2 UNIDADE I - Arco Metade e Fórmulas de Transformação

Prévia do material em texto

9. Fórmulas do Arco Metade 
As fórmulas do arco metade são determinadas a partir das fórmulas do arco duplo e da relação 
trigonométrica fundamental. 
No estudo da trigonometria, as fórmulas da soma dos arcos e as fórmulas do arco duplo são 
fundamentais para o cálculo do seno, cosseno e tangente dos arcos e para a simplificação das expressões 
trigonométricas. Há também, nesse mesmo contexto, as fórmulas do arco metade. Para determinar as 
fórmulas do arco metade partiremos das fórmulas do arco duplo e relação trigonométrica fundamental. 
Sabemos que: 
cos 2a = cos
2
a – sen
2
a
 
 
sen
2
 a + cos
2
 a = 1 
Daí, temos que: 
sen
2
 a = 1 – cos
2
 a 
Substituindo a expressão acima na fórmula do arco duplo teremos: 
cos 2a = 2cos
2
a – 1 
Fazendo 2a = x e substituindo na igualdade acima, teremos: 
 (
 
 
) 
 (
 
 
) 
 (
 
 
) 
 
 
 
 (
 
 
) √
 
 
 
 
De forma análoga, determinamos o seno do arco metade. Sabemos que: 
cos
2
a = 1 – sen
2
a 
Substituindo na fórmula cos 2a = cos
2
a – sen
2
a, obtemos: 
cos 2a = 1 – 2sen
2
a 
Fazendo 2a = x, teremos: 
 (
 
 
) 
 (
 
 
) 
 (
 
 
) 
 (
 
 
) 
 
 
 
 (
 
 
) √
 
 
 
 
Para chegarmos a fórmula da tangente do arco metade, basta dividir a expressão do seno pelo do 
cosseno. Daí, vamos obter: 
 (
 
 
) √
 
 
 
 
Obs.: Veja que nas fórmulas do arco metade o valor poderá ser negativo ou positivo. isso irá 
depender do quadrante onde está localizado o arco 
 
 
. 
 
Exemplo 1: Sabendo que 
 
 
 e que x é um arco do primeiro quadrante, determine os valores 
de (
 
 
) e (
 
 
). 
 
Exemplo 1: Determine o valor de tg 15º 
 
 
10. Fórmulas de Transformação de Soma em Produto 
As fórmulas de transformação de soma em produto ou fórmulas de prostaférese (transformação) são 
de grande utilidade na fatoração de expressões como sen x + sen y, cos x – cos y, sen x + cos x e outras. 
Para obtenção das transformações em produtos, utilizaremos algumas fórmulas já conhecidas. 
 
10.1. Fórmula de Transformação para senos 
Partiremos das fórmulas do seno da soma e da diferença de dois arcos para encontrarmos uma 
expressão para senx + seny e para senx – seny. 
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a 
sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a 
 
Somando as duas expressões membro a membro, obtemos: 
sen (a + b) + sen (a – b) = 2.sen a. cos b 
 
Subtraindo as duas expressões membro a membro, obtemos: 
sen (a + b) - sen (a – b) = 2.sen b. cos a 
 
Fazendo x = a + b e y = a – b, teremos: 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
Segue que: 
 (
 
 
) (
 
 
) 
e 
 (
 
 
) (
 
 
) 
 
10.2. Fórmula de Transformação para cossenos 
Vamos determinar uma expressão para cos x + cos y e para cos x – cos y 
Temos que: 
cos(a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b 
cos(a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b 
 
Somando as duas igualdades, membro a membro, obtemos: 
cos (a + b) + cos (a – b) = 2 . cosa . cosb 
 
Subtraindo as duas igualdades, membro a membro, obtemos: 
cos (a + b) - cos (a – b) = - 2 . sena . senb 
 
Fazendo x = a + b e y = a – b, teremos: 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
Segue que: 
 (
 
 
) (
 
 
) 
e 
 (
 
 
) (
 
 
) 
 
Exemplo 1: Transforme em produto a expressão S = sen 37º + sen 23º 
 
Exemplo 2: Fatore a expressão D = cos 5c - cos 3c