Calculo Aplicado Varias Variaveis Atividade 2

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Usuário DIEGO AMARAL ROLA
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS ENGPD202 - 202010.ead-4825.01
Teste ATIVIDADE 2 (A2)
Iniciado 11/04/20 17:50
Enviado 11/04/20 19:36
Status Completada
Resultado da tentativa 10 em 10 pontos  
Tempo decorrido 1 hora, 45 minutos
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
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da
Considere a função de duas variáveis  , tal que as variáveis   e   são funções da variável  , isto é,   e  . A derivada da
função   com relação à variável   é obtida por meio da regra da cadeia expressa por  . Pela regra da cadeia, podemos notar que
precisamos das derivadas parciais da função com relação às variáveis   e   e precisamos das derivadas das funções   e   com relação à
variável  . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função   com relação à variável  , sabendo
que   e  . 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas:  ,  ,   e  .
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resposta: Aplicando a regra da cadeia, obtemos a expressão da derivada desejada: 
. Trocando as expressões de   e   temos
.
Pergunta 2
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da
resposta:
A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso,
essa direção de maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma unitária. Já a direção oposta ao vetor gradiente irá
denotar a direção de maior decrescimento da função. 
 
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função   no ponto P(1,2).
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior crescimento é  . Precisamos então determinar o
vetor gradiente. O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais da função  , assim, 
Derivadas parciais e vetor gradiente no ponto P(1,2): 
-                             
-                            
-                   
  
A norma do vetor gradiente no ponto P(1,2) é  . 
Assim, a direção de maior crescimento é  .
Pergunta 3
O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis. Nesse caso, a mudança no cálculo se dá pela quantidade de
componentes que o vetor gradiente e o vetor que dá a direção apresentam, nesse caso, esses vetores possuem três componentes. Considere a
seguinte situação: O potencial elétrico num ponto   do espaço tridimensional é expresso pela função  . 
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a maior taxa de variação do potencial elétrico   no ponto  .
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da
resposta:
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. A maior taxa de variação do potencial elétrico ocorre na direção e no sentido do vetor
gradiente calculado no ponto P, isto é,  Dado que o vetor gradiente no ponto P(2,2,-1) é 
 e sua norma é , temos que a direção procurada é 
.
Pergunta 4
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da
resposta:
Suponha que   seja uma função diferenciável de   e  , tal que  . No entanto,   e   são funções de   expressas por 
  e  . Para se obter a derivada de   com relação a variável   devemos fazer uso da regra da cadeia. 
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de   em relação a  , isto é,  , para quando  .
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que  , onde 
. Assim,  . Dado que  , temos 
.
Pergunta 5
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido.
Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de
funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. 
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resposta:
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
 
I - O domínio da função   é o conjunto  .
II - O domínio da função   é o conjunto  .
III - O domínio da função   é o conjunto  .
IV - O domínio da função   é o conjunto  .
  
  
 
I, IV
I, IV
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada função, concluímos que: 
Afirmativa I: Correta. O domínio da função   é o conjunto 
. 
Afirmativa IV: Correta. O domínio da função   é o conjunto  .
Pergunta 6
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Resposta Correta:  
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da
resposta:
O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é
definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade  , medida em  , em todos os pontos de uma placa
retangular no plano   dada por  , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de aumento da densidade   no
ponto  .
 
 
A taxa máxima de aumento da densidade é  .
A taxa máxima de aumento da densidade é  .
Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento da densidade, conforme o enunciado nos traz, é a norma
do vetor gradiente no ponto considerado. Dado que o vetor gradiente no ponto P(1,2) é   e sua norma é 
, concluímos que a taxa máxima de aumento da densidade é  .
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Pergunta 7
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resposta:
A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o
ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor unitário do vetor gradiente. 
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função   no ponto
P(-1,1). 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o vetor gradiente são:  , 
 e . Logo,  . Como a direção de máximo crescimento se dá
no vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor gradiente, temos que o vetor procurado é 
.
Pergunta 8
O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço  , enquanto que o seu domínio é uma região do plano  . Para determinar o
domínio da função de duas variáveis  , precisamos verificar se não há restrições para os valores que   e   podem assumir. 
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir.
 
I. O domínio da função   corresponde à região a seguir.
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II. O domínio da função   corresponde à região a seguir.
 
 
III. O domínio da função   corresponde à região a seguir.
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da
resposta:
 
 
IV. O domínio da função   corresponde à região a seguir.
 
  
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).I, apenas.
I, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Verificando as restrições para a função, temos que apenas a afirmativa I é
verdadeira, pois: 
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Afirmativa I: Correta. A função   tem as seguintes restrições   e  , portanto, o domínio da
função é o conjunto , que corresponde à região dada na afirmativa.
Pergunta 9
Resposta Selecionada:  
Resposta Correta:  
Feedback
da
resposta:
Considere a função de duas variáveis  , tal que as variáveis   e   são funções das variáveis   e  , isto é,   e  . A
derivada da função   com relação à variável   é obtida por meio da regra da cadeia expressa por  . Já a
derivada de   com relação à variável   é obtida por meio da expressão  . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função   com relação às variáveis   e  , sabendo
que   e  . 
 
 
 e 
 e 
Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra da cadeia, temos que a derivada parcial de   com relação a   é:
. Já a derivada parcial de   com relação a   é: 
.
Pergunta 10
Resposta Selecionada:  
Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas variáveis   temos que o domínio desse tipo de função pode
ser dado como o conjunto de pares ordenados   pertencentes ao plano   que satisfazem a lei de formação da função  . Assim, para
determinar o domínio da função precisamos verificar se não há restrições para os valores que   e   podem assumir. 
 
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta.
 
 
O domínio da função   é o conjunto  .
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1 em 1 pontos
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Sábado, 11 de Abril de 2020 19h36min10s BRT
Resposta Correta:  
Feedback da resposta:
O domínio da função   é o conjunto  .
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes restrições para os valores de   e  : 
(I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, isto é,   
(II) A expressão do denominador deve ser não nula, isto é,   
Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta em  . Logo,  .
 OK
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