Gabarito AD1

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
GABARITO AD1 – CÁLCULO 1 – 1/2020
Código da Disciplina: EAD 1005
Questão 1 [2.4 pontos]
A função f é definida no intervalo real I = [−3, 3] e seu gráfico é dado abaixo:
Analise o gráfico de f e determine, se existirem, todas as constantes a ∈ I que satisfaçam:
(a) lim
x→a
f(x) = −1 (b) lim
x→a
f(x) = 0 (c) lim
x→a
f(x) = 2 (d) lim
x→a
f(x) = 3
(e) lim
x→a+
f(x) = −1 (f) lim
x→a−
f(x) = −1 (g) lim
x→a+
f(x) = 0 (h) lim
x→a−
f(x) = 0
(i) lim
x→a+
f(x) = 2 (j) lim
x→a−
f(x) = 2 (k) lim
x→a+
f(x) = 3 (l) lim
x→a−
f(x) = 3
Solução:
(a) @ a ∈ I! (b) a ∈ {−2, 0}! (c) a ∈ {−1.4,−1}! (d) a ∈ (1, 3)!
(e) a = −3! (f) @ a ∈ I! (g) a ∈ {−2, 0}! (h) a ∈ {−2, 0, 1}!
(i) a ∈ {−1.4,−1}! (j) a ∈ {−1.4,−1}! (k) a ∈ [1, 3)! (l) a ∈ (1, 3]!
Questão 2 [ 2 pontos]
Calcule os seguintes limites de funções:
(a) lim
x→5
5− x
−6 +
√
x2 + 11
(b) lim
x→3
(x+ 1) sen(x2 − 9)
x3 − x2 − 9x+ 9
Solução:
Cálculo I 1/2020 Gabarito AD1
(a) lim
x→5
5− x
−6 +
√
x2 + 11
= lim
x→5
[
5− x
−6 +
√
x2 + 11
· 6 +
√
x2 + 11
6 +
√
x2 + 11
]
= lim
x→5
(5− x)(6 +
√
x2 + 11)
(x2 + 11)− 36
= lim
x→5
(5− x)(6 +
√
x2 + 11)
x2 − 25
= lim
x→5
(5− x)(6 +
√
x2 + 11)
(x− 5)(x+ 5)
= lim
x→5
���
�(5− x)(6 +
√
x2 + 11)
−����(5− x)(x+ 5)
=
= lim
x→5
6 +
√
x2 + 11
−(x+ 5)
=
12
−10
= −6
5
!
(b) lim
x→3
(x+ 1) sen(x2 − 9)
x3 − x2 − 9x+ 9
= lim
x→3
(x+ 1) sen(x2 − 9)
(x2 − 9)(x− 1)
= lim
x→3
[
x+ 1
x− 1
· sen(x
2 − 9)
(x2 − 9)
]
=
=
[
lim
x→3
x+ 1
x− 1
]
·
��
���
���
��
[
lim
x→3
sen(x2 − 9)
(x2 − 9)
]
1 = 2 !
Questão 3 [2.6 pontos]
Considere a função f(x) =
x+ 4√
x2 + 3x− 10
.
(a) Determine o domı́nio da função f ;
(b) Faça um estudo completo de todos os limites infinitos e no infinito da função f ;
(c) Utilize o resultado do item (b) para determinar as equações das assı́ntotas horizontais
e das assı́ntotas verticais, caso existam, do gráfico da função f .
Solução:
(a) D(f) = {x ∈ R; x2 + 3x− 10 > 0} = {x ∈ R; (x+ 5)(x− 2) > 0} =
= {x ∈ R; x < −5 ou x > 2}. !
(b) Os limites infinitos e no infinito da função f são:
¶ lim
x→−5−
x+ 4√
x2 + 3x− 10
= −∞, pois x + 4 → −1 < 0 e
√
x2 + 3x− 10 → 0+ quando
x→ −5−; !
· lim
x→2+
x+ 4√
x2 + 3x− 10
= +∞, pois x + 4 → 6 > 0 e
√
x2 + 3x− 10 → 0+ quando x → 2+;
!
¸ lim
x→+∞
x+ 4√
x2 + 3x− 10
= lim
x→+∞
x√
x2
= lim
x→+∞
x
|x|
= lim
x→+∞
�x
�x
= 1; !
¹ lim
x→−∞
x+ 4√
x2 + 3x− 10
= lim
x→−∞
x√
x2
= lim
x→−∞
x
|x|
= lim
x→+∞
�x
−�x
= −1. !
(c) De ¶ e ·, concluı́mos que as retas x = −5 e x = 2 são as assı́ntotas verticais do gráfico
de f e, de ¸ e ¹, concluimos que as retas y = 1 e y = −1 são as assı́ntotas horizontais do
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 2 Professor Mário Olivero (UFF)
Cálculo I 1/2020 Gabarito AD1
gráfico de f . !
Questão 4 [2 pontos]
O protótipo de um veı́culo está sendo testado e sua velocidade v no tempo x é dada pela
função abaixo, onde A e B são constantes reais:
v(x) =

x2 − 4
x− 2
, se 0 ≤ x < 2
Ax2 −Bx+ 3, se 2 ≤ x < 3
2x− A+B, se x ≥ 3
.
Os engenheiros responsáveis pelo protótipo desejam que a velocidade apresente o com-
portamento de uma função contı́nua, ou seja, que a velocidade não mude abruptamente
num determinado tempo. Determine os valores das constantes A e B para que os enge-
nheiros tenham sucesso, ou seja, para que a função v(x) seja contı́nua.
Solução:
Para que a função v seja contı́nua em todo o seu domı́nio, ela deve ser contı́nua em x = 2
e em x = 3. Para tal, devemos ter:
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2−
f(x) = f(2) e lim
x→3+
f(x) = lim
x→3−
f(x) = f(3).
Temos que:
¶ f(2) = 4A− 2B + 3
· f(3) = 6− A+B
¸ lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
Ax2 −Bx+ 3 = 4A− 2B + 3
¹ lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
x2 − 4
x− 2
= lim
x→2−
���
�(x− 2)(x+ 2)
���x− 2
= lim
x→2−
x+ 2 = 4
º lim
x→3+
f(x) = lim
x→3+
2x− A+B = 6− A+B
» lim
x→3−
f(x) = lim
x→3−
Ax2 −Bx+ 3 = 9A− 3B + 3
De ¶=¸=¹ e ·=º=», obtemos, respectivamente,
4A− 2B = 1 e 10A− 4B = 3.
Daı́, A = B =
1
2
. !
Questão 5 [1 ponto]
Considere a função contı́nua f(x) = x3 − x2 − 4 sen(x) + 1, x ∈ R. Utilize o Teorema do
Valor Intermediário para verificar que f admite 3 raı́zes reais e distintas.
Solução:
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 3 Professor Mário Olivero (UFF)
Cálculo I 1/2020 Gabarito AD1
å Temos que f é contı́nua em [−π/2, 0] e f(−π/2) = −1, 34 < 0 < 1 = f(0). Daı́, o Teorema
do Valor Intermediário garante que existe c1 ∈ (−π/2, 0) tal que f(c1) = 0. Logo, f possui
uma raiz c1 em (−π/2, 0).
å Temos que f é contı́nua em [0, π/2] e f(π/2) = −1, 59 < 0 < 1 = f(0). Daı́, o Teorema do
Valor Intermediário garante que existe c2 ∈ (0, π/2) tal que f(c2) = 0. Logo, f possui uma
raiz c2 em (0, π/2).
å Temos que f é contı́nua em [π/2, π] e f(π/2) = −1, 59 < 0 < 22, 14 = f(π). Daı́, o
Teorema do Valor Intermediário garante que existe c3 ∈ (π/2, π) tal que f(c3) = 0. Logo, f
possui uma raiz c3 em (π/2, π).
Como os intervalos (−π/2, 0), (0, π/2) e (π/2, π) são disjuntos dois a dois, segue que as
raı́zes c1, c2 e c3 são distintas duas a duas. Portanto, concluı́mos que f admite 3 raı́zes
reais e distintas. !
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 4 Professor Mário Olivero (UFF)