APS1 - Geometria Analítica - Hipérbole

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CENTRO UNIVERSITÁRIO AUGUSTO MOTTA
Leonardo de Souza Rufino
Igor Silva de Souza
Thiago Soares Procópio
Gabriel Reis do Nascimento
HIPÉRBOLE
Rio de Janeiro, Brasil
8 de Abril de 2019
Lista de ilustrações
Figura 1 – Hipérbole na natureza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Figura 2 – Elementos de uma Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Figura 3 – Hipérbole com focos no Eixo X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Figura 4 – Hipérbole com focos no Eixo Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Figura 5 – Exemplo de Hipérbole 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Figura 6 – Exemplo de Hipérbole 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Figura 7 – Hipérbole - Exercício 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Figura 8 – Hipérbole - Exercício 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Figura 9 – Trajetória de partículas no campo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . 12
Sumário
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Equações da Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Hipérbole com focos no Eixo X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Hipérbole com focos no Eixo Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Determinando Equação de uma Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Identificando Pontos da Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Aplicação⇒ Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1 Exercício 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Exercício 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6 Observação Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3
1 Introdução
O que é uma hipérbole?
É frequente na natureza, formações de cônicas. A foto mostra uma imagem em
que é possível perceber os dois ramos de uma hipérbole. Um ramo pode ser visto no
desenho do céu e o outro ramo o reflexo deste na água.
Figura 1 – Hipérbole na natureza
Definição: Sejam F1 e F2 dois pontos do plano e seja 2c a distância entre eles,
hipérbole é o conjunto dos pontos do plano cuja diferença (em módulo) das distâncias
à F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c).
Elementos de uma Hipérbole:
Capítulo 1. Introdução 4
Figura 2 – Legenda:
F1 e F2 → são os focos da hipérbole
O → é o centro da hipérbole
2c → distância focal
2a → medida do eixo real ou transverso
2b → medida do eixo imaginário
c/a → excentricidade
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/hiperbole.htm
5
2 Equações da Hipérbole
2.1 Hipérbole com focos no Eixo X
Figura 3 – Hipérbole com focos no Eixo X
https://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas3_2.php
Se os focos da hipérbole estiverem no eixo x e seu centro for a origem, a
equação reduzida da hipérbole é a seguinte:
https://matika.com.br/conicas/equacao-reduzida-da-hiperbole
Em que a é a medida do semieixo real e b a medida do semieixo imaginário.
Capítulo 2. Equações da Hipérbole 6
2.2 Hipérbole com focos no Eixo Y
Figura 4 – Hipérbole com focos no Eixo Y
https://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas3_2.php
Se os focos da hipérbole estiverem no eixo y e seu centro for a origem, a
equação reduzida da hipérbole é a seguinte:
OBS.: Na hipérbole, não é necessário que a seja maior que b. Então, ao visualizarmos
uma equação, vamos saber qual o eixo real através dos sinais de x2 e y2.
A dedução da equação reduzida da hipérbole é similar à da elipse.
2.3 Determinando Equação de uma Hipérbole
Iremos determinar a equação reduzida da hipérbole mostrada abaixo, em
que F1 e F2 são seus focos.
Capítulo 2. Equações da Hipérbole 7
Figura 5 – Exemplo de Hipérbole 1
Pela figura podemos ver que, a = 1 e que c = 3. Vamos utilizar a relação entre as
medidas da hipérbole, pois necessitamos achar b2 para completar a equação:
Portanto, a equação reduzida desta hipérbole será:
Capítulo 2. Equações da Hipérbole 8
2.4 Identificando Pontos da Hipérbole
Considere a hipérbole cuja equação reduzida é:
Iremos determinas as coordenadas de seus vértices e seus focos.
Primeiro note que o eixo real da hipérbole é o eixo y. Segundo, podemos obter
as medidas de a, b e c:
Agora utilizando a relação entre as medidas da hipérbole:
Então concluímos que seus vértices são ( 0 , 8 ) e ( 0 , 8 ).
Seus focos são ( 0 , 10 ) e ( 0 , 10 ).
Um esboço desta hipérbole seria:
Capítulo 2. Equações da Hipérbole 9
Figura 6 – Exemplo de Hipérbole 2
10
3 Aplicação⇒ Exercícios
3.1 Exercício 01
Determinar a equação da hipérbole de focos F1( -3 , 0 ) e F2 ( 3 , 0 ), cujo eixo
real mede 4.
Figura 7 – Hipérbole - Exercício 01
Resolução:
Eixo Real = 4
2a = 4
a = 2
_______________________________
c2 = a2 + b2
(3)2 = (22) + b2 ⇒ b2 = 9 - 4 = 5⇒ b2 = 5
_______________________________
x2
a2 −
y2
b2 = 1
Resposta Final: x
2
4 −
y2
5 = 1
3.2 Exercício 02
Identifique quais são os vértices imaginários da hipérbole de equação abaixo:
Capítulo 3. Aplicação⇒ Exercícios 11
Resolução:
O primeiro passo é identificar as informações contidas na equação da hipérbole:
O centro é ( 1 , 1 )
a = 2 e b = 1
Com as informações acima, podemos desenhar a seguinte hipérbole:
Figura 8 – Hipérbole - Exercício 02
Nele é possível observar que os eixos imaginários B1 e B2 são, respectivamente:
(1 , 2) e (1 , 0 ).
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4 Conclusão
Por fim, chegamos a conclusão que uma Hipérbole é a curva que podemos ob-
ter quando cortamos uma superfície cônica com um plano paralelo as suas duas
geratrizes. É bastante importante em pesquisas sobre o comportamento de partículas
atômicas, como a trajetória de partículas movendo-se no campo elétrico de um núcleo
atômico. Como no exemplo abaixo:
Figura 9 – Trajetória de partículas no campo elétrico
13
5 Referências Bibliográficas
1) https://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas3_2.php
2) https://matika.com.br/conicas/hiperbole
3) http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/rived/modulo_hiperbole/
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6 Observação Final
Como comunicado ao excelentíssimo professor Antônio Carnevale, nosso grupo
cometeu um equívoco no momento de distribuição dos temas e, com isso, o tema do
grupo que era PARÁBOLA, foi feito como HIPÉRBOLE.
O professor aceitou a alteração e pediu tal observação no fim do trabalho.
Agradecemos.
	Lista de ilustrações
	Sumário
	Introdução
	Equações da Hipérbole
	Hipérbole com focos no Eixo X
	Hipérbole com focos no Eixo Y
	Determinando Equação de uma Hipérbole
	Identificando Pontos da Hipérbole
	Aplicação Exercícios
	Exercício 01
	Exercício 02
	Conclusão
	Referências Bibliográficas
	Observação Final