12 - Cálculo da Carga de Laminação

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MET146 – Transformação Mecânica dos Metais
2006/1
Prof. Ricardo Domingues
CÁLCULO DA 
CARGA DE LAMINAÇÃO 
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MET146 – Transformação Mecânica dos Metais
2006/1
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COMPARAÇÃO DA LAMINAÇÃO DE PLANOS COM O FORJAMENTO EM ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO
 A existência do ângulo neutro, provocada pelas forças de atrito convergentes, acarreta uma restrição ao fluxo do metal na zona de deformação semelhante, pelo menos qualitativamente, à observada no forjamento livre de placas em estado plano de deformação. É previsível, então, a existência de zonas de fluxo restringido, como as mostradas abaixo, cujo significado físico pode ser analisado a partir do estudo realizado para o forjamento de placas.
 Todavia, deve-se lembrar que, ao contrário do que ocorre no forjamento livre, no caso da laminação, cada uma das zonas de fluxo restrin-gido é assimétrica, levando a curvas distintas de p(j) para a zona motriz e para a saída.
Assim, espera-se que na zona de deformação opere uma distribuição de pressão na forma de uma “colina de fricção”, semelhante à obtida no forjamento, cujos detalhes e características serão analisados posteriormente.
Plano de saída
R
R
j
j
			 Também por analo-gia, como já mencionado, pode-se inferir que a carga de laminação crescerá com os fatores que aumentam a área de contato entre o cilindro e a chapa ( ), com a redução e com o aumen-to do coeficiente de atrito do processo.
Zonas 
de fluxo restringido
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Caso a função Y(e) seja desconhecida, ou, caso contrário, opte-se por não utilizá-la, a tensão de escoamento média pode ser estimada, para fins práticos, por um método gráfico empírico (reportado pelo Prof. Duvidier Medírcio) que, embora seja muito simples, leva a resultados bastante razoáveis.
Y
TENSÃO DE ESCOAMENTO MÉDIA
Na laminação em estado plano de deformação, deve-se lembrar que a tensão de escoamento média é dada por
A deformação verdadeira ( ) pode ser usada para se determinar a tensão de escoamento média do metal.
Tensão verdadeira
Deformação verdadeira
Yf
ef
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 Na laminação a quente, a temperatura metal é suficientemente 
elevada para garantir a recuperação dinâmica da tensão de escoamento, que se mantém em nível praticamente constante. Diz-se, com isso, que o metal não encrua, mas, na realidade, a conformação plástica a quente se dá sob condições tais que, após certa deformação, estabelece-se um equilíbrio entre as velocidades de encruamento e de amaciamento do metal e, desta forma, o efeito do encruamento não se acumula, fazendo com que Y (ou S) fique essencialmente constante. 
 A influência da velocidade de deformação ( ), assim como as de ou-tros fatores metalúrgicos, sobre a tensão de escoamento são muito im-portantes na laminação a quente. Porém, na laminação a frio a análise das variações de ganha interesse especial, pois o encruamento, nesse caso, é aliviado somente a posteriori, com o tratamento de recozimento. 
 Devem ser recordados, portanto, além da influência da temperatura, da velocidade de deformação e de outros fatores sobre a laminação, os demais assuntos tratados na Introdução à Transformação Mecânica, vista na Parte III da disciplina RED1020 – Tecnologia de Materiais Metálicos A, no primeiro semestre de 2003. Uma boa revisão dos capítulos 1 a 5 da Ref. 3 (Helman & Cetlin) e do cap. 15 da Ref. 1 (Dieter) é, então, funda-mental para a plena compreensão dos assuntos que estamos estudando.
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 Quando o atrito aumenta, aumentam os valores da pressão na entrada e 
saída dos cilindros. Quando o atrito diminui, o ponto neutro se aproxima da 
saída dos cilindros para manter uma força resultante no sentido de laminação, pois, caso contrário, a peça deslizaria ao invés de passar entre os cilindros. 
 Com as elevadas pressões que se desenvolvem na laminação a frio, um outro 
fator que não se pode ignorar é a deformação elástica dos cilindros, uma vez que ela exerce marcante influência sobre a carga de laminação e sobre a espessura mínima de chapa que se pode alcançar num determinado laminador.
 Apesar de as teorias que serão apresentadas a seguir, para o cálculo da carga de laminação, exigirem que o arco de contato seja circular, seu raio não precisa ser, necessariamente, igual àquele do cilindro. Como este sofre deformação elástica, o raio R’ do arco deformado, maior que o raio R do cilindro, é que aparece na maioria das equações. 
 A equação mais usual para o raio R’ do arco deformado, por sua aceitação entre os pesquisadores do assunto como suficientemente precisa, é a equação de Hitchcock:
sendo E o módulo de Young e n o módulo de Poisson do material empregado na construção dos cilindros.
 O importante problema do achatamento dos cilindros na laminação a frio será objeto de análise em separado, após o estudo da carga de laminação.
onde
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 Dado um coeficiente de atrito suficiente para executar a laminação de um produto plano, a força P requerida para manter a separação entre os dois cilindros, conhecida como carga de laminação, pode ser determinada integrando a 
pressão exercida por um cilindro sobre a área de contato entre o cilindro e o 
				 metal. 
em que w é a largura da peça laminada, em mm, p é a pressão exercida, em MPa, L é o comprimento do arco de contato, em mm, e x é a direção de laminação. 
 A variação da pressão no cilindro ao longo do arco de contato é significativa. Ela alcança um máximo no plano neutro e, à medida em que nos afastamos deste ponto, por qualquer lado, ocorre uma diminuição progressiva da pressão. 
CARGA DE LAMINAÇÃO
Esta força pode ser expressa como:
			 Esta in-tegração requer dois termos separados, um para cada lado do plano neutro, pois a colina de fricção, como se sabe, é assimétrica no caso da laminação. 
L
entrada
saída
sentido de
laminação
Pressão dos cilindros
Plano neutro
(deslizamento nulo)
Colina de Fricção
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			 A variação da pressão com a posição ao longo do 
			 arco de contato pode ser calculada pelo método 
			 dos blocos aplicado diretamente à laminação em estado plano de deformação. 
 Na análise do forjamento em estado plano de deformação vimos que a carga 
total e a pressão média eram dadas por e . 
 Na laminação em estado plano de deformação, com atrito de deslizamento, as mesmas equações são válidas, bastando substituir b pelo comprimento do arco de contato deformado e h pela espessura média do metal na zona de deformação, isto é, . 
				 Em termos destes parâmetros, a pressão média na laminação em estado plano de deformação pode ser expressa por:
Fazendo ,
 As constantes de integração C1 e C2 são calculadas a partir das condições de contorno, que dependem da existência de tração a frente e/ou a ré durante o processo de laminação.
			 O cálculo é longo e trabalhoso (ver item 8.8.3 da Ref. 3), mas, após algumas hipóteses simplificadoras, obtém-se: 
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 Como jf = 0 , Hf = 0 e Hi = H(a) .
 A carga total é obtida pela integração da pressão ao longo de toda a área de contato:
 Integrando, reagrupando e rearranjando, obtém-se a equação dapressão média de laminação, idêntica à obtida por meio da analogia com o forjamento de placas:
Sem aplicação de tensões externas, temos:
j
entrada
saída
sentido de
laminação
Pressão
Plano neutro
(deslizamento nulo)
Colina de Fricção calculada
L
a
0
aN
Si
Sf
p–(j)
p+(j)
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 Se for(em) aplicada(s) tração à frente (sfr) e/ou tração a ré (sré), mudam as condições de contorno e as constantes de integração, fazendo com que diminua a pressão dos cilindros sobre a chapa e, conseqüentemente, a carga de laminação também diminui.
 A colina de fricção obtida a partir da representação gráfica das duas equações, 
uma para cada parte da zona de deformação (área motriz e área de saída), é praticamente idêntica à obtida experimentalmente, diferenciando-se apenas nas proximidades do ângulo neutro.
			 A diferença entre a colina de fricção real e a calculada reside no fato de o deslizamento nulo não ficar confinado a uma linha única, referente à posição exata do plano neutro. No contato com os cilindros, o metal deixa de deslizar não sobre uma linha, mas sobre uma área, o que produz a suavização observada na colina de fricção real. 
onde
j
entrada
saída
sentido de
laminação
Pressão
L
a
0
Si
Sf
p–(j)
p+(j)
sré
sfr
aN
Colina de Fricção com tração
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RELAÇÃO “CARGA-DEFORMAÇÃO”
 As equações da carga de laminação disponíveis na literatura, inclusive as aqui apresentadas, permitem calcular as cargas em função das diferentes variáveis do processo, mediante o emprego de certos modelos teóricos.
 É interessante, no entanto, dispor de respostas rápidas a perguntas objetivas, do tipo: “Qual é a carga necessária para se fazer esta redução neste laminador?”
 Mantendo-se fixas certas variáveis de processo, como o diâmetro dos cilindros, o material a laminar, a espes-sura inicial da chapa (hi) e as condições de atrito (m), a carga de laminação P pode ser expressa em termos da espessura final hf , por meio de uma função P = f(hf) :
 Cabe ressaltar que não se
tratam apenas de meros des-
locamentos da curva para um 
lado ou outro, pois hi é um dos parâmetros da função P=f(hf), cujo comportamento muda com o uso de cada novo valor da espessura inicial.
P
hf
hi
hf*
P*
hi(1)
Dh(1)
Dh
hi(2)
P(1)
P(2)
Dh(2)
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ACHATAMENTO ELÁSTICO DOS CILINDROS
 Se a chapa é fina (h pequeno) e o raio do cilindro é grande (fazendo L grande), resulta uma grande colina de fricção e, conseqüentemente, uma pressão média também elevada. A força de separação dos cilindros por unidade de largura da chapa, dada pelo produto entre a pressão média e o comprimento do arco de contato, aumenta ainda mais rapidamente. 
 		 Uma conseqüência da elevada força de separação dos cilindros de laminação é o já citado achatamento elástico dos cilindros, com o aparecimento de um arco de contato deformado, com raio R’ maior que o raio R do cilindro. 
	Esta equação empírica, citada por Caddell em seu livro “Metal Forming”, retrata uma relação entre características do cilindro (R, E e n), do metal (S), da interface metal-cilindro (m) e do próprio processo de laminação (st e hmin).
	O valor de C está entre 7 e 8. 
 O novo comprimento do arco de contato (dado agora por ) faz com que a força de sepa-ração entre os cilindros aumente ainda mais e, no limite, o achatamento dos cilindros é tão severo que impede a redução da espessura da chapa abaixo de um mínimo dado por
R
R’
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 A solução gráfica simultânea, para tais condições, das equações acima citadas mostra os resultados de R’ em função de P (linhas cheias) e de P em função de R’ (linhas tracejadas). A interseção dessas duas linhas, para cada espessura inicial, satisfaz a ambas as equações e às condições operacionais. 
 As equações do raio do arco de contato deformado e
 da carga de laminação são interdependentes e 
 precisam ser resolvidas simultaneamente para fornecerem os valores de P e R’.
Um aço fortemente encruado, com e 				, foi submetido a uma redução de 5% num laminador cujos cilindros de trabalho têm 5” de raio. Chapas com espessuras iniciais de 0,100”, 0,040” e 0,020” foram laminadas a frio com um coeficiente de atrito m = 0,2.
 Vê-se que não há interseção entre as linhas para a chapa com espessura inicial de 0,020”, pois, usando-se C = 7 e as mesmas condições citadas acima na equação empírica da espessura mínima, encontra-se .
 A equação da espessura mínima sugere certas práticas úteis para a laminação de chapas finas e folhas. A aplicação de tração à frente e a ré, a redução de m pela lubrificação, a diminuição de pelo recozimento e o uso de cilindros de trabalho de menor raio são benéficos para a diminuição do hmin que se pode alcançar. Na laminação de folhas muito finas (de alumínio, p. ex.), recorre-se ao “sanduíche”, pois a espessura de cada folha individual é menor do que a mínima.
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 A rigidez do laminador deve ser suficiente para suportar a carga de laminação 
e permitir que o processo seja conduzido de maneira eficiente e eficaz. Entretanto, como o laminador é constituído de uma série de componentes mecânicos confeccionados com materiais diversos (estrutura, cilindros, mancais, rolamentos, parafusos de ajuste, etc.), sua rigidez é limitada e uma quantidade significativa de deformação elástica ocorre quando ele é submetido a cargas de laminação elevadas. Em conseqüência, a separação entre os cilindros sofrerá um aumento durante o processo de laminação.
DIAGRAMA DE CONTROLE
DIMENSIONAL
Ponto de operação
 Sendo essencialmente elástica a deforma-ção do sistema do laminador (s), o módulo de rigidez do laminador (M = dP/ds) será dado pela inclinação da reta no gráfico Ps , isto é, M = P/s. 
 Afirmando ser difícil medir, com precisão suficiente, a abertura entre os cilindros, Cetlin apresenta, no item 8.9.1 da ref. 3 (p.146), uma técnica experimental para a medição do módulo de rigidez, baseada na laminação de duas chapas de espessuras diferentes, usan-do-se a mesma abertura entre cilindros, e na resolução do sistema de equações resultante, da qual obtém-se uma função M = M(g) .
 A abertura dos cilindros será, então, g = hf – P/M .
hf
P
Dh
P
hi
s
s
g
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OUTRAS EQUAÇÕES PARA CÁLCULO DA CARGA DE LAMINAÇÃO
 Baseando-se em dados experimentais, Ekelund, Tselikov, Orowan, Pascoe e Sims propuseram diferentes equações para o cálculo de QF , algumas mais úteis para a laminação a quente, outras para a laminação a frio. 
 Uma situação análoga acontece com o cálculo da tensão de escoamento média: há muitas fórmulas que permitem a sua avaliação a partir de dados de tempera-tura, deformação e taxa de deformação. Além das duas técnicas já apresentadas aqui, podem ser citadas as expressões desenvolvidas por Tegart, Rossard, Misaka, Ekelund e Shida, das quais estas três últimas relacionam a tensão de escoamento com os teores de carbono e de elementos de liga do aço e as demais dependem de dados experimentais específicos para cada tipo de aço a ser laminado.
 É importante ressaltar a diferença de enfoque entre a laminação afrio e a laminação a quente. Na primeira o atrito é predominantemente de deslizamento, denominado atrito coulombiano (Fa = mP), mas, na segunda predomina o atrito de agarramento, tornando mais conveniente o uso da tensão de escoamento média por cisalhamento k no cálculo da tensão de atrito (t = mk).
 Muitos pesquisadores desenvolveram teorias matemáticas para o cálculo da carga de laminação, seja ela realizada a quente ou a frio. Uma abordagem geral, que apresenta boa conformidade com dados industriais reais pode ser descrita
pela expressão , onde QF é um fator geométrico que correla-ciona as demais variáveis do processo de laminação (hi , hf , m , R).
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 São possíveis, então, várias combinações de modelos de cálculo de carga de laminação e tensão de escoamento média, fazendo com que cada trabalho de pesquisa nesta área necessite de uma avaliação prévia de qual combinação leva a resultados mais coerentes com a aplicação específica. 
 Apenas a título de exemplo, podemos citar um trabalho realizado por técnicos da Cosipa liderados pelo Eng. Antonio Gorni, intitulado Development of a Mathematical Model for Calculation of the Pass Schedule for a Plate Mill, que apresenta resultados da aplicação de uma combinação do modelo de Sims (para a equação do fator geométrico) com a fórmula de Misaka (para a tensão de escoamento a quente) ao caso da laminação a quente de chapas grossas de um aço carbono ao manganês grau 40 (Y = 40 kgf/mm2). 
 Para chegarem à conclusão de que esta combinação era a que levava a resultados mais próximos dos reais, eles coletaram um grande número de dados experimentais durante a operação do laminador de chapas grossas (plate mill) e fizeram comparações estatísticas com as diversas combinações possíveis de equações. 
 A íntegra do trabalho pode ser encontrada no website do Eng. Gorni: www.gorni.eng.br . 
Fim deste tópico
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  CÁLCULO DO ESFORÇO NECESSÁRIO PARA ESTIRAR POR 
 FORJAMENTO A QUENTE NO ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO
Estado Plano: wi = wf = w
Não se sabe, a priori, se dsx será negativo ou positivo
FACE 2
FACE 1
FACE 1
b/2
b/2
p
t
p
t
h
dx
x
x’
sx + dsx
sx
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	Como já vimos, para o caso do estado plano de deformação, o critério de 
von Mises estabelece que: 
S
Para deformação a quente é razoável admitir S constante. 
 dsx = dp
Condição de contorno:
 			Na borda da matriz (x = b/2), a tensão sx será nula e, de acordo com a equação (1), a pressão p deverá ser igual a S.
Ou, finalmente:
(1)
 Válida para
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s
Colina de Fricção
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Considerando a simetria da distribuição de pressão sobre a peça e a expressão encontrada para p(x), obtemos:
A carga total, P, para executar a operação é dada por:
A pressão média é
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Y
A simulação feita aqui tem caráter meramente ilustrativo.
Nos casos reais, o desvio entre o valor determinado por este método e o
obtido pela integração da função Y(e) é menor do que o aqui retratado.
Tensão verdadeira
Deformação verdadeira
ef
Yf
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hi = 0,020”
hi = 0,040”
hi = 0,100”
R’ (polegadas)
P (libras)
0
10
20
30
40
10
20
30
40 × 103
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h
R
w
D
Y
3
2
S
=
(
)
ò
ò
=
f
f
n
e
e
e
e
e
e
0
0
d
A
d
Y
Y
(
)
f
f
e
e
e
=
ò
e
0
d
Y
Y
=
=
ò
f
n
f
e
e
e
e
0
d
A
(
)
f
n
f
n
e
e
+
=
+
1
A
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(
)
=
+
×
=
f
f
n
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e
e
1
A
n
n
f
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1
A
e
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i
h
h
ln
f
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e
ε
&
ú
û
ù
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é
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
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=
w
P
h
h
c
1
R
R'
f
i
(
)
πE
1
16
c
2
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ò
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L
0
d
p
w
P
x
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
1
h
μb
exp
μ
hw
S
P
bw
P
p
=
h
R
L
D
=
'
(
)
2
h
h
h
f
i
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
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÷
ø
ö
ç
è
æ
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1
h
μL
exp
μL
h
S
p
Cte.
arctg
ln
ln
+
÷
÷
ø
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ç
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æ
±
÷
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ö
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æ
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ö
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j
f
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h
R'
h
R'
2
μ
R'
h
S
p
÷
÷
ø
ö
ç
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×
=
j
f
f
h
R'
h
R'
2
H
arctg
(
)
(
)
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
-
=
+
=
-
+
(entrada)
μH
R'
h
S
p
(saída)
μH
R'
h
S
p
2
1
exp
C
exp
C
(
)
(
)
(
)
(
)
÷
ø
ö
ç
è
æ
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=
=
=
ò
ò
ò
ò
-
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α
α
α
0
α
0
L
0
N
N
d
p
d
p
wR'
d
R'
p
w
d
p
w
P
j
j
j
j
j
j
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x
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÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
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÷
ø
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æ
D
D
=
1
h
h
R'
μ
exp
h
R'
μ
h
S
(
)
[
]
(
)
[
]
ï
ï
î
ï
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í
ì
-
=
-
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\
-
+
(entrada)
H
H
μ
h
h
S
p
(saída)
H
H
μ
h
h
S
p
i
i
f
f
exp
exp
f
1
h
R'
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C
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)
i
i
2
μh
h
R'
exp
C
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-
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-
+
(entrada)
H
H
μ
h
h
S
1
S
p
(saída)
H
H
μ
h
h
S
1
S
p
i
i
i
ré
f
f
f
fr
exp
exp
s
s
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)
÷
÷
ø
ö
ç
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æ
-
÷
÷
ø
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æ
D
D
-
=
1
h
h
R'
μ
exp
h
R'
μ
h
S
p
t
s
(
)
2
ré
fr
s
s
s
+
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t
(
)
(
)
t
2
min
σ
S
E
ν
1
R
C
μ
h
-
-
=
S
"
,
021
0
h
min
=
psi
 
100.000
S
=
(
)
psi
 
10
3
3
1
E
E
6
2
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-
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h
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μ
exp
μ
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S
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t
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F
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P
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x
x
x
x
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pd
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h
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x
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x
x
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s
s
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x
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s
Y
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p
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x
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û
ù
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ç
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m
×
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x
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x
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b
h
2
S
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p(
x
d
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p
dp
m
-
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\
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ò
-
=
\
x
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h
2
p
dp
m
te
C
h
2
p
ln
+
-
=
\
x
m
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C
2
b
h
2
S
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+
×
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