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Apostila_de_Matemática_N_ (1)(2)

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quaisquer 
São trapézios que não seguem quaisquer regras e não possuem semelhança entre si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ÁREAS E PERÍMETROS 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Na geometria, os conceitos de área e perímetro são utilizados para determinar as medidas 
de alguma figura. 
 
Área: equivale a medida da superfície de uma figura geométrica. 
Perímetro: soma das medidas de todos lados de uma figura. 
 
Geralmente, para encontrar a área de uma figura basta multiplicar a base (b) pela altura (h). 
Já o perímetro é a soma dos segmentos de retas que formam a figura, chamados de lados 
(l). 
Para encontrar esses valores é importante analisar a forma da figura. Assim, se vamos 
encontrar o perímetro de um triângulo, somamos as medidas dos três lados. Se a figura for 
um quadrado somamos as medidas dos quatro lados. 
 
Quadrado 
O perímetro do quadrado corresponde a soma dos quatro lados dessa figura plana. 
Lembre-se que o quadrado é um quadrilátero regular que apresenta lados com as mesmas 
medidas (congruentes). Assim, essa figura é composta por quatro ângulos retos (90°). 
 
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O perímetro do quadrado é calculado utilizando a fórmula: 
𝑷 = 𝑳 + 𝑳 + 𝑳 + 𝑳 
ou 
𝑷 = 𝟒𝑳 
 
Diferente do perímetro, a área é a medida da superfície da figura. Assim, a área do 
quadrado é calculada pela fórmula: 
𝑨 = 𝑳² = 𝑳 ∗ 𝑳 
 
Retângulo 
Muito comum haver confusão entre os conceitos de área e perímetro. No entanto, eles 
apresentam diferenças: 
 
Área: valor da superfície retangular, sendo calculado pela multiplicação entre 
a altura (h) e a base (b) do retângulo. É expresso pela formula: A=b.h. 
 
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Perímetro: valor encontrado quando se soma os quatro lados da figura. É expresso pela 
fórmula: 2(b + h). Assim, ele corresponde a soma de duas vezes a base e a altura (2b + 2h). 
 
 
Triângulo 
A área de um triângulo corresponde a metade do produto da medida de sua altura pela 
medida de sua base. É representada pela fórmula: 
 
 
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Onde, 
A: área do triângulo 
b: base 
h: altura 
 
O perímetro do triângulo corresponde a soma de todos os lados dessa figura plana. Lembre-
se que o triângulo é um polígono (figura plana e fechada) que possui três lados. Assim, para 
calcular o perímetro do triângulo basta somar as medidas de seus lados. 
 
Losango 
Para calcular a área do losango é necessário traçar duas diagonais. Dessa forma tem-se 4 
triângulos retângulos (com ângulo reto de 90º) iguais. 
Assim, podemos encontrar a área do losango a partir da área de 4 triângulos retângulos ou 
2 retângulos. 
Assim, a fórmula para encontrar a área do losango é representada da seguinte maneira: 
𝑨 =
𝑫𝟏 + 𝑫𝟐
𝟐
 
 
 
 
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Sendo A, a área do losango, D1 a diagonal maior e D2 a diagonal maior. 
E nesse caso, o perímetro de um losango será a soma de seus lados. Se for um losango 
regular, ou seja, que possui todos os lados iguais, a fórmula será: 
P = 4*l 
 
Paralelogramo 
Para calcular a medida da área do paralelogramo multiplica-se o valor do lado (a) pelo lado 
(b). Logo, a fórmula é: 
A = a*b 
 
O perímetro de uma figura plana, diferente de sua área, corresponde a soma de todas as 
medidas dos lados. Portanto, no caso do paralelogramo o perímetro é dado pela fórmula: 
P = 2 (a+b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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POLIEDROS 
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SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...) e Bolsas de 
Estudo. 
 
As figuras geométricas espaciais também recebem o nome de sólidos geométricos, que são 
divididos em: poliedros e corpos redondos. Vamos abordar as definições e propriedades dos 
poliedros. 
Poliedros são sólidos geométricas formadas por três elementos básicos: vértices, arestas e 
faces. Um poliedro é considerado regular quando suas faces são polígonos regulares e 
congruentes. 
 
 
Relação de Euler 
A relação criada pelo matemático suíço Leonhard Euler possui extrema importância na 
determinação do número de arestas, vértices e faces de qualquer poliedro convexo e de 
alguns não convexos. Dessa forma, essa relação permite que os cálculos sejam realizados no 
intuito de indicar onúmero de elementos de um poliedro. 
A fórmula criada por Euler é a seguinte: 
V – A + F = 2 
 
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Nessa fórmula, V = número de vértices, A = número de arestas e F = número de faces. 
 
Exemplo 
Determine o número de faces de um sólido que apresenta 10 arestas e 6 vértices. 
 
Resolução: 
V – A + F = 2 
6 – 10 + F = 2 
–4 + F = 2 
F = 4 + 2 
F = 6 
 
O sólido possui, portanto, 6 faces. 
 
2) Determine o número de vértices da pirâmide quadrangular a seguir: 
 
 
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Visivelmente, podemos afirmar que a pirâmide apresenta 5 vértices, 5 faces e 8 arestas. 
Vamos, agora, demonstrar que a relação de Euler é válida para determinar esses elementos 
da pirâmide de base quadrangular. 
 
Resolução: 
Vértices 
V – A + F = 2 
V – 8 + 5 = 2 
V = 2 + 3 
V = 5 
 
Arestas 
V – A + F = 2 
5 – A + 5 = 2 
–A = 2 – 10 
–A = –8 x(–1) 
A = 8 
 
Poliedros de Platão 
Dentre os poliedros existentes, existem alguns considerados Poliedros de Platão, pois todas 
as faces possuem o mesmo número de arestas, todos os ângulos poliédricos possuem o 
mesmo número de arestas e se enquadram na relação de Euler. 
Os Poliedros considerados de Platão são: 
 
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PRISMAS 
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SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...) e Bolsas de 
Estudo. 
 
Prisma é um sólido geométrico definido no espaço tridimensional. Para sua definição, são 
necessários um plano, um polígono paralelo ao plano e uma reta r concorrente a ele. O 
conjunto de segmentos de reta paralelos a r que tem como extremidades o polígono e o 
plano forma o sólido que conhecemos como prisma. 
 
Elementos do prisma 
Observe a figura a seguir, na qual são destacados os elementos de um prisma. Observe que 
o polígono é a figura ABDG. 
 
 
Bases 
A figura formada no plano é congruente ao polígono ABDG. Essas duas figuras são 
chamadas de bases do prisma. 
 
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Faces laterais 
As faces laterais de um prisma são os polígonos que não são bases. Um exemplo na imagem 
acima é o polígono ABCE. Note que as faces laterais de um prisma sempre são 
quadriláteros. Note também que, em razão de os segmentos de reta que partem de ABDG 
até o plano � serem paralelos e pelo fato de o próprio polígono ser paralelo ao plano, as 
faces laterais do prisma são paralelogramos. 
 
Faces 
São os polígonos que limitam o prisma: as bases e as faces laterais. 
 
Arestas 
São os segmentos de reta formados pelo encontro entre duas faces. No prisma da imagem 
acima, são exemplos de arestas os segmentos AB, AD, DF etc. 
 
Vértices 
São os pontos de encontro entre duas arestas. Na figura acima, os pontos A, B, … G, H. 
 
Diagonal 
É o segmento de reta cujas extremidades são dois vértices, mas que não pertence a uma 
face. Por exemplo: AF, BF e DE. 
 
Classificação dos prismas 
Um prisma pode ser classificado quanto ao número de lados de suas bases. Assim, se a base 
de um prisma for um triângulo, ele será chamado de prisma triangular. Se a sua base for um 
quadrilátero, ele será chamado de prisma quadrangular. Se a sua base for um pentágono, 
prisma pentagonal e assim por diante. 
Um prisma também pode ser classificado a partir da inclinação de suas arestas 
 
 
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À esquerda, um exemplo de prisma reto; à direita, um exemplo de

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