36SLIDE ENGEHARIA DE METODO

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“Confiabilidade é a probabilidade de um dispositivo desempenhar seu propósito adequadamente durante o tempo desejado, sob as condições operativas encontradas” 
DEFINIÇÃO
Probabilidade
Desempenho adequado
Tempo
Condições de operação
Nesta definição existem 4 conceitos importantes:
Em nossa sociedade moderna, os engenheiros são responsáveis pelo planejamento, projeto e construção de produtos que vão de simples aparelhos a sistemas extremamente complexos.
A falha destes, pode causar efeitos que vão da inconveniência e irritação a impactos bastante severos para a sociedade e meio ambiente. Portanto, é fundamental saber o quão confiável e seguro são os produtos que utilizamos. 
INTRODUÇÃO
Na avaliação da confiabilidade são obtidos
diversos índices de confiabilidade.
A definição de um nível adequado de confiabilidade é uma tarefa difícil, pois depende do sistema e das consequências associadas aos diversos modos de falha. Em muitos casos não é importante definir um nível absoluto de confiabilidade, e sim, o quanto a confiabilidade de um sistema é melhorada por dólar investido.
INTRODUÇÃO
Custo incremental da Confiabilidade
CUSTO INCREMENTAL
Custo do investimento
Confiabilidade
1,0
C
R
C
R
C
R
Confiabilidade
Custo
Custo do
 investimento
Custo da
interrupção
Custo do
 ciclo de vida
CUSTO DO CICLO DE VIDA
Custo incremental da Confiabilidade
Regra Nº 1 – Eventos Independentes
Dois eventos são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.
LEIS DAS PROBABILIDADES
Regra Nº 2 – Eventos mutuamente exclusivos
Dois eventos são mutuamente exclusivos ou disjuntos se eles não podem ocorrer no mesmo instante.
Regra Nº 3 – Eventos complementares
Quando um deles ocorrer o outro não pode ocorrer. Um evento é o complemento do outro e, portanto, a soma dos dois é igual a unidade.
Regra Nº 4 – Eventos condicionais
Eventos condicionais são aqueles eventos que ocorrem condicionados à ocorrência de outro evento ou eventos. 
Regra Nº 5 – Simultaneidade de Eventos
Matematicamente isto é conhecido como a Interseção de dois eventos, expresso como (A  B), (A e B) ou (A x B).
Eventos independentes
	Se dois eventos são independentes, por definição a probabilidade da ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.
		P(A | B) 	 = P(A) e P(B | A) = P(B)
		P(A  B) = P(A) x P(B)
Eventos dependentes
		P(A  B) = P(A | B) x P(B)
			 = P(B | A) x P(A)
LEIS DAS PROBABILIDADES
Regra Nº 6 – Ocorrência de pelo menos um de dois Eventos
Matematicamente isto é conhecido como a União de dois eventos, expresso como (A  B), (A ou B) ou (A+B).
LEIS DAS PROBABILIDADES
Regra Nº 6 – Ocorrência de pelo menos um de dois
 Eventos - União
A
B
S
	P(A  B) = P(A) + P(B)
a) Eventos independentes e mutuamente exclusivos
LEIS DAS PROBABILIDADES
b) Eventos independentes e não mutuamente exclusivos
	P(A  B)	= P(A) + P(B) – P(A  B)
 	= P(A) + P(B) – P(A) x P(B)
A
B
S
Ocorrência de pelo menos um de dois
 Eventos - União
Eventos dependentes e não mutuamente exclusivos
Neste caso temos a forma geral:
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A | B) x P (B)
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(B | A) x P (A)
A
B
S
Regra Nº 6 – Ocorrência de pelo menos um de dois
 Eventos - União
LEIS DAS PROBABILIDADES
Considere a probabilidade de se retirar uma carta vermelha num baralho, ou uma carta com figura, ou ambas.
Cartas no baralho	 = 52 
Cartas vermelhas (A)	 = 26 => P(A) = 26/52
Cartas com figuras (B) = 12 => P(B) = 12/52
Eventos dependentes e não mutuamente exclusivos, logo:
P(A  B)	= P(A) + P(B) – P(A | B) x P(B)
P(A / B)	= 6/12 (probabilidade de ser uma carta vermelha dado que a carta é uma figura)
P(A  B)	= 26/52 + 12/52 – (6/12 x 12/52) = 8/13
 ou
P(A  B)	= P(A) + P(B) – P(B | A) x P(A)
P(B / A)	= 6/26 (probabilidade de ser uma figura dado que é uma carta vermelha)
P(A  B)	= 26/52 + 12/52 – (6/26 x 26/52) = 8/13
LEIS DAS PROBABILIDADES
A ocorrência de um evento pode estar condicionada à ocorrência de um número i de eventos Bi que são mutuamente exclusivos.
P(A  B1) = P(A | B1) x P(B1)
P(A  B2) = P(A | B2) x P(B2)
...
 P(A  Bi) = P(A)=  P(A | Bi) x P(Bi)
LEIS DAS PROBABILIDADES
Regra Nº 7 – Aplicação da Probabilidade 				 condicionada
P(A) =  P(A  Bi), como os eventos são dependentes:
P(A) =  P(A | Bi) x P(Bi)
A
B1
S
B2
B3
B4
B6
Bi
B5
que é a equação para cálculo das probabilidades condicionadas.
LEIS DAS PROBABILIDADES
Regra Nº 7 – Aplicação da Probabilidade 				 condicionada
Teorema de Bayes:
LEIS DAS PROBABILIDADES
O mercado de um certo equipamento é dividido entre dois fabricantes F1 e F2, que possuem 70% e 30%, respectivamente. O padrão mínimo de qualidade (pqm) é alcançado por 90% dos equipamentos F1 e 80% de F2. 
Para cada 100 equipamentos comprados no mercado quantos terão o pqm? 
Se o equipamento possui o pqm qual a probabilidade dele ser fabricado por F2? 
Aplicação do Teorema de Bayes:
B1	= equipamento fabricado por F1
B2	= equipamento fabricado por F2 
P(A) 	=  P(A | Bi) x P(Bi) = P(A | B1) x P(B1) + P(A | B2) x P(B2) 
		= 0,9 x 0,7 + 0,8 x 0,3 = 0,87
De cada 100 equipamentos comprados, em média, 87 terão o pqm. 
P(B1) = 0,7
P(B2) = 0,3
P(A | B1) = 0,9
P(A | B2) = 0,8
ii.	P(B2 | A) = P(A | B2) x P(B2) / P(A) = 0,8 x 0,3/0,87 = 0,276
	P(B1 | A) = 1 – P(B2 | A) = 1 – 0,276 = 0,724
A	 = o equipamento possui o pqm
Aplicação do Teorema de Bayes:
PROBABILIDADE CONDICIONADA
Considere um sistema com dois componentes, A e B, a dois estados: funcionamento e falha. Assuma que o sistema falha apenas se ambos falharem. Deduza a probabilidade do sistema falhar, se QA e QB são as probabilidades de falha dos componentes.
P(sist. falha) = 	P(sist. falha | B não falha) x P(B não falha) +
 	P(sist. falha | B falha) x P(B falha)
P(sist. falha) = 	0 x (1 – QB) + (QA x QB) = QA x QB
P(sist. falha) = 	P(sist. falha | A não falha) x P(A não falha) +
 	P(sist. falha | A falha) x P(A falha)
P(sist. falha) = 	0 x (1 – QA) + (QB x QA) = QA x QB
A
B
Sistema Paralelo
OU
Considere um sistema com dois componentes, A e B, a dois estados: funcionamento e falha. Assuma que o sistema funciona apenas se ambos funcionarem. Deduza a probabilidade do sistema funcionar se RA e RB são as probabilidades de funcionamento dos componentes.
P (sist. func.) = P(sist. func. | B não func.) x P(B não func.) +
 P(sist. func. | B func.) x P(B func.)
P (sist. func.) = 0 x (1 – RB) + RA x RB = RA x RB 
P (sist. func.) = P(sist. func. | A não func.) x P(A não func.) +
 P(sist. func. | A func.) x P(A func.)
P (sist. func.) = 0 x (1 – RA) + RB x RA = RA x RB 
Sistema Série
OU
B
A
PROBABILIDADE CONDICIONADA
CONCEITOS DE MODELAGEM DE REDE
A definição da confiabilidade de um sistema dependerá do desempenho de cada parte componente do mesmo.
De uma forma geral, o número de elementos necessários para operar corretamente um sistema determina o seu grau de redundância.
A)	Sistema Série
	Os componentes são ditos que estão em série, sob 	o ponto de vista de confiabilidade, se a operação de 	todos eles é necessária para que o sistema opere 	corretamente (não se tem redundância).
b)	Sistema Paralelo
	Os componentes são ditos que estão em paralelo, 	sob o ponto de vista de confiabilidade, se a 	operação de apenas um deles é necessária para que 	o sistema opere corretamente (sistema totalmente 	redundante).
COMPOSIÇÃO DE SISTEMAS
 Sistema Série
RA
RB
A
B
1
2
RS
S
1
2
		RS = RA x RB
Conseqüentemente:
		QS = 1 – RS = 1 – RA x RB
De uma forma generalizada, para n elementos em série:
		RS =  Ri 
		QS = 1 –  Ri 
COMPOSIÇÃO DE SISTEMAS
 Sistema Paralelo
		QP = QA x QB
Consequentemente:
		RP = 1 – QP = 1 – QA x QB
De uma forma generalizada,para n elementos em paralelo:
		QP =  Qi 
		RP = 1 –  Qi 
QP
P
1
2
QA
QB
A
B
1
2
COMPOSIÇÃO DE SISTEMAS
Para a confecção final de um determinado produto é necessário que este percorra cinco processos seguidamente. No caso da probabilidade de falha de cada processo ser de 0,02 determine a probabilidade do produto ser produzido com qualidade.
Matéria
Prima
0,02
1
Sistema Série:
RS =  Ri
Qi = 0,02 => Ri = 1 – 0,02 => Ri = 0,98
RS = 0,9039
QS = 1 – 0,9039
QS = 0,0961
0,02
2
0,02
3
0,02
4
0,02
5
COMPOSIÇÃO DE SISTEMAS
Um sistema é constituído por 4 componentes em paralelo, possuindo as seguintes confiabilidades: 0,99 ; 0,95 ; 0,98 e 0,97. Qual é a probabilidade de falha e sucesso do sistema?
Exercício
Sistema Paralelo:
QP = (1 – R1)(1 – R2)(1 – R3)(1 – R4)
QP = (1 – 0,99)(1 – 0,95)(1 – 0,98)(1 – 0,99)
QP = 3x10-7
RP = 1 – QP = 1 – 3x10-7
RP = 0,9999997
COMPOSIÇÃO DE SISTEMAS
Resumo
Sistema Série:
Generalizando:
Sistema Paralelo:
Generalizando:
RA
RB
A
B
1
2
QA
QB
A
B
1
2
SISTEMA SÉRIE-PARALELO
Calcular a probabilidade de falha e sucesso dos sistemas a seguir considerando probabilidade de sucesso igual a Ri e probabilidade de falha igual a Qi.
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
A:
RA = R1x R2x R3x R4 
5
6
7
8
B:
RB = R5x R6x R7x R8 
QA = 1 – RA = 1 – R1x R2x R3x R4 
QB = 1 – RB = 1 – R5x R6x R7x R8 
Qeq = QA x QB 
Qeq = (1 – R1x R2x R3x R4)(1 – R5x R6x R7x R8)
Ri = 0,9 => Qeq = 0,1183
Req = 1 – Qeq = 1 – 0,1183 = 0,8817
SISTEMA SÉRIE-PARALELO
1
2
5
6
3
4
Q3Q4
1 –
(
)
R1R2
1 –
[
]
x
R5R6
1 – 
(
)
[
]
=
Qeq
Q3
(1 – R3)
)
R1R2
1 –
[
]
x
R5R6
1 – 
(
)
[
]
=
Qeq
(1 – R4)
Q4
Qeq = [1 – R1R2(R3 + R4 – R3R4)] x (1 – R5R6)
Req = 1 – Qeq
SISTEMAS PARCIALMENTE REDUNDANTES
Sub-sistema 
Não redundante
1
2
3
4
5
6
7
São necessários pelo menos 2 elementos operando para que o sistema funcione.
SISTEMAS PARCIALMENTE REDUNDANTES
Sub-sistema 
Não redundante
1
2
3
4
5
6
7
Quanto ao elemento equivalente 9, sabe-se que são necessários pelo menos 2 elementos operando, tem-se:
	R9 = R4xR5xR6 + R4xR5xQ6 + R4xQ5xR6 + Q4xR5xR6
	Q9 = Q4xQ5xQ6 + Q4xQ5xR6 + Q4xR5xQ6 + R4xQ5xQ6 = 1 – R9
Quando R4 = R5 = R6 = R e Q4 = Q5 = Q6 = Q, tem-se:
	R9 = R3 + 3xR2xQ
Elemento 9
SISTEMAS PARCIALMENTE REDUNDANTES
Sub-sistema 
Não redundante
1
9
7
8
Q2xQ3
R9 = R3 + 3xR2xQ
Q8 = Q2xQ3	=>	R8 = 1 – Q8 = 1 – Q2xQ3
SISTEMAS PARCIALMENTE REDUNDANTES
Q11 = Q7xQ10 = Q7x(1 – R10) = Q7x(1 – R1xR8xR9)
	 = Q7x(1 – R1x(1 – Q2xQ3)xR9)
	 = Q7x(1 – R1xR9 + R1xR9xQ2xQ3)
Q11 = Q7 – R1xR9xQ7 + R1xR9xQ2xQ3xQ7
R10 = R1xR8xR9
10
7
11
Q11 = Q7xQ10
SISTEMAS COM UNIDADE EM STAND BY
Em alguns tipos de sistemas, as unidades de backup se encontram em estados de não operação (stand by), sendo requisitadas a operarem apenas quando o elemento em operação falhar.
TR-B
TR-A
Concessionária
Cargas
(Operando)
(Stand-by)
SISTEMAS COM UNIDADE EM STAND BY
 a) Chaveamento com sucesso (perfeito)
TR-B
TR-A
Concessionária
Cargas
(Operando)
(Stand by)
Neste caso existe a possibilidade da unidade stand by operar corretamente quando requisitada, como também de falhar durante a manobra de chaveamento. Estes dois casos são conhecidos como:
 a) Chaveamento com sucesso (perfeito)
 b) Chaveamento com insucesso.
SISTEMAS COM UNIDADE EM STAND BY
Considere a condição em que o elemento de chaveamento tenha uma probabilidade de sucesso. Com isso, existem duas condições, que são: 
chaveamento ok (sucesso)
chaveamento não ok (falha)
Pelo fato da existência de uma condição, deve-se aplicar o conceito de probabilidade condicional.
SISTEMAS COM UNIDADE EM STAND BY
TR-B
TR-A
Concessionária
Cargas
SISTEMAS COMPLEXOS
A
B
E
C
D
Existem vários métodos para resolver este problema:
Probabilidade
 Condicional (*)
Minimal Cut Set 
Tie Set;
Conexão de Matrizes;
Árvore de Eventos;
Portas Lógicas E/OU;
Outros
PROBABILIDADE CONDICIONAL
P(sist. Ñfunc.) = 
P(sist. Ñfunc. | E func.)
x P(E func.)
+
P(sist. Ñfunc. | E Ñfunc.)
x P(E Ñfunc.)
QEQ = (QEQ’) x RE + (QEQ’’) x QE 
QEQ = [1 – (1 – QAQB)(1 – QCQD)] x RE + [(1 – RARC)(1 – RBRD)] x QE
Utilizando apenas probabilidade de falha (Q) e considerando: QA = QB = QC = QD = QE = Q
QEQ = 2Q2 + 2Q3 – 5Q4 + 2Q5
A
E
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
E => funcionando ( ’ )
E => falhado ( ’’ )
()(|)()
(|)
()()
Ç´
==
iii
i
PABPABPB
PBA
PAPA
1
(|)()
(|)
(|)()
=
´
=
´
å
ii
i
n
jj
j
PABPB
PBA
PABPB
5
5
Si
i1
RR(0,98)
=
==
Õ
4
Pi1234
i1
QQQQQQ
=
==´´´
Õ
n
Si
i
RR
=
=
Õ
1
SAB
RRR
=´
SS
Q=1-R
Õ
n
Pi
i=1
Q=Q
PAB
Q=Q×Q
PP
R=1-Q
P(sist. falhar | chaveamento OK) P(chav
eamento OK) 
´+
P(sist. falhar | chaveamento OK) P(chav
eamento OK)
´
Q Q(A) Q(B) Ps Q(A) Ps 
=´´+´
Q Q(A) Q(B) Ps Q(A) (1–Ps) 
=´´+´
Q Q(A) – Q(A) Ps [1 – Q(B)]
=´´
P(sist. falhar) 
=