livro-capitulo 4

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Resultantes de um sistema de forcas 
I 
Obietivos do capítulo 
• Discutir o conceito do momento de uma força e mostrar como calculá-lo em duas e três dimensões. 
• Fornecer um método para determinação do momento de uma força em relação a um eixo específico. 
• Definir o momento de um binário. 
• Apresentar métodos para a determinação das resultantes de sistemas de forças não concorrentes. 
• Mostrar como reduzir um carregamento distribuído simples em uma força resultante e seu ponto de aplicação. 
ID Momento de uma força - formulacão escalar , 
Quando uma força é aplicada a um corpo, ela produzirá uma tendência de rotação 
do corpo em tomo de um ponto que não está na linha de ação da força. Essa tendência 
de rotação algumas vezes é chamada de Iorque, mas nonnalmente é denominada 
momento de uma força, ou simplesmente momento. Por exemplo, considere uma 
chave usada para desparafusar o parafuso na Figura 4.1 a. Se uma força é aplicada 
no cabo da chave, ela tenderá a girar o parafuso em torno do ponto O (ou o eixo z). 
A intensidade do momento é diretamente proporcional à intensidade de F e à distância 
perpendicular ou braço do momento d. Quanto maior a for,ça ou quanto mais longo 
o braço do momento, maior será o momento ou o efeito de rotação. Note que se a 
força F for aplicada em um ângulo () :f: 90° (Figura 4.1 b ), en.tão será mais difícil girar 
o parafuso, uma vez que o braço do momento d' = d sen () será menor que d. Se F 
for aplicado ao longo da chave (Figura 4.1 c), seu braço do momento será zero, uma 
vez que a linha de ação de F interceptará o ponto O (o eixo z). Como resultado, o 
momento de F em relação a O também será zero e nenhuma rotação poderá ocorrer. 
Vamos generalizar a discussão anterior c consi-
derar a força F e o ponto O, que estão situados no 
plano sombreado, como mostra a Figura 4.2a. O 
momento M0 em relação ao ponto O, ou ainda em 
relação a um eixo que passa por O perpendicularmente 
ao plano, é uma quantidade vetorial, uma vez que 
ele tem intensidade e direção específicas. 
z 
(c) 
z 
(a) 
= 
(b) 
Figura 4.1 
I 86 I Estática 
F 
Eixo do momento 
I 
o 
(a) Sentido de rotação 
(b) 
Figura 4.2 
Intensidade 
A intensidade de M0 é 
(4.1) 
onde d é o braço do momeJJto ou distância pe1pendicu/ar do eixo no ponto O até a 
linha de ação da força. As unidades da intensidade do momento consistem da força 
vezes a distância, ou seja, N · m ou lb · ft. 
Direcão • 
A direção de M 0 é defi nida pelo seu eixo do momento, que é perpendicular ao 
plano que contém a força F e seu braço do momento d. A regra da mão direita é 
usada para estabelecer o sentido da direção de M0 . De acordo com essa regra, a curva 
natural dos dedos da mão direita, quando eles são dobrados em direção à palma, 
representa a tendência da rotação causada pelo momento. Quando essa ação é 
realizada, o polegar da mão direita dará o sentido direcional de M 0 (Figura 4.2a). 
Note que o vetor do momento é representado tridimensionalmente por uma seta 
curvada em tomo de uma seta. Em duas dimensões, esse vetor é representado apenas 
pela seta curvada, como mostra a Figura 4.2b. Como, nesse caso, o momento tenderá 
a produzir uma rotação no sentido anti-horário, o vetor do momento está direcionado 
para fora da página. 
Momento resultante 
Para problemas bidimensionais, em que todas as forças estão no plano x-y 
(Figura 4.3), o momento resultante (MR)o em relação ao ponto O (o eixo z) pode 
ser determinado pela adição algébrica dos momentos causados no sistema por todas 
as forças. Por convenção, geralmente consideraremos que os momentos positivos 
têm sentido anti-horário, uma vez que eles são direcionados ao longo do eixo 
positivo z (para fora da página). Momentos no sentido horário serão negativos. 
Desse modo, o sentido direcional de cada momento pode ser representado por um 
sinal de mais ou de menos. 'Usando essa convenção de sinais, o momento resultante 
na Figura 4.3 é: 
y F, -
do - M, -
Figura 4.3 
Se o resultado numéric·o dessa soma for um escalar positivo, (M R)o será um 
momento no sentido anti-horário (para fora da página); e se o resultado for negativo, 
(MR)o será um momento no• sentido horário (para dentro da página). 
Capítulo 4 Resultantes de um sistema de forças I 87 
Exemplo 4.1 
Detennine o momento da força em relação ao ponto O para cada caso ilustrado na 
Figura 4.4. 
100 
1-------2m ------1 
o 
\ 
o F~r=§~~~~~Js m 
I ----------------- ~~~-~--- 50 o = I 1-----2 l1l ------1· 
(a) (b) 
~ . 
SOLUÇAO (ANALISE ESCALAR) 
A linha de ação de cada força é prolongada por uma linha tracejada para estabelecer 
o braço do momento d. As figuras mostram também as tendências de rotação do 
membro causada pela força. Além disso, a órbita da força em torno de O é representada 
por uma seta curvada. Assim, 
Fig.4.4a Mo= (100 N)(2 m) = 200 · m \ 
Fig.4.4h Mo = (50 N)(O, 75 m) = 37,5 N · m \ 
Fig.4.4c ~~ = ( 40 kN)( 4 m + 2 cos 30° m)= 229 kN · m \ 
Fig.4.4d Mo = (60 kN )(l sen 45° m ) = 42,4 kN · m ..J 
Fig.4.4e Mo = (7 kN)(4 m - Im)= 21 ,0 kN · m ..J 
Exemplo 4.2 
Oetennine o momento resultante das quatro forças que atuam na barra mo trada na 
Figura 4.5 em relação ao ponto O. 
~ 
SOLUCAO 
• 
Assumindo que momentos posirivos atuam na direção +k, ou seja, no sentido anti-
-horário, temos: 
\.. + MR0 = L.Fd; 
MR
0 
=-50 N(2 m) + 60 N(O) + 20 N(3 sen 30° m) 
- 40 N ( 4 m + 3 cos 30° m) 
MRo = - 334 N · m = 334 N · m \ 
Para esse cálculo, note que as distâncias dos braços dos momentos para as forças de 
20 N c 40 N foram estabelecidas pelo prolongamento das linhas de ação (tracejadas) 
de cada uma delas. 
A 
2m 
'(" 
~O~o~~==~~:::E~~3~ : 40k 
I 
1----4m ---+1----<: 
2 cos30° m 
(c) 
~-----Jm-----~ 
: 
(d) 
j-2m-j 
f- -----
4m 
I 
o 
(e) 
Figura 4.4 
50 N 
Jo• 
40N 
Figura 4.5 
F 
M I = Fd, 
Como ilustrado pelos exemplos, o momento de umo forço 
nem sempre provoco rotação. Por exemplo, o forço f 
tende o girar o viga no sentido horário em torno de seu 
suporte em A, com um momento M,- F(/_4 • A rotação 
realmente ocorreria se o suporte em 8 fosse removido. 
I 88 I Estática 
A capacidade de remover o prego exigirá que o momento de 
F11 em relação oo ponto O seja maior do que o momento do 
forço F, em relação oo O que é necessário poro arrancar o 
prego. 
C = A><B 
B 
Figura 4.6 
C= A>< B 
B 
A 
- C = B x A 
Figura 4.7 
Produto vetoria 
O momento de uma for,ça será formulado com o uso de vetores cartesianos na 
próxima seção. Antes disso, porém, é necessário ampliar nosso conhecimento de álgebra 
vetorial introduzindo o método do produto vetorial ou produto cruzado de multiplicação 
de vetores. 
O produto vetorial de dois vetores A e B produz o vetor C, que é escrito: 
C = A X B 
e lido como 'C é i!:,rual a A vetor B'. 
Intensidade 
(4.2) 
A intensidade de C é definida como o produto das intensidades de A e B e o seno 
do ângulo e entre suas origens (0° <e< 180°). Logo, C = AB sen (). 
Direcão 
' 
O vetor C possui uma direção perpendicular ao plano que contém A e B, de modo 
que C é determinado pela regra da mão direita; ou seja, dobrando os dedos da mão 
direita a partir do vetor A até o vetor B, o polegar aponta na direção de C, como 
mostra a Figura 4.6. 
Conhecendo a direção e a intensidade de C, podemos escrever: 
C = A X B = (AB sen 8) Uc (4.3) 
onde o scalar AB sen e define a intensidade de C e o vetor unitário uc define sua 
direção. Os termos da Equação 4.3 são mostrados na Figura 4.6. 
Propriedades de operação 
• A propriedade comutativa não é válida; ou seja, A X B :f; B X A. Em vez 
disso, 
A X 8 = - 8 X A 
Esse resultado é mostrado na Figura 4.7 utilizando a regra da mão direita. O produto 
vetorial B X A resulta em um vetor que tem a mesma intensidade, mas atua na direção 
oposta a C; isto é, B x A = -C. 
• Se o produto vetorial for multiplicado por um escalar a, ele obedece à 
propriedade associativa; 
a(A X 8) = (aA) X 8 = A X (aB) ={A X B)a 
Essa propriedade é facilmente mostrada, umavez que a intensidade do vetor 
resultante (laiAB sen 8) e sua direção são as mesmas em cada caso. 
Capítulo 4 Resultantes de um sistema de forças I 89 I 
• O produto vetorial também obedece à propriedade di tributiva da adição, 
A X (B + O) = {A X B) + {A X O) 
• A prova dessa identidade é deixada como um exercício (veja o Problema 
4 .1 ). É importante notar que a ordem correta dos produtos vetoriais deve 
ser mantida, uma vez que eles não são comutativos. 
Formulacão do vetor cartesiano , 
A Equação 4.3 pode ser utilizada para obter o produto vetorial de qualquer par 
de vetores unitários cartesianos. Por exemplo, para encontrar i X j , a intensidade do 
vetor resultante é {i) (i) (sen 90°) ={I) {I) {I)= I, e sua direção é determinada 
usando a regra da mão direita. Como mostra a Figura 4.8, o vetor resultante aponta 
na direção +k. Portanto, i X j = (I )k. De maneira similar, 
--
k = j X j 
i 
Figura 4.8 
i X j = k i X k = - j i X i = O 
j X k = i j X i = - k j X j = O 
k X i = j k X j = - i k X k = O 
E ses resultados não devem ser memorizados; deve-se compreender com clareza 
como cada um deles é obtido com o uso da regra da mão d ireita e com a definição 
do produto vetorial. Um esquema simples, apresentado na Figura 4.9, é útil para a 
obtenção dos mesmos resultados quando for necessário. Se o círculo é construido 
de acordo com a figura, então 'o produto vetorial' de dois vetores unitários no 
sentido anti-horário do círculo produz o terceiro vetor unitário positivo; por 
exemplo, k X i = j . Fazendo o produto vetorial no sentido horário, um vetor unitário 
negativo é obtido; por exemplo, i X k = - j . 
Considere agora o produto vetorial de dois vetores quaisquer A e B, expressos 
na forma de vetores cartesianos. Temos: 
A X B =(A) + A,j + A:k) X (8) + B_..j + B=k) 
= A)J,. {i X i) + A fi_.. {i X j) + A fi: (i X k) 
+ A,B, U X i) + A,B, U X j) + A,B= U X k) . . . 
+ A:fJx (k X i) + A;B, (k X j ) + A:fJ: (k X k) 
Efetuando as operações de produto vetorial e combinando os termos resultantes, 
A X B = (A,.B:- A;B,) i - (Afi:- A:fJx) j + (Afi,- A,B,) k (4.4) 
Essa equação também pode ser escrita na fonna mais compacta de um detem1inantc 
como: 
• • k I J 
A X B = A,. A,. A-• 
8 , B .• B: (4.5) 
j k 
Figura 4.9 
I 90 I Estático 
Eixo do momento 
F 
(a) 
Eixo do momento 
t-:1o ,., 
,_,..._,._-=r,..----"' O 
F 
(b) 
Figura 4.1 O 
Portanto, para obter o produto vetorial de quaisquer vetores cartesianos A e B, é 
necessário expandir um determinante cuja primeira linha de elementos consiste dos 
vetores unitários i, j e k; e a segunda e terceira linhas são as componentes x, y, z dos 
dois vetores A e B, respecüvamente. * 
Momento de uma forca - formulacão vetorial , , 
O momento de uma força F em relação a um ponto O ou, mais exatamente, 
em relação ao eixo do momento que passa por O e é perpendicular ao plano de 
O e F (Figura 4.1 Oa) pode ser expresso na forma de um produto vetorial, 
nominalmente, 
M 0 = r X F (4.6) 
Nesse caso, r representa um vetor posição dirigido de O até algum ponto sobre 
a linha de ação de F. Vamos mostrar agora que, de fato, o momento M 0 , quando 
obtido por esse produto vetorial, possui intensidade e direção próprias. 
Intensidade 
A intensidade do produto vetorial é definida pela Equação 4.3 como M0 = rF sen e. 
O ângulo e é medido entre as origens de r e F. Para definir esse ângulo, r deve ser 
tratado como um vetor deslizante, de modo que e possa ser representado corretamente 
(Figura 4.1 Ob). Uma vez que o braço de momento d =r sen e, então: 
M0 = rF sen e= F(r sen e)= Fd 
de acordo com a Equação 4.1. 
Direcão 
' 
A direção e o sentido de M0 na Equação 4.6 são determjnados pela regra da mão 
direita do produto vetorial. Assim, deslizando r ao longo da linha tTacejada e curvando 
os dedos da mão direita de r para F ('r vetor F '), o polegar fica direcionado para 
• Um detenniname com três linhas e três colunas pode ser expandido usando-se lrês menores. 
Cada um deles deve ser multiplicado por um dos três elementos da primeira linha. Há quatro 
elementos em cada detenninante menor, por exemplo, 
Por definição, essa notação do determinante representa os termos (A 11A22 - A ,zA21 ) Trata-se 
simplesmente do produto de dois elementos da diagonal principal (A 11A22) menos o produto dos 
dois elementos da diagonal secundária (A 1zA21). Para um detenninante 3 X 3, como o da Equação 
4.5, os três detcm1inantes menores podem ser construídos de acordo com o seguinte esquema: 
Pard o elemento i : 
X 
Para o elemento j : 
(Lembre-se do sinal negativo 
- j( A., B: - A:fJ .. ) 
Para o elemento k: 
Adicionando os resultados c observando que o elemento j deve incluir o sina/negativo. chega-se 
à fonna expandida de A X B dada pela Equação 4.4. 
Capítulo 4 Resultantes de um sistema de forças I 91 
cima ou perpendicular ao plano que contém r e F, que está na mesma direção de 
Ma. o momento da força em relação ao ponto O da Figura 4.1 Ob. ote que tanto a 
'curva' dos dedos, como a curva em tomo do vetor de momento, indica o sentido da 
rotação causado pela força. Como o produto vetorial não obedece à propriedade 
comutativa, a ordem de r X F deve ser mantida para produzir o sentido da direção 
correta para M0 . 
Princípio da transmissibilidade 
A operação do produto vetorial é frequentemente usada em três dimensões, já que 
a distância perpendicular ou o braço do momento do ponto O à linha de ação da 
força não é necessário. Em outras palavras, podemos usar qualquer vetor posição r 
medido do ponto O a qualquer ponto sobre a linha de ação da força F (Figura 4.11 ). 
Assim, 
M 0 = r 1 X F = r2 X F = r3 X F 
Como F pode ser aplicado em qualquer ponto ao longo de sua linha de ação e 
ainda criar esse mesmo momento em relação ao ponto O, então, F pode ser considerado 
um vetor deslízante. Essa propriedade é chamada de princípio da transmissibilidade 
de uma força. 
F 
Li n hn de nçào 
Figura 4.11 
Formulacão do vetor cartesiano 
• 
Se estabelecermos os eixos coordenados x, y, z, então o vetor posição r c a força 
F podem ser expressos como vetores cartesianos (Figura 4. 12a). Aplicando a Equação 
4.5 temos: 
onde: 
• • k 1 J 
M0 = r X F = r ': •. 1: < -
F. F, F. (4.7) -
reprc cntam as componentes x, y, z do vetor posição definido do ponto 
O até qualquer ponto sobre a linha de ação da força 
F.- F,, F: representam as componentes x, y, z do vetor força 
Se o determinante for expandido, então, como a Equação 4.4, temos: 
M0 = (r,F:- r~,) i - (rJ':- tfx)j + (r,F , - r,F i ) k (4.8) 
O significado fisico dessas três componentes do momento se toma evidente ao 
analisar a Figura 4.12h. Por exemplo, a componente i de M0 pode ser determinada 
a partir dos momentos de F, F.11 c F: em relação ao eixo x. A componente Fx não 
gera nenhum momento nem tendência para causar rotação em relação ao eixo x, uma 
vez que essa força é paralela ao eixo x. A linha de ação de F,. passa pelo ponto 8 e, 
Eixo do 
momento 
/ 
(a) 
(b) 
Figura 4.12 
--Y 
I 92 I Estática 
--
I 
Figura 4.13 
--
12m 
X 
(a) 
--
X 
y 
(b) 
Figura 4.14 
portanto, a intensidade do momento de FJ. em relação ao ponto A no eixo x é r~­
Pela regra da mão direita, essa componente age na direção negativa de i. Da mesma 
fonna, F, passa pelo ponto C e, assim, ele contribui com uma componente do momento 
de t:,F .i em relação ao eixo. Portanto, (Mo)x = (l jF. - r ;Fy) como mostra a Equação 
4.8. Como um exercício, detem1ine as componentes j e k de M 0 dessa maneira e 
mostre que realmente a forma expandida do determinante (Equação 4.8) representa 
o momento de F em relação ao ponto O. Quando M0 for determinado, observe que 
ele sempre será perpendicular ao plano em cinza contendo os vetores r e F (Figura 
4.12a). 
Momento resultante d1e um sistema de forcas 
' 
Se um corpo é submetido à ação de um sistema de forças (Figura 4.13), o 
momento resultante das forças em relação ao ponto O pode ser determinado pela 
adição vetorial do momento de cada força.Essa resultante pode ser escrita 
simbolicamente como: 
(4.9) 
Exemplo 4.3 
Detennine o momento produzido pela força F na Figura 4.14a em relação ao ponto O. 
Expresse o resultado como um vetor cartesiano. 
SOLUCÃO 
• 
Como mostra a Figura 4.14a, tanto r 11 quanto r 8 podem ser usados para detem1inar 
o momento em relação ao ponto O. Esses vetores posição são: 
r"= {12k} m e r8 = {4i + 12j } m 
A força F expressa como ul!l1 vetor cartesiano é: 
Logo, 
ou 
F - Fu _ 2 kN[ {4i +l2j - 12k }m ] 
-
118
- J(4 m)2 + (12 m)2 + (- 12 m)2 
= {0,4588i + 1,376j - 1,376k } kN 
i j k 
M0 = r11 X F = 0 0 12 
0,4588 1,376 -1,376 
= [0(-1,376)- 12{1,376))i - [0(-1,376) - 12(0,4588))j 
+ [0(-1,376)- 0(0,4588))k 
= {- 16,5i + 5,5 1j} kN · m 
i j k 
M0 = r 8 X F = 4 12 O 
0,4588 1,376 - 1,376 
= [12(-1, 376) - 0(1,376))i - [4(-1,376) - 0(0,4588))j 
+ [4(1 ,376)- 12(0,4588 ))k 
= {- 16,5i + 5,51j} kN · m 
NOTA: Como mostra a Figura 4.14b, M 0 age perpendicularmente ao plano que contém 
F, r, e r8. Veja a dificuldade que surgiria para obter o braço do momento d se esse 
problema tivesse sido resolvido usando M0 = Fd. 
Capítulo 4 Resultantes de um sistema de forças I 93 I 
Exemplo 4.4 
Duas forças agem sobre a barra mostrada na Figura 4.15a. Detennine o momento 
resultante que elas criam em relação ao nange em O. Expresse o resultado como um 
vetor cartesiano. 
- -- -
F, t2601+ 40j + 20k} k F, ~·R -P Oi - 40j 11 
~~~;:.,..._.A. ___ _.. 
:r 
B 
F 2 M 180i I 40j - 30k) k 
(a) (b) 
Figura 4.1 S 
-SOLUCAO 
• 
Os vetores posição estão direcionados do ponto O até cada força, como mostra a 
Figura 4. 15b. Esses vetores são: 
r,~ = {5j } m 
r8 = {4i .,.. 5j - 2k} m 
Logo, o momento resultante em relação a O é: 
1\h , = 1:( r X F') 
= r 4x F,+ rs x F\ 
i j k i j k 
o 5 o + 4 5 - 2 
-60 40 20 80 40 -30 
= (5(20) - O( 40)] i - fO]j + (0(40)- (5 )(60))k 
+ [5 ( - 30) - ( - 2 )( 40)]i - [ 4(-30) - (-2 )(80))j + [ 4( 40) - 5(80)] k 
= {30i - 40j + 60k} kN · m 
NOTA: Esse resultado é mostrado na Figura 4. I Se. Os ângulos de direção coordenados 
foram determinados a partir do vetor unitário de MR . Repare que as duas forças o 
tendem a fazer com que o bastão gire em torno do eixo do momento conforme mostra 
a curva indicada no vetor momento. 
m o princípio dos momentos 
Um conceito bastante usado na mecânica é o princípio dos momentos, que, 
algumas vezes, é referido como o teorema de Varignon, já que foi originalmente 
desenvolvido pelo matemático francês Yarignon ( 1654-1722). Ele estabelece que o 
momento de uma força em relação a um ponto é igual à soma dos momentos das 
componentes da força em relação ao mesmo ponto. Esse teorema pode ser provado 
facilmente usando o produto vetorial, uma vez que o produto vetorial obedece à 
propriedade distributiva. Por exemplo, considere os momentos da força F e duas de 
suas componentes em relação ao ponto O (Figura 4.16). Como F = F1 + F2, temos: 
M 0 = r X F = r X (F1 + F2) = r X F1 + r X F2 
--
(c) 
o 
Figura 4.16 
I 94 I Estática 
Figura 4.17 
É fácil determinar momento do forço F 
aplicado em relação ao ponto O se 
usarmos o princípio dos momentos. 
Ele é simplesmente M0 = F,d. 
Para os problemas bidimensionais (Figura 4.17), podemos usar o princípio dos 
momentos decompondo a força em suas componentes retangulares e, depois, 
determinar o momento usando uma análise escalar. Logo, 
M0 = F,y - ~.x 
Esse método normalmente é mais fácil do que determinar o mesmo momento 
usando M 0 = Fd. 
Pontos importantes 
• O momento de uma força cria a tendência de um corpo girar em tomo de um 
eixo passando por um ponto específico O. 
• Usando a regra da mão direita, o sentido da rotação é indicado pela curva dos 
dedos, e o polegar é direcionado ao longo do eixo do momento, ou linha de 
ação do momento. 
• A intensidade do momento é determinada através de M0 = Fd, onde d é 
chamado o braço do momento, que representa a distância perpendicular ou 
mais curta do ponto O à linha de ação da força. 
• Em três dimensões, o produto de vetorial é usado para determinar o momento, 
ou seja, M0 = r X F. Lembre-se de que r está direcionado do ponto O a 
qualquer ponto sobre a linha de ação de F. 
• O princípio dos momentos estabelece que o momento de uma força em relação 
a um ponto é igual à soma dos momentos das componentes da força em relação 
ao mesmo ponto. Esse é um método bastante conveniente para usar em duas 
dimensões. 
Exemplo 4.5 
Determine o momento da força na Figura 4.18a em relação ao ponto O. 
-SOLUCAO I 
• 
O braço do momento d na Figura 4.l8a pode ser determinado por meio da trigono-
metria. 
d = (3 m) sen 75° = 2,898 m 
Logo, 
M0 = Fd = (5 kN )(2,898 m) = 14,5 kN · m \ 
Como a força tende a girar ou orbitar no sentido horário em torno do ponto O, o 
momento está direcionado para dentro da página. 
d, = 3 cos 30° m_j 
I Fx = (5 kN) COS 45° 
F=5kN 
F1 = (S kN) scn 45° 
o 
(a) (b) 
Figura 4.18 
Capítulo 4 Resultantes de um sistema de forças I 95 I 
-SOLUCAO 11 
• 
As componentes x c y da força são indicadas na Figura 4.18b. Considerando os 
momentos no sentido anti-horário como positivos e aplicando o princípio do momentos, 
temos: 
'- + M0 = - F;d, - F,d, 
-
= -(5 cos 45° kN){3 sen 30° m)- (5 sen 45° kN)(3 cos 30° m) 
= - 14,5kN · m = 14,5kN · m""\ 
SOLUCAO 111 
• 
Os eixos x e y podem ser definidos paralela e perpendiculam1ente ao eixo da barra, 
como mostra a Figura 4.18c. Aqui, F ... não produz momento algum em relação ao 
ponto O, já que sua linha de ação passa por esse ponto. Portanto, 
Exemplo 
\.+M0 =-F,d. 
4.6 
::= - (5 sen 75° kN)(3 m) 
= - 14,5 kN ·rn = 14,5kN · m""\ 
A força F age na extremidade da cantoneira mostrada na Figura 4.19a. Determine o 
momento da força em relação ao ponto O. 
- . 
SOLUCAO I (ANALISE ESCALAR) 
• 
A força é decomposta em suas componentes x e y, como mostra a Figura 4.19b; então, 
'-+Mo = 400 sen 30° N(0,2 m) - 400cos30° N(0,4 m) 
= - 98,6 N · m = 98,6 N · m ""\ 
ou 
M0 ::= {- 98,6 k} · m 
SOLUCÃO 11 (ANÁLISE VETORIAL) 
• 
Empregando uma abordagem do vetor cartesiano, os vetores de força e posição 
mostrados na Figura 4.19c são: 
r = {0,4i - 0,2j} m 
F ::= {400 sen 30°i - 400 cos 30°j } N 
::= {200,0i - 346,4j } N 
Portanto, o momento é: 
M0 = r x F J 0~4 - ~,2 ~ 
200,0 - 346,4 o 
=Oi - Oj + [0,4(-346,4}- (-0,2){200,0})k 
= {-98,6k} · m 
NOTA: Observe que a análi e escalar (Solução I) fornece um método mais convenieme 
para análise do que a Solução 11, já que a direção e o braço do momento para cada 
força componente ão fáceis de estabelecer. Assim, esse método geralmente é 
recomendado para resolver problemas apresentados em duas dimensões, enquanto 
uma análise de vetor cartesiano é recomendada apenas para resolver problemas 
tridimensionais. 
F,= (5 k 
X 
F; = (5 kN) sen 75° 
o 
(c) 
Figura 4.18 
I 
0.2 m 
_L 
F =400 
(a) 
I ' . 
400 sen 30° N 
f--0,4 m,--1 
400 cos 30° N 
(b) 
)' 
o 
~--------~, ---x 
0.2 m 
(c) 
Figura 4.19 
_L 
F 
I 96 I Estático 
Problemas fundamentais 
4.1. Determine o momento da força em relação ao ponto O. 
31. 
Problema 4.1 
4.2. Determine o momento da força em relação ao ponto O. 
100 N 
T 
2m 
I 
1-----5m -----1 
Problema 4.2 
4.3. Determine o momento da força em relação ao ponto O. 
F = 300 N 
'I---0,4m ---
Problema 4.3 
4.4. Determine o momento da força em relação ao ponto O. 
1.2m~ 
o 0.9 m 
0,3m 
3 k 
Problema 4.4 
4.5. Determine o momento da força em relação ao ponto O. 
Despreze a espessura do membro. 
50 
j-100 mm-J 60o 
Problema 4.5 
4.6•. Determine o momento da força em relação ao ponto O. 
500 N 
Problema 4.6 
4.7. Detem1ine o momento resultante produzido pelas forças 
em relação ao ponto O. 
500 
300 N 
600 
Problema 4.7 
4.8 . Determine o momento resultante produzido pelas forças 
em relação ao ponto O. 
o 
Problema 4.8 
4.9. Determine o momento resultante produzido pelas forças 
em relação ao ponto O. 
F2 = 1000 N 
l---2m---l 
30° 
F1 ~ 1500 N 
Problema 4.94.10. Determine o momento da força F em relação ao ponto 
O. Expresse o resultado como um vetor cartesiano. 
o 
y 
Problema 4.1 O 
Problemas 
•4.1. Se A, B e D são vetores, prove a propriedade distributiva 
para o produto vetorial, ou seja, A X (B + D) = (A X B) + 
(A X D). 
4.2. Prove a identidade do produto triplo escalar A · B X C 
= A X 8 · C. 
4.3. Dados os três vetores não nulos A, B e C, mostre que se A · 
(B X C) = O, os três vetores necessitam estar no mesmo plano. 
*4.4. Dois homens exercem forças de F= 400 N e P = 250 N 
sobre as cordas. Detennine o momento de cada força em relação 
a A. Em que sentido o poste girarará, horário ou anti-horário? 
•4.5. Se o homem em B exerce uma força P = 150 N sobre 
sua corda, determine a intensidade da força F que o homem 
em C precisa exercer para impedir que o poste gire; ou seja, 
para que o momento resultante em relação a A devido às 
duas forças seja zero. 
I 
1.8 m 
...,...-~~ _1 
F 
3, m 
A 
Problemas 4.4/ S 
4.6. Se e= 45°, determine o momento produzido pela força 
de 4 kN em relação ao ponto A. 
Capítulo 4 Resultantes de um sistema de forças I 97 I 
4.11. Determine o momento da força F em relação ao ponto 
O. Expresse o resultado como um vetor cartesiano. 
Problema 4.11 
4.12. Se F1 = {lOOi - l20j + 75k} N e F2 = {- 200i + 250j 
+ 1 OOk} N, determine o momento resultante produzido por 
essas forças em relação ao ponto O. Expresse o resultado 
como um vetor cartesiano. 
z 
Problema 4.12 
4.7. Se o momento produzido pela força de 4 kN em relação 
ao ponto A é I O kN · m no sentido horário, determine o 
ângulo e, onde 0° ~ (} ~ 90°. 
1----3m ----1 
Problemas 4.6/ 7 
*4.8. O cabo do martelo está sujeito à força de F= 100 N. 
Determine o momento dessa força em relação ao ponto A. 
•4.9. Para arrancar o prego em B, a força F exercida sobre 
o cabo do martelo precisa produzir um momento no sentido 
horário de 60 N · m em relação ao ponto A. Determine a 
intensidade necessária da força F. 
Problemas 4.8/ 9 
I 98 I Estática 
4.10. O cubo da roda pode ser conectado ao eixo com 
deslocamento negativo (esquerda) ou com deslocamento 
positivo (direita). Se o pneu está sujeito âs cargas normal e 
radial conforme mostrado, detennine o momento resultante 
dessas cargas em relação ao ponto O no eixo para os dois 
casos. 
~ (/ 
f.f' 
~ 0,05 111 
r-
o ,05 m . I ,.----0 -v ~ o 
c 
~._ 
0,4 m ~ 0,4 m 
<?' ~ 
\. ) " 
~ 
800 N 800 
4kN 4k 
Caso 1 Caso 2 
Problema 4.1 O 
4.11. O membro está sujeito a uma força F = 6 kN. Se 
8 = 45°, determine o momento produzido por F em relação 
ao ponto A. 
•4.12. Determine o ângulo () (0° S e < 180°) da torça F de 
modo que ela produza um momento máximo e um momento 
mínimo em relação ao ponto A. Além disso, quais são as 
intensidades desses momentos máximo e mínimo? 
•4.13. Determine o momento produzido pela força F em 
relação ao ponto A em função do ângulo e. Construa o 
gráfico de M,~ em função de O, onde 0° S OS 180°. 
1,5 m 
F • 6kN 
6m 
Problemas 4.11 / 12/ 13 
4.14. Sérios danos ao pescoço podem ocorrer quando um 
jogador de futebol americano é atingido na proteção de rosto 
de seu capacete da maneira mostrada, causando um 
mecanismo de guilhotina. Determ.ine o momento da força 
do joelho P = 250 N em relação ao ponto A. Qual seria a 
intensidade da força do pescoço F de modo que ela forneça 
o momento neutralizante em relação a A? 
P = 250 N 
Problema 4.14 
4.15. A força do tendão de Aquiles F, = 650 N é mobilizada 
quando o homem tenta ficar na ponta dos pés. Quando isso 
é feito, cada um de seus pés fica sujeito a uma força reativa 
N1 = 400 N. Determine o momento resultante de F, e N1 em 
relação â articulação do tornozelo A. 
•4.16. A força do tendão de Aquiles F, é mobilizada quando 
o homem tenta ficar na ponta dos pés. Quando isso é feito, 
cada um de seus pés fica sujeito a uma força reativa 
N, = 400 N. Se o momento resultante produzido pelas forças 
F, e N, em relação â articulação do tornozelo A precisa ser 
igual a zero, determine a intensidade de F,. 
F, 
200mm 
65mm N1 = 400N 
Problemas 4.1 S/ 16 
•4.17. Os dois garotos empurram o portão com forças de 
F8 = 250 N e~ = 150 N como mostrado. Determine o 
momento de cada força em relação a C. Em que sentido 
o portão girará, horário ou anti-horário? Despreze a espessura 
do portão. 
4.18. Dois garotos empurram o portão conforme mostrado. Se 
o garoto em 8 exerce uma força F8 = 150 N, determine a 
intensidade da força FA que o garoto em A precisa exercer para 
impedir que o portão gire. Despreze a espessura do portão. 
1----1 ,8 m ----l-0,9 m 
A 
Problemas 4.17/ 18 
4.19. As pinças são usadas para prender as extremidades do 
tubo de perfuração P. Detennine o Iorque (momento) MP que 
a força aplicada F = 750 N exerce sobre o tubo em relação 
ao ponto P como uma função de e. Represente graficamente 
esse momento Mp em função de e para O :::; e:::; 90°. 
*4.20. As pinças são usadas para prender as extremidades 
do tubo de perfuração P. Se um torque (momento) 
Mp = 1200 N · m é necessário em P para girar o tubo, 
determine a força que precisa ser aplicada no cabo da pinça 
F. Considere e = 30°. 
F 
150mm 
~------1075mm------~ 
Problemas 4.19/ 20 
•4.21. Determine a direção e (0° :::; e :::; 180°) da força F de 
modo que ela produza o momento máximo em relação ao 
ponto A. Calcule esse momento. 
4.22. Determine o momento da força F em relação ao ponto 
A como uma função de 0. Represente os resu ltados de M 
(ordenada) em função de e (abscissa) para 0° < e < 180°. 
4.23. Detennine o momento tnirúmo produzido pela força F 
em relação ao ponto A. Especifique o ângulo e (0° <O< 180°). 
F ; 400N 
2m 
A l 
~-----3 m---------1 
Problemas 4.21 / 22/ 23 
Capítulo 4 Resultantes de um sistema de forças I 99 I 
*4.24. A fim de erguer o poste de iluminação a partir da posição 
mostrada, a força F é aplicada ao cabo. Se F = I 000 N, 
detennine o momento produzido por F em relação ao ponto A. 
•4.25. A fim de erguer o poste de iluminação a partir da 
posição mostrada, a força F no cabo deve criar um momento 
de 2250 N · m no sentido anti-horário em relação ao ponto A. 
Detennine a intensidade de F que precisa ser aplicada ao cabo. 
8 
6m 
Problemas 4.24/ 25 
4.26. A região do pé está sujeita à contração dos dois 
músculos plantarflexor. Determine o momento de cada força 
em relação ao ponto de contato A no chão. 
F2 = 150 N 
mrn 
25 rnm '-"-+- 1! r ,5 nml 
Problema 4.26 
4.27. A força de 70 N age no final do tubo B. Determine 
(a) o momento dessa força em relação ao ponto A e (b) a 
intensidade e a direção de uma força horizontal, aplicada em 
C, que produz o mesmo momento. Considere e = 60°. 
*4.28. A força de 70 N age na extremidade do tubo em 8. 
Determine os ângulos e (0° < e< 180°) da força que produzirá 
os momentos máximo e mínimo em relação ao ponto A. 
Quais são as intensidades desses momentos? 
A 
0.9 m 
70 N 
i= 
,..........,,,,..... -,........,, --------., ~'"\8 
c !lf 
I-o.3 n1 O, 7 m 
Problemas 4.27/ 28 
100 I Estática 
•4.29. Determine o momento de cada força em relação ao 
parafuso localizado em A. Considere F8 = 200 N, F c= 250 N. 
4.30. Se F8 = 150 N e Fc = 225 N, determine o momento 
resultante em relação ao parafuso localizado em A. 
Problemas 4.29130 
4.31. A barra no mecanismo de controle de potência de um 
jato comercial está sujeita a uma força de 80 N. Determine 
o momento dessa força em relação ao mancai em A. 
80 N 
Problema 4.3 I 
*4.32. O cabo de reboque exerce uma força P = 4 kN na 
extremidade da lança do guindaste de 20 m de comprimento. 
Se f) = 30°, determine o posicionamento x do gancho em A 
para que essa força crie um momento máximo em relação 
ao ponto O. Qual é esse momento? 
•4.33. O cabo de reboque exerce uma força P = 4 kN na 
extremidade da lança do guindaste de 20m de comprimento. 
Se X = 25 m, determine a posição e da lança para que essa 
força crie um momento máximo em relação ao ponto O. 
Qual é esse momento? 
P=4kN 
Problemas4.32133 
4.34. A flm de manter o carrinho de mão na posição 
indicada, a força F deve produzir um momento anti-horário 
de 200 N · m em relação ao eixo A. Detem1ine a intensidade 
necessária da força F. 
4.35. O carrinho de mão e seu conteúdo possuem uma massa 
de 50 kg e um centro de massa em G. Se o momento 
resultante produzido pela força F e o peso em relação ao 
pornto A deve ser igual a zero, detennine a intensidade 
necessá1ia da força F. 
*4.36. O carrinho de mão e seu conteúdo possuem centro 
de massa em G. Se F = I 00 N e o momento resultante 
produzido pela força F e o peso em relação ao eixo A é zero, 
determine a massa do carrinho e de seu conteúdo. 
Problemas 4.34135136 
•4.31. Detennine o momento produzido por F1 em relação 
ao ponto O. Expresse o resultado como um vetor cartesiano. 
4.38. Detennine o momento produzido por F2 em relação 
ao ponto O. Expresse o resultado como um vetor cartesiano. 
4.39. Detennine o momento resultante produzido pelas duas 
forças em relação ao ponto O. Expresse o resultado como 
um vetor cartesiano. 
X 
F2 = {- !Oi - 30j + 50k} N 
Problemas 4.37138139 
*4.40. Detenninc o momento produzido por F8 em relação 
ao ponto O. Expresse o resultado como um vetor cartesiano. 
•4.41. Determine o momento produzido por Fc em relação 
ao ponto O. Expresse o resultado como um vetor cartesiano. 
4.42. Determine o momento resultante produzido pelas 
forças F 8 e F c em relação ao ponto O. Expresse o resultado 
como um vetor cartesiano. 
-
= 780N 
Problemas 4.40 I 4 I I 4 2 
4.43. Determine o momento produzido por cada força em 
relação ao ponto O localizado na broca da furadeira. Expresse 
o resultado como um vetor cartesiano. 
--
L---~~~-~ mm 
FA = (- 40i - IOOj - 60k} ----r--)' 
150mm 
F8 = {- 50i - 120j + 60k} N 
Problema 4.43 
•4.44. Uma força F = {6i 2j + I k} kN produz um momento 
M0 = {4i + Sj 14k} kN · m em relação a origem das 
coordenadas, o ponto O. Se a força age em um ponto tendo 
uma coordenada x de x = I m, detennine as coordenadas y e z. 
•4.45. Oencanamentoestásujeitoà forçade80N. Determine 
o momento dessa força em relação ao ponto A. 
4.46. O encanamento está sujeito à força de 80 N. Determine 
o momento des a força em relação ao ponto B. 
)' 
Problemas 4.45/ 46 
4.47. A força F = { 6i + 8j + I Ok} N cria um momento em 
relação ao ponto O de M 0 = {- 14i + 8j + 2k} N · m. Se a 
força passa por um ponto tendo uma coordenada x de I m, 
determine as coordenadas y e = do ponto. Além disso, 
observando que M0 = Fd, determine a distância d do ponto 
O à linha de ação de F. 
Capítulo 4 Resultantes de um sistema de forças I 101 
--
F 
lm 
I' 
\ 
Problema 4.47 
•4.48. A força F age perpendicularmente ao plano inclinado. 
Determine o momento produzido por F em relação ao ponto 
A. Expresse o resultado como um vetor cartesiano. 
•4.49. A força F age perpendicularmente ao plano inclinado. 
Determine o momento produzido por F em relação ao ponto 
8. Expresse o resultado como um vetor cartesiano. 
~A 
3 m 
F = 400N 
X )' 
Problemas 4.48/ 49 
4.50. Uma força horizontal de 20 N é aplicada perpen-
dicularmente ao cabo da chave de soquete. Determine a 
intensidade c os ângulos de direção coordenados do momento 
criados por essa força em relação ao ponto O. 
Problema 4.50 
Momento de uma forca em relacão a um eixo --
especificado , , 
Algumas vezes, o momento produzido por uma força em relação a um eixo 
especificado precisa ser determinado. Por exemplo, suponha que a porca em O no 
pneu do carro na Figura 4.20a precisa ser solta. A força aplicada na chave criará uma 
tendência para a chave e a porca girarem em tomo do eixo do momento que passa 
por O; no entanto, a porca só pode girar em tomo do eixo y. Portanto. para determinar 
o efeito de rotação, apenas a componente y do momento é necessária, e o momento 
total produzido não é importante. Para determinar essa componente, podemos usar 
uma análise escalar ou vetorial. 
Eixo do momento 
(a) 
figura 4.20 
102 I Estática 
Se for suficientemente grande, o forço 
do cobo f no lenço deste guindaste 
pode fazer o guindaste tambor. Poro 
investigar isso, o momento do forço 
preciso ser calculado em relação ao 
eixo passando pelo bose dos pernas 
em A e 8. 
(/ 
I 
Uol 
Eixo de projeção 
Figura 4.21 
Análise escalar 
Para usar uma análise escalar no caso da porca da roda na Figura 4.20a, a distância 
perpendicular do braço do momento a partir do eixo da tinha de ação das forças é 
d)' = d cos e. Assim, o momento de F em relação ao eixo y é ~· = F~· = F(d cos B). 
Segundo a regra da mão direita, M,,. está direcionado ao longo do eixo positivo y, como 
mostra a figura. Em geral, para qualquer eixo a, o momento é: 
(4. 1 O) 
Análise vetorial 
Para determinar o momento da força F na Figura 4.20b em relação ao eixo y 
usando urna análise vetorial, precisamos primeiro determinar o momento da força em 
relação a qualquer ponto O sobre o eixo y aplicando a Equação 4. 7, M 0 = r 
F. 
A componente M y ao longo do eixo y é a projeçcio de M 0 sobre o eixo y. Ela pode 
ser determinada usando-se o produto escalar discutido no Capítulo 2, tal que 
M,. = j · M 0 = j · (r X F), onde j é o vetor unitário para o eixo y. 
(b) 
Figura 4.20 
y 
Podemos general izar esse método fazendo U 0 ser o vetor unitário que especifica 
a direção do eixo a mostrado na Figura 4.21. Assim, o momento de F em relação ao 
eixo é M" = U0 • (r X F). Essa combinação é chamada de produto triplo escalar. Se 
os vetores forem escritos na forma cartesiana, temos: 
i j k 
M, = [ u.) + u.) + u0< k] · ~~ '>· ~~ 
~F, F; 
= U0x(t"yf; - 1;, F,)- U0,.{ 1~f; - 1;,~) + U0: (t~F,- r;.~) 
Esse resultado também pode ser escrito na forma de um determinante, tomando-o 
mais fácil de memorizar.* 
onde: 
llu ' u(l ' u. 
1' J' : 
M = u ·(r x F)= (I O 
u.x u.J' u.: 
'·~ 'J· t; 
~ F. F; 
( 4.11) 
representam as componentes x, y, z do vetor unitário definindo na 
direção do eixo a 
representam as componentes x, y, z do vetor posição definido a 
partir de qualquer ponto O sobre o eixo a até qualquer ponto A 
sobre a linha de ação da força 
representam as componentes x, y, z do vetor de força. 
• Arranje um tempo para expandir este detem1inante e mostrar que ele produzirá o resultado anterior. 
Capítulo 4 Resultantes de um sistema de forças 103 I 
Quando Mu é calculado a partir da Equação 4.11, ele produzirá um escalar positivo 
ou negativo. O sinal desse escalar indica o sentido da direção de M. ao longo do 
eixo a. Se ele for positivo, então M. terá o mesmo sentido de u. , enquanto, se for 
negativo, Mu agirá opostamcnte a u •. 
Uma vez queM. é dctem1inado, podemos expressar M. como um vetor cartesiano, 
a saber, 
( 4 .12) 
Os exemplos que se seguem ilustram aplicações numéricas dos conceitos anterior. 
Pontos importantes 
• O momento de uma força em relação a um eixo especificado pode ser 
determinado desde que a distância perpendicular d. a partir da linha de ação 
da força até o eixo possa ser detenninada. M. = Fd11• 
• Se usarmos análise vetorial, Ma = U11 • (r X F), onde u. define a direção do 
eixo e r é definido a partir de qualquer ponto sobre o eixo até qualquer ponto 
sobre a linha de ação da força. 
• Se M. é calculado como um escalar negativo, então o sentido da direção de 
M . é oposto a u,.. 
• O momento M., expresso como um vetor cartesiano é determinado a partir de 
~~. = M.u11• 
Exemplo 4.7 
Determine o momento resultante das três forças na Figura 4 .22 em relação ao eixo x, 
. . ao eiXO y C ao CIXO Z. 
-SOLUCAO 
• 
Uma força que é paralela a um eixo coordenado ou possui uma linha de ação que 
passa pelo eixo não produz qualquer momento ou tendência para girar em torno desse 
eixo. Portanto, definindo o sentido positivo do momento de uma força conforme a 
regra da mão direita, como mostrado na figura, temos: 
M, = (600 N) (0,2 m) + (500 N) (0,2 m) + O = 220 N · m 
M,. = O- (500 N) (0,3 m) - (400 N) (0,2 m) = 230 · m 
M: = O+ O- (400 N) (0,2 m) = - 80 N · m 
Os sinais negativosindicam que My e M: agem nas direções - y e - z, respectivamente. 
Exemplo 4.8 
Determine o momento M_.8 produzido pela força F na Figura 4.23a, que tende a girar 
o tubo em relação ao eixo AB. 
-SOLUÇAO 
Uma análise vetorial usando MJ8 = u8 · (r X F) será considerada para a solução 
em vez de tentarmos encontrar o braço do momento ou a distância perpendicular 
da linha de ação de F ao eixo AB. Cada um dos termos na equação será agora 
identificado. 
X 
Figura 4.22 
0,2 m 
T 
0,3 m 
A 
J.!f-'-'--~~-:.1' 
(a) 
Figura 4.23 
I 104 I Estática 
F 
X 
'+-A...;., ___ y 
(b) 
Figura 4.23 
z 
(a) 
(b) 
Figura 4.24 
O vetor unitário u8 define a direção do eixo AB do tubo (Figura 4.23b), onde: 
- ro - {0,4i + 0,2j} m - O 8944' O 4472' 
U8 - - , - , I + , J 
18 J (0, 4 mr + (0,2 mf 
O vetor r é direcionado de qualquer ponto sobre o eixo AB a qualquer ponto sobre 
a linha de ação da força. Por exemplo, os vetores posição rc e r0 são adequados 
(Figura 4.23b). (Embora não mostrado, r 8c ou r80 também podem ser usados.) Para 
simplificar, escolhemos r0 , onde: 
r0 = {0,6i} m 
A força é: 
F = {-300k} N 
Substituindo esses vetores na fonna do detenninante e expandindo, temos: 
0,8944 0,4472 o 
MA8 = u8 ·(r0 X F) = 0,6 O O 
o o -300 
= 0,8944[0(-300)- 0(0)] - 0,4472[0,6(-300) - 0(0)] 
+ 0[0,6(0) - O( O)] 
= 80 50 N · m , 
Esse resultado positivo indica que o sentido de M;~8 está na mesma djrcção de u8 . 
Expressando M;~8 como vetor cartesiano, temos: 
M..,8 = M,11"u8 = (80,50 N · m)(0,8944i + 0,4472j ) 
= {72,0i + 36,0j}N · m 
O resultando é mostrado na Figura 4.23b. 
NOTA: Se o eixo AB fosse definido usando um vetor unitário direcionado de 
8 para A, então, na fommlação anterior, - uB precisaria ser usado. Isso resultaria em 
MAJJ = - 80,50 N · m. Consequentemente, M118 = M;~o(-u8) e o mesmo resultado seria 
obtido. 
Exemplo 4.9 
Dete1mine a intensidade do momento da força F em relação ao segmento OA do 
encanamento na Figura 4.24a. 
-SOLUCAO • 
O momento de F em relação a OA é determinado por MoA = u0A · (r X F), onde r é 
o vetor posição estendendo-se de qualquer ponto sobre o eixo OA a qualquer ponto 
sobre a linha de ação de F. Como indicado na Figura 4.24b, qualquer um entre r 00, 
r oc. r ..,0 ou r AC pode ser usado; entretanto, r 00 será considerado porque ele simplificará 
o cálculo. 
O vetor unitário u0 A, que especifica a direção do eixo OA, é: 
rOA {0,3i + 0,4j} m O 6. O 8. u - - - •+ J 
oA - roA - ../(0,3 m? + (0, 4 m? - ' ' 
. - . e o vetor postçao r 00 e: 
r00 = {0,5i + 0,5k} m 
A força F expressa como vetor cartesiano é: 
F = F( ~~: ) 
= (300 N)[ {0,4i - 0,4j + 0,2k} m ] 
./(0,4 m)2 + ( -0,4 mf + (0,2 mf 
= {200i - 200j + IOOk} N 
Capítulo 4 Resultantes de um sistema de forças I 105 I 
Logo, 
Mo,~ = UoA · ( roo X F) 
0,6 0, 8 o 
= 0,5 o 0,5 
200 - 200 100 
= 0,6[0(100)- (0,5)(- 200)] - 0, 8[0,5(100)- 0,5(200)] +o 
= 100 N · m 
Problemas fundamentais 
4.13. Determine a intensidade do momento da força 
F = {300i - 200j + 150k} N em relação ao eixo x. Expresse 
o resultado como vetor cartesiano. 
4.14. Determine a intensidade do momento da força 
F = {300i - 200j + 150k} Nem relação ao eixo OA. Expresse 
o resultado como vetor cartesiano. 
0,3 m 
~ 
X 
0,4 m 
z 
o 
F 8 
Problemas 4.13/ 14 
4.15. Detem1ine a intensidade do momento da força de 200 
em relação ao eixo x. 
z 
0,3 m F= 200 N 
0,25 rn 
X 
y 
Problema 4.1 S 
4.16. Detennine a intensidade do momento da força em 
relação ao eixo y. 
F = {30i - 20j + 50k} N 
A 1 4 
2 m 
Problema 4.16 
4.17. Determine o momento da força F = { 50i - 40j + 20k} N 
em relação ao eixo AB. Expresse o resultado como vetor 
cartesiano. 
z 
y 
Problema 4.17 
4.18. Determine o momento da força F em relação aos eixos 
x, y e z. Use uma análise escalar. 
-• 
3m 
y 
Problema 4.18 
F= 500 
106 I Estática 
4.51. Determine o momento produzido pela força F em 
relação à diagonal AF do bloco retangular. Expresse o 
resultado como um vetor cartesiano. 
*4.52. Determine o momento produzido pela força F em 
relação à diagonal OD do bloco retangular. Expresse o 
resultado como um vetor cartesiano. 
F = {-6i + 3j + !Ok} N 
Problemas 4.51 I 52 
•4.53. A Ferramenta é usada para fechar válvulas de gás que 
são dificeis de acessar. Se a Força F é aplicada no cabo, 
determine a componente do momento criada em relação ao 
eixo z da válvula. 
Problema 4.53 
4.54. Determine a intensidade dos momentos da força F em 
re lação aos eixos x, y e z. Resolva o problema (a) usando 
uma abordagem de vetor cartesiano e (b) usando uma 
abordagem escalar. 
4.55. Determine o momento da Força F em relação ao eixo 
que se estende entre A e C. Expresse o resultado como um 
vetor cartesiano. 
z 
F = {4i + 12j - 3k} k.N 
Problemas 4.54/ 55 
*4.56. Determine o momento produzido pela força F em 
relação ao segmento AB do encanamento. Expresse o 
resultado como um vetor cartesiano. 
F = {- 20i + IOj + l5k) 
4m 
,. 
Problema 4.56 
•4.57. Determine a intensidade do momento que a Força F 
exerce sobre o eixo y da manivela. Resolva o problema 
usando uma abordagem de vetor cartesiano e usando uma 
abordagem escalar. 
Problema 4.57 
4.58. Se F = 450 N, determine a intensidade do momento 
produzido por essa força sobre o eixo x. 
4.59. O atrito na luva A pode fornecer um momento de 
resistência máximo de 125 N · m em relação ao eixo x. 
Detennine a maior intensidade da força F que pode ser 
aplicada no braço de modo que ele não gire. 
z 
~ x 300 mm 
Problemas 4.58/ 59 
•4.60. Determine a intensidade do momento produzido pela 
força F= 200 Nem relação ao eixo da dobradiça (o eixo x) 
da porta. 
z 
f 
~ F = 200N 
2 m 
X 
Problema 4.60 
•4.61. Se a tração no cabo é F = 700 N, determine a 
intensidade do momento produzido pela força em relação ao 
eixo da dobradiça, CD, do painel. 
4.62. Determine a intensidade da força F no cabo AB a ftm 
de produzir um momento de 750 N · m em relação ao eixo 
da dobradiça, CD, necessária para manter o painel na posição 
mostrada. 
z 
y 
Problemas 4.61 / 62 
4.63. A estrutura na fonna de um A está sendo suspensa 
para uma posição ereta pela força vertical F = 400 N. 
Detennine o momento dessa força em relação ao eixo y' 
passando pelos pontos A e B quando a estrutura está na 
posição mostrada. 
•4.64. A estrutura na forma de um A está sendo suspensa 
para uma posição ereta pela força vertical F = 400 N. 
Determine o momento dessa força em relação ao eixo x 
quando a estrutura está na posição mostrada. 
•4.65. A estnrtura na forma de um A está sendo suspensa 
para uma posição ereta pela força vertical F = 400 N. 
Determine o momento dessa força em relação ao eixo y 
quando a estrutura está na posição mostrada. 
z 
F 
c 
'> y 
X y' 
Problemas 4.63/ 64/ 65 
Capítulo 4 Resultantes de um sistema de forças 101 I 
4.66. A chave de boca articulável está sujeita a uma força 
de P = 80 N, aplicada perpendiculannente ao cabo, como 
mostra a figura. Determine o momento ou torque que isso 
impõe ao longo do eixo vertical do parafuso em A. 
4.67. Se um torque ou momento de I O N · m é necessário 
para afrouxar o parafuso em A, determine a força P que 
precisa ser aplicada perpendicularmente ao cabo da chave 
de boca articulável. 
Problemas 4.66/ 67 
•4.68. A tubulação é fixa na parede pelas duas abraçadeiras. 
Se o vaso de planta possui um peso de 250 , determine a 
intensidade do momento produzido pelo peso em relação ao 
eixo OA. 
•4.69. A tubulação é fixa na parede pelas duas abraçadeiras. 
Se a força de atrito das abraçadeiras pode resistir a um 
momento máximo de 225 N · m, determine o maior peso do 
vaso de planta que pode ser suportado pela tubulação sem 
pennitir que ela gire em relação ao eixo OA. 
X 
• . 
Problemas 4.68/ 69 
y 
4.70. Uma força vertical F = 60 N é aplicada no cabo da 
chave inglesa. Determine o momento que essa força exerce 
ao longo do eixo AB (eixo x) do encanamento. Tanto a chave 
quanto o encanamento ABC estão situados no plano x-y. 
Sugestão:Use uma análise escalar. 
108 I Estática 
z 
4.71. Determine a intensidade da força vertical F agindo 
sobre o cabo da chave inglesa de modo que essa força 
produza uma componente do momento ao longo do eixo AB 
(eixo x) do encanamento de (MA).• = {- Si} N · m. Tanto a 
chave quanto o encanamento ABC estão situados no plano 
x- y. Sugestão: Use uma análise escalar. 
F 
- f 
Figura 4.25 
F 
o 
Figura 4.26 
Figura 4.27 
Problemas 4.70/ 71 
Momento de um binário 
Um binário é definido CQmo duas forças paralelas que têm a mesma intensidade, 
mas direções opostas, e são separadas por uma distância perpendicular d (Figura 4.25). 
Como a força resultante é zero, o único efeito de um binário é produzir uma rotação 
ou tendência de rotação em uma direção específica. Por exemplo, imagine que você 
está dirigindo um carro com as duas mãos no volante e está fazendo uma curva. Uma 
mão vai empurrar o volante para cima enquanto a outra mão o empurra para baixo, o 
que faz o volante girar. 
O momento produzido por um binário é chamado de momento de um binário. 
Podemos determinar seu valor encontrando a soma dos momentos das duas forças 
que compõem o binário em relação a qualquer ponto arbitrário. Por exemplo, na 
Figura 4.26, os vetores posição r A e r8 estão direcionados do ponto O para os pontos 
A e 8 situados na linha de ação de - F e F. Portanto, o momento do binário em 
relação a O é 
Entretanto, 
M = r8 X F + r A X - F = (r8 - rA) X F 
r8 =!I' A+ r ou r = r8 - r A, tal que 
M = r X F ( 4.13) 
Isso indica que o momento de um binário é um vetor livre, ou seja, ele pode agir 
em qualquer ponto, já que M depende apenas do vetor posição r direcionado entre 
as forças e não dos vetores posição r A e r8 direcionados do ponto arbitrário O até as 
forças. Esse conceito é djferente do momento de uma força, que requer um ponto 
(ou eixo) definido em relação ao qual os momentos são determinados. 
Formulacão escalar 
' 
O momento de um binário M (Figura 4.27) é definido como tendo uma 
intensidade de: 
(4.14) 
onde F é a intensidade de uma das forças e d é a distância perpendicular ou braço 
do momento entre as forças. A direçcio e sentido do momento de um binário são 
determinados pela regra da mão direita, onde o polegar indica essa direção quando 
os dedos estão curvados no sentido da rotação causada pelas forças do binário. Em 
todos os casos, M agirá perpendiculannente ao plano que contém essas forças. 
Capítulo 4 Resultantes de um sistema de forças 
Formulacão vetorial 
' 
O momento de um binário também pode ser expresso pelo produto vetorial usando 
a Equação 4.13, ou seja, 
( 4.15) 
A aplicação dessa equação é facilmente lembrada quando se pensa em tomar os 
momentos das duas força em relação a um ponto situado na linha de ação de uma 
das forças . Por exemplo, c momentos são tomados em relação ao ponto A na Figura 
4.26, o momento de - F é =ero em relação a esse ponto, e o momento de F é definido 
através da Equação 4.15. Assim, na formulação, r é multiplicado vetorialmente pela 
força F para a qual está direcionado. 
Binários equivalentes 
Se dois binários produzem um momento com a mesma intensidade e direção, então 
esses dois binários são equivalentes. Por exemplo, os dois binários mostrados na Figura 
4.28 são equivalentes porque cada momento de binário possui uma intensidade de 
M = 30 N (0,4 m) = 40 N (0,3 m) = 12 N · m, e cada um é direcionado para o plano 
da página. Observe que, no segundo caso, forças maiores são necessárias para criar o 
mesmo efeito de rotação, pois as mãos estão posicionadas mais próximas uma da 
outra. Além disso, se a roda estivesse conectada ao eixo em um ponto que não o seu 
centro, a roda ainda giraria quando cada binário fosse aplicado, já que o binário de 
12 N · m é um vetor livre. 
Figura 4.28 
Momento de binário resultante 
Como os momentos de binário são vetores, sua resultante pode ser determinada 
pela adição vetorial. Por exemplo, considere os momentos de binário M 1 e M2 agindo 
sobre o tubo na Figura 4.29a. Como cada momento de binário é um vetor livre, 
podemos unir suas origens em qualquer ponto arbitrário e encontrar o momento de 
binário resultante, MR = M1 + M2, como mostra a Figura 4.29b. 
Se mais de dois momentos de binário agem sobre o corpo, podemos generalizar 
esse conceito e escrever a resultante vetorial como: 
MR = L(r X F) ( 4.16) 
Esses conceitos são ilustrados numericamente nos exemplos que se seguem. Em 
geral, problemas projetados em duas dimensões devem ser resolvidos u ando uma 
análise escalar, já que os braços do momento e as componentes das forças são fáceis 
de determinar. 
(a) 
(b) 
Figura 4.29 
109 I 
110 I Estática 
Os volontes nos automóveis têm se 
tornodo menores do que nos veículos 
mo is ontigos porque o direção 
moderno não exige que o motorista 
oplique um gronde momento de 
binário no oro do volonte. 
Pontos importantes 
• Um momento de binário é produzido por duas forças não colincares que são 
iguais em intensidade, mas com direções opostas. Seu efeito é produz ir rotação 
pura, ou tendência de rotação em uma direção específica. 
• Um momento de binário é um vetor livre c, consequentemente, causa o mesmo 
efeito rotacional em um corpo, independentemente de onde o momento de 
binário é aplicado ao corpo. 
• O momento das duas forças de binário pode ser determinado em relação a 
qualquer ponto. Por conveniência, esse ponto normalmente é escolhido na 
linha de ação de uma dias forças a fim de eliminar o momento dessa força em 
relação ao ponto. 
• Em três dimensões, o momento de binário geralmente é determinado usando 
a fonnulação vetorial, M = r X F, onde r é direcionado a partir de qualquer 
ponto sobre a linha de ação de uma das forças até qualquer ponto sobre a 
linha de ação da outra força F. 
• Um momento de binário resultante é simplesmente a soma vetorial de todos 
os momentos de binário do sistema. 
Exemplo 4.10 
Determine o momento de binário resultante dos três binários agindo sobre a chapa 
na Figura 4.30. 
F1 = 200 N 
- d1 = 0,4 m 
• 
F1 = 200 N 
Figura 4.30 
-SOLUCAO 
• 
Como mostra a figura, as distâncias perpendiculares entre cada binário das três forças 
são d1 = 0,4 m, d2 = 0,3 m e d3 = 0,5 rn. Considerando momentos de binário anti-
-horários como positivos, temos: 
\. + MR = L.M; MR =- F; da+ FA- F;d; 
= (-200 N )(0,4 m) + (450 N )(0,3 m)- (300 N )(0,5 m) 
= - 95 N · m = 95 N · m \ 
O sinal negativo indica que MR tem um sentido rotacional horário. 
Capítulo 4 Resultantes de um sistema de forças I 111 I 
Exemplo 4.11 
Determine a intensidade c a direção do momento de binário agindo sobre a engrenagem 
na Figura 4.3 1 a. 
F 600 
(a) 
-
600 sen Jo• 
(b) 
Figura 4.31 
A 600cos 30 
SOLUCAO 
• 
A solução mais fáci l requer a decomposição de cada força em suas componentes, 
como mostra a Figura 4.3 1 b. O momento de binário pode ser determinado somando-se 
os momentos dessas componentes de força em relação a qualquer ponto. por exemplo, 
o centro O da engrenagem ou o ponto A. Se considerarmos momento anti-horários 
como po itivos, temos: 
ou 
+ M = 'LMc;. M = (600 cos 30° )(0,2 m)- (600 sen 30° }(0,2 m) 
= 43,9 · m ./ 
+ M = 'LM,.; M = (600 cos 30° )(0,2 m)- (600 sen 30° )(0,2 m) 
=43,9 · m ./ 
Esse resultado positivo indica que M tem um sentido rotacional anti-horário, estando, 
portanto, direcionado para fora , perpendicularmente à página. 
NOTA: O mesmo resultado também pode ser obtido usando M = Fd, onde d é a 
distância perpendicular entre as linhas de ação das forças d!o binário (Figura 4.31 c). 
Entretanto, o cálculo para d é mais complexo. Observe que· o momento de binário é 
um vetor livre c pode agir em qualquer ponto na engrenagem e produzir o mesmo 
efeito de rotação em relação ao ponto O. 
Exemplo 4.12 
Determine o momento de binário agindo sobre o tubo mostrado na Figura 4.32a. O 
segmento AB está direcionado 30° abaixo do plano x- y . 
- . 
SOLUCAO I (ANALISE VETORIAL) 
• 
O momento das duas forças do binário podeser determinado em relação a qualquer 
ponto. Se o ponto O é considerado (Figura 4.32b), então temos: 
l\1 = r~x(-250k)+ r8 X(250k} 
= (0,8j ) X ( -250k) + (0,6cos30°i + 0,8j - 0,6 sen 30°k ) X (250k} 
=- 200i - 129,9j + 200i 
= {-130j }N · m 
(c) 
z 
250N 
--
250 I 
X 
(b) 
Figura 4.32 
I 112 I Estática 
• 
z E mais fácil tomar momentos das forças do binário em relação a um ponto situado 
X 
250 N 
(c) 
z 
X 
250 N 
sobre a linha de ação de uma das forças, por exemplo, o ponto A (Figura 4.32c). 
Nesse caso, o momento da força em A é zero, tal que: 
M = rA8 X(250k) 
= (0, 6cos 30°i - O, 6 sen 30°k) X (250k) 
={- 130j} · m 
SOLUCÃO 11 (ANÁLISE ESCALAR) 
• 
Embora este problema seja mostrado em três dimensões, a geometria é simples o 
bastante para usar a equação escalar M = Fd. A distância perpendicular entre as linhas 
de ação das forças do binário é d = 0,6 cos 30° = 0,5196 m (Figura 4.32d). Portanto, 
calcular os momentos das forças em relação ao ponto A ou ponto B resulta: 
250N M = Fd = 250 N (0,5196 m) = 129,9 N · m 
A Aplicando a regra da mão direita, M age na direção - j. Logo, 
~ ......_y M = {-130j } N · m 
(d) 
Figura 4.32 
;& 
3 
M1 = 60 N · m 
(b) 
(c) 
Figura 4.33 
Exemplo 4.13 
Substitua os dois binários agindo sobre a coluna de tubo na Figura 4.33a por um 
momento de binário resultante. 
X 
(a) 
SOLUCÃO (ANÁLISE VETORIAL) 
• 
O momento de binário M 1, desenvolvido pelas forças A e B, pode facilmente ser 
determinado a partir de uma formulação escalar. 
M1 = Fd = 150 N(0,4 m) = 60 N · m 
Pela regra da mão direita, M 1 age na direção +i (Figura 4.33b). Portanto, 
M1 = {60i} N · m 
A análise vetorial será usada para determinar M 2, gerado pelas forças em C e D. Se os 
momentos forem calculados em relação ao ponto D (Figura 4.33a), M2 = roc X F0 
então: 
M 2 = roc X Fc = (0,3i)x[ l25(f)j - 125(})k] 
= (0,3i)X[I00j - 75k] = 30(i Xj ) - 22, 5(i X k) 
= {22,5j + 30k} N · m 
Como M1 c M 2 são vetores livres, eles podem ser movidos para algum ponto arbitrário 
e somados vetorialmente (Figura 4.33c). O momento de binário resultante toma-se: 
MR = M , + M2 = {60i + 22,5j + 30k} N . m 
Problemas fundamentais 
4.19. Detennine o momento de binário resultante que age 
sobre a viga. 
400 N 400 N 
~ 
A 
, 
200N 
r~ 
- l 0,2 ~11 -' 200 N 
3m 2m 
Ir 
300 300 N 
Problema 4.19 
4.20. Determine o momento de binário resultante que age 
sobre a chapa triangular. 
200N 150 
0,4 m 
200 150 N 
1------ 0,4 111 ----- 1 
300N 300N 
Problema 4.20 
4.21. Determine a intensidade de F de modo que o momento 
de binário resultante que age sobre a viga seja I ,5 kN · m 
no sentido horário. 
F 
0,9 m 
0,3 m 
2 kN 
- F 
Problema 4.21 
Capítulo 4 Resultantes de um sistema de forças 113 I 
4.22. Detennine o momento de binário que age sobre a viga. 
lO kN 
A 8 
lm 
Problema 4.22 
4.23. Detennine o momento de binário resultante que age 
sobre o encanamento. 
(M)1 ~ 450 N · m 
z 
0.35 m 
X 
y 
Problema 4.23 
4.24. Determine o momento de binário que age sobre o 
encanamento e expresse o resultado como um vetor car-
tesiano. 
X 
F11 ~ 450 N 
c 
Problema 4.24 
114 I Estática 
*4.72. Os efeitos do atrito do ar sobre as pás do ventilador 
criam um momento de binário M0 = 6 N · m sobre as mesmas. 
Determine a intensidade das forças de binário na base do 
ventilador de modo que o momento de binário resultante no 
ventilador seja zero. 
- F 1- 1-1 F 
0,15 1n 0, 15 1n 
Problema 4.72 
•4.73. Determine a intensidade necessária dos momentos de 
binário M 2 e M 3 de modo que o momento de binário 
resultante seja zero. 
M1= 300 N · m 
Problema 4.73 
4.74. O rodízio está sujeito aos dois binários. Determine as 
forças F que os rolamentos exercem sobre o eixo de modo 
que o momento de binário resultante sobre o rodízio seja zero. 
1J uu N 
mm 
mm 
SOON 
Problema 4.74 
4.75. Se F = 2000 N, determine o momento de binário 
resultante. 
*4.16. Detennine a intensidade necessá1ia da força F se o 
momento de binário resultante na estrutura for 200 N · m, 
horário. 
Problemas 4.75/ 76 
-4.77. O piso causa um momento de binário de MA = 40 N · m 
e M 8 = 30 N · m sobre as escovas da enceradeira. Determine 
a i.ntensidade das forças do binário que precisam ser 
desenvolvidas pelo operador sobre os punhos de modo que 
o momento de binário resultante sobre a enceradeira seja 
zero. Qual é a intensidade dessas forças se a escova em B 
para repentinamente de modo que M8 = O? 
m 
- F 
Problema 4.77 
4.78. Se B = 30°, determine a intensidade da força F tal que 
o momento de binário resultante seja 100 N · m, horário. 
4.79. Se F= 200 N, determine o ângulo B necessário para 
que o momento de binário resultante seja zero. 
300N 
Problemas 4.78/ 79 
•4.80. Dois binários agem sobre a viga. Determine a 
intensidade de F de modo que o momento de binário 
resultante seja 450 N · m anti-horário. Onde atua na viga o 
momento de binário resultante? 
2000 N - F 
F 
1--- 0,2 m ---1 
Problema 4.80 
•4.81. A corda passando por dois pinos A e 8 do quadro está 
sujeita a uma tração de I 00 N. Detennine a tração P necessária 
que age sobre a corda que passa pelos pinos C e D de modo 
que o binário resultante produzido pelos dois binários seja 
15 N · m agindo no sentido horário. Considere e = 15°. 
4.82. A corda passando por dois pinos A e 8 do quadro está 
sujeita a uma tração de I 00 N. Determine a tração P mínima 
e a orientação O da corda passando pelos pinos C e D de 
modo que o momento de binário resultante produzido pelas 
duas cordas seja 20 N · m, horário. 
c 300 mm 
o 
- P 
300 111111 
A D 
Problemas 4.81 / 82 
4.83. Um dispositivo chamado rolamite é usado de várias 
maneiras para substituir o movimento de deslizamento pelo 
de rolamento. Se a esteira, que passa entre os rodízios, está 
sujeita a uma tração de 15 N, determine as forças reativas N 
de cima e de baixo das chapas nos roletes de modo que o 
binário resultante agindo sobre os roletes seja igual a zero. 
N 
25mm 
30° 
T= 15 N 
f ç 
N 
Problema 4.83 
Capítulo 4 Resultantes de um sistema de forças Its I 
*4.84. Dois binários agem na mesma viga como ilustrado. 
Determine a intensidade de F de modo que o momento de 
binário resultante seja 300 N · m anti-horário. Onde atua na 
viga o binário resultante? 
- F 
:---0,4 m----1 
I .. 2ooo 
0. 1 m 
Problema 4.84 
•4.85. Determine o momento de binário resultante que age 
sobre a viga. Resolva o problema de duas maneiras: (a) some 
os momentos em relação ao ponto O; e (b) some os momentos 
em relação ao ponto A. 
1----1,5 1,8 m---1 
2 kN 
2 
Problema 4.85 
4.86. Dois binários agem sobre o suporte da viga. Se F = 6 
kN, determine o momento de binário resultante. 
4.87. Determine a intensidade necessária da força F se o 
momento de binário resultante sobre a viga deve ser zero. 
1--3m -~1--3m --1 
Problemas 4.86/ 87 
•4.88. Dois binários agem sobre a estrutura. Se o momento 
de binário resultante deve ser zero, detennine a distância d 
entre as forças do binário de 200 N. 
•4.89. Dois binários agem sobre a estrutura. Se d = 1,2 m, 
detennine o momento de binário resultante. Calcule a 
resultado decompondo cada força em componentes x e y e 
(a) encontrando o momento de cada binário (Equação 4. J 3) 
e (b) somando os momentos de todas as componentes de 
força em relação ao ponto A. 
116 I Estática 
4.90. Dois binários agem sobre a estrutura. Se d = I ,2 m, 
determine o momento de binário resultante. Calcule a 
resultado decompondo cada força em componentes x e y e 
(a) encontrando o momento de cada binário (Equação 4.13) 
e (b) somando os momentos de todas as componentes de 
força em relação ao ponto 8. 
200 
A 
m 
Problemas 4.88/ 89/ 90 
4.91. Se M1 = 500 N · m, M2 = 600 N · m e M3 = 450 N · m, 
determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados 
do momento de binário resu ltante. 
•4.92. Determine a intensidade necessária dos momentos de 
binário M ., M 2 e M 3 de modo que o momento de binário 
resultanteseja MR = {- 300i + 450j - 600k} · m. 
z 
Problemas 4.91 / 92 
•4.93. Se F = 80 N, determine a intensidade e os ângulos 
de direção coordenados do momento de binário. A tubulação 
se encontra no plano x- y. 
4.94. Se a intensidade do momento de binário que age sobre 
a tubulação é 50 N · m, detennine a intensidade das forças 
de binário apljcadas em cada chave. A tubulação está no 
plano x-y. 
z 
X 
y 
Problemas 4.93/ 94 
4.915. Através dos cálculos de carga, é determinado que a 
asa está sujeita aos momentos de binário Mx = 25,5 kN · m 
e ~· = 37,5 kN · m. Determine os momentos de binário 
resultantes criados em relação aos eixos x' e y'. Todos os 
eixos se situam no mesmo plano horizontal. 
y 
M~ j 
........... , 
Problema 4.95 
•4.96. Expresse o momento do binário agindo sobre a 
estrutura na fonna de um vetor cartesiano. As forças são 
aplicadas perpendicularmente à estrutura. Qual é a intensidade 
do momento de binário? Considere F = 50 N. 
•4.97. Para virar a estrutura, um momento de binário é 
aplicado conforme ilustra a figura. Se a componente desse 
momento de binário ao longo do eixo x é M .. = {- 20i} N · 
m, determine a intensidade F das forças do binário. 
z 
y 
- F 
Problemas 4.96/ 97 
4.9'8. Detennine o momento de binário resultante dos dois 
binários que agem sobre o encanamento. A distância de A a 
8 é d = 400 mm. Expresse o resultado como um vetor 
cartesiano. 
4.99. Determine a distância dentre A e 8 tal que o momento 
de binário resultante tenha uma intensidade de MR = 20 N · m. 
z 
(35k} N 
y 
Problemas 4.98/ 99 
*4.100. Se M1 = 270 N · m, M2 = 135 N · rn e M3 = 180 · m, 
determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados 
do momento de binário resultante. 
Capítulo 4 Resultantes de um sistema de forças 111 I 
-4.101. Determine as intensidades dos momentos de binário M 1, 
M 2 c M 1 de modo que o momento de binário resultante seja zero. 
--
4.103. Determine a intensidade das forças de binário F, e 
F2 de modo que o momento de binário resultante que age 
sobre o bloco seja zero. 
Problemas 4.100/ 101 
4.102. Se F1 = 500 N c F2 = I 000 N, determine a intensidade 
e os ângulos de direção coordenados do momento de binário 
resu ltantc. 
Problemas 4.102/ 103 
IDJ Simplifica~ão de um sistema de for~as e binários -
Algumas vezes é conveniente reduzir um sistema de forças e momentos de binário 
agindo sobre um corpo para uma fonna mais simples substituindo-o por um sistema 
equivalente, que consiste de uma força resultante única agindo em um ponto específico 
e um momento de binário resultante. Um sistema é equivalente se os efeitos extemos 
que ele produz sobre um corpo são iguais aos causados pelo sistema de forças e 
momentos de binário original. Nesse contexto, os efeitos externos de um sistema se 
referem ao movimento de rotaçtio e translação do corpo se este estiver livre para 
se mover, ou se refere às forças reativas nos apoios se o corpo é mantido fixo. 
Por exemplo, considere alguém segurando o bastão na Figura 3.34a, que está sujeito 
à força F no ponto A. Se aplicannos um par de forças F e F iguais e opostas no ponto 
8, o qual e Lá sobre a linha de ação de F (Figura 4.34b), observamos que F em 8 c F 
em A se cancelam, deixando apenas F em 8 (Figura 4.34c). A força f agora foi movida 
de A para 8 sem modificar seus efeitos externos sobre o bastão; ou seja, a reação na 
empunhadura permanece a mesma. Isso demonstra o princípio da transmissibilidade, 
que afinna que uma força agindo sobre um corpo (bastão) é UJm vetor deslizallle, já que 
pode ser aplicado em qualquer ponto ao longo de sua linha dle ação. 
Também podemos usar o procedimento anterior para mover uma força para um 
ponto que não esteja na linha de ação da força. Se F for aplicado perpendicularmente 
ao bastão, como na Figura 4.35a, então podemos conectar um par de forças f e - F 
iguais c opostas no ponto 8 (Figura 4.35b). A força f agora é aplicada em 8, c as 
outras duas forças, F em A e - f em 8 , fonnam um binário que produz o momento 
de binário M = Fd (Figura 4.35c). Portanto, a força F pode ser movida de A para 8 , 
desde que um momento de binário M esteja incluído para manter um sistema 
equivalente. Esse momento de binário é determinado considerando-se o momento de 
F em relação a 8. Como M é, na verdade, um vetor livre, ele pode agir em qualquer 
ponto no bastão. Em ambos os ca o , os sistemas são equivalentes, o que faz com 
que uma força F para baixo c um momento de binário no sentido horário M = Fd 
sejam sentidos na empunhadura. 
(a) (b) 
figura 4.35 
(a) 
(b) 
(c) 
Figura 4.34 
(c) 
118 I Estática 
(a) 
li 
(b) 
li 
(c) 
Figura 4.36 
Sistema de forcas e momentos de binário , 
Usando o método anteri.or, um sistema de várias forças e momentos de binário 
agindo sobre um corpo pode ser reduzido a uma única força resultante equivalente 
agindo no ponto O e um momento de binário resultante. Por exemplo, na Figura 4.36a, 
O não está na linha de ação de F1 e, portanto, essa força pode ser movida para o 
ponto O, desde que um momento de binário M1 = r 1 X F seja incluído no corpo. Da 
mesma forma, o momento de binário M2 = r 2 X F2 deve ser acrescentado ao corpo 
quando movemos F2 para o ponto O. Finalmente, como o momento de binário M é 
um vetor livre, ele pode simplesmente ser movido para o ponto O. Fazendo isso, 
obtemos o sistema equivalente mostrado na Figura 4.36b, que produz os mesmos 
efeitos externos (reações de apoio) sobre o corpo que os efeitos do sistema de forças 
e binários mostrado na Figura 4.36a. Se somannos as forças e os momentos de 
binário, obteremos a força resultante FR = F1 + F2 e o momento de binário resultante 
(MR)o = M + M 1 + M 2 (Figura 4.36c). 
Observe que FR é independente do local do ponto O; entretanto, (M0 0 depende 
desse local porque os momentos M1 e M2 são determinados usando os vetores posição 
r1 e r2 • Além disso, note que (MR)o é um vetor livre e pode agir em qualquer ponto 
no corpo, embora o ponto O geralmente seja escolhido como seu ponto de aplicação. 
Podemos generalizar o método anterior de reduzir um sistema de forças e binários 
a uma força resultante F 11 equivalente agindo no ponto O c um momento de binário 
resultante (MR)o usando as duas equações a seguir. 
FR =1:F 
(MR)o = L M0 + 1:M ( 4.17) 
A primeira equação estabelece que a força resultante do sistema seja equivalente 
à soma de todas as forças; e a segunda equação estabelece que o momento de binário 
resultante do sistema seja equivalente à soma de todos os momentos de binário 1:M 
mais os momentos de todas as forças 1:M0 em relação ao ponto O. Se o sistema de 
forças se situa no plano x-y e quaisquer momentos de binário são perpendiculares a 
esse plano, então as equações anteriores se reduzem às três equações escalares a seguir. 
(FR);, = 1:F, 
(FII)y = LF) 
(M11) 0 = LM0 + LM 
( 4.18) 
Aqui , a força resultante é determinada pela soma vetorial de suas duas componentes 
(FR}, e (FR)r 
Os pesos desses semáforos podem ser substituídos pela sua forço resultante equivalente 
w. = 11'1 + W2 e um momento de· binário (MJ 0 = W,cl, + ll'lcl2 no apoio O. Nos dois casos, 
o apoio preciso oferecer o mesmo resistência à rotação e translação o fim de manter o membro 
no posição horizontal. 
Capítulo 4 Resultantes de um sistema de forças 
I Pro<edimento para análise 
Os seguintes pontos devem ser mantidos em mente ao simpüficar um sistema de 
forças e momento de binário para um sistema de força e binário resultante equivalente. 
• Estabeleça os eixos coordenados com a origem localizada no ponto O c o eixo 
tendo uma orientação selecionada. 
Somatório dos forças 
• Se o sistema de forças for coplanar, decomponha cada força em suas 
componentes x c y. Se uma componente estiver direcionada ao longo do eixo 
positivo x ou y, ela representa um escalar positivo; enquanto se estiver 
direcionada ao longo do eixo negativo x ou y, ela é um escalar negativo. 
• Em três dimensões, represente cada força como um vetor cartesiano antesde 
somar as forças. 
Somatório dos momentos 
• Ao determinar os momentos de um sistema de forças coplanares em relação 
ao ponto O, normalmente é vantajoso usar o princípio dos momentos, ou seja, 
determinar os momentos das componentes de cada força, em vez do momento 
da própria força. 
• Em trê dimensões, use o produto vetorial para determinar o momento de cada 
força em relação ao ponto O. Aqui, os vetores posição se estendem de O até 
qualquer ponto obre a linha de ação de cada força. 
Exemplo 4.14 
Substitua o sistema de forças e binários mostrado na Figura 4.37a por um sistema 
de força e momento de binário resultante equivalente agindo no ponto O. 
-SOLUCAO 
• 
Somatório das for<as 
• 
As forças 3 kN c 5 kN são decompostas em suas componentes x c y, como mostra 
a Figura 4.37&. Temos: 
..:!:.. ( F;r), = LF.;( FR), = (3 kN)cos 30° + (; )<5 kN) = 5,598 kN-
+t(F;r), = 2:r;;(FR)., = (3 kN)scn 30°-(f )<5 kN)- 4 kN = - 6,50 kN = 6,50 kN 1 
Usando o teorema de Pitágoras (Figura 4.37c), a intensidade de F R é 
FR= j(FRx'f+(F~t~'f = /(5,598 kN 2)+(6,50k 2 ) = 8,58k 
Sua direção O é 
e •((FR), ) '(6,50kN ) 4930 = tg (F;r). = tg 5,598 kN = ' 
Somatório dos momentos 
Os momentos de 3 kN e 5 kN em relação ao ponto O serão determinados usando 
suas componentes x e y. Referindo-se à Figura 4.3 7 b, temos \. + ( MR)o = 1:Nfc,; 
4 kN 
(a) 
.1' 
4k 
(b) 
Figura 4.37 
119 I 
I 120 I Estático 
(MRlo- 2.46 k · m 
o 
o 
(c) 
Figura 4.37 
\. +( MR)o = LM~ 
( MR)o = (3 kN)sen 30°{0,2 m)- (3 kN )cos30°{0, I m ) +(t )<5 kN )(O, I m) 
- (f )<5 kN )(0,5 m ) - (4 kN){0,2 m) 
= -2,46 kN · m = 2,46 k · m """\ 
O momento no sentido horãrio é mostrado na Figura 4.37c. 
NOTA: Perceba que a força e o momento de binário resultantes na Figura 4.37c 
produzirão os mesmos efeitos externos ou reações no suporte que aqueles produzidos 
pelo sistema de forças (Figura 4.37a). 
Exemplo 4.15 
Substitua o sistema de forças e binários que age sobre o membro na Figura 4.38a por 
um sistema de força e mome nto de binário resultante equivalente agindo no ponto O. 
500 N Y 
750N 
37,5 N · m 
l 200 
o lm o 
• lm 
1.25 m+1.25 m I 
(a) 
200 
(b) 
Figura 4.38 
-SOLUCAO • 
Somatório das forcas • 
Como as forças do binário de 200 N são ibruais c opostas, elas produzem uma força 
resultante nula e, portanto, não é necessário considerá-las na somatória das forças . 
A força de 500 N é decomposta em suas componentes x e y; logo, 
.::. (FR).. =L~;(~) .. = ( ~ )(500 N ) = 300 N -
+I(~)J. = LF",,; (FR)J, = (500 N )( t) - 750 N = - 350 N = 350 N I 
Da Figura 4.15b, a intensidade de F R é 
FR= /<~l+<~'f. 
= /{300 Nr + (350 NJ = 461 N 
E o ângulo O é 
8 = tg-1 ( < ~>. ) = tg- 1 ( 350 N) = 49 4o 
{~)s 300 N ' 
Somatório dos momentos 
Como o momento de binário é um vetor livre, e le pode agir em qualquer ponto no 
membro. Referindo-se a Figura 4.38a, temos: 
\. +(MR)o = LMQ + LMó 
( MR)o = (500 N)( 1 )(2,5 m)- (500 N)( t )(I m) 
-(750N)( I,25m)+200 · m 
= -37, 5 N · m = 37,5 N · m """\ 
Este momento no sentido horário é mostrado na Figura 4.38b. 
Capítulo 4 Resultantes de um sistema de forças I 121 I 
Exemplo 4.16 
O membro estrutural está sujeito a um momento de binário M c às forças F1 c F2 na 
Figura 4.39a. Substitua esse sistema por um sistema de força c momento de binário 
resultante equivalente agindo em sua base, o ponto O. 
- . 
SOLUÇAO (ANALISE VETORIAL) 
Os aspectos tridimensionais do problema podem ser simplificados usando uma análise 
vetorial cartesiana. Expressando as forças e o momento de binário como vetores 
cartesianos, temos: 
~ = {- 800k} N 
F2 = (300 N) uc8 
= {300 N)( r~s ) 
1cn 
= 300 N[ {- O, 15i +O, lj}m ] = {- 249 6i + 166 4'} N 
j ( - 0, 15 T + ( I m )2 ' ' J 
M = - 5oo( f )j + 5oo( ~ )k = {-400j + 300k} N -m 
Somatório das forças 
FR = l:F; FR = ~ + F2 = - 800k - 249,6i + 166,4j 
= {- 250i + 166j - 800k}N 
Somatório dos momentos 
MRcJ = l:M + LM0 
MRo = M + r, X ~ + r8 X F2 
• 
I 
M RcJ = (-400j + 300k) +(I k ) X(-800k) + -0, 15 
- 249,6 
= (-400j + 300k) +(O)+ {- 166,4i - 249,6j ) 
= {- 166i - 650j + 300k} N · m 
Os resultados são mostrados na Figura 4.39b. 
Problemas fundamentais 
• 
J 
0, I 
166,4 
k 
I 
o 
M = 500 · m 
(a) 
z 
(b) 
Figura 4.39 
y 
4.25. Substitua o carregamento do sistema por uma força e 
momento de binário re ultante equivalente agindo no ponto A. 
500 
4.26. Substitua o carregamento do sistema por uma força 
e momento de binário resultante equivalente agindo no 
ponto A. 
40 
30 
200 · m 
I m 
50 N 
750N 
Problema 4.25 Problema 4.26 
122 I Estático 
4.27. Substitua o carregamento do sistema por uma força 
c momento de binário resultante equivalente agindo no 
ponto A. 
900 300N 
300 ·m 
I 0.75 m I 0,75 m I 0,75 m 0,75 m 
Problema 4.27 
4.28. Substitua o carregamento do sistema por uma força 
c momento de binário resu ltante equivalente agindo no 
ponto A. 
500 
250 
N 
Problema 4.28 
Problemas 
•4.104. Substitua o i tema de forças que age sobre a treliça 
por uma força e momento de binário resultante no ponto C. 
1000 750 N 500 N 
0,6 m 0,6 '11 ,6 m ,6 m 
T 
1,8 m 
~ = :;;::::::1 ~ 8 
lc 
Problema 4.104 
-4.105. Substitua o sistema de forças que age sobre a viga 
por uma força e momento de binário equivalente no ponto A. 
4.106. Substitua o sistema de forças que age sobre a viga por 
urna força c momento de binário equivalente no ponto 8. 
3k 
2,Sk 
A • 8 
~2m-+- 4 m-+2m~ 
Problemas 4.105/ 106 
4.107. Substitua as duas forças por uma força e momento de 
binário resultante equivalente no ponto O. Considere F= 100 N. 
4.29. Substitua o carregamento do sistema por uma força e 
momento de binário resultante equivalente agindo no ponto O. 
--
Problema 4.29 
4.30. Substitua o carregamento do sistema por uma força e 
momento de binário resultante equivalente agindo no ponto O. 
-• 
Pj 100N 
M • 75 N · m 
' 
Problema 4.30 
•4.108. Substitua a duas forças por uma força e momento de 
binário resultante equivalente no ponto O. Considere F= 75 N. 
100 
Problemas 4.107/ 108 
•4.109. Substitua o si tema de forças que age sobre o poste 
por uma força e momento de binário resultante no ponto A. 
1m 
1m 
Problema 4.1 09 
4.110. Substitua o sistema de forças e momentos de binário que 
agem sobre a viga por uma força e momento de binário resultante 
no ponto A. 
30 kN 26 kN 
1--2 m--1-:---1-:--+--2 m - -1 
lm lm 
Problema 4.11 O 
4.111. Substitua o sistema de forças por uma força e 
momento de binário resultante no ponto O. 
-1.25 m--1 ,25 m-
Problema 4.111 
lm 
N 
•4.112. Substitua as duas forças que agem na politriz por 
uma força e momento de binário resultante no ponto O. 
Expresse o resultado na forma de um vetor cartesiano. 
z 
F1 • {1 0i - 15j - 40k } N 
= (- 15i - 20j - 30k} N 
Problema 4.112 
•4.113. Substitua as duas forças que agem no poste por uma 
força e momento de binário resultante no ponto O. Expresse 
o resultado na forma do vetor cartesiano. 
z 
8m 
Problema 4.113 
Capítulo 4 Resultantes de um sistema de forças t23 I 
4.114. As três forças atuam no encanamento. Se F1 = 50 N e 
F2 = 80 N, substitua esse sistema de forças por urna força 
e momento de binário resultante equivalente agindo em O. 
Expresse o resultado na forma do vetor cartesiano. 
z 
180 N 
y 
Problema 4.114 
4.115. As forças F1 e F2 são aplicadas nas manoplas da 
furadeira elétrica. Substitua esse sistema de forças por uma 
força e momento de binário resultante equivalente agindo 
em O. Expresse o resultado na forma do vetor cartesiano. 
Fz= {2j - 4k} N 
z 
I 
F 1 = { 6i - 3 j - I Ok } 
Problema 4.11 S 
•4.116. Substitua o sistema de forças que age sobre o 
encanamento por uma força e momento de binário resultante 
no ponto O. Expresse o resultado na forma do vetor 
cartesiano. 
-
I F2 = {-101 + 25j + 20k} 
F, = l-20i - IOj + 25k } N T 
lo ~.r 
, / 0.2 m~ 
Problema 4.116 
•4.117. A plataforma deve ser içada usando as três Jingas 
mostradas. Substitua o sistema de forças que age sobre