calc2 Lista 02 de Exercícios

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UNIVERSIDADE SALVADOR 
Disciplina: Cálculo Aplicado – Várias Variáveis 
Semestre: 2020.1 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 
 
Funções de Várias Variáveis, Derivação em Várias Variáveis, Vetores Gradientes, 
Integração Dupla 
 
1. Determine o domínio das funções abaixo e represente-o graficamente. 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑦2 − 𝑥 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑦2 − 4. 𝑙𝑛( 𝑥 − 𝑦) 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑦 − 𝑥 − √1 − 𝑥 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛 [
𝑥2+𝑦2−1
𝑥
] 
e) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
𝑥2−1
+ √𝑦 − 𝑥2 
2. Para esboçar o gráfico das funções abaixo determine o domínio; determine e trace as interseções da 
superfície com os planos coordenados; determine e trace as curvas de nível. 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 16 − 𝑥2 − 𝑦2 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 9𝑥2 + 4𝑦2 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 8 − 2𝑥 − 4𝑦 
e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 − 𝑦2 
 
3. Seja 𝑓 a função dada por 𝑓(𝑥, 𝑦) = √9 − 𝑥2 − 𝑦2. Esboce o gráfico de 𝑓 e exiba os traços nos planos 
𝑧 = 0, 𝑧 = 2, 𝑧 = 4, 𝑧 = 6, 𝑧 = 8. 
 
4. Para as funções abaixo, calcule as derivadas parciais no ponto 𝑃0 indicado. 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 𝑙𝑛( 𝑥𝑦) ; 𝑃𝑜(1,2) 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑐𝑜𝑠[(𝑥 𝑦⁄ ) + 𝜋] ; 𝑃𝑜(0,1) 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 𝑙𝑛(𝑥2 + 𝑦2) ; 𝑃𝑜(0,1) 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 − 𝑦2) (𝑥2 + 𝑦2)⁄ ; 𝑃𝑜(1,1) 
e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑦 𝑥⁄ ) ; 𝑃𝑜(2,2) 
f) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 𝑙𝑛(𝑥 + 𝑦) ; 𝑃𝑜(1,2) 
g) 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2(𝑦). 𝑡𝑔(𝑧) ; 𝑃𝑜(4, 𝜋 4⁄ , 𝜋 4⁄ ) 
h) 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) (𝑥𝑦𝑧)⁄ ; 𝑃𝑜(1,1,1) 
EAETI 
Escola de Engenharia, 
Arquitetura e 
Tecnologia da Informação 
 
2 
 
5. Considere a função 𝑧 = 𝑥𝑦
2
𝑥2+𝑦2
. Verifique se a equação𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑥
+ 𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 𝑧é verdadeira ∀(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0). 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥2 − 8𝑥𝑦4 + 7𝑥𝑦 − 3 b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥2 + 𝑦2 
 
6. Mostre que a função 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝐶𝑡)é uma solução da equação da onda 𝜕
2𝑢
𝜕𝑡2
= 𝐶2
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
. 
 
7. Mostre que a função 𝑧 = 𝑒−𝑡𝑠𝑒𝑛 (𝑥
𝐶
), C constante, satisfaz a equação do calor
𝜕𝑧
𝜕𝑡
= 𝐶2
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
. 
 
8. Dada a função 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2𝑦 + 𝑦3𝑧 + 𝑧4𝑥𝑦 determine 𝑓𝑥𝑦𝑧, ou seja, 𝜕
3𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑦𝜕𝑥
. 
 
9. Usando a regra da cadeia encontre as derivadas parciais das seguintes funções: 
 
a) z = 4x3 3x2y2; {
𝑥 = 𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝑣
𝑦 = 𝑣𝑠𝑒𝑛𝑢 ; 
𝜕𝑧
𝜕𝑢
 e 
𝜕𝑧
𝜕𝑣
 
b) z = ln(u2 + v2); {
𝑢 = 𝑥2 + 𝑦2
𝑣 = 2𝑥2 + 3𝑥𝑦
; 
x
z


 e 
y
z


 
 
10. Seja 𝑤 = 𝑥
𝑧
+
𝑦
𝑧
, onde 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑡, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑒 𝑧 =
1
𝑡
 calcule 
𝜕𝑤
𝜕𝑡
(3). 
 
11. Qual é a derivada de 𝑥2𝑦5no ponto (3, 1) na direção do vetor de origem (3, 1) e extremidade (4, -3)? 
 
12. A temperatura de um disco metálico é dada por 𝑇(𝑥, 𝑦) = 25
𝑥2+𝑦2+1
. Calcule a taxa de variação da 
temperatura no ponto (1, 1): 
a) na direção do eixo 𝑥; 
b) na direção que forma 300 com o eixo 𝑥; 
c) na direção que forma 400 com o eixo 𝑦; 
d) na direção do vetor 2𝑖 − 𝑗 
 
13. Determine o gradiente de f no ponto indicado. 
a)      
3
2 1, 1f x, y x xy P    
b)      ln 3,4f x, y y x y P   
c)    4 2 3 1,2f x, y x y ; P   
d)    2 24 2,0f x, y x y ; P   
 
 
3 
 
14. Uma chapa de metal está situada em um plano 𝑥𝑦, de modo que a temperatura 𝑇 em (𝑥, 𝑦) é 
inversamente proporcional à distância da origem, e a temperatura em 𝑃(3,4) é 100o F. 
a) Ache a taxa de variação de T em P na direção de 𝑖 + 𝑗. 
b) Em que direção e sentido T aumenta mais rapidamente, em P? 
c) Em que direção e sentido T decresce mais rapidamente, em P? 
d) Em que direção a taxa de variação é nula? 
 
15. Se um potencial elétrico em um ponto (𝑥, 𝑦) do plano 𝑥𝑦 é 𝑉(𝑥, 𝑦) então o vetor de intensidade 
elétrica em um ponto (𝑥, 𝑦) é  ,E V x y  . Suponha que    2, cos 2xV x y e y . Determine o vetor 
intensidade elétrica em ,0
4
 
 
 
 e verifique que, em cada ponto do plano, o potencial elétrico decresce mais 
rapidamente na direção e sentido do vetor E. 
 
16. O potencial elétrico V em um ponto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) num sistema de coordenadas retangulares é dado por 
2 2 24 9 .V x y z   Determine a taxa de variação de 𝑉 em 𝑃(2,1, 3) na direção de 𝑃 para a origem, ou 
seja, na direção do vetor 

PO . Determine a direção e sentido que produz taxa máxima de variação de 𝑉 em 
𝑃. Qual a taxa máxima de variação em 𝑃? 
 
17. Calcule, em cada caso, ∬ f(x,y) dA R . 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 ∙ 𝑒𝑥𝑦; 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℛ2| 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 𝑒 0 ≤ 𝑦 ≤ 1} 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 cos(𝑥𝑦); 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℛ2| 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑒 0 ≤ 𝑦 ≤ 2𝜋} 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑙𝑛(𝑥); 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℛ2| 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 𝑒 0 ≤ 𝑦 ≤ 1} 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑦 ln(𝑥)
𝑥
; 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℛ2| 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑒 − 1 ≤ 𝑦 ≤ 1} 
 
18. Usando integral dupla, calcule o volume do sólido Q limitado lateralmente pelos planos 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 
𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 2 , inferiormente pelo plano 𝑧 = 0 e superiormente pela superfície cilíndrica 𝑧 = 1 + 𝑥2. 
 
19. Esboce a região de integração e calcule as seguintes integrais. 
a) ∫ ∫ (2𝑥 + 4𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
2𝑥
𝑥
1
0
 
b) ∫ ∫ (𝑥𝑦2 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑦
−𝑦
2
0
 
 
4 
 
c) ∫ ∫ 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥
1
ln(𝑥)
𝑒
1
 
d) ∫ ∫ 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦
√1−𝑦2
0
1
0
 
e) ∫ ∫ 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥
√4−𝑥2
√1−𝑥2
1
−1
 
 
20. Esboce a região de integração e inverta a ordem nas seguintes integrais. 
a) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑦 2⁄
0
4
0
 
b) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑥2
𝑥3
1
0
 
c) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
3𝑥
2𝑥
1
0
 
 
21. Identifique a região de integração e inverta a ordem para resolver as seguintes integrais. 
a) ∫ ∫ 
1
𝑥
cos (
𝑦
𝑥
) 𝑑𝑥𝑑𝑦
2
√𝑦
4
0
 
b) ∫ ∫ (√𝑦 𝑠𝑒𝑛(𝑥√𝑦)) 𝑑𝑦𝑑𝑥
𝜋2 4⁄
𝑥2
𝜋 2⁄
0
 
c) ∫ ∫ (
𝑥∙𝑒2𝑦
4−𝑦
) 𝑑𝑦𝑑𝑥
4−𝑥2
0
2
0
 
 
22. Calcule: 
a) ∬ (8 − 𝑥 − 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑅 , sendo R a região delimitada por 𝑦 = 𝑥
2 e 𝑦 = 4. 
b) ∬ 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑅 , sendo R interior ao circulo de centro na origem e raio 2 e acima da reta 𝑦 = 1, no 1º quadrante. 
c) ∬ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R a região delimitada por 𝑦 = 𝑥2 + 1, 𝑦 = −𝑥2 − 1, 𝑥 = −1 𝑒 𝑥 = 1𝑅 . 
d) ∬ 𝑒𝑥
2
 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑅
, sendo R a região delimitada pela reta 𝑦 = 𝑥, o eixo 𝑂𝑥 e as retas 𝑥 = 0 e 𝑥 = 1. 
e) ∬ (𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑅 sendo R a região hachurada na figura abaixo: 
 
 
 
5 
 
23. Usando integral dupla calcule o volume do sólido Q nos seguintes casos: 
a) Q é o tetraedro limitado no 1º octante pelo plano de equação 
𝑧
3
+
𝑥
2
+
𝑦
1
= 1. 
b) Q está acima do plano XY limitado pelo cilindro parabólico 𝑧 = 1 − 𝑦2; e pelos planos 𝑥 = 0 e 𝑥 = 2. 
 
24. Calcule, usando integral dupla, a área da região limitada pelas curvas: 𝑦 = 𝑥3, 𝑦 = −𝑥 + 2 𝑒 𝑦 = 0. 
Esboce o gráfico da região. 
 
25. Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais: 
a) ∬ (8 − 𝑥 − 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦,𝑅 sendo R a região delimitada por 1 = 𝑥
2 + 𝑦2. Interprete geometricamente. 
b) ∬ 𝑙𝑛(𝑥2 + 𝑦2) 𝑑𝑥𝑑𝑦,𝑅 sendo R o anel delimitado por 𝑥
2 + 𝑦2 = 16 e 𝑥2 + 𝑦2 = 25. 
c) ∬ 𝑒2(𝑥
2+𝑦2) 𝑑𝑥𝑑𝑦,
𝑅
 sendo R a região delimitada pelo círculo 𝑥2 + 𝑦2 = 4. 
d) ∬ √𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝐴𝑅 , sendo R a região delimitada pelas curvas 
𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃 (círculo de centro em (1,0) e raio 1) 
𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠𝜃 (círculo de centro em (2,0) e raio 2) 
𝜃 =
𝜋
6
 
𝜃 =
𝜋
4
 
 
26. Esboce a região de integração e calcule as seguintes integrais mudando para a forma polar: 
a) ∫ ∫
2
(1+𝑥2+𝑦2)2
 𝑑𝑦𝑑𝑥
√1−𝑥2
0
1
−1
 
b) ∫ ∫ 𝑥 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦
√4−𝑦2
0
2
0
 
 
27. Usando integral dupla calcule o volume dos seguintes sólidos, resolvendo a integral correspondente na 
forma polar: 
a) Sólido acima do plano 𝑥𝑦, delimitado pelo paraboloide 𝑧 = 4 − 2𝑥2 − 2𝑦2. Esboce o sólido. 
b) Sólido acima do plano xy delimitado lateralmente pelo cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 1 e superiormente pelo 
paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 . Esboce o sólido. 
c) Sólido limitado inferiormente pelo plano xy, lateralmente por 𝑥2 + 𝑦2 = 4 e superiormente por𝑦 +
𝑧 = 8. 
 
 
6 
 
28. Calcule, usando integral dupla, a área da região R exterior ao círculo 𝑟 = 2 e interior ao círculo 𝑟 =
4 𝑐𝑜𝑠𝜃 (centro (2,0) e raio 2). Esboce o gráfico da região. 
 
29. Usando integral dupla, podemos calcular a massa (M) de uma lâmina plana não homogênea, com a 
forma de uma região (R) e com densidade de massa em ponto ( 𝑥, 𝑦) de R, dada pela função contínua 𝜌 =
(𝑥, 𝑦), através da integral dupla 𝑀 = ∬ 𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅 . 
a) Calcule a massa de uma lâmina com a forma de um círculo de raio 3 cm, se a sua densidade de massa num 
ponto 𝑃(𝑥, 𝑦) é dada por 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝑘(𝑥2 + 𝑦2), k constante real. 
b) Uma lâmina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas 𝑦 = 𝑥2 + 1 e 𝑦 = 𝑥 + 3. Sua densidade 
de massa no ponto 𝑃(𝑥, 𝑦) é proporcional a distância desse ponto ao eixo x. Calcule a massa dessa lâmina. 
 
30. Se uma carga elétrica está distribuída sobre uma região plana R e a densidade de carga (unidades de 
carga por unidade de área) é dada pela função 𝜎(𝑥, 𝑦) em um ponto (x,y) de R, então a carga total é igual a 
𝑄 = ∬ 𝜎(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅 . Considere a região triangular R de vértices nos pontos (1,0); (1,1) e (0,1) tal que uma carga 
está distribuída sobre R com densidade de carga 𝜎(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏𝑠/𝑚2 . Determine a carga total.