Exercícios Resolvidos de Tensão e Deformação em Barras

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Exercícios Resolvidos
Exercício 1
Uma barra de aço com seção transversal quadrada de lado igual a 1 cm. Está tracionada por uma força de 3000 kgf (29430 N ou 6607,93 lbf) . Pede-se a tensão atuante na barra?
Solução
A = a x a = 1 cm x 1 cm = 1 cm2
2
2
3000
1
3000
cm
kgf
cm
kgf
A
F
=
=
=
s
Para o exercício anterior, pede-se determinar a tensão em Pascal e psi.
Pascal é a unidade de tensão ou pressão do sistema S.I e é dada em N/m2.
Portanto, precisamos determinar a área em m2.
Lembrando que: 1m = 100 cm, temos:
a = 1 cm = 0.01 m
A = 0.01 m x 0.01 m = 0.0001 m2
Usando notação científica, temos: L = 10-2 m
A = 10-2 m x 10-2 m = 10-4 m2
Pa
m
N
m
N
000
.
943
.
2
000
.
943
.
2
10
29430
2
2
2
=
=
=
-
s
psi é a unidade de tensão ou pressão do sistema inglês, significa Pound per square inch (libra por polegada quadrada).
Lembrando que 1” (Inch ou polegada) = 2.54 cm
a = 1 / 2.54 = 0.3937 in
A = 0.3937 x 0.3937 = 0.155 in2
psi
in
lbf
in
lbf
81
,
631
.
42
81
,
631
.
42
155
.
0
93
.
6607
2
2
=
=
=
s
Exercício 2
Uma barra de aço de comprimento igual a 10 m, com seção transversal circular de raio igual a 2 cm. Está tracionada por uma força de 10000 kgf . Pede-se para se determinar:
a) Tensão atuante na barra.
b) O alongamento sofrido pela barra.
c) A deformação específica da barra.
Dado necessário: 
2
6
10
1
.
2
cm
kgf
E
aço
*
=
Solução
a) Tensão atuante na barra.
R = 2 cm
(
)
2
2
2
566
.
12
2
cm
R
A
=
=
=
p
p
2
8
.
795
566
.
12
10000
cm
kgf
=
=
s
b) O alongamento sofrido pela barra.
Usando a Lei de Hooke, temos:
EA
FL
L
L
L
E
=
D
D
=
*
=
e
e
s
cm
L
3789
.
0
566
.
12
10
1
.
2
1000
10000
6
=
*
*
*
=
D
c) Deformação específica da barra (ε):
oo
o
o
o
ou
ou
3789
.
0
03789
.
0
0003789
.
0
1000
3789
.
0
=
=
e
Exercício 3
Duas barras de aço cilíndricas foram soldadas no ponto B e estão solicitadas pelas forças, conforme mostrado na figura a seguir. Pede-se:
Pede-se:
a) Tensão na seção média da barra AB.
b) Tensão na seção média da barra BC.
c) Alongamento da barra AB.
d) Alongamento da barra BC.
e) Alongamento total do conjunto (barras AB e BC).
f) Deformação específica da barra AB.
g) Deformação específica da barra BC.
Dado necessário: 
2
6
10
1
.
2
cm
kgf
E
aço
*
=
Solução
Antes de solucionarmos os itens solicitados, precisamos traçar o diagrama de esforço normal (DEN) da barra.
Área da seção transversal da barra AB:
2
2
566
.
12
)
2
(
cm
A
AB
=
=
p
Área da seção transversal da barra BC:
2
2
274
.
28
)
3
(
cm
A
BC
=
=
p
a)
 
2
3980
566
.
12
50000
cm
kgf
A
F
AB
AB
AB
=
=
=
s
b)
2
2
.
4244
274
.
28
120000
cm
kgf
A
F
BC
BC
BC
=
=
=
s
c)
cm
EA
L
F
L
AB
AB
AB
AB
9474
.
0
566
.
12
10
1
.
2
500
50000
6
=
*
*
*
=
=
D
d)
cm
EA
L
F
L
BC
BC
BC
BC
617
.
1
274
.
28
10
1
.
2
800
120000
6
=
*
*
*
=
=
D
e)
cm
L
L
L
BC
AB
total
5644
.
2
617
.
1
9474
.
0
=
+
=
D
+
D
=
D
f)
oo
o
o
o
AB
AB
AB
ou
ou
L
L
895
.
1
1895
.
0
001895
.
0
500
9474
.
0
=
=
D
=
e
g)
oo
o
o
o
BC
BC
BC
ou
ou
L
L
021
.
2
2021
.
0
002021
.
0
800
617
.
1
=
=
D
=
e
Exercício 4
Duas barras de aço prismáticas foram soldadas no ponto B e estão solicitadas pelas forças, conforme mostrado na figura a seguir. Pede-se:
Pede-se:
a) Tensão na seção média da barra AB.
b) Tensão na seção média da barra BC.
c) Alongamento da barra AB.
d) Alongamento da barra BC.
e) Alongamento total do conjunto (barras AB e BC).
f) Deformação específica da barra AB.
g) Deformação específica da barra BC.
Dado necessário: 
2
6
10
1
.
2
cm
kgf
E
aço
*
=
Nota: Desconsiderar os efeitos de flambagem do trecho AB.
Solução
Antes de solucionarmos os itens solicitados, precisamos traçar o diagrama de esforço normal (DEN) da barra.
O trecho AB está comprimido, conseqüentemente, irá encurtar.
O trecho BC está tracionado, conseqüentemente, irá alongar.
Área da seção transversal da barra AB:
2
10
5
2
cm
A
AB
=
*
=
Área da seção transversal da barra BC:
2
20
10
2
cm
A
BC
=
*
=
a)
 
2
6000
10
60000
cm
kgf
A
F
AB
AB
AB
-
=
-
=
=
s
b)
2
5000
20
100000
cm
kgf
A
F
BC
BC
BC
=
=
=
s
c)
cm
EA
L
F
L
AB
AB
AB
AB
428
.
1
10
10
1
.
2
500
60000
6
-
=
*
*
*
-
=
=
D
d)
cm
EA
L
F
L
BC
BC
BC
BC
905
.
1
20
10
1
.
2
800
100000
6
=
*
*
*
=
=
D
e)
cm
L
L
L
BC
AB
total
477
.
0
905
.
1
428
.
1
=
+
-
=
D
+
D
=
D
f)
)
(
86
.
2
286
.
0
00286
.
0
500
428
.
1
to
encurtamen
ou
ou
L
L
oo
o
o
o
AB
AB
AB
=
=
D
=
e
g)
)
(
38
.
2
238
.
0
00238
.
0
800
905
.
1
o
alongament
ou
ou
L
L
oo
o
o
o
BC
BC
BC
=
=
D
=
e
Exercício 5
Uma barra de aço com seção transversal quadrada de lado igual a 2 cm. Está tracionada por uma força de 20000 kgf. Pede-se a área da seção transversal média da barra?
Dados necessários: 
2
6
10
1
.
2
cm
kgf
E
aço
*
=
Coeficiente de Poisson do Aço (ν): 0.3
Solução
A = a x a = 2 cm x 2 cm = 4 cm2
cm
EA
FL
L
19
.
1
4
10
1
.
2
500
20000
6
=
*
*
*
=
=
D
00238
.
0
500
19
.
1
=
=
D
=
L
L
e
Fazendo: 
00238
.
0
=
=
e
e
x
000714
.
0
00238
.
0
3
.
0
-
=
*
-
=
*
-
=
=
x
z
y
e
n
e
e
Por analogia, temos que: 
i
i
f
z
y
a
a
a
a
a
-
=
D
=
=
e
e
A figura a seguir irá ajudar no entendimento:
Resolvendo a equação: 
i
i
f
a
a
a
-
=
-
000714
.
0
2
2
000714
.
0
-
=
*
-
f
a
2
000714
.
0
2
*
-
=
f
a
cm
a
f
998
.
1
=
2
992
.
3
998
.
1
998
.
1
cm
A
=
*
=
Exercício 6
Uma barra de aço com seção transversal quadrada de lado igual a 2 cm. Está comprimida por uma força de 30000 kgf. Pede-se a área da seção transversal média da barra?
Dados necessários: 
2
6
10
1
.
2
cm
kgf
E
aço
*
=
Coeficiente de Poisson do Aço (ν): 0.3
Solução
A = a x a = 2 cm x 2 cm = 4 cm2
cm
EA
FL
L
786
.
1
4
10
1
.
2
500
30000
6
-
=
*
*
*
-
=
-
=
D
00357
.
0
500
786
.
1
-
=
-
=
D
=
L
L
e
Fazendo: 
00357
.
0
-
=
=
e
e
x
00107
.
0
)
00357
.
0
(
3
.
0
=
-
*
-
=
*
-
=
=
x
z
y
e
n
e
e
Por analogia, temos que: 
i
i
f
x
y
a
a
a
a
a
-
=
D
=
=
e
e
A figura a seguir irá ajudar no entendimento:
Resolvendo a equação: 
i
i
f
a
a
a
-
=
00107
.
0
2
2
00107
.
0
-
=
*
f
a
2
00107
.
0
2
*
+
=
f
a
cm
a
f
002
.
2
=
2
008
.
4
002
.
2
002
.
2
cm
A
=
*
=
Exercício 7
Um equipamento pesando 5500 kgf, está suspenso por uma barra de aço circular de diâmetro igual a 3 cm. Sabendo que o aço da barra admite uma tensão de ( = 1650 kgf/cm2, verifique se a barra é capaz de suportar o equipamento.
Solução
2
2
2
068
.
7
5
.
1
cm
R
A
=
*
=
=
p
p
2
15
.
778
068
.
7
5500
cm
kgf
=
=
s
s
s
<
A tensão atuante (
2
15
.
778
cm
kgf
=
s
) é menor que a tensão admissível (
2
1650
cm
kgf
=
s
). Portanto a barra irá suportar o equipamento.
Exercício 8
Para o problema anterior, qual o diâmetro da barra que conduz a solução mais econômica e com segurança.
Solução:
A situação mais econômica é quando a tensão atuante é igual à tensão admissível.
2
1650
5500
cm
kgf
A
=
=
s
2
333
.
3
1650
5500
cm
A
=
=
cm
A
R
03
.
1
333
.
3
=
=
=
p
p
D= 2R = 2.06 cm
Exercício 9
Um equipamento pesando 10000 kgf, está suspenso por uma barra de alumínio circular de diâmetro igual a 3 cm. Sabendo que o alumínio da barra admite uma tensão de ( = 1000 kgf/cm2, verifique se a barra é capaz de suportar o equipamento.Solução
2
2
2
068
.
7
5
.
1
cm
R
A
=
*
=
=
p
p
2
83
.
1414
068
.
7
10000
cm
kgf
=
=
s
s
s
>
A tensão atuante (
2
83
.
1414
cm
kgf
=
s
) é maior que a tensão admissível (
2
1000
cm
kgf
=
s
). Portanto a barra de alumínio não irá suportar o equipamento.
Exercício 10
Para o problema anterior, qual o diâmetro da barra que conduz a solução mais econômica e com segurança.
Solução:
A situação mais econômica é quando a tensão atuante é igual à tensão admissível.
2
1000
10000
cm
kgf
A
=
=
s
2
10
1000
10000
cm
A
=
=
cm
A
R
784
.
1
10
=
=
=
p
p
D= 2R = 3.568 cm
Exercício 11
Uma barra de aço está livre para deslocar-se, se o comprimento desta barra é igual a 10 m na temperatura de 25º C. Pede-se o comprimento da barra para uma temperatura de 75º C.
Dado: α= 1.2 x 10-5/oC (Coeficiente de dilatação linear do aço).
Solução
C
T
C
T
o
I
o
F
25
,
75
=
=
C
T
T
T
o
I
F
50
25
75
=
-
=
-
=
D
cm
T
L
L
6
.
0
)
50
(
)
1000
(
)
10
2
.
1
(
5
=
´
´
*
=
D
=
D
-
a
Lembrando que: 
I
F
L
L
L
-
=
D
Temos: 
m
cm
L
L
L
I
F
006
.
10
6
.
1000
1000
6
.
0
=
=
+
=
+
D
=
Exercício 12
Se a barra do problema anterior fosse impedida de deslocar-se. Qual seria a tensão atuante na barra?
Dados necessário:
2
6
10
1
.
2
cm
kgf
E
aço
*
=
Nota: A solução deste problema é obtida considerando-se os assuntos de tensões térmicas e sistemas estaticamente indeterminados.
Solução
F
Temp
F
Temp
L
L
L
L
D
=
D
®
=
D
-
D
0
E
L
L
F
s
=
D
2
6
1260
1000
)
10
1
.
2
(
6
.
0
cm
kgf
=
*
´
=
s
Exercício 13
Os trilhos de uma estrada de ferro foram assentados com uma folga de 3.5 mm entre as suas extremidades e à temperatura de 15º C. O comprimento de trilho é igual a 12 m. Pede-se determinar:
a) A folga entre os trilhos, quando a temperatura é igual a -25º C.
b) A temperatura em que a folga se anula.
c) A tensão de compressão atuante nos trilhos, quando a temperatura é igual a 45º C.
Dado: α= 1.2 x 10-5/oC (Coeficiente de dilatação linear do aço).
Solução:
a) 
C
T
T
t
o
I
F
40
15
25
-
=
-
-
=
-
=
D
L=12 m (12000 mm)
t
L
l
D
=
D
a
)
40
(
)
12000
(
)
/
10
2
.
1
(
0
5
C
x
mm
x
C
x
l
o
-
=
D
-
mm
l
76
.
5
-
=
D
Folga Final = Folga Inicial - Δl = 3.5 – (-5.76) = 9.26 mm
b)
Folga Inicial – Δl = 0
Folga Inicial = Δl
)
(
)
12000
(
)
/
10
2
.
1
(
5
.
3
5
t
x
mm
x
C
x
mm
o
D
=
-
Δt = 24.3º C
I
F
T
T
t
-
=
D
t
T
T
I
F
D
+
=
C
T
o
F
3
.
39
3
.
24
15
=
+
=
c) 
C
T
T
t
o
I
F
30
15
45
=
-
=
-
=
D
mm
C
x
mm
x
C
x
l
o
32
.
4
)
30
(
)
12000
(
)
/
10
2
.
1
(
0
5
=
=
D
-
mm
mm
mm
a
Fo
l
l
Tensão
82
.
0
5
.
3
32
.
4
lg
=
-
=
-
D
=
D
 
(encurtamento)
2
2
6
/
5
.
143
)
(
12000
)
(
829
.
0
)
/
(
10
1
.
2
cm
kgf
mm
mm
x
cm
kgf
x
L
l
E
-
=
-
=
D
=
s
Nota: Tensão compressiva.
Exercício 14
Uma barra é constituída por 2 cilindros, conforme está mostrado na figura a seguir. Sabendo-se que está barra suporta uma carga de compressão de 15000 kgf. Pede-se:
a) Carga e a tensão atuante no aço.
b) Carga e a tensão atuante no alumínio.
c) A deformação sofrida pela barra.
Seção transversal da barra
Dados:
2
6
10
1
.
2
cm
kgf
E
aço
*
=
2
5
10
2
.
7
cm
kgf
E
al
*
=
Comprimento da Barra = 10 m
Solução
Da estática, temos
: F = Faço + Fal (1)
Da resistência dos materiais, temos: (L = (Laço = (Lal (2)
De (2), temos: 
aço
aço
al
al
aço
al
al
al
al
aço
aço
aço
A
E
A
E
F
F
A
E
L
F
A
E
L
F
=
®
=
 , substituindo em (1), vem:
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
al
al
aço
aço
al
al
al
al
al
aço
aço
aço
aço
aço
A
E
A
E
A
E
F
F
A
E
A
E
A
E
F
F
2
2
2
566
.
12
)
2
(
cm
OD
A
aço
aço
=
·
=
·
=
p
p
2
2
2
699
.
37
566
.
12
)
4
(
cm
A
OD
A
aço
al
al
=
-
·
=
-
·
=
p
p
a) Carga atuante no aço
kgf
F
aço
27
.
7394
699
.
37
10
2
.
7
566
.
12
10
1
.
2
566
.
12
10
1
.
2
15000
5
6
6
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
*
*
+
*
*
*
*
=
b) Carga atuante no alumínio
kgf
F
al
73
.
7605
699
.
37
10
2
.
7
566
.
12
10
1
.
2
699
.
37
10
2
.
7
15000
5
6
5
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
*
*
+
*
*
*
*
=
c) Deformação sofrida pela barra
cm
cm
cm
kgf
cm
kgf
A
E
L
F
l
aço
aço
aço
aço
28
.
0
)
(
566
.
12
)
/
(
10
1
.
2
)
(
1000
)
(
27
.
7394
2
2
6
=
·
*
·
=
=
D
cm
cm
cm
kgf
cm
kgf
A
E
L
F
l
alum
alum
alum
alum
28
.
0
)
(
699
.
37
)
/
(
10
2
.
7
)
(
1000
)
(
73
.
7605
2
2
5
=
·
*
·
=
=
D
Exercícios Propostos
Exercício 1
Uma barra de aço com seção transversal quadrada de lado igual a 2 cm. Está tracionada por uma força de 15000 kgf (147150 N ou 33039,65 lbf) . Pede-se a tensão atuante na barra?
Exercício 2
Uma barra de aço de comprimento igual a 15 m, com seção transversal circular de raio igual a 3 cm. Está tracionada por uma força de 20000 kgf . Pede-se para se determinar:
a) Tensão atuante na barra.
b) O alongamento sofrido pela barra.
c) A deformação específica da barra.
Dado necessário: 
2
6
10
1
.
2
cm
kgf
E
aço
*
=
Exercício 3
Duas barras de aço cilíndricas foram soldadas no ponto B e estão solicitadas pelas forças, conforme mostrado na figura a seguir. Pede-se:
Pede-se:
a) Tensão na seção média da barra AB.
b) Tensão na seção média da barra BC.
c) Alongamento da barra AB.
d) Alongamento da barra BC.
e) Alongamento total do conjunto (barras AB e BC).
f) Deformação específica da barra AB.
g) Deformação específica da barra BC.
Dado necessário: 
2
6
10
1
.
2
cm
kgf
E
aço
*
=
Exercício 4
Duas barras de aço prismáticas foram soldadas no ponto B e estão solicitadas pelas forças, conforme mostrado na figura a seguir. Pede-se:
Pede-se:
a) Tensão na seção média da barra AB.
b) Tensão na seção média da barra BC.
c) Alongamento da barra AB.
d) Alongamento da barra BC.
e) Alongamento total do conjunto (barras AB e BC).
f) Deformação específica da barra AB.
g) Deformação específica da barra BC.
Dado necessário: 
2
6
10
1
.
2
cm
kgf
E
aço
*
=
Nota: Desconsiderar os efeitos de flambagem do trecho AB.
Exercício 5
Uma barra de aço com seção transversal quadrada de lado igual a 1.5 cm. Está tracionada por uma força de 25000 kgf. Pede-se a área da seção transversal média da barra?
Dados necessários: 
2
6
10
1
.
2
cm
kgf
E
aço
*
=
Coeficiente de Poisson do Aço (ν): 0.3
Exercício 6
Uma barra de aço com seção transversal quadrada de lado igual a 3 cm. Está comprimida por uma força de 30000 kgf. Pede-se a área da seção transversal média da barra?
Dados necessários: 
2
6
10
1
.
2
cm
kgf
E
aço
*
=
Coeficiente de Poisson do Aço (ν): 0.3
Exercício 7
Um equipamento pesando 10.000 kgf, está suspenso por uma barra de aço circular de diâmetro igual a 3 cm. Sabendo que o aço da barra admite uma tensão de ( = 2000 kgf/cm2, verifique se a barra é capaz de suportar o equipamento.
s
s
<
Exercício 8
Para o problema anterior, qual o diâmetro da barra que conduz a solução mais econômica e com segurança.
Exercício 9
Um equipamento pesando 15000 kgf, está suspenso por uma barra de alumínio circular de diâmetro igual a 5 cm. Sabendo que o alumínio da barra admite uma tensão de ( = 1000 kgf/cm2, verifique se a barra é capaz de suportar o equipamento.
Exercício 10
Para o problema anterior, qual o diâmetro da barra que conduz a solução mais econômica e com segurança.
Exercício 11
Uma barra de aço está livre para deslocar-se, se o comprimento desta barra é igual a 15 m na temperatura de 15º C. Pede-se o comprimentoda barra para uma temperatura de 75º C.
Dado: α= 1.2 x 10-5/oC (Coeficiente de dilatação linear do aço).
Exercício 12
Se a barra do problema anterior fosse impedida de deslocar-se. Qual seria a tensão atuante na barra?
Dados necessário:
2
6
10
1
.
2
cm
kgf
E
aço
*
=
Exercício 13
Os trilhos de uma estrada de ferro foram assentados com uma folga de 2.5 mm entre as suas extremidades e à temperatura de 20º C. O comprimento de trilho é igual a 12 m. Pede-se determinar:
a) A folga entre os trilhos, quando a temperatura é igual a -25º C.
b) A temperatura em que a folga se anula.
c) A tensão de compressão atuante nos trilhos, quando a temperatura é igual a 50º C.
Dado: α= 1.2 x 10-5/oC (Coeficiente de dilatação linear do aço).
Exercício 14
Uma barra é constituída por 2 cilindros, conforme está mostrado na figura a seguir. Sabendo-se que está barra suporta uma carga de compressão de 20000 kgf. Pede-se:
a) Carga e a tensão atuante no aço.
b) Carga e a tensão atuante no alumínio.
c) A deformação sofrida pela barra.
Seção transversal da barra
Dados: 
2
5
10
2
.
7
cm
kgf
E
al
*
=
2
6
10
1
.
2
cm
kgf
E
aço
*
=
Comprimento da Barra = 10 m
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1
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