CÁLCULO 2_1° TRABALHO DE CÁLCULO 2_2020

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Questões : 
1) Ache a área sob a curva 𝑓(𝑥) = 2/√1 + 𝑥2 e construa 
seu gráfico no intervalo de x = -2 até x = 2 usando as regras 
abaixo com 5 casas decimais e n = 8 subintervalos. 
Obs.: Construa o gráfico usando o winplot (ou wplotpr), 
mostrando a área toda preenchida (n=1000) e o cálculo da 
integral (quadro abaixo no tutorial); faça o mesmo para as 
questões 3 e 5. 
a) Regra do ponto médio; 
b) Regra do trapézio; 
c) Valor exato dado pela integral: 
𝐴 = ∫
2
√1 + 𝑥2
𝑑𝑥
2
−2
= 2 [ln (𝑥 + √1 + 𝑥2)]
−2
2
. 
2) Obtenha as integrais indefinidas abaixo: 
a) ∫ 𝑦√1 + 𝑦2𝑑𝑦 b) ∫
cos 𝑥
√2+sen 𝑥
𝑑𝑥
 
3) Calcule as áreas sob as curvas nos intervalos dados 
usando a integral definida e o winplot: 
a) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4; entre x = 0 e x = 2. 
b) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 3𝑥; entre x = 1 e x = 3. 
c) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2; entre x = 0 e x = 4. 
d) 𝑦 =
2𝑥
√2𝑥2+1
; 𝑥 = 0, 𝑥 = 2. 
 
4) Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais, 
observando as condições iniciais: 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥√𝑥2 − 4 ; 𝑥 = 2, 𝑦 = 3. 
 
b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4𝑥3𝑦 ; 𝑥 = 0, 𝑦 = 1. 
 
5) Encontre a área limitada pela reta y = x + 1 e pela 
parábola y = x2 – 2x – 3. Usando o winplot, construa o 
gráfico da área entre as curvas e mostre o cálculo da 
mesma. 
6) Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela 
rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno 
dos eixos especificados. Construa os gráficos com o 
winplot, mostrando a superfície gerada e o cálculo (ver 
tutorial abaixo). 
a) 𝑦 = √𝑥2 − 1, 𝑥 = 1, 𝑥 = 3, 𝑦 = 0; ao redor do eixo 
x; 
b) 𝑦 = 𝑥2, 𝑥 = −1, 𝑥 = 1, 𝑦 = 0; ao redor do eixo y 
(use a simetria); 
c) 𝑦 = 𝑥3, 𝑦 = −1, 𝑦 = 1, 𝑥 = 0; ao redor do eixo x 
(use a simetria). 
 
 
 
 
Fórmulas: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐, 𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≈ ∑ 𝑓(𝑥�̅�)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
, ∆𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛
, 𝑥�̅� =
𝑥𝑖−1 + 𝑥𝑖
2
, 
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≈
∆𝑥
2
[𝑓(𝑥0) + 2𝑓(𝑥1) + ⋯ + 2𝑓(𝑥𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛)], 𝑥0 = 𝑎, 𝑥𝑛 = 𝑏. 
∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 , 𝑢 = 𝑔(𝑥). 
 
 
 
 
 
 
Nomes: ______________________________________________________________________ 
 ____________________________________________________________________________ 
1º.Trabalho de Cálculo II – Entregar dia 06/04/2020 – Valor: 4,0 pontos 
Turma: Processos Químicos – Grupos de até 4 alunos – Prof.: Aurimar 
 
 
 
 
 
 
 
Tutorial para cálculo de áreas de integração no Winplot (wplotpr) 
 
Área entre a função e o eixo x: 
1º) Abra o Winplot e a janela de gráficos de duas dimensões (2-dim); 
2º) vá em Equação → 1.Explícita: digite a função (exemplo: f(x) = –xx + 4, xx é x ao quadrado, vá em Equação → Biblioteca 
para ver como se escrevem as funções elementares); 
3º) agora vá para Um→ Medidas →Integrar f(x)dx, onde a integral é calculada entre o eixo x e a função f(x); 
4º) digite os valores de x dos dois limites de integração, o primeiro no lim. inferior e o segundo no lim. Superior da integral 
(com pelo menos 5 casas decimais, se reais); 
5º) marque as caixas abaixo (ponto médio, trapezoidal e parabólico, que são alguns dos procedimentos de cálculo numérico 
de áreas), clique em visualizar e escolha a cor que você deseja para a área de integração entre as duas curvas; 
6º) clique em definida para calcular a área (integral definida). Mostre que essa área é igual a área que você obteve integrando 
as funções. 
 
Área entre duas funções: 
1º) Abra o Winplot e a janela de gráficos de duas dimensões (2-dim); 
2º) vá em Equação → 1.Explícita: digite a função (exemplo: f(x) = –xx + 4, xx é x ao quadrado, vá em Equação → Biblioteca 
para ver como se escrevem as funções elementares); 
3º) repita o 2º. passo e digite a segunda função. No exemplo abaixo, a segunda função foi a função linear f(x) = x/2; 
4º) se os limites de integração forem os pontos de interseção entre as duas curvas, vá em Dois → Interseções: escolha a 
primeira função (a superior, y = -xx+4) e a segunda função (a inferior, y = x/2) e marque os pontos de interseção entre as duas 
curvas. Esses pontos ficarão armazenados no Inventário, que é a janela onde estão as funções; se os limites de integração 
forem especificados (dados) ou de fácil obtenção, pule para o próximo passo; 
5º) agora vá em Dois → Integrar (f(x) – g(x))dx: digite os valores de x dos dois limites de integração, o primeiro no lim. inferior 
e o segundo no lim. Superior da integral (com pelo menos 5 casas decimais, se reais); 
6º) marque as caixas abaixo (ponto médio, trapezoidal e parabólico, que são alguns dos procedimentos de cálculo numérico 
de áreas; se quiser, marque todas), clique em visualizar e escolha a cor que você deseja para a área de integração entre as 
duas curvas; 
7º) clique em definida para calcular a área (integral definida) entre as duas curvas. Mostre que essa área é igual a área que 
você obteve integrando as funções (veja exemplo abaixo). 
 
 
Note que essa área é igual a área dada pelas regras do ponto médio, trapezoidal e parabólico. Os limites de integração foram 
obtidos resolvendo a equação de 2º. grau no integrando acima; 
 
8º) por fim, copie a figura (Ctrl C) e cole-a no Word (Ctrl V), como abaixo; 
 
𝐴 = ∫ [(−𝑥2 + 4) −
𝑥
2
] 𝑑𝑥
1,76556
−2,26556
= [−
𝑥3
3
+ 4𝑥 −
𝑥2
4
]
−2,26556
1,76556
 
 
𝐴 = 4,44840 − (−6,46924) = 10,9176. 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Área entre as curvas y = - x2 + 4 e y = x/2 
 
 
9º) escreva abaixo da figura o seu título, como acima: Figura 1 – Área entre as curvas y = - x2 + 4 e y = x/2 ou Figura 2 – área 
relacionada ao exercício 1 etc. 
 
Figura 2 – Área relacionada ao exercício 3d. 
 
 
 
 
Tutorial para gerar superfícies de revolução no Winplot 
 
1º) Abra o Winplot e a janela de gráficos de duas dimensões (2-dim); 
2º) vá em Equação → 1.Explícita: digite a função (exemplo: f(x) = ln(x)); 
3º) agora vá em Um → Superfície de revolução: escolha o eixo em torno do qual a função vai girar, eixo x ou eixo y. Digite os 
valores de x iniciais e finais do segmento de curva (arco) da função (neste exemplo, o arco inicial é 0.5 e o final é 2). Clique em 
mostrar arco para vê-lo e, em seguida, ver superfície; 
4º) no gráfico 3D, insira os eixos: vá em Ver → Eixos → Eixos. Posicione os eixos, usando as setas do teclado, de modo que o 
eixo y fique apontando para direita e o eixo x aponte, aproximadamente, para o canto inferior esquerdo da tela; 
5º) clique em Ver → Caixa → Caixa, para envolver a figura com uma caixa, como a seguir, onde a figura foi copiada (Ctrl C) e 
colada nesta página (Ctrl V). 
− − − −    
−
−





x
y
y = -xx+4
y = x/2
−  
−


x
y
 
 
 
 
 
Figura 3 – f(x) = ln(x) girada ao redor do eixo x no intervalo [0,5;2]. 
 
6º) para calcular o volume de revolução vá em Um (na janela 2-dim) → Medidas → Volume de revolução, escolha o eixo e 
digite o início do arco e o fim do arco, clique em volume (V = 0,80093, no exemplo) e compare com o resultado da integração. 
 
 
x
y
z