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Estruturas AlgébricasEstruturas Algébricas
Moisés ToledoMoisés Toledo∗∗
13 de abril de 201213 de abril de 2012
1 1 SoluçSolução ão de de exerexercíciocícios - s - ListListaa№№11
ExercícExercício io 1.1. Faça os itens seguintes:Faça os itens seguintes:
a) Sejaa) Seja GG == {{e,e, gg11,, gg22, . . . , g, . . . , gnn}} um grupo abeliano de ordemum grupo abeliano de ordem nn + 1+ 1. Suponha que. Suponha que GG
 possui  possui um um único único elemento elemento de de ordemordem 22 ,  , digamosdigamos gg11. Mostre que. Mostre que egeg11 . . . g. . . gnn == gg11..
b) Sejab) Seja pp um númerum número o primprimo o impimparar. . MosMostrtre e que o que o grupgrupoo ((ZZ∗∗ p p,,

 p p)) possui um únicopossui um único
elemento de ordemelemento de ordem 22 ,  , a a saber saber pp −− 11 ,  , e e mostre quemostre que (( p p −− 1)!1)! ≡ −≡ −1 1 mmodod pp (Teorema(Teorema
de Wilson).de Wilson).
 Demonstração. Demonstração.
a) Suponhamos quea) Suponhamos que egeg11gg22 . . . g. . . gnn == gg11 entãoentão egeg11gg22 . . . g. . . gnn == ggii, para algum inteiro, para algum inteiro
22 ≤≤ ii, assim, assim gg11gg22 . . . g. . . gii−−11ggii+1+1 . . . g. . . gnn == ee o qual nos indica queo qual nos indica que ggkk possui inversapossui inversa ggmm
com exceção decom exceção de gg11 (pois(pois gg−−1111 == gg11) isto é:) isto é:
gg−−1111 == gg11, . . . , g, . . . , g
−−11
 j j == ggiijj , . . . , g, . . . , g
−−11
nn == ggiinn ondeonde ii j j ∈ ∈ {{11, . . . , i, . . . , i −− 11,, ii + + 11, . . . , n, . . . , n}} ee
ggiijj ∈ {∈ {gg22,, gg33, . . . , g, . . . , gnn}} logo fazendo a contagem de elementos temos:logo fazendo a contagem de elementos temos:
((nn+1+1−−2)2)
22
++ 2 2 ==
nn++ 11 entãoentão nn = = 11 o qual contradiz ao fato da cardinalidade deo qual contradiz ao fato da cardinalidade deGG pois este tem pelopois este tem pelo
menos dois elementos (menos dois elementos (e,e, gg11 ee egeg11gg22 . . . g. . . gnn == ggii, pelo assumido no início). Por tanto, pelo assumido no início). Por tanto
egeg11gg22 . . . g. . . gnn == gg11..
b) Sejab) Seja p p um primo impar. É claro que seum primo impar. É claro que se nn == pp−−11 entãoentão (( p p−−1)(1)( p p−−1) 1) == pp22−−22 p p++11,,
entãoentão (( p p −− 1)1) ·· (( p p −− 1) = (1) = ( p p −− 1)1)
22
= = 11..
Agora sejaAgora seja 11 == nn ∈∈ ZZ∗∗ p p tal quetal que nn22 −− 11 ≡≡ 0 0 mmoodd pp, assim, assim ((nn + 1)(+ 1)(nn −− 1) 1) == λλ ·· p p,,
λλ ∈∈ NN, mas, mas 22 ≤≤ nn ≤≤ pp−− 11, logo, logo pp   ((nn −− 1)1) ee pp || ((nn++ 1)1), assim, assim nn = = (( p p −− 1)1), assim, assim
nn == pp −− 11..
Por ultimo, utilizando o resultado do item anterior temosPor ultimo, utilizando o resultado do item anterior temos 11 ·· 22 .. .. .. (( p p −− 1) = (1) = ( p p −− 1)1)
entãoentão (( p p −− 1)! = (1)! = ( p p −− 1)1) tomando congruência módulotomando congruência módulo pp temostemos (( p p −− 1)!1)! ≡ ≡ −−11
modmod pp..
∗∗Universidade Federal da ParaíbaUniversidade Federal da Paraíba
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ExercícExercício io 2.2. ProProcurcure e os elementos do os elementos do grupogrupo ((ZZ∗∗2424,,

2424)) e calcule suas ordens.e calcule suas ordens.
Solução:Solução:
FaremFaremos uso os uso do seguinte resultado sobre a do seguinte resultado sobre a caratericaraterização de zação de elementelementos invertíos invertíveis emveis em
ZZnn::
Um elementoUm elemento aa ∈∈ ZZnn é invertível se, e somente se,é invertível se, e somente se,((a,a, nn) ) = = 11..
Assim temos que:Assim temos que: ZZ∗∗2424 == {{aa;; aa = = 11,, 55,, 77,, 1111,, 1313,, 1717,, 1919,, 2323}}. As ordens de seus ele-. As ordens de seus ele-
mentos são facilmente calculados:mentos são facilmente calculados:
OO(1) = 1(1) = 1 OO(5) = 2(5) = 2 OO(7) = 2(7) = 2 OO(11) = 2(11) = 2
OO(13) = 2(13) = 2 OO(17) = 2(17) = 2 OO(19) = 2(19) = 2 OO(23) = 2(23) = 2
Podemos observar que qualquer elemento (destinto dePodemos observar que qualquer elemento (destinto de aa = = 11) é um gerador do grupo) é um gerador do grupo
ZZ∗∗2424 de ordem dois, por tanto ele é de ordem dois, por tanto ele é um grupo cíclico.um grupo cíclico.
Exercício 3.Exercício 3. SejaSeja p p um número primo eum número primo e GG um grupo de ordemum grupo de ordem p p22. Mostre que. Mostre que GG possui possui
no máximono máximo pp ++ 11 subgrupos de ordemsubgrupos de ordem pp. Dê um exemplo onde a cota. Dê um exemplo onde a cota (( p p ++ 1)1) é atingidaé atingida
e um exemplo onde a cota não é atingida.e um exemplo onde a cota não é atingida.
Solução:Solução:
O número de elementosO número de elementos aa ∈∈ GG tais quetais que H H  ==< < aa p p >> é um subgrupo deé um subgrupo de GG comcom
ordemordem pp é igual aé igual a pp22 −− 11. . ComComo cada elo cada elemeementonto aa está contido em o (único) grupoestá contido em o (único) grupo
H H  ==< < aa p p >> dede pp elementos o qual contemelementos o qual contem pp −− 11 elementos de ordemelementos de ordem pp (a saber(a saber ((aa p p))ii,,
ii = = 11,, 22, . . . , p, . . . , p −− 11) então o número de tais grupos) então o número de tais grupos H H é congruente móduloé congruente módulo 11 módulomódulo p p..
Se denotamos porSe denotamos por P P  == {{H H < < GG;; OO((H H ) ) == pp}} entãoentão ||P P | | ≡≡ 1 1 mmodod pp, assim, assim ||P P || ==
 pλ pλ + 1+ 1. Mas como. Mas como ||GG∗∗|| == pp22 −− 11 entãoentão ||P P || == pp −− 11 ouou ||P P || == pp + 1+ 1..
Exercício 4.Exercício 4. SejaSeja GG um grupo eum grupo e H,H, K K  dois subgrupos dedois subgrupos de GG. Suponha que. Suponha que ((GG :: H H )) ee
((GG :: K K )) são finitos, Mostre quesão finitos, Mostre que ((GG :: H H  ∩∩ K K )) é finito.é finito.
 Demonstração. Demonstração.
PrimeiPrimeiro ro provprovaremos que aremos que a a interseinterseçãoção xH xH  ∩∩ yK yK  de classes dede classes de H H  ee K K  o é vazio o éo é vazio o é
uma classe do subgrupouma classe do subgrupo H H  ∩∩ K K ::
SeSe xH xH  ∩∩ yK yK  == ∅∅ o resultado seo resultado segue. gue. Caso contrCaso contrario existario existe ume um zz ∈∈ xH,yK xH,yK  assimassim
zH zH  == xH xH  ee zK zK  == yK yK  logo existelogo existe ww ∈∈ xH xH  ∩∩ yK yK  == zH zH  ∩∩ zK zK  se, e só se, existese, e só se, existe
hh ∈∈ H,H, kk ∈∈ K K  tal quetal que ww == zhzh == zkzk se, e só se,se, e só se, zz−−11ww == hh == kk ∈∈ H H  ∩∩ K K  se, e só se,se, e só se,
ww ∈∈ zz((H H  ∩∩ K K )) ondeonde zz((H H  ∩∩ K K )) é uma classe deé uma classe de H H  ∩∩ K K ..
Agora como qualquer classe deAgora como qualquer classe de H H  ∩∩ K K  é uma interseção de classes deé uma interseção de classes de H H  ee K K  entãoentão
((GG :: H H  ∩∩ K K )) ≤≤ ((GG :: H H )()(GG :: K K )) << ∞∞..
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Exercício 5.Exercício 5. SejaSeja GG um grupo tal queum grupo tal que {{ee}},, GG são seus únicos subgrupos. Mostre quesão seus únicos subgrupos. Mostre que
a ordem dea ordem de GG é um número primo.é um número primo.
 Demonstração. Demonstração.
SeSe ||GG|| == mm, então dado, então dado aa ∈∈ GG podemos considerar o grupo geradopodemos considerar o grupo gerado < < a a >>, assim, assim
|| < < a a >> || divide a ordem dedivide a ordem de GG (pelo teorema de Lagrange), mais como os únicos(pelo teorema de Lagrange), mais como os únicos
subgruposubgrupos s dede GG sãosão {{ee}},, GG entãoentão < < a a >>== {{ee}} ouou < < a a >>== GG assimassim || < < a a >> || = = 11 ouou
|| < < a a >> || == ||GG|| por tantopor tanto ||GG|| == pp, onde, onde pp um número primo.um número primo.