional positivo e, em função da definição do que seja a função 
exponencial, temos:
ln e=1
Esse número é estudado em Cálculo Diferencial e Integral (disciplina de nível superior). O valor de e 
foi obtido a partir da expressão 1
1
2+( )x , definida no conjunto dos números reais, e calculando o valor 
que ela assume à medida que vai se aproximando de zero.
Tabela 4
x 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001
y x
x
= +( )
→
lim
0
1
21 2, 594 2,705 2,717 2,7182 2,7183
À medida que x vai diminuindo, esse limite tende a ficar cada vez mais próximo do número 2,7183. 
Essa é a aproximação para e.
 Saiba mais
A constante e foi denominada assim em homenagem ao matemático 
suíço Leonhard Euler (1707‑1783). O valor dessa constante é:
e = 2,718281828459045235360287471352662497757
Para saber mais sobre as aplicações dessa constante e sobre a obra do 
autor, consulte o livro Elementos D´Algebra, de Euler, 1809.
Para as exponenciais na base e também são válidas as propriedades:
• y = ex ↔ x = ln y
• ln ex = x
• ex+y = ex ey
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Unidade II
• ex+y = ex ey
• e
e
e
x y
x
y
−
=
4.2 Equações exponenciais
Uma equação exponencial é toda equação que contém a incógnita no expoente. Por exemplo:
3x = 9
6x + 62x = 30
2x = 4
Resolver uma equação exponencial na incógnita x significa igualar as potências de mesma base; 
matematicamente, isso é entendido como:
ax = ay ↔ x=y
Vamos resolver uma equação exponencial; para isso, lembraremos os conceitos de fatoração 
aprendidos na Unidade I; por exemplo, considere a equação:
125x = 625
Queremos determinar o valor de x nessa equação; para tanto, devemos igualar ambos os lados 
colocando tudo em forma de potências com a mesma base. Então, devemos fatorar ambos os lados da 
seguinte forma:
125x = 625
(53 )x = 54
Agora, ambos os lados podem ser igualados, já que estão na mesma base.
125x = 625
(53)x = 54
3x = 4
x ou seja S= = 

4 4
3 3
, , .
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Resolver a equação 3x = 1.
Como sabemos, 1 pode ser escrito em termos de qualquer base com expoente 0. Assim:
3x = 30
x = 0, ou seja, S = {0}.
Outro exemplo: resolver a equação 4x ‑ 6 . 2x + 8 = 0.
Quandotemos uma equação assim, podemos reescrevê‑la da seguinte maneira:
22x ‑ 6 . 2x + 8 = 0
22x ‑ 6 . 2x + 8 = 0
Chamando 2x = t, temos:
t2 ‑ 6t + 8 = 0
Portanto, uma equação do 2º grau; resolvendo, chegamos a: 
t t
b ac
t
b
a
t et
2
2
1 2
6 8 0
4 36 32 4
2
6 4
2
4 2
− + =
= − = − =
=
− ±
=
±
∴ = =
∆
∆
Mas 2x = t, então:
2x = 4 e 2x = 2
2x = 22 → x = 2
2x = 21 → x = 1
As soluções dessa equação, portanto, são os números 1 e 2, ou seja, S = {1,2}.
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Unidade II
 Lembrete
Quando se resolvem equações exponenciais, é sempre importante 
lembrar‑se das propriedades das potências, que facilitam muito a resolução 
dos problemas.
Exemplo de aplicação
Resolver a equação 2x = 3x.
Dividindo‑se ambos os lados por 3x, temos:
2
3
3
3
x
x
x
x=
Que pode ser escrito como:
2
3
1
x
x =
Contudo, 1 pode ser escrito em termos de qualquer base, como: 
2
3
2
3
2
3
2
3
0
0
0
0x
x
x
x= → 

 =



 → =
Portanto:
S = {0}.
Mais exemplos para fixação:
1) Determine o Conjunto Solução da equação:
5^x‑5^(2∙) 5^(‑x)=24
Solução:
Preparando a equação, temos:
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
5 5 5 24
5
5
5
24
5 25 24 5
5 24 5 25 0
2
2
2
2
x x
x
x
x x
x x
− =
− =
∴ − =
( ) − − =
−.
.
.
Chamando 5x = y, temos:
(y)2 ‑ 24 . y ‑ 25 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos dois valores para y: 25 e ‑1.
Voltando à equação:
5x = 25 → 5x = 52 → x = 2
5x = ‑1 não tem raiz no Conjunto dos Números Reais.
Assim, a solução é S = {2}.
2) Uma empresa produziu, num certo ano, 8.000 unidades de um produto. Pensando em um aumento 
anual de 50% na produção, determine:
a) Produção P da empresa t anos depois de três anos.
b) Após quantos anos a produção da empresa será de 40.500 unidades?
Solução:
Para resolver o problema, vamos pensar assim:
Após um ano, a produção será de: 8000 + 50% . 8000 = 8000 . 1,5
Após dois anos, a produção será de: 8000 . 1,50 + 50% . (8000 . 1,5) = 8000 . (1,5)2
Após três anos, a produção será de:
8000 . (1,5)2 + 50% . (8000 . (1,5)2) = 8000 . (1,5)3
Assim, generalizando:
P = 8000 . (1,5)t
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Unidade II
Onde x representa o número de anos. 
Fazendo P = 40.500, temos que:
40500 8000 15
15
40500
8000
15
3
2
40500
8000
8
= ( )
( ) =
( ) = =
. ,
,
,
t
t
como e
11
16
3
2
3
2
3
2
4
4
=







 =




t
As bases são iguais, portanto os expoentes podem ser igualados. 
Assim, após quatro anos, a produção anual da empresa será de 40.500 unidades.
3) Encontre o valor da expressão:
3 3 3
3 3 3
12 11 10
11 10 10
− −
+ +
Solução:
Colocando em evidência 310, tanto no numerador como no denominador, teremos:
3 3 3 1
3 3 1 1
5
5
1
10 2
10
− −( )
+ +( ) = =
4) Na figura, está representado o gráfico de f(x) = a 2x, sendo a uma constante real. Determine f(3).
1
x
y
0,75
Figura 53
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Solução:
A função é dada por f(x) = a 2x
Pelo gráfico, temos: 
f a
a
1 2
3
4
3
8
1( ) = =
=
Logo, f x x( ) = 3
8
2
Assim, 
f
f
3
3
8
2
3
3
8
8 3
3( ) =
( ) = =
5) Calcule x.
73x+4 = 492x‑3
Solução:
73x+4 = (72)2x‑3
73x+4 = 74x‑6
3x + 4 = 4x ‑6
x = 10
6) Calcule a equação exponencial a seguir:
2 16
3 1 3 2 1( ) = ( )− −x x
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Unidade II
Solução:
2 2
2 2
2
1
2
3 1
43
2 1
1
2
3 1 4
3
2 1
3



 = ( )



 =




−
−
− −
x
x
x x
xx x
x x
Assim
x x
x
−
−
− −
=




= =
−
=
−
− =
1
2
4
3
2 1
3 1
2
8 4
3
2
2 2
3 1
2
8 4
3
9 3 1
:
66 8
7 5
x
x
−
=
Portanto, x =
5
7
Assim, a solução do sistema é S = 

5
7
7) Se 0 4
5
2
4 1 3,( ) =+x
Solução:
Primeiro, vamos transformar os decimais (números com vírgulas) em frações:
4
10
5
2
4 1
3

 =
+x
Podemos simplificar a fração da esquerda e transformar em potência o lado direito da igualdade:
2
5
5
2
4 1
1
3


 =




+x
As bases estão quase igualadas, mas uma é o inverso da outra. Vamos inverter uma delas e adicionar 
o expoente ‑1.
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16
-0
4-
20
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
2
5
2
5
4 1
1
3


 =




+ −x
As bases estão igualadas, então podemos cortá‑las e igualar os expoentes.
4 1
1
3
3 4 1 1
12 3 1
12 1 3
12 4
1
3
x
x
x
x
x
x
+ == −
+( ) = −
+ = −
= − −
= −
= −
Portanto, x vale = −
1
3
8) Se determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor t anos, após sua compra, 
é dado por v(t) = v0 . 2
‑0,2t, em que v0 é uma constante real, após dez anos, se a máquina estiver valendo 
R$ 12.000,00, determine o valor pelo qual ela foi comprada.
Solução:
Após dez anos.
Então,
v(10) = v0 . 2
‑0,2 . 10
Mas v(10) = 12000; logo,
12000 2
12000 2
12000
1
4
0
0 2 10
0
2
0
=
=
=
−
−
v
v
v
.
.
.
, .
Portanto, v0 = 48000
Assim, a máquina foi comprada por R$ 48.000,00.
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Unidade II
9) Se f x x( ) = +161
1
, calcule f(‑1) + f(‑2) + f(‑4).
Solução:
Para resolver, basta calcular a função substituindo o valor de x:
f x
f
f
f
f
x( ) =
−( ) =
−( ) =
−( ) =
−( ) = =
+
+
−
−
16
1 16
1 16
1 1
2 16 16
1
1
1
1
1
0
1
1
2
1
2
==
−( ) = =
−( ) = ( )
−( ) = =
−
4
4 16 16
4 2
4 2 8
1
1
4
3
4
4 34
3
f
f
f
Portanto:
(‑1) + f(‑2) + f(‑4) = 1 + 4 + 8 = 13
4.3 Logaritmos
Formalizada pelo escocês John Napier (1550‑1617), a Teoria dos Logaritmos tornou‑se extremamente 
importante na descrição de vários fenômenos da natureza, bem como na resolução de vários problemas 
complexos na Matemática. Podemos citar como exemplos de uso dos logaritmos: medidas de níveis 
sonoros, medidas de intensidade de um terremoto, em Astronomia, para medir a intensidade do brilho 
de estrelas, entre tantas outras aplicações.
O que vem a ser um logaritmo? Como ele é representado? Para responder a essas perguntas, vamos 
voltar ao tópico anterior, em que estudamos as funções exponenciais.
Vamos lembrar, por exemplo, que o número 16 pode ser decomposto como:16 = 24
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Ao expoente dessa potência damos o nome de logaritmo. Portanto, 4 é o logaritmo de 16 na base 2. 
Usando a simbologia dos logaritmos, temos:
16 = 24 → log2 16 = 4
Outros exemplos:
36 = 62 → log6 36 = 2
32 = 25 → log2 32 = 5
4 = 22 → log2 4 = 2
Podemos definir matematicamente o logaritmo como: 
Dados dois números, a e b, sendo a > 0 e a ≠ 1 e b > 0, existe somente um real x, tal que:
ax = b → loga b = x
Na nomenclatura dos logaritmos, temos:
• a: base do logaritmo
• b: logaritmando
• c: logaritmo
Exemplos de cálculos de logaritmos:
log1
4
1
32
1
4
32
4 32
→



 =
( ) =−
x
x
Escrevendo o número 4 em potência de 2:
(2‑2) x = 25
2‑2x = 25
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Unidade II
Igualando as bases:
− = → =
−
→( ) =
( ) = → =
2 5
5
2
1 7 1
7 7 0
7
0
x x
x
x
x
log
Assim, x = 0.
log3
1
2
3
1
2
3
2
27 3 27
3 27
3 3
3 3
3
2
→ =
=
= ( )
= → =
x
x
x
x x
Portanto, x =
3
2
.
 Observação
O logaritmo de base 10 é chamado logaritmo decimal, e é representado por 
log a. Quando o logaritmo é escrito dessa maneira, a base fica subentendida.
4.4 Propriedades dos logaritmos
• loga 1 = 0, o log 1 em qualquer base é sempre igual a 0.
 De fato, loga 1 = x → a
x = 1 → ax = a0 → x = 0.
• loga a = 1, o logaritmo da base, qualquer que seja a base, é sempre 1.
 
 loga a = 1 → a
x = a → ax = a1 → x = 1.
• loga a
m = m, o logaritmo de uma potência a é igual ao expoente m.
 loga a
m = x → ax = am → ax = am → x = m.
• loga b = loga c, se dois logaritmos com a mesma base são iguais, então significa que os logaritmandos 
são iguais, portanto a = b. 
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
loga b = x → a
x = b
loga c = x → a
x = c
Logo, a = c.
• a loga loga b = ab
Se loga a
m = m, então loga loga b = b, portanto, a loga loga b = ab.
Exemplos 
1) Sabendo que logb a = 3, calcule logb a
5.
Solução:
logb a
5 = 5 logb a mas logb a = 3 ∴ logb a
5 = 5 . 3 = 15
2) Calcule o valor de A = 52+log5→3.
Solução:
52+log5→3 = 52 . 5log5→3
Usando a propriedade, temos que 5log5→3 = 3
Assim, 52+log5→3 = 52 . 5log5→3 = 25 . 3 = 75.
3)Sabendo se que logb a = 4, calcule logb a
56 .
Solução:
log log logb b ba a a
56
5
6 5
6
= =
Como logb a = 4
∴ = = =log . .b a
56 5
6
4
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6
10
3
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Unidade II
4.5 Propriedades operacionais dos logaritmos
• O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores, ou seja, 
logb (m . n) = logb m + logb n
• O logaritmo de um quociente é dado por:
log log logb b b
m
n
m n

 = −
• O logaritmo de uma potência é dado por:
logb m
k = k logb m
Existem momentos em que nos deparamos com certo logaritmo em determinada base e temos de 
convertê‑lo em outra base. Por exemplo, se quisermos calcular log7 2, não conseguiremos por meio de 
calculadoras, pois estas só trabalham com logaritmos na base 10 ou na base neperiana. Nesse caso, 
devemos fazer uso de um artifício matemático que permite calcular esse logaritmo a partir de logaritmos 
de bases conhecidas. Essa ferramenta poderosa que facilita os cálculos chama‑se mudança de base. 
Como fazer isso? Essa mudança não altera o resultado?
A mudança de base é definida como:
log
log
logb
c
c
a
a
b
c= ≠ 1
Essa mudança não altera o resultado; vejamos alguns exemplos:
log
log
log64
2
2
32
32
64
5
6
= =
log
log
log81
3
3
9
9
81
2
4
= =
4.6 Função logarítmica
Podemos dizer que uma função logarítmica é toda função definida pela Lei de Formação f(x) = logax, 
com a ≠ 1 e a > 0. Nesse tipo de função, o domínio é representado pelo conjunto dos números reais 
maiores que zero, e o contradomínio, pelo conjunto dos reais.
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Alguns exemplos de funções logarítmicas:
f x x
f x x
f x x
f x x
f x x
( ) =
( ) =
( ) =
( ) =
( ) =
log
log
log
log
log
2
3
1
2
2
10
No caso das funções logarítmicas, dois casos devem ser considerados para análise.
Caso 1: A > 1, o gráfico tem a seguinte forma quando são atribuídos a x os infinitos valores reais 
positivos, conforme tabela a seguir:
Tabela 5
x 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8
y 0,25 0,5 1 0 1 2 3
0 2 4 6 8
y
x
2
0
‑2
Figura 54 – Gráfico de uma função logarítmica no caso em que a > 1
Observamos que essa é uma função crescente em todo o seu domínio.
Caso 2: 0 < a < 1, o gráfico tem a seguinte forma quando são atribuídos a x os infinitos valores reais 
positivos, conforme tabela a seguir:
Tabela 6
x 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8
y 3 2 1 0 ‑1 ‑2 ‑3
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Unidade II
0 2 4 6 8
y
x
3
1
‑1
‑3
Figura 55 – Gráfico de uma função logarítmica no caso em que 0 < a < 1
Comparando os dois gráficos, podemos observar que:
• estão totalmente à direita do eixo y, pois está definido para y > 0.
• ambos interceptam, ou seja, cruzam o eixo do x, no ponto (1,0), o que mostra que a função 
apresenta uma raiz.
• y assume todos os valores reais.
 Observação
Conforme pode ser observado, a função logarítmica é o inverso da 
função exponencial.
4.7 Equação logarítmica
Para finalizar esta unidade, vamos estudar as equações logarítmicas, ou seja, aquelas em que a 
incógnita x apresenta‑se na base de um logaritmo ou no logaritmando. Para resolver essas equações, 
devemos usar as propriedades dos logaritmos.
Temos dois casos de equações logarítmicas:
Caso 1: loga r = f(x) → f(x) = a
r
Exemplo:
log x x
x
x x
S
2
43 1 4 2 3 1
3 1 16
3 15 5
5
+( ) = → = +( )
+ =
= → =
∴ = { }
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Caso 2: loga f(x) = loga g(x) → f(x) = g(x)
Exemplo: log(x+2) + log(x‑2) = log 3x
Usando a propriedade dos logaritmos logb (m . n) = logb m + logb n, podemos reescrever a equação 
assim:
log(x+2) (x‑2) = log 3x
Usando a propriedade dos produtos notáveis, visto na unidade 1, temos:
log(x2 ‑ 4) = log 3x
Como as bases são iguais, basta igualar os logaritmandos, portanto:
x2 ‑ 4 = 3x, 
que é uma equação do segundo grau. Assim, precisamos calcular as raízes:
x x
b ac
x
b
a
x ex
2
2
1 2
4 3 0
4 9 16 25
2
3 25
2
4 1
− − =
= − = + =
=
− ±
=
±
→ = = −
∆
∆
Obtemos dois valores para as soluções, porém temos de analisar as condições, já que:
(x + 2)> 0 e (x ‑ 2) > 0 → x > ‑2 e x > 2
A solução que satisfaz a condição, portanto, é S = {4}.
Outro exemplo para ilustrar o uso das propriedades dos logaritmos na resolução das equações:
log log
log ( )
3 3
3
2
2
1 7 2
1 7 2
1 7 3
6 7
x x
x x
x x
x x
+( ) + −( ) =
+( ) − =
+( ) −( ) =
− − = 99
6 16 02x x− − =
Resolvendo a equação, obtemos x1 = 8 e x2 = ‑2.
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Unidade II
Observando as condições de existência x > ‑1 e x > 7 ∴ a única solução possível é S = {8}.
 Saiba mais
Uma aplicação interessante é a medição da intensidade de um terremoto 
medida na Escala Richter. Vários filmes descrevem esse tipo de desastre 
natural e podem ajudar na interação com esse conteúdo, como: 
2012. Direção: Roland Emmerich. Estados Unidos: Columbia Pictures, 
2012. VHS (158 min).
TERREMOTO. Direção: Mark Robson. Estados Unidos: Universal 
Pictures, 1974. VHS (123 min). 
Mais exercícios para fixação: 
1) Resolver a equação log2 (x + 2) + log2 (x ‑ 2) ‑5.
Solução:
Devemos estabelecer as condições de existência, que são: x > ‑2 e x > 2; portanto, para que essas 
duas condições sejam satisfeitas, temos que x > 2.
A propriedade do logaritmo de um produto permite‑nos reescrever a equação como:
log2 (x + 2) (x ‑ 2) = 5
Pela definição de logaritmo:
(x + 2) (x ‑ 2) = 25
Calculando o produto, temos:
x2 ‑ 4 = 32
x2 = 36
x = ± 6
Somente 6 satisfaz a condição inicial, e, portanto, S = {6}.
2) Resolver a equação log2 x + log4 x + log16 x = 7.
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Solução:
A condição de existência é x > 0.
Vamos escrever tudo na base 2 para facilitar os cálculos, ou seja, vamos mudar de base.
log log log
log
log
log
log
log
log
2 4 16
2
2
2
2
2
2
7
4 16
7
4
x x x
x
x x
Mas
+ + =
+ + =
==
+ + =
=
+ + =
= → =
2
2 4
7
2 4
7
7
4
7 4
2
2 2
2
log
log log
log :
x
x x
Chamando x y
y
y y
y
y
MMas x y x x
Porta to S
log log
n ,
2 2 4 16
16
= → = → =
= { }
3) Determine o Conjunto Solução da equação:
2 log2 (x ‑ 3) ‑ log2 (x ‑ 3) = 0 
Solução:
Usando a propriedade da subtração de dois logaritmos, podemos reescrever a equação como:
2 3 3
3
3
3 02 2
2
2log ( ) log log ( )x x
x
x
x− ÷ −( ) = −( )
−( ) → − =
Pela propriedade dos logaritmos, temos:
x x− = = → =3 2 1 40 
4) A Escala Richter relaciona a magnitude M de um terremoto à sua energia liberada E (em ergs) pela 
equação:
logE = 11,8 + 1,5M
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Unidade II
Se um terremoto liberou energia equivalente a 1025 ergs, então calcule sua magnitude.
Solução:
logE = 11,8 + 1,5M
log1025 = 11,8 + 1,5M
Usando a propriedade dos logaritmos, temos:
25 = 11,8 + 1,5M
1,5M = 13,2
M = 8,8
A magnitude associada a esse terremoto, portanto, foi de 8,8.
5) Construir o gráfico da função f x x( ) = log1
2
.
Solução:
Para fazer o gráfico, atribuímos valores a x, conforme a tabela:
Tabela 7
x 8 4 2 1 0,5 0,25 0,125
y ‑3 ‑2 ‑1 0 1 2 3
y
3
1
‑1
3
‑3 1 5
x
Figura 56
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Observando a curva formada pelo gráfico, nos pontos em que y ≥ 0, notamos que essa se assemelha 
a uma famosa torre: a Torre Eiffel. É a matemática aplicada em Arquitetura e Engenharia.
6) Calcule log5 625 + log 100 ‑ log3 27.
Solução:
log5 625 é expoente da potência de base 5, que resulta em 625.
log5 625 = x → 5
x = 625
625 pode ser fatorado, por meio de sua decomposição, em fatores primos.
Assim, 625 = 54
Logo, 5x = 54 → x = 4
log100 é o expoente da potência de base 10, que resulta em 100.
log100 = x → 10x = 100
Como se sabe, uma potência de 10 com expoente natural resulta em um número começando pelo 
algarismo 1 seguido de tantos zeros quanto indicados por esse expoente.
O número 100 possui dois zeros após 1, porque o expoente da potência de base 10 é igual a 2.
Assim:
10x = 102 → x = 2
O log3 27 é igual a 3, visto que o número 27 pode ser decomposto em fatores primos, resultando em:
27 = 33
Assim,
log3 27 = x → x = 3
Portanto,
log5 625 + log100 ‑ log3 27 = 4 + 2 ‑ 3 = 3
7) Calcule log3 5 sabendo que log3 45 = 3,464974.
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Unidade II
Solução:
log3 5 pode ser escrito como:
log3
45
9
Portanto,
log log3 35
45
9
=
Pela propriedade dos logaritmos, podemos escrever:
log log log
log
3 3 3
3
5 45 9
9 2
= −
=
Portanto,
log log log
log ,
log ,
3 3 3
3
3
5 45 9
5 3 464974 2
5 2 464974
= −
= −
=
8) Sabendo‑se que logx 2 = a e logx 3 = b, calcule logx 12
3
Solução:
Primeiramente vamos utilizar a propriedade dos logaritmos e escrever logx 12
3 como:
log log logx x x12 12
1
3
123
1
3
= =
Vamos escrever 12 como um produto entre 4 e 3.
Assim,
1
3
12
1
3
4 3log log .x x=
Utilizando a propriedade dos logaritmos, que diz que um produto pode ser separado numa soma, 
temos:
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
1
3
4 3
1
3
4
1
3
3
1
3
4
1
3
2
2
3
22
log . log log
log log log
x x x
x x x
= +
= =
Portanto, 
1
3
4 3
2
3
2
1
3
3log . log logx x x= +
 
Como: 
logx 2 = a e logx 3 = b, temos:
logx a b12
2
3
1
3
3
= +
 
Portanto, logx a b12
2
3
1
3
3
= + .
9) Calcule log 100,23 sabendo que log 10123 = 2,09.
Solução:
Queremos calcular log 101,23, então vamos escrevê‑lo como:
log 101,23 = log 10123 . 10‑2
Utilizando a propriedade, temos:
log . log
og , , :
log ,
10123 10 10 10123
10123 2 09
101
2 2− −
=
=Como l temos
223 10 10123
10123 10 2 09
10123 0 0209
2
2
=
=
=
−
−
.
.
log
log , ,
log , ,
log . log
og , , :
log ,
10123 10 10 10123
10123 2 09
101
2 2− −
=
=Como l temos
223 10 10123
10123 10 2 09
10123 0 0209
2
2
=
=
=
−
−
.
.
log
log , ,
log , ,
94
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Unidade II
 Resumo
Na Unidade II, pudemos aprender mais sobre funções e suas 
propriedades. Mais do que isso, vimos que a Matemática apresenta uma 
forma progressiva de aprendizado, tanto que conceitos aprendidos na 
Unidade I foram utilizados aqui.
O conhecimento de funções impulsionou o desenvolvimento tecnológico 
em todas as áreas. As funções permeiam nossa vida cotidiana, por exemplo, 
o valor da conta de luz, o cálculo do imposto de renda etc. A noção de 
função permite que possamos estabelecerrelações de dependência entre 
as quantidades.
Começamos esta unidade descrevendo as funções do 1º e do 2º grau, 
vimos como essas funções se comportam e aprendemos a calcular as 
raízes. Aprendemos sobre análise de gráficos, identificamos, no caso 
das funções do 2º grau, a concavidade e os elementos da parábola, 
crescimento e decrescimento de funções, bem como o cálculo de seus 
máximos e mínimos.
Verificamos suas aplicações em diversos ramos da ciência, como na 
Física (na descrição de movimentos), na Biologia (ao descrever o processo 
de fotossíntese), na Administração (cálculo de taxas de juro, cálculo das 
funções receita e lucro), entre outras.
Aprendemos sobre funções exponenciais e logarítmicas, seus gráficos 
e equações. Pudemos ver que existe uma relação entre essas duas 
funções e suas aplicações no mundo; por exemplo, em Geografia, as 
funções exponenciais podem ser utilizadas para descrever fenômenos de 
crescimento populacional; em Biologia, nos processos de crescimento de 
culturas bacterianas. Já as funções logarítmicas podem ser utilizadas na 
descrição de processos complexos cujas medidas (muito grandes ou muito 
pequenas) estão situadas em intervalos com uma amplitude muito grande; 
por exemplo, em Astronomia, o brilho de uma estrela é medido por meio 
de logaritmos, bem como em Geologia é medida a intensidade de um 
terremoto. 
Nesta unidade, portanto, vimos que a Matemática é dinâmica, está 
presente em nossa vida cotidiana e nos possibilita entender e interpretar 
melhor alguns fenômenos que nos cercam.
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 M
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a 
16
-0
4-
20
14
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
 Exercícios
Questão 1. (Enade 2008) Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta diretamente para 
o gol. A falta é batida do ponto P, localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a trajetória da bola 
seja uma parábola, com ponto de máximo em Q, exatamente acima da barreira, a 3 metros do chão, 
como ilustra a figura a seguir.
3
Q
x P
gol
R
8 12
parábola
barreira
posição da falta
0 x
y
Sabendo‑se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura está a bola ao atingir o gol?
A) 3/2 m
B) 4/3 m
C) 1 m
D) 2 m
E) 5/3 m
Resposta correta: alternativa E.
Justificativa geral
Para encontrarmos a alternativa correta, devemos utilizar a teoria de funções do 2° grau e desenvolver 
os cálculos de acordo com os dados do exercício.
A função do 2° grau tem a forma geral y = ax² + bx + c, sendo a, b e c constantes reais e a ≠ 0.
A partir dos dados do enunciado, para x = 0, temos:
y = ax² + bx + c
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Unidade II
y = a(0)² + b(0) + c
y = c
c = 3
Portanto, se x = 0, temos y = c. No caso, c = 3.
Considerando dois pontos conhecidos da parábola {(0, 12) e (0, ‑12)}, fazemos:
y = ax² + bx + c
0 = a(12)² + b(12) + 3→(I)
0 = a(‑ 12)² + b(‑ 12) + 3 →(II)
Então:
144a +12b = -3 (I)
144a -12b = -3 (II)
Somando as equações (I) e (II), temos:
288 6
6
288
3
144
a a a= − → =
−
→ =
−
Para calcularmos b, fazemos:
144a +12b = -3
144
3
144
12 3 3 12 3 12 3 3 0
−


 + = − → − + = − → = − + → =b b b b
Conhecidos os valores de a, b e c, a função do 2° grau que representa a trajetória parabólica da 
bola é:
y x=
−
+
3
144
32
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Para calcularmos a altura da bola quando x = ‑8, fazemos:
y x y y y
y
=
−
+ → =
−
−( ) + → = − ⋅ + → = − + →
→ =
−
3
144
3
3
144
8 3
3 64
144
3
192
144
3
4
3
2 2
++ → =
− +
=3
4 9
3
5
3
y y
Logo, a altura da bola quando ela atinge o gol é igual a 
5
3
m.
Questão 2. (Enade 2008) Na discussão relativa a funções exponenciais, um professor propôs a 
seguinte questão: para que valores não nulos de k e m a função f(x) = mekx é uma função crescente? 
Como estratégia de trabalho para que os alunos respondam à questão proposta, é adequado e suficiente 
o professor sugerir que os alunos:
A) Considerem m = 1 e k = 1, utilizem uma planilha eletrônica para calcular valores da função f em 
muitos pontos e comparem os valores obtidos.
B) Considerem m = 1 e k = 1, m = ‑1 e k = 1, esbocem os gráficos da função f e, em seguida, 
comparem esses dois gráficos.
C) Formem pequenos grupos, e cada grupo deve esboçar o gráfico de uma das funções y = mex, para 
m = 1, 2, 3, 4 ou 5, e comparem, em seguida, os gráficos encontrados.
D) Esbocem os gráficos das funções y = ex e y = e‑x e analisem o que acontece com esses gráficos 
quando a variável e a função forem multiplicadas por constantes positivas ou negativas.
E) Construam uma tabela com os valores de f para x número inteiro variando de ‑5 a 5, fixando 
m = 1 e k = 1 e, em seguida, comparem os valores encontrados.
Resolução desta questão na plataforma.