revisao_AV1_2018-2

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Associação Carioca de Ensino Superior 
Centro Universitário Carioca 
Pesquisa Operacional - Revisão para AV1 
 
Exercícios de programação linear 
1) (LONGARAY, 2013) Uma pequena marcenaria produz dois tipos de móvel: mesas e cadeiras. O lucro unitário 
de uma mesa produzida é de R$34,00, e o lucro unitário de uma cadeira é de R$18,00. Uma mesa consome 12 
minutos de mão de obra para ser produzida, enquanto uma cadeira consome 10 minutos. Cada mesa precisa 
de 3 unidades de madeira e para ser construída, ao passo que, para a fabricação de uma cadeira, a marcenaria 
faz uso de 1 unidade de madeira. A marcenaria dispõe de 8 horas diárias de mão de obra e de 72 unidades de 
madeira para serem empregadas na fabricação das mesas e cadeiras. 
Determine um esquema diário de produção da marcenaria que permita a ela a obtenção de lucro máximo. 
 
2) Uma empresa do setor plástico, dentro de seu rol de produtos, pode fornecer dois tipos de anel de vedação 
para uso nas linhas de manufatura de pequenas indústrias situadas em sua região de atuação. O anel de 
vedação do tipo A1 gera lucro unitário de R$7,00 para a empresa. O anel de vedação do tipo A2 gera lucro de 
R$5,00 por unidade vendida. Cada anel A1 consome 70 gramas de borracha sintética, enquanto cada anel A2 
consome 100 gramas de borracha sintética. Além disso, os anéis são manufaturados em uma mesma máquina, 
sendo que o anel A1 usa 12 minutos da máquina e o anel A2 usa 6 minutos. Devido a problemas de temperatura 
e relacionados à fragilidade da matéria-prima, o fornecedor pode disponibilizar no máximo 5 quilos da 
borracha sintética por dia. A máquina que produz os anéis A1 e A2 necessita de manutenção diária, tendo que 
ser totalmente desmontada para isso. Assim não pode ser utilizada mais de 6 horas por dia na fabricação dos 
anéis. 
Determine o programa diário ótimo de produção dos anéis A1 e A2, de forma a maximizar seu lucro total. 
 
3) Uma companhia de aluguel de caminhões tem uma frota composta por dois tipos: o tipo A com 2 metros 
cúbicos de espaço refrigerado e 4 metros cúbicos de espaço não refrigerado e o tipo B com 3 metros cúbicos 
refrigerados e 3 não refrigerados. Uma fábrica precisa transportar no máximo 90 metros cúbicos de produto 
refrigerado e 120 metros cúbicos de produto não refrigerado. Quantos caminhões de cada tipo ela deve alugar, 
de modo a minimizar o custo, se o aluguel do caminhão A era $0,30 por km e o do B, $0,40 por km. Elabore o 
modelo de programação linear. 
 
4) “GIAPETTO BRINQUEDOS” fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é 
vendido por R$ 27,00 e usa R$ 10,00 de matéria prima. Cada soldado que é fabricado tem um custo adicional 
de R$ 14,00 relativo à mão de obra. Um trem é vendido por R$ 21,00 e gasta R$ 9,00 de matéria prima. O custo 
de mão de obra adicional para cada trem é R$10,00. A fabricação destes brinquedos requer dois tipos de mão 
de obra: carpintaria e acabamento. Um soldado necessita de 2 horas para acabamento e 1 hora de carpintaria. 
Um trem necessita de 1 hora para acabamento e 1 hora de carpintaria. Cada semana, a fábrica pode obter 
qualquer quantidade de matéria prima, mas tem a disposição até 100 horas de acabamento e 80 de 
carpintaria. A demanda por trens é ilimitada, mas a venda de soldados é de no máximo 40 por semana. 
Formular o modelo para se determinar a quantidade de cada brinquedo (soldados e trens) deve ser fabricado, 
para que a empresa tenha lucro semanal máximo. 
 
5) A empresa Ilha da Magia fabrica dois tipos de pneus: Modelo P (o premium) e Modelo R (o regular). O Modelo 
P é vendido por R$95,00 cada pneu e custa para ser produzido R$85,00 por pneu, enquanto que o Modelo R é 
vendido por R$50,00 cada pneu e tem um custo de produção de R$42,00 por pneu. Para fabricar um pneu do 
Modelo P, são necessárias duas horas da Máquina A e quatro horas da Máquina B. Por outro lado, para fazer 
um pneu do Modelo R, são requeridas nove horas da Máquina A e três horas da Máquina B. A programação 
da Produção da fábrica mostra que na próxima semana a Máquina A estará disponível no máximo 36 horas e 
a Máquina B no máximo 42 horas. Quanto de cada modelo de pneus a fábrica deve produzir de modo a 
maximizar o seu lucro? Qual é este lucro máximo? 
 
http://www.unicarioca.br/index.php
Respostas 
1) x1 → quantidade de mesas produzidas por dia 
x2 → quantidade de cadeiras produzidas por dia 
Max L = 34x1 + 18x2 
 
 12x1 + 10x2 ≤ 480 
s.a 3x1 + 1x2 ≤ 72 
 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; 
 
 
2) x1 → quantidade de anéis A1 produzidos por dia 
x2 → quantidade de anéis A2 produzidos por dia 
Max L = 7x1 + 5x2 
 70x1 + 100x2 ≤ 5.000 
s.a 12x1 + 6x2 ≤ 360 
 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; 
 
 
3) x1 → quantidade de caminhão do tipo A a ser alugada 
x2 → quantidade de caminhão do tipo B a ser alugada 
Min L = 0,30x1 + 0,40x2 
 
 2x1 + 3x2 ≤ 90 (restrição do espaço refrigerado) 
s.a 4x1 + 3x2 ≤ 120 (restrição do espaço não refrigerado) 
 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 (restrição de positividade) 
 
 
4) x1 → quantidade total de soldados a ser fabricada 
x2 → quantidade total de trens a ser fabricada 
Max L = Lucro – Receita 
Max L = (27,00 – 10,00 – 14,00)x1 + (21,00 – 9,00 – 10,00)x2 
Max L = 3x1 + 2x2 
 
 2x1 + x2 ≤ 100 (restrição de tempo de acabamento) 
s.a x1 + x2 ≤ 80 (restrição de tempo de carpintaria) 
 x1 ≤ 40 (restrição da demanda de soldados) 
 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 (restrição de positividade) 
 
 
 
Soldado Trem Tempo 
Venda 27,00 21,00 
 
Matéria-prima 10,00 9,00 
 
Mão de obra 14,00 10,00 
 
Acabamento 2h 1h 100h 
Carpintaria 1h 1h 80h 
Disponibilidade 40 
 
 
 
 
5) x1 → quantidade a produzir do Modelo P 
x2 → quantidade a produzir do Modelo R 
Max L = Lucro – Receita 
Max L = (95,00 – 85,00)x1 + (50,00 – 42,00)x2 
Max L = 10x1 + 8x2 
 
 2x1 + 9x2 ≤ 36 (restrição de horas da máquina A) 
s.a 4x1 + 3x2 ≤ 42 (restrição de horas da máquina B) 
 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 (restrição de positividade) 
 
 
Modelo P Modelo R Horas Disponíveis 
Venda R$95,00 R$50,00 
Custo R$85,00 R$42,00 
Horas Máquina A 2h 9h 36h 
Horas Máquina B 4h 3h 42h 
 
 
Exercícios do método gráfico 
Utilize o método gráfico para resolver os seguintes algoritmos de programação linear: 
1) Max L = 15x1 + 10x2 
 4x1 + 12x2 ≤ 36 
s.a 15x1 + 30x2 ≤ 90 
 x1 ≥ 2 
 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; 
 
2) Min C = 6x1 + 2x2 
 3x1 + 4x2 ≤ 12 
s.a 3x1 + 2x2 ≤ 6 
 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; 
 
3) Max L = 10x1 + 12x2 
 x1 + x2 ≤ 20 
s.a x1 + x2 ≥ 10 
 5x1 + 6x2 ≥ 54 
 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; 
 
 
Respostas 
1) 4x1 + 12x2 = 36 
 (0, 8) 
 (9, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
3X1 +4X2 = 12 3X1 +2X2 = 6 
 (0, 3) (0, 3) 
 (4, 0) (2, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2,0) 
 
15x1 + 30x2 ≤ 90 
 (0, 3) 
 (6, 0) 
 x1 = 2 
 
X2 
X1 
3 
6 9 2 
(6,0) 
 
(2,?) 
 
15x1 + 30x2 = 90 
 x1 = 2 
30x2 = 90 - 30 
 x2 = 2 
 
Max L = 15x1 + 10x2 
 15 (2) + 10 (0) = 30 
 15 (6) + 10 (0) = 90 
 15 (2) + 10 (2) = 50 
 
 
 
 
 
 
 x1 = 6 
 x2 = 0 
 L = 90 
 
 
 
(0,3) 
(0,0) 
6X1 + 2X2 
6 (0) + 2 (3) = 6 
6 (0) + 2 (0) = 0 
6 (2) + 2 (0) = 12 
Custo Mínimo = $6,00 
Variável X1 = 0 
Variável X2 = 3 
(2,0) 
3) x1 + x2 = 20 
 (0, 20) 
 (20, 0) 
 
 
 
 
 
 
X2 
X1 
(0,20) 
(0,10) 
(?,?) 
(10,8 ,0) (20,0) 
5x1 + 6x2 = 54 
x1 + x2 = 10 (x -5) 
 
 5x1 + 6x2 = 54 
-5x1 - 5x2 = - 50 
 x2 = 4 
 
x1 + x2 = 10 
x1 + 4 = 10 
x1 = 6 
Max L = 10x1 + 12x2 
10 (0) + 12 (20) = 240 
10 (0) + 12 (10) = 120 
10 (6) + 12 (4) = 108 
10 (10,8) + 12 (0) = 108 
10 (20) + 12 (0) = 200 
Máximo Lucro = $240,00 
Variável X1 = 0 
Variável X2 = 20 
x1 + x2 =10 
 (0, 10) 
 (10, 0) 
5x1 + 6x2 = 54 
(0, 9) 
(10,8, 0)