Aula_4_NOCOES_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Hiperbole

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NOÇÕES DE GEOMETRIA ANALÍTICA 
Aula 4 – A HIPÉRBOLE 
1. HIPÉRBOLE 
 
1.1 Definição de hipérbole 
Dados um plano 𝛼, dois pontos fixos 𝐹1 e 𝐹2 pertencentes a 𝛼. Define-se como hipérbole o 
lugar geométrico dos pontos P de 𝛼 tal que o módulo da diferença entre as distâncias 𝑃𝐹1 e 
𝑃𝐹2 é uma constante (2a). Em linguagem algébrica esta definição é 
|𝑑(𝑃𝐹1) − 𝑑(𝑃𝐹2| = 2𝑎 
 A hipérbole pode ser obtida pela intersecção de um cone duplo de revolução com um plano. 
 
No plano podemos observar que a hipérbole é uma curva com dois ramos. 
 
 
 
1.2. Elementos da hipérbole 
• O ponto “O” é o centro da hipérbole e é o ponto médio de 𝐹1𝐹2, de 𝐴1𝐴2 e de 𝐵1𝐵2. 
• 𝐴1 e 𝐴2 – são os vértices da hipérbole e a sua distância (eixo real) é 𝑑(𝐴1,𝐴2) = 2𝑎. Por-
tanto, 𝑑(𝑂,𝐴1) = 𝑑(𝑂,𝐴2) = 𝑎 
• 𝐹1 e 𝐹2 – são os focos da hipérbole e a sua distância (eixo focal) é 𝑑(𝐹1,𝐹2) = 2𝑐. Portanto, 
𝑑(𝑂,𝐹1) = 𝑑(𝑂,𝐹2) = 𝑐 
• 𝐵1 e 𝐵2 – são as extremidades do segmento denominado eixo imaginário da hipérbole. O 
comprimento deste segmento é 𝑑(𝐵1,𝐵2) = 2𝑏. Portanto, 𝑑(𝑂,𝐵1) = 𝑑(𝑂,𝐵2) = 𝑏 
• 𝐴1, 𝐴2,𝐹1 e 𝐹2 são colineares. 
• 𝐴1 e 𝐴2 estão entre a 𝐹1 e 𝐹2. 
 
A linguagem algérica da definição é 
|𝑑(𝑃, 𝐹1) − 𝑑(𝑃, 𝐹2)| = 2𝑎 
e como os eixos são perpendiculares, o ângulo 𝐴2�̂�𝐵2 é reto. Assim, temos a seguinte relação 
entre 𝑎, 𝑏 e 𝑐: 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 
1.3 Excentricidade da hipérbole 
Em linguagem comum pode-se dizer que a excentricidade é o quanto “achatada” é a hipérbole. 
Em termos matemáticos é o quociente entre o semieixo focal e o semieixo real. 
Para que exista a hipérbole a distância focal (2𝑐) deve ser maior que eixo real (2𝑎). Portanto 
𝑐 > 𝑎 e 
𝑒 =
𝑐
𝑎
, 𝑒 > 1 
1.4 Excentricidade da hipérbole 
Em linguagem comum pode-se dizer que a excentricidade é o quanto “achatada” é a hipérbole. 
Em termos matemáticos é o quociente entre o semieixo focal e o semieixo real. 
Quanto maior for a excentricidade, proporcionalmente será maior a abertura da hipérbole. 
Observe as distâncias dos focos e dos eixos reais e suas aberturas. 
 
 
𝑒 =
2,5
1
= 2,5 𝑒 =
1,3
1
= 1,3 
 
2. EQUAÇÃO CANÔNICA 
Coincidindo o centro da hipérbole com a origem (0,0), tendo os focos pertencentes ao eixo das 
abscissas e aplicando a definição de hipérbole, deduziremos a equação canônica. Para isso de-
vemos considerar: 
• Ponto da hipérbole 𝑃(𝑥, 𝑦); 
• Primeiro foco: 𝐹1 = (−𝑐, 0); 
• Segundo foco: 𝐹2 = (𝑐, 0); 
• Definição de hipérbole: |𝑑(𝑃, 𝐹1) − 𝑑(𝑃, 𝐹2)| = 2𝑎. 
Utilizando o teorema de Pitágoras para distâncias teremos: 
|√(𝑥 − (−𝑐))2 + (𝑦 − 0)2 − √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2| = 2𝑎 
√(𝑥 − (−𝑐))2 + (𝑦 − 0)2 − √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 = ±2𝑎 
Considerando positiva esta diferença (+2𝑎), tirando o módulo e passando a raiz com sinal ne-
gativo para o lado direito da igualdade temos: 
√(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦)2 = 2𝑎 + √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦)2 
Observação: O cálculo terá o mesmo resultado a diferença negativa (−2𝑎). 
Quadramos ambos os lados das igualdades para eliminar a primeira raiz. 
(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦)2 = 4𝑎2 + 4𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦)2 + (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 
Isolando o radical, desenvolvendo os produtos notáveis e eliminando termos iguais em ambos 
os lados da igualdade 
4𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦)2 = 4𝑐𝑥 − 4𝑎2 
Dividindo toda a equação por 4 e quadrando novamente, 
𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦)2 = 𝑐𝑥 − 𝑎2 
Quadrando novamente ambos os lados e desenvolvendo o binômio dentro da raiz 
𝑎2[𝑥2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2] = 𝑐2𝑥2 − 2𝑎2𝑐𝑥+𝑎4 
𝑎2𝑥2 − 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑎2𝑐2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑐2𝑥2 − 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑎4 
𝑎2𝑥2 − 𝑐2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎4 − 𝑎2𝑐2 
(𝑎2 − 𝑐2)𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = (𝑎2 − 𝑐2)𝑎2 
Mas 𝑏2 = (𝑐2 − 𝑎2). Então −𝑏2 = (𝑎2 − 𝑐2) 
−𝑏2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = −𝑏2𝑎2 
E dividindo toda a equação por (−𝑏2𝑎2) 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 
que é a equação canônica da hipérbole com os focos no eixo das abscissas e centro na origem 
(0,0). 
De forma análoga deduz-se a equação 
canônica com focos pertencentes ao eixo 
das ordenadas (figura ao lado) e centro 
na origem. 
 
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1 
 
Observe que só houve mudança de nu-
meradores, mas que fará toda a dife-
rença. 
 
 
Observações: 
A equação canônica da hipérbole com eixos coincidentes com os eixos coordenados, permite 
identificar as medidas dos eixos real e imaginário e se seu eixo focal está no eixo das abscissas 
ou das ordenadas. 
• O eixo real e o eixo focal são coincidentes com a variável de coeficiente positivo, ou 
seja: 
o se 𝑎2 estiver no denominador de 𝑥2 (neste caso 𝑥2 é a variável de coeficiente posi-
tivo) tanto o eixo focal quanto o eixo real estarão no eixo das abscissas (eixo x). 
o se 𝑎2 estiver no denominador de 𝑦2 (neste caso 𝑦2 é a variável de coeficiente posi-
tivo) tanto o eixo focal quanto o eixo real estarão no eixo das ordenadas (eixo y). 
• Os coeficientes das variáveis da hipérbole com centro na origem têm sinais opostos. 
Exemplo 1: 
Dada a equação da hipérbole 
𝑥2
25
−
𝑦2
16
= 1, identifique seus eixos focal, real e imaginário e de-
pois determine se o eixo focal está no eixo das abscissas ou das ordenadas. 
Resolução: 
Como o coeficiente positivo relaciona-se à variável 𝑥 o eixo focal está no eixo das abscissa. 
𝑎2 = 25 ∴ 𝑎 = 5 
𝑏2 = 16 ∴ 𝑏 = 4 
 
Para calcular o eixo focal, aplicamos o teorema de Pitágoras: 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 
𝑐2 = 25 + 16 
𝑐 = √41 ≈ 6,4 
 
 
Portanto, o eixo real é 2𝑎 = 10, o eixo imaginário 2𝑏 = 8 e eixo focal é aproximadamente 
2𝑐 ≈ 12,8 unidades. 
Exemplo 2: 
Dada a equação da hipérbole 16𝑥2 − 9𝑦2 = 144 determine a equação canônica, a excentrici-
dade, as coordenadas dos focos e dos vértices. 
Resolução: 
Para deixar da forma canônica, dividimos toda a equação por 144. Desta forma o lado direito 
da igualdade será 1. 
16𝑥2
144
−
9𝑦2
144
=
144
144
 
 
16𝑥2
16 ⋅ 9
−
9𝑦2
16 ⋅ 9
= 1 
 
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1 
 
𝑥2
32
−
𝑦2
42
= 1 
que é a equação canônica. 
 
Comparando com a fórmula canônica veri-
fica-se que 
𝑎 = 3 
𝑏 = 4 
 
Cálculo de 𝑐 por Pitágoras 
𝑐2 = 32 + 42 
𝑐2 = 9 + 16 = 25 
𝑐 = 5 
 
A hipérbole tem eixo focal no eixo das abscissas, pois a variável com coeficiente positivo é 𝑥. 
Os focos são 𝐹1 = (5,0), 𝐹2 = (−5,0). 
Os vértices do eixo real são 𝐴1 = (3,0), 𝐴2 = (−3,0). 
Os focos do eixo imaginário são 𝐵1 = (0,3 e 𝐵2 = (0, −3). 
A excentricidade é 𝑒 =
5
3
≈ 1,66. 
 
 
3. EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE COM EIXOS PARALELOS AOS EIXOS COORDENADOS E CENTRO 
FORA DA ORIGEM. 
Para encontrar a equação de uma hipér-
bole consideremos o novo centro com 
coordenadas 𝑂′(𝑥0, 𝑦0) e os novos eixos 
coordenados 𝑥′ e 𝑦′. A equação canônica 
é 
𝑥′2
𝑎2
−
𝑦′2
𝑏2
= 1 
 
Mas 𝑥′ = 𝑥 − 𝑥0 e 𝑦
′ = 𝑦 − 𝑦0. Então 
 
(𝑥 − 𝑥0)
2
𝑎2
−
(𝑦 − 𝑦0)
2
𝑏2
= 1 
 
que é a equação canônica da hipérbole 
com eixos paralelos aos eixos coordena-
dos e eixos real e focal no eixo das abs-
cissas. 
 
De forma análoga a equação canônica da hipérbole com eixos focal e real paralelos aos eixos 
coordenados e centro fora da origem é 
(𝑦 − 𝑦0)
2
𝑎2
−
(𝑥 − 𝑥0)
2
𝑏2
= 1 
4. ALGORITMO PARA ENCONTRAR A EQUAÇÃO CANÔNICA DA HIPÉRBOLE 
Desenvolvendo primeira equação canônica anterior (eliminar denominadores, desenvolver os 
produtos notáveis e reordenando as variáveis) a equação da hipérbole será 
𝑏2𝑥2 − 𝑎2𝑦2 − 2𝑏2𝑥0𝑥 + 2𝑎
2𝑦0𝑦 − 𝑏
2𝑥0
2 − 𝑎2𝑦0
2 − 𝑎2𝑏2 = 0 
Para facilitar a visualização façamos 
𝐴 = 𝑏2, 𝐶 = 𝑎2, 𝐷 = −2𝑏2𝑥0 𝐸 = 2𝑏
2𝑦0 e 𝐹 = −𝑏
2𝑥0
2 − 𝑎2𝑦0
2 − 𝑎2𝑏2 
Assim a equação terá o formato em sua forma geral 
𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 
Muitas vezes a equação da hipérbole está desta forma e é necessário encontrar a equação ca-
nônica. O algoritmo de passagem para a equação canônica é o descrito na coluna esquerda 
abaixo. Na coluna da direita temos um exemplo. 
Algoritmo Exemplo 3 
Agrupar termos de mesma 
incógnita (x e y) e o termoindependente transpor para 
o segundo membro; 
9𝑦2 − 25𝑥2 + 100𝑥 − 54𝑦 − 244 = 0 
9𝑦2 − 54𝑦 − (25𝑥2 − 100𝑥) = 244 
 
Encontrar dois trinômios 
quadrados perfeitos do lado 
esquerdo da igualdade. Para 
isso analisa-se o termo que 
deve ser acrescentado para 
os termos em x e para os ter-
mos em y. Mas estes acrésci-
mos devem ser feitas no 
lado direito também para 
não modificar a equação. 
Para que 9𝑦2 − 54𝑦 seja um trinômio quadrado perfeito e de-
pois num binômio quadrado, o 1º termo do binômio é 3𝑦 pois 
(3𝑦)2 = 9𝑦2. 
O segundo termo do binômio é −9 pois, 2 ⋅ 3𝑦 ⋅ (−9) =
−54𝑦. Portanto, o terceiro termo do trinômio é 81, pois 
(−9)2 = 81. Assim, o trinômio é 9𝑦2 − 54𝑦 + 81. Assim, 81 
deve ser somado aos dois membros. 
 
Para que 25𝑥2 − 100𝑥 seja um trinômio quadrado perfeito e 
depois num binômio quadrado, o 1º termo do binômio é 5𝑥 
pois (5𝑥)2 = 25𝑥2. O segundo termo do binômio é 2 pois, 2 ⋅
5𝑥 ⋅ 10 = −100𝑥. Portanto, o terceiro termo do trinômio é 
100, pois 102 = 100. Assim, o trinômio é 25𝑥2 − 100𝑥 +
100. Assim, 100 deve ser subtraído aos dois membros (o sinal 
negativo ao lado do parêntese à esquerda muda o sinal da 
soma). 
A equação será até então: 
 
9𝑦2 − 54𝑦 + 81 − (25𝑥2 − 100𝑥 + 100) = 244 + 81 − 100 
 
Deixar na forma de binômios 
quadrados. 
(3𝑦 − 9)2 − (5𝑥 − 10)2 = 225 
 
Os termos em 𝑥 e em 𝑦 dos 
binômios devem ter coefici-
entes 1. Assim, deve-se dei-
xar em evidência o coefici-
ente de x e de y de cada bi-
nômio. 
(3(𝑦 − 3))2 − (5(𝑥 − 2))2 = 225 
 
9(𝑦 − 3)2 − 25(𝑥 − 2)2 = 225 
 
Divide ambos os membros 
por 225 para que o lado di-
reito seja igual a 1. 
9(𝑦 − 3)2
225
−
25(𝑥 − 2)2
225
=
225
225
 
(𝑥 − 3)2
25
−
(𝑥 − 2)2
9
= 1 
Transforma os denominado-
res na forma de quadrado. 
(𝑦 − 3)2
52
−
(𝑥 − 2)2
32
= 1 
Então, o centro da hipérbole é (2,3) e os semieixos real e ima-
ginário são 𝑎 = 5 e 𝑏 = 3. Os eixo real é paralelo ao eixo 𝑥. 
 
4. ASSÍNTOTAS DA HIPÉRBOLE 
Definição 
Dada uma curva 𝑓(𝑥) e uma reta 𝑟. A reta 𝑟 será 
assíntota não vertical de 𝑓(𝑥) se os domínios da reta 𝑟 e de 𝑓(𝑥) tendem ao infinito (positivo 
ou negativo), a distância entre 𝑟 e 𝑓(𝑥) tende a zero, porém nunca se interceptam. 
Dada uma curva 𝑓(𝑥) e uma reta vertical 𝑥 = 𝑟. A reta 𝑟 será 
assíntota vertical de 𝑓(𝑥) se enquanto o domínio da função 𝑓(𝑥) tende a r pela esquerda ou 
pela direita, o valor de f(x) tende ao infinito (negativo ou positivo) e a distância entre 𝑟 e 𝑓(𝑥) 
tende a zero, porém nunca se interceptam. 
Na figura abaixo as distâncias 2𝑎 e 2𝑏 são as larguras do retângulo 𝑀𝑁𝑃𝑄 pontilhado. As retas 
r e s que contém as diagonais 𝑀𝑃 e 𝑁𝑄 do retângulo são as assíntotas da hipérbole. Uma das 
utilidades das hipérboles é a construção da hipérbole. 
 
As assíntotas que passam pela origem não têm o termo independente, ou seja, tem a forma 
𝑦 = ±𝑚𝑥. Podemos observar pelo gráfico que a inclinação é 𝑚 = ±
𝑏
𝑎
. Assim, as assíntotas da 
hipérbole com centro na origem é 
𝑦 = ±
𝑏
𝑎
𝑥 para hipérboles com focos no eixo 𝑥. 
𝑦 = ±
𝑎
𝑏
𝑥 para hipérboles com focos no eixo 𝑦. 
 
Exemplo 4: 
Dada a equação da hipérbole 
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1 calcule as equações das assíntotas. 
Resolução: 
Pela equação verifica-se que 𝑎2 = 9 e 𝑏2 = 16. Então 𝑎 = 3 e 𝑏 = 4. Pela equação pode-se 
observar também que os focos e o eixo real estão no eixo 𝑥, pois o coeficiente positivo relaci-
ona-se à variável 𝑥. Portanto temos: 
Vértices do eixo real: 𝐴1 = (3,0) e 𝐴2 = (−3,0), 
Vértices do eixo imaginário: 𝐵1 = (0,4) e 𝐵2 = (0, −4) 
Assíntotas: Utilizaremos as fórmulas 𝑦 = ±
𝑏
𝑎
𝑥, pois os focos estão no eixo 𝑥. 
Então as retas assintóticas serão 𝑦 =
4
3
𝑥 e 𝑦 = −
4
3
𝑥.