Aula 06 - Medidas de Posição Moda

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6ºAula
Medidas de Posição: 
Moda
Vocês, com certeza, já devem ter ouvido falar em 
Moda. Vocês conhecem Moda? Não?! Tenho certeza 
que sim... 
Denominamos moda o valor que ocorre com 
maior frequência em uma série de valores. A Moda pode 
possuir dados agrupados ou não agrupados, com ou sem 
intervalos de classe. 
Então, vamos estudar mais um pouquinho? Mas, 
antes, vamos verificar quais são os objetivos e quais as 
seções que serão desenvolvidas ao longo desta aula.
Boa aula!
Bons estudos!
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula vocês serão capazes de: 
• identificar tipos de moda;
• calcular moda.
Métodos Quantitativos I 32
1 - Moda
2 - Moda de Czuber
Seções de estudo
1 – Moda (Mo)
Denominamos moda o valor que ocorre com maior frequência em 
uma série de valores.
Amodal – Não existe moda, pois, neste caso, não há nenhum número 
que seja repetido por mais de uma vez.
1.1 - Moda de dados não agrupados
Quando lidamos com valores não agrupados, a moda 
é facilmente reconhecida: basta, de acordo com a definição, 
procurar o valor que mais se repete.
A série de dados:
7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15
tem moda igual a 10, pois é a que mais aparece.
Podemos, entretanto, encontrar séries nas quais não 
exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça 
mais vezes que outros. É o caso da série:
3, 5, 8, 10, 12, 13
que não apresenta moda (amodal), ou seja, não existe 
nenhum valor que apareça mais que o outro.
 
Em outros casos, ao contrário, pode haver dois ou mais 
valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois 
ou mais valores modais. Na série:
2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9
temos duas modas: 4 e 7 (bimodal). Nesse caso, temos 
dois valores que aparecem em quantidades iguais.
Vejamos, agora, mais alguns exemplos para calcular 
a moda:
 
a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6
Moda = 5, pois é o valor que MAIS se repete
b) 20, 9, 7, 2, 12, 7, 20, 15, 7
Moda = 7, pois é o valor que MAIS se repete
b) 20, 9, 7, 12, 15, 17
É uma sequencia AMODAL, pois não tem repetição de 
valores.
1.2 - Moda de dados agrupados
1.2.1 - Sem Intervalos de Classe
Uma vez agrupados os dados, é possível determinar 
imediatamente a moda, pois basta fixar o valor da variável de 
maior frequência.
Exemplo1:
Temperatura fi 
10ºC
12ºC
14ºC
16ºC
18ºC
20ºC
1
3
9
12
6
3
Vejam que, neste caso, a moda é 16ºC, pois aparece 12 
vezes/repetições. Podemos ter uma distribuição MODAL, 
apenas com um valor de moda.
1.2.2 - Com intervalos de classe
A classe que apresenta a maior frequência é denominada 
classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, 
neste caso, é o valor dominante que está compreendendo entre 
os limites da classe modal.
O método mais simples para o cálculo da moda consiste 
em tomar o ponto médio da classe modal.
Damos a esse valor a denominação de moda bruta.
Temos, então:
Mo = _______ onde:
l* é o limite inferior da classe modal;
L* é o limite superior da classe modal.
Assim, para a distribuição:
•Exemplo 1:
Calculem a moda da tabela apresentada a seguir:
l* + L*
2
i ESTRUTURAS (cm) fi 
1
2
3
4
5
6
150 154
154 158
158 162
162 166
166 170
170 174
4
9
 11 ←
8
5
3
Ʃ = 40
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
Vejam que temos que identificar, pelo MAIOR valor 
de fi, a classe modal... Desta forma temos que os valores a 
serem inseridos na fórmula são referentes à terceira classe por 
apresentar um maior valor em fi.
Temos que a classe modal é i = 3, l* = 158 e L* = 162.
Como:
Mo = ______ 
Vem:
Mo = _________ = ____ = 160 
Logo:
Mo = 160 cm
l* + L*
2
158 + 162
2
320
2
33
2 – Moda de Czuber
VAMOS VER MAIS UM EXEMPLO??!!
 Há, para o cálculo da moda, outros métodos mais 
elaborados, como, por exemplo, o que faz usa da fórmula de 
Czuber:
 
Mo = l* + ________ x h*
Na qual:
l* é o limite inferior da classe modal;
h* é a amplitude da classe modal;
D1 = f* - f(ant);
D2 = f* - f(post),
 
Sendo:
• f* a frequência simples da classe modal;
• f(ant) a frequência simples da classe anterior à classe 
modal;
• f(post) a frequência simples da classe posterior à classe 
modal.
Assim, para a distribuição da tabela, temos:
D1 = 11 – 9 = 2 e D2 = 11 – 8 = 3
Donde:
 Mo = 158 + _____ x 4
Mo = 158 + ___ x 4
Mo = 158 + ___
Mo = 158 + 1,6
Mo = 159,6
Logo:
Mo = 159,6 cm
• Exemplo 2:
Considerem os valores apresentados na tabela a seguir e 
calculem a moda geral e por Czuber:
D1
D1 + D2
2
2 + 3
2
5
5
8
I Dias usados para 
exercícios físicos
Quantidade de 
pessoas (fi )
1
2
3
4
5
6
0 5
5 10
10 15
15 20
20 25
25 30
10
40
53
27
7
3
140
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
Vejam que, para chegar aos valores de moda, 
primeiramente torna-se necessário identificar, pela coluna 
de fi, qual o valor que mais se repete... e, neste caso, iremos 
considerar a terceira classe, pois é ela quem apresenta a maior 
quantidade de repetições.
A partir da identificação da classe, podemos encontrar 
a média geral, mas primeiro devemos calcular o valor de 
ponto médio das classes (xi), conforme apresentado na quarta 
coluna.
I Dias usados para exercícios físicos
Quantidade de 
pessoas (fi ) xi
1
2
3
4
5
6
0 5
5 10
10 15
15 20
20 25
25 30
10
40
53
27
7
3
2,5
7,5
12,5
17,5
22,5
27,5
140 90
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
Moda Bruta:
Mo = _______
 
 Mo = _______ = ___ = 12,5
Mo = 12,5
Depois disso, para o cálculo de Moda de Czuber, 
deveremos nos atentar para os valores referentes à terceira 
classe, quem apresenta a maior quantidade de repetições (fi).
Fórmula de Czuber:
Mo = l* + ________ x h*
 
D1 = 53 − 40 = 13
D2 = 53 − 27 = 26
h* = 5
Mo = 10 + ________ x 5
Mo =10 + ____ x 5
Mo = 10 + 0,33 x 5
Mo = 10 + 1,65
Mo = 11,65
l* + L*
2
10 + 15
2
25
2
I
Dias usados 
para exercícios 
físicos
Quantidade de 
pessoas (� ) xi
1
2
3
4
5
6
0 5
5 10
10 15
15 20
20 25
25 30
10
40
53
27
7
3
2,5
7,5
12,5
17,5
22,5
27,5
140 90
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
D1
D1 + D2
13
13 + 26
13
39
• Exemplo 3:
Calculem a moda geral e de Czuber para os dados 
apresentados na tabela a seguir:
Custo (R$) (fi )
450 550
550 650
650 750
750 850
850 950
950 1050
1050 1150
8
10
11
16
13
5
1
⊥
⊥
Métodos Quantitativos I 34
650 750
750 850
850 950
950 1050
1050 1150
11
16
13
5
1
64
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
Vejam que para chegar aos valores de moda, 
primeiramente torna-se necessário identificar, pela coluna 
de fi, qual o valor que mais se repete... e, neste caso, iremos 
considerar a quarta classe, pois é ela quem apresenta a maior 
quantidade de repetições.
A partir da identificação da classe, podemos encontrar a 
média geral, mas primeiro devemos calcular o valor de ponto 
médio das classes (xi), conforme apresentado na quarta 
coluna.
Moda Bruta:
Mo = _______
 
 Mo = _________ = _____ = 800
Mo = 800 
Depois disso, para o cálculo de Moda de Czuber, 
deveremos nos atentar para os valores referentes à quarta 
classe, quem apresenta a maior quantidade de repetições (fi).
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
Custo (R$) (fi ) xi
450 550
550 650
650 750
750 850
850 950
950 1050
1050 1150
8
10
11
16
13
5
1
500
600
700
800
900
1000
1100
64 5600
l* + L*
2
750 + 850
2
1600
2
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
Custo (R$) (fi ) xi
450 550
550 650 
650 750 
750 850
850 950
 950 1050
1050 1150
8
10
11
16
13
5
1
500
600
700
800
900
1000
1100
64 5600
Fórmula de Czuber:
Mo = l* + ________ x h*
 
D1 = 16 − 11 = 5
D2 = 16 − 13 = 3
h* = 5
Mo = 750 + _____ x 100
Mo =750 + ____ x 100
D1
D1 + D2
5
5 + 3
5
8
Mo = 750 + 0,625 x 100
Mo = 750 + 62,50
Mo = 812,5 
1 – Moda
Nessa seção estudamos como podemos encontrar a moda 
nos três tipos de distribuição (dados não-agrupados, dados 
agrupados sem intervalos de classe e dados agrupados com 
intervalos de classe): 
a) moda de dados não agrupados;
b) moda de dados agrupados;
c) sem intervalos de classe;
d) com intervalos de classe.
2 – Moda de Czuber
Nessa seção vimos, especificamente, como calcular, de 
uma forma mais precisa, a moda em dados agrupadoscom 
intervalos de classe.
Retomando a aula
Chegamos, assim, ao fi nal da Aula 06. Espero que 
agora tenha fi cado mais claro o entendimento de 
vocês sobre Moda. Vamos, então, recordar: 
Não esqueçam! Em caso de dúvidas, acessem as ferramentas “Fórum” 
ou “Quadro de Avisos”
CRESPO, A. A. Estatística fácil. 18. ed. São Paulo: Saraiva, 
2002.
TRIOLA, M. F. Introdução a estatística. 9. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2005.
WALPOLE, R. E. et al. Probabilidade e estatística – para 
engenharia e ciências. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2009.
Estatística, medida e moda. Disponível em: 
<ht tp ://g ovtandeduca t ioncha t . r eoc i t i e s. com/
R e s e a r c h Tr i a n g l e / 4 4 8 0 / c l a s s r o o m / p r o b _
estatistica/2007_1/lecture_slides/aula02.pdf>.
InfoEscola – Estatística. Disponível em: <http://www.
infoescola.com/estatistica/moda/>.
Só Matemática – Estatística Básica. Disponível em: 
<http://www.somatematica.com.br/estat/basica/pagina6.
php>.
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