ENG CÁLC I_Aula 10

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AULA Nº 10
CÁLCULO I
PROF. CLAUDIO POSSANI
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Derivada de uma função num ponto é:
 ou
 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
A partir da função fica definida uma nova função
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
A partir da função fica definida uma nova função
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Esta nova função pode ser derivável (ou não).
A derivada (se existir) da derivada chama-se 
segunda derivada da função . 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
NOTAÇÃO:
 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Se a segunda derivada for derivável então sua 
derivada será chamada de derivada terceira da 
função e assim sucessivamente
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
 ⇒ 
 ⇒ 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
 ⇒ 
 ⇒ 
 ⇒ 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Se é um polinômio de grau então suas 
derivadas, a partir da derivada de ordem 
se anulam
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
EXEMPLO:
Determinar a derivada de ordem da função
 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
EXEMPLO:
Determinar a derivada de ordem da função
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
 
 
 
 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
As derivadas de se repetem num ciclo de período 4.
Para determinar a derivada de ordem 21 fazemos a divisão por e encontramos 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
E concluímos que 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
CINEMÁTICA: no estudo do Movimento Uniformemente Variado (aceleração constante) MUV temos: 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
CINEMÁTICA: MUV 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
CINEMÁTICA: MUV 
 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Exemplo:
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Exemplo (não MUV):
 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Analisando a função percebemos 
que a aceleração é positiva para e 
que é negativa para 
Assim o móvel está aumentando sua velocidade entre os instantes 0 e 2 e reduzindo velocidade a partir de t = 2. 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Nem toda função derivável tem segunda derivada:
 
 
 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Calculando a derivada obtemos:
 
 
Esta função não é derivável na origem 
Não há reta tangente na origem
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Uma função que possui derivadas contínuas até 
ordem chama-se FUNÇÃO DE CLASSE 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Uma função que possui derivadas contínuas até 
ordem chama-se FUNÇÃO DE CLASSE .
A função é de classe 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Uma função que possui derivadas contínuas até 
ordem chama-se FUNÇÃO DE CLASSE .
A função é de classe 
-18-16-14-12-10-8-6-4-224681012141618
-15
-10
-5
5
10
15
x
y
-3-2-1123
-1
1
2
3
x
y
-8-6-4-22468
-5
5
x
y