Exercício 1 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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1. 
 
 
Sejam os vetores v = (3,2), s = (0,5) e t = (-3,-3). O resultado correto da expressão 3v - 5s + t é 
dado por: 
 
 
(-22,-6) 
 
 
(-6,-22) 
 
 
Nenhuma das alternativas 
 
(6,-22) 
 
 
(22,-6) 
 
 
 
Explicação: 
3 . (3,2) - 5 . (0,5) + (-3,-3) 
(9,6) + (0,-25) + (-3,-3) 
(6,-22) 
 
 
 
 
2. 
 
 
A velocidade de uma partícula que se move no plano xy é dada 
em metros por segundo e é representada pelo vetor v = 6i + 8j. 
Determine a intensidade da velocidade. 
 
 
v=±100v=±100 
 
 
v=9v=9 
 
v=±10v=±10 
 
 
v=5v=5 
 
 
v=±14v=±14 
 
 
 
Explicação: 
v=±√ 62+82 =±√ 100 =±10v=±62+82=±100=±10 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine o valor de "a" para que o vetor u = (a, -2a, 2a) seja 
um vetor unitário. 
 
 
a=±9a=±9 
 
a=±13a=±13 
 
 
a=±3a=±3 
 
 
a=19a=19 
 
 
a=±√ 13 a=±13 
 
 
 
Explicação: 
Para que u seja unitário, ele deverá ter módulo igual a 1, logo: 
|u| = √ a2+(−2a)2+(2a)2 =1a2+(−2a)2+(2a)2=1 ⇒ a = a=±13a=±13 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine o valor de m para os vetores u = (5; m) v = ( -15; 25) 
sejam perpendiculares. 
 
 
6 
 
3 
 
 
5 
 
 
12 
 
 
9 
 
 
 
Explicação: 
A para dois vetores sejam perpendiculares é que seu produto escalar seja nulo, portanto: 
U= (5, m) V= (-15, 25) 
-75+25m=0 
25m=75 
m=75/25 
m=3 
 
 
 
 
5. 
 
 
Determine o valor de "a" para que o vetor u = (a, -2a, 2a) seja 
um versor (vetor unitário): 
 
 
a=±3a=±3 
 
 
a=±15a=±15 
 
a=±13a=±13 
 
 
a=±9a=±9 
 
 
a=±19a=±19 
 
 
 
Explicação: 
u = (a, -2a, 2a), logo para ser um versor, temos: 
|u| = 1, √ a2+(−2a)2+(2a)2 =1a2+(−2a)2+(2a)2=1 
a2 = 1919 ⇒ a = ±13±13 
 
 
 
 
6. 
 
 
Dados os pontos A(3 , m - 1, - 4) e B(8 , 2m - 1, m), determinar 
"m" de modo que |AB| = √3535. 
 
 
 
m = {-3, -2} 
 
 
m = {4, -1} 
 
m = {-3, -1} 
 
 
m = {-5, -3} 
 
 
m = {3, -1} 
 
 
 
Explicação: 
A(3 , m - 1, - 4) e B(8 , 2m - 1, m), logo AB = (8 - 3, (2m - 1) - (m - 1), m - (-4)) = (5, m, m + 4). 
|AB| = √ 52+m2+(m+4)2 52+m2+(m+4)2 
35 = 2m2 + 8m + 41 
m1 = -3 e m2 = -1 
 
 
 
 
7. 
 
 
Calculando a área do paralelogramo definido pelos vetores 2u e -
3v sendo u=(-2,0,3) e v=(1,-1,0) encontramos: 
 
 
9V17 
 
 
2V23 
 
6V22 
 
 
7V19 
 
 
5V21 
 
 
 
Explicação: 
Chamando de A a área do paralelogramo, temos que: A= !!(2u)x(-3v)!! 
2u=(-4,0,6) 
-3v=(-3,3,0) 
 i j k 
(2u)x(-3v) = -4 0 6 = -18i -18j - 12k = (-18 , -18 , -12) 
 -3 3 0 
 
Daí: A = !!(-18 , -18 , -12)!! = V324+324+144 = V792 = 6V22 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Os ângulos (em graus) diretores do vetor v = (0,-3,5) em relação 
aos eixos x, y e z respectivamente são: 
 
 
90 ; 90 ; 0 
 
 
31 ; 90 ; 121 
 
 
121 ; 31 ; 90 
 
 
90 ; 31 ; 121 
 
90 ; 121 ; 31 
 
 
 
Explicação: 
Os ângulos diretores são dados por: 
cos x = x|v|x|v| ⇒ cos x = 0√ 34034 ⇒ x = 90º 
cos y = y|v|y|v| ⇒ cos y = −3√ 34−334 ⇒ y = 120,96° 
cos z = z|v|z|v| ⇒ cos z = 5√ 34534 ⇒ z = 30,96º