exercc3adcios-1-e-2-aulas-parte-7 Estradas

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1 
 
 
 
 
 
Exercícios complementares às notas de aulas de 
Estradas (parte 7) 
 
 
 
Helio Marcos Fernandes Viana 
 
 
 
 
Tema: 
 
Curvas horizontais de transição 
 
 
 
 
 
Helio Marcos Fernandes Viana 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
Exercício 1 
 
 
 Para realização do projeto de uma curva horizontal simétrica com espirais de 
transição são dados: 
 
a) Comprimento da curva espiral, LS = 120 m; 
b) Ângulo de deflexão entre as tangentes, = 35o; 
c) Raio da curva circular, RC = 500 m; e 
d) Estaca do ponto de interseção das tangentes, E(PI) = 228E + 17,00 m 
 
 Pede-se: 

S = ângulo de transição; 
XS = abscissa dos pontos SC e CS; 
YS = ordenada dos pontos SC e CS; 
 ângulo central do trecho circular;
D = desenvolvimento (ou comprimento) do trecho circular; 
k = abscissa do centro O’; 
p = afastamento da curva circular; 
TT = tangente total; 
E = distância do PI ao ponto médio da curva circular; 
E(TS) = estaca do ponto tangente-espiral; 
E(SC) = estaca do ponto espiral-circular; 
E(CS) = estaca do ponto circular-espiral; e 
E(ST) = estaca do ponto espiral-tangente. 
 
OBS(s). 
a) Calcular S, em radianos, com precisão de 5 (cinco) casas decimais. 
b) π rad = 3,1416 rad = 180o 
 
 
Resposta: 
 
i) Cálculo do ângulo de transição (S) 
 
o
C
S
S 8755,6rad12000,0
500.2
120
R.2
L
 
em que: 
 LS = comprimento do trecho de transição (m); e 
 RC = raio da curva circular (m). 
 
ii) Cálculo da abscissa (XS) e ordenada (YS) dos pontos SC e CS 
 
m83,119
216
)12000,0(
10
)12000,0(
1.120
21610
1.LX
424
S
2
S
SS 













 


 
m80,4
42
)12000,0(
3
12,0
.120
423
.LY
33
SS
SS 













 


 
 
 3 
iii) Cálculo do ângulo central do trecho circular () 
 
rad37087,0249,218755,6.235.2 oooS  
 
em que  = deflexão das tangentes. 
 
iv) Cálculo do desenvolvimento (ou comprimento) do trecho circular (D) 
 
m43,185
180
1416,3.249,21.500
180
..R
D
o
o
o
o
C 

 
 
v) Cálculo da abscissa do centro O’ (k) 
 
SCS sen.RXk  
m97,59)8755,6(sen.50083,119k o  
 
vi) Cálculo do afastamento da curva circular (p) 
 
)cos1.(RYp SCS  
m20,1))8755,6cos(1.(50080,4p o  
 
vii) Cálculo da tangente total (TT) 
 





 

2
tan).pR(kTT C 
m00,218
2
35
tan).20,1500(97,59TT
o






 
 
viii) Cálculo da distância do PI ao ponto médio da curva circular (E) 
 
m52,25500
2
35
cos
20,1500
R
2
cos
pR
E
oC
C 













 

 
 
ix) Cálculo das estacas dos pontos notáveis 
 
a) Cálculo da estaca do ponto tangente-espiral, E(TS) 
 
E(TS) = E(PI) - [TT] 
em que: 
 [TT] = valor da tangente total em estacas; e 
 E(PI) = estaca do ponto de interseção das tangentes. 
 
 Como: 
 
20 m  1 estaca 
TT = 218,00 m  X 
 4 
.est90,10
m20
m.est00,218
X  
 
como: 
 
1 estaca  20 m 
0,90 estaca  Y 
 
m00,18
est1
m.est20.90,0
Y  
 
Logo: 
 
 TT = 218,00 m  [TT] = 10E +18,00 m 
 
 Então: 
 E(TS) = 228E + 17,00 - (10E + 18,00) 
 E(TS) = 227E + 37,00 - (10E + 18,00) 
 E(TS) = 217E + 19,00 m = 217 + 19,00 
 
b) Cálculo da estaca do ponto espiral-circular, E(SC) 
 
E(SC) = E(TS) + [LS] 
 
em que [LS] = valor do comprimento da espiral em estaca. 
 
 Como: 
 
20 m  1 estaca 
LS = 120,00 m  X 
 
.est6
m20
m.est00,120
X  
 
Logo: 
 
 LS = 120 m  [LS] = 6E + 0,00 
 
 Então: 
 
 E(SC) = 217E + 19,00 + (6 + 0,00) 
 E(SC) = 223E + 19,00 m = 223 + 19,00 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
c) Cálculo da estaca do ponto circular-espiral, E(CS) 
 
E(CS) = E(SC) + [D] 
 
em que [D] = valor do desenvolvimento em estaca. 
 
 Como: 
 
20 m  1 estaca 
D = 185,43 m  X 
 
.est272,9
m20
m.est43,185
X  
 
como: 
 
1 estaca  20 m 
0,272 estaca  Y 
 
m44,5
est1
m.est20.272,0
Y  
 
Logo: 
 
 D = 185,43 m  [D] = 9 + 5,44 
 
Então: 
 
 E(CS) = 223 + 19,00 + (9 + 5,44) 
 E(CS) = 233 + 4,44 
 
d) Cálculo da estaca do ponto espiral-tangente, E(ST) 
 
E(ST) = E(CS) + [LS] 
 
 Como: 
 [LS] = 6 + 0,00 
 
em que [LS] = valor do comprimento da espiral em estaca. 
 
 Então: 
 E(ST) = 233 + 4,44 + (6 + 0,00) 
 E(ST) = 239 + 4,44 
 
x) Esquema (ou croqui) final, que ilustra a curva em questão 
 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
Exercício 2 
 
 O exercício 2 é o exemplo do projeto e da construção de uma caderneta 
de locação de uma curva horizontal simétrica com espirais de transição. 
 
 
Enunciado do exercício 2: 
 
 Pede-se calcular os elementos necessários ao projeto de uma curva de 
transição, e também preparar uma caderneta de locação para implantação da curva 
no terreno, sabendo-se que todos os pontos dos trechos em transição podem ser 
visados com o teodolito centralizado no TS ou ST. 
Dados: 
a) Estaca do PI = 31 + 16,30; 
b) Raio da curva circular, RC = 300 m; 
c) Ângulo de deflexão entre as tangentes = 29o; e 
d) Velocidade de projeto, VP = 80 km/h. 
 
OBS (s). 
a) Usar para locação da curva cordas de 10 m. 
b)  = 3,1416. 
c) Calcular S, em radianos, com precisão de 5 (cinco) casas decimais. 
 
 
Resposta: 
 
i) Elementos para locação da curva circular 
 
a) Grau da curva circular (G) 
 















300.2
10
arcsen.2
R.2
c
arcsen.2GG
C
10 
"36'5419099,1G oo10  
 
 
 7 
em que: 
 G10 = grau da curva circular (ou ângulo correspondente a corda de 10 m); 
 c = corda de locação (m) 
 RC = raio da curva circular (m). 
 
b) Deflexão por metro (dm) 
 
'73,509549,0
10.2
9099,1
c.2
G
dm o
o
 
 
c) Cálculo do raio da curva circular após o arredondamento da deflexão, por 
metro, para o valor inteiro mais próximo, ou seja, dm = 6’ = 0,1o 
 
 Como: 
c.2
G
dm  , e 
C
o
R.
c.180
G

 
 
 Então, desenvolvendo a partir de G, tem-se: 
 
 
C
o
R.
c.180
c.2.dm

  
dm..2
180
R
o
C

 
 
 Logo: 
 
 m50,286
1,0.1416,3.2
180
R
o
o
C  
 
ii) Cálculo do comprimento da curva de transição 
 
a) Cálculo do comprimento mínimo da curva de transição 
 
m33,64
50,286
)80(
,036,0
R
V
.036,0L
3
C
3
minS  
 
b) Cálculo do comprimento normal da curva de transição 
 
m56,10150,286.6R.6L C)NORMAL(S  
 
 Então, adotar como comprimento de projeto o valor mais próximo do 
comprimento normal que seja múltiplo de 10 m. Assim sendo, o valor de projeto será 
LS = 100 m. 
 
iii) Cálculo do ângulo central da espiral (S) 
 
o
C
S
S 10rad17452,0
5,286.2
100
R.2
L
 
 
 
 8 
iv) Cálculo das coordenadas retangulares da espiral 
 
m696,99
216
)17452,0(
10
)17452,0(
1.100
21610
1.LX
424
S
2
S
SS 













 


 
e 
m805,5
42
)17452,0(
3
17452,0
.100
423
.LY
33
SS
SS 













 


 
 
em que: 
 XS = abscissa dos pontos SC e CS; e 
 YS = ordenada dos pontos SC e CS. 
 
v) Cálculo do ângulo (ou deflexão) correspondente ao ponto SC, ou CS ou ao 
comprimento do arco LS da espiral 
 
"55'193332,3
696,99
805,5
arctan
X
Y
arctani oo
S
S
S 













 
 
vi) Cálculo do ângulo (ou deflexão) jS 
 
'406668,6332,310ij ooooSSS  
 
 JS é importante para definir as tangentes nos pontos SC e CS, e iniciar a 
locação da curva circular. 
 
vii) Cálculo de k (abscissa do centro O’) e p (afastamento da curva circular) 
 
a) SCS sen.RXk  
então, m946,49)10(sen.5,286696,99k
o  
 
b) )cos1.(RYp SCS  
então, m452,1)10cos1.(5,286805,5p
o  
 
viii) Cálculo da tangente externa (TT) 
 





 

2
tan).pR(kTT C 
então, 
m42,124
2
29
tan).452,15,286(946,49TT 





 
em que: 
  = ângulo de deflexão entre as tangentes (graus); 
 RC = raio da curva circular (m); 
 k = abscissa do centro O’ da curva circular (m); e 
 p = afastamento da curva circular (m). 
 
 9 
ix) Cálculo da corda de locação do SC ou ST, ou corda correspondente ao arco 
da espiral de comprimentoLS 
 
m865,99
)332,3cos(
696,99
icos
X
c
o
S
S
S  
 
x) Cálculo da distância do PI ao ponto médio da curva circular (E) 
 
m926,105,286
2
cos
452,15,286
R
2
cos
pR
E C
C 





 







 

 
 
xi) Cálculo do ângulo central do trecho circular () para espirais simétricas 
 
S.2  
então, 
ooo 910.229  
 
xii) Cálculo do desenvolvimento da curva no trecho circular (D) 
 
m003,45
180
1416,3.9.5,286
180
..R
D
o
o
o
o
C 

 
 
xiii) Cálculo das estacas do TS, SC, CS e ST 
 
a) E(TS) = E(PI) - [TT] 
 
em que [TT] = valor da tangente total em estacas. 
 
 Como, TT = 124,42 m  [TT] = 6 + 4,42 
 
então, 
 E(TS) = 31 + 16,30 - (6 + 4,42) 
 E(TS) = 25 + 11,88 
 
b) E(SC) = E(TS) + [LS] 
 
em que [LS] = valor do comprimento da espiral em estacas. 
 
 Como: LS = 100 m  [LS] = 5 + 0,00 
 
então, 
 E(SC) = 25 + 11,88 + (5 + 0,00) 
 E(SC) = 30 + 11,88 
 
 
 
 
 
 10 
c) E(CS) = E(SC) + [D] 
 
em que [D] = valor do desenvolvimento em estacas. 
 
 Como: D = 45,003 m  [D] = 2 + 5,00 
 
então, 
 E(CS) = 30 + 11,88 + (2 + 5,00) 
 E(CS) = 32 + 16,88 
 
d) E(ST) = E(CS) + [LS] 
 
 Como já calculado [LS] = 5 + 0,00 
 
então, 
 E(ST) = 32 + 16,88 + (5 + 0,00) 
 E(ST) = 37 + 16,88 
 
xiv) Caderneta de locação 
 
 A caderneta de locação foi elaborada levando-se em consideração os 
seguintes critérios: 
 
a) O primeiro ramo da curva de transição foi preparado para ser locado com o 
aparelho (ou teodolito) centralizado no ponto TS. 
b) O trecho circular da curva de transição é preparado para ser locado com o 
aparelho (ou teodolito) centralizado no ponto SC. 
c) O último trecho da transição é preparado para ser locado com o aparelho 
centralizado no ponto ST. 
 
 Os valores de , X, Y e i são calculados pelas seguintes equações: 
 
SC
2
L.R.2
L
 





 



21610
1.LX
42
 





 



423
.LY
3
 







X
Y
arctani 
 
em que: 
  = ângulo correspondente ao comprimento L da espiral (rad); 
 X = abscissa de um ponto A qualquer sobre a espiral (m); 
 Y = ordenada de um ponto A qualquer sobre a espiral (m); 
 i = deflexão em relação a tangente total (graus); 
 LS = comprimento da espiral (m); 
 L = comprimento de um arco da espiral (m); e 
 RC = raio da curva circular (m). 
 11 
xv) Exemplo de cálculo para deflexão do trecho circular 
 
a) Cálculo da 1.o deflexão, para corda de 8,12 m e com dm = 6’ 
 
 1 m  6’ 
 8,12 m  X 
  '72,48
1
12,8'.6
X  
 
b) Cálculo das deflexões correspondentes à corda c = 10 m e com dm = 6’ 
 
 1 m  6’ 
 10 m  X 
  o1'60
1
'6.10
X  
 
c) Cálculo da última deflexão do trecho circular correspondente à corda de c = 
6,88 m 
 
 1 m  6’ 
 6,88 m  X 
  '28,41
1
'6.88,6
X  
 
 A Tabela 2.1 mostra detalhadamente a caderneta para locação da curva 
horizontal simétrica com espirais de transição projetada neste exercício. Observa-se 
que esta caderneta de locação foi facilmente elaborada com o auxílio do programa 
Excel do microsoft office. 
 
 
Observações relacionadas á caderneta de locação: 
 
a) A deflexão sucessiva é dada em relação à estaca anterior, e a deflexão 
acumulada é dada em relação a tangente externa. 
b) c = corda de locação. 
c) O ponto ST pode ser obtido a partir da estaca do PI e da TT, pois a curva é 
simétrica. 
 
 
 
 12 
 
 
Tabela 2.1 - Caderneta para locação da curva horizontal simétrica com espirais 
de transição projetada no exercício 2 
 C
á
lc
u
lo
 a
u
to
m
á
tic
o
P
o
n
to
s 
S
u
c
e
s
s
iva
s
A
c
u
m
u
la
d
a
s
 (i)
A
c
u
m
u
la
d
a
s
 (i)
d
a
 c
u
rv
a
(g
ra
u
s
)
(g
ra
u
s
 e
/o
u
 m
in
u
to
s
)
2
5
 +
 1
1
,8
8
 
T
S
--
--
--
--
--
--
--
--
E
s
ta
ç
ã
o
 T
. n
o
 T
S
2
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 +
 1
,8
8
1
0
,0
0
1
0
,0
0
0
,0
0
1
7
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,0
0
0
,0
0
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3
3
3
3
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'
E
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ç
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o
 T
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o
 T
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 1
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,8
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,0
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,0
0
7
0
2
0
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0
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'
E
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 T
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 1
,8
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1
5
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5
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,2
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9
9
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0
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,0
2
7
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4
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0
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,3
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--
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,5
3
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 T
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o
 T
S
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,0
4
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1
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3
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E
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ta
ç
ã
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 T
. n
o
 T
S
2
8
 +
 1
1
,8
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0
6
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,0
0
0
,0
6
2
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9
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'
E
s
ta
ç
ã
o
 T
. n
o
 T
S
2
9
 +
 1
,8
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1
0
,0
0
7
0
,0
0
0
,0
8
5
5
6
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