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TCC_2015_1_MDSPompeo metodos do momentos

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plaquetas empilhadas e arranjos de antenas. O MoM leva 
em consideração o substrato dielétrico e força condições de contorno apropriadas na 
interface ar/dielétrico. Utiliza-se a função de Green para o composto dielétrico [6], assim 
são incluídos na análise a irradiação de onda espacial, modos de onda de superfície, 
perdas do dielétrico e acoplamento com elementos externos. O MoM é caracterizado por 
sua elevada precisão e complexa modelagem, devido a essas características, o MoM foi 
utilizado para a solução do problema investigado neste trabalho. 
O MoM permite o estudo do espalhamento eletromagnético, que é fundamental 
para avaliar o comportamento das correntes superficiais na estrutura da antena. A 
modelagem matemática aplicando utilizando o MoM deve ser aplicada nas superfícies 
plana condutora perfeita e no dielétrico. Nesse trabalho faz-se o estudo do 
 
 
12 
 
espalhamento eletromagnético para a superfície metálica pura, esse estudo pode ser 
estendido considerando a inclusão do substrato dielétrico. 
1.2 Objetivo 
O objetivo principal deste trabalho é o desenvolvimento do ferramental teórico, 
analítico e numérico para análise do espalhamento eletromagnético por superfícies 
planas condutoras. O desenvolvimento dessa modelagem matemática é importante pois 
a partir da mesma, considerando a inclusão de um substrato dielétrico, pode ser 
realizada a análise completa e antenas de microfita. Para alcançar esse objetivo principal 
outros menores são necessários, dentro os quais destaca-se: 
 Revisão bibliográfica sobre MoM; 
 Desenvolvimento da modelagem matemática para solução de problemas 
eletrostáticos bidimensionais utilizando o MoM; 
 Desenvolvimento do modelo computacional para solução de problemas 
eletrostáticos bidimensionais; 
 Análise da resposta de diferentes tipos de função de base; 
 Extensão da modelagem matemática para problemas bidimensionais 
estáticos para problemas de espalhamento eletromagnético por 
superfícies planas condutoras perfeitas. A modelagem matemática é 
baseada na solução da Equação integral do Campo Elétrico (EFIE) avaliada 
pelo MoM. 
 Desenvolvimento do modelo computacional para problemas de 
espalhamento eletromagnético por superfícies planas condutoras 
perfeitas; 
 Validação do modelo computacional para problemas de espalhamento 
eletromagnético por superfícies planas condutoras perfeitas por meio de 
comparações dos resultados obtidos com aqueles gerados pelo CST [7]; 
 Análise da resposta de diferentes tipos de função de base para problemas 
de espalhamento eletromagnético por superfícies planas condutoras 
perfeitas. 
 
 
13 
 
1.3 Metodologia 
O desenvolvimento do ferramental teórico apresentado neste trabalho utiliza a 
formulação integral generalizada para problemas de espalhamento eletromagnético. 
Através do princípio da equivalência, o corpo é substituído por uma distribuição 
superficial equivalente de corrente elétrica radiando em espaço livre. Aplicando 
condições de contorno sobre a sua superfície, um sistema de equações integrais é 
estabelecido e resolvido numericamente para a obtenção da corrente superficial 
equivalente. A formulação numérica desenvolvida através do MOM é implementada no 
software Matlab. Uma vez finalizado, o algoritmo é avaliado através de comparações 
entre seus resultados e aqueles obtidos pelo software de modelagem eletromagnética 
computacional CST. 
1.4 Apresentação do Trabalho 
O trabalho está organizado neste texto na seguinte ordem: 
No Capítulo 2 é realizada uma breve apresentação da teoria sobre Método dos 
Momentos. Formula-se a modelagem matemática para aplicação do MoM em um 
problema eletrostático em duas dimensões, faz-se o uso de funções de base (Função 
Pulso, Função Triangular e Função Pulso-Triângulo) e funções de teste (Point Matching e 
Método de Galerkin). Avalia-se os resultados obtidos de densidade de carga e o número 
de condicionamento das funções de base e teste estudadas. 
No Capítulo 3 é apresentado o problema do espalhamento eletromagnético para 
superfícies condutoras planas. São apresentadas as equações integrais de espalhamento 
válidas para o espaço livre, o princípio da equivalência. Discorre-se sobre o 
espalhamento eletromagnético em um meio condutor elétrico perfeito. Apresenta-se 
então, o método dos momentos e as funções de base e de peso para o problema em 
questão. Os resultados obtidos computacionalmente são validados através da 
comparação com software CST. 
No Capítulo 4 são apresentadas a conclusão do trabalho e as sugestões de 
trabalhos futuros. 
 
 
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Capítulo 2 
Método dos Momentos (MoM) 
Neste capítulo realiza-se uma breve apresentação da teoria sobre Método dos 
Momentos e elabora-se a modelagem matemática para sua aplicação à solução de um 
problema eletrostático em duas dimensões. 
2.1 Introdução 
O método dos momentos é um método numérico amplamente utilizado na 
solução de equações integrais cujo integrando é desconhecido [9]. A equação integral é 
discretizada em um conjunto de equações lineares e dispostas em uma topologia 
matricial [8]. Assim, considerando a equação (2.1): 
 
𝐹(𝑔) = ℎ, 
(2.1) 
 
onde 𝐹 é o operador linear conhecido, ℎ é a função de excitação conhecida e 𝑔 é a função 
de resposta. Deseja-se determinar 𝑔, uma vez que 𝐹 e ℎ são conhecidos. A linearidade do 
operador 𝐹 faz com que esse problema tenha solução. O método dos momentos é uma 
técnica aplicável a esse tipo de problema, onde a função de resposta desconhecida pode 
ser expandida como uma combinação linear de N termos e escrita na forma: 
 
𝑔(𝑟′) = 𝛼1𝑔1(𝑟
′) + 𝛼2𝑔2(𝑟
′) + ⋯+ 𝛼𝑁𝑔𝑁(𝑟
′) = ∑ 𝛼𝑛𝑔𝑛(𝑟
′)
𝑁
𝑛=1
, 
(2.2) 
 
em que, 𝛼𝑛 são os coeficientes desconhecidos, os termos 𝑔𝑛(𝑟
′) são conhecidos, 
normalmente denominados de função de base ou função de expansão, 𝑁 é o número 
 
 
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total de funções e 𝑟′ representa o ponto fonte. O domínio de 𝑔𝑛(𝑟
′) é o mesmo que o de 
𝑔(𝑟′). Substitui-se então (2.2) em (2.1), tem-se assim que [9]: 
 
∑ 𝛼𝑛𝐹(𝑔𝑛) ≈ ℎ
𝑁
𝑛=1
. 
(2.3) 
 
As funções de base 𝑔𝑛 são escolhidas para cada 𝐹(𝑔𝑛), portanto podem ser 
avaliadas de forma conveniente. Deve-se encontrar, então, somente 𝑎𝑛. Expandindo 
(2.3) surge uma equação com N termos desconhecidos. Para resolver essa equação são 
necessários 𝑁 equações lineares independentes, uma solução possível é resolver pelo 
teste de 𝑁 pontos distintos. 
 
∑ 𝛼𝑚𝐹(𝑔𝑚) = ℎ𝑚
𝑁
𝑚=1
, 𝑚 = 1,2,… , 𝑁, 
(2.4) 
 
originando ao seguinte sistema linear [9]: 
 
[𝑍𝑚𝑛][𝐼𝑛] = [𝑉𝑚], (2.5) 
 
onde 𝐼𝑛 é o vetor que contém os coeficientes desconhecidos, 𝑉𝑚 é o vetor que contém os 
termos independentes e 𝑍𝑚𝑛 é a matriz do MoM que é diagonalmente dominante e 
portanto inversível. 
2.2 Funções de Base 
As funções de base têm uma importante função na solução das equações 
integrais, pois devem representar razoavelmente o comportamento da função 
desconhecida em todo o domínio do problema. A escolha apropriada do conjunto de 
funções de aproximação pode otimizar a solução computacional, reduzindo o tempo 
para encontrar a solução [10]. Variáveis desconhecidas mais complexas requerem o uso 
de funções de base mais complicadas. Porém a escolha do tipo de função de base 
determina o nível de dificuldade em avaliar os elementos da matriz do MoM. As funções 
 
 
16 
 
de base podem ser divididas em duas classes gerais, a primeira classe consiste em 
funções de subdomínio [11], as quais são validas em apenas uma parte do domínio da 
função, a segunda classe é baseada em funções de domínio inteiro [12], existem em todo 
domínio da função desconhecida. 
As funções definidas em subdomínios são mais comuns que as de domínio inteiro 
[13]. A primeira pode ser utilizada sem o conhecimento prévio da natureza da função 
que será representada. Devido a essa característica, a função definida em subdomínio foi

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