Simulação de Monte Carlo (1)

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UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA 
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
José Guilherme Montezano Lopes Vidigal 
Rafael Ferreira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Modelagem de Sistemas Discretos 
Simulação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro – RJ 
2019 
 
Modelagem de Sistemas Discretos 
Simulação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho da Matéria Modelagem 
de Sistemas Discretos, 
apresentado a Izabel Saldanha 
como parte dos requisitos 
necessários para a Composição 
da Nota AV2 na Matéria do Curso 
de Engenharia de Produção 
 
Professora: Izabel Saldanha 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro 
2019 
2 
Sumário 
 
Introdução​ 4 
Definição de Simulação​ 5 
Tipos de Simulação​ 6 
Aplicações da Simulação​ 7 
Metodologia da Simulação​ 8 
Simulação de Monte Carlo​ 9 
Definição da Simulação de Monte Carlo​ 9 
Como surgiu a simulação de Monte Carlo​ 9 
Aplicações da simulação de Monte Carlo​ 10 
Vantagens da aplicação da simulação de Monte Carlo​ 11 
Características Essenciais​ 11 
Exemplo Prático​ 13 
Bibliografia​ 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
Introdução 
 
O uso de simulação como é utilizada nos dias atuais teve seu no início 
dos anos 80 à medida que os computadores foram surgindo com maior tecnologia 
no mercado, além de se tornarem mais acessíveis à sociedade. 
Com o fim da década de 80, a introdução de computadores no mercado 
de utensílios domésticos e a possibilidade de realizar simulações , esta começou 
ganhar espaço nos grandes centros empresariais da época. 
Segundo KELTON e SADOWSK et al. (2004) “a simulação era usada 
principalmente como uma ferramenta para determinar a causa de acidentes e quem 
culpar.” 
Apesar de muito usada para analisar sistemas com falhas em muitos 
casos a simulação passou a ser solicitada antes do início do funcionamento do 
sistema e, já em empresas maiores, passou a ser pré-requisito para grandes 
investimentos e de grandes projetos. 
No Brasil a simulação é pouco difundida, sendo usada na maioria das 
vezes por grandes empresas na análise de grandes investimentos e de projetos para 
verificar sua viabilidade e potencial de retorno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Definições de Simulação 
 
“Estudos de simulação buscam responder a perguntas sobre operações 
por meio de uma modelagem computacional, portanto, a intenção principal da 
modelagem é capturar o que realmente é importante no sistema para a finalidade 
em questão” Chwif and Medina (2006) .” 
Segundo Schriber (1974), “simulação implica na modelagem de um 
processo ou sistema, de tal forma que o modelo imite as respostas do sistema real 
numa sucessão de eventos que ocorrem ao longo do tempo.” 
De Acordo com Pegden (1991), a simulação é o processo de projetar um 
modelo de um sistema real e conduzir experimentos com este modelo com o 
propósito de entender seu comportamento e/ou avaliar estratégias para sua 
operação” 
A empresa nominada como Paragon (2017), representante do software de 
simulação ARENA no Brasil, se posiciona em seu site ( http://www.paragon.com.br), 
dizendo que: “A simulação computacional de sistemas, ou apenas simulação, 
consiste na utilização de certas técnicas matemáticas, empregadas em 
computadores, as quais permitem imitar o funcionamento de, praticamente qualquer 
tipo de operação ou processo do mundo real, ou seja, é o estudo do comportamento 
de sistemas reais através do exercício de modelos.“ 
Greenblatt (apud KLEIBOER, 1997) define simulação como um "modelo 
refletindo as características centrais de um sistema, processo ou ambiente, real ou 
proposto". 
Em Bruyne (1977), "a construção e a manipulação de um modelo 
operatório representando todo, ou parte de, um sistema ou processos que o 
caracterizam". 
 
 
 
 
 
 
5 
Tipos de Simulação 
 
Os modelos matemáticos de simulação, ou simplesmente modelos de 
simulação, podem ser classificados em: 
● Estáticos ou dinâmicos : Denominam-se como modelos estáticos os 
que visam representar o estado de um sistema em um instante ou que em 
suas formulações não se leva em conta a variável tempo, enquanto os 
modelos dinâmicos são formulados para representarem as alterações de 
estado do sistema ao longo da contagem do tempo de simulação, 
● Determinístico ou estocástico : são modelos determinísticos os que em 
suas formulações não fazem uso de variáveis aleatórias, enquanto os 
estocásticos podem empregar uma ou mais . 
● Discretos ou contínuo : Modelos discretos aqueles em que o avanço da 
contagem de tempo na simulação se dá na forma de incrementos cujos 
valores podem ser definidos em função da ocorrência dos eventos ou pela 
determinação de um valor fixo, nesses casos só é possível determinar os 
valores das variações de estado do sistema nos instantes de atualização da 
contagem de tempo; enquanto para os modelos contínuos o avanço da 
contagem de tempo na simulação dá-se de forma contínua, o que possibilita 
determinar os valores das variáveis de estado a qualquer instante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
Aplicações da Simulação 
 
É importante observar que levando em conta essas definições não é 
preciso um computador, pois é possível fazer uma simulação apenas por 
conjecturas do tipo "e se", que podem ser mais abertas e chegar mais perto de 
técnicas de cenários (HEIJDEN, 1996; RINGLAND, 1998). Kleiboer (1997) coloca a 
técnica de cenários na mesma categoria de simulações, sendo dois conceitos 
diferentes sobre como modelar o mundo e aprender interativamente. Reibstein e 
Chussil (1999) colocam tanto as simulações quanto os cenários dentro da categoria 
"técnicas de predição". 
O uso de modelos está mais associado ao paradigma funcionalista de 
Burrel e Morgan (1982), tanto dentro do que esses autores classificam como 
"objetivismo" quanto dentro das "disfunções burocráticas". Isso significa que todas 
as linhas de pesquisa que utilizam esse paradigma e se valem de funções e 
modelos dentro da teoria dos sistemas podem se valer desse tipo de metodologia de 
pesquisa. Na administração isso inclui marketing, logística, finanças, produção e 
estratégia, tanto na área da gestão pública quanto na de empresas privadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
Metodologia da Simulação 
 
Muitos projetos de simulação são fadados ao fracasso desde o início 
devido a um planejamento incompleto.Objetivos indefinidos, expectativas não 
realistas e uma falta de compreensão das necessidades frequentemente resultam 
em frustração e desapontamento. 
● Definir objetivos - Definir objetivos deve levar em conta qual é a 
intenção final do modelo. Objetivos típicos de um projeto de simulação incluem: 
análise de desempenho; análise de capacidade; estudo comparativo; análise de 
sensibilidade; análise de otimização, entre outros. 
● Identificar as Restrições - Tão importante quanto definir os objetivos é 
determinar as restrições sob as quais o estudo deve ser conduzido. Não se pode 
permitir que a simulação resolva o problema e o tempo do estudo ultrapasse o 
limite para a aplicação da solução, ou que o custo de se achar a solução exceda o 
benefício conseguido. Os objetivos devem ser amarrados pelas restrições do projeto 
tais como budget, prazos, disponibilidade de recursos etc. 
● Preparar as especificações da Simulação – Com os objetivos 
claramente definidos e com as restrições conhecidas, as exigências da simulação 
podem ser determinadas. Definir as especificações da simulação é fundamental para 
se projetar o tempo e custo que serão necessários para completar o estudo. As 
especificações incluem: nível de detalhe; precisão e formas de experimento. 
● Desenvolver um Budget e um cronograma - Com os objetivos e as 
restrições claramente definidas e a especificação preparada, um budget e um 
cronograma devem ser desenvolvidos, projetando as expectativas de custo e tempo 
para completar o estudo de simulação. Obviamente o tempo de um projeto 
dependerá de sua dificuldade e de seu tamanho. 
 
 
 
 
 
 
8 
Simulação de Monte Carlo 
 
 
Definição da Simulação de Monte Carlo 
 
Conhecido também como método de Monte Carlo ou MMC, a simulação 
de Monte Carlo é uma série de cálculos de probabilidade que estimam a chance de 
um evento futuro acontecer. Assim, são feitas diversas simulações para calcular 
probabilidades de um acerto ou perda. Inicialmente, a simulação de Monte Carlo era 
mais voltada para áreas da física, matemática e biologia. Mas como a teoria 
consegue tornar em estatísticas algumas situações, ela passou a ser usada para 
embasar decisões e fazer a gestão de riscos. A Simulação de Monte Carlo se 
provou útil em diversas áreas e tem sido uma técnica frequentemente usada por 
analistas do mundo todo, isso nas mais diversas áreas de finanças e investimentos. 
Seja através de software de amostragem ou por cálculos manuscritos. 
 
 
Como surgiu a Simulação de Monte Carlo 
 
De acordo com Hammerseley, o nome da teoria surgiu na Segunda 
Guerra Mundial. Durante a construção das primeiras bombas atômicas. Mas há 
registros de que outro físico, William Thomson, já tinha se referido ao termo 
“Simulação de Monte Carlo” pelo menos 40 anos antes. O método Monte Carlo 
também começou a ser usado para avaliar integrais matemáticas complicadas. O 
método, hoje, também pode ser usada para se fazer análise de mercado para 
investimentos, isso porque ela consegue demonstrar em dados variabilidade de 
riscos. 
Em 1946 o matemático Stanislaw Ulam durante um jogo de paciência 
tentou calcular as probabilidades de sucesso de uma determinada jogada utilizando 
a tradicional análise combinatória. Após gastar bastante tempo fazendo cálculos 
percebeu que uma alternativa mais prática seria simplesmente realizar inúmeras 
jogadas, por exemplo, cem ou mil, e contar quantas vezes cada resultado ocorria. 
9 
O Método de Monte Carlo foi formalizado em 1949, por meio do artigo intitulado 
“Monte Carlo Method”, publicado por John Von Neumann e Stanislav Ulam 
 
 
Aplicações da simulação de Monte Carlo 
 
A aplicação da simulação de Monte Carlo em finanças acontece 
principalmente para modelagem de simulação de um mercado de opção. Além 
disso, é comum usarem desse modelo para fazer avaliações de empresas. Isso 
porque se consegue fazer cálculos mais complexos, como a avaliação por opções. 
Outro ponto que favorece o uso da teoria na área financeira é que é possível integrar 
questões que não são possíveis de ser resolvidas só com análises. Por isso, a 
importâncias das demonstrações em dados. 
Monte Carlo é utilizado rotineiramente em muitos campos de 
conhecimentos que vão desde simulação de complexos fenômenos físicos e 
econômicos. Alguns exemplos de aplicação deste método, em diferentes áreas, são: 
● Atuária: tábua de expectativa de vida, casamento de passivos/ativos, 
etc.; 
● Finanças: séries macroeconômicas, opções futuras, hedge, etc.; 
● Computação gráfica: redução de artefatos, espalhamento, etc.; 
● Geologia: caracterização de reservatórios; 
● Análise de Projetos: opções reais; 
● Jogos: geração de redes (grafos). 
A teoria também pode ser usada para se calcular riscos em 
investimentos, isso porque permite calcular perdas em casos de aumento de 
inflação, juros e taxações, desvalorização de ativos e mudanças nas políticas 
monetárias. 
Todas as simulações feitas vão poder quais os cenários ideais e quais 
são os riscos de um investimento. Por isso, a teoria é tão utilizada para evitar 
surpresas. A simulação não garante acertos totais, mas permite que analistas 
possam prever possíveis cenários e buscarem estratégias para cada probabilidade. 
 
10 
 
Vantagens da aplicação da simulação de Monte Carlo 
 
Os resultados gerados indicam o que pode ocorrer, bem como os riscos 
destas ocorrências; 
A resolução gerada pela simulação permite a criação de gráficos que 
indiquem os diferentes resultados e probabilidades obtidas. Assim, a comunicação a 
respeito das informações geradas flui de maneira mais ágil dentro da empresa; 
O método permite que sejam identificados os projetos de maiores efeitos 
nos resultados finais; 
É possível apresentar como determinadas situações podem modificar 
conforme a eventualidade; 
As dificuldades de um projeto podem ser analisadas em diferentes 
formas; 
A geração de resultados permite projeções para o futuro, bem como 
auxílio na fase inicial de um projeto; Permite a prática de testes, o que resulta em 
praticidade. 
 
 
Características Essenciais 
 
O método torna desnecessário escrever as equações diferenciais que 
descrevem o comportamento de sistemas complexos. A única exigência é que o 
sistema físico ou matemático seja descrito (modelado) em termos de funções de 
densidade de distribuição de probabilidade (FDP). Uma vez conhecidas essas 
distribuições, a Simulação de Monte Carlo pode proceder fazendo as amostragens 
aleatórias a partir das mesmas. Este processo é repetido inúmeras vezes e o 
resultado desejado é obtido por meio de técnicas estatísticas (média, desvio padrão, 
etc.) sobre um determinado número de realizações (amostra) que podem chegar a 
milhões. 
A figura a seguir ilustra a ideia genérica do método, assumindo que o 
comportamento do sistema possa ser descrito por apenas uma FDP. 
11 
 
Figura 1 – Ideia genérica do Método de Monte Carlo 
 
Na prática, diante de um problema envolvendo incertezas, realizar uma 
Simulação com Monte Carlo para aproximar sua solução consiste em quatro passos 
padrões: 
A) Modelar o problema definindo uma FDP pararepresentar o 
comportamento de cada uma das suas incertezas. 
B) Gerar valores pseudo aleatórios aderentes à FDP de cada incerteza do 
problema. 
C) Calcular o resultado determinístico substituindo as incertezas pelos 
valores gerados obtendo, assim, uma observação do problema. Repetir os passos B 
e C até se obter uma amostra com o tamanho desejado de realizações. 
D) Agregar e manipular os resultados da amostra de forma a obter uma 
estimativa da solução do problema. Note que este método apenas proporciona uma 
aproximação da solução, portanto, é fundamental analisar o erro de aproximação, 
que é 3ơ/(N½), onde ơ é o desvio padrão da amostra e N o tamanho da amostra. 
Logo, é evidente que quanto maior o tamanho da amostra, menor o erro de 
aproximação. 
 
 
 
 
 
 
 
12 
Exemplo Prático 
 
A simulação de Monte Carlo pode ser utilizada para determinar, por 
exemplo, a probabilidade de ocorrência do número 7 ao se jogar dois dados comuns 
de seis faces. Acompanhe o passo a passo a seguir. 
A) As incertezas envolvidas são o resultado que cada dado apresentará 
ao ser jogado. Os valores que podem ser assumidos por cada incerteza são os 
números inteiros de 1 a 6, com igual probabilidade de ocorrência de cada número, 
pois são dados idôneos. Portanto, a FDP nos leva a um destes valores. 
B) A geração de dois valores pseudo aleatórios aderentes à FDP 
representará o resultado obtido ao se jogar os dois dados, ou seja, dois valores 
inteiros entre 1 e 6. 
C) O resultado determinístico é dado pela soma do resultado dos dois 
dados que foram obtidos no passo anterior, ou seja, valores entre 2 e 12. Se este 
valor é 7 temos um resultado positivo na observação, se não, um negativo. 
Repetindo o passo B e C conseguiremos obter uma amostra 
suficientemente grande, com n realizações. 
D) Com base na amostra podemos contar quantas vezes tivemos um 
resultado positivo e dividir pelo tamanho da amostra para obter a probabilidade 
desta ocorrência. 
Obviamente, esse problema é suficientemente simples para ser resolvido 
por análise combinatória, mas serve para exemplificar a simulação e tornar evidente 
que o esforço computacional envolvido está diretamente relacionado ao tamanho da 
amostra (quantidade de repetição dos passos B e C) que, por sua vez, conforme 
demonstrado, está diretamente relacionado ao erro de aproximação. Portanto, 
quanto menor o erro de aproximação desejado, maior o esforço computacional 
envolvido. 
 
 
 
 
 
13 
Bibliografia 
 
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