Teorema de Laplace

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Teorema de Laplace 
Postado por Débora Silva 
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Na Álgebra Linear, o Teorema de Laplace, denominação dada em homenagem ao 
matemático e astrônomo francês Pierre-Simon Laplace (1749-1827), é um teorema 
matemático que, utilizando o conceito do cofator, conduz o cálculo dos determinantes 
para regras que podem ser aplicadas a quaisquer matrizes quadradas, proporcionando 
a possibilidade de decompô-los em números menores. O determinante é o número que 
se associa a uma matriz quadrada, geralmente indicado escrevendo-se os elementos 
da matriz entre barras ou o símbolo “det” antes da matriz. 
 
Foto: Reprodução 
Como o Teorema de Laplace é aplicado? 
Para aplicar o Teorema de Laplace, devemos escolher uma fila (linha ou coluna da 
matriz) e adicionar os produtos dos elementos desta fila aos cofatores 
correspondentes. 
O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 será obtido por meio da igualdade 
da soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores. 
Confira um exemplo: 
Calcule o determinante da matriz C, utilizando o Teorema de Laplace: 
 
De acordo com o Teorema, devemos escolher uma fila para calcular o determinante. 
Neste exemplo, vamos utilizar a primeira coluna: 
 
 
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Agora precisamos encontrar os valores dos cofatores: 
 
Pelo Teorema de Laplace, o determinante da matriz C é dado pela seguinte 
expressão: 
 
Primeiro e Segundo Teorema de Laplace 
O primeiro teorema de Laplace postula que “o determinante de uma matriz quadrada A 
é igual à soma dos elementos de qualquer linha de seus componentes algébricos.” 
O segundo teorema de Laplace afirma que “o determinante de uma matriz quadrada A 
é igual à soma dos elementos de qualquer coluna para o seu complemento algébrico.” 
As propriedades dos determinantes 
As propriedades dos determinantes são as seguintes: 
• Quando todos os elementos de uma fila, sejam linha ou coluna, são nulos, o 
determinante dessa matriz será nulo; 
• Caso duas filas de uma matriz sejam iguais, então seu determinante é nulo; 
• O determinante de duas filas paralelas de uma matriz proporcional será nulo; 
• Se os elementos de uma matriz forem compostos de combinações lineares dos 
elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante será nulo; 
• O determinante de uma matriz e sua equivalente transposta são iguais; 
• Multiplicando-se todos os elementos de uma fila em uma matriz por um número 
real, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número; 
• Ao trocarmos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz 
muda de sinal; 
• Em uma matriz, quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são 
todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. 
 
 
 
 
 
 
Teorema de Laplace 
 
O teorema de Laplace é normalmente utilizado para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem superior 
ou igual a 4. Apesar de também se poder aplicar a matrizes de ordem inferior, neste caso o cálculo do 
determinante é usualmente mais simples utilizando-se a regra de Sarrus. 
Na prática, o que se faz é passar do cálculo do determinante duma matriz de ordem n para o cálculo de 
determinantes de matrizes de ordem n-1. O teorema pode ser aplicado sucessivamente até se obterem 
matrizes de ordem 2 ou 3, cujo determinante é mais simples de calcular. 
Pode selecionar-se indiferentemente qualquer linha ou coluna da matriz para aplicar o teorema, pois todas 
conduzem ao mesmo resultado. No entanto, para simplificar os cálculos, é usual escolher-se a linha ou coluna 
que apresente mais zeros. 
Na verdade, visto que o método consiste em multiplicar cada elemento da linha pelo seu cofator, no caso de o 
elemento ser 0, o produto é nulo, não havendo pois necessidade de calcular o cofator do dito elemento para 
achar o produto. 
Exemplo 
Considere-se a matriz 
 
O determinante desta matriz pode ser calculado aplicando o teorema de Laplace à 1ª linha: 
 
 
O mesmo resultado pode ser obtido aplicando o teorema à 2ª coluna: 
== 
 
 
 
 
Matriz de Cofatores 
Por Maurício P. Marques Fernandes 
Cofatores 
Cofator é um número associado a um elemento qualquer de uma matriz quadrada. 
Para definir cofator é necessário primeiro definir o menor principal ou menor complementar, associado a um 
elemento qualquer de uma matriz quadrada. 
Menor Principal ou Menor Complementar 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_de_Sarrus
https://www.infoescola.com/autor/mauricio-p-marques-fernandes/3235/
Seja a matriz quadrada , definimos como menor principal (ou complementar) ao 
determinante da matriz que se obtém eliminando a linha i e a coluna j da matriz A, representamos o menor 
principal por D. 
Exemplos: 
Dada a matriz , vamos: 
a) Determinar o menor principal D11, associado ao elemento a11. 
O menor principal associado ao elemento a11 é a matriz que se obtém eliminando a linha e a coluna e quem 
está o elemento a11. 
 
O elemento a11 é o número 1. Eliminando a sua linha e a sua coluna obtemos a matriz A’, associado ao 
elemento a11, que é a matriz quadrada formada pelos elementos restantes, isto é: 
 
O menor principal será portanto o determinante de A’. Assim, temos que D11 = det(A’) 
• Det = (3.2)-(4.0) 
• Det = 6 – 0 
• Det = 6 
E, portanto: 
D11 = 6 
b) Determinar o menor principal associado ao elemento a22. 
O elemento a22 é o número 3. Eliminando a sua linha e a sua coluna obtemos o a matriz A’, elemento a22, 
que é a matriz quadrada formada pelos elementos restantes, isto é: 
 
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/08/cofatores1.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/08/cofatores2.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/08/cofatores3.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/08/cofatores4.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/08/cofatores5.jpg
Calculando o menor principal, isto é , o determinante de A’ (det (A’)), temos: 
• Det = (1.2) – (6.0) 
• Det = 2 – 0 
• Det = 2. 
Portanto, D22 = 2 
Cofator associado a um elemento qualquer de uma matriz quadrada 
Uma vez definido o menor principal, podemos então definir cofator como segue: 
O cofator ãij, associado a um elemento aijé definido por 
 Exemplos: 
Considerando a matriz , vamos determinar o cofator associado ao elemento a12. 
Pela definição temos: 
 
 Calculando o menor principal (menor complementar) D12, temos: 
O elemento a12 é o número 5 da matriz A, vamos eliminar a sua linha e a sua coluna, obtendo o menor 
principal a seguir: 
 
 
Substituído o menor principal D12 na definição temos: 
 
Portanto o cofator de a12, é: 
ã12 = 16 
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/08/cofatores7.jpg
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Matriz de cofatores 
Chamamos de matriz dos cofatores, e representamos por C a matriz formada por todos os cofatores de uma 
matriz original A. 
Exemplo: 
Seja A a matriz original dada a seguir: 
 
 
Vamos determinar a matriz dos “C” de cofatores associada a matriz original A. 
A matriz C, dos cofatores pode ser escrita como segue: 
 
 
Precisamos, portanto, calcular os cofatores ã11, ã12, ã21, ã22, associados aos elementos a11, a12, a21, a22, 
respectivamente. 
Calculando os cofatores, obtemos: 
 
 
Portanto a matriz C, dos cofatores associados a matriz original A será: 
 
 
Os cofatores são utilizados para o cálculo do determinante de uma matriz quadrada, enquanto que a matriz de 
cofatores é utilizada no processo de inversão de matrizes quando utilizamos o método de inversão por matriz 
adjunta. 
 
 
https://www.infoescola.com/matematica/calculo-do-determinante-de-uma-matriz-quadrada/
https://www.infoescola.com/matematica/matriz-inversa-inversao-por-matriz-adjunta/
https://www.infoescola.com/matematica/matriz-adjunta/
https://www.infoescola.com/matematica/matriz-adjunta/
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/08/cofatores12.jpg
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QUESTÃO 1 
Calcule o Determinante: 
 
Vamos escolher a linha 3 para calcular o cofator, de acordo com o teorema de Lapalce, 
temos: 
D= 7 . A31 + 4 . A32 + (-5). A33 + 0. A34 
Faremos o cálculo dos determinantes individuais, note que obtemos uma matriz de 
ordem 3, pois retiramos a linha e a coluna do fator A31, somamos a posição: linha mais 
coluna : A 3 +1 = 4 
 
A31 = 1. ( 42 - 33) 
A31 = 1. 9 
A31 = 9 
Faremos o mesmo processo com os demais: 
A32 = (-1)5. = 20 
A33 = (-1)6 = = 7 
D = 7. 9 + 4. 20 + (-5). 7 + 0 
D = 108 
 
 
 
 
 
 
Questão 4 
O cofator do elemento A22 da matriz A = é: 
a) 1 b) 2 c) 4 d) – 3 
Para determinar o cofator, vamos fazer o determinante da matriz sem a linha e a coluna 
que esse elemento se encontra: 
 
Assim, obtemos a seguinte matriz de ordem 2, Veja: 
 
A22= - 3 
Letra d.