RESMAT II - A2

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16/02/2020
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2.0 DEFLEXÃO EM VIGAS
O objetivo deste capítulo é de determinar a taxa de deflexão de vigas prismáticas submetidas a
um dado carregamento, visto que, geralmente, as especificações de projeto de uma viga incluem um
valor máximo admissível para esta deflexão. Sabemos que em uma viga prismática, sujeita à flexão pura,
se encurva tomando a forma de um arco de circunferência e que, dentro do regime elástico, a curvatura
da superfície neutra pode ser expressa por:
2.0 DEFLEXÃO EM VIGAS
Quando uma viga está sujeita a um carregamento transversal, a Equação (2.1) ainda permanece
válida para qualquer seção transversal, dentro das condições de aplicação do princípio de Saint-Venant.
No entanto, o momento fletor e a curvatura superfície neutra variam de seção para seção. Denotando por
x a distância da extremidade esquerda da viga, até a seção considerada, escrevemos:
2.0 DEFLEXÃO EM VIGAS
Para estabelecer a declividade e a deflexão de vigas em um determinado ponto deduzimos a
equação diferencial da linha elástica, a qual rege a curva ou linha elástica, que caracteriza a forma da
viga deformada.
2.0 DEFLEXÃO EM VIGAS
O produto EI é chamado de rigidez flexional e representa sempre uma quantidade positiva. Se o
momento fletor pode ser representado, para todos os valores de x, por uma simples função M(x), como
nos casos das vigas com os carregamentos mostrados na figura 2.1, a declividade 𝜃 = 𝑑𝑦/𝑑𝑥 e a
deflexão y, em qualquer ponto da viga, podem ser obtidos através de duas integrações sucessivas. As
duas constantes de integração são determinadas pelas condições de contorno indicadas na figura 2.1. O
correspondente valor de y para que a deflexão seja máxima, pode ser obtido pela determinação do valor
de x, que corresponde a declividade nula.
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3.0 DEFLEXÃO EM VIGAS
Na figura 2.1(a) temos no ponto A que a deflexão e a declividade são nulas (devido a condição
de apoio) e a distância x vale zero. Na figura 2.1(b) temos nos pontos A e B deflexão nula (devido a
condição de apoio) e a distância x em relação ao ponto A vale zero e no ponto B a distância x é o valor
desde a extremidade esquerda da viga.
2.0 DEFLEXÃO EM VIGAS
Como são necessárias funções analíticas diferentes para representar o momento fletor nas variais
porções da viga, então diferentes equações diferenciais também serão necessárias, definindo a linha
elástica nas varias porções da viga.
No caso da viga e carregamento da figura 2.2, duas equações diferenciais são necessárias, uma
para a porção AD da viga e outra para a porção DB. A primeira equação produz as funções 𝜃𝑙 𝑒 𝑦l, e a
segunda as funções 𝜃 e 𝑦 . No total, as quatro constantes de integração devem ser determinadas; duas
serão obtidas escrevendo-se que a deflexão é zero em A e B, e as outras duas, expressando que as porções
da viga AD e DB têm a mesma declividade e a mesma deflexão em D.
2.0 DEFLEXÃO EM VIGAS
No caso de uma viga suportar uma carga distribuída W(x), a linha elástica pode ser obtida
diretamente de W(x), através de quatro interações sucessivas. As contastes serão determinadas partir dos
valores de contorno de V, M, y e 𝜃.
2.1 Deformação de uma viga sujeita a um carregamento transversal
Consideremos, por exemplo, uma viga AB em balanço, de vão L, submetida à força P aplicada
na sua extremidade livre A (Figura 2.3a).
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2.1 Deformação de uma viga sujeita a um carregamento transversal
A equação obtida mostra que a curvatura da superfície neutra tem variação de forma linear, de
zero no ponto A, onde o próprio 𝜌 é infinito, até – PL/EI.
Agora, a viga está bi apoiada com balanço AD da figura 2.4a, que suporta duas cargas
concentradas. Do diagrama de corpo livre da viga, vemos que as reações dos apoios são RA = 1 kN e RC
= 5 kN, respectivamente. Fazendo o diagrama de momentos fletores da viga, que mostra que M e,
portanto, a curvatura da viga é igual a zero nas extremidades A e D e no ponto E, situado em X = 4 m.
Vemos que o maior valor de curvatura ocorre no ponto C, onde |M| é máximo.
2.1 Deformação de uma viga sujeita a um carregamento transversal
Viga biapoiada com um balanço; Reações em A e C; Diagrama de momento fletor;
Curvatura é zero nos pontos onde o momento fletor é zero, ou seja, em cada extremidade e em
E. A viga é côncava para cima, onde o momento fletor é positivo e côncava para baixo, onde o
momento é negativo. Curvatura máxima ocorre quando a magnitude do momento é máxima.
Uma equação é necessária para determinar a deflexão máxima e inclinação da viga para
relacionar sua forma ou linha elástica.
2.1 Deformação de uma viga sujeita a um carregamento transversal
Temos uma visão aproximada da forma da viga deformada, por informações da sua
curvatura. No entanto, a determinação de uma viga normalmente requer dados mais precisos sobre a
deformação e a declividade da viga em pontos diversos. A deformação transversal da viga em um
ponto é chamada de flecha (ou ainda afundamento). A declividade (ou rotação da elástica) é o
ângulo que a tangente a curva forma com a horizontal. O conhecimento da deformação máxima da
viga é de muita importância no dimensionamento. Vamos usar a Equação 2.2 para determinarmos
uma relação entre a deformação y medida em um certo ponto Q do eixo da viga e a distância x desse
ponto a alguma origem prefixada (Figura 2.6). A relação obtida é a Equação da Linha Elástica, ou
seja, a equação da curva em que se transforma o eixo da viga ao se deformar pela ação do
carregamento (Figura 2.6b).
2.2 Equação da linha elástica 
Expressando a curvatura 1/𝜌 em termos das derivadas da função y(x) e substituindo na equação 2.2,
obtemos a seguinte equação diferencial linear de segunda ordem, que rege o comportamento da linha
elástica:
2
2
232
2
2
1
1
dx
yd
dx
dy
dx
yd

















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2.2 Equação da linha elástica 
Como vimos, o produto EI é chamado de rigidez flexional. Se a rigidez flexional varia ao
longo da viga, como é o caso de vigas de seção variável, devemos exprimi-la como uma função de x
antes de proceder à integração da Equação 2.3. No caso de vigas prismáticas, que é o caso
considerado aqui, a rigidez flexional é constante. Integrando esta equação duas vezes, obtemos as
seguintes expressões que definem a declividade de 𝜃 𝑥 = 𝑑𝑦/𝑑𝑥 e a deflexão y(x),
respectivamente:
Onde C1 e C2 são duas constantes de integração, que podem ser determinadas pelas condições de
contorno imposta a viga pelos apoios.
2.2 Equação da linha elástica 
Chamamos de 𝜃 𝑥 o ângulo, medido em radianos, que a tangente à curva elástica no
ponto Q na forma com a horizontal. O correspondente valor de y para que a deflexão seja máxima,
pode ser obtido pela determinação do valor de x, que corresponde a declividade nula.
2.2 Equação da linha elástica 
A Figura 2.8 apresenta várias condições de contorno possíveis utilizadas
frequentemente para resolver problemas de deflexão em uma viga. “Por exemplo, se a viga
estiver apoiada sobre um rolete ou um pino (1, 2, 3, 4) o deslocamento será nulo nesses
pontos. Se esses pontos estiverem na extremidade da viga (1, 2), o momento fletor interno
na viga também será nulo. No caso de apoio fixo (5), a inclinação e o deslocamento são
ambos nulos, enquanto que a viga de extremidades livres (6) tem momento e cisalhamento
nulos. No caso (7) se dois elementos estiverem ligados por um pino ou articulação interna o
momento nesse ponto deve ser nulo.” (HIBBELER, 2010, pág. 425).
2.2 Equação da linha elástica 
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2.3 Linha elástica definida por diferentes funções.
Nos dois exemplos vistos até agora, foi necessário apenas um diagrama de
corpo livre para determinarmos a expressão do momento fletor da viga.
Consequentemente, o momento fletor M, ao longo de toda a viga, foi representado
por uma única função de x. Porém não é o caso mais comum.
2.3 Linha elástica definida por diferentes funções.A ocorrência de cargas concentradas, cargas distribuídas descontinuas e
reações de apoios exigem que a viga seja divida em várias partes para que se
represente o momento fletor como uma função M(x) diferente para cada trecho da
viga. Cada uma das funções M(x) vai levar à expressões diferentes para a
declividade 𝜃 𝑥 ou y’(x) e para a flecha y(x). Agora, cada expressão obtida para o
cálculo da deformação vai ter duas constantes de modo que um grande número de
constantes de integração terá de ser determinado.
2.3 Linha elástica definida por diferentes funções.
A ocorrência de cargas concentradas, cargas distribuídas descontinuas e
reações de apoios exigem que a viga seja divida em várias partes para que se
represente o momento fletor como uma função M(x) diferente para cada trecho da
viga. Cada uma das funções M(x) vai levar à expressões diferentes para a
declividade 𝜃 𝑥 ou y’(x) e para a flecha y(x). Agora, cada expressão obtida para o
cálculo da deformação vai ter duas constantes de modo que um grande número de
constantes de integração terá de ser determinado.
2.4 Utilização das funções singulares
O exemplo aqui visto era de uma viga com dois trechos, que resultou em seis
equações e quatro constantes de integração, assim constatamos que quando houver
mais de um carregamento, serão necessárias diferentes funções analíticas para
representar o momento fletor em cada trecho da viga. Imagine uma viga com três
trechos... serão necessárias nove equações e seis constantes de integrações... Mas
existe um outro método para minimizar o trabalho da resolução desse tipo de
problema de viga com vários trechos. Veremos na próxima aula o método das
funções singulares que simplifica muito esses cálculos.
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2.4 Utilização das funções singulares
O método da integração fornece um meio eficaz para a determinação da
declividade e da deflexão, em qualquer ponto de uma viga prismática, desde que o
momento fletor possa ser representado por uma única função analítica simples M(x).
Entretanto, quando várias funções são necessárias para representar o momento M ao
longo da viga, esse método pode se tornar bastante trabalhoso. O uso de funções
singulares simplifica a determinação da declividade e deflexão, em qualquer ponto
da viga, visto que as constantes de integração podem ser calculadas usando-se
somente as condições de contorno, enquanto que as condições de compatibilidade
são automaticamente satisfeitas.
2.4 Utilização das funções singulares
Segundo HIBBELER (2010), para expressar a carga sobre a viga ou o
momento interno dentro dela utilizando uma única expressão, utilizaremos dois tipos
de operadores matemáticos conhecidos como funções de descontinuidade ou funções
singulares:
 Para cargas distribuídas tem-se a seguinte função de descontinuidade:
2.4 Utilização das funções singulares
Nessa expressão x representa a coordenada da posição de um ponto ao longo da
viga, e a é o local da viga onde ocorre descontinuidade, ou seja, o ponto onde uma carga
distribuída começa.
 Para forças concentradas temos a seguinte função de singularidade:
 Para momentos conjugado tem-se a seguinte função de singularidade:
2.4 Utilização das funções singulares
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Exercícios
1) (Adaptado de BEER, 2006) A viga em balanço AB tem seção transversal uniforme e
suporta a força P na sua extremidade livre A. Determinar a equação da linha elástica, a
flecha e a declividade no ponto A.
Exercícios
2) (Adaptado de BEER, 2006) A viga prismática simplesmente apoiada AB suporta uma carga
uniformemente distribuída w por unidade de comprimento. Determinar a equação da linha elástica e
a flecha máxima da viga.
Exercícios
3) Determinar, para a viga prismática com o carregamento, a flecha e a declividade no ponto D.
4) Resolva a questão anterior utilização funções singulares.
Exercícios
5) Para a viga de madeira carregada como mostrado, dado E=12GPa, determine:
a) a rotação da elástica em A;
b) a flecha da seção média C.
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Exercícios
6) (Adaptado de BEER, 2006) Para a viga e o carregamento mostrado, considerando E =
200 GPa e I = 1,024.10-6m4 e usando as funções singulares:
a) Achar a deflexão e a declividade como função da distância x da extremidade A;
b) Determinar a deflexão no ponto médio D.
Exercícios
7) (BEER, 2006) Para a viga e o carregamento mostrado, determine:
a) a equação da linha elástica;
b) deflexão na extremidade livre.
Exercícios
8) (HIBBELER, 2010) Determine (a) a equação da curva linha elástica para a viga AB, (b) o
afundamento no extremo livre e (c) a rotação elástica no extremo livre.
Exercícios
9) Para a parte AB da viga biapoiada com balanço, (a) determine a equação da linha
elástica, (b) determinar a deflexão máxima e (c) avaliar ymax.
m 2,1m4,5kN220
GPa200mm10302101360 46


aLP
EIW
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Exercícios
10) Para a viga e o carregamento mostrado, determinar a inclinação e a deflexão no ponto
B.
Exercícios
11) Para a viga e o carregamento mostrado, (a) a equação da curva linha elástica para a
viga AB, (b) o afundamento no extremo livre e (c) a rotação elástica no extremo
livre. Utilize o método da integração direta.
Exercícios
12) Para a viga AB é construída em aço com um perfil S 150x18,6 e que P = 35 kN, L =
2,2m e E = 200 GPa, determine: (a) a equação da curva linha elástica para a viga AB,
(b) o afundamento em C e (c) a rotação elástica em A. Utilize o método da
integração direta.
Exercícios
13) Para a viga AB, determine a flecha em C. Utilize Método da integração direita
14) Sabendo que a viga AE é construída com uma barra maciça de diâmetro de 30 mm e
que w = 10 kN/m, a = 0,6m e E = 200 GPa. Determine o afundamento na seção C.
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Exercícios
15) Para a viga AB, determine a equação da linha elástica, a rotação da elástica em A e a
flecha em C.
16) Para a viga AD. Determine a rotação da elástica em A, a flecha em B e a flecha no
extremo D.
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