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Apostila_de_Matemática_N_ (1)(2)

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da função, enquanto o eixo y 
representa os valores obtidos em função de x, constituindo a imagem da função. 
 
 131 
 
Um exemplo de relação de função pode ser expresso por uma lei de formação que 
relaciona: o preço a ser pago em função da quantidade de litros de combustível 
abastecidos. Considerando o preço da gasolina igual a R$ 2,50, temos a seguinte lei de 
formação: f(x) = 2,50*x, onde f(x): preço a pagar e x: quantidade de litros. 
Observe a tabela abaixo: 
 
 
Verifique que para cada valor de x temos uma representação em f(x), esse modelo é um 
típico exemplo de função do 1º grau. 
 
Domínio, contradomínio e imagem 
Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto A a um único 
elemento do conjunto B. Nessa definição, o conjunto A é chamado de domínio, e o conjunto 
B é o contradomínio da função. Além desses dois conjuntos, existe um subconjunto do 
contradomínio chamado imagem. 
A representação de uma função em forma algébrica pode ser feita da seguinte maneira: 
Dados os conjuntos A e B, uma função f é a regra: 
 
 
 132 
𝒇: 𝑨 → 𝑩 
𝒚 = 𝒇(𝒙) 
A simbologia A → B significa que os elementos do conjunto A estão relacionados aos 
elementos do conjunto B por meio da função f. Em outras palavras, dado um elemento 
qualquer pertencente ao conjunto A, esse elemento será relacionado a um único elemento 
do conjunto B por meio da função f. 
Se x é um número qualquer pertencente ao conjunto A, então x é chamado variável 
independente. Se y é um número qualquer do conjunto B, então y é chamado variável 
dependente. Em outras palavras, a variável independente tem seus valores determinados 
pelo domínio da função, e os valores da variável dependente são encontrados no 
contradomínio. 
A variável independente é assim conhecida porque seus valores não dependem de outra 
variável ou da regra da função para existir. Seus valores necessitam apenas da definição do 
domínio da função. Já os valores da variável dependente, conforme o nome já indica, 
dependem da regra de formação da função e dos valores do domínio. 
 
Domínio 
Dada a função: 
 
𝒇: 𝑨 → 𝑩 
𝒚 = 𝒇(𝒙) 
 
O conjunto A é o domínio da função f. Esse conjunto é formado por todos os números que 
podem tomar o lugar de x na lei de formação da função, caso x seja a letra escolhida para 
representar a variável independente. 
Todos os elementos que pertencem ao domínio de uma função são dominantes nela, ou 
seja, seus valores determinam os valores da outra variável. Por causa disso, esse nome foi 
escolhido para esse conjunto. 
Exemplo: 
𝒇: 𝑵 → 𝒁 
 
 133 
𝒚 = 𝒙² 
 
O domínio dessa função é o conjunto dos números naturais. Portanto, os números que 
podem ser colocados no lugar de x, para encontrar seus respectivos valores no 
contradomínio, são: 
 
𝑵 = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, … } 
 
Contradomínio 
Dada a função: 
 
𝒇: 𝑨 → 𝑩 
𝒚 = 𝒇(𝒙) 
 
O seu contradomínio é o conjunto B. Esse conjunto é formado pelos elementos que podem 
tomar o lugar de y na lei de formação da função, caso y seja a letra escolhida para 
representar a variável dependente. 
Todos os valores que pertencem ao contradomínio da função podem ser relacionados a um 
valor do domínio, mas também pode ocorrer de nem todos os elementos do contradomínio 
estarem relacionados a algum elemento do domínio. 
Exemplo: 
 
𝒇: 𝑵 → 𝒁 
𝒚 = 𝒙² 
 
Nessa função, os elementos que pertencem ao conjunto dos números inteiros e que estão 
relacionados a algum elemento do domínio são apenas os quadrados perfeitos. 
 
 134 
 
{𝟎, 𝟏, 𝟒, 𝟗, 𝟏𝟔, 𝟐𝟓, … } 
 
Note que os números negativos, embora estejam no contradomínio, não foram “usados” 
nessa função. 
 
Imagem 
A imagem de uma função é o conjunto de todos os números do contradomínio que estão 
relacionados a algum elemento do domínio. 
Exemplo: 
 
𝒇: 𝑵 → 𝒁 
𝒚 = 𝒙² 
 
A imagem dessa função é justamente o conjunto dos quadrados perfeitos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 135 
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA 
cai nos vestibulinhos: ETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Cursos Técnicos do SENAI, CEFET e Bolsas de 
Estudo. 
 
Média 
A média (Me) é calculada somando-se todos os valores de um conjunto de dados e 
dividindo-se pelo número de elementos deste conjunto. 
Como a média é uma medida sensível aos valores da amostra, é mais adequada para 
situações em que os dados são distribuídos mais ou menos de forma uniforme, ou seja, 
valores sem grandes discrepâncias. 
 
Fórmula 
 
𝑴𝒆 =
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒙𝒏
𝒏
 
 
Sendo, 
Me: média 
x1, x2, x3,..., xn: valores dos dados 
n: número de elementos do conjunto de dados 
 
Exemplo 
Os jogadores de uma equipe de basquete apresentam as seguintes idades: 28, 27, 19, 23 e 
21 anos. Qual a média de idade desta equipe? 
 
𝑴𝒆 =
𝟐𝟖 + 𝟐𝟕 + 𝟏𝟗 + 𝟐𝟑 + 𝟐𝟏
𝟓
 
 
 136 
𝑴𝒆 =
𝟏𝟏𝟖
𝟓
= 𝟐𝟑, 𝟔 
 
Moda 
A Moda (Mo) representa o valor mais frequente de um conjunto de dados, sendo assim, 
para defini-la basta observar a frequência com que os valores aparecem. 
Um conjunto de dados é chamado de bimodal quando apresenta duas modas, ou seja, dois 
valores são mais frequentes. 
 
Exemplo 
Em uma sapataria durante um dia foram vendidos os seguintes números de sapato: 34, 39, 
36, 35, 37, 40, 36, 38, 36, 38 e 41. Qual o valor da moda desta amostra? 
Observando os números vendidos notamos que o número 36 foi o que apresentou maior 
frequência (3 pares), portanto, a moda é igual a: 
 
Mo = 36 
 
Mediana 
A Mediana (Md) representa o valor central de um conjunto de dados. Para encontrar o 
valor da mediana é necessário colocar os valores em ordem crescente ou decrescente. 
Quando o número elementos de um conjunto é par, a mediana é encontrada pela média 
dos dois valores centrais. Assim, esses valores são somados e divididos por dois. 
 
Exemplos 
1) Em uma escola, o professor de educação física anotou a altura de um grupo de alunos. 
Considerando que os valores medidos foram: 1,54 m; 1,67 m, 1,50 m; 1,65 m; 1,75 m; 1,69 
m; 1,60 m; 1,55 m e 1,78 m, qual o valor da mediana das alturas dos alunos? 
Primeiro devemos colocar os valores em ordem. Neste caso, colocaremos em ordem 
crescente. Assim, o conjunto de dados ficará: 
 
 137 
1,50; 1,54; 1,55; 1,60; 1,65; 1,67; 1,69; 1,75; 1,78 
 
Como o conjunto é formado por 9 elementos, que é um número ímpar, então a mediana 
será igual ao 5º elemento, ou seja: 
 
Md = 1,65m 
 
2) Calcule o valor da mediana da seguinte amostra de dados: (32, 27, 15, 44, 15, 32). 
Primeiro precisamos colocar os dados em ordem, assim temos: 
 
15, 15, 27, 32, 32, 44 
 
Como essa amostra é formada por 6 elementos, que é um número par, a mediana será igual 
a média dos elementos centrais, ou seja: 
 
𝑴𝒅 =
𝟐𝟕 + 𝟑𝟐
𝟐
=
𝟓𝟗
𝟐
= 𝟐𝟗, 𝟓 
 
Amplitude 
Essa medida de dispersão é definida como a diferença entre a maior e a menor observação 
de um conjunto de dados, isto é: 
 
𝑨 = 𝒙𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 − 𝒙𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 
 
Por ser uma medida que não leva em consideração como os dados estão efetivamente 
distribuídos, não é muito utilizada. 
 
 138 
Exemplo 
O setor de controle de qualidade de uma empresa seleciona ao acaso peças de um lote. 
Quando a amplitude das medidas dos diâmetros das peças ultrapassa 0,8 cm o lote é 
rejeitado. 
Considerando que em um lote foram encontrados os seguintes valores 2,1 cm; 2,0 cm; 2,2 
cm; 2,9 cm; 2,4 cm, esse lote foi aprovado ou rejeitado? 
Para calcular a amplitude, basta identificar o menor e o maior valores, que neste caso, são 
2,0 cm e 2,9 cm. Calculando a amplitude, temos: 
 
A = 2,9 - 2 = 0,9 cm 
 
Nesta situação o lote foi rejeitado, pois a amplitude ultrapassou o valor limite. 
 
Variância 
A variância é determinada pela média dos quadrados das diferenças entre cada uma das 
observações e a média aritmética da amostra. O cálculo é feito com base na seguinte 
fórmula: 
 
𝑽 =
∑ (𝒙𝒊 − 𝑴𝑨)
𝟐𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
 
 
Sendo, 
V: variância 
: valor observado 
MA: média aritmética

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