INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

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PROFESSORA: Ma. KARMEM WERUSCA 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 
Ementa: 
 – Introdução 
– Interpolação Linear e Quadrática 
– Interpolação de Lagrange 
Introdução 
 Diversas vezes temos a necessidade de encontrar um valor intermediário em uma 
tabela de valores (por exemplo, a tabela de probabilidades de uma curva normal). 
 Nesta unidade, estudaremos alguns métodos numéricos para resolver este tipo de 
problema. 
O QUE É A INTERPOLAÇÃO ? 
Consideremos um conjunto de pontos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), ...., (xn, f(xn)). 
Interpolar consiste em determinar uma função g(x) tal que: g(xi) = f(xi), i = 0, 1, 2, ... , 
n.Graficamente isto significa: 
 
No gráfico, (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), (x3, f(x3)), (x4, f(x4)), (x5, f(x5)), são valores conhecidos 
e que pertencem à função f(x) muitas vezes desconhecida. A função g(x) é a função que será 
determinada e que têm em comum com f(x) os pontos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), (x3, f(x3)), 
(x4, f(x4)), (x5, f(x5)), denominados nós de interpolação. 
No nosso estudo adotaremos a interpolação polinomial (determinar a função g(x) em forma de 
uma função polinomial), apesar de que g(x) pode ser uma função de qualquer tipo (racional, 
logarítmica, exponencial, trigonométrica, etc). 
Polinômios Interpoladores: 
 Polinômios interpoladores são polinômios construídos com o intuito de relacionar uma 
variável de entrada com uma variável de saída. Desta forma, eles podem ser usados para 
estimar os valores intermediários das tabelas. 
Interpolação linear e quadrática: 
– Interpolação linear 
Dados dois pontos, (x0, y0) e (x1, y1), de uma função y=f(x), pode-se utilizar a interpolação 
linear para calcular o valor de y quando o valor de x assume valores entre x0 e x1. A forma do 
polinômio interpolador é:f(x) ≈ P1(x) = a0+a1.x
 
 
E ele pode ser calculado com a fórmula: 
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Exemplo: Calcule P1(0,2) dados os pontos abaixo (retirados da equação f(x)=e
2x
): 
 
 
 
 
 
Através da fórmula: 
 
 
 
Interpolação Quadrática: 
Pode-se melhorar o resultado obtido com a interpolação linear aplicando um polinômio 
interpolador de grau maior.Por exemplo, digamos que temos três pontos (x0, y0), (x1, y1) e (x2, 
y2), de uma certa função y = f(x). Para realizar a aproximação, fazemos: 
f(x) ≈ P2(x) = a0+a1.x+a2.x
2
 
Onde P2(x) é um polinômio interpolador de grau 2. 
Se substituirmos os valores dos pontos no polinômio acima, teremos três equações distintas: 
 
Que podemos reescrever da seguinte forma: 
 
 
 
Este é um sistema de equações que pode ser facilmente resolvido por qualquer um dos 
métodos mostrados. 
i 0 1 
xi 0,1 0,6 
yi 1,221 3,320 





=++
=++
=++
2
2
22210
1
2
12110
0
2
02010
..
..
..
yxaxaa
yxaxaa
yxaxaa
( )0
01
01
01 .)( xx
xx
yy
yxP −
−
−+=
( ) 641,11,02,0.
1,06,0
221,1320,3
221,1)2,0(1 =−−
−+=P










=




















2
1
0
2
1
0
2
22
2
11
2
00
.
1
1
1
y
y
y
a
a
a
xx
xx
xx
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Exemplo:Dados os pontos (0,1; 1,221), (0,6; 3,320) e (0,8; 4,953), determine o valor de 
P2(0,2). 
Primeiro passo: Escrever o sistema de equações: 
 
 
 
Segundo passo: Resolver o sistema de equações (Neste exemplo, por Gauss): 
 
 
 
 
 
 
Solução do sistema de equações: 
a0=1,141;a1=0,231;a2=5,667 
Terceiro Passo: Montar o polinômio: 
P2(x)=1,141+0,231.x+5,667.x
2
 
Quarto Passo: Encontrar o valor de P2(0,2): 
P2(0,2)=1,141+0,231.0,2+5,667.(0,2)
2
 
P2(0,2)=1,414 
Interpolação de Lagrange: 
As interpolações lineares e quadráticas mostradas até o momento são casos particulares da 
interpolação de Lagrange. 
Até o momento, vimos que para determinar uma interpolação linear, precisávamos de 2 pontos 
e para uma interpolação quadrática, precisávamos de 3. 
Agora veremos que sempre precisaremos de n+1 pontos para montar um polinômio 
interpolador de grau n. 
Portanto, se forem dados n+1 pontos distintos, podemos construir um polinômio Ln(x) de grau 
menor ou igual a n, passando por todos os n+1 pontos dados. 
A fórmula do polinômio interpolador de Lagrange é: 
 
 










=




















953,4
320,3
221,1
.
64,08,01
36,06,01
01,01,01
2
1
0
a
a
a










=
732,3
099,2
221,1
63,07,00
35,05,00
01,01,01
1C










=
7934,0
099,2
221,1
14,000
35,05,00
01,01,01
2C
∑ ∏
=
≠
=


















−
−
=
n
i
n
ij
j ji
j
in
xx
xx
yxL
0 0
.)(
PROFESSORA: Ma. KARMEM WERUSCA 
 
Exemplo: Calcule L1(0,2) dados os pontos abaixo (retirados da equação f(x)=e
2x
: 
 
 
 
 
Através da fórmula: 
 
 
 
Exemplo: Calcule L2(0,2) dados os pontos abaixo (retirados da equação f(x)=e
2x
: 
i 0 1 2 
xi 0,1 0,6 0,8 
yi 1,221 3,320 4,953 
 
Utilizando a fórmula de Lagrange: 
 
 
 
Resolvendo-a: 
 
 
 
 
 
Considerando que o valor real é f(x)=1,492, vemos que aumentar o grau do polinômio melhora 
a exatidão do resultado. 
 
i 0 1 
xi 0,1 0,6 
yi 1,221 3,320 
641,1
1,06,0
1,02,0
.320,3
6,01,0
6,02,0
.221,1)2,0(
..)(
1
01
0
1
10
1
01
=
−
−+
−
−=
−
−+
−
−=
L
xx
xx
y
xx
xx
yxL
12
1
02
0
2
21
2
01
0
1
20
2
10
1
01
..
....)(
xx
xx
xx
xx
y
xx
xx
xx
xx
y
xx
xx
xx
xx
yxL
−
−
−
−+
+
−
−
−
−+
−
−
−
−=
414,1)2,0(
6,08,0
6,02,0
.
1,08,0
1,02,0
.953,4
8,06,0
8,02,0
.
1,06,0
1,02,0
.320,3
8,01,0
8,02,0
.
6,01,0
6,02,0
.221,1)2,0(
2
1
=
−
−
−
−+
+
−
−
−
−+
+
−
−
−
−=
L
L