GUIA I - ESTRUTURA E MÉTRICAS SEIS SIGMA

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Ao final desta aula o aluno deverá ser capaz de: 
 
• Conhecer as vantagens da aplicação do seis sigma e do 
lean; 
• Relações entre o seis sigma e o lean 
• Conhecer os conceitos gerais da metodologia seis sigma 
• Dominar os conceitos de estatística básica; 
• Entender o significado de seis sigma. 
 
 
 
EMENTA DA AULA 01 
 
Associação entre seis sigma e lean, histórico do seis sigma, conceitos 
básicos de estatística e o significado de seis sigma. 
 
ESTRUTURA E MÉTRICAS SEIS SIGMA 
CONTEÚDO DA AULA 0� 
 
 
 
 
 
 
O QUE GANHAMOS COM A APLICAÇÃO DO SEIS SIGMA E DO LEAN? 
 Seis sigma e lean são metodologias que podem ser aplicadas 
individualmente, porém ao serem aplicadas em conjunto resultam em maior 
produtividade com maior qualidade e, conseqüentemente, maior lucro para as 
organizações. 
Segundo o Lean Sigma Institute1 o lean associado ao seis sigma melhora a 
velocidade, a qualidade e o custo simultaneamente. O lean objetiva melhorar o 
fluxo reduzir desperdícios e agregar valor ao processo, em resumo, torna o 
processo mais rápido através da redução do lead time. O seis sigma objetiva 
reduzir a taxa de defeitos e diminuir a variabilidade do processo, portanto, 
aumenta a capacidade do processo. A resultante desta associação para o 
processo é a obtenção de maior produtividade e qualidade em menor tempo (ver 
figura 01). 
 
1
 Fonte: www.sixsigmainstitute.com/leansigma 
 
Figura 01- resultado da correlação lean e o seis sigma (fonte: Lean Sigma Institute) 
 
Em resumo o seis sigma e o lean são filosofias distintas e com focos 
diferentes, mas que podem ser aplicadas simultaneamente e trazer grandes 
ganhos para as organizações. 
Seis Sigma Lean 
Diminuir a variabilidade Reduzir desperdícios 
Aumentar a qualidade Reduzir o lead time 
Solução de problemas complexos através 
de ferramentas estatísticas 
Solução rápida de problemas (kaizen) 
Aumento do rendimento da cadeia de valor Aumentar o valor agregado das etapas do 
processo 
Métrica: nível sigma de qualidade Métrica: tempo 
 
Seis sigma e lean são considerados uma ferramenta, um sistema ou uma 
filosofia? 
 Esta é uma pergunta que aflige a maioria das pessoas e cujo entendimento 
é crucial para o bom desenvolvimento e aplicação de qualquer metodologia da 
qualidade e produtividade dentro das organizações. 
 Em primeiro lugar vamos definir o que é uma ferramenta. Ferramentas são 
quaisquer técnicas utilizadas para melhorar a produtividade ou a qualidade 
quando utilizadas isoladamente dentro da organização. A partir do momento que 
passamos a relacionar estas ferramentas entre si, para obtermos resultados 
melhores e mais rapidamente, estamos construindo um sistema. Quando 
definimos claramente as interações entre as ferramentas e as pessoas 
compreendem e aplicam estas ferramentas de modo intuitivo e interativo, então, 
temos uma filosofia. A figura 02 demonstra graficamente esta situação. 
 
Figura 2 – ferramenta x sistema x filosofia 
A relação entre o seis sigma e o lean2 
EElleemmeennttoo SSeeiiss SSiiggmmaa LLeeaann 
VViissããoo Melhoria dos processos Melhoria da cadeia de valor 
AAbboorrddaaggeemm Redução de defeitos, conceito de 
Critical to Quality (CTQ) 
Redução de desperdícios, conceito 
valor reconhecido pelo cliente 
 
2
 Fonte: Compreendendo o Lean Six Sigma. Revista Excelência Six Sigma n° 01 Março- Abril 2007. 
OObbjjeettiivvoo Diminuir a variabilidade Diminuir o valor não agregado 
IInnddiiccaaddoorreess Foco forte na eficácia, indicadores 
mostrando atender as especificações 
do cliente 
Foco forte em eficiência, indicadores 
mostrando atender a produtividade 
EEssttrruuttuurraa ddaa 
eeqquuiippee 
Equipe formada por belts compostos 
por vários níveis e departamentos 
trabalhando no tema do projeto 
Atividades de pequenos grupos 
(APGs), compostos principalmente 
por equipes da área envolvendo o 
chão de fábrica 
NNaattuurreezzaa ddooss 
ttrraabbaallhhooss 
Projetos definidos observando o 
impacto no cliente interno e externo 
Projetos definidos observando o 
fluxo da cadeia de valor 
MMeettooddoollooggiiaass DMAIC e DMADV Utilização dos 5 princípios 
EEssttrraattééggiiaass ddee 
iimmpplleemmeennttaaççããoo 
Implementar projetos estratégicos 
ao negócio da empresa 
Implementar melhorias nos pontos 
gargalos com disseminação do 
conceito kanban 
ÁÁrreeaass cclláássssiiccaass ddee 
ccoooorrddeennaaççããoo 
Qualidade Produção 
FFeerrrraammeennttaass 
uuttiilliizzaaddaass 
Mapa do processo, estudos 
estatísticos, matrizes de tomada de 
decisão, FMEA, planos de controle, 
etc. 
VSM, TOC, kanban, poka-yoke, JIT, 
SMED, 5S, gerenciamento visual, 
etc. 
EEmmpprreessaass ddee 
ssuucceessssoo ccoomm oo 
pprrooggrraammaa 
Empresas Norte Americanas Empresas Japonesas 
 
Dada esta breve explicação sobre as vantagens da integração e do foco 
individual vamos iniciar uma jornada por dentro de cada uma destas filosofias. 
 
 
Introdução ao seis sigma 
Nas últimas décadas o mundo tem experimentado uma série de modelos 
dirigidos a melhoria da qualidade e da produtividade. Em geral estes modelos têm 
um objetivo específico que não está diretamente ligado ao desempenho financeiro 
da empresa. Isto faz com que estes modelos não sejam vistos como prioridade 
pela direção, pois, os resultados obtidos com sua implantação não impactam 
positivamente os indicadores financeiros e, como é sabido, no mundo capitalista 
um projeto que não apresenta retorno palpável está fadado a fracassar devido à 
falta de apoio e interesse da alta direção. 
Um estudo publicado na revista “Quality Progress” constatou que empresas 
ganhadoras de prêmios da qualidade apesar de terem a percepção em relação à 
qualidade aumentada não obtiveram o mesmo reflexo em seus indicadores 
financeiros, ao contrário, alguns indicadores como as vendas por funcionários, o 
retorno sobre os ativos e o retorno sobre as vendas caíram. 
O Seis Sigma inicialmente implantado na Motorola em 1985 é um modelo 
que vêm com o objetivo explicito de quebrar este paradigma. Esta quebra de 
paradigma se dá pelo fato de ser um modelo com métrica focada na redução da 
variabilidade dos processos embasada em indicadores financeiros para a medição 
dos resultados. Algumas das maiores corporações ao redor do mundo, 
conseguiram obter resultados financeiros extraordinários com a aplicação do Seis 
Sigma. Dentre elas podemos citar organizações como a GE, Motorola, Sony, 
Nokia, Texas Instruments, Allied Signal, Canon, Hitachi, American Express, 
Toshiba, Du Pont e Polaroid. O quadro a seguir demonstra relação entre o nível 
sigma e o custo da não qualidade. 
 
 
Conceito geral da metodologia seis sigma 
O Seis Sigma é uma metodologia que permite às empresas maximizar seus 
lucros através da melhoria da qualidade de processos eliminando defeitos, falhas, 
erros e desperdícios de processos técnicos e não-técnicos. 
Um processo de fabricação é visto como um processo técnico. Em um 
processo técnico temos entradas de insumos, matérias-primas, operadores, 
máquinas, equipamentos de medição que fisicamente fluem através do processo. 
Mas também existem os fatores controláveis e os incontroláveis que afetam um 
processo técnico, tais como: temperatura, umidade, tensão, corrente, pressão, 
vibração, variação da composição química dos materiais, etc. A principal 
característica de um processo técnico é o fluxo do produto visível e um produto 
tangível como resultado deste processo. 
Processos administrativos tais como a geração de um pedido de compraou 
de um plano de produção, processos transacionais como efetuar um empréstimo 
no banco ou processos envolvendo serviços de vendas por meio eletrônico são 
considerados processos não-técnicos. Em um processo tem como principal 
característica trabalhar com fluxo de informações e ter, na maioria das vezes, 
entradas e saídas intangíveis. 
O seis sigma pode ser aplicado em processos técnicos e processos não-
técnicos de diferentes maneiras. Usualmente o seis sigma pode ser aplicado 
como: 
Filosofia: busca da perfeição envolvendo a aplicação do seis sigma em 
processos existentes e no desenvolvimento de novos processos (Design for 
Six Sigma - DFSS). 
Visão: servir como orientador (driver) para a empresa se posicionar entre 
as melhores do mercado. 
Estratégia: seis sigma voltado para obter alto nível de confiabilidade de 
bens e serviços visando a satisfação e fidelização dos clientes e o aumento 
do market share (fatia de mercado). 
Benchmark: comparativo entre o nível de qualidade de produtos, 
operações, serviços e processos internos e externos. 
Meta: objetivo zero defeitos e custos da não qualidade abaixo de 1%. 
Métrica (escala): utilizado para medir o nível de qualidade de um processo. 
Estatística: utilizado na avaliação das características críticas para a 
qualidade (CTQs). 
 
Revisão sobre conceitos de estatística básica 
 Para entender o conceito e as métricas utilizadas na metodologia seis 
sigma é necessário um conhecimento mínimo de estatística básica. Com o intuito 
de fornecer este conhecimento ao leitor é que esta pequena introdução a 
conceitos básicos como a origem e classificação dados, medidas de tendência 
central, medidas de dispersão, medidas de forma e distribuição normal foram 
introduzidos. 
 
O que são dados? 
Dados são coletâneas de quaisquer valores relacionados a medições ou, segundo 
o dicionário Aurélio, dado é Informação factual usada como base para raciocínio, 
discussão ou cálculo. 
 
Origem dos dados 
Os dados podem ter duas origens: 
 
� Dados populacionais, os quais são obtidos de um universo finito 
contemplando todos os valores existentes; 
 
� Dados amostrais, os quais são obtidos através de uma amostragem retirada 
da população, a qual pode ser finita ou infinita. 
 
 
Classificação e categorização dos dados 
 
Os dados são classificados e categorizados conforme demonstrado no quadro a 
seguir: 
 
 
 
Tipo Característica Exemplo Método 
Quantitativo 
Contínuo 
Representado por números reais, 
podendo assumir todos os valores 
dentro de um intervalo 
especificado 
Massa, volume, tempo de 
percurso, temperatura, % de 
venda, espessura de uma peça... 
Medição 
Quantitativo 
Discreto 
Representado por números 
inteiros (1, 2, 3, 4,...) 
N° notas fiscais preenchidas 
erradas, N° de habitantes, n° de 
caixas em estoque... 
Contagem 
Qualitativo 
ou Atributivo 
Ordinal 
Representado por números ou 
classificações que podem ser 
arranjados em ordem de grandeza 
Colocação em uma corrida 
automobilística, ranking em uma 
pesquisa, grau de satisfação. 
Classificação 
Qualitativo 
ou Atributivo 
Nominal 
Resulta de uma classificação, 
tomada a partir de critérios 
específicos 
Sexo, tipo de não conformidade, 
cor dos olhos, 
Aprovado/Reprovado 
Observação 
Organização dos dados 
Dados são obtidos através de medições de uma determinada característica. 
Vejamos o exemplo a seguir onde foram medidas 25 amostras e seus resultados 
registrados em uma tabela contendo 5 linhas e 5 colunas: 
 
1,25 1,24 1,20 1,27 1,23 
1,28 1,25 1,17 1,25 1,25 
1,18 1,21 1,19 1,22 1,26 
1,24 1,23 1,22 1,26 1,27 
1,21 1,23 1,24 1,26 1,26 
 
De posse dos dados nossa tarefa é descrevê-los de uma maneira prática, de 
modo que o usuário possa interpretá-los facilmente. Uma das técnicas é construir 
uma figura (gráfico) que demonstre a forma de distribuição destes dados. Se os 
dados acima forem arranjados em ordem crescente e de freqüência, obteremos o 
seguinte resultado: 
 
1,17 
1,18 
1,19 
1,20 
1,21 1,21 
1,22 1,22 
1,23 1,23 1,23 
1,24 1,24 1,24 
1,25 1,25 1,25 1,25 
1,26 1,26 1,26 
1,27 1,27 1,27 
1,28 
 
Percebe-se que com os dados arranjados a visualização da amplitude 
(menor e maior valor), do valor de maior ocorrência e da forma de distribuição dos 
dados fica facilmente perceptível. 
 
Agora, se colocarmos os valores medidos em um eixo horizontal e no eixo 
vertical a freqüência (n° de vezes que cada valor medido se repete) obteremos 
uma representação gráfica denominada “Histograma de Freqüência”: 
 
 
Este tipo de representação gráfica é muito útil, pois facilita a visualização da 
distribuição dos dados. Porém alguns cuidados devem ser tomados ao construir 
um histograma. Vejamos o que acontece quando tentamos construir um 
histograma para os dados a seguir: 
 
Neste caso, como podemos observar o gráfico não nos dá a mínima idéia da 
forma de distribuição dos dados e, portanto não nos será útil no modo em que se 
apresenta. 
Um dos métodos que podemos utilizar para que o histograma nos demonstre 
a forma da distribuição no caso de valores muito espalhados é o demonstrado a 
seguir: 
1. Diminua o maior valor do menor valor do grupo de dados (1,251 – 1,289) = 
0,038 ou arredondado 0,040; 
2. Como regra geral um histograma deve ter no mínimo 7 e no máximo 15 
intervalos de classe, então para construir um histograma com 10 intervalos de 
classe fazemos: 0,040/10 = 0,004; 
3. O incremento do intervalo de classe deve ser um número divisível por 2, 3, 5 
ou 10, então o valor adequado para o incremento do intervalo de classe do 
novo histograma é 0,005; 
4. Agora basta construir os intervalos de classe e determinar a freqüência em 
cada um deles. 
 
 
Este tipo de histograma é chamado “Histograma de freqüências agrupadas” e nos 
permite visualizar a forma de distribuição dos dados para valores muito “espalhados”. 
 
Caracterização de um conjunto de dados 
Um conjunto de dados contém muitos detalhes que podem ser explorados e 
transformados em informação através das seguintes medidas que caracterizam 
um conjunto de dados: 
• Medidas de tendência central 
• Medidas de dispersão; 
• Medidas de forma. 
 
Medidas de tendência central 
Uma forma útil de descrever um grupo como um todo consiste em encontrar 
um único valor que represente o que é típico ou médio dentro deste conjunto. As 
três medidas de tendência central, mais conhecidas são: 
• Moda; 
• Mediana; e 
• Média aritmética. 
 
Moda (Mo): é a medida de maior ocorrência no conjunto de dados, ou seja, é 
medida que mais se repete. A moda pode ser localizada com muito mais facilidade 
por exame visual que por cálculo. As principais características da moda são: 
• Nível de mensuração: contínuo, ordinal e nominal; 
• Aplicação: mais apropriada para distribuições bimodais; 
• Grau de exatidão: é uma medida de tendência central grosseira obtida de 
forma rápida e simples. 
 
 
 
Mediana (Md): quando dados discretos são dispostos em ordem crescente torna-
se possível localizar a mediana, a qual corresponde ao ponto central da 
distribuição. Portanto a mediana é considerada a medida de tendência central que 
corta a distribuição em duas partes iguais. A mediana pode ser determinada pelo 
exame dos dados ou através da seguinte fórmula: 
2
1+
=
N
Md
 onde: N = número de intervalos ou amostras 
 
 
 
 
Exemplo: calcular a mediana para uma amostra de tamanho 10 representada 
pelos valores a seguir: 
10,0 10,1 10,3 10,4 10,4 10,5 10,6 10,7 10,8 10,9 
 
5,5
2
110
2
1N
Md =
+
=
+
= 
 
10,0 10,1 10,3 10,4 10,4 10,5 10,6 10,7 10,8 10,9 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10As principais características da mediana são: 
• Nível de mensuração: contínuo ou ordinal; 
• Aplicação: mais adequada para as distribuições assimétricas; 
• Grau de exatidão: é uma medida de tendência central confiável podendo, 
com certas restrições, ser utilizada em operações estatísticas mais 
avançadas. 
 
Média aritmética (X ): sem sombra de dúvida esta é a medida de tendência 
central mais utilizada. Consiste na somatória dos valores obtidos através de 
mensuração ou contagem dividida pelo número total de valores. 
 
5,5 
45,10
2
9,20
2
5,104,10
==
+
=Md
n
xxxx
X
n
++++
=
...321
 
Utilizando o exemplo anterior a montagem da equação para obter a média 
aritmética fica da seguinte forma: 
 
47,10
10
7,104
10
9,108,107,106,105,104,104,103,101,100,10
==
+++++++++
=X
 
As principais características da média são: 
• Nível de mensuração: contínuo; 
• Aplicação: mais adequada para as distribuições unimodais simétricas 
(distribuição normal); 
• Grau de exatidão: é uma medida de tendência central exata utilizada em 
operações estatísticas avançadas. 
 
Posições relativas das medidas de tendência central 
As figuras a seguir demonstram a posição relativa da moda, da mediana e 
da média aritmética em distribuições normais e em distribuições assimétricas. 
 
 
 
Medidas de dispersão 
Chama-se de dispersão ou variação a dimensão que exprime a condição dos 
dados de orbitarem em torno de seu valor médio. As medidas de dispersão mais 
utilizadas são: 
� Amplitude (R) 
� Desvio padrão (σ ou s) 
� Variância (σ2 ou s2) 
 
Amplitude (R): pode-se obter uma medida de variabilidade rápida, embora não 
muito exata, através do cálculo da amplitude, que nada mais é que a diferença 
entre o maior e o menor valor da amostra. 
minxxR máx −= 
 
Desvio padrão (S): é a distância de cada valor individual em relação à média. O 
desvio padrão é dado pelas seguintes fórmulas: 
para amostras 1
)( 2
−
−
=
∑
n
xx
S
 e para populações. 
n
x
S
∑ −
=
2)( µ
 
 
Variância (s2): é o valor do desvio padrão elevado ao quadrado, portanto é a 
distância quadrática de cada amostra em relação à média. 
 
Para amostras:
 
∑
−
−
=
1
)(2
n
xx
S Para populações: 
∑
−
=
n
x
S
)(2 µ
 
 
Para tornar o anteriormente explicado mais claro vejamos o resultado do 
cálculo da amplitude, do desvio padrão e da variância para o conjunto dados a 
seguir: 
 
Observe que quanto maior o valor da amplitude, do desvio padrão e da 
variância, mais achatada fica a curva ou, de maneira simples, podemos dizer que 
quanto maior for o valor da amplitude, do desvio padrão e da variância maior será 
a abertura da “boca” da curva de distribuição. 
 
Medidas de forma e testes de normalidade 
Algumas distribuições são simétricas, ou seja, dobrando-se a curva ao meio 
as duas metades coincidem. A estas curvas chamamos curva de distribuição 
normal ou mesocúrtica. Porém, as curvas de distribuição podem sofrer variações 
em termos de alongamento. Estas variações de alongamento são expressas 
através dos valores de curtose. Curvas alongadas são denominadas leptocúrticas 
e curvas achatadas são denominadas platicúrticas. Esta variação no formato das 
curvas pode ser visualizada e melhor entendida através da figura a seguir. 
 
Algumas distribuições não são simétricas, ou seja, os valores se acumulam 
de um lado e do outro poucos valores são encontrados. A este tipo de distribuição 
chamamos distribuição assimétrica. A posição da cauda mais longa indica o lado 
da assimetria. Distribuições com alongamento da curva para a direita são 
denominadas curvas assimétricas positivas e distribuições com alongamento da 
curva para a esquerda são denominadas curvas assimétricas negativas. 
 
 
Portanto, os graus de assimetria e de curtose têm por objetivo determinar 
se a amostra é proveniente de uma distribuição normal. Geralmente estes cálculos 
são efetuados através de softwares específicos e existem diferentes métodos que 
podem ser utilizados além do cálculo da assimetria (skewness) e da curtose 
(kurtosis). O mais recomendado é o teste estatístico de Anderson-Darling3 (AD). 
Este teste estatístico é uma generalização do teste de Teste de Kolmogorov-
Smirnov4 (KS), dando mais peso às caudas da curva de distribuição. A grande 
vantagem do teste estatístico de Anderson-Darling é que ele pode ser utilizado 
com tamanhos de amostra menores que 40 com grande eficiência e confiabilidade 
dos resultados. 
 
Distribuição normal 
A distribuição normal (distribuição de Gauss) é um dos muitos modelos 
matemáticos utilizados para descrever variáveis aleatórias contínuas. A duas 
principais razões para a distribuição normal ocupar um lugar de destaque na 
estatística são: 
 
1. Possui algumas propriedades que a fazem aplicável a um grande número 
de situações nas quais é necessário fazer inferências através de amostras; 
2. A maioria dos fenômenos segue a distribuição normal. 
 
A curva normal possui a forma de um sino e tem as seguintes características: 
� É unimodal e simétrica; 
� A probabilidade de dois valores eqüidistantes da média, mas em lados 
opostos, é a mesma; 
� Pelo fato de ser simétrica, média, mediana e moda possuem o mesmo 
valor; 
� As caudas da curva normal estendem-se até o infinito, portanto nunca 
tocam o eixo horizontal – é uma curva assintótica. 
 
 
3
 Criado em 1952 por Thoedore Wilbur Anderson, Jr. e Donald A. Darling. 
4
 Criado pelos matemáticos russos Andrey Kolmogorov e Vladimir Ivanovich Smirnov. 
-1σσσσ-2σσσσ-4σσσσ -3σσσσ-5σσσσ-6σσσσ +1σσσσ +2σσσσ +3σσσσ +4σσσσ +5σσσσ +6σσσσ
95,45%
68,27%
99,73%
99,993%
99,9999433%
99,9999998%
-1σσσσ-2σσσσ-4σσσσ -3σσσσ-5σσσσ-6σσσσ +1σσσσ +2σσσσ +3σσσσ +4σσσσ +5σσσσ +6σσσσ-1σσσσ-2σσσσ-4σσσσ -3σσσσ-5σσσσ-6σσσσ +1σσσσ +2σσσσ +3σσσσ +4σσσσ +5σσσσ +6σσσσ-1σσσσ-2σσσσ-4σσσσ -3σσσσ-5σσσσ-6σσσσ +1σσσσ +2σσσσ +3σσσσ +4σσσσ +5σσσσ +6σσσσ-1σσσσ-2σσσσ-4σσσσ -3σσσσ-5σσσσ-6σσσσ +1σσσσ +2σσσσ +3σσσσ +4σσσσ +5σσσσ +6σσσσ
95,45%
68,27%
99,73%
99,993%
99,9999433%
99,9999998%
 
Limite 
Percentual sob a 
curva 
Defeitos em ppm* Defeitos em PPB** 
± 1 sigma 68,27 317.300 317.300.000 
± 2 sigma 95,45 45.500 45.500.000 
± 3 sigma 99,73 2.700 2.700.000 
± 4 sigma 99,9937 63 63.000 
± 5 sigma 99,999943 0,57 570 
± 6 sigma 99,9999998 0,002 2 
� *ppm = partes por milhão **ppb = partes por bilhão 
Fonte: Fonte: Breyfogle III, 1999, pag.9. 
 
A tabela de distribuição normal lista as probabilidades de uma variável 
aleatória, normalmente distribuída, cair entre a média e um valor qualquer 
baseado no escore-z padronizado. A fórmula para calcular o escore-z padronizado 
de uma população é a seguinte: 
( )
σ
µ−
=
x
z
 
Onde: 
Z = escore-z 
µ = média da população 
σ = desvio padrão da população 
x = variável aleatória de interesse 
 
Porém, quando trabalhamos com amostras, utilizamos a seguinte fórmula: 
( )
s
xx
z
−
=
 
Onde: 
Z = escore-z 
x = média da amostra 
s = desvio padrão da amostra 
x = variável aleatória de interesse 
 
De posse do valor do escore-z utilizamos a tabela de distribuição normal 
(ver tabela 01) para determinar a área sob a curva de distribuição. 
Exemplo: 
Considerando-se que em uma amostra aleatória obtemos média igual a 20 
e desvio padrão igual a 2, calcular a probabilidade de X ser maior que 18 e menor 
que 21. 
normal) ãodistribuiç de tabelana (0,3413 1
2
2018
Z1 −=
−
= 
normal) ãodistribuiç de tabelana (0,1915 0,5
2
2021
Z2 =
−
= 
P(18 ≤ X ≤ 21) = P (-1≤ X ≤ 0,5) = 0,1915 + 0,3413= 0,5328 = 53,28% 
TABELA 01 - DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA 
 
 
Exemplo: determine qual é a área sob a curva 
entre a média e um ponto a 1,7 desvios padrão a 
direita da média. Procure pelo valor 1,7 na coluna 
direita da tabela e o valor 0,00 na linha superior da 
tabela o cruzamento entre coluna e linha (1,7 + 
0,00) nos fornece o valor da área sob a curva para 
um valor de Z= 1,70, no caso 0,4554. 
 
Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 
0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359 
0.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753 
0.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141 
0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517 
0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879 
0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224 
0.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .2549 
0.7 .2580 .2612 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852 
0.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133 
0.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389 
1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621 
1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3791 .3810 .3830 
1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4014 
1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177 
1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319 
1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .7394 .4406 .4418 .4429 .4441 
1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545 
1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633 
1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706 
1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767 
20. .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817 
2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857 
2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890 
2.3 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 .4916 
2.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936 
2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952 
2.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .4964 
2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974 
2.8 .4974 .4975 .4976 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .4981 
2.9 .4981 .4982 .4983 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 .4986 
3.0 .49865 
4.0 .499965 
5.0 .4999997 
6.0 .499999999 
Fonte: Fonte: Breyfogle III, 1999, pag.694 e 695. 
 
O significado de seis sigma 
Seis Sigma é uma técnica fortemente baseada em estatística quantitativa 
voltada para a redução da variabilidade de processos técnicos e não técnicos a 
qual tem o aumento da lucratividade das empresas como objetivo principal. 
Sigma é a letra grega que em termos de estatística representa a variação 
de uma amostra. O seis representa o número de vezes que o valor do desvio 
padrão é multiplicado para estimar os valores máximo e mínimo de uma amostra 
em relação a média (µ). Os valores máximos e mínimos estimados devem ser 
comparados com uma especificação para determinar o índice de defeitos que o 
processo tem probabilidade de produzir. Um processo com desempenho nível seis 
sigma trabalha com um índice de 3,4 defeitos para cada milhão de unidades 
produzidas. 
Vejamos o que significa isto em termos práticos. Muitas pessoas assumem 
que 99% de acerto é um excelente resultado mas será que isto é verdade? 
 
 
 
Processo com nível de qualidade 
3,8σ 
99% de acerto 
Processo com nível de qualidade 6σ 
99,9997% de acerto 
• 20.000 artigos de correio perdidos por 
hora 
• Água potável duvidosa quase 15 
minutos a cada dia 
• 5.000 operações cirúrgicas incorretas 
por semana 
• 200.000 receitas médicas erradas a 
cada ano 
• Uma aterrissagem de emergência no 
aeroporto de Guarulhos por dia 
• 7 artigos de correio perdidos por hora 
• 1 minuto de água potável duvidosa a 
cada sete meses 
• 1,7 operações cirúrgicas incorretas por 
semana 
 
• 68 receitas médicas erradas a cada ano 
• Uma aterrissagem de emergência em 
todos os aeroportos do Brasil a cada 
cinco anos 
Fonte: Werkema, 2004, p. 17 
 
Vamos analisar um pouco mais detalhadamente o que representa seis 
sigma em termos estatísticos. Imagine um determinado produto cuja especificação 
é 10 ± 1,5 u.m. (unidades de medida). Considerando que o processo possui 
distribuição normal com média (µ) igual a 10 u.m. e desvio padrão (σ) igual a 0,50 
u.m. e trabalhando com nível de qualidade 3σ os limites naturais do processo são: 
Limite Natural Inferior: LNI = µ - 3σ → LNI = 10 - (3 x 0,50) → LNI = 8,5 u.m. 
Limite Natural Superior: LNS = µ + 3σ → LNS = 10 + (3 x 0,50) → LNS =11,5 
u.m. 
 
Limites naturais do processo com ±3σ (99,73%) e média centrada, estes coincidem exatamente com 
os limites de especificação do produto. Em termos simples podemos comparar as especificações 
como sendo o espaço em uma vaga de estacionamento onde o automóvel entra sem folga. 
Considerando o mesmo processo com distribuição normal com média (µ) 
igual a 10 u.m. e desvio padrão (σ) igual a 0,50 u.m., mas agora 
trabalhando com o nível de qualidade 6σ os limites naturais do processo 
passam a ser: 
Limite Natural Inferior: LNI = µ - 6σ → LNI = 10 - (6 x 0,50) → LNI = 7,0 u.m. 
Limite Natural Superior: LNS = µ + 6σ → LNS = 10 + (6 x 0,50) → LNS =13,0 
u.m. 
 
Calculando os limites naturais do processo com ±6σ (99.9999998%) e média centrada, notamos que 
os limites naturais do processo encontrados extrapolam os limites de especificação do produto. 
Novamente comparando as especificações como sendo o espaço em uma vaga de estacionamento 
temos uma situação onde o automóvel é maior que a vaga ofertada. 
 
Para que o mesmo processo, utilizando o conceito 6σ, entre dentro dos 
limites de especificação é necessário uma redução drástica na variação, 
neste caso vamos aplicar uma redução de 50% para exemplificar (σ atual = 
0,5 u.m. ; 
σ reduzido 50% = 0,25 u.m.) então: 
Limite Natural Inferior: LNI = µ - 6σ → LNI = 10 - (6 x 0,25) → LNI = 8,5 u.m. 
Limite Natural Superior: LNS = µ + 6σ → LNS = 10 + (6 x 0,25) → LNS =11,5 
u.m. 
 
Vejam que com a redução de 50% na variabilidade do processo podemos inserir ±6σ dentro dos 
limites especificados. Utilizando a analogia da vaga de estacionamento significa dizer que temos de 
trocar o carro por um menor para poder utilizá-la. 
 
Porém devemos levar em consideração que mesmo os processos sob 
controle, isto é processos considerados estáveis, não são estáticos e 
sofrem pequenos deslocamentos em sua média ao longo do tempo. 
Segundo Harry, um dos criadores da metodologia seis sigma, um 
deslocamento na média (µ) da magnitude de até ±1,5σ é considerado 
normal e deve ser levado em consideração nos cálculos do escore-z 
padronizado, o que conseqüentemente altera a taxa de defeitos em ppm. 
 
Então, considerando o deslocamento de ±1,5σ na média percebe-se que uma redução maior que 
50% no desvio padrão (σ) se faz necessária para que a variação natural do processo não exceda os 
limites de especificação. 
Novamente, para que o mesmo processo, utilizando o conceito 6σ agora 
considerando o deslocamento de ±1,5σ na média, entre dentro dos limites 
de especificação é necessário mais redução na variação (σ atual = 0,25 u.m. 
; σ reduzido = 0,20 u.m.) então: 
Limite Natural Inferior: LNI = µ - 6σ → LNI = 10 - (6 x 0,20) → LNI = 8,80 u.m. 
Limite Natural Superior: LNS = µ + 6σ → LNS = 10 + (6 x 0,20) → LNS =11,20 
u.m. 
 
Agora, mesmo considerando o deslocamento de ±1,5σ na média, a variação natural do processonão excede as especificações. 
Relações entre processo centrado e processo deslocado 1,5σ 
Processo centrado (estático) 
 
 
 
Fonte: Fonte: Breyfogle III, 1999, pag.9. 
 
 
Processo deslocado 1,5σ (dinâmico) 
 3
σ
 x-) 3σx(
 Ze 3
σ
 x-) 3σ-x(
Z
3σx3σx
+=
+
=−==
+−
 
 
 
Fonte: Fonte: Breyfogle III, 1999, pag.9. 
Com base no exposto anteriormente podemos estimar o esforço necessário 
para elevar um nível σ na qualidade de um processo ou característica da 
qualidade de um produto. No gráfico a seguir, em escala logarítmica, este esforço 
é demonstrado em número de vezes que a variação deve ser reduzida para se 
atingir o nível sigma desejado. 
 
Fonte: Breyfogle III, 1999, pag.10. 
Analisando o gráfico anterior começamos a entender porque Jack Welch, 
quando assumiu a direção em 1991, estabeleceu como meta que as doze 
unidades da GE atingissem nível seis sigma em seus principais processos. A 
GE iniciou o programa com média 3 sigma e em 1997 atingiu o nível 3,5 sigma 
em seus principais processos. Este aumento de qualidade transformou a GE 
 5,1
σ
 x-) 1,5σx(
 Ze 4,5
σ
 x-) 4,5σ-x(
Z
1,5σxσ5,4x
+=
+
=−==
+−
de uma empresa de 25 bilhões de Dólares em uma empresa de 90 Bilhões de 
Dólares e com alta rentabilidade. 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
WERKEMA, Maria Cristina Catarino. Criando a Cultura Seis Sigma. Nova Lima, MG: 
Werkema Ed., 2004. 
WERKEMA, Maria Cristina Catarino. Lean Seis Sigma. Nova Lima, MG: Werkema Ed., 2006. 
ROTONDARO, Roberto G. Seis Sigma: Estratégia Gerencial para a Melhoria de Processos, 
Produtos e Serviços. São Paulo: Atlas, 2002. 
 
BREYFOGLE, Forrest W. Implementing Six Sigma. A Wiley-Interscience Publication, 1999. 
 
LEVIN, Richard I. Statistics for Management. Prentice Hall Inc., 1987. 
 
DeCARLO, Neil. Lean Six Sigma Complete Guide. New York: Alpha Books, 2007. 
 
www.sixsigmainstitute.com acessado em abril de 2009.