Geometria analítica (180 questões)(italo)

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“É melhor lançar-se à luta em busca do triunfo, mesmo expondo-se ao insucesso, do que ficar na fila dos pobres de espírito, que nem gozam muito nem
sofrem muito, por viverem nessa penumbra cinzenta de não conhecer vitória e nem derrota.”
Franklin D. Roosevelt
Funções quadráticas
Questões EEAR
GEOMETRIA ANALÍTICA
(EEAR-2000) Questão 1.
A posição dos pontos P(3, 2) e Q(1, 1) em relação à circunferência (x− 1)2 +
(y − 1)2 = 4 é:
(a) P é interior e Q é exterior
(b) P é exterior e Q é interior
(c) P e Q são interiores
(d) P e Q são exteriores
(EEAR-2001) Questão 2.
A equação da reta que passa pelo ponto B(4,−5) e de coeficiente angular
1
2
é:
(a) x − 2y + 6 = 0
(b) x − 2y − 12 = 0
(c) x − 2y − 14 = 0
(d) x + 2y + 14 = 0
(EEAR-2001) Questão 3.
O valor de k de modo que a reta kx+ 2y+ k− 8 = 0 passe pela intersecção
das retas x + y = 0 e x − 3y = 8 é:
(a) 4
(b) 3
(c) −4
(d) −3
(EEAR-2001) Questão 4.
As retas 2x − y = 3 e 2x + ay = 5 são paralelas. Então, o valor de a é:
(a) −1
(b) 1
(c) −4
(d) 4
(EEAR-2001) Questão 5.
A reta de equação x + 2y + c = 0:
(a) é perpendicular à reta 2x + y + c = 0.
(b) é paralela à reta 2x − 4y + c = 0.
(c) tem distância ao ponto (−c, 1) igual a zero.
(d) forma um ângulo de
π
4
rad com a reta 3x + y + c = 0.
(EEAR-2001) Questão 6.
A equação da reta que passa pelo ponto (3, 2) e pelo ponto de interseção
das retas y = 3 · (1 − x) e y = 2 · (x − 1) é:
(a) 2x − y − 1 = 0
(b) x − 2y − 1 = 0
(c) 2x − 2y − 1 = 0
(d) x − y − 1 = 0
(EEAR-2001) Questão 7.
A circunferência (x+ 2)2+(y− 1)2 = 1 e a reta x− 3y− 2 = 0 possuem
ponto(s) em comum.
(a) 2
(b) 1
(c) infinitos
(d) nenhum
(EEAR-2001) Questão 8.
O triângulo cujos vértices são os pontos (1, 3), (−2,−2) e (1,−2) é
(a) obtusângulo.
(b) equilátero.
(c) retângulo.
(d) isósceles.
(EEAR-2001) Questão 9.
No sistema de coordenadas cartesianas, a equação x2 + y2 = ax+ by, onde
a e b são números reais não nulos, representa uma circunferência de raio
(a)
√
a2 + b2
2
(b)
√
a2 + b2
(c)
a + b
2
(d) a + b
(EEAR-2001) Questão 10.
Considere as circunferências que passam pelos pontos (0, 0) e (2, 0) e que são
tangentes à reta y = x + 2 as coordenadas dos centros dessas circunferências
são
(a) (1, 1) e (1,−7)
(b) (1, 1) e (−7, 1)
(c) (1,−7) e (1, 7)
(d) (1,−7) e (−1, 7)
(EEAR-2002) Questão 11.
Seja uma circunferência com centro sobre a reta y = 3x. Se a circunferência
é tangente à reta y = x na ordenada 4, então as coordenadas do centro da
circunferência são
(a) (4, 12).
(b) (2, 6).
(c) (3, 9).
(d) (5, 15).
(EEAR-2002) Questão 12.
Dentre os pontos que equidistam de A(1, 2) e B(3, 4), o ponto mais próximo
de P(6, 1) que pertence ao eixo das abscissas é
(a) 5.
(b) 3.
(c) 6.
(d) 4.
(EEAR-2002) Questão 13.
A distância do centro da circunferência x2+y2−6x−8y+21 = 0 à bissetriz
do IIo e IVo quadrantes, vale
(a)
√
2
2
(b)
√
3
2
(c)
√
7
2
(d)
7
√
2
2
(EEAR-2002) Questão 14.
No plano cartesiano, os pontos A(1, 0) e B(0, 2) são de uma mesma circunfe-
rência. Se o centro dessa circunferência é ponto da reta y = 3− x, então suas
coordenadas são
(a)
(
3
2
,
1
2
)
(b) (1, 2)
(c)
(
3
2
,
3
2
)
(d) (0, 3)
(EEAR-2004) Questão 15.
Uma reta r passa pelo ponto A(−1, 4) e é perpendicular à reta s de equação
3x + 5y − 2 = 0. Nessas condições, a equação da reta r é
(a) 3x + 5y − 23 = 0.
(b) 5x + 3y − 17 = 0.
(c) 3x + 5y − 17 = 0.
(d) 5x − 3y + 17 = 0.
(EEAR-2004) Questão 16.
Uma circunferência tem centro (4, 3) e passa pela origem. A equação dessa
circunferência é
(a) x2 + y2 = 25.
(b) x2 + y2 + 8x + 6y = 0.
(c) x2 + y2 − 8x − 6y = 25.
(d) x2 + y2 − 8x − 6y = 0.
(EEAR-2005) Questão 17.
Seja α o ângulo formado por duas retas cujos coeficientes angulares são −
1
3
e
1
3
. O valor de tgα é:
(a)
3
4
(b) 1
(c)
5
4
(d)
3
2
(EEAR-2005) Questão 18.
Sejam os pontos D(k,−3), E(2, t) e F(−1, 1). Se F divide DE em duas partes
iguais, então os números k e t são tais que a soma deles é
(a) −1.
(b) 0.
(c) 1.
(d) 2.
(EEAR-2005) Questão 19.
Considere as afirmações:
I. As retas (r) x− 3y+ 1 = 0 e (s) −2x+ 6y+ 1 = 0 são paralelas distintas.
II. As retas (t) −2x + y + 5 = 0 e (u) −6x + 3y + 15 = 0 são coincidentes.
III. As retas (v) −5x − 4y − 3 = 0 e (w) −10x + 8y + 6 = 0 são concorrentes.
Das afirmações anteriores, é(são) verdadeira(s)
(a) apenas duas.
(b) apenas uma.
(c) nenhuma.
(d) todas.
(EEAR-2005) Questão 20.
O baricentro do triângulo de vértices A(−5, 6), B(−1,−4) e C(3, 2) é o ponto
(a)
(
7
4
,
3
2
)
(b)
(
−1,
3
2
)
(c)
(
7
4
,
4
3
)
(d)
(
−1,
4
3
)
(EEAR-2005) Questão 21.
O raio da circunferência de equação x2 + y2 − 2x + 10y + 1 = 0 é igual a
(a) 5
(b) 4.
(c) 6.
(d) 7.
(EEAR-2005) Questão 22.
Os pontos A
(
7
2
,
5
2
)
e B
(
−
5
2
,−
7
2
)
definem uma reta de equação ax+by+
c = 0. O valor de
c
b
é
(a) 3.
(b) 2.
(c) 1.
(d) 0.
(EEAR-2006) Questão 23.
Se a circunferência de equação x2+by2+cx+dy+k = 0 tem centro C(1,−3)
e raio
√
3, então b + c + d + k é igual a:
(a) 12
(b) 11
(c) 10
(d) 9
(EEAR-2006) Questão 24.
A distância do ponto P(−3,−2) à bissetriz dos quadrantes ímpares do plano
cartesiano é:
(a)
√
2
(b) 5
√
2
(c)
5
√
2
2
(d)
√
2
2
(EEAR-2006) Questão 25.
A equação da reta que passa pelo ponto E(−1,−3) e que tem 45◦ de incli-
nação é
(a) x − y + 2 = 0.
(b) x − y − 2 = 0.
(c) x + y + 2 = 0.
(d) x + y − 2 = 0.
(EEAR-2006) Questão 26.
Seja um ponto Q, de ordenada −3, eqüidistante dos pontos A(0, 1) e B(2, 3).
O produto das coordenadas do ponto Q é:
(a) 3.
(b) −6.
(c) 12.
(d) −18.
(EEAR-2006) Questão 27.
A equação segmentária da reta que passa pelos pontos A(−2,−7) e B(1,−5)
é
(a)
3y
17
−
2x
17
= 1
(b)
2x
17
−
3y
17
= 1
(c)
3x
17
+
2y
17
= 1
(d)
3y
17
+
2x
17
= 1
(EEAR-2006) Questão 28.
Se uma circunferência tem centro C(1, 0) e raio 1 e outra tem equação x2 +
y2 − 2x − 8y + 8 = 0, então essas circunferências são
(a) secantes.
(b) externas.
(c) tangentes internas.
(d) tangentes externas.
(EEAR-2007) Questão 29.
Se uma reta passa pelo ponto P(3, 4) e tem coeficiente angular 2, então o
coeficiente linear dessa reta é
(a) −4.
(b) −2.
(c) 1.
(d) 3.
(EEAR-2007) Questão 30.
Em um plano cartesiano desenhado no chão, uma formiga, andando em
linha reta, se deslocou do ponto A(2,−1) para o ponto B(−1, 3), e depois para
o ponto C(2, 3). Se cada unidade deste plano representa 1 cm, então a distância
percorrida pela formiga, em cm, foi
(a) 4.
(b) 8.
(c) 10.
(d) 12.
(EEAR-2007) Questão 31.
Se a distância entre uma reta t e o centro da circunferência (λ :) x2 + (y −
2)2 = 16 é
√
17, então t e λ são
(a) secantes.
(b) tangentes.
(c) exteriores.
(d) interiores.
(EEAR-2007) Questão 32.
Complete de maneira correta: “O ponto de interseção das retas y = 2x + 4
e y = −3x − 1 pertence ao quadrante.”
(a) 1o
(b) 2o
(c) 3o
(d) 4o
(EEAR-2007) Questão 33.
Dada a reta (s) 2x − y + 3 = 0, a equação da reta r, perpendicular à s, que
intercepta o eixo y no ponto de ordenada 2, é
(a) 2y + x − 4 = 0.
(b) 2y + x − 2 = 0.
(c) 2x + y + 4 = 0.
(d) 2x + y + 2 = 0.
(EEAR-2007) Questão 34.
Para que a reta de equação y =
√
3x + n seja tangente à circunferência de
equação x2 + y2 = 4, o valor de n deve ser
(a) −3 ou 3.
(b) −2 ou 2.
(c) −3 ou 3.
(d) −4 ou 4.
(EEAR-2007) Questão 35.
Seja M(a, b) = r ∩ s. O valor de
a
b
é
(a) −
20
21
(b) −
21
20
(c)
20
17
(d)
17
20
(EEAR-2008) Questão 36.
Se (r) x + 6y − 2 = 0 e (s) 8x + (t − 1)y − 2 = 0 são duas retas paralelas,
então t é múltiplo de
(a) 3.
(b) 5.
(c) 7.
(d) 9.
(EEAR-2008) Questão 37.
A equação geral da reta que passa por P(0, 3) e Q(1, 5) é representada por
ax + by + c = 0. Assim, o valor de
a
c
é
(a)
2
3
(b)
3
4
(c) −
1
5
(d) −
5
6
(EEAR-2008) Questão 38.
A área do triângulo cujos vértices são os pontos A, B e C é, em unidades
de área,
(a) 4.
(b) 3.
(c) 2.
(d) 1.
(EEAR-2008) Questão 39.
Os pontos A(3, 5), B(4, 3), C(1, 0) e D(0, 4) são vértices de um quadrilátero
ABCD. A área desse quadriláteroé
(a)
15
2
(b)
7
2
(c) 11
(d) 15
(EEAR-2008) Questão 40.
O baricentro de um triângulo, cujos vértices são os pontosM(1, 1), N(3,−4)
e P(−5, 2), tem coordenadas cuja soma é
(a) 2
(b) 1
(c) −
2
3
(d) −
1
3
(EEAR-2009) Questão 41.
Se o ponto Q(2, 1) pertence à circunferência de equação x2+y2+4x−6y+k =
0, então o valor de k é
(a) 6.
(b) 3.
(c) −7.
(d) −10.
(EEAR-2009) Questão 42.
Os pontos M(−2, a), N(a, 5) e P(0, a) estão alinhados. Assim, o quadrante
a que N pertence é o
(a) 1o.
(b) 2o.
(c) 3o.
(d) 4o.
(EEAR-2009) Questão 43.
Considere o segmento que une os pontos (−1,−3) e (5, 5) e uma reta per-
pendicular a ele. O coeficiente angular dessa reta é
(a) −
2
5
(b) −
3
4
(c)
1
2
(d)
2
3
(EEAR-2009) Questão 44.
Num triângulo ABC, o ponto médio do lado AB éM(4, 3). Se as coordenadas
de B são ambas iguais a 2, então as coordenadas de A são
(a) (7, 5).
(b) (6, 4).
(c) (5, 3).
(d) (3, 4).
(EEAR-2009) Questão 45.
Na figura, OABC é um quadrado de lado 3.
Sabendo que o ponto D tem coordenadas (0, 6), o coeficiente angular da
reta r é
(a) −6.
(b) −4.
(c) −2.
(d) −1.
(EEAR-2010) Questão 46.
Se os pontos A(2, 3), B(4, 0) e C(0, k) estão alinhados, então o valor de k é
um número
(a) ímpar.
(b) primo.
(c) múltiplo de 5.
(d) múltiplo de 3.
(EEAR-2010) Questão 47.
Seja G o ponto de encontro das medianas de um triângulo cujos vértices
são A(−1,−3), B(4,−1) e C(3, 7). A abscissa de G é
(a) −1.
(b) 0.
(c) 1.
(d) 2.
(EEAR-2010) Questão 48.
Considere a circunferência de equação (x − 2)2 + (y − 4)2 = 9 e uma reta r
secante a ela. Uma possível distância entre r e o centro da circunferência é
(a) 5, 67.
(b) 4, 63.
(c) 3, 58.
(d) 2, 93.
(EEAR-2010) Questão 49.
As retas y = kx + 2 e y = −x +m interceptam-se no ponto (1, 4). Assim, o
valor de k +m é
(a) 8.
(b) 7.
(c) 6.
(d) 5.
(EEAR-2010) Questão 50.
Sejam os pontos A(−2, 2), B(2,−1) e C(5, k). Se a distância entre A e B é a
mesma que a entre B e C, a soma dos possíveis valores de k é
(a) 1.
(b) 0.
(c) −1.
(d) −2.
(EEAR-2010) Questão 51.
Os vértices de um triângulo são A(2, 5), B(0, 0) e C(4,−2). A altura desse
triângulo, relativa a BC, é
(a) 10
√
5
(b)
12
√
5
5
(c)
√
5
5
(d)
√
5
(EEAR-2011) Questão 52.
Dados os pontos A(k, 2), B(3, 1) e C(1,−2), para que a distância entre A e
B seja igual à distância entre A e C, o valor de k deve ser
(a) −
7
4
(b) −
3
4
(c)
1
5
(d)
3
5
(EEAR-2011) Questão 53.
Dados os pontos B(1, 2) e C(0, 1) e uma circunferência λ de equação x2 +
y2 − 3x − 4 = 0, é correto afirmar que
(a) B é interior a λ e C é exterior a λ.
(b) B é exterior a λ e C é interior a λ.
(c) B e C são exteriores a λ.
(d) B e C são interiores a λ.
(EEAR-2011) Questão 54.
Seja M(4, a) o ponto médio do segmento de extremidades A(3, 1) e B(b, 5).
Assim, o valor de a + b é
(a) 8.
(b) 6.
(c) 4.
(d) 2.
(EEAR-2011) Questão 55.
Sejam as retas r e s de equações y = 2x − 3 e y = −3x + 2. A tangente do
ângulo agudo formado pelas retas r e s é
(a) 0
(b) 1
(c)
√
3
(d)
√
3
3
(EEAR-2011) Questão 56.
Na figura, AB ⊂ r. Se r tem equação x−y−1 = 0, e ABCD é um quadrado,
então o lado de ABCD mede
(a)
√
2
(b)
√
3
(c) 3
√
2
(d) 2
√
3
(EEAR-2011) Questão 57.
A parábola y = x2 intercepta a circunferência de centro (0, 0) e raio
√
2 nos
pontos
(a) (−1, 1) e (2, 4).
(b) (−1, 1) e (1, 1).
(c) (−2, 4) e (2, 4).
(d) (−2, 4) e (1, 1).
(EEAR-2012) Questão 58.
Se as retas r e s são perpendiculares, e a equação de s é 2y + x − 2 = 0, o
coeficiente angular mr da reta r é
(a) −1.
(b) 1.
(c) 2.
(d) 3.
(EEAR-2012) Questão 59.
Se os pontos (1,−a), (2, 3) e (−1,−3) estão alinhados, o valor de a é
(a) −2.
(b) −1.
(c) 3.
(d) 4.
(EEAR-2013) Questão 60.
Para que os pontos A(2, 0), B(a, 1) e C(a+ 1, 2) estejam alinhados, é neces-
sário que o valor de a seja
(a) 5.
(b) 4.
(c) 3.
(d) 2.
(EEAR-2013) Questão 61.
A distância do ponto (3, 1) à reta cuja equação geral é 2x − 2y + 2 = 0 é
(a)
5
√
2
2
(b)
3
√
2
2
(c) 2
√
2
(d)
√
2
(EEAR-2013) Questão 62.
O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(−1, 3) e B(2,−4) é
(a)
−1
2
(b)
−7
3
(c)
3
2
(d)
4
3
(EEAR-2013) Questão 63.
Uma reta paralela à reta r : y = 2x + 3 é a reta de equação
(a) 3y = 2x + 1
(b) 2y = 2x − 4
(c) 2y = 4x − 1
(d) y = x + 3
(EEAR-2013) Questão 64.
Seja um triângulo ABC, tal que A(1, 3), B(9, 9), AC = 8 e BC = 5. Sendo
assim, o perímetro desse triângulo é
(a) 19
(b) 20
(c) 23
(d) 26
(EEAR-2014) Questão 65.
Se a distância entre A(2
√
3, y) e B(4
√
3, 1) é 4, o valor de y pode ser
(a) 1.
(b) 0.
(c) −1.
(d) −2.
(EEAR-2014) Questão 66.
Se C(a, b) e r são, respectivamente, o centro e o raio da circunferência de
equação (x − 2)2 + (y + 1)2 = 16, o valor de a + b + r é
(a) 4.
(b) 5.
(c) 6.
(d) 7.
(EEAR-2014) Questão 67.
Sejam os pontos A(x, 1),M(1, 2) e B(3, y). SeM é ponto médio de AB, então
x · y é igual a
(a) −3.
(b) −1.
(c) 1.
(d) 3.
(EEAR-2015) Questão 68.
SeM(a, b) é o ponto médio do segmento de extremidades A(1,−2) e B(5, 12),
então é correto afirmar que
(a) a e b são pares.
(b) a e b são primos.
(c) a é par e b é primo.
(d) a é primo e b é par.
(EEAR-2015) Questão 69.
A área do triângulo cujos vértices são os pontos A(1, 3), B(2, 1) e C(4, 5) é
(a) 3.
(b) 4.
(c) 5.
(d) 6.
(EEAR-2015) Questão 70.
Seja O o centro da circunferência α : (x− 1)2 +(y− 3)2 = 9. O ponto P(3, 2)
é
(a) interior a α, estando mais próximo de α do que de O.
(b) interior a α, estando mais próximo de O do que de α.
(c) pertencente a α.
(d) exterior a α.
(EEAR-2015) Questão 71.
A reta r, de equação y + 2x − 1 = 0, corta o eixo x em x = a e o eixo y em
y = b. Assim, a + b é igual a
(a) 3.
(b) 2.
(c)
3
2
.
(d)
1
2
.
(EEAR-2015) Questão 72.
Existe uma reta passando pelos pontos (1, 4), (t, 5) e (−1, t). A soma dos
possíveis valores de t é
(a) 3.
(b) 4.
(c) 5.
(d) 6.
(EEAR-2016) Questão 73.
O quadrilátero ABCD tem seus vértices localizados em um plano cartesi-
ano ortogonal, nos pontos A(1, 1), B(2, 3), C(2,−2) e D(0,−1). A área desse
quadrilátero é, em unidades de área, igual a
(a) 6
(b) 5
(c) 4
(d) 3
(EEAR-2016) Questão 74.
Dada a reta DG, conforme ilustração abaixo, e, sabendo que a área do
quadrado ABCD é igual a 9m2 e a área do quadrado BEFG é 25m2, a equação
da reta DG é
(a) −2x − 3y − 9 = 0
(b) 2x − 3y − 9 = 0
(c) −2x − 3y = −9
(d) 2x − 3y = −9
(EEAR-2016) Questão 75.
Analisando o gráfico, temos que a reta forma com os eixos coordenados um
triângulo de 4 unidades de área.
Marque a alternativa correspondente à equação da reta que passa pelos
pontos P e Q.
(a) 2x + y − 4 = 0
(b) −2x + y = 4
(c) 2x + y = −4
(d) 2x − y = 4
(EEAR-2016) Questão 76.
O valor de a para que os pontos A(−1, 3 − a), B(3, a + 1) e C(0,−1) sejam
colineares é um número real
(a) primo.
(b) menor que 1.
(c) positivo e par.
(d) compreendido entre 2 e 5.
(EEAR-2016) Questão 77.
Considere os segmentos de retas AB e CD, onde A(0, 10), B(2, 12), C(−2, 3)
e D(4, 3). O segmento MN, determinado pelos pontos médios dos segmentos
AB e CD é dado pelos pontos M e N, pertencentes respectivamente a AB e a
CD. Assinale a alternativa que corresponde corretamente a esses pontos.
(a) M
(
1
2
, 1
)
e N(−1, 3)
(b) M(−2, 10) e N(−1, 3)
(c) M(1,−2) e N(1, 3)
(d) M(1, 11) e N(1, 3)
(EEAR-2016) Questão 78.
Considere os pontos A(2, 8) e B(8, 0). A distância entre eles é de
(a)
√
14
(b) 3
√
2
(c) 3
√
7
(d) 10
(EEAR-2016) Questão 79.
O triângulo determinado pelos pontos A(−1,−3), B(2, 1) e C(4, 3) tem área
igual a
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 6
(EEAR-2016) Questão 80.
A equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(0, 1) e B(6, 8) é dada
por
(a) y = 7x + 1
(b) y = 6x + 1
(c) y =
7
6
x + 1
(d) y =
6
7
x + 1
(EEAR-2016) Questão 81.
Dada a reta r : 2x − 3y + 5 = 0 e o ponto P(5, 6), a distância de P à reta r é
(a)
√
91
(b) 30
√
13
(c)
3
√
91
91
(d)
3
√
13
13
(EEAR-2016) Questão 82.
A reta s que passa por P(1, 6) e é perpendicular a r : y =
2
3
x + 3 é
(a) y =3
2
x
(b) y = x + 5
(c) y = −
2
3
x +
20
3
(d) y = −
3
2
x +
15
2
(EEAR-2016) Questão 83.
Para que uma circunferência λ : x2 + y2 − mx − 4y − c = 0 tenha centro
C(1, 2) e raio R = 5, os valores de m e de c são respectivamente
(a) −1 e −10
(b) −2 e 25
(c) 1 e −20
(d) 2 e 20
Questões AFA
GEOMETRIA ANALÍTICA (PONTO, RETA E
CIRCUNFERÊNCIA)
(AFA-1998) Questão 84.
Seja P(3, 1) o ponto médio do segmento AB, onde A é intersecção da reta
(t) com a reta (r) 3x−y = 0 e B, a intersecção de (t) com a reta (s) x+5y = 0.
O coeficiente angular de (t) é
(a) negativo.
(b) par positivo.
(c) 5, pois (t) é perpendicular à (s).
(d) nulo, isto é, a reta é do tipo y = k, k = constante.
(AFA-1998) Questão 85.
A reta (s), simétrica de (r) x−y+1 = 0 em relação à reta (t) 2x+y+4 = 0,
(a) passa pela origem.
(b) forma um ângulo de 60◦ com (r).
(c) tem −
1
5
como coeficiente angular.
(d) é paralela à reta de equação 7y − x + 7 = 0.
(AFA-1998) Questão 86.
O lugar geométrico dos pontos do plano cartesiano que, juntamente com os
pontos A(−3, 5) e B(3, 5), determina triângulos com perímetro 2p = 16 cm é
uma
(a) elipse.
(b) parábola.
(c) hipérbole.
(d) circunferência.
(AFA-1998) Questão 87.
A área da intersecção das regiões do plano cartesiano limitada por x2+(y−
4)2 ≤ 25 e y ≤ 4
(x
3
+ 1
)
é
(a)
9π
2
(b)
17π
2
(c)
25π
2
(d)
31π
2
(AFA-1999) Questão 88.
Os pontos A(−5, 2) e B(1, 6) são extremos de um dos diâmetros da circun-
ferência de equação:
(a) x2 + y2 − 2y − 25 = 0
(b) x2 + y2 + 4x − 8y + 7 = 0
(c) x2 + y2 − 4x + 4y − 57 = 0
(d) x2 + y2 + 8x − 14y + 39 = 0
(AFA-1999) Questão 89.
A distância entre o ponto de interseção das retas r : 2x − 3y + 4 = 0 e
s :
{
x = t − 2
y = 2t + 1
, t ∈ R e a reta q : y =
1
2
x +
1
8
é:
(a) 4
√
5
(b)
3
√
7
20
(c)
3
√
5
10
(d)
5
√
7
4
(AFA-1999) Questão 90.
O eixo das ordenadas, a reta r : y = 2x − 1 e s, que é perpendicular a r e
passa pela origem, determinam um polígono cujo valor da área é:
(a)
1
5
(b)
2
5
(c)
√
5
5
(d)
2
√
5
5
(AFA-2000) Questão 91.
No plano cartesiano, a distância da origem à reta que passa pelos pontos
A(0, 4) e B(6, 0) é
(a)
9
√
13
13
(b)
10
√
13
13
(c)
11
√
13
13
(d)
12
√
13
13
(AFA-2000) Questão 92.
Se P(1, y) pertencente ao primeiro quadrante, é o único ponto de intersecção
da curva α : x2 + y2 + 2x− 2y− 6 = 0 com a reta r, então a equação reduzida
de r é
(a) y = −x
(b) y = −x + 4
(c) y = −2x + 7
(d) y = −2x + 1
(AFA-2000) Questão 93.
Os pontos P(a, b) e Q(1,−1) são intersecção das circunferências α e β, com
centros Cα(−2, y) e Cβ(b, a+1), respectivamente. Sendo CαCβ perpendicular
a PQ que, por sua vez, é paralelo ao eixo das ordenadas, a equação geral de
α é
(a) x2 + y2 − 8x − 4y + 2 = 0
(b) x2 + y2 + 4x − 4y − 10 = 0
(c) x2 + y2 − 10x − 2y + 6 = 0
(d) x2 + y2 − 10x − 4y + 4 = 0
(AFA-2001) Questão 94.
A circunferência x2 + y2 = 5 possui duas retas tangentes t1 e t2 que são
paralelas à reta r : y = −2x + 3. As equações gerais das retas t1 e t2, respec-
tivamente, são
(a) 2x + y − 5 = 0 e 2x + y + 5 = 0
(b) 2x + y − 15 = 0 e 2x + y + 15 = 0
(c) 2x + y − 5
√
5 = 0 e 2x + y + 5
√
5 = 0
(d) 2x + y −
4
√
5
5
= 0 e 2x + y +
4
√
5
5
= 0
(AFA-2001) Questão 95.
A reta
x
a
−
y
a
= 1, a > 0, intercepta os eixos coordenados x e y nos pontos
P e Q, respectivamente. A equação geral da circunferência tangente ao eixo x
no ponto P e tangente ao eixo y no ponto Q é
(a) x2 + y2 − 2ax + 2ay + a2 = 0
(b) x2 + y2 + 2ax − 2ay + a2 = 0
(c) x2 + y2 + 2ax + 2ay + a2 = 0
(d) x2 + y2 − 2ax − 2ay + a2 = 0
(AFA-2001) Questão 96.
A reta s : y = −x+ 4 intercepta a circunferência C : x2+y2+ 2x− 4y− 4 = 0
nos pontos P e Q. Se O é o centro de C, então a área do triângulo OPQ, em
unidades de área, é
(a) 4
(b) 5
(c) 4, 5
(d) 5, 5
(AFA-2002) Questão 97.
As equações paramétricas
{
x = sen 2t
y = cos2 t
representam
(a) um segmento de reta de extremos (0, 1) e (1, 0)
(b) uma elipse de eixo maior igual a
1
2
(c) uma hipérbole de eixo real horizontal
(d) uma circunferência de centro (0, 0) e raio igual a 1
(AFA-2002) Questão 98.
As diagonais de um losango estão contidas nas retas (r) (3m−1)x+(m−2)y =
0 e (t) x+ (m+ 1)y+m+ 2 = 0. É correto afirmar que os possíveis valores de
m
(a) têm soma igual a 2
(b) têm produto igual a 3
(c) pertencem ao intervalo ] − 3, 3]
(d) têm sinais opostos.
(AFA-2002) Questão 99.
A equação y = 3 +
√
4 − (x − 1)2 representa:
(a) elipse de eixo maior igual a 2
(b) parábola de vértice V(1, 3) e parâmetro p =
1
2
(c) hipérbole de eixo real vertical e centro C(1, 3)
(d) semicircunferência de centro C(1, 3) e raio r = 2
(AFA-2003) Questão 100.
Dadas as retas de equações
r : y = ax + b
r1 : y = a1x + b1
determine a relação entre a, a1, b e b1 que está correta.
(a) Se a = a1 e b 6= b1 tem-se r//r1
(b) Se a = a1 e b = b1 tem-se r 6= r1
(c) Se a 6= a1 tem-se r = r1
(d) Se a 6= a1 e b 6= b1 tem-se r//r1
(AFA-2003) Questão 101.
Na figura abaixo, as retas r e são paralelas. Se P(x, y) ∈ s, então x + y é
igual a
(a)
√
3
(b) −
√
3
(c) −
√
6
(d)
√
6
(AFA-2003) Questão 102.
A circunferência de equação x2 + y2 − 8x+ 16 = 0 e centro C é tangente ao
eixo das abscissas no ponto A e é tangente ao eixo das ordenadas no ponto B.
A área do triângulo ABC vale:
(a) 4
(b) 8
(c) 12
(d) 16
(AFA-2004) Questão 103.
Os pontos A(0, 0) e B(3, 0) são vértices consecutivos de um paralelogramo
ABCD situado no primeiro quadrante.
O lado AD é perpendicular à reta y = −2x e o ponto D pertence à circun-
ferência de centro na origem e raio
√
5. Então, a diagonal AC mede:
(a)
√
38
(b)
√
37
(c)
√
34
(d)
√
26
(AFA-2005) Questão 104.
Considere duas circunferências de mesmo raio, sendo x2+y2−4x−8y+4 = 0
a equação da primeira e C2(4, 2), o centro da segunda. Se a reta s contém
uma corda comum a ambas circunferências, é FALSO que s
(a) é perpendicuarl à bissetriz dos quadrantes pares.
(b) tem declividade positiva.
(c) admite equação na forma segmentária.
(d) tem coeficiente linear nulo.
(AFA-2005) Questão 105.
Dados os conjuntos A e B, tais que A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 9} e
B = {(x, y) ∈ R2 | x − y ≤ m,m ∈ R}. É correto afirmar que
(a) A e B são disjuntos se m = −3
√
2.
(b) A ∩ B 6= ∅ se m ≥ 3
√
2.
(c) A é subconjunto de B se |m| < 3
√
2.
(d) A e B nunca terão apenas um ponto comum.
(AFA-2006) Questão 106.
Considerando no plano cartesiano ortogonal as retas r, s e t, tais que
(r)
{
x = 2v + 3
y = 3v − 2
, (s)mx + y +m = 0 e (t)x = 0, analise as proposições abaixo,
classificando-as em (V) verdadeira(s) ou (F) falsa(s).
( ) ∃m ∈ R | r ∈ s
( ) ∃m ∈ R | s ⊥ s
( ) se m = 0, as retas r, s e t determinam um triângulo retângulo.
( ) As retas r e s poderão ser retas suportes de lados opostos de um parale-
logramo se m = −1, 5
A seqüência correta é
(a) F - V - F - F
(b) V - V - V - F
(c) V - F - F - V
(d) F - V - V - V
(AFA-2006) Questão 107.
Considere no sistema cartesiano ortogonal o triângulo de vértices A(0, 3),
B(0,−2) e C(3, 0). Neste triângulo ABC estão inscritos diversos retângulos
com base no eixo das ordenadas. Em relação ao retângulo de maior área, é
INCORRETO afirmar que o mesmo possui
(a) altura e base proporcionais a 3 e 5
(b) perímetro representado por um número inteiro.
(c) área maior que 4
(d) área correspondente a 50% da área do triângulo ABC.
(AFA-2006) Questão 108.
Um cursinho tem representado na figura abaixo o seu logotipo que é contor-
nado por um triângulo equilátero ABC, cujo baricentro é o ponto P
(
0,
√
3
3
)
.
No interior desse triângulo há o quadrado DEFG inscrito na circunferência λ1
e, ao mesmo tempo, circunscrito à circunferência λ2. Considerando os dados
acima, classifique as alternativas abaixo em (V) verdadeira(s) ou (F) falsa(s).
( ) A equação geral de λ1 é x2 + y2 −
2
√
3
3
y = 0
( ) A coroa circular sombreada na figura pode ser representada pelo conjunto
de pontos Q(x, y), tais que
{
x2 +
(
y −
√
3
3
)
≥
1
3
x2 +
(
y −
√
3
3
)
≤
1
6
( ) A reta suporte que contém o segmento BC podeser representada por
y = −
√
3x +
√
3
A seqüência correta é
(a) V - V - V
(b) V - F - V
(c) F - V - V
(d) V - V - F
(AFA-2007) Questão 109.
No plano cartesiano, a figura abaixo representa duas circunferências con-
cêntricas λ1 e λ2, cujo centro é o ponto C.
Sabe-se que λ1 é contorno de um circulo representado pela equação (x −
1)2 + (y + 2)2 ≤ 4 e que AB, que mede 8 cm, é corda da circunferência maior
λ2.
Considerando também que AB é tangente a λ1, classifique em (V) verdadeira
e (F) falsa, cada proposição a seguir.
( ) λ1 é tangente ao eixo das abscissas.
( ) A soma das coordenadas de A e B é um número maior que 5
( ) A região sombreada é representada por
{
x ≥ 3
(x − 1)2 + (y + 2)2 ≤ 20
( ) A reta (t)

x = 1 − t
y =
t
2
é perpendicular à reta que passa pelos pontos A e
C
A seqüência correta é
(a) V - F - V - V
(b) V - V - F - F
(c) V - F - F - V
(d) F - V - V - F
(AFA-2007) Questão 110.
Seja λ uma circunferência inscrita em um triângulo retângulo AOB cujos
catetos estão sobre os eixos cartesianos e medem 3 cm e 4 cm, conforme a
figura abaixo.
É INCORRETO afirmar que
(a) o ponto de λ mais próximo da origem tem a soma das coordenadas igual
a 2 −
√
2
(b) a área da região sombreada é menor que 3 cm2
(c) o conjunto de pontos do plano eqüidistantes de A e B é representado por
8x − 6y − 7 = 0
(d) a região sombreada é definida por

y ≥ 0
x ≥ 0
3x + 4y ≤ 1
(x − 1)2 + (y − 1)2 ≥ 1
(AFA-2008) Questão 111.
A circunferência (λ) x2 + y2 − 2x − 2y + k = 0 passa pelo ponto A(0, 1).
Sabendo-se que o ponto P de λ mais próximo da origem coincide com o bari-
centro do triânguloMNQ, ondeM(0, k), N(2k, 0) eQ(xQ, yQ) é correto afirmar
que a área do triângulo MNQ é um número do intervalo
(a)
[
1,
3
2
[
(b)
[
3
2
, 2
[
(c)
[
2,
5
2
[
(d)
[
5
2
, 3
[
(AFA-2009) Questão 112.
Sobre as retas (r) (1 − k)x + 10y + 3k = 0 e (s)
{
x = 2 − t
y = −1 + (1 − k)t
onde
k, t ∈ R, pode-se afirmar que
(a) poderão ser paralelas coincidentes para algum valor de k
(b) se forem paralelas, não terão equação na forma reduzida.
(c) sempre poderão ser representadas na forma segmentaria.
(d) nunca serão perpendiculares entre si.
(AFA-2009) Questão 113.
Os vértices de um triangulo ABC são os centros das circunferências:
(λ1) x
2 + y2 + 2x − 4y − 1 = 0
(λ2) 4x
2 + 4y2 + 12x − 8y − 15 = 0
(λ3) (x − 7)
2 + (y + 3)2 = 8
O tetraedro cuja base é o triangulo ABC e cuja altura, em metros, é igual à
média aritmética dos quadrados dos raios das circunferências acima, também
em metros, possui volume, em m3, igual a
(a)
21
2
(b)
49
4
(c)
49
2
(d)
21
4
(AFA-2010) Questão 114.
Sejam z = x + yi (x ∈ R∗, y ∈ R∗ e i a unidade imaginária), z o conjugado
de z e λ o lugar geométrico dos pontos P(x, y) do plano cartesiano para os
quais z · z = 2x + 3.
Se A e B são os pontos de interseção de λ com o eixo
←→
Oy e se A ′ é o ponto
de interseção de λ com o eixo
←→
Ox que possui a menor abscissa, então a área
do triângulo A ′AB é, em unidades de área, igual a
(a) 2
√
3
(b) 2
√
2
(c)
√
3
(d)
√
2
(AFA-2010) Questão 115.
Considere as circunferências dadas pela equação x2 + y2 =
1
b2
(b ∈ Q∗). A
circunferência que circunscreve um quadrado de área igual a 1250 é tal que b
pertence ao intervalo
(a)
]
0,
1
30
[
(b)
]
1
30
,
1
28
[
(c)
]
1
28
,
1
26
[
(d)
]
1
26
,
1
24
[
(AFA-2010) Questão 116.
Considere a reta r simétrica da reta (s) 2x+ y− 2 = 0 em relação à reta (t)
x − 3y − 2 = 0.
Com base nisso, marque a alternativa verdadeira:
(a) Se −
10
3
< y < 0 então r ∩ t = ∅
(b) ∃P(x, y) ∈ r tal que x < 0 e y > 0
(c) Na reta r, se x >
8
7
então y < −
2
7
(d) 6 ∃P(x, y) ∈ r tal que x > 0 e y < −
10
3
(AFA-2011) Questão 117.
Um quadrado de 9 cm2 de área tem vértices consecutivos sobre a bissetriz
dos quadrantes pares do plano cartesiano. Se os demais vértices estão sobre a
reta r, que não possui pontos do 3o quadrante, é INCORRETO afirmar que
a reta r
(a) pode ser escrita na forma segmentária.
(b) possui o ponto P(−
√
2, 2
√
2).
(c) tem coeficiente linear igual a 3
√
2.
(d) é perpendicular à reta de equação 2x − 2y = 0.
(AFA-2012) Questão 118.
Considere no plano cartesiano as retas:
r :

x = 2t
y = 3t +
1
2
e s : (k + 1)x − y −
k
2
= 0, onde k ∈ R
Sobre as retas r e s é correto afirmar que NUNCA serão
(a) concorrentes perpendiculares.
(b) concorrentes oblíquas.
(c) paralelas distintas.
(d) paralelas coincidentes.
(AFA-2012) Questão 119.
No plano cartesiano, a circunferência λ da equação x2+y2−6x+10y+k = 0,
com k ∈ R, determina no eixo das ordenadas uma corda de comprimento ` = 8.
Dessa forma é correto afirmar que
(a) λ é tangente ao eixo
←→
Ox.
(b) o raio de λ é igual a k.
(c) P(k,−1) ∈ λ.
(d) λ é secante à reta x = k.
(AFA-2013) Questão 120.
Sejam a e b dois números reais e positivos. As retas r e s se interceptam
no ponto (a, b). Se
(a
2
, 0
)
∈ r e
(
0,
b
2
)
∈ s, então uma equação para a reta
t, que passa por (0, 0) e tem a tangente do ângulo agudo formado entre r e s
como coeficiente angular, é
(a) 3abx − 2(a2 + b2)y = 0
(b) 3bx − b(a2 + b2)y = 0
(c) 3ax − a(a2 + b2)y = 0
(d) 3abx + (2a2 − b2)y = 0
(AFA-2013) Questão 121.
Sobre a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse de
equação x2 + 9y2 − 8x − 54y + 88 = 0 é correto afirmar que
(a) tem raio igual a 1
(b) é secante ao eixo das ordenadas
(c) tangencia o eixo das abscissas
(d) intercepta a reta da equação 4x − y = 0
(AFA-2014) Questão 122.
A circunferência λ é tangente à reta r : y =
3
4
x e também é tangente ao
eixo das abscissas no ponto de abscissa 6. Dentre as equações abaixo, a que
representa uma parábola que contém a origem do plano cartesiano e o centro
de λ é
(a) 12(y − x) + x2 = 0
(b) 3y2 − 12y + 2x = 0
(c) 2y2 − 3x = 0
(d) 12y − x2 = 0
(AFA-2015) Questão 123.
Considerando a circunferência de equação λ : x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0, é
correto afirmar que
(a) λ é concêntrica com α : (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1
(b) o ponto O(0, 0) é exterior a λ
(c) a reta r : x − y + 3 = 0 é tangente a λ
(d) λ é simétrica da circunferência β : (x − 1)2 + (y + 2)2 = 9, em relação ao
ponto O(0, 0)
(AFA-2015) Questão 124.
Considere no plano cartesiano um triângulo equilátero ABC em que:
• os vértices B, de abscissa positiva, e C, de abscissa negativa, estão sobre
o eixo
−→
OX;
• possui baricentro no ponto G
(
0,
√
3
3
)
.
Considere também, nesse mesmo plano cartesiano, a circunferência λ1 ins-
crita e a circunferência λ2 circunscrita ao triângulo ABC.
Analise as proposições abaixo e escreva (V) para verdadeira e (F) para falsa.
( ) A reta r, suporte do lado AB, passa pelo ponto (−1, b), em que b é o
dobro do oposto do coeficiente angular de r;
( ) O círculo delimitado por λ2 contém o ponto
(
−
1
2
,
√
3
)
;
( ) O ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares de abscissa
√
3
3
pertence a
λ1.
A sequência correta é
(a) V-F-V
(b) F-F-V
(c) V-F-F
(d) F-V-F
(AFA-2016) Questão 125.
Considere os pontos A(4,−2), B(2, 0) e todos os pontos P(x, y), sendo x e
y números reais, tais que os segmentos PA e PB são catetos de um mesmo
triângulo retângulo.
É correto afirmar que, no plano cartesiano, os pontos P(x, y) são tais que
(a) são equidistantes de C(2,−1)
(b) o maior valor de x é 3 +
√
2
(c) o menor valor de y é −3
(d) x pode ser nulo.
(AFA-2016) Questão 126.
Considere a região E do plano cartesiano dada por
y
3
+
x
3
≤ 1
y + x ≥ 1
x ≥ 0
y ≥ 0
O volume do sólido gerado, se E efetuar uma rotação de 270◦ em torno do
eixo
←→
Ox em unidades de volume, é igual a
(a)
26π
3
(b) 26π
(c)
13π
2
(d)
13π
3
(AFA-2017) Questão 127.
Seja λ : 3x2 + 3y2 − 6x − 12y + k = 0, uma circunferência que no plano
cartesiano tem intersecção vazia com os eixos coordenados. Considerando
k ∈ R, é correto afirmar que
(a) P
(
k
3
,
k
3
)
é interior a λ
(b) existem apenas dois valores inteiros para k
(c) a reta r : x = k intersecta λ
(d) se c é o comprimento de λ, então c > 2π unidades de comprimento.
Questões UERJ (EQ)
GEOMETRIAANALÍTICA
(UERJ-2007) Questão 128.
As trajetórias A e B de duas partículas lançadas em um plano vertical xOy
estão representadas abaixo.
Suas equações são, respectivamente, y = −
1
2
x2 + 3x e y = −
1
2
x2 + x, nas
quais x e y estão em uma mesma unidade u. Essas partículas atingem, em
um mesmo instante t, o ponto mais alto de suas trajetórias. A distância entre
as partículas, nesse instante t, na mesma unidade u, equivale a:
(a)
√
6
(b)
√
8
(c)
√
10
(d)
√
20
(UERJ-2008) Questão 129.
Observe o esquema abaixo, no qual três números, indicados por a, b e c,
com |a| = 2|b| = 2|c|, foram representados em um eixo de números reais.
Considere um número real x e a soma S dos quadrados das distâncias do
ponto que representa x aos pontos correspondentes a a, b e c, isto é:
S = (x − a)2 + (x − b)2 + (x − c)2
A melhor representação de x correspondente ao menor valor possível de S
está indicada em:
(UERJ-2014) Questão 130.
O gráfico abaixo mostra o segmento de reta AB, sobre o qual um ponto
C(p, q) se desloca de A até B(3, 0).
O produto das distâncias do ponto C aos eixos coordenados é variável e tem
valor máximo igual a 4, 5. O comprimento do segmento AB corresponde a:
(a) 5
(b) 6
(c) 3
√
5
(d) 6
√
2
(UERJ-2017) Questão 131.
Considere o gráfico a seguir, em que a área S é limitada pelos eixos coorde-
nados, pela reta r, que passa por A(0, 4) e B(2, 0), e pela reta perpendicular
ao eixo x no ponto P(xo, 0), sendo 0 ≤ xo ≤ 2.
Para que a área S seja a metade da área do triângulo de vértices C(0, 0), A
e B, o valor de xo deve ser igual a:
(a) 2 −
√
2
(b) 3 −
√
2
(c) 4 − 2
√
2
(d) 5 − 2
√
2
Questões UERJ (ED)
GEOMETRIA ANALÍTICA
(UERJ-1997) Questão 132.
Observe as regiões hachuradas do plano cartesiano, que correspondem aos
pontos que satisfazem o sistema de inequações abaixo:

y ≤ x + 1
y ≥ −x
x2 + y2 ≤ 4
x · y ≤ 0
Calcule:
a) o ângulo formado entre as retas r e s.
b) a área total das regiões hachuradas.
(UERJ-1998) Questão 133.
A figura do R3 abaixo representa uma pirâmide de base quadrada ABCD
em que as coordenadas são A(0, 0, 0), B(4, 2, 4) e C(0, 6, 6), e o vértice V é
eqüidistante dos demais.
A partir da análise dos dados fornecidos, determine:
a) as coordenadas do vértice D e a medida de cada aresta de base;
b) as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando que o volume da
pirâmide é igual a 72.
(UERJ-1998) Questão 134.
Considere os pontos A, B e C nas condições mencionadas na tirinha.
a) Se A, B e C pertencem a uma mesma reta, calcule a distância entre A e
C quando:
• A está situado entre B e C;
• A está situado fora do segmento BC.
b) Se A, B e C estiverem no plano cartesiano, sendo A um ponto móvel,
B um ponto do semi-eixo positivo das abscissas x e C a origem (0, 0),
determine a equação da linha descrita pelo ponto A e identifique a curva
correspondente.
(UERJ-1999) Questão 135.
Para calcular
3
2
−
12
5
, Paulo subtraiu os numeradores e dividiu o resultado
por 10 obtendo:
3
2
−
12
5
=
3 − 12
10
= −0, 9
a) Determine de forma correta o valor da expressão
3
2
−
12
5
.
b) Considerando que Paulo tenha calculado com base na fórmula
x
2
−
y
5
=
x − y
10
, onde x e y são reais, identifique o lugar geométrico dos pontos
(x, y) do plano cartesiano que tornam essa igualdade verdadeira. Esboce,
também, o gráfico cartesiano.
(UERJ-1999) Questão 136.
Observe a figura 1 que representa um leitor de áudio na posição de início de
leitura. Os suportes circulares A e B têm 1 cm de raio e uma fita de 90m está
totalmente enrolada em A formando uma coroa circular de espessura 1, 5 cm.
A leitura da fita é feita pela peça C a uma velocidade constante. À medida
que a fita passa, nos suportes A e B, formam-se duas coroas circulares com
raios maiores x e y, respectivamente, como sugere a figura abaixo.
a) Esboce o gráfico que mostra o comprimento da fita enrolada em A, em
função do tempo de leitura.
b) Calcule y em função de x.
(UERJ-2001) Questão 137.
Considere a função f, definida para todo x real positivo, e seu respectivo
gráfico.
Se a e b são dois números positivos (a < b), a área do retângulo de vértices
(a, 0), (b, 0) e (b, f(b)) é igual a 0, 2. Calcule a área do retângulo de vértices
(3a, 0), (3b, 0) e (3b, f(3b)).
(UERJ-2001) Questão 138.
Uma porta colonial é formada por um retângulo de 100 cm× 200 cm e uma
semi-elipse. Observe as figuras:
Na semi-elipse o eixo maior mede 100 cm e o semi-eixo menor, 30 cm. Cal-
cule a medida da corda PQ, paralela ao eixo maior, que representa a largura
da porta a 224 cm de altura.
(UERJ-2001) Questão 139.
Observe a figura abaixo.
Ela representa um cubo de aresta 2, seccionado pelo plano ABCD; B =
(2, 0, t) e t varia no intervalo [0, 2]. Determine a menor área do quadrilátero
ABCD.
Considere a equação abaixo, que representa uma superfície
esférica, para responder às questões de números 140 e 141
(x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 9
(UERJ-2001) Questão 140.
Determine a equação da circunferência obtida pela interseção da superfície
acima e o plano coordenado XOY.
(UERJ-2001) Questão 141.
Determine o total de pontos da superfície esférica acima com todas as co-
ordenadas inteiras.
(UERJ-2002) Questão 142.
Duas pessoas A e B decidem se encontrar em um deteminado local, no
período de tempo entre 0h e 1h. Para cada par ordenado (x0, y0), pertencente
à região hachurada do gráfico abaixo, x0 e y0 representam, respectivamente,
o instante de chegada de A e B ao local de encontro.
Determine as coordenadas dos pontos da região hachurada, os quais indi-
cam:
a) a chegada de ambas as pessoas ao local de encontro exatamente aos 40
minutos;
b) que a pessoa B tenha chegado ao local de encontro aos 20 minutos e
esperado por A durante 10 minutos.
(UERJ-2002) Questão 143.
No sistema de coordenadas cartesianas abaixo, está representado o triângulo
ABC.
Em relação a esse triângulo,
a) demonstre que ele é retângulo;
b) calcule a sua área.
(UERJ-2002) Questão 144.
Um dado triângulo é formado pelas retas r, s e t, abaixo descritas.
r : 2x − 3y + 21 = 0
s : 3x − 2y − 6 = 0
t : 2x + 3y + 9 = 0
Calcule, em relação a esse triângulo:
a) sua área;
b) a equação da circunferência circunscrita a ele.
(UERJ-2003) Questão 145.
Uma praça, em forma de círculo de raio 12m, tem sua área aumentada
e ganha forma triangular. Três postes de luz, localizados nos pontos A, B
e C, são os únicos pontos comuns ao contorno antigo e ao contorno novo,
conforme mostra o gráfico abaixo. Nele, O é o centro do círculo e P tem,
como coordenadas, (0, 20).
Calcule, em m2, a área da praça com sua nova forma.
(UERJ-2004) Questão 146.
Num plano cartesiano encontramos a parábola y = 2x2 e as retas paralelas
r : y = 3x e s : y = 3x + 2. A reta r intercepta a parábola em A e B; a reta s,
em C e D. Unindo estes pontos, formamos o trapézio convexo ABCD. Existe,
ainda, uma reta t, paralela às retas r e s, que tangencia a parábola no ponto
P. Determine:
a) a equação da reta t e as coordenadas do ponto P;
b) a área do trapézio convexo ABCD.
(UERJ-2004) Questão 147.
Observe o mapa da região Sudeste.
Considere o Trópico de Capricórnio como o eixo das abscissas e o meridi-
ano de 45◦ como o eixo das ordenadas. Neste sistema cartesiano, as coor-
denadas das cidades de São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte e Vitória
são, respectivamente,
(
−
3
2
, 0
)
,
(
2,
1
2
)
,
(
3
2
, 4
)
e
(
5,
7
2
)
, todas medidas em
centímetros.
a) Calcule, em quilômetros quadrados, a área do quadrilátero cujos vértices
estão representados por estas quatro cidades, supondo que a escala do
mapa é de 1 : 10.000.000.
b) Determine as coordenadas de uma cidade que fique equidistante das ci-
dades de São Paulo, Rio de Janeiro e Belo Horizonte.
(UERJ-2005) Questão 148.
Os planos secantes α e β acima podem representar em R3 as equações{
2x − y − 4z = 1
x + y + z = 4
A interseção desses planos é uma reta r que passa por um ponto P(x, y, z).
Determine:
a) as coordenadas de P, considerando z = 0;
b) um vetor unitário paralelo à reta r.
(UERJ-2006) Questão149.
A tabela a seguir apresenta os preços unitários de três tipos de frutas e os
números de unidades vendidas de cada uma delas em um dia de feira.
A arrecadação obtida com a venda desses produtos pode ser calculada pelo
produto escalar de #”p = (1, 2, 3) por #”u = (x, y, z).
Determine:
a) o valor arrecadado, em reais, coma venda de dez mamões, quinze abacaxis
e vinte melões;
b) o cosseno do ângulo formado pelos vetores #”p e #”u , sabendo que x, y e z
são respectivamente proporcionais a 3, 2 e 1.
(UERJ-2006) Questão 150.
A feira de Caruaru
A feira de Caruaru
Faz gosto da gente ver
De tudo que há no mundo
Nela tem pra vender
A cidade a que se refere Luiz Gonzaga em sua canção está indicada no mapa
abaixo como a origem de um sistema de eixos ortogonais xOy.
Considere que a região de influência da feira de Caruaru seja representada,
nesse sistema de eixos, pela inequação x2 + y2 ≤ 2, 25, com x e y medidos em
centímetros. Em relação à região da feira,
a) determine sua área, em km2, supondo que a escala do mapa seja 1 :
10.000.000;
b) demonstre que uma cidade situada nas coordenadas
(
11
10
,
11
10
)
do sistema
de eixos considerado não está nessa região.
(UERJ-2008) Questão 151.
Uma partícula parte do ponto A(2, 0), movimentando-se para cima (C) ou
para a direita (D), com velocidade de uma unidade de comprimento por se-
gundo no plano cartesiano. O gráfico abaixo exemplifica uma trajetória dessa
partícula, durante 11 segundos, que pode ser descrita pela sequência de mo-
vimentos CDCDCCDDDCC.
Admita que a partícula faça outra trajetória composta somente pela sequên-
cia de movimentos CDD, que se repete durante 5 minutos, partindo de A. De-
termine a equação da reta que passa pela origem O(0, 0) e pelo último ponto
dessa nova trajetória.
(UERJ-2009) Questão 152.
Em uma folha de fórmica retangular ABCD, com 15dm de comprimento
AB por 10dm de largura AD, um marceneiro traça dois segmentos de reta,
AE e BD. No ponto F, onde o marceneiro pretende fixar um prego, ocorre a
interseção desses segmentos. A figura abaixo representa a folha de fórmica no
primeiro quadrante de um sistema de eixos coordenados.
Considerando a medida do segmento EC igual a 5dm, determine as coorde-
nadas do ponto F.
(UERJ-2008) Questão 153.
Em cada ponto (x, y) do plano cartesiano, o valor de T é definido pela
seguinte equação:
T =
200
x2 + y2 − 4x + 8
Sabe-se que T assume seu valor máximo, 50, no ponto (2, 0). Calcule a área
da região que corresponde ao conjunto dos pontos do plano cartesiano para
os quais T ≥ 20.
(UERJ-2012) Questão 154.
A figura abaixo representa a superfície plana de uma mesa retangular BFGH
na qual estão apoiados os seguintes instrumentos para desenho geométrico,
ambos de espessuras desprezíveis:
• um transferidor com a forma de um semicírculo de centro O e diâmetro
AB;
• um esquadro CDE, com a forma de um triângulo retângulo isósceles.
Considere as informações abaixo:
• ED está contido em BF;
• OA está contido em BH;
• AB = 10 cm;
• BD = 13 cm.
Calcule a medida, em centímetros, do menor segmento que liga a borda do
transferidor à borda do esquadro.
(UERJ-2013) Questão 155.
Um objeto de dimensões desprezíveis, preso por um fio inextensível, gira
no sentido anti-horário em torno de um ponto O. Esse objeto percorre a
trajetória T , cuja equação é x2 + y2 = 25. Observe a figura:
Admita que o fio arrebente no instante em que o objeto se encontra no ponto
P(4, 3). A partir desse instante, o objeto segue na direção da reta tangente a
T no ponto P. Determine a equação dessa reta.
(UERJ-2014) Questão 156.
Um disco metálico de centro O e diâmetro AB = 4dm, utilizado na fabri-
cação de determinada peça, é representado pelo seguinte esquema:
Calcule a distância entre os pontos J e K.
(UERJ-2014) Questão 157.
No gráfico acima, estão indicados os pontos A(1, 0), B(2, 1) e C(0, 1), que
são fixos, e os pontos P e Q, que se movem simultaneamente. O ponto P se
desloca no segmento de reta de C até A, enquanto o ponto Q se desloca no
segmento de A até B. Nesses deslocamentos, a cada instante, a abscissa de P
é igual à ordenada de Q. Determine a medida da maior área que o triângulo
PAQ pode assumir.
(UERJ-2015) Questão 158.
Uma ferrovia foi planejada para conter um trecho retilíneo cujos pontos
são equidistantes dos centros A e B de dois municípios. Em seu projeto de
construção, utilizou-se o plano cartesiano, com coordenadas em quilômetros,
em que A = (1, 2) e B = (7, 14). Observe o gráfico:
Determine, utilizando esse sistema referencial, a equação da reta suporte
desse trecho retilíneo da ferrovia.
(UERJ-2016) Questão 159.
Na região conhecida como Triângulo das Bermudas, localizada no oceano
Atlântico, é possível formar um triângulo com um vértice sobre a cidade porto-
riquenha de San Juan, outro sobre a cidade estadunidense de Miami e o
terceiro sobre as ilhas Bermudas.
A figura abaixo mostra um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais,
com os vértices do triângulo devidamente representados. A escala utilizada é
1 : 17.000.000, e cada unidade nos eixos cartesianos equivale ao comprimento
de 1 cm.
Calcule, em km2, a área do Triângulo das Bermudas, conforme a represen-
tação plana da figura.
(UERJ-2017) Questão 160.
Considere a circunferência C de equação x2 + y2 − 8x+ 8 = 0, representada
graficamente a seguir.
Determine as equações das retas r e s que passam pela origem e são tan-
gentes à circunferência.
Questões UFRJ
GEOMETRIA ANALÍTICA
(UFRJ-1997) Questão 161.
Sejam M1 = (1, 2), M2 = (3, 4) e M3 = (1,−1) os pontos médios dos lados
de um triângulo.
Determine as coordenadas dos vértices desse triângulo.
(UFRJ-1997) Questão 162.
As coordenadas dos vértices do triângulo isósceles T1 são dadas por A =
(−1, 1), B = (9, 1) e C = (4, 6). As coordenadas dos vertices do triângulo
isósceles T2 são dadas por D = (4, 2), E = (2, 8) e F = (6, 8).
Determine a área do quadrilátero T1 ∩ T2.
(UFRJ-1997) Questão 163.
Três cidades A, B e C estão representadas no mapa a seguir. Escolhendo
uma cidade como origem, é possivel localizar as outras duas usando um sis-
tema de coordenadas (d, q) em que d é a distância, em quilômetros, entre a
cidade considerada e a origem e q é o ângulo, em graus, que a semi-reta que
une a origem à cidade considerada faz com o vetor norte N; q é medido a
partir do vetor N no sentido horário.
Usando A como origem, as coordenadas de B nesse sistema são (50, 120) e
as coordenadas de C são (120, 210).
a) Determine a distância entre as cidades B e C.
b) Determine as coordenadas da cidade B, se escolhermos C como origem.
(UFRJ-1999) Questão 164.
Considere os pontos P1(0, 0), P2(1, 1) e P3(2, 6).
a) Determine a equação da parábola que passa por P1, P2 e P3 e tem eixo
de simetria paralelo ao eixo Y das ordenadas;
b) Determine outra parábola que passe pelos pontos P1, P2 e P3.
(UFRJ-1999) Questão 165.
Sejam A(1, 0) e B(5, 4
√
3) dois vértices de um triângulo equilátero ABC. O
vértice C está no 2o quadrante. Determine suas coordenadas.
(UFRJ-2000) Questão 166.
Existe um único b ∈ R para o qual a reta de equação y = 2x + b divide o
triângulo de vértices A(0, 0), B(1, 0) e C(0, 1) em dois polígonos de áreas iguais.
Determine b.
(UFRJ-2000) Questão 167.
Sejam O = (0, 0), P = (5, 2) e P ′ = (2, 5).
Girando em torno de O, no sentido trigonométrico (anti-horário), o seg-
mento OP de um certo ângulo θ, o ponto P transforma-se no ponto P ′.
Determine cos θ.
(UFRJ-2001) Questão 168.
Determine a região R definida por R = R1 ∩ R2 ∩ R3, sendo:
R1 = {(x, y) ∈ R2; 4x + 5y − 16 ≤ 0 }
R2 = {(x, y) ∈ R2; 4x − 3y ≥ 0}
R3 = {(x, y) ∈ R2; y ≥ 0}
(UFRJ-2001) Questão 169.
Considere um cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H (como mostra a figura)
e os vetores #”u, #”v , #”w dados por #”u =
# ”
AB, #”v =
# ”
AE, #”w =
# ”
AD.
Sejam P o ponto médio do segmento AG e Q o ponto do segmento DB tal
que
# ”
QB = 2
# ”
DQ. Determine os números a, b e c tais que
# ”
PQ = a #”u + b #”v + c #”w
(UFRJ-2001) Questão 170.
Sejam F1 e F2 os pontos do planocartesiano de coordenadas F1 = (−
√
3, 0) e
F2 = (
√
3, 0). Determine as coordenadas dos pontos de r de equação x− y = 1
cujas somas das distâncias a F1 e F2 sejam iguais a 4 (isto é: determine as
coordenadas dos pontos P sobre a reta r que satisfazem PF1 + PF2 = 4).
(UFRJ-2002) Questão 171.
Os pontos A, B e C estão sobre uma reta r e B está entre A e C. Sendo O
um ponto fora de r, considere os vetores #”u =
# ”
OA, #”v =
# ”
OC e #”w =
# ”
OB.
Sabendo que BC = 4AB, determine x e y de forma que #”w = x #”u + y #”v .
(UFRJ-2002) Questão 172.
Uma elipse cuja distância focal mede 1 cm está inscrita em um retângulo
(de lados paralelos aos eixos principais da elipse) de área igual a
√
2 cm2.
Determine as medidas dos lados do retângulo.
(UFRJ-2003) Questão 173.
Considere um tabuleiro quadrado, semelhante aos usados nos jogos de xa-
drez e de damas (na Figura 1, vemos um tabuleiro de xadrez). Nosso tabuleiro,
porém, tem 1000×1000 = 106 casas, no lugar das 8×8 = 64 casas do tabuleiro
de xadrez convencional.
Cada casa é designada por um par ordenado (m,n) de números naturais,
ambos variando de 1 a 1000 (na Figura 2, está assinalada a casa (7, 6)).
Uma peça pode se mover no tabuleiro, a cada jogada, para qualquer das
casas adjacentes à que esteja ocupando (ver Figura 3). A distância entre duas
casas é definida como o menor número de jogadas para que uma peça passe
de uma casa até a outra.
Considere, em nosso tabuleiro, as casas A = (1, 1), B = (998, 999) e C =
(1, 1000). Qual das duas distâncias (segundo a definição acima) é menor: a
distância entre A e B ou a entre A e C? Em outras palavras: partindo de A,
a qual, dentre as casas B e C, se pode chegar em menos jogadas? Por quê?
(UFRJ-2004) Questão 174.
Determine o comprimento do segmento cujas extremidades são os pontos
de interseção da reta y = x + 1 com a parábola y = x2.
(UFRJ-2005) Questão 175.
A reta y = x + k , k fixo, intercepta a circunferência x2 + y2 = 1 em dois
pontos distintos, P1 e P2, como mostra a figura a seguir.
a) Determine os possíveis valores de k.
b) Determine o comprimento do segmento P1P2 em função de k.
(UFRJ-2006) Questão 176.
Considere uma escada com infinitos degraus, de alturas a1, a2, a3, . . .,
definidas conforme a figura a seguir.
Calcule a altura da escada em função de a, b e c.
(UFRJ-2007) Questão 177.
Sejam a um número real positivo e S a região do plano cartesiano dada por:
S = {(x, y) ∈ R2 | x ≤ a, y ≥ −a, y ≤ x}
Considere, como de costume, que o quadrado
U = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
tem área de medida 1.
Determine o valor de a para que a medida da área da região S seja igual a
18.
(UFRJ-2009) Questão 178.
Os pontos (−6, 2), (3,−1), e (−5,−5) pertencem a uma circunferência.
Determine o raio dessa circunferência.
(UFRJ-2010) Questão 179.
Determine a equação da parábola que passa pelo ponto P1 = (0, a) e é
tangente ao eixo x no ponto P2 = (a, 0), sabendo que a distância de P1 a P2 é
igual a 4.
(UFRJ-2011) Questão 180.
Um ponto P desloca-se sobre uma reta numerada, e sua posição (em metros)
em relação à origem é dada, em função do tempo t (em segundos), por P(t) =
2(1 − t) + 8t.
a) Determine a posição do ponto P no instante inicial (t = 0).
b) Determine a medida do segmento de reta correspondente ao conjunto dos
pontos obtidos pela variação de t no intervalo
[
0,
3
2
]
.
GABARITO
Questão 1 : B.
Questão 2 : C.
Questão 3 : A.
Questão 4 : A.
Questão 5 : D.
Questão 6 : D.
Questão 7 : D.
Questão 8 : C.
Questão 9 : A.
Questão 10 : A.
Questão 11 : B.
Questão 12 : A.
Questão 13 : D.
Questão 14 : C.
Questão 15 : D.
Questão 16 : D.
Questão 17 : A.
Questão 18 : C.
Questão 19 : D.
Questão 20 : D.
Questão 21 : A.
Questão 22 : C.
Questão 23 : A.
Questão 24 : D.
Questão 25 : B.
Questão 26 : D.
Questão 27 : B.
Questão 28 : D.
Questão 29 : B.
Questão 30 : B.
Questão 31 : C.
Questão 32 : B.
Questão 33 : A.
Questão 34 : D.
Questão 35 : B.
Questão 36 : C.
Questão 37 : A.
Questão 38 : B.
Questão 39 : C.
Questão 40 : C.
Questão 41 : C.
Questão 42 : A.
Questão 43 : B.
Questão 44 : B.
Questão 45 : D.
Questão 46 : D.
Questão 47 : D.
Questão 48 : D.
Questão 49 : B.
Questão 50 : D.
Questão 51 : B.
Questão 52 : A.
Questão 53 : D.
Questão 54 : A.
Questão 55 : B.
Questão 56 : ANULADA (O gráfico parece passar pela origem, quando
x − y − 1 = 0 não o faz. Isso pode causar confusão no candidato que procure
resolver a questão de forma outra que não usar a distância de ponto à reta.
Caso utilize-se a fórmula, ou redesenhe-se o grafico corretamente, a resposta
correta é C..
Questão 57 : B.
Questão 58 : C.
Questão 59 : B.
Questão 60 : C.
Questão 61 : B.
Questão 62 : B.
Questão 63 : C.
Questão 64 : C.
Questão 65 : c.
Questão 66 : B.
Questão 67 : A.
Questão 68 : B.
Questão 69 : B.
Questão 70 : A.
Questão 71 : C.
Questão 72 : C.
Questão 73 : B.
Questão 74 : D.
Questão 75 : A.
Questão 76 : A.
Questão 77 : D.
Questão 78 : D.
Questão 79 : A.
Questão 80 : C.
Questão 81 : D.
Questão 82 : D.
Questão 83 : D.
Questão 84 : A.
Questão 85 : D.
Questão 86 : A.
Questão 87 : C.
Questão 88 : B.
Questão 89 : C.
Questão 90 : A.
Questão 91 : D.
Questão 92 : B.
Questão 93 : D.
Questão 94 : A.
Questão 95 : A.
Questão 96 : C.
Questão 97 : A.
Questão 98 : D.
Questão 99 : D.
Questão 100 : A.
Questão 101 : C.
Questão 102 : B.
Questão 103 : .
Questão 104 : C.
Questão 105 : B.
Questão 106 : D.
Questão 107 : C.
Questão 108 : B.
Questão 109 : A.
Questão 110 : D.
Questão 111 : B.
Questão 112 : D.
Questão 113 : B.
Questão 114 : C.
Questão 115 : D.
Questão 116 : B e C.
Questão 117 : B.
Questão 118 : D.
Questão 119 : A.
Questão 120 : A.
Questão 121 : C.
Questão 122 : B.
Questão 123 : D.
Questão 124 : A.
Questão 125 : B.
Questão 126 : C.
Questão 127 : B.
Questão 128 : D.
Questão 129 : B.
Questão 130 : C.
Questão 131 : A.
Questão 132 : a) 90◦, b)
1 + 2π
4
u.a..
Questão 133 : a) D = (−4, 4, 2) e a medida de cada aresta de base é 6, b)
V = (−2,−1, 7) ou V = (2, 7,−1).
Questão 134 : a) Quando A está entre B e C, AC =
10
3
cm e quando A está
fora do segmento BC, AC = 10 cm, b) 3x2+3y2−40x+100 = 0, circunferência.
Questão 135 : a)
3
2
−
12
5
=
15 − 24
10
= −0, 9, b) Uma reta. .
Questão 136 :
a)
b) y =
√
7, 25 − x2, 1 ≤ x ≤ 2, 5.
Questão 137 : 0, 2.
Questão 138 : 60 cm.
Questão 139 : 2
√
6.
Questão 140 : (x − 1)2 + (y − 1)2 = 8.
Questão 141 : 30 pontos.
Questão 142 : a)
(
2
3
,
2
3
)
, b)
(
1
2
,
1
3
)
.
Questão 143 : a)
# ”
AB = (6,−2) ⇒ | # ”AB| = √40; # ”AC = (2, 2) ⇒ | # ”AC| = √8;
# ”
BC = (−4, 4)⇒ | # ”BC| = √32, logo | # ”AB|2 = | # ”AC|2 + | # ”BC|2, b) 8 u.a..
Questão 144 : a) 97, 5, b)
(
x −
9
4
)
+
(
y −
17
2
)
=
2197
16
.
Questão 145 : 768m2.
Questão 146 : a) t : 24x − 8y − 9 = 0 e P =
(
3
4
,
9
8
)
, b) 4.
Questão 147 : a) 122.500km2, b P = (−0, 64; 2, 48).
Questão 148 : a) P(1, 3, 0), b)
(
−1
√
6
,
2
√
6
,
−1
√
6
)
.
Questão 149 : a) 100 reais, b)
5
7
.
Questão 150 : a) 22500πkm2, b)
(
11
10
)2
+
(
11
10
)2
= 2, 42 > 2, 25, logo, a
cidade não está na região de influência..
Questão 151 : t =
50
101
x.
Questão 152 : F = (6, 6).
Questão 153 : 6π unidades de área.
Questão 154 : 4
√
2 − 5 cm.
Questão 155 : 4x + 3y = 25.
Questão 156 : JK = 1 +
√
7dm.
Questão 157 : Smáxima =
1
4
.
Questão 158 : y = −
1
2
x + 10.
Questão 159 : 1.112.650km2.
Questão 160 : r : y = x e s : y = −x.
Questão 161 : (−1,−3), (3, 7) e (3, 1).
Questão 162 : 4.
Questão 163 : a) 130km, b)
(
130, 30 + arcsen
5
13
)
.
Questão 164 : a) y = 2x2 − x, b) x = −
2
15
y2 +
17
15
y.
Questão 165 : C(−3, 4
√
3).
Questão 166 :
√
3 − 2.
Questão 167 :
20
29
.
Questão 168 : 4.
Questão 169 : a = −
1
6
, b = −
1
2
e c =
1
6
.
Questão 170 : (0,−1),
(
8
5
,
3
5
)
.
Questão 171 : x =
4
5
e y =
1
5
.
Questão 172 : 1 e
√
2.
Questão 173 : A distância entre os pontos P = (k, l) e Q = (m,n), segundo
a definição, é dada por: dist(P,Q) = max {|m − k|, |n − l|}, isto é, o maior dos
dois números |m − k| e |n − l|. Como dist(A, B) = 998 e dist(A,C) = 999,
verificamos que a menor dasduas é a distância entre A e B.
Questão 174 :
√
10.
Questão 175 : a) |k| <
√
2, b)
√
2(2 − k2).
Questão 176 :
ab
b − c
.
Questão 177 : 3.
Questão 178 : 5.
Questão 179 : y =
√
2
4
(x − 2
√
2)2 e y = −
√
2
4
(x + 2
√
2)2.
Questão 180 : a) 2, b) 9.