Ficha 2 _12 classe

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Professor: Chabane Assuste Ibraimo Página 1 de 4 
 
 
ESCOLA SECUNDÁRIA D'A POLITÉCNICA DE NACALA 
MATEMÁTICA _12a CLASSE _CIÊNCIAS E LETRAS_1o TRIMESTRE_2020 
TEMA: ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADES 
FICHA DE EXERCICIOS No 2 
PARTE 1: FACTORIAL, ARRANJOS, PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES 
1. Simplifique as seguintes expressões: 
a) 
𝑛!
(𝑛+1)!
 e) 
(𝑛+3)!(𝑛+1)!
𝑛!(𝑛+4)
 
b) 
𝑛!
(𝑛−1)!+(𝑛−2)!
 f) 
(𝑛+1)!−2𝑛!
(𝑛+1)!(𝑛−1)!
 
c) 
𝑛!
(𝑛+1)!−(𝑛−1)!
 g) 
(𝑛+1)!(𝑛+2)
(𝑛−1)!(𝑛2+3𝑛+2)
 
d) 
(𝑛+3)!+(𝑛+1)!
(𝑛+2)!
 
2. Quantos números de quatro algarismos podemos formar com os algarismos ímpares, de 
modo que terminem sempre com 3? 
3. Resolva as seguintes equações: 
a) 𝐴2
𝑛−1 = 56 d) 𝐶5
𝑛 =
7
15
𝐴3
𝑛−2 
b) 𝐶2
𝑛 = 210 e) 𝐶𝑛+1
𝑛+3 = 36 
c) 3𝐴3
𝑛 = 5(𝐴3
𝑛−1 + 𝐴2
𝑛−2) f) 2 ∙ 𝐶𝑛−2
𝑛 + 𝐴2
𝑛 = 𝑃3 ∙ 𝐶𝑛−3
𝑛 
4. Quantos são anagramas da palavra FISCAL que começam por consoante e terminam com 
uma vogal? 
5. De quantos modos se pode formar uma comissão de 7 elementos, escolhidos entre 5 alunos 
formados e 20 não formados, que se dispuseram a participar da comissão, incluindo sempre 
todos os formandos? 
 
 
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PARTE 2: BINÓMIO DE NEWTON 
1. Achar o termo independente no desenvolvimento dos binómios a seguir: 
𝑎) (√𝑥2
3
−
2
√𝑥3
)
12
 𝑏) (𝑥√𝑥 +
2
√𝑥2
3 )
12
 𝑐) (√5
5
+ √2
3
)
8
 
𝑑) (√2
5
+ √5
3
)
20
 𝑒) (𝑥5 +
1
𝑥5
)
8
 𝑓) (
1
𝑥2
− √𝑥
4
)
18
 
𝑔) (2𝑥 +
1
𝑥
)
4
 ℎ) (𝑥5 +
1
𝑥5
)
10
 𝑖) (𝑥 +
4
3𝑥
)
8
 
2. Achar a soma dos coeficientes dos termos obtidos no desenvolvimento dos binómios: 
𝑎) (𝑥 − 3𝑦)8 𝑏) (𝑥 + 3𝑏)3 
3. Qual o coeficiente de 𝑥8 no desenvolvimento de (𝑥3 + 𝑥−3)8? 
4. Considere o binómio (2𝑥 + 3𝑦)4 
𝑎) Faça o seu desenvolvimento 
𝑏) Determine a soma dos coeficientes dos seus termos 
5. Calcule: 
𝑎) ∑ (
10
𝑝
)10𝑝=0 𝑏) ∑ (
10
𝑝
)10𝑝=2 𝑐) ∑ (
𝑛
𝑝)
𝑛
𝑝=1 𝑑) ∑ (
5
𝑘
)5𝑘=0 
𝑒) ∑ (
8
𝑘
) 2𝑘8𝑘=1 𝑓) ∑ (
6
𝑘
)6𝑘=0 (
1
2
)
6−𝑘
 
6. Sabendo que (
𝑥
𝑦) = 28 e (
𝑥
𝑦 + 1) = 56, calcule o valor de (
𝑥 + 1
𝑦 + 1
) 
7. Calcular o sexto termo no desenvolvimento de (𝑎 + 𝑏)𝑛 
8. Achar o coeficiente de 𝑥5 no desenvolvimento de (√𝑥 + √𝑥
3
)
12
 
9. Determine o valor que deve ser atribuído a 𝑦 de modo que o termo independente de 𝑥 no 
desenvolvimento de (𝑥 +
𝑦
2
)
6
 seja igual a 160. 
10. Determine o termo central do desenvolvimrnto do binomio (
3
𝑥
+
𝑥
2
)
8
. 
11. Desenvolvendo o binómio (
2
𝑥
+ 𝑥2)
4
, achamos um termo em 𝑥2. Qual o coeficiente desse 
termo? 
12. Resolva: 
𝑎) (
12
2𝑥 − 1
) = (
12
𝑥 + 4
) 𝑏) (
10
3 − 𝑥
) = (
10
3𝑥 − 5
) 𝑐) (
14
3𝑥
) = (
14
𝑥 + 6
) 
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𝑑) (
14
𝑥
) = (
14
2𝑥 − 1
) 𝑒) (
12
𝑥 + 3
) = (
12
𝑥 − 1
) 
13. Resolva: 
𝑎) 
𝑥!
(𝑥−2)!
= 2 𝑏) 
(2𝑛+1)!
(2𝑛−1)!
= 6 𝑐) 𝐶12
2𝑥 = 𝐶12
𝑥2 
14. Utilize propriedades para calcular os binómios: 
𝑎) 𝐶0
2 + 𝐶1
3 + 𝐶2
4 𝑏) 𝐶0
7 + 𝐶1
8 + 𝐶2
9 + 𝐶3
10 𝑐) 
(
10
7
)+(
10
8
)+(
11
9
)+(
12
10
)
(
13
10
)
 
 Observação: Propriedades 
P1. (
𝑝
𝑝) + (
𝑝 + 1
𝑝
) + (
𝑝 + 2
𝑝
) + ⋯ + (
𝑛
𝑝) = (
𝑛 + 1
𝑝 + 1
) 
P2. (
𝑛
0
) + (
𝑛 + 1
1
) + (
𝑛 + 2
2
) + ⋯ + (
𝑛 + 1
𝑝
) = (
𝑛 + 𝑝 + 1
𝑝
) 
PARTE 3: TEORIA DE PROBALIDADES 
1. Uma urna contém 6 bolas pretas, 2 brancas e 10 amarelas. Uma bola é escolhida ao acaso. Qual 
a probabilidade: 
a) Da bola não ser amarela? 
b) Da bola ser branca ou preta? 
c) Da bola não ser branca, nem amarela? 
2. De um grupo de 200 pessoas, 160 têm factor RH positivo, 100 têm sangue tipo O e 80 têm 
factor RH e sangue tipo O. Se uma dessas pessoas for selecionada ao acaso, qual a 
probabilidade de: 
a) Seu sangue ter factor RH positivo? 
b) Seu sangue não ter tipo O? 
c) Seu sangue ter factor RH positivo ou ser tipo O? 
3. Seja o espaço amostral Ω = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎10} e considere a distribuição de probabilidades 
𝑃𝑖 = 𝑃[{𝑎𝑖}] = 𝑘 ∙ 𝑖, ∀𝑖 ∈ {1, 2, 3, … ,10}. 
a) Calcule 𝑘 
b) Calcule 𝑃3 e 𝑃7 
c) Seja o evento 𝐴 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎4, 𝑎6}, calcule 𝑃(𝐴) 
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d) Calcule 𝑃(𝐴 ̅) 
4. Seja o espaço amostral Ω = {0, 1, 2, 3, … , 10} e considere a distribuição de probabilidades 
𝑃𝑖 = 𝑃[{𝑖}] = (
10
𝑖
) ∙ (0,6)𝑖 ∙ (0,4)10−𝑖, ∀𝑖 ∈ {1,2,3, … ,10}. 
a) Mostre que ∑ 𝑃𝑖 = 1
10
𝑖=0 𝑏) Calcule 𝑃3 
𝑐) Seja o evento 𝐴 = {0, 1, 2}. Calcule 𝑃(𝐴) e 𝑃(𝐴 ̅) 
5. De um lote de 200 peças sendo 180 boas e 20 defeituosas, 10 peças são selecionadas ao acaso, 
sem reposição. Qual a probabilidade de: 
a) As 10 peças serem boas? 
b) As 10 peças serem defeituosas? 
𝑐) Cinco peças serem boas e cinco peças serem defeituosas? 
6. Sejam 𝑃(𝐴) = 0,3; 𝑃(𝐵) = 0,8 e 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,15 
a) Os eventos A e B são mutuamente exclusivos? Porque? 
b) Qual a probabilidade de 𝑃(𝐵 ̅)? 
c) Determine: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵), 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ̅), 𝑃(𝐴 ̅ ∩ 𝐵 ̅) e 𝑃(𝐴 ̅ ∩ 𝐵) 
7. Sejam 𝑃(𝐴) = 0,5; 𝑃(𝐵) = 0,4 e 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,70 
a) Os eventos A e B são mutuamente exclusivos? Porque? 
b) Qual o valor de 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)? 
c) A e B são eventos independentes? Porque? 
8. Sejam A e B dois eventos. Suponha que 𝑃(𝐴) = 0,4 enquanto que 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,7. Seja 
𝑃(𝐵) = 𝑝. 
a) Para que valor de 𝑝, A e B serão mutuamente exclusivos? 
b) Para que valor de 𝑝, A e B serão independentes? 
9. Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2, 3, 4, … , 50. Qual a 
probabilidade de: 
 𝑎) O número ser divisível por 3 𝑏) Terminar por 3 𝑐) Ser primo 
 𝑑) Ser divisível por 6 ou por 8. 
10. Numa urna são misturadas 10 bolas numeradas de 1 a 10. Duas bolas são retiradas (𝑎, 𝑏) sem 
reposição. Qual a probabilidade de 𝑎 + 𝑏 = 10? 
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11. Sendo Ω = {1, 2, 3, 4} um espaço amostral equiprovável e 𝐴 = {1,2}, 𝐵 = {1,3} e 𝐶 = {1,4}, 
três eventos do espaço amostral. Verificar se os eventos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são independentes. 
12. Sendo Ω = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90,100}, listar cada um dos subconjuntos de Ω. 
a) 𝐴 = {𝑎: 𝑎 é 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑟 3 } 
b) 𝐵 = {𝑏: 𝑏 é 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑟 4 } 
c) 𝐴 ∪ 𝐵 𝑑) 𝐴 ∩ 𝐵 𝑒) 𝐵 − 𝐴 𝑓) 𝐴 − 𝐵 
13. Dois dados, um verde e outro vermelho são lançados e observados os números das faces de 
cima. 
a) Qual a probabilidade de ocorrerem números iguais? 
b) Qual a probabilidade de ocorrerem números diferentes? 
c) Qual a probabilidade da soma dos números ser 7? 
d) Qual a probabilidade da soma dos números ser 12? 
e) Qual a probabilidade da soma dos números ser menor ou igual a 12? 
f) Qual a probabilidade de aparecer número 3 em ao menos um dado? 
14. Resolva a equação 2 ∙ 𝐴4
𝑥 = 4! ∙ 𝐶𝑥−5
𝑥 
15. Sabendo que o número de combinações de (𝑛 + 2) objectos tomados cinco a cinco, vale 
28𝑛
3
 , 
calcule o valor de 𝑛. 
16. No lançamento de um dado viciado, a probabilidade de ocorrer cada número par é o 
quádruplo da probabilidade de ocorrer cada número impar. Calcular a probabilidade de cada 
acontecimento elementar. 
 
 
 
NOTA: Aula de Probabilidades não constará no teste. 
FIM