Matemática para Ensino Superior Exercícios de Revisão MA11

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Exercícios de Revisão 
 
1. Estima-se que a população de uma cidade cresça dois por cento a cada cinco anos. Qual é o crescimento 
estimado para um período de 20 anos? E em um período de t anos? 
 
Chamemos a população inicial da cidade de e a população da cidade após 5 anos de . 
Como a população da cidade após 5 anos é 2% maior que a população inicial temos que . 
Sabemos que a taxa de crescimento sempre incide sobre a população do período anterior. Daí temos a 
expressão: 
 
onde é a população da cidade após n anos e i indica a taxa de crescimento no período. 
Substituindo os valores na expressão temos: 
 
 
 (*) 
Desejamos saber qual será a população num período de 20 anos. Logo devemos calcular . Substituindo os 
valores na expressão temos: 
 
 (**) 
Substituindo (*) em (**) temos: 
 
que equivale dizer um crescimento de 8,243216% num período de 20 anos. 
Para determinarmos a população num período de t anos temos: 
 
 
 
Como desejamos saber apenas a taxa de crescimento no período de t anos temos que: 
 
 
2. A lei de resfriamento de Newton estabelece que, quando um corpo é colocado em um ambiente mantido à 
temperatura constante, sua temperatura varia de modo a ser a mesma do ambiente, a uma taxa proporcional à 
diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente. Uma peça de metal a 120 grau é colocada sobre a 
bancada do laboratório, mantido à temperatura constante de 20 graus. Dez minutos depois, verificou-se que a 
temperatura da peça tinha se reduzido para 80 graus. Qual será a temperatura da peça uma hora depois de ter 
sido colocada na bancada? Esboce o gráfico que exprime a temperatura da peça ao longo do tempo. 
 
Chamemos de a variação da temperatura do corpo, a variação do tempo, a temperatura inicial do 
corpo e a temperatura do ambiente. De acordo com o enunciado temos então: 
 
Utilizando integração temos: 
 
 
Aplicando exponencial em ambos membros da equação temos: 
 
 
Chamaremos de A pois trata-se de uma constante. Reescrevendo a equação encontrada tem-se: 
 
conhecida como lei de resfriamento de Newton para corpos que se encontram num ambiente de temperatura 
constante. 
Esta equação pode ser associada à função expressa por . 
Para resolver o problema, primordialmente iremos determinar o valor da constante A. Para isso utilizaremos os 
dados do enunciado e o fato de no instante inicial a temperatura do corpo ser de 120º C. Ou seja: 
 
Uma informação adicional é que após 10 minutos a temperatura apresentada pelo corpo é de 80º C. Logo temos: 
 
Como desejamos calcular a temperatura do corpo após 1 hora (60 minutos), temos: 
 
 
 
3. O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto às 23 horas. O médico da polícia chegou às 23:30 e 
imediatamente tomou a temperatura do cadáver, que era de 34,8 graus. Uma hora mais tarde ele tomou a 
temperatura outra vez e encontrou 34,1 graus. A temperatura do quarto era mantida constante a 20 graus. 
Admitindo que a temperatura normal de uma pessoa viva é de 36,5 graus, estime a hora em que se deu a 
morte. 
 
Utilizaremos a mesma equação encontrada no exercício anterior . 
Esta equação pode ser associada à função expressa por . 
Para resolver o problema, primordialmente iremos determinar o valor da constante A. Para isso utilizaremos os 
dados do enunciado e usaremos como instante inicial o momento em que a temperatura do corpo foi 
tomada pela primeira vez, ou seja, era de 34,8º C. Assim temos: 
 
A informação adicional é que após 1 hora a temperatura apresentada pelo corpo era de 34,1º C. Logo temos: 
 
Como desejamos calcular em que momento a temperatura do corpo era de 36,5º C faremos: 
 
 
 
 
Utilizando as propriedades dos logaritmos, temos: 
 
Calculando logaritmo em ambos membros temos: 
 
Aplicando novamente as propriedades dos logaritmos, temos: 
 
ou seja, o crime ocorreu 2,244 h antes do corpo ser encontrado, o que equivale a dizer 2 horas 14 minutos e 39 
segundos; sendo o horário do assassinato 23 h 30 min – 2 h 14 min 39 seg = 21 h 15 min 21 seg. 
 
4. Um observador está em um ponto A do aterro do Flamengo e vê o morro do Pão de Açúcar segundo um ângulo 
de 10 graus com o plano horizontal (medido com o teodolito). Ele anda em direção ao seu objetivo até um ponto 
B distante 650 metros de A e agora vê o morro do Pão de Açúcar segundo um ângulo de 14 graus. Qual é a 
altura do morro Pão de Açúcar em relação ao plano de observação? 
 
Primeiramente vamos fazer um esquema ilustrando a situação. 
 
Utilizando a razão tan 10º no triângulo AHM temos: 
 
Novamente utilizando a razão tan 14º no triângulo BHM temos: 
 (*) 
Igualando as expressões obtemos: 
 
 
 
 
 (**) 
Substituindo (**) em (*) temos: 
 
utilizando todas as casas decimais na calculadora do Windows. 
 
(Curiosidade: fazendo a construção em escala no Cabri-Geomètre o software indica a distância de 388 m e a 
Wikipedia informa uma altura de 395 m do Morro do Pão de Açúcar). 
 
5. De um ponto A na praia do Flamengo no Rio de Janeiro, avista-se um ponto P na praia de Icaraí em Niterói 
(estes dois pontos estão em lados opostos do canal de entrada da Baía de Guanabara). De um ponto B na praia 
do Flamengo, distante 1 km de A também se avista o ponto P. Um observador mediu os ângulo , 
. Qual é a distância entre A e P? 
Chamemos a medida do segmento de x. 
Primeiramente vamos fazer um esquema ilustrando a situação. 
 
Vamos agora determinar o ângulo : 
 
Usando os lados e e os respectivos ângulos e podemos utilizar a Lei dos Senos. Assim 
temos: 
 
 
 
 
(Curiosidade: utilizando o software Cabri-Geomètre e a escala 1 : 100 000 chegamos ao resultado 5,02 km). 
 
 
6. Um corredor A está sobre uma reta r e corre sobre ela no sentido AX. Um corredor B não está em r e, correndo 
em linha reta, pretende alcançar A. Se , velocidade de A igual a 8 m/s e velocidade de B igual a 
9 m/s determine o ângulo que a trajetória de B deve fazer com a reta BA para que o encontro seja possível. 
Chamemos a distância AX de , a distância BX de e o ângulo de . 
Primeiramente vamos fazer uma ilustração para melhor compreensão do problema. 
 
Sabemos que . Substituindo os valores dados pelo enunciado temos: 
 
 
Supondo que ambos corredores entraram em movimento no mesmo instante o período de tempo decorrido até 
o momento do encontro é o mesmo para ambos. Logo podemos igualar as expressões encontradas: 
 
Como temos dois lados e um ângulo utilizaremos a Lei dos Senos para determinar o outro ângulo: 
 
 
 
(Adendo: utilizando o software Cabri-Geomètre para verificar a construção encontramos a figura abaixo). 
 
 
 
 
 
7. Como acima, suponha e velocidade de A igual a 8 m/s. Se velocidade de B igual a 8,1 m/s, 
 e B é um corredor inteligente, determine a distância que ele percorreu até alcançar A. 
 
Chamemos a distância AX de , a distância BX de e o ângulo de . 
Vamos fazer uma ilustração para melhor compreensão do problema. 
 
 
 
Utilizaremos as mesmas expressões do exercício 6. Substituindo os novos valores temos: 
 
 
 
Como o período de tempo decorrido até o encontro dos corredores é igual podemos igualar as expressões: 
 
 
Novamente trata-se de uma aplicação da Lei dos Senos: 
 
 
 
Desta forma podemos determinar o ângulo a qual chamaremos de . 
 
 
Utilizando novamente a Lei dos Senos temos: 
 
(utilizando todas as casas decimais da calculadora do Windows) 
 
 
 
 
 
 
 
8. Prove que . 
 
Sabemos que , , e , além da relação 
fundamental da trigonometria . 
 
Desenvolvendo o primeiro membro da igualdade temos: 
 
 
 
 
 
Desta forma chegamos ao segundo membro da igualdade. 
 c.q.d. 
 
9. Prove que 
 
para . 
Chamemos de y o resultado de . Vamos restringir um intervalo onde a função seja 
bijetora, por exemplo, . Desta forma temos: 
 
Analogamente chamemos de z o resultado de . Restringindo um intervalo onde a função 
esteja definida,por exemplo, . Desta forma temos: 
 
Como o enunciado garante que , podemos desenvolver o primeiro membro da igualdade assim: 
 
Utilizando a Relação Fundamental da Trigonometria podemos deduzir o valor de . Assim temos: 
 
Lembrando que e temos: 
 
ou seja, 
 
Logo utilizando a função temos: 
 
Como definimos z como sendo , chegamos a conclusão que y = z, ou seja, 
 
 
 
10. Supondo que a é um ângulo do segundo quadrante que satisfaz é possível calcular ? 
 
Sabemos que . Então temos: 
 
 
Substituindo o valor encontrado na Relação Fundamental da Trigonometria temos: 
 
 
Utilizando o valor de (**) em (*) encontramos: 
 
 
O enunciado informa que o ângulo a pertence ao 2º quadrante; sabemos que neste quadrante os senos dos 
arcos são positivos. Então utilizaremos apenas o valor . 
Como desejamos calcular devemos utilizar . Logo temos: 
 
 
 
11. Calcule x que satisfaz simultaneamente 
 
Sabemos que . Então temos: 
 
Substituindo os valores dados na relação fundamental da trigonometria temos: 
 
 
 
Resolvendo a equação do 2º grau encontrada temos: 
 
 
Vamos agora testar as raízes encontradas: 
i) para temos: 
 
 
 
 
 
Como o valor de cos (a) > 0 a extremidade do arco (a) deve pertencer ao 1º ou ao 4º quadrante. Como o valor de 
sin (a) > 0 a extremidade do arco (a) deve pertencer ao 1º ou ao 2º quadrante. Logo o arco (a) possui extremidade 
no 1º quadrante, sendo que a cossecante do arco (a) no 1º quadrante é um valor positivo. 
ii) para temos: 
 
 ou 
 
 
 ou 
Como o valor de cos (a) < 0 a extremidade do arco (a) deve pertencer ao 2º ou ao 3º quadrante. Como o valor de 
sin (a) < 0 a extremidade do arco (a) deve pertencer ao 3º ou 4º quadrante. Logo o arco (a) possui extremidade no 
3º quadrante, sendo que a cossecante do arco (a) no 3º quadrante é um valor negativo. 
 
12. Determine o ângulo C de um triângulo sabendo que os outros dois ângulos A e B estão relacionados por 
 
 
 
Sabemos que . Então temos: 
 
 
Também sabemos que . Fazendo as devidas substituições 
temos: 
 
 
Como temos . Substituindo na expressão encontrada temos: 
 
 
Desenvolvendo a expressão chegamos em: 
 
 
Logo temos que: 
 
 ou 
 
Como é um ângulo agudo temos que e o triângulo é retângulo.