Geometria-Plana-Teorema-das-Bissetrizes-Internas-e-Externas-2016

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Teorema das Bissetrizes Internas e Externas 
 
1. (G1 - epcar (Cpcar) 2016) As cidades A, B e C situam-se às margens de um rio e são 
abastecidas por uma bomba situada em P, conforme figura abaixo. 
 
 
 
Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a bissetriz do ângulo reto corta AC no 
ponto P. Se BC 6 3 km, então CP é, em km, igual a 
a) 6 3 
b)  6 3 3 
c) 9 3 2 
d)  9 2 1 
 
2. (G1 - cftmg 2015) O perímetro do triângulo ABC vale 120cm e a bissetriz do ângulo  
divide o lado oposto em dois segmentos de 18 e 22cm, conforme a figura. 
 
 
 
A medida do maior lado desse triângulo, em cm, é 
a) 22 
b) 36 
c) 44 
d) 52 
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3. (Pucrj 2012) Considere um triângulo ABC retângulo em A, onde AB 21 e AC 20.  BD 
é a bissetriz do ângulo ˆABC. Quanto mede AD? 
a) 
42
5
 
b) 
21
20
 
c) 
20
21
 
d) 9 
e) 8 
 
4. (G1 - cftmg 2007) Na figura, AQ e AP são, respectivamente, bissetrizes interna e externa do 
triângulo ABC. Se BQ = 8 m e QC = 6 m, então, a medida de QP, em metros, é 
 
a) 32 
b) 36 
c) 42 
d) 48 
 
5. (Fgv 2005) Na figura, ABC é um triângulo com AC = 20 cm, AB = 15 cm e BC = 14 cm. 
 
Sendo AQ e BP bissetrizes interiores do triângulo ABC, o quociente 
QR
AR
 é igual a 
a) 0,3. 
b) 0,35. 
c) 0,4. 
d) 0,45. 
e) 0,5. 
 
 
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6. (Fuvest 2004) Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC = 2. 
Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura 
relativa ao lado AB. 
Determinar o comprimento de MN. 
 
7. (G1 1996) Na figura a seguir, AD é a bissetriz inteira de Â. Calcule as medidas de BD e 
DC, sabendo que mede (BC) 8 cm. 
 
 
 
8. (G1 1996) O triângulo ABC da figura tem CM como bissetriz. Determine os lados do 
triângulo. 
 
 
 
9. (Ufmg 1994) Observe a figura. 
 
Nessa figura, AB = BD = DE e o segmento BD é bissetriz de E B̂ C. 
A medida de AÊB, em graus, é 
a) 96 
b) 100 
c) 104 
d) 108 
e) 110 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
Com os dados da figura, pode-se escrever: 
BA 3 BA
tg 30 BA 6
3BC 6 3
      
 
Ainda, pelo Teorema de Pitágoras: 
 
22 2 2 2 22AC BC BA AC 6 3 6 AC 144 AC 12         
 
E finalmente pelo teorema da bissetriz interna: 
 
 
 
 
   
BC BA 6 3 6
72 3 6 3 PC 6 PC 6 PC 1 3 72 3
PC PA PC 12 PC
1 372 3
6 PC 6 PC 36 3 1 3 PC 18 6 3 PC 6 3 3
1 3 1 3
            


             
 
 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
a b 40 120 a b 80      
 
Aplicando o Teorema da bissetriz interna, temos: 
c b b c c b
2 c 36 e b 44
18 22 18 22 18 22

       

 
 
Portanto, a medida do maior lado do triângulo é de 44cm. 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
 
 
Admitindo AD x. 
2 2 2BC 20 21 BC 29    
 
Utilizando o teorema da bissetriz interna, temos: 
21 29 42
x
x 20 x 5
  

 
 
Logo, 
42
AD .
5
 
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Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
Resposta da questão 6: 
 MN = 11/30 unidades de comprimento 
 
Resposta da questão 7: 
 
11
x
2
 e 
5
y .
2
 
 
Resposta da questão 8: 
 11,11,12 
 
Resposta da questão 9: 
 [D]