Física do Zero [QG do ENEM] - Aula 11 - Resolvendo Associações de Resistores

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Física do Zero 
Prof. Fabio Vidal 
Aula 11 
Associação de resistores 
1. Introdução 
 Resistor: Elemento cuja função é 
converter a energia elétrica em energia 
térmica 
Os resistores podem ser associados, ou seja, 
combinados de diversas maneiras, porém, 
existem dois modos distintos de fazer esse tipo 
de combinação: em série e em paralelo. Em 
ambas as associações a resistência equivalente a 
resistência que faria o mesmo que todos os outros 
componentes da combinação. 
Antes de estudarmos as associações de resistores 
existentes, vamos relembrar os conceitos 
estudados na primeira lei de Ohm. 
2. Primeira lei de ohm 
 
 
Figura 1 fonte: mundo da elétrica 
Na figura acima podemos perceber que o resistor 
está sendo percorrido por uma corrente elétrica 
gerada por uma diferença de potencial. Ohm 
verificou que mantida a temperatura do resistor 
constante, o quociente da diferença de potencial 
aplicada pela respectiva intensidade de corrente 
elétrica era uma constante característica do 
resistor, ou seja, por mais que houvesse 
alterações nos valoras da diferença de potencial e 
da corrente elétrica o valor da resistência se 
mantinha igual. 
𝑈1
𝑖1
=
𝑈2
𝑖2
=
𝑈3
𝑖3
= ⋯ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑅 
Sendo assim, 
𝑈
𝑖
= 𝑅 ∴ 𝑈 = 𝑅. 𝑖 
 
Essa formula expressa a lei de Ohm e todo 
resistor que obedecer essa lei, ou seja, por mais 
que a corrente elétrica e a diferença de potencial 
sejam variadas, gerando sempre um número 
constante, recebe o nome de resistor ôhmico. 
3. Associação de resistores 
3.1 – Associação em série 
As principais características de resistores 
associado em série são: 
 A corrente que percorre todos os 
elementos do circuito é igual; 
 A diferença de potencial em cada 
elemento do circuito será diferente 
 A Resistência equivalente dos 
resistores que estão no circuito é dada 
pela soma de todas elas. 
 
𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4 + ⋯ + 𝑅𝑛 
 
Observe o exemplo a seguir: 
EXEMPLO: Três resistores têm resistências 
elétricas R1 = 20 Ω, R2 = 30 Ω e R3 = 10 Ω e 
estão associados em série. Aplica-se uma ddp de 
120 V nos extremos dessa associação, conforme 
figura a seguir. 
 
 
 
 
 
Determine: 
a) a resistência equivalente da associação. 
Solução: 
Como os resistores estão em série, ou seja, a 
mesma corrente está passando em cada resistor 
que pertence ao circuito, a resistência equivalente 
será a soma de todos os resistores. Desse modo: 
𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 
𝑅𝑒𝑞 = 20 + 30 + 10 
𝑅𝑒𝑞 = 60 Ω 
 
 
b) a intensidade de corrente em cada resistor. 
Solução: 
A corrente que passa em cada resistor presente no 
circuito é igual. Logo, para resolver esse 
problema devemos aplicar a lei de ohm e usar o 
valor encontrado para a resistência equivalente, 
para assim determinarmos o valor da corrente i 
que percorre o circuito. Sendo assim: 
𝑈 = 𝑅 . 𝑖 
120 = 60 . 𝑖 
𝑖 =
120
60
 
𝑖 = 2 𝐴 
c) a tensão em cada resistor. 
Solução: 
A diferença de potencial em cada resistor é 
diferente e isso é uma característica dos resistores 
associado em série, desse modo, para resolver o 
que o item está pedindo, devemos aplicar a lei de 
Ohm para cada resistor que pertence ao circuito. 
Sendo assim: 
 Para o resistor 1: 
 
𝑈1 = 𝑅1 . 𝑖 
𝑈1 = 20 . 2 
𝑈1 = 40 𝑉 
 
 Para o resistor 2: 
 
𝑈2 = 𝑅2 . 𝑖 
𝑈2 = 30 . 2 
𝑈2 = 60 𝑉 
 
 Para o resistor 3: 
 
𝑈3 = 𝑅3 . 𝑖 
𝑈3 = 10 . 2 
𝑈3 = 20 𝑉 
Para comprovar a veracidade dos resultados 
bastar somar cada uma das tensões encontradas e 
o valor deve ser igual a 120V, uma vez que, essa 
é a tensão original fornecia pelo problema. Sendo 
assim: 
𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 
𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 40 + 60 + 20 
𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 120 𝑉 
 
 
 
 
 
3.3 Associação em paralelo 
As principais características de resistores 
associado em série são: 
 A corrente que percorre todos os 
elementos do circuito é diferente; 
 A diferença de potencial em cada 
elemento do circuito será igual 
 A Resistência equivalente dos 
resistores que estão no circuito é dada 
pela soma de todas elas. 
 
1
𝑅𝑒𝑞
=
1
𝑅1
+
1
𝑅2
+
1
𝑅3
+ ⋯ +
1
𝑅𝑛
 
 
Observe o exemplo a seguir: 
EXEMPLO: três resistores de resistências R1 = 
60 Ω, R2 = 30 Ω e R3 = 20 Ω, estão associados 
em paralelo, sendo submetidos à ddp de 120 V. 
 
 
 
 
 
 
Determine: 
a) a resistência equivalente da associação. 
Solução: 
Como a corrente que passa em cada resistor não 
é igual, essa associação de resistores está em 
paralelo sendo assim a resistência equivalente é 
dada por: 
1
𝑅𝑒𝑞
=
1
𝑅1
+
1
𝑅2
+
1
𝑅3
 
1
𝑅𝑒𝑞
=
1
60
+
1
30
+
1
20
 
 
Fazendo o m.m.c entre os denominadores acima 
chegamos a seguinte conclusão: 
1
𝑅𝑒𝑞
=
1 + 2 + 3
60
 
Invertendo as frações em ambos os lados, temos: 
𝑅𝑒𝑞
1
=
60
6
 ∴ 𝑅𝑒𝑞 = 10Ω 
 
b) a intensidade de corrente em cada resistor. 
Solução: 
A corrente que passa em cada resistor será 
diferente nesse caso devemos calcular cada uma 
delas. 
 Para o resistor 1: 
 
𝑈1 = 𝑅1 . 𝑖 
120 = 60 . 𝑖1 
𝑖1 = 2 𝐴 
 
 Para o resistor 2: 
 
𝑈2 = 𝑅2 . 𝑖 
120 = 30 . 𝑖2 
𝑖2 = 4 𝐴 
 
 Para o resistor 3: 
 
𝑈3 = 𝑅3 . 𝑖 
120 = 20 . 𝑖3 
𝑖3 = 6 𝐴 
Para comprovar a veracidade dos resultados, 
devemos calcular a corrente total que passa 
através do circuito. Sendo assim: 
𝑈 = 𝑅𝑒𝑞 . 𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 
120 = 10. 𝑖 
𝑖 =
120
10
∴ 𝑖 = 12𝐴 
Logo a soma das correntes em cada resistor será 
dada por: 
𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 
𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 + 4 + 6 = 12𝐴 
 
c) a tensão em cada resistor 
solução: 
Como se trata de um circuito em paralelo, a 
tensão em cada resistor terá o mesmo valor de 
120V. Para comprovar este fato vamos utilizar a 
primeira lei de Ohm para fazer cálculos: 
 Para o resistor 1: 
 
𝑈1 = 𝑅1 . 𝑖 
𝑈1 = 60 . 2 
𝑈1 = 120 𝑉 
 
 Para o resistor 2: 
 
𝑈2 = 𝑅2 . 𝑖 
𝑈2 = 30 . 4 
𝑈2 = 120 𝑉 
 
 Para o resistor 3: 
 
𝑈3 = 𝑅3 . 𝑖 
𝑈3 = 20 . 6 
𝑈3 = 120 𝑉 
3.3.1 – Associação em paralelo com dois 
resistores. 
 
Quando temos dois resistores em paralelo 
podemos utilizar a regra de soma e produto para 
encontrar a resistência equivalente do circuito. 
 
Temos que: 
𝑅𝑒𝑞 =
(𝑅1. 𝑅2)
𝑅1 + 𝑅2
 
Sendo assim a resistência equivalente do 
exemplo acima será: 
𝑅𝑒𝑞 =
20 . 30
20 + 30
∴ 𝑅𝑒𝑞 =
600
50
∴ 𝑅𝑒𝑞 = 12Ω 
 
3.3.2 – Associação em paralelo para n 
resistores iguais. 
 
Quando em uma associação em paralelo todos 
os resistores tiverem o mesmo valor podemos 
calcular a resistência equivalente dividindo o 
valor da resistência pelo número de resistores 
iguais. 
𝑅𝑒𝑞 =
𝑅
𝑛
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
 
1. (Pucrj 2017) Quatro resistores idênticos, de 
resistência R, estão ligados a uma bateria de 
12 V. Pela bateria, flui uma corrente I 12 mA. 
A resistência R de cada resistor, em k , é 
 
 
a) 4 
b) 1 
c) 3 4 
d) 5 3 
e) 1 4 
 
2. (Unisc 2017) Os seguintes circuitos elétricos 
têm as mesmas resistências valendo cada uma R. 
Afirma-se que os circuitos que tem entre os 
pontos a e b a menor e a maior resistência 
equivalente são, respectivamente, os seguintes 
circuitos: 
 
 
a) (I) e (II) 
b) (III) e (IV) 
c) (IV) e (III) 
d) (III) e (II) 
e) (II) e (IV) 
 
3. (Ufrgs 2017) A diferença de potencial entre os 
pontos (i) e (ii) do circuito abaixo é V. 
 
 
 
Considerando que todos os cinco resistores têm 
resistência elétrica R, a potência total por eles 
dissipada é 
a) 22V R. 
b) 2V (2R). 
c) 2V (5R). 
d) 2 24V R . 
e) 
2 2V (4R ). 
 
4. (Uerj 2017) Durante uma aula de eletricidade, 
um professor analisou um circuito elétrico 
composto por uma bateria, de tensão constante U 
igual a 12 V, e quatro resistores idênticos R de 
10 , conforme indicado no esquema. 
 
 
 
Determine,em ampères, a corrente elétrica que 
se estabelece na bateria. 
 
5. (Mackenzie 2016) 
 
 
 
A figura acima representa um circuito elétrico 
constituído de uma fonte de tensão contínua de 
100 V alimentando quatro resistores. Pode-se 
afirmar que a tensão elétrica nas extremidades do 
resistor de resistência elétrica 30 Ω vale 
a) 20 V 
b) 30 V 
c) 40 V 
d) 50 V 
e) 100 V 
 
6. (Upf 2016) Em uma aula experimental de 
Física, o professor apresenta aos alunos uma 
associação em paralelo constituída por três 
lâmpadas incandescentes ligadas a uma fonte de 
tensão constante. Durante o experimento, uma 
lâmpada queima. Nessa situação: 
a) As demais lâmpadas se apagarão. 
b) A resistência equivalente da associação 
aumentará de valor. 
c) A intensidade da corrente fornecida pela fonte 
permanecerá a mesma. 
d) A potência da associação aumenta. 
e) A intensidade da corrente fornecida pela fonte 
aumenta. 
 
7. (Uea 2014) Seja um resistor de resistência 
elétrica R representado por . 
Uma associação de quatro resistores idênticos a 
este e que fornece uma resistência equivalente 
igual a R está corretamente representada por 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
8. (Uern 2013) Na figura, estão representadas 
duas associações de resistores. 
 
 
 
Considere que, aplicando-se uma tensão de 60 V 
nos seus terminais, a diferença entre as correntes 
totais que as percorrem seja igual a 9 A. Sendo 
assim, o valor de R é igual a 
a) 2 .Ω 
b) 5 .Ω 
c) 8 .Ω 
d) 10 .Ω 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
Resposta da questão 1: 
 [A] 
 
Usando a Primeira Lei de Ohm no circuito, com 
os dados, obtemos o valor do resistor equivalente 
do circuito. 
eq eq eq eq
U 12 V
U R i R R R 1k
i 12 mA
Ω        
 
Observando o circuito, todos os resistores estão 
associados em paralelo, ou seja, a resistência 
equivalente foi dividida por quatro, então cada 
resistor será de: 
eq eq
R
R R 4 R R 4 k
4
Ω      
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Cálculos das resistências equivalentes: 
 
[I] 3 resistores em série ligados em paralelo com 
outro: eq
3R R 3R
R
3R R 4

 

 
[II] Ligação em paralelo onde cada ramo tem 
dois resistores em série: eq
2R
R R
2
  
[III] 2 resistores em paralelo ligados com outros 
2 resistores em série: eq
R 5R
R 2R
2 2
   
[IV] Todos os resistores ligados em paralelo: 
eq
R
R
4
 
 
Portanto, a menor eqR é da afirmativa [IV] e a 
maior é da afirmativa [III]. 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
Cálculo da resistência equivalente: 
eq
eq
1 1 1 1 R
R
R 2R R 2R 2
     
 
Cálculo da potência dissipada: 
2 2 2P V R P V R 2 P 2V R     
 
Resposta da questão 4: 
 
 
 
 
 
2
1 1 1
Req 2R R 2
1 R 2 2R
Req 2R R 2
5
R
1 2
Req R
5
1 2
Req R
R
Req
5
2
2R 2 10
Req Req Req 4
5 5
V 12
V Req i i i i 3 A
Req 4
Ω
 







    
       
 
 
ou 
 
 
1 1 1
Req 2R R 2
1 1 1
Req 20 5
Req 4
V 12
V Req i i i i 3 A
Req 4
Ω
 
 

       
 
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
Cálculo da resistência equivalente do circuito: 
eq eq
20 30
R 25 R 50
2
Ω

    
 
Intensidade de corrente total: 
t
t t t
eq
U 100 V
i i i 2 A
R 50 Ω
     
 
Essa corrente se divide igualmente no nó do 
circuito após a resistência de 25 ,Ω ficando 
igual a 1 A para cada ramo do paralelo. 
 
Portanto a diferença de potencial na resistência 
de 30 Ω é: 
30 30U 1 A 30 U 30 VΩ ΩΩ    
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
[A] Falsa. Num circuito em paralelo, ao se 
queimar uma lâmpada, as outras continuarão 
ligadas. 
[B] Verdadeira. À medida que se diminui o 
número de resistores em paralelo, temos um 
aumento da resistência equivalente do 
circuito. 
[C] Falsa. Como aumenta a resistência, há uma 
diminuição da intensidade da corrente, pois a 
tensão é constante. 
[D] Falsa. A potência da associação diminui 
porque perdemos uma lâmpada. 
[E] Falsa. Como mencionado anteriormente, a 
intensidade da corrente elétrica diminui. 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
Para a associação abaixo: 
 
 
 
eq eq
2 RR R
R R R.
2 2 2
     
 
Resposta da questão 8: 
 [D] 
 
Sendo i1 a corrente total na associação série e i2 
a corrente total na associação paralelo, 
aplicando a 1ª lei de Ohm às duas associações, 
temos: 
Dados: U = 60 V; i2 – i1 = 9 A. 
 
1
2 2 11
2
2 1 1 1 1 1
U 2 R i (I)
R
 i 2 R i i 4 i .R
2U i (II)
2
i i 9 4 i i 9 3 i 9 i 3 A.
 

   


        
 
 
Voltando em (I): 
1
60
U 2 R i 60 2 R 3 R 
6
R 10 .Ω
       
