RELATÓRIO MÉTODOS NUMÉRICOS E COMPUTACIONAIS

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS 
 CURSO DE ENGENHARIA SANITÁRIA E AMBIENTAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
Joana Lovison 
Larissa Flores Nunes 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DE MÉTODOS NUMÉRICOS - TRABALHO 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Santa Maria, RS 
2018 
 
Joana Lovison 
Larissa Flores Nunes 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DE MÉTODOS NUMÉRICOS - TRABALHO 2 
 
 
 
 
 
Trabalho acadêmico apresentado ao Curso de 
Engenharia Sanitária e Ambiental, da 
Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, 
RS), como requisito parcial para aprovação na 
disciplina de Métodos Numéricos 
Computacionais. 
 
 
 
 
Profº. Fernando Colman Tura 
 
 
 
Santa Maria, RS 
2018 
OBJETIVO 
O presente trabalho, direcionado a disciplina de Métodos Numéricos 
Computacionais, tem por objetivo resolver problemas desenvolvendo programas com 
auxílio da linguagem Visual Calculo Numérico (VCN), onde se utiliza métodos 
matemáticos para resolver determinadas funções. 
 
1. Zeros de Funções Reais 
1.1 Otimização 
a) Um problema de otimização é aquele onde se procura determinar os valores 
extremos de uma função, isto é, o maior ou o menor valor que uma função pode 
assumir em um dado intervalo. Neste problema buscava-se encontrar os valores 
máximos e mínimos do polinômio abaixo, no intervalo [0, 3] com uma precisão 
de 10
-6
. 
 ( ) 
 
 Para calcular os valores de máximo e mínimo do polinômio devemos encontrar 
os zeros de sua derivada. Por isso, primeiramente, calcula-se a derivada. 
 
 ( ) 
Através do gráfico da derivada da função (Anexo 1), podemos notar que existe um 
valor de máximo e um valor de mínimo no intervalo de [0, 3], ou seja, dois pontos 
críticos. 
 
Método da Bisseção: é um método de busca de raízes que divide em duas partes iguais 
repetidamente um intervalo e então seleciona um subintervalo contendo a raiz para 
processamento adicional. 
Primeiramente, observamos que resolver a equação dada é equivalente a calcular o 
zero da derivada de ( ). Segue a equação da derivada: 
 
 ( ) 
 Além disso, temos ( ) ( ) . Desta forma, podemos iniciar o método da 
bisseção tomando o intervalo inicial e: 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_para_encontrar_raiz
https://pt.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)
 
 
 
 
 
 
 
Analisando o gráfico, podemos ver que o valor de máximo está entre o intervalo [1.5, 
3], então tomamos e obteve-se o valor de máximo com os seguintes 
resultados (Anexo 2). 
Depois, analisando novamente o gráfico, podemos ver que o valor de mínimo está entre 
o intervalo [0, 1.5], por isso tomamos e obtivemos o valor de 
mínimo com os seguintes resultados (Anexo 3). 
Método de Newton: este método tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. 
Para isso, escolhe-se uma aproximação inicial para esta. Para isso, calcula-se a equação 
da reta tangente (por meio da derivada) da função nesse ponto e a interseção dela com o 
eixo das abcissas, a fim de encontrar uma melhor aproximação para a raiz. Repetindo-se 
o processo, cria-se um método iterativo para encontrarmos a raiz da função. 
Para aplicar o Método de Newton, além da derivada primeira, necessita-se fazer 
a derivada segunda: 
 
 ( ) 
 Aplicando as equações derivadas no método de Newton descrito abaixo, 
obtiveram-se os seguintes resultados (Anexo 4 e Anexo 5). 
 
 
 ( )
 
 ( )
 
 Para o valor de mínimo, o escolhido foi 0, pois assim a iteração converge 
para o valor mais próximo de 0 (Anexo 4). 
 Para o valor de máximo, o escolhido foi 3, pois assim a iteração converge 
para o valor mais próximo de 3 (Anexo 5). 
 
Método da Secante: Em análise numérica, o método das secantes é um algoritmo de 
busca de raízes que usa uma sequência de raízes de linhas secantes para aproximar cada 
vez melhor a raiz de uma função. 
 Pela análise do gráfico sabemos que o valor máximo está no intervalo [1.5, 3], 
por isso tomando e assim obteve-se o valor de máximo com os 
seguintes resultados (Anexo 6). 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada
https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_iterativo
https://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_num%C3%A9rica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Raiz_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Reta_secante
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
 Depois, analisando novamente o gráfico, vemos que o valor de mínimo está no 
intervalo [0, 1.5], por isso tomamos e obtivemos o valor de mínimo 
do polinômio com os seguintes resultados (Anexo 7). 
 
b) Tabela com a comparação de resultados obtidos: 
 
VALORES DE MÁXIMO 
 
 
 VALORES DE MÍNIMO 
 
 
c) Tabela com a comparação dos valores de máximos e mínimos obtidos: 
Método Bisseção Newton Secante 
Mínimo 0.408815145492553711 0.408815210526042396 0.408815210525753564 
Máximo 2.0202279090881348 2.20202349823221399 2.20202349818481986 
 
1.2 Nível de água em uma gamela 
a) Para a gamela de comprimento L = 10m, raio r = 1m e volume de água V = 
12.4m³, encontrou-se o valor de profundidade do nível de água 0.8359375m. 
Através do método da Bisseção, obteve-se o valor de .1640625 e então, 
com uma subtração, encontramos o nível da água. Usamos esse método, pois 
para aplicar o método de Newton seria necessário derivar a equação do volume 
da gamela, a qual é bastante complexa. Tomamos o intervalo [0, 1], pois 
consideramos que o nível de água da gamela pode variar conforme o tamanho do 
raio (Anexo 8). 
 
b) Tabela com o número de iterações, aproximações e erros: 
 
1.3 Concentração de medicamento 
a) Para descobrir qual é a quantidade a ser injetada, para que a concentração 
máxima segura seja alcançada e quando esse valor máximo ocorre, 
resolvemos as seguintes operações: 
1- Da equação dada pelo exercício, derivamos a f(t) para encontrar o t quando a 
concentração máxima de 1 mg/mL é alcançada. Derivamos a f(t) e igualamos 
a 0, pois estamos buscando o valor de t máximo da função. 
 
 
 ⁄ ( ) 
 
 ⁄ 
 ( ) 
 
 ⁄ 
 
 
 ⁄ 
 
 
2- Para achar a raíz de ( ) usamos o método da Secante (Anexo 9), e assim 
temos t = 3 horas, ou seja 180 minutos. No método da Secante o 
escolhido foi 2 e o escolhido foi 4, pois através do gráfico da função 
podemos observer que a raíz estava no intervalo entre [2, 4]. 
 
3 – Após encontrarmos o valor de t, substituímos esse valor na equação para 
acharmos o valor de A unidades, da seguinte maneira: 
 
 
 ⁄ 
 
 
 
 
 ⁄ 
 unidades. 
b) Para determinar, com precisão de minutos, quando a segunda injeção deve 
ser aplicada, após a concentração cair para 0.25 mg/mL, substituímos os 
valores já encontrados para descobrir o tempo, igualamos a 0 e aplica-se o 
método da Secante (Anexo 10). O método das secantes é definido pela 
relação de recorrência: 
 
 ( ) ( )
 ( ) Como pode ser 
visto da relação de recorrência, o método das secantes requer dois valores 
iniciais, e , que devem ser preferencialmente escolhidos próximos da 
raiz. As iterações do método das secantes convergem para uma raiz de f, 
se os valores iniciais e estiverem suficientemente próximas da raiz. 
Obtemos assim que o tempo para aplicação da segunda injeção é 
 minutos e 40.4529116664 segundos. 
 
 
 ⁄ 
( 
 
 ⁄ ) 
 
 minutos e 40.4529116664 segundos 
 minutos. 
A tabela está no Anexo 10. 
 
c) Para determinar quando a terceira injeção deve ser aplicada, somamos a 
quantidade de unidades iniciais 75% de seu valor. 
 
Posteriormente, aplicamoso valor obtido na equação já conhecida e 
igualamos a zero. Através do método da Secante obtivemos t = 
13.3066955565021859 horas (Anexo 11). 
( 
 
 ) 
 
 
2. Sistemas Lineares 
É um conjunto de equações lineares, com m equações e n incógnitas. A solução de 
um sistema linear é a solução de todas as equações lineares. Existem métodos numéricos 
que auxiliam na resolução de sistema de equações lineares. 
 
2.1 Problema de logística 
Para determiner a quantidade de máquinas que cada caminhão deverá transportar, 
utilizamos o método de fatoração LU. 
A fatoração LU consiste em considerar o sistema linear , onde a matriz A é 
densa. A fim de resolver o problema, fatoramos a matriz A como o produto de uma 
matriz L triangular inferior e uma matriz U triangular superior, ou seja, . 
Sendo assim, o sistema pode ser reescrito da seguinte forma: 
 
( ) 
 ( ) 
 
Isto significa que, ao invés de resolvermos o sistema original, podemos resolver o 
sistema triangular inferior e, então, o sistema triangular superior , o qual 
nos fornece a solução de . 
 
 Segue em anexo a decomposição LU e os resultados obtidos (Anexo 12 e Anexo 
13). 
 Resultados: 
 
A transportadora deverá enviar 4 caminhões do tipo (1), 6 caminhões do tipo (2), 
2 caminhões do tipo (3), 3 caminhões do tipo (4) e cinco caminhões do tipo (5) para 
transportar exatamente as máquinas necessárias. 
 
2.2 Problema treliça estacionária 
Treliças são estruturas leves, capazes de suportar cargas pesadas. Em projetos de 
pontes, os membros individuais da treliça são conectados com juntas de pinos rotativos 
que permitem que as forças sejam transferidas de um membro da treliça para outro. Se a 
treliça estiver em equilíbrio estático à soma das forças em cada junta deve ser o vetor 
nulo, assim a soma das componentes verticais e horizontais em cada junto deve ser 0. 
Isto produz o sistema matricial abaixo: 
 
a) 
 
b) Calculamos a porcentagem de números nulos e não nulos da matriz dos 
coeficientes através de regra de três simples. Na matriz 8x8 teremos 64 
elementos. Desses 64 elementos, 17 são não nulos e 47 são nulos. Ou seja, 
26.5625% são números não nulos e 73.4375% são números nulos. 
c) Sim, as equações podem ser rearranjadas de tal maneira que a diagonal fique 
sem elementos nulos e convirja para a solução. Ela ficará da seguinte maneira: 
 
d) O método de Gaus-Seidel e o método de Jacobi possuem critérios de 
convergência para que haja solução do sistema linear. O critério das linhas e 
colunas define que o pivô de determinada linha ou coluna, deve ser maior que a 
soma dos demais elementos. Este critério pode ser atendido tanto pelas linhas 
quanto pelas colunas, desde que satisfaça pelo menos uma delas, o sistema irá 
convergir para a solução. Neste trabalho, utilizamos o programador VCN para 
resolução dos métodos. Este programa não possui critérios de condicionamento, 
logo para efetuar a resolução do problema teríamos de rearranjar as linhas 
manualmente. Para solucionar o problema, encontramos os valores das forças 
através da decomposição LU (Anexo 14 e Anexo 15). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCLUSÃO 
 
Métodos numéricos e computacionais nos ajudam a aproximar os resultados de 
problemas de maneira mais objetiva realizando um número menores de operações 
do que métodos matemáticos usualmente utilizados. O cálculo numérico melhora a 
familiarização e “intimidade” do aluno com a matemática, mostrando seu lado 
prático e sua utilidade no dia-a-dia de um engenheiro.