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Departamento de Matemática - ICEX - UFMG
Calculo Diferencial e Integral 1
Aula 1 - Apendice A9
Exerćıcios 29, 33, 39 e 56.
1. Resolva a inequação em termos de intervalos e represente o conjunto solução na reta real:
• x2 + x + 1 > 0
Resolução: Antes de mais nada, identificamos as ráızes da equação x2 + x + 1 = 0. Usando
a fórmula de Bhaskara, temos:
∆ = 12 − 4 ∗ 1 ∗ 1 = −3
x =
−1±
√
∆
2 ∗ 1
=
−1±
√
−3
2
Como ∆ < 0, não temos uma ráız real e portanto ou x2 + x + 1 é sempre positivo ou sempre
negativo.
Como para x = 0 a expressão vale 1, conclúımos que x2 + x + 1 é sempre positivo e, conse-
quentemente, a solução é
(−∞,∞)
A representação deste conjunto na reta real é toda ela, ou seja
• x3 − x2 ≤ 0
Resolução: Colocando x2 em evidência, reescrevemos a desigualdade como
x2(x− 1) ≤ 0
Uma vez que x2 é sempre positivo, temos que
x2(x− 1) ≤ 0⇔ x− 1 ≤ 0⇔ x ≤ 1
Segue que a solução é
(−∞, 1]
Representamos este conjunto na reta real como
2. A relação entre as escalas de temperatura Celsius e Fahrenheit é dada por C = 59(F − 32), onde
C é a temperatura em graus Celsius e F é a temperatura em graus Fahrenheit. Qual é o intervalo
sobre a escala Celsius correspondente à temperatura no intervalo 50 ≤ C ≤ 95?
Resolução: Substituindo a fórmula dada, a inequação se torna
50 ≤ 5
9
(F − 32) ≤ 95
Por um lado, esta inequação nos dá
50 ≤ 5
9
(F − 32)⇔ 9
5
50 ≤ F − 32⇔ 90 + 32 ≤ F ⇔ 122 ≤ F
Por outro, temos
5
9
(F − 32) ≤ 95⇔ F − 32 ≤ 9
5
95⇔ F ≤ 171 + 32⇔ F ≤ 203
Juntando os resultados, temos que 122 ≤ F ≤ 203, que corresponde ao intervalo [122, 203].
3. Resolva a inequação 0 < |x− 5| < 12 .
Resolução: Esta inequação completa é satisfeita se 0 < |x− 5| e |x− 5| < 12 .
Como o módulo é sempre positivo, temos que 0 < |x− 5| para todo x real.
Portanto, para que a inequação seja satisfeita, basta que |x− 5| < 12 , ou seja,
x− 5 < 1
2
ou − (x− 5) < 1
2
Da primeira inequação, temos x < 12 + 5 =
11
2 .
Da segunda, temos x− 5 > −12 ⇒ x > −
1
2 + 5 =
9
2 .
Portanto, temos que a solução é 92 < x <
11
2 .
2