9°Ano_MAT_ALUNO_1°BI

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1 
 
Matemática 
 
 Aluno 
 
Caderno de Atividades 
Pedagógicas de 
Aprendizagem 
Autorregulada – 01 
9° Ano | 1° Bimestre 
Disciplina Curso Bimestre Ano 
Matemática Ensino Fundamental 1° 9° 
Habilidades Associadas 
Reconhecer e diferenciar números decimais finitos ou infinitos, periódicos e não periódicos 
Ordenar e comparar números reais 
Identificar a localização de números reais na reta numérica 
Resolver problemas que envolvam cálculos de estimativas utilizando radicais. 
Efetuar racionalização de denominadores de frações 
Utilizar o Teorema de Tales para resolver situações do cotidiano 
 
2 
 
A Secretaria de Estado de Educação elaborou o presente material com o intuito de estimular o 
envolvimento do estudante com situações concretas e contextualizadas de pesquisa, aprendizagem 
colaborativa e construções coletivas entre os próprios estudantes e respectivos tutores – docentes 
preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do alunado. 
A proposta de desenvolver atividades pedagógicas de aprendizagem autorregulada é mais uma 
estratégia pedagógica para se contribuir para a formação de cidadãos do século XXI capazes de explorar 
suas competências cognitivas e não cognitivas. Assim, estimula-se a busca do conhecimento de forma 
autônoma, por meio dos diversos recursos bibliográficos e tecnológicos, de modo a encontrar soluções 
para desafios da contemporaneidade, na vida pessoal e profissional. 
Estas atividades pedagógicas autorreguladas propiciam aos alunos o desenvolvimento das 
habilidades e competências nucleares previstas no currículo mínimo, por meio de atividades 
roteirizadas. Nesse contexto, o tutor será visto enquanto um mediador, um auxiliar. A aprendizagem é 
efetivada na medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem. 
Destarte, as atividades pedagógicas pautadas no princípio da autorregulação objetivam, 
também, equipar os alunos, ajudá-los a desenvolver o seu conjunto de ferramentas mentais, ajudando-o 
a tomar consciência dos processos e procedimentos de aprendizagem que ele pode colocar em prática. 
Ao desenvolver as suas capacidades de auto-observação e autoanálise, ele passa a ter maior 
domínio daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno já domina, será possível contribuir para 
o desenvolvimento de suas potencialidades originais e, assim, dominar plenamente todas as 
ferramentas da autorregulação. 
Por meio desse processo de aprendizagem pautada no princípio da autorregulação, contribui-se 
para o desenvolvimento de habilidades e competências fundamentais para o aprender-a-aprender, o 
aprender-a-conhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o aprender-a-ser. 
 A elaboração destas atividades foi conduzida pela Diretoria de Articulação Curricular, da 
Superintendência Pedagógica desta SEEDUC, em conjunto com uma equipe de professores da rede 
estadual. Este documento encontra-se disponível em nosso site www.conexaoprofessor.rj.gov.br, a fim 
de que os professores de nossa rede também possam utilizá-lo como contribuição e complementação às 
suas aulas. 
Estamos à disposição através do e-mail curriculominimo@educacao.rj.gov.br para quaisquer 
esclarecimentos necessários e críticas construtivas que contribuam com a elaboração deste material. 
 
Secretaria de Estado de Educação 
 
 
Apresentação 
http://www.conexaoprofessor.rj.gov.br/
mailto:curriculominimo@educacao.rj.gov.br
 
3 
Caro aluno, 
Neste caderno, você encontrará atividades diretamente relacionadas a algumas 
habilidades e competências do 1° Bimestre do Currículo Mínimo de Matemática do 9° 
ano do Ensino Fundamental. Estas atividades correspondem aos estudos durante o 
período de um mês. 
 A nossa proposta é que você, Aluno, desenvolva estas Atividades de forma 
autônoma, com o suporte pedagógico eventual de um professor, que mediará as trocas 
de conhecimentos, reflexões, dúvidas e questionamentos que venham a surgir no 
percurso. Esta é uma ótima oportunidade para você desenvolver a disciplina e 
independência indispensáveis ao sucesso na vida pessoal e profissional no mundo do 
conhecimento do século XXI. 
Neste caderno de atividades, iremos aprender a diferenciar números decimais 
finitos de infinitos, periódicos de não periódicos, a desenvolver as operações com 
números reais, a ordenar e posicionar números reais na reta. Também estudaremos 
sobre os radicais, principalmente as raízes quadradas, exatas e não exatas, finalizando 
com o Teorema de Tales. 
Este documento apresenta 6 (seis) aulas. As aulas podem ser compostas por uma 
explicação base, para que você seja capaz de compreender as principais ideias 
relacionadas às habilidades e competências do bimestre em questão, e atividades 
respectivas. Estimule os alunos a ler o texto e, em seguida, resolver as Atividades 
propostas. As Atividades são referentes a dois tempos de aulas. Para reforçar a 
aprendizagem, propõem-se, ainda, uma avaliação e uma pesquisa sobre o assunto. 
 
Um abraço e bom trabalho! 
Equipe de Elaboração. 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 Introdução.............................................................................................. 
 
03 03 
 Aula 1: Números decimais finitos ou infinitos ....................................... 
 Aula 2: Operações com números reais .................................................. 
 Aula 3: Ordenando números reais ........................................................ 
 Aula 4: Operações e estimativas com radicais ....................................... 
 Aula 5: Racionalização de denominadores ............................................ 
 Aula 6: Teorema de Tales ....................................................................... 
 Avaliação ............................................................................................ 
 Pesquisa .............................................................................................. 
05 
10 
14 
17 
21 
23 
27 
29 
 
05 
 
 Referências ........................................................................................ 30 
 
 
 
Sumário 
 
 
5 
 
 
 Caro aluno, nesta aula você irá 
estudar sobre os números decimais. Eles 
estão intimamente ligados à nossa 
realidade, principalmente quando lidamos 
com situações financeiras. Espero que você 
goste muito desta aula! 
 
1 – NÚMEROS DECIMAIS: 
 
 Existem duas categorias de números decimais: os finitos e os infinitos. Ou seja, 
os que têm finitas casas decimais e os que têm infinitas casas decimais. Veja alguns 
exemplos: 
 
Decimais finitos: 
1,2 
3,11 
-5,84 
-11,999 
Decimais infinitos: 
0,333... 
-6,121212... 
8,01001000100001... 
-7,012345678910111213... 
 
1.1 – NÚMEROS DECIMAIS FINITOS: 
 
Os números decimais finitos são chamados assim pois têm finitas casas 
decimais. Estes números podem ser transformados em fração e, por isso, eles são 
números racionais. Vamos transformar um decimal finito em fração? Observe o 
exemplo: 
O número escolhido é 0,6. Observe que ele tem apenas uma casa decimal. Por 
isso, vamos multiplicá-lo e dividi-lo por 10: 
 
Aula 1: Números decimais finitos ou infinitos 
http://www.guiasjp.com/fotos_noticias/foto_12386
74982.96.jpg 
http://www.guiasjp.com/fotos_noticias/foto_1238674982.96.jpg
http://www.guiasjp.com/fotos_noticias/foto_1238674982.96.jpg
 
6 
0,6 = 0,6 . 
10
10
=
6
10
= 
3
5
 
 
 
 
 
1.2 – NÚMEROS DECIMAIS INFINITOS: 
 
Os números decimais infinitos podem ser periódicos ou não periódicos. Vamos 
primeiro estudar os periódicos. 
Os decimais periódicos podem ser simples ou compostos, dependendo dos 
números que aparecem após a vírgula. Observe: 
 0,3333... – Decimal Periódico Simples, pois, após a vírgula, podemos 
logo identificar o período: 3 
 0,45555... – Decimal Periódico Composto, pois, após a virgula, temos o 
número 4, que chamamos de anteperíodo.Nesta aula, vamos estudar como representar alguns decimais periódicos 
infinitos na forma de fração. Para isso, iremos utilizar um método prático. Veja como 
proceder! 
A) Para se obter a fração que gera a dízima no caso de decimais periódicos 
simples, utilizaremos o período como numerador e como denominador um número 
formado por tantos dígitos 9 quantos forem os dígitos do período. Observe os 
exemplos: 
 0,333 … =
3
9
 
 0,454545 … =
45
99
 
 
B) No caso dos decimais periódicos compostos, teremos que ter um pouco mais 
de atenção. Observe o exemplo: 
 
 0,45222 … =
452−45
900
=
407
900
 
 
Como 
10
10
= 1, podemos multiplicar 0,6 
por esta fração numa boa! Você 
concorda? 
 
7 
Note que o número 452 é formado pela junção do anteperíodo 45, com o 
período 2. Ao subtrairmos deste número o anteperíodo, obtemos 452 ─ 45, que será o 
numerador da fração. O denominador é formado por tantos dígitos 9, quantos são os 
dígitos do período, assim como no caso das dízimas periódicas simples, seguidos de 
tantos dígitos 0 quantos são os dígitos do anteperíodo. Vamos ver se você entendeu? 
Observe esses outros exemplos: 
0,1222 … =
12 − 1
90
=
11
90
 
 
0,2333 … =
23 − 2
90
=
21
90
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para terminar nossa aula, faltam os números decimais infinitos não periódicos. 
Esses não podem ser escritos em forma de fração e, por isso, são números irracionais. 
Veja alguns exemplos: 
 1,2365894512657842... 
 3,01001000100001000001... 
 -11,1234567891011121314151617... 
 
 
 
 
 
 
 
Veja que as casas decimais podem até ter um padrão, 
mas não é um padrão periódico! 
 Esta é uma ótima oportunidade para ver o que 
significa a palavra “periódico”. Consulte um dicionário! 
Você notou como é fácil! 
Agora vamos para os decimais 
infinitos não periódicos! 
 
8 
A palavra irracional tem o seguinte significado: “aquilo que não é racional”. Ou 
seja, é importante ressaltar que não existem números que sejam racionais e irracionais 
ao mesmo tempo. 
Você lembra do Pi (𝜋)? Pi é uma letra grega que 
representa um número irracional muito famoso. 
Com ele podemos resolver problemas que 
envolvem o comprimento e a área de uma 
circunferência. Abaixo podemos ver as primeiras 
casas decimais de Pi: 
𝜋 = 3,14159265 … 
 
Existe entre os cientistas e pesquisadores uma 
busca incessante para descobrir cada vez mais as casas decimais do Pi, a fim de 
mostrar que ele é periódico. Mas, até então, nada foi descoberto neste sentido. Uma 
das descobertas foi feita no ano de 2009 pelos pesquisadores da Universidade de 
Tsukuba no Japão. Eles utilizaram um supercomputador, que verificou 2,5 trilhões de 
casas decimais de Pi e não foi descoberto padrão periódico em suas casas decimais. 
Atualmente, um engenheiro Japonês anunciou que bateu este recorde, dizendo que 
encontrou aproximadamente 2,7 trilhões de casas decimais do Pi. 
Agora que você relembrou conceitos importantes, chegou a hora de aplicar nas 
atividades. Vá em frente! Bom estudo! 
 
 
 
01. Classifique os números abaixo como decimais infinitos periódicos (P) ou decimais 
infinitos não periódicos (NP): 
 
a) ( ) -6,313131... 
b) ( ) 4,12112111211112... 
c) ( ) 11,111... 
 
Atividade 1 
 
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/s
torage/discovirtual/galerias/imagem/0
000001523/0000018247.jpg 
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000001523/0000018247.jpg
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000001523/0000018247.jpg
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000001523/0000018247.jpg
 
9 
d) ( ) 78,1234444... 
e) ( ) 3,14156987456321... 
 
02. Represente os decimais finitos em fração: 
 
a) 0,8 
b) 1,5 
c) 23,34 
d) 0,002 
 
03. Represente os decimais infinitos periódicos em fração: 
 
a) 0,444... 
b) 0,323232... 
c) 0,123123... 
d) 0,888... 
 
04. Transforme os decimais infinitos periódicos em fração: 
 
a) 0,41111 ... 
b) 8,1333... 
c) 5,1777... 
d) 2,31444... 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
Caro aluno, nesta aula você estudará sobre operações com números reais. 
Primeiro, vamos relembrar quais números podem ser chamados de reais. Espero que 
você consiga entender estes conceitos com facilidade! 
 
1 - CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS: 
 
O conjunto dos números reais, simbolizado por ℝ, é a união entre o conjunto 
dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. O conjunto dos números 
reais engloba praticamente todos os conjuntos numéricos que já estudamos. São 
exemplos de números reais: 
a) Os números naturais. 
b) Os números inteiros. 
c) Os decimais finitos. 
d) Os decimais infinitos periódicos. 
e) Os decimais infinitos não periódicos. 
 
O diagrama abaixo resume bem como é formado o conjunto dos números reais. 
Repare que ele contém o conjunto dos números racionais, que por sua vez contém o 
conjunto dos números inteiros e que, por último, contém o conjunto dos números 
naturais. 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 2: Operações com números reais 
A parte cinza que está fora do 
conjunto dos números racionais, 
porém dentro do conjunto dos 
números reais, é o conjunto dos 
números irracionais! 
Você já tinha percebido? 
ℝ ℚ ℤ ℕ 
 
11 
Então, todos os exemplos de números vistos nas aulas anteriores são também 
exemplos de números reais! 
 
2 – OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS: 
 
No conjunto dos números reais, podemos realizar as quatro operações (soma, 
subtração, multiplicação e divisão). Não esqueça que não existe divisão por zero! Para 
operar dois ou mais números reais o ideal é que eles estejam na mesma 
representação. Ou seja, todos na forma fracionária ou na forma decimal. Vamos então 
operar alguns números reais? 
 
a) Como calcular 
1
2
+ 1,4? 
Para realizar, esta soma é preciso que os dois números estejam na mesma 
forma. Ou seja, ou colocamos os dois em forma de fração ou em forma decimal. 
Vamos optar, neste momento, por colocar 1,4 em forma de fração. 
 
1,4 = 1,4 . 
10
10
=
14
10 
=
7
5 
 
 
Assim, podemos continuar nossa operação. Vamos lá: 
 
1
2
+ 1,4 =
1
2
+
7
5
=
5
10
+
14
10
=
19
10
 
 
b) Como calcular 0,555. . . −
3
4
? 
Vamos passar 0,555... para fração. Utilizando o método prático, temos que 
0,555. . =
5
9
. Desta forma, temos: 
0,555 …−
3
4
=
5
9
−
3
4
=
20
36
−
27
36
= −
7
36
 
 
 
 
 
12 
c) E na multiplicação? Como resolver 
5
6
 . 0,2? 
No caso de multiplicação de racionais, é sempre ideal que transformemos tudo 
para fração, principalmente quando os racionais envolvidos na operação forem 
decimais infinitos periódicos. Assim, passando 0,2 para fração, temos: 
0,2 = 
2
10
=
1
5
 
 
Agora vamos continuar nossa operação inicial: 
 
5
6
 . 0,2 =
5
6
 . 
1
5
= 
5
30
=
1
6
 
 
d) E para resolver 5,3 . 6,1? 
Note que os dois racionais estão em forma decimal finita. Assim, podemos 
operar facilmente, conforme o esquema abaixo: 
 5, 3 
 x 6, 1 
 5 3 ← resultado da multiplicação por 1. 
3 1 8 ← resultado da multiplicação por 6. Pulando sempre uma casa! 
 3 2, 3 3 ← resultado final. 
 
Assim, nossa resposta final é 32,33. 
 
 
 
 
e) Vamos fazer uma divisão? Quanto vale 
6
5
 ∶ −0,5 ? 
Para realizar uma divisão entre racionais, o ideal é que ambos estejam na forma 
fracionária. Então, vamos converter -0,5 em fração: 
Observe que, inicialmente, cada número 
possuía uma casa decimal. Por isso o 
resultado final possui duas casas decimais! 
 
13 
−0,5 = −
5
10
= −
1
2
 
 
Desta forma podemos proceder à operação: 
 
6
5
∶ −
1
2
 = ? 
 
Vamos lembrar-nos de algo: dividir é o mesmo que multiplicar pelo inverso. 
Assim: 
6
5
∶ −
1
2
 = 
6
5
 . −
1
2
 = −
6
10
= −
3
5
 
 
 Agora, depois de observar bem cada exemplo, vamos treinar! Chegou a sua vez 
de tentar resolver algumasoperações com números reais! Bom estudo! 
 
 
 
Nas atividades de soma, subtração e multiplicação utilize o método que achar 
mais adequado. Ou transforme ambos em fração ou ambos em decimal! 
 
01. Resolva a seguinte soma de racionais: 
6
5
+ 0,4 
 
02. Resolva a seguinte subtração de racionais: 2,1 −
3
2
 
 
03. Resolva a seguinte multiplicação de racionais: 
1
5
 . 2,5 
 
04. Resolva a seguinte divisão de racionais: 
2
5
∶ 2,2 
 
 
 
Atividade 2 
 
 
14 
 
 
 Nesta aula, você aprenderá a ordenar números reais e identificar alguns 
números reais na reta. Então vamos lá! Boa aula! 
 
1 – ORDENANDO NÚMEROS REAIS: 
 
Dada uma quantidade de números reais, podemos ordená-los de forma 
crescente ou decrescente. Lembre que um número real é racional ou irracional. Assim, 
para comparar números reais, basta escrevê-los na forma decimal. 
Para colocar em ordem crescente, devemos obedecer aos seguintes passos: 
 
 Comece separando primeiro os números negativos; 
 Em seguida, verifique a parte inteira de cada um deles (a parte que fica à 
esquerda da vírgula); 
 E, por último, vamos comparar as casas decimais de mesma ordem após a 
vírgula. 
 
É importante entender a seguinte propriedade: Dados dois números reais a e 
b, somente três situações são possíveis, a > b (a é maior que b), a = b ou a < b (a é 
menor que b). Observe alguns exemplos: 
 
a) Quem é maior? 1,3 ou 1,2? 
Note que 1,3 é maior que 1,2, pois eles possuem a mesma parte inteira, mas a 
primeira casa decimal de 1,3 é maior que a primeira casa decimal de 1,2. 
 
b) Vamos escrever em ordem crescente os seguintes números reais: ─ 0,3; 3,1; ─3 
e 1,3. 
 
Aula 3: Ordenando números reais 
 
15 
Começando pelos negativos, perceba que - 3 é menor que - 0,3. Basta observar 
a parte inteira. Já nos positivos, olhando também para a parte inteira, vemos que 1,3 é 
menor que 3,1. Assim, nossa ordem crescente é: - 3; - 0,3; 1,3 e 3,1. 
 
c) Vamos escrever 0,2; 
3
4
; −
4
3
; −1,222 … ; − 2 e 
12
5
 em ordem crescente: 
Para isso, vamos passar as frações para decimal: 
3
4
= 0,75; −
4
3
= −1,333 … e 
12
5
= 2,4. Você pode utilizar uma calculadora para verificar as primeiras casas decimais 
das raízes quadradas não exatas. Assim, − 2 = −1,414213 … 
Como todos os números reais da lista estão escritos na forma decimal, vamos 
escrever os números em ordem crescente: 
−1,414213 … ; −1,333 … ; −1,222 … ; 0,2; 0,75 e 2,4. 
Agora, no formato inicial dos números, temos: 
− 2 ; −
4
3
 ; −1,222 … ; 0,2 ; 
3
4
 e 
12
5
. 
 
2 – POSICIONAMENTO NA RETA: 
 
Para cada número real, existe um ponto correspondente na reta numerada. E, 
para cada ponto da reta, existe um número real correspondente. Assim, além de 
ordenar os reais, podemos posicioná-los em uma reta. Para isso, o ideal é que eles 
estejam na forma decimal, pois, desta forma, fica mais fácil achar suas posições. 
Vamos posicionar em uma reta numérica de forma aproximada os seguintes 
números: 3; − 5; 𝜋; 1,333... e −
3
5
. Seguindo o método apresentado, 
primeiramente vamos representar todos os números na forma decimal: 
 
 3 = 1,7320 … ; − 5 = −2,2360 … ; 𝜋 = 3,1415 … e −
3
5
= −0,6. 
 
 
 
 
 
16 
 Agora é o momento de testar se você aprendeu. Faça as atividades abaixo e 
bom estudo! 
 
 
 
01. Classifique cada afirmação abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F): 
 
a) ( ) Todo número racional é também real. 
b) ( ) Todo número irracional pode ser expresso em forma de fração. 
c) ( ) Um número real é racional ou irracional. 
d) ( ) Um número inteiro pode ser também irracional. 
 
02. Observe os números abaixo e escreva entre eles o símbolo > (maior) ou < (menor): 
 
a) 3,4 4,3 d) 7 3 
b) −5,1 −6,3 e) − 10 −5,9 
c) 2,6 
5
2
 f) 
7
5
 −1,3 
 
03. Escreva os números reais abaixo em ordem crescente: 
12
5
 3 −2,8 0 −2,777 … 
 
04. Posicione, aproximadamente, na reta numérica os seguintes números reais: 
 2 ; −3,5 ; 
5
3
 ; − 7 e −
1
4
. 
 
 
 
Atividade 3 
 
 
17 
 
Caro aluno, nesta aula você aprenderá como calcular raízes aproximadas de 
números naturais. Para isso, temos que nos lembrar das raízes exatas. Veja o exemplo 
abaixo e revise esse conteúdo. 
 
1 - RAIZ QUADRADA EXATA DE UM NÚMERO NATURAL: 
 
Calcular a raiz quadrada exata é encontrar o valor do número natural que, 
multiplicado por ele mesmo, resulte no número dado. 
 
Exemplo 1: Calcule as raízes exatas. 
a) 4 = 2, 𝑝𝑜𝑖𝑠 2 × 2 = 4 b) 64 = 8 , 𝑝𝑜𝑖𝑠 8 × 8 = 64 
 
Esses são os números que chamamos de quadrados perfeitos: 1, 4, 9, 16, 25, 
36, 49, 64, 81, 100... Nesses números, temos respostas exatas das raízes quadradas. 
Veremos abaixo como calcular as raízes que não apresentam um número natural como 
resposta e, por isso, são raízes aproximadas. 
 
2 - RAIZ QUADRADA APROXIMADA: 
 
Vamos começar com um problema! Álvaro quer cercar seu terreno quadrado 
de 200 m² e só tem 80 m de tela. Tente imaginar a situação! 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 4: Estimativa de raízes quadradas 
 
18 
Álvaro conseguirá cercar seu terreno? 
Para encontrar a resposta dessa pergunta, temos que saber quanto mede o lado 
desse terreno. Assim, podemos multiplicá-lo por 4 e descobrir o quanto de tela Álvaro 
irá precisar! Questões como esta são resolvidas através do uso de aproximações de 
radicais! 
Então, vamos entender melhor como fazer estes cálculos? 
Se você quiser calcular a raiz de 30, por exemplo, temos que saber qual 
quadrado perfeito vem antes e depois do valor que queremos encontrar. Esta 
informação já nos ajuda a estimar um valor para a raiz de 30. Observe: 
 𝟐𝟓 < 𝟑𝟎 < 𝟑𝟔 
𝟓 < 𝟑𝟎 < 𝟔 
Daí concluimos que o valor da raiz está entre 5 e 6. Então, temos que lembrar 
que os números entre 5 e 6 são: 5,1; 5,2; 5,3; 5,4; 5,5; 5,6; 5,7; 5,8 ou 5,9. 
Esses valores são as possíveis respostas para a 30. Devemos, então, calcular o 
quadrado de cada valor, até encontrar o resultado mais próximo possível. 
Observe: 
 5,1² = 5,1 x 5,1 = 26,01; 
 5,2² = 5,2 x 5,2 = 27,04; 
 5,3² = 5,3 x 5,3 = 28,09; 
 5,4² = 5,4 x 5,4 = 29,16 
 5,5² = 5,5 x 5,5 = 30,25. Como (5,5)² é maior que 30, a raiz quadrada de 30 
está entre 5,4 e 5,5. Logo, temos que: 30 ≅ 5,4. 
 
IMPORTANTE: Temos uma fórmula especial para calcular o valor aproximado das 
raízes. Preste bastante atenção! 
 n = 
n+p
2 × p
 , onde n é o numero dentro da raiz e p é o quadrado 
perfeito mais próximo do número n. 
 
Observe o exemplo abaixo, no qual n = 5 e p = 4, pois 4 é o quadrado perfeito 
mais próximo de 5: 
 
19 
 5 = 
5 + 4
2 × 4
= 
5 + 4
2 × 2
=
9
4
= 2,25 
 
Vamos fazer mais um exemplo. Queremos agora calcular uma aproximação 
para a 7. Aplicando a fórmula que aprendemos, temos que n = 7 e p = 9, pois 9 é o 
quadrado perfeito mais próximo de 7. Assim: 
 
 7 = 
7 + 9
2 × 9
= 
7 + 9
2 × 3
=
16
6
= 2,666 … 
 
Fazendo um truncamento na primeira casa decimal, vamos ficar com 7 ≅ 2,6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você pode fazer estas aproximações utilizando 
uma calculadora simples. Basta escolher o número cuja 
raiz quadrada deseja encontrar e, depois, clicar na tecla 
com o símbolo . Veja a figura ao lado e identifique a 
tecla! 
Agora temos de verificar se você aprendeu. 
Resolva os exercícios abaixo e, em caso de dúvidas, 
retorne aos exemplos! 
 
 
 
Note que 2,6 x 2,6 = 6,76 que 
é bem próximo de 7. 
http://img.shoptime.com.br/
produtos/01/00/item/108290
/6/108290687SZ.jpg 
 
20 
 
 
01. Utilize a fórmula apresentada na aula e calcule o valor aproximado das seguintes 
raízes: 
 
a) 8 
 
 
 
b) 20 
 
 
02. Verifique se 1,9 é a raiz aproximada de 3. 
 
 
03. Álvaro quer cercar seu terreno quadrado de 200m² e só tem 80m de tela. Sabendo 
que a área do quadrado é dada pela fórmula A = a2, faça o que se pede: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a)Calcule a raiz quadrada de 200 e veja quantos metros mede o lado do terreno de 
Álvaro. 
 
b) Álvaro conseguirá cercar seu terreno? 
 
c) Quanto de tela irá sobrar? 
 
Atividade 4 
 
 
21 
 
 
 Olá, Alunos! Nas aulas anteriores, aprendemos a operar com os radicais. Você 
se lembra? Nessa aula, aprenderemos a operar quando no denominador de uma 
fração houver um radical. Não é dificil fazermos essa operação; com o conhecimento 
adquirido nas aulas anteriores, será bem fácil. Vamos tentar? 
 
1 – DENOMINADORES COM UM RADICAL: 
 
Ao fazermos a aproximação da 3, temos 1,7320508. Já com a 2, temos 
1,414222. Agora, imaginem se tivéssemos de fazer 
1
 3
=
1
1,7320508
 ou 
1
 2
=
1
1,414222
. 
Complicado esse cálculo, não? 
Pensando em casos como esses, utilizamos a racionalização de denominadores, 
evitando que tenhamos de calcular ou decorar raízes aproximadas quando não houver 
exatidão no cálculo da raiz. 
Vejamos, agora, como poderíamos resolver essa situação, calculando uma 
fração equivalente aos dois casos acima descritos. 
 
Caso (1): Vamos racionalizar o denominador de 
1
 3
. 
 
A maneira mais fácil de resolver essa situação é eliminarmos do denominador 
da fração a 3. Para isso, vamos usar um atifício muito interessante. Você deve 
lembrar que 3² = 9 e que 9 = 32 = 3, correto? 
Sendo assim, a única maneira de transformar a 3 em 9 é multiplicando a 3 
pela própria 3, ou seja 3. 3 = 3.3 = 9 = 3. Porém, para mantermos a 
equivalência entre as frações, devemos multiplicar tanto o numerador quanto o 
denominar pela mesma raiz, da seguinte maneira: 
1
 3
 .
 3
 3
= 
 3
 9
=
 3
3
 
 
Aula 5: Racionalização de denominadores 
 
 
22 
Observe que não há mais número irracional no denominador. Sendo assim, ao 
menos nesse caso, acabamos com o problema da raiz no denominador. 
 
Caso (2): Vamos racionalizar o denominador de 
1
 2
. 
 
Para o caso da 2, a resolução se dá da mesma maneira. O importante é 
observarmos que, para a exclusão da raiz do denominador, nesses dois casos, basta 
multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pela raiz em questão. Sendo 
assim, vamos resolver o segundo caso: 
1
 2
 .
 2
 2
= 
 2
 4
=
 2
2
 
 
IMPORTANTE: Os denominadores que estão sendo racionalizados são 
formados por raízes quadradas. Caso fossem radicais com outros índices, faríamos de 
outra maneira, mas isso fica para as próximas aulas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
01. Racionalize o denominador das frações abaixo: 
 
a) 
2
 7
 
b) 
1
 5
 
c) 
6
 3
 
d) −
12
 8
 
 
Atividade 5 
 
Vamos lá, pessoal! Agora que já 
vimos como racionalizar um 
denominador, vamos exercitar? 
 
 
23 
 
 
Caro aluno, nesta aula você estudará o Teorema de Tales. É indispensável 
mencionar os estudos do grego Tales de Mileto, cujo nome está associado ao teorema. 
Esse importante filósofo, astrônomo e matemático, que viveu antes de Cristo, usou 
seus conhecimentos sobre Geometria e proporcionalidade para determinar a altura de 
uma pirâmide. Em seus estudos, Tales observou que os raios solares que chegavam à 
Terra estavam na posição inclinada e eram paralelos. Dessa forma, ele concluiu que 
havia uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos. 
 
1 – TEOREMA DE TALES: 
 
O Teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte lei de 
correspondência: 
 
 
 
 
Para compreender melhor o teorema, observe a figura a seguir e alguns exemplos: 
 
Fonte: http://www.bancodeconcursos.com/a/conteudo/teorema%20de%20tales(1).jpg 
 
 
 
 
Aula 6: Teorema de Tales 
 
Um feixe de paralelas determina sobre duas transversais 
segmentos proporcionais. 
 
http://www.bancodeconcursos.com/a/conteudo/teorema%20de%20tales(1).jpg
 
24 
Exemplo 1: 
Considerando que as retas r, s e t são paralelas, aplique o teorema de Tales e 
determine o valor de x. 
 
 
 
Aplicando a proporcionalidade, temos a seguinte relação: 
𝑥
39
=
24
36
 
36 . 𝑥 = 24 . 39 
36 𝑥 = 936 
𝑥 =
936
36
 
𝑥 = 26 
Exemplo 2: 
Na planta abaixo, as ruas A e B interceptam quatro segmentos paralelos, formando 
três quadras de um bairro. Determine as medidas das distâncias x e y. 
 
 
FONTE: http://www.warlisson.com.br/wp-content/uploads/2011/09/exercicioTeoremaTales.jpg 
http://www.warlisson.com.br/wp-content/uploads/2011/09/exercicioTeoremaTales.jpg
 
25 
Vamos aplicar o teorema para encontrar o valor da medida x. 
 
𝑥
15
=
28
20
 
20 . 𝑥 = 28 . 15 
20𝑥 = 420 
𝑥 =
420
20
 
𝑥 = 21 
 
 Agora, seguimos o mesmo procedimento para obter a medida y: 
 
28
𝑦
=
20
25
 
20𝑦 = 28 . 25 
𝑦 =
700
20
 
𝑦 = 35 
Exemplo 3: 
Considerando as retas r, s e t paralelas, calcule o valor de x: 
 
 
 
Observe que este exemplo envolve cálculos que exigem um pouco mais de 
atenção!!! 
Agora vamos verificar se você aprendeu. Resolva os exercícios abaixo e, em 
caso de dúvidas, retorne aos exemplos. 
 
2x − 3
x + 2
=
5
6
 
6 . 2x − 3 = 5(x + 2) 
12x − 18 = 5x + 10 
12x − 5x = 18 + 10 
7x = 28 
x =
28
7
 
x = 3 
 
 
26 
 
 
01. Nos seguintes feixes de paralelas, determine os valores das medidas x e y: 
a) 
 
b) 
 
 
02. Três retas paralelas determinam sobre uma transversal segmentos com medidas 8 
cm e 10 cm. Determine a medida do maior segmento que o feixe determina sobre 
outra transversal, sabendo que o segmento menor mede 12 cm. 
 
 
 
03. Duas avenidas partem de um mesmo ponto A e cortam duas ruas paralelas. Na 
primeira avenida, os quarteirões determinados pelas ruas paralelas medem 50 m e 80 
m, respectivamente. Na segunda avenida, os quarteirões medem 60 m e x metros, 
respectivamente. Calcule a medida x. 
 
 
Atividade 6 
 
 
27 
 
 
01. Transformando em fração os números 0,888... e 0,5 encontramos 
respectivamente: 
 
(A) 
8
9
 𝑒 
5
9
 
(B) 
8
9
 𝑒 
1
2
 
(C) 
8
10
 𝑒 
5
9
 
(D) 
8
10 
𝑒 
1
2
 
 
02. Os números reais −
5
4
 e 0,777... são, respectivamente: 
 
(A) D e C 
(B) B e A 
(C) D e B 
(D) D e A 
 
03. Considerando uma aproximação de 𝜋 em 3,14, o valor de 𝜋 +
5
2
 é: 
 
(A) 3,64 
(B) 5,64 
(C) 5,34 
(D) 3,34 
 
 
 
 
Avaliação 
 
 
28 
04. Considerando as aproximações 2 ≅ 1,4 e 3 ≅ 1,7, o valor de 2 − 3 é: 
 
(A) -0,3 
(B) 0,3 
(C) -1,3 
(D) 2,3 
 
05. Racionalizando o denominador da fração 
4
 2
, encontra-se: 
 
(A) 
 2
2
 
(B) 
 2
4
 
(C) 2 
(D) 2 2 
 
06. Sabendo que as retas r, s e t são paralelas, utilize o Teorema de Tales para calcular 
o valor de x da figura abaixo: 
 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
 
 Caro aluno, agora que já estudamos os principais assuntos relativos ao 1° 
bimestre, é hora de discutir um pouco sobre a importância deles na nossa vida. Então, 
vamos lá? 
 Iniciamos este estudo operando e ordenando números reais. Depois, 
estudamos sobre radicais e racionalização de denominadores. Por último, vimos o 
Teorema de Tales. Leia atentamente as questões a seguir e, através de uma pesquisa, 
responda cada uma delas de forma clara e objetiva. 
 
ATENÇÃO: Não se esqueça de identificar as Fontes de Pesquisa, ou seja, o nome dos 
livros e sites que foram utilizados. 
 
1. Apresente alguns exemplos de situações reais nas quais podemos encontrar 
números reais. 
 
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________ 
 
 
2. Faça uma busca na internet sobre Tales de Mileto e relate abaixo as principais 
características deste importante matemático, que desenvolveu o teorema estudado na 
últimaaula. Pesquise onde e quando nasceu, onde viveu, o que estudou, quais os 
principais legados que gerou, ... 
 
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________ 
 
 
Pesquisa 
 
30 
 
 
[1] IEZZI, Gelson; Et al. Matemática e Realidade: 8ª série. 5 ed. São Paulo: Atual, 2005. 
[2] DANTE, Luiz Roberto. Projeto Teláris: Matemática 9º ano. 1 ed. São Paulo: Ática, 
2012. 
[3] BARROSO, Juliane Matsubara. Projeto Araribá: Matemática Ensino Fundamental 8. 
1 ed. São Paulo: Moderna, 2003. 
[4] BIANCHINI, Edwaldo. Matemática 9º ano. 7 ed. São Paulo: Moderna, 2011. 
 
Referências 
 
 
31 
 
 
 
 
COORDENADORES DO PROJETO 
Diretoria de Articulação Curricular 
Adriana Tavares Maurício Lessa 
 
Coordenação de Áreas do Conhecimento 
Bianca Neuberger Leda 
Raquel Costa da Silva Nascimento 
Fabiano Farias de Souza 
Peterson Soares da Silva 
Ivete Silva de Oliveira 
Marília Silva 
 
COORDENADORA DA EQUIPE 
 
Raquel Costa da Silva Nascimento 
Assistente Técnico de Matemática 
 
 
PROFESSORES ELABORADORES 
 
Alan Jorge Ciqueira Gonçalves 
 Ângelo Veiga Torres 
Daniel Portinha Alves 
Fabiana Marques Muniz 
Herivelto Nunes Paiva 
Izabela de Fátima Bellini Neves 
Jayme Barbosa Ribeiro 
 Jonas da Conceição Ricardo 
José Cláudio Araújo do Nascimento 
Reginaldo Vandré Menezes da Mota 
 Weverton Magno Ferreira de Castro 
 
Equipe de Elaboração