Apanhadão Matemática Aplicada (Discursivas)

Prévia do material em texto

1) Um serviço de internet admite as seguintes funções de demanda e oferta: QD = 16 – 2p e QS = 2p
a) Defina o equilíbrio de mercado (preço e quantidade).
D = S QS = 16 – 2p
16 – 2p = 2p QD = 16 – 2.4
16 = 2p + 2p QD = 16 - 8
16 = 4p QD = 8 unidades
16/4 = p
p = R$ 4,00
b) Admitindo que as empresas consigam impor um preço de R$ 7,00 no mercado, quais são as consequências deste fato na situação 
inicial? Teremos um excesso de demanda ou oferta? O que a empresa deve fazer para voltar ao equilíbrio?
P = R$ 7,00 Haverá uma queda nas vendas, teremos um excesso de oferta. Para voltar ao PE a empresa 
QD = 16 – 2.7 deverá baixar o custo do item.
QD = 16 – 14
QD = 2 unidades
c) Admitindo que as empresas consigam impor um preço de R$ 3,00 no mercado, quais são as consequências deste fato na situação 
inicial? Teremos um excesso de demanda ou oferta? O que a empresa deve fazer para voltar ao equilíbrio?
P = R$ 3,00 Haverá um aumento nas vendas, tendo um excesso de demanda. Deverá aumentar o preço
QD = 16 – 2.3
QD = 16 – 6 
QD = 10 unidades
2) Um grupo de artesãos, dedicado à confecção de produtos, tem um gasto fixo de R$ 600,00 e um custo variável com material de R$ 
25,00 por unidade produzida. O grupo decidiu vender cada unidade por R$ 175,00. Determine:
a) Quantas unidades os artesões terão de vender para obter o nivelamento de receita e custo? Qual é o preço de nivelamento?
C (x) = 600 + 25.q Encontrando o preço de nivelamento:
R (x) = 175.q 
 C (x) = R (x)
RT = CT 600 + 25.q = 175.q
175.q = 600 + 25.q 600 + 25.4 = 175.4
175.q – 25.q = 600 600 + 100 = 700
150.q = 600 700 = 700
q = 600/150 Preço de nivelamento é:
q = 4 unidades R$ 700,00
b) Quantas unidades os artesãos terão de vender para obter um lucro de R$ 450,00?
L = R$ 450,00
LT = RT – CT
450 = 175.q – (600 + 25.q)
450 = 175.q – 600 -25 . q
450 + 600 = 175.q – 25.q
1050 = 150.q
1050/150 = q
q = 7 unidades
3) Em um restaurante, o custo unitário de uma sobremesa é de R$ 10,00 e o custo fixo associado à produção é R$ 60,00. Como o 
preço de venda da sobremesa está por R$ 13,00, o dono do restaurante quer verificar se ele está de acordo com a oferta e a demanda.
a) Quais as funções receita e custo?
As funções receita e custo são respectivamente:
CT (Custo Total que é a soma do custo unitário mais o custo fixo), então obtemos:
CT = 60 + 10.x
A receita é:
RT = 13.x
b) Qual é a função lucro? Quantas sobremesas ele deverá vender para não ter prejuízo, isto é, quando o lucro é zero?
LT = RT – CT L = 3.x – 60
LT = 13.x – (60+ 10.x) 0 = 3.x – 60
LT = 13.x – 60 – 10.x 60 = 3.x 
LT = 3.x – 60 60/3 = x
 x = 20 sobremesas vendidas
c) Qual deverá ser a produção necessária para que haja um lucro de R$ 120,00?
APANHADÃO MATEMÁTICA APLICADA (DISCURSIVAS)
L = 3x – 60
120 = 3x – 60
120 = 60 = 3x
180 = 3x
180/3 = x
x = 60 sobremesas vendidas
4) No mercado de automóveis, temos as curvas de demanda e oferta de um rádio simples. As curvas de demanda e oferta são dadas 
respectivamente por : QD = 250 – P e QS = - 50 + P. 
a) Determine o preço e a quantidade de equilíbrio neste mercado. 
QD = QS QD = 250 – p 
250 – p = -50+ p QD = 250 - 150
250 + 50 = p +p QD = 100unidades
300 = 2p
300/2 = p
p = R$ 150,00
b) Se o preço neste mercado fosse igual a 200, que situação se verificaria? Para verificar esta situação compare com a demanda e a 
oferta de rádios. Nesta situação está ocorrendo excesso de oferta ou excesso de demanda? Qual o ajustamento previsível para o 
equilíbrio?
p = R$ 200,00
QD = 250 – p QS = - 50 + p Está ocorrendo, excesso de oferta.
QD = 250 – 200 QS = - 50 + 200 Para que haja ajustamento temos que diminuir o preço da oferta para 
QD = 50 QS = - 50 + 200 que esse se iguale a demanda.
 QS = 150
5) Um produtor de vinho caracterizou o mercado pelas funções demanda e oferta:
- Função demanda: QD = 120 – P.
- Função oferta: QS = P – 20
a) Para que ocorra mercado, as condições básicas de demanda são QD > 0 e P > 0. Determine a faixa de preço para QD > 0 e 
determine a faixa de quantidade demandada para P > 0.
QD > 0
120 – p > 0
120 > p
0 < p < 100
b) Para que ocorra mercado, o produto deve ser oferecido para venda, portanto QS > 0 e P > 0. Determine a partir de que preço o 
produto deve ser oferecido, isto é, QS > 0. 
QS > 0
p – 20 > 0
p > 20
c) Com estas funções, ele espera decidir um preço aceitável no mercado. Então determine a quantidade de vinho e o preço do ponto 
de equilíbrio do mercado.
QD = QS QD = 120 - p
120 – p = p – 20 QD = 120 - 70
120 + 20 = p + p QD = 50 unidades de vinho
140 = 2 p
140/2 = p
p = R$ 70,00 (PE)
6) Um produtor pode fazer estantes ao custo de 20 reais cada. Os números de venda indicam que, se as estantes forem vendidas a 
"x" reais cada, aproximadamente (120 – x) serão vendidas por mês.
a) Encontre as funções custo total, C(x), e receita, R(x) em função do preço de venda "x". 
C (x) = 20. (120 – x) R (x) = x.(120 - x)
C (x) = 2400 – 20x R (x) = 120x - x²
b) Expresse o lucro mensal do produtor em função do preço de venda "x". 
L (x) = R (x) – C (x)
L (x) = 120x – x² – (2400 – 20x)
L (x) = 120x – x² – 2400 + 20x
L (x) = - x² + 140x - 2400
c) Qual é o lucro do produtor se o preço de venda for de R$ 110,00 ?
L (x) = x² + 140x – 2400
L (110) = - 110² + 140.110 – 2400
L (110) = - 12100 + 15400 – 2400
L (110) = 3300 – 2400
L (110) = R$ 900,00
 
d) Qual o preço de venda que gera um lucro de R$ 4.560 ? 
7) Uma siderúrgica fabrica pistões para montadoras de motores automotivos. O custo fixo mensal de R$ 950,00 inclui conta de 
energia elétrica, de água, impostos, salários e etc. Existe também um custo variável que depende da quantidade de pistões 
produzidos, sendo a unidade R$ 41,00. Considerando que o valor de cada pistão no mercado seja equivalente a R$ 120,00. Calcule o 
valor do lucro líquido na venda de 1000 pistões e quantas peças, no mínimo, precisam ser vendidas para que se tenha lucro.
Função Custo Total mensal : Função Receita Função Lucro 
C (x) = 950 + 41x R (x) = 120x L (x) = 120x – (950 + 41x)
Lucro líquido na produção de 1000 pistões R (x) > C (x)
L (x) = 120x – (950 + 41x) 120x > 950 + 41x Para ter lucro é preciso vender acima de 
L (x) = 120.1000 - ( 950 + 41. 1000) 120x – 41x > 950 12 peças.
L (x) = 120000 – (950 + 41000) 79x > 950
L (x) = 120000 – 950 – 41000 x > 950/ 79
L (x) = 119050 – 41000 x = 12 unidades 
L (x) = R$ 78050,00
8) Um empresário deseja obter mensalmente um lucro de pelo menos R$ 12.000,00 na produção de um determinado 
bem. O preço de venda unitário é R$ 4,00 e o break-even point (B.E.P) se dá quando a produção atinge 4.000 
unidades/mês. Qual a produção mensal mínima para que o empresário alcance o lucro pretendido, sabendo que o 
custo variável unitário de produção é R$ 2,00?
https://pt.slideshare.net/LuanGuerra/caderno-matemtica-ii( pesquisar)
9) Um fabricante de chiclete queria verificar quantidade mínima de chiclete que deveria vender para começar a obter lucro. O 
gerente de vendas verificou que a função receita e a função custo são dadas por Rt (x) = 0,5x e Ct (x) = 20 + 0,25x. Além disso, ele 
construiuum gráfico para visualizar melhor a situação da empresa : 
https://pt.slideshare.net/LuanGuerra/caderno-matemtica-ii
Observe e analise as funções receita e custo, e o gráfico das funções dado. Agora, responda para o fabricante:
a) Qual o valor dos custo fixo para a fabricação de chicletes?
CT (x) = 20 + 0,25.x
 \/
 custo fixo tem o valor de R$ 20,00
b) Qual a função lucro ?
LT (x) = RT (x) – CT (x)
LT (x) = 0,5x – (20 + 0,25x)
LT (x) = 0,5x – 20 – 0,25x
LT (x) = 0,25x - 20
c) A partir de quantas unidades vendidas de chiclete a empresa terá lucro? E o preço de equilíbrio?
R (x) > C (x) Para ter lucro a empresa precisa vender Encontrando o ponto de equilíbrio:
0,5x > 20 + 0,25x a partir de 80 unidades de chiclete. RT = CT
0,5x – 0,25x > 20 0,5x = 20 + 0,25x O ponto de equilíbrio será em 80 
0,25x > 20 0,5x – 0,25x = 20 unidades.
x > 20/0,25 0,25x = 20
x > 80 unidades x = 20/0,25
 x = 80unidades
d) Se a empresa vender 123 chicletes, ela terá lucro ou prejuízo? Qual será o valor do lucro ou prejuízo?
A empresa terá lucro, pois o valor da receita L (x) = 0,25x - 20
é maior que o valor do custo. L (x) = 0,25.123 – 20
 L (x) = 30,75 – 20
 L (x) = R$ 10,75
10) Determina o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio no seguinte caso: D = 20 – P e S= -10 + 2 P , com P ≤ R$ 20, 00 .
QD = QS QD = 20 - p
20 – p = - 10 + 2 p QD = 20 - 10
20 + 10 = 2 p + p QD = 10 unidades
30 = 3 p
30/3 = p
p = R$ 10,00
11) Considere as funções RT = 3,5.q e CT = 10 + 1,5.q, para 0 ≤ q ≤ 10 unidades de determinada utilidade. O ponto de 
nivelamento é:
RT = CT
3,5.q = 10 + 1,5 .q
3,5.q – 1,5q = 10
2q = 10
q = 10/2
q = 5 unidades (ponto de nivelamento)
12) Uma empresa produz trufas de chocolate, cujo custo de fabricação pode ser dividido em duas partes: uma independente da 
quantidade vendida de R$1500,00 mensais, outra dependente da quantidade fabricada de R$0,50 por unidade.
Escreva as expressões que permitam determinar o número de trufas que devam ser vendidas num mês para que a empresa não tenha
prejuízo nesse mês sabendo-se que o preço de venda de cada unidade é de R$1,50.
CT = 1500 + 0,50x
RT = 1,50.x
LT = RT – CT
0 = 1,50x – (1500 + 0,50x)
0 = 1,50x – 1500 – 0,50x
1500 = 1,50x – 0,50x
1500 = 1,00x
1500/1,00 = x
x = 1500
13) Uma empresa resolveu investir em um novo sabor de chocolate. Após um tempo no mercado, a empresa determinou a função 
demanda e oferta do chocolate. A função demanda é dada por D= 34-5p e a função oferta é dada por S= -8 +2p.
a) Para estudar o melhor preço do chocolate no mercado, a empresa determinou o preço e a quantidade de equilíbrio. Quais foram 
estes valores?
QD = QS QS = - 8 + 2p
34 -5p = -8 + 2p QS = - 8 + 2.6
34+8 = 2p+5p QS = - 8 + 12
42 = 7p QS = 4 unidades
42/7 = p
p = R$ 6,00
b) Construa o gráfico das funções demanda e oferta do chocolate. Varie o preço de dois em dois reais, iniciando do zero. Obs: 
determine o eixo horizontal sendo o preço e o eixo vertical sendo a quantidade.
Demanda
P D
0 34
2 24
4 14
6 4
QD = 34 – 5p QD = 34 – 5p QD = 34 – 5p QD = 34 – 5p 
QD = 34 – 5.0 QD = 34 – 5.2 QD = 34 – 5.4 QD = 34 – 5.6
QD = 34 QD = 34 – 10 QD = 34 – 20 QD = 34 - 30
 QD = 24 QD = 14 QD = 4
 
Oferta
P D
0 34
2 24
4 14
6 4
S = - 8 + 2.p S = - 8 + 2.p S = - 8 + 2.p S = - 8 + 2.p
S = - 8 + 2.0 S = - 8 + 2. 2 S = - 8 + 2. 4 S = - 8 + 2. 6
S = - 8 S = - 8 + 4 S = - 8 + 8 S = - 8 + 12
 S = - 4 S = 0 S = 4
14) (INSTITUTO DE ECONOMIA – UFRJ – Introdução à Economia – 2011 – I Prof.: Marta Lemme) Suponhamos que a curva da 
demanda de um vinho importado seja dada por Q = 300 – 2P + 4I, onde I é a renda média em milhares de reais. A curva da oferta é 
Q = 3P -50. Se I = 25, calcule o preço e a quantidade de equilíbrio de mercado para o produto.
D = 300 – 2P + 4I 
S = 3p – 50
I = 25
D = S
300 – 2p + 4 I = 3p – 50 D = 300 – 2p + 4I
300 – 2p + 4 . 25 = 3p – 50 D = 300 – 2.90 + 4.25
300 – 2p + 100 = 3p – 50 D = 300 – 180 + 100
300 + 100 + 50 = 3p + 2p D = 400 - 180
450 = 5p D = 220 unidades
450/5 = p
p = R$ 90,00
15) A equação demanda de um produto para celular é QD = 20 – p e a função do custo total associado é CT = 2q + 17, sendo p o preço
de venda por unidade e q a respectiva quantidade vendida.(Olhar no apanhadão pé duro)
a) Varie o preço do produto para celular e relacione em uma tabela a demanda e a receita total RT = p . q, para os variados preços.
P QD = 20 - P RT = P * QD
0 20 0
4 16 64
8 12 96
12 8 96
16 4 64
20 0 0
 p = 0 p = 4 p = 8
QD = 20 – p RT = p. QD QD = 20 - p RT = p.QD QD = 20 – p RT = p.QD 
QD = 20 – 0 RT = 0.20 QD = 20 – 4 RT =4.16 QD = 20 – 8 RT = 8.12
QD = 20 RT = 0 QD = 16 RT = 64 QD = 12 RT = 96
 p = 12 p = 16 p = 20
 QD = 20 – p RT = p.QD QD = 20 – p RT = p.QD QD = 20 – p RT = p.QD 
 QD = 20 – 12 RT = 12.8 QD = 20 – 16 RT = 16 .4 QD = 20 – 20 RT = 20.0
 QD = 8 RT = 96 QD = 4 RT = 64 QD = 0 RT = 0
b) Observando a tabela, podemos afirmar que subir os preços do produto para celular garante aumento da receita total? Justifique 
sua resposta.
Não garante aumento na receita total, pois quando o preço aumenta a receita total varia de acordo com o preço do produto.
c) A função receita é dada por RT = 20q – q². Determine o valor da receita total quando q for igual a 10 unidades vendidas do 
produto para celular.
RT = 20q – q², q = 10 unidades
RT = 20.10 – 10²
RT = 200 – 100
RT = R$ 100,00
d) Qual será o custo total quando q for igual a 10 unidades.
CT = 2.q + 17
CT = 2.10 + 17
CT = 20 + 17
CT = R$ 37,00
e) A empresa terá lucro ou prejuízo quando a quantidade de ´produtos para celular vendidos for de 10 unidades? Justifique sua 
resposta. Qual será o valor do lucro ou do prejuízo?
LT = RT – CT A empresa terá prejuízo, pois o custo foi maior que a receita
LT = 20q – q² – (2q + 17)
LT = 20q – q²- 2q – 17
LT = 18q – q² – 17
LT = 18.10 – 10² – 17
LT = 180 – 100 – 17
LT = R$ 63,00
16) O custo total de fabricação de um produto é composto por um custo fixo de R$ 2.460,00 e um custo variável de R$ 52,40 por 
unidade produzida.
a) Expresse o custo total C(x) em função do número “x” de unidadesproduzidas.
CT = 2460 + 52,40.q
b) Encontre o custo adicional se o nível de produção for elevado de 32 para 44 unidades.
CT = 2460 + 52,40.q CT = 2460 + 52,40.q Calculando o custo adicional:
CT = 2460 + 52.32 CT = 2460 + 52,40.44 Ctotal = CT2 - CT1
CT = 2460 + 1676,8 CT = 2460 + 2305,6 Ctotal = 4765,6 – 4136,8
CT = 4136,8 CT = 4765,6 Ctotal = R$ 628,8
c) Qual o nível de produção que gera um custo de R$ 8.957,00?
CT = 2460 + 52,40.q
8957 = 2460 + 52,40.q
8957 - 2460 = 52,40. q
6497 = 52,40.q
6497 /52,40 = q 
q = 123,98 unidades
17) Durante a análise no plano cartesiano de custo total, receita total e lucro total de um determinado produto, o que significa dizer 
que a curva do custo total está acima da curva do lucro?
A cuva do custo está sempre acima da curva do lucro, isso significa que vai ter lucro. Se a curva do custo fica abaixo da curva do lucro 
significa prejuízo no período.
18) O ponto de equilíbrio significa que é uma situação de lucro para o produto que está sendo vendido? Explique.
Não, o ponto de equilíbrio significa uma situação em que as quantidades e preços de demanda e oferta se cruzam, estipulando preço e 
quantidade iguais, assim equilibrando o mercado.
19) Um fabricante de cadeiras determinou o preço de venda do seu produto em R$ 70,00. Ele verificou que o custo total da cadeira 
consiste de uma quantia fixa de R$ 200,00, somada ao custo de produção que é de R$ 50,00 por unidade.
a) Expresse a receita total e o custo total como função do número de unidades produzidas.
RT = 70.q CT = CF + CV
 CT = 200 + 50.q
b) Expresse o lucro total como função do número de unidades produzidas.
LT = RT – CT
LT = 70.q – (200 + 50.q)
LT = 70q – 200 – 50q 
LT = 70q – 50q – 200
LT = 20q – 200
c) Construa o gráfico com as funções receita total, custo total e lucro total. Para construir os gráficos, use os seguintes valores da 
quantidade de cadeiras produzidas: 0, 5, 10 e 15
Receita Total
 
q RT = 70.q
0 0
5 350
10 700
15 1050
 q = 0 q = 5 q = 10 q = 15
 RT = 70.q RT = 70.q RT = 70.q RT = 70.q
 RT = 70.0 RT = 70.5 RT = 70.10 RT = 70.15
 RT = 0 RT = 350 RT = 100 RT = 1050
Custo Total
q CT = 200 + 50q
0 200
5 450
10 700
15 950
 
 q = 0 q = 5 q = 10 q = 15
CT = 200 + 50.q CT = 200 + 50.q CT = 200 + 50.q CT = 200 + 50.q
CT = 200 + 50.0 CT = 200 + 50.5 CT = 200 + 50.10 CT = 200 + 50.15
CT = 200 CT = 200 + 250 CT = 200 + 500 CT = 200 + 750
 CT = 450 CT = 700 CT = 950
Lucro Total
q LT= 20q - 200
0 -200
5 -100
10 0
15 100
 
 q = 0 q = 5 q = 10 q = 15
LT = 20q – 200 LT = 20q – 200 LT = 20q – 200 LT = 20q – 200 
LT = 20.0 – 200 LT = 20.5 – 200 LT = 20.10 – 200 LT = 20.15 - 200
LT = - 200 LT =100 – 200 LT = 200 – 200 LT = 300 - 200
 LT = -100 LT = 0 LT = 100
d) A partir do gráfico, verifique o número de unidades produzidas para os quais o lucro seja positivo.
O lucro é positivo a partir de 10 unidades produzidas.
20) No mercado de bebidas, o produtor precisa analisar qual será o preço ideal para que o produto seja oferecido ao mercado em 
uma quantidade que não sobre e não falte. Essa quantidade depende da procura pelo produto do consumidor. Então temos a oferta e 
a demanda do produto.
a) A função demanda é dada por QD = 14 – 2p. Analise a quantidade demandada de cervejas quando o preço for R$ 2,00 e R$ 6,00. A
quantidade demandada também aumenta? Justifique a resposta. Na justificativa construa a curva da demanda.
 p = 2,00 p = 6,00
QD = 14 – 2p QD = 14 - 2p
QD = 14 – 2.2 QD = 14 – 2.6 
QD = 14 – 4 QD = 14 - 12
QD = 10 unidades QD = 2 unidades
 Não, porque conforme o preço aumenta a demanda pelo produto diminui. 
b) A função oferta é dada por QS = 1 + 2p. Analise a quantidade ofertada quando o preço for de R$ 2,00 e de R$6,00. A quantidade 
ofertada também aumenta? Justifique a resposta. Na justificativa construa a curva da oferta.
 p = 2,00 p = 6,00
QS = 1 + 2p QS = 1 + 2p
QS = 1 + 2.2 QS = 1 + 2.6
QS = 1+ 4 QS = 1 + 12 
QS = 5 QS = 13
A quantidade ofertada aumenta conforme o preço aumenta, tornando a função crescente.
21) É possível traçar uma curva da oferta com quantidades e preços negativos?
Não é possível, pois para que haja mercado tanto as quantidades como os preços têm que serem maiores que 0.
22) Por que o gráfico da curva da receita total sempre se inicia no ponto 0 (ponto de origem) do plano cartesiano? 
No gráfico padrão da receita total, a quantidade vendida de um produto é definida no eixo das abcissas (x) enquanto o valor da receita 
proveniente dessa venda é definido no eixo das ordenadas (y). Se não há venda, não há receita. Se nenhum produto for vendido (x = 0), a 
receita proveniente das vendas será zero (y = 0).
23) As funções de oferta e demanda para a venda de um certo sabor de pizza são S(p) = 3p + 240 e D(p) = -2p + 480, respectivamente.
Determine:
a) O preço de equilíbrio, em reais.
 D (p) = S (p)
- 2p + 480 = 3p + 240
480 – 240 = 3p + 2p
240 = 5p
240/5 = p
p = R$ 48,00
b) O número correspondente de unidades vendidas.
S (p) = 3p + 240
S (48) = 3.48 + 240
S (48) = 144 + 240
S (48) = 384 unidades
c) Desenhe as curvas de oferta e demanda no mesmo gráfico.
24) Uma companhia de turismo tomou conhecimento de que quando o preço de uma visita a pontos turísticos é de R$ 6, a média dos 
números de ingressos vendidos por viagem é 30, e quando o preço passagem a R$ 10, o número médio de ingressos vendidos é 
somente 18. Supondo linear a equação de demanda, encontre-a e trace um esboço usando o gráfico.