Numeros Complexos 2

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Que valor deve ter o número real k para que z=12+(k−3)iz=12+(k-3)i seja um número real? 
	
	
	
	1/2
	
	
	-3
	
	
	0
	
	
	3
	
	
	-1
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Podemos afirmar que i2011i2011 equivale à:
	
	
	
	ii
	
	
	-ii
	
	
	1
	
	
	-1
	
	
	√−2-2
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Resolva, no conjunto dos números complexos C, a equação x2+49=0x2+49=0
	
	
	
	x=+7x=+7
	
	
	x=±7ix=±7i
	
	
	x=−7x=-7
	
	
	x=±ix=±i
	
	
	x=±49ix=±49i
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere z1= 3+7i   e z2=2-5i. O conjugado do número complexo: z1+z2 será:
	
	
	
	5+2i
	
	
	7+2i
	
	
	5-2i
	
	
	7-2i
	
	
	-7-2i
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Dados os complexos z1 = 1+2i e z2 = 2+3i , o módulode z1z2 é igual a:
	
	
	
	65
	
	
	√6363
	
	
	√6565
	
	
	3
	
	
	63
	
	
	
	 
		
	
		6.
		O número de soluções distintas do sistema IzI =2 e Iz-1I = 1 , é:
	
	
	
	√22
	
	
	0
	
	
	2
	
	
	2√222
	
	
	1
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Se f(z) =z2 -z +1 , então f(1+i) é :
	
	
	
	-1
	
	
	1
	
	
	-i
	
	
	i
	
	
	1+i
	
	
	
	 
		
	
		8.
		A soma de um número natural com um número complexo:
	
	
	
	 será sempre um número natural.
	
	
	será sempre um inteiro.
	
	
	 será um complexo.
	
	
	será sempre um racional.
	
	
	nunca será um real.
	
	
	
	
		1.
		Determine o valor do número real k para que z = (k - 3) + 4i seja imaginário puro.
	
	
	
	K = 3
	
	
	K = 2
	
	
	K =1
	
	
	K = 4
	
	
	K = 5
	
Explicação:
Re(z) = k - 3
Im(z) = 4 ≠ 0
A condição é k - 3 = 0, isto é, k = 3.
Logo, se k = 3 teremos z = 4i imaginário puro.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Resolva, no conjunto dos números complexos C, a equação x2+81=0x2+81=0
	
	
	
	x=−9x=-9
	
	
	x=±9ix=±9i
	
	
	x=±ix=±i
	
	
	x=+9x=+9
	
	
	x=±81ix=±81i
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine o número real k de modo que z=(k-2)+4i seja um imaginário puro.
	
	
	
	k=2
	
	
	k=0
	
	
	k=-4
	
	
	k=-2
	
	
	k=4
	
	
	
	 
		
	
		4.
		O cubo de um número complexo será sempre um número:
	
	
	
	Real
	
	
	Complexo
	
	
	Inteiro
	
	
	Racional
	
	
	Natural
	
	
	
	 
		
	
		5.
		O valor da expressão 
 (i+4)4(i−2)2(i+4)4(i-2)2 
 
é igual a :
	
	
	
	-i
	
	
	2i
	
	
	-2i
	
	
	i
	
	
	1+i
	
	
	
	 
		
	
		6.
		O inverso do complexo -2i é igual a:
	
	
	
	-i
	
	
	(1/2)i
	
	
	-(1/2)i
	
	
	1
	
	
	i
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Considere z= 3+2i e seja w o conjugado de z , então zw tem módulo igual a :
	
	
	
	19
	
	
	13
	
	
	√1919
	
	
	21
	
	
	√1313
	
Explicação:
Considere z= 3+2i e seja w o conjugado de z , então zw tem módulo igual a :
Eu Resolvi da Seguinte forma:
z*w = (3+2i)*(3-2i) = 9 - 6i + 6i - 4i²  = 9 + 4 = 13
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Seja  P=(1,√3)P=(1,3) o afixo de um número complexo zz no plano de Argand-Gauss. Desse modo, o argumento principal de z2  é:
	
	
	
	90°
	
	
	45°
	
	
	150°
	
	
	60°
	
	
	120°
	
	
	
		1.
		Sendo z=3+5i e w=3-2i, então z-w é:
	
	
	
	-3-5i
	
	
	-3i
	
	
	1+2i
	
	
	6i
	
	
	7i
	
Explicação:
Sendo z=3+5i e w=3-2i, então z-w é:
3 + 5i - (3 - 2i)
3 + 5i - 3+ 2i = 7i
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere a sequência definida por  S=i+i2+i3+i4+i5+...+i100S=i+i2+i3+i4+i5+...+i100 . O valor de S é:
	
	
	
	-1
	
	
	0
	
	
	2
	
	
	1
	
	
	3
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Podemos associar a soma de dois números complexos como a soma de dois vetores.
Se A e B do cartesiano abaixo representam dois números complexos , a soma A + B é o complexo: 
                                 
 
 
 
	
	
	
	A+B= 3+2i3+2i
	
	
	A+B= 4+i4+i
	
	
	A+B= 2+i2+i
	
	
	A+B= 2−i2-i
	
	
	A+B= 2+3i2+3i
	
	
	
	 
		
	
		4.
		       Determine a e b tal que (2a + b) + 6i = 5 + (a + 4b)i.
	
	
	
	a = -2  e  b = -1
	
	
	a = 0  e   b = 1
	
	
	a = 1 e  b = 0
	
	
	a = 2  e   b = 1
	
	
	a = 2  e  b = -1
	
Explicação:
De acordo com a definição, as parte reais e imaginárias devem ser iguais entre si.
2a + b = 5
a + 4b = 6
Resolver o sistema de equações para encontrar o valor de a e b.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Encontre o número complexo z tal que iz = z - 1 + 5i.
 
	
	
	
	z = 3 - 2i
 
	
	
	z = -3 + 2i
 
	
	
	z = 2 - 3i
 
	
	
	z =  - 2i
 
	
	
	z = 2 - i
 
	
Explicação:
Como z = a + bi, temos i(a + bi) = a + bi - 1 + 5i.
ai - b = (a - 1) + (b + 5)i => a - 1 = -b  e b + 5 = a. Resolvendo o sistema de equações encontramos  a = 3 e b = -2.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		 Sendo z1 = 3x -2yi , z2= x + 5yi e z3 = 6-6i , determine os reais x e y para que z1-z2 =z3.
	
	
	
	x = 3 e y = - 6/7
	
	
	x = 3 e y = 3
	
	
	x = 3 e y = 6/7
	
	
	x = - 3 e y = 6/7
	
	
	x = -3 e y =- 6/7
	
	
	
	 
		
	
		7.
		O produto de todos os complexos com representação geométrica na reta representativa da bissetriz dos quadrantes Ímpares e cujo módulo é 4√2 é igual a:
	
	
	
	-16i
	
	
	-32i
	
	
	23i
	
	
	-23i
	
	
	32i
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Seja a igualdade 1 +(y+x) i =2y-x-4i, onde i é a unidade imaginária. Os números x e y , que satisfazem essa igualdade , são tais que :
	
	
	
	x =- 3y
	
	
	y = 3x
	
	
	xy =3
	
	
	x-y =2
	
	
	x+y = 2
		1.
		Dado o número complexo  z = 2 + 5i  e w = 2-5i, determine      zw
	
	
	
	30
	
	
	20
	
	
	49
	
	
	10
	
	
	29
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Sendo z=2-3i calcule 1/z².
	
	
	
	-5/169 + 12/169 i
	
	
	-5/169 - 12/169 i
	
	
	-5 + 12i
	
	
	5/169 + 12/169 i
	
	
	5/169 - 12/169 i
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O número complexo (2-2i)(1+i)-1 é igual a:
	
	
	
	4-4i
	
	
	2i
	
	
	4+4i
	
	
	-2i
	
	
	2+2i
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Um valor apropriado para o  complexo z− ¯zz- z¯ é:
	
	
	
	4
	
	
	4+7i4+7i
	
	
	6i6i
	
	
	3+2i3+2i
	
	
	−4 −5i-4 -5i
	
	
	
	 
		
	
		5.
		A expressão (1-i)2 é igual a :
	
	
	
	zero
	
	
	2+2i
	
	
	2-2i
	
	
	-2i
	
	
	2i
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Calcule o valor de i100.
 
	
	
	
	i
	
	
	- 1
	
	
	2
	
	
	- i
	
	
	1
	
Explicação:
i100 = (i2)50 = (-1)50 = 1
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Para que z=5+ia−2iz=5+ia-2i seja um número imaginário puro, o valor de a deve ser: 
	
	
	
	1
	
	
	0
	
	
	2i
	
	
	2/5
	
	
	-2/5
	
	
	
	 
		
	
		8.
		O produto de dois números complexos será:
	
	
	
	nunca será um inteiro.
	
	
	sempre um número complexo
	
	
	nunca será um racional.
	
	
	sempre será um irracional.
	
	
	não pode resultar em um natural.
	 
		
	
		1.
		Considere o número complexo z=(3-x)+(x-2)i. Deseja-se que este número seja de tal forma que Re(z)=2. Para que isto ocorra, devemos ter :
	
	
	
	x=-3
	
	
	x=3
	
	
	x=-1
	
	
	x=1
	
	
	x=0
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Seja o número complexo z = 1+i , sendo i a unidade imaginária . O argumento principal de z.z é:
	
	
	
	450
	
	
	300   
	
	
	600   
	
	
	900   
	
	
	00 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Seja  o complexo z=a+biz=a+bi, com |z|=1|z|=1. Podemos afirmar que 1z1z é :
	
	
	
	a−bia-bi
	
	
	a2a2
	
	
	−a+ bi-a+ bi
	
	
	−a−bi-a-bi
	
	
	a2−bia2-bi
	
	
	
	 
		
	
		4.
		A proposição ' É possível representar qualquer número complexo na reta ' :
	
	
	
	Só será possível se o número for positivo.
	
	
	É verdadeira desde que se saiba entre quais reais ele se encontra.
	
	
	Só será ´possível se o número for negativo.
	
	
	É falsa pois não é possível marcar a parte imaginária no eixo real.
	
	
	Só será possível se o número for maior que um.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		O argumento do número complexo z = -1 -i é:
	
	
	
	45o45o
	
	
	150o150o
	
	
	135o135o
	
	
	225o225o
	
	
	300o300o
	
	
	
	 
		
	
		6.
		O argumento do número complexo z = - √33 + i  é:π6π6
	
	
	5π65π6
	
	
	3π23π2
	
	
	6π56π5
	
	
	5π35π3
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Sejam os números complexos w = (2x-1) -3i e v =3x +(3y-5) i , onde x,y são reais . Se w = v, então:
	
	
	
	x=y
	
	
	y-x = -7/3
	
	
	x- y = 7/3
	
	
	x = 2/3
	
	
	xy = -2/3
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Determine z complexo tal que iz+3 - i = 4 + 3i.
	
	
	
	-i-4
	
	
	4-i
	
	
	4
	
	
	i
	
	
	4+i
	
	 
		
	
		1.
		O valor da expressão (1+i)2i3 é igual a :
	
	
	
	3i
	
	
	2
	
	
	2i
	
	
	i
	
	
	-2i
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Dado  z = p + qi  podemos afirmar que o conjugado ¯zz¯ geometricamente representa:
	
	
	
	o simétrico de z em relação ao eixo OY .
	
	
	as coordenadas do ponto z .
	
	
	o simétrico de z em relação ao eixo OX .
	
	
	a reflexão de z em relação à origem.
	
	
	a distância de z até O ( origem) .
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Podemos associar a soma de dois números complexos como a soma de dois vetores. 
Se A e B do cartesiano abaixo, representam dois números complexos, A - B é o complexo:
                                
	
	
	
	A - B = 4+i4+i 
	
	
	A - B = 2+2i2+2i 
	
	
	A - B = 2+i2+i 
	
	
	A - B = 2 −i2 -i 
	
	
	A - B = 3+i3+i 
	
Explicação:
Ponto A(1,2) ou z = 1 + 2i
Ponto B(-2,1) ou w = -2 + i
A - B = (1,2) - (-2,1) = (3,1) ou A - B = 3 + i
	
	
	
	 
		
	
		4.
		O módulo do complexo z ,tal que z2 = i , é :
	
	
	
	0
	
	
	1
	
	
	√33
	
	
	2
	
	
	√22
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Resolva, no conjunto dos números complexos C, a equação x2−6x+10=0x2-6x+10=0
	
	
	
	S={4,8}S={4,8}
	
	
	S={+i,−i}S={+i,-i}
	
	
	S={3+i,3−i}S={3+i,3-i}
	
	
	S={ }S={ }
	
	
	S={3,−3}S={3,-3}
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Resolva, no conjunto dos números complexos C, a equação x2+36=0x2+36=0
	
	
	
	x=6x=6
	
	
	x=±ix=±i
	
	
	x=±6ix=±6i
	
	
	x=±36ix=±36i
	
	
	x=−6x=-6
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Desenvolvendo o produto (1+i)5(1−i)5(1+i)5(1-i)5, obtemos:
	
	
	
	64
	
	
	32
	
	
	ii
	
	
	5
	
	
	16
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Determine o valor real de x para que o número complexo z = (1 - x) + (x - 1)i seja o número real 0.
 
	
	
	
	x = 5
	
	
	x = 3
	
	
	x = 2
	
	
	x = 1
	
	
	x = 4
	
Explicação:
Para que z seja 0 é necessário que Re(z) = 0 e Im(z) = 0.
Re(z) = 0 => 1 - x = 0 => x = 1
Im(z) = 0 => x - 1 = 0 => x = 1
Verificando para x = 1.
z = (1 - 1) + (1 - 1)i = 0 + 0i = 0.
Logo, x  = 1.
	
	
	
		1.
		O valor de a≠0a≠0 e real para que z=(2a+i)3+ai4−aiz=(2a+i)3+ai4-ai seja real é:
	
	
	
	Impossível
	
	
	a=−1a=-1
	
	
	a=√32ia=32i
	
	
	 a = 1
	
	
	 a = 0
	
	
	
	 
		
	
		2.
		           Determine o valor do número real k para que z = -3 + (k + 3)i seja real.
	
	
	
	        k = 2
 
	
	
	       k = 0
 
	
	
	      k = 5
	
	
	k = -1
 
	
	
	        k = -3
 
	
Explicação:
Re(z) = - 3
Im(z) =  k + 3 = 0
A condição é k + 3 = 0, isto é, k = -3.
Logo, se k = -3 teremos z = -3 um número real.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O produto de um número complexo pelo seu conjugado será:
	
	
	
	nunca será um natural.
	
	
	nunca será um irracional
	
	
	sempre um número inteiro.
	
	
	sempre um racional.
	
	
	sempre um número real.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		O simétrico ou oposto do número a é -a, pois a + (-a) = 0. Isto vale também para o conjunto dos complexos. Dado a = 2 - 3i, podemos afirmar que seu oposto é:
	
	
	
	-3+2i
	
	
	-2-3i
	
	
	3-2i
	
	
	-2+3i
	
	
	1/-2+3i
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine o número real k de modo que z=(1/2 , k-3) seja um número real.
	
	
	
	k=1/2
	
	
	k=-3
	
	
	k=0
	
	
	k=-1/2
	
	
	k=3
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Resolva, no conjunto dos números complexos C, a equação x2+64=0x2+64=0
	
	
	
	x=+8x=+8
	
	
	x=±ix=±i
	
	
	x=±64ix=±64i
	
	
	x=±8ix=±8i
	
	
	x=−8x=-8
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Podemos associar a soma de dois números complexos como a soma de dois vetores.  Se A e B do cartesiano abaixo representam dois números complexos, a soma A + B é o Complexo:
                                       
	
	
	
	A+B = 2+i2+i
	
	
	A+B = 2+2i2+2i
	
	
	A+B = 3+i3+i
	
	
	A+B = 4+i4+i
	
	
	A+B = 22
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Sendo i a unidade imaginária , o resultado da divisão 1+3ii−11+3ii-1 é
	
	
	
	-2i
	
	
	-2i+1
	
	
	-2i-1
	
	
	1+i
	
	
	-1-i
	 
		
	
		1.
		Se  Z = 1+i então (Z-2)2 é igual a:
	
	
	
	2i
	
	
	-2i
	
	
	1
	
	
	i
	
	
	-i
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine o  número complexo z que atende as seguintes condições:
z−¯¯¯z=6iz−z¯=6i
z+2¯¯¯z=9−3iz+2z¯=9−3i
 
	
	
	
	z = 2 + 3i
	
	
	z = -3 - 3i
	
	
	z = 3 + 2i
	
	
	z = 3 + 3i
	
	
	z = -3 - 3i
	
Explicação:
Considere z = x + yi, onde x e y são números reais.
(x + yi) - (x - yi) = 6i  resolvendo encontramos y = 3
(x + yi) +2(x - yi) = 9 - 3i  resolvendo encontramos x = 3 e y = 3
Portanto, z = 3 + 3i
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Sendo  z1 = 2+ i e z2 = 3-4i e z3= x-yi , determine x e y reais para que z12.z2=z3.
	
	
	
	x = 25 e y = 25
	
	
	X = 25 e y = 0
	
	
	x = - 25 e y = 0
	
	
	x = 5 e y = 0
	
	
	x = 2 e y = 0
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Se z=3+2i e w=2-4i, podemos afirmar que z.w é:
	
	
	
	14-8i
	
	
	-10+2i
	
	
	10-6i
	
	
	12+6i
	
	
	12-6i
	
Explicação:
(3 + 2i) ( 2 - 4i)
6 - 12i + 4i - 8i²
6 - 8i + 8
14 - 8i
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Se x=31−i√2x=31-i2, o valor de x2 -x será igual a:
	
	
	
	−2+√2i-2+2i
	
	
	−√2-2
	
	
	1+√2i1+2i
	
	
	√2i2i
	
	
	−2−√2i-2-2i
	
	
	
	 
		
	
		6.
		O valor de i343i343 é:
	
	
	
	i2i2
	
	
	-i
	
	
	i
	
	
	1
	
	
	-1
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Qual o valor de x para que o produto (x-3i)(2-4i) seja um imaginário puro?
	
	
	
	4
	
	
	5
	
	
	2
	
	
	6
	
	
	3
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Determine x e y para que se tenha (2x-3yi).(2+i) = -30i.
	
	
	
	x =-3 e y =3
	
	
	x =-3 e y =4
	
	
	x =-3 e y =-4
	
	
	x =3 e y =-4
	
	
	x =3 e y =4
	
	
	
		1.
		Resolva, no conjunto dos números complexos C, a equação x2+25=0x2+25=0
	
	
	
	x=±25x=±25
	
	
	x=−5x=-5
	
	
	x=±5ix=±5i
	
	
	x=5x=5
	
	
	x=±ix=±i
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere o número complexo z=(x4−2x2)+5iz=(x4-2x2)+5i . Os valores de x para os quais  zz seja um número imaginário puro, são:
	
	
	
	V={0}V={0}
	
	
	V={0,√−2}V={0,-2}
	
	
	V={0,√2, −√2 }V={0,2, -2 }
	
	
	V={0,√2}V={0,2}
	
	
	V={1,√2,2}V={1,2,2}
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O módulo do número complexo z = 3i1+i3i1+i é:
	
	
	
	(3√22)/2
	
	
	(2√33)/2
	
	
	(2√33)/4
	
	
	(√22)/2
	
	
	(3√22)/4
	
	
	
	 
		
	
		4.
		O valor do conjugado do conjugado de z=−√2+πiz=-2+πi é
	
	
	
	√−2−πi-2-πi
	
	
	√2 +πi2 +πi
	
	
	√2−πi2-πi
	
	
	−√2−πi-2-πi
	
	
	−√2 +πi-2 +πi
	
Explicação:
No caso do conjugado de um número complexo temos que dado z = a + bi, basta mudarmos o sinal que aparece antes da parte imaginária.
 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		O valor de x real que torna o número complexo 8+xi2−xi8+xi2-xium imaginário puro é:
	
	
	
	-2
	
	
	2
	
	
	1
	
	
	0
	
	
	4
	
	
	
	 
		
	
		6.
		O módulo da solução da equação IzI + z = 1 + i é igual a :
	
	
	
	4
	
	
	5
	
	
	1
	
	
	2
	
	
	3
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Efetuando i21⋅i45i21⋅i45 , ontemos:
	
	
	
	-1
	
	
	i
	
	
	0
	
	
	1
	
	
	-i
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Calcule o valor de i-1.
	
	
	
	- i
	
	
	1
	
	
	- 1
	
	
	0
	
	
	i
	
Explicação:
i-1 = 1/i
basta multiplicar o numerador e o denominador de 1/i pelo conjugado de i que é -i.
		1.
		Dado z = 1 + 2i, determine o inverso multiplicativo de z-1 (ou 1/z).
 
	
	
	
	1/z = (1/2) - (2/5)i
 
 
	
	
	1/z = (1/5) - (2/5)i
 
	
	
	1/z = (1/5) + (1/5)i
 
	
	
	1/z = -(1/5) - (1/5)i
 
	
	
	1/z = (1/3)- (3/5)i
 
	
Explicação:
1/z = 1/(1 + 2i).
Multiplicar pelo conjugado (1 - 2i) no numerador e denominador.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine o número real m de modo que z=(m2−25)+(m+5)iz=(m2-25)+(m+5)i seja imaginário puro.
	
	
	
	m=0
	
	
	m=5
	
	
	m=5 ou m=-5
	
	
	Este número não pode ser imaginário puro.
	
	
	m=-5
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere o número complexo z=(3-x)+(x-4)i. Deseja-se que este número seja de tal forma que Im(z)=-6. Para que isto ocorra, devemos ter :
	
	
	
	x=3
	
	
	x=-2
	
	
	x=2
	
	
	x=-3
	
	
	x=0
	
	
	
	 
		
	
		4.
		O conjugado do complexo z=12iz=12i é igual a:
	
	
	
	2-1 i     
	
	
	-i
	
	
	i-2     
	
	
	1
	
	
	-1
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere o complexo z= (2+5i).(3-xi) . Para que ele seja um imaginário puro devemos ter:
	
	
	
	x=-6/5 e x≠15/2
	
	
	x=6/5 e x≠-15/2
	
	
	x=-6/5
	
	
	x=-6/5 e x≠-15/2
	
	
	x=6/5 e x≠15/2
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Sendo i a unidade imaginária, então (1 + i)20 - (1 - i)20 é igual a:
	
	
	
	1024i
	
	
	- 1024
	
	
	- 1024i
	
	
	1024
	
	
	0
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		 Sejam os complexos  Z = 1+i , W= 2-i e R, determine o complexo R sabendo que RW=Z.
	
	
	
	15 −35i15 -35i
	
	
	−15 −35i-15 -35i
	
	
	−15+35i-15+35i
	
	
	35i35i
	
	
	15+35i15+35i
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Determine o valor de x para que o complexo z = (2+5i).(3-xi) seja um número real:
	
	
	
	x=11/2
	
	
	x=9/2
	
	
	x= 13/2
	
	
	x=15/2
	
	
	x=7/2
	7a Questão
	
	
	
	 Sejam os complexos  Z = 1+i , W= 2-i e R, determine o complexo R sabendo que RW=Z.
		
	 
	15 −35i15 -35i
	
	−15 −35i-15 -35i
	
	−15+35i-15+35i
	
	35i35i
	 
	15+35i15+35i
		
	
	
		1.
		O valor de i−2011i-2011 é:
	
	
	
	1
	
	
	 ii
	
	
	 −i-i
	
	
	1i1i
	
	
	-1
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine a potência (3 + 4i)2 .
	
	
	
	-7+ 24i
	
	
	-7- 21i
	
	
	-1+ 4i
	
	
	-7- 24i
	
	
	-2+ 3i
	
Explicação:
Basta desenvolver o produto notável.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		A raiz quadrada de i é:
	
	
	
	−√22+√22i-22+22i
	
	
	√22−√22i22-22i
	
	
	±i±i
	
	
	±(√22+√22i)±(22+22i)
	
	
	Impossível
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere o o número complexo z=(1+i)4 . O valor do argumento de z é :
	
	
	
	ππ
	
	
	−π-π
	
	
	2π2π
	
	
	−π2-π2 −π2-π2
	
	
	π4π4
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine as raízes quadradas de -3 + 4i.
	
	
	
	1 + 2i e -1 - 2i
	
	
	2 + 2i e -2 - 2i
	
	
	1 + 2i e -1 + 2i
	
	
	1 + 2i e 1 - 2i
	
	
	2 + 2i e -1 - 2i
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		O valor de (1+i)14(1+i)14  é:
	
	
	
	i14i14
	
	
	−128i-128i
	
	
	i−14i-14
	
	
	1+i21+i2
	
	
	1
	
	
	
	 
		
	
		7.
		O valor da expressão (12−i√32)6(12-i32)6 é:
	
	
	
	3i
	
	
	-i
	
	
	-1
	
	
	i
	
	
	1
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Calcule o valor de (1 + √3 i)9.
	
	
	
	64√3i
	
	
	512
	
	
	-512
	
	
	60
	
	
	-64
	
Explicação:
z9 = |z|9 .(cos(9(arg z)) + isen(9(arg z)))
z=1+√3iz=1+3i
a = 1 e b = √33
|z| = 2
cosθ=1/2cosθ=1/2
senθ=√3/2senθ=3/2
Logo, θ=π/3θ=π/3
z9 = 29 .(cos(9π3π3) + isen(9π3π3))
z9 = 29. (cos3π3π + isen3π3π )
z9 = 512.(-1 + 0)
z9 = -512
		1.
		Dado z=2+2iz=2+2i, o valor de z12z12 é:
	
	
	
	6√2cisπ362cisπ3
	
	
	218cis(3π+2kπ)218cis(3π+2kπ)
	
	
	212cis(π3+2kπ)212cis(π3+2kπ)
	
	
	24√2cisπ3+2kπ242cisπ3+2kπ
	
	
	212cis(π4+2kπ)212cis(π4+2kπ)
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		As raízes da equação x^4 + 16 = 0 são os vértices de qual figura geométrica?
	
	
	
	Paralelogramo
	
	
	Trapézio
	
	
	Pentágono
	
	
	Triângulo
	
	
	Retângulo
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dado o complexo z=cos(π6)+isen(π6)z=cos(π6)+isen(π6), determine z2 +z4:
	
	
	
	0
	
	
	1
	
	
	√3i3i
	
	
	-1
	
	
	−√3i-3i
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine as raízes quartas de z = 1, considerando |z| = 1  e arg(z) = 0.
	
	
	
	{1,2i, -1, -2i}
	
	
	{2, i, -2, -i}
	
	
	{1, i}
	
	
	{1, i, -1}
	
	
	{1, i, -1, -i}
	
Explicação:
Basta usar a fórmula de De Moivre  determinar as raízes quartas de 1.
Então vamos substituir  k = 0, k = 1, k = 2  e k = 3 em
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Efetuando-se (1+i)4-(1-i)6 , obtém-se:
	
	
	
	(1+2i)
	
	
	-4(1+2i)
	
	
	4(1-2i)
	
	
	(2i-1)
	
	
	8+4i
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		O módulo do complexo  z=(√3+i)8z=(3+i)8   é igual a:
	
	
	
	512
	
	
	1212
	
	
	1024
	
	
	256
	
	
	128
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Uma raiz real de x4=−4x4=-4 é:
	
	
	
	4√−4(√22+√22i)-44(22+22i)
	
	
	Não existe.
	
	
	  √4(√22+√22i)4 (22+22i)
	
	
	−√4-4
	
	
	4√4(√22+√22i)44(22+22i)
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Dado o número complexo z, determine z7.
z=2(cosπ4+isenπ4)z=2(cosπ4+isenπ4)
	
	
	
	z7=23(√2−√2i)z7=23(2−2i)
	
	
	z7=2(√2−√2i)z7=2(2−2i)
	
	
	z7=26(√2+√3i)z7=26(2+3i)
	
	
	z7=26(√3−√2i)z7=26(3−2i)
	
	
	z7=26(√2−√2i)z7=26(2−2i)
	
Explicação:
Basta usar a relação zn = |z|n[cos(n.(theta)) + isen(n.(theta))  fórmula de  De Moivre
Respondido em 19/04/2020 20:46:24
	
	
	
	
	
		1.
		Dado o número complexo z, determine z7.
z=2(cosπ4+isenπ4)z=2(cosπ4+isenπ4)
	
	
	
	z7 = 128(cos7π/2 - isen7π/4)
	
	
	z7 = 128(cos7π/4 + isen7π/4)
	
	
	z7 = 128(cos4π/7 + isen4π/7)
	
	
	z7 = 128(cosπ/3 - isenπ/3)
	
	
	z7 = 14(cosπ/4 + isenπ/4)
	
Explicação:
Basta aplicar o modelo:
z=|z|n(cos(nθ)+isen(nθ))z=|z|n(cos(nθ)+isen(nθ))
	
	
	
	 
		
	
		2.
		As raízes cúbicas de -i são vértices de qual figura geométrica?
	
	
	
	triângulo escaleno
	
	
	triângulo isósceles
	
	
	Triângulo equilátero
	
	
	losango
	
	
	quadrado
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O valor da expressão (1+i)(1+i)2(1+i)3(1+i)4(1+i)5(1+i)6 é igual a :
	
	
	
	218
	
	
	i
	
	
	216 
	
	
	-216     
	
	
	-218      
	
	
	
	 
		
	
		4.
		As raízes da equação x^4 + 16 = 0 determinam um quadrilátero com vértices nos pontos cartesiano (V2, V2), (-V2, V2), (-V2, -V2), (V2, -V2). Determine as raízes da equação.
	
	
	
	2 - V2 i , 2 - 2i, 2i, -2i
	
	
	V2 + i , V2 -i, 2 + i, 2 - i
	
	
	V2 + i V2, -V2 + i V2, -V2 - i V2, V2 - i V2
	
	
	V2 + 2i, -V2 - i V2, -V2 - i V2, V2 - i 2
	
	
	2i, -2i, V2 i, -V2i
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		As raízes da equação z^4 + 16 = 0 são os vértices de qual figura geométrica?
	
	
	
	Trazézio
	
	
	Paralelogramo
	
	
	Triângulo
	
	
	Losango
	
	
	Retângulo
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		A Europa renascentista foi rica em todos os sentidos: na literatura, na arte e na ciência. Na matemática, em especial na álgebra, equações algébricas do tipo x3 + 6x = 20 foram destaque. Uma das raízes dessa equação é um número inteiro positivo. Com relação às outras raízes, é verdade que são:
	
	
	
	Reais e iguais
	
	
	Não reais
	
	
	Racionais de sinais contrários
	
	
	Reais de mesmo sinal
	
	
	Irracionais
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Calcule (1+V3 i)9
	
	
	
	510
	
	
	-512
	
	
	512
	
	
	-515
	
	
	-510
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Dado  o número complexo z na forma trigonométrica, calcule Z-9.    
z=2(cos7π3+isen7π3)z=2(cos7π3+isen7π3)
 
	
	
	
	z-9 = -1/512
	
	
	z-9 = -1/12
	
	
	z-9 = 1/51
	
	
	z-9 = 3/23
	
	
	z-9 = -1/9
	
Explicação:
Fazer z-9 = 1/z9.
Resolver z9.
zn=|z|ncos(nθ)+isen(nθ)zn=|z|ncos(nθ)+isen(nθ)
O resultado z9 = - 512.
		1.
		O afixo do complexo z=(1+i)8 , no Plano de Gauss , é um ponto do:
	
	
	
	quarto quadrante
	
	
	segundo quadrante
	
	
	eixo real
	
	
	primeiro quadrante
	
	
	eixo imaginário
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Dado o número complexo na formaalgébrica e seu arg(z) = π/3, determine Z8.    
	
	
	
	z8=12−√32iz8=12−32i
	
	
	z8=−12+√22iz8=−12+22i
	
	
	z8=−13+√32iz8=−13+32i
	
	
	z8=−12+√32iz8=−12+32i
	
	
	z8=−12−√23iz8=−12−23i
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O argumento de z3 para z=2(cosπ/3+isenπ/3)z=2(cosπ/3+isenπ/3) é:
	
	
	
	ππ
	
	
	π/4π/4
	
	
	2π/32π/3
	
	
	3π/23π/2
	
	
	π/2π/2
	
	
	
	 
		
	
		4.
		A expressão (1-i)8 é igual a :
	
	
	
	i
	
	
	-16
	
	
	-16i
	
	
	16
	
	
	16i
	
	
	
	 
		
	
		5.
		No plano complexo , o conjunto dos pontos z = x+iy tais que IzI ≤1 e y≥0 é :
	
	
	
	um semicírculo
	
	
	um quadrado centrado na origem.
	
	
	um segmento de reta
	
	
	uma circunferência
	
	
	um círculo
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		6.
				Se z = cos 40o + isen 60o, então, z15 é igual a:
	
	
	
	1
	
	
	
	
	
	
	
	
	-1
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Determine as raízes cúbicas de z = 8, considerando |z| = 8  e arg(z) = 0.
	
	
	
	−2,−1+i√3,1−i√3−2,−1+i3,1−i3
	
	
	2,−1+i√2,−1−i√22,−1+i2,−1−i2
	
	
	−1+i√3,−1−i√3−1+i3,−1−i3
	
	
	3,i√3,−i√33,i3,−i3
	
	
	2,−1+i√3,−1−i√32,−1+i3,−1−i3
	
Explicação:
Basta usar a fórmula de De Moivre  determinar as raízes cúbicas de 8.
Então vamos substituir  k = 0, k = 1 e k = 2  em
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considerando arg(z) = 7π/4, calcule a potência (1 - i)10.
	
	
	
	z10 = 4 + 5i
	
	
	z10 = 2 + 3i
	
	
	z10 = - 3i
	
	
	z10 = 1 - 32i
	
	
	z10 = - 32i
	
Explicação:
	
	
		
	NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES ALGEBRICAS
CEL0524_A4_201807210146_V3
	
		Lupa
	 
	Calc.
	
	
	 
	 
	 
	
Vídeo
	
PPT
	
MP3
	 
		Aluno: VALÉRIO PAHOLSKI
	Matr.: 201807210146
	Disc.: NUM.C.EQU.ALGEB. 
	2020.1 EAD (G) / EX
		Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	 
		
	
		1.
		A equação binômia x3 + 1 = 0 possui:
	
	
	
	duas raízes reais distintas e uma raiz não real
	
	
	Duas raízes reais e iguais e uma raiz não real
	
	
	Todas as raízes reais
	
	
	Uma raiz real e duas raízes não reais
	
	
	Todas as raízes não reais
	
	
	
	 
		
	
		2.
		As raízes Reais da equação x^6 - 9x^3 + 8 = 0 são:
	
	
	
	-1 e -3
	
	
	-1 e -2
	
	
	-1 e 2
	
	
	-1 e 3
	
	
	1 e 2
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O produto das raízes da equação polinomial 45x3−54x2+19x−2=045x3-54x2+19x-2=0 é:
	
	
	
	19/45
	
	
	2/45
	
	
	54/45
	
	
	-2/45
	
	
	-54/45
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine o quociente e o resto da divisão de 3x - x² + 2x4 - 4x³ por x² + x + 1.
	
	
	
	Q(x)=2x²-6x+5 e R(x)= 6x+3
	
	
	Q(x)=2x²-6x+3 e R(x)= 6x-3
	
	
	Q(x)=2x²-5x+6 e R(x)= 4x+2
	
	
	Q(x)=2x²-6x+5 e R(x)= 6x-2
	
	
	Q(x)=2x²-5x- 6 e R(x)= 4x+2
	
	
	
	 
		
	
		5.
		
 
	
	
	
	√3+√2i,−√2+√3i,−√3−√2i,√2−√3i3+2i,−2+3i,−3−2i,2−3i
	
	
	√2+√2i,−√2+√2i,−√3−√3i,√3−√3i2+2i,−2+2i,−3−3i,3−3i
	
	
	√3+√3i,−√3+√3i,−√3−√3i,√3−√3i3+3i,−3+3i,−3−3i,3−3i
	
	
	√2+√2i,−√2+√2i,√2−√2i2+2i,−2+2i,2−2i
	
	
	√2+√2i,−√2+√2i,−√2−√2i,√2−√2i2+2i,−2+2i,−2−2i,2−2i
	
Explicação:
Basta substituir em w4 , k = 0, k = 1, k = 2  e k = 3.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Dado o polinômio P(x) = 3x3 - x2 - 4x + 3, determine o valor numério para P(0).
	
	
	
	-1
	
	
	0
	
	
	2
	
	
	4
	
	
	3
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Considere o polinômio Q(x) = 4x^4 + 3x^3 - 2x^2 +x +k. Sabendo que Q(1) = 2, determine Q(3).
	
	
	
	186
	
	
	16
	
	
	256
	
	
	386
	
	
	8
	
	
	
	 
		
	
		8.
		
	
	
	
	√22−√22i,−√22+√22i22−22i,−22+22i
	
	
	√22+√22i,√22−√22i22+22i,22−22i
	
	
	√2+√2i,−√2−√2i2+2i,−2−2i
	
	
	√33+√33i,−√33−√33i33+33i,−33−33i
	
	
	√22+√22i,−√22−√22i22+22i,−22−22i
	
Explicação:
Basta substituir em k = 0 e k = 1 em w2.
	
	 
		
	
		1.
		Considere o polinômio P(x) = x² - 2x + 1. Calcule P(1-i).
	
	
	
	-1
	
	
	-5
	
	
	-4
	
	
	-2
	
	
	-3
	
 
		
	
		1.
		Determine o polinômio P(x) que ao ser dividido pelo polinômio (2x-1) deixa quociente (3x² + x) e resto zero
	
	
	
	6x³ + x² + x
	
	
	6x³ - x² + x
	
	
	6x³ - x² - x
	
	
	- 6x³ - x² - x
	
	
	6x³ + x² - x
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determinar o valor m para que o resto da divisão do polinômio P(x) = 2x^3 + 7x^2 + 5x + m por D(x) = x^2 + 3x + 1 seja igual a zero.
	
	
	
	m = -1
	
	
	m = 1
	
	
	m = 0
	
	
	m = 2
	
	
	m = -2
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Calcule m nos reais, tal que o polinômio P(x) = (m2 - 1)x3 + (m + 1)x2 - x + 4 seja do 3o grau.
	
	
	
	m ≠ -1
	
	
	m ≠ 1 
	
	
	m ≠ 2 e m ≠ -2
	
	
	m ≠ 1 e m ≠ -1
	
	
	m ≠ 3 e m ≠ -3
	
Explicação:
Basta fazer resolver a equação do segundo grau.
m2−1≠0m2−1≠0
 
	
	
	
	 
		
	
		4.
		A equação: x³+x-4x-a=0 admite -1 como solução. Nestas condições, pode-se afirmar que as outras soluções são:
	
	
	
	x=3, x=4
	
	
	x=-3, x=-2
	
	
	x=4, x=-4
	
	
	x=1, x=4
	
	
	x=2, x=-2
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Sabendo que - 3 é raiz do polinômio p(x) = x3 - 4x2 - ax + 48, determine o valor de a.
	
	
	
	a = 1
	
	
	a = 2
	
	
	a = 5
	
	
	a = 3
	
	
	a = 4
	
Explicação:
Como - 3 é raiz do polinômio p(x) então p(- 3) = 0. Assim:
p(-3) = (-3)3 - 4(-3)2 -a(-3) + 48
3a =15
a = 5
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Dividindo-se x3 -2x2 + mx + 4 por x + 2, obtém-se quociente x2 - 4x + 5. O resto dessa divisão é:
	
	
	
	-6
	
	
	10
	
	
	3
	
	
	-8
	
	
	4
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Um polinômio P(x), quando dividido por D(x) = x^2 + 5, fornece quociente Q(x) = x+1 e resto R(x) = x - 3. Determine P(x).
	
	
	
	x^3 + x^2 + 6x + 8
	
	
	x^3 + x^2 + 6x +2
	
	
	x^3 + x^2 + 2
	
	
	x^3 + x^2 + 6x - 2
	
	
	x^3 + x^2 - 2
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Determine os valores de a, b, c, d e e de modo que os polinômios
 A(x) = ax4 + 5x2 + dx - b  e  B(x) = 2x4 + (b - 3)x3 + (2c - 1)x2 + x + e  sejam iguais.
	
	
	
	a = 2, b = -2, c = 3,  d = -1 e  e = -3
	
	
	a = 2, b = 3, c = 3,  d = 1 e  e = -3
	
	
	a = -2, b = 3, c = 3,  d = -1 e  e = -3
	
	
	a = -2, b = 3, c = -3,  d = 1 e  e = 3
	
	
	a = 2, b = -5, c = -3,  d = 1 e  e = 4
	
Explicação:
Para A(x) = B(x), devemos ter:
a = 2
b - 3 = 0 ⇒ b = 3
5 = 2c - 1 ⇒ c = 3
d = 1
- b = e ⇒ b = - 3
	
	
	
		1.
		Sejam os números complexos z = 6(cos 240o240o + i sen 240o240o)  e  w = cos 240o240o + i sen 240o240o.  A forma trigonométrica de z.w é:
	
	
	
	6(cos 270o270o + i sen 270o270o) 
	
	
	4(cos 60o60o + i sen 60o60o)
	
	
	cos 240o240o + i sen 240o240o
	
	
	2(cos 270o270o + i sen 270o270o)
	
	
	6(cos 120o120o + i sen 120o120o)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere o polinômio p(x + 1) = 3x2 - x + 5. Calcule p(-3).
	
	
	
	25
	
	
	-34
	
	
	22
	
	
	0
	
	
	57
	
Explicação:
para calcularmos P(-3) precisamos ter X + 1 = -3. Resolvendo, encontramos X = -4.
P(-4 + 1) = 3(-4)2 - (-4) + 5 => P(-3) = 57
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine os valores de a e b, de tal forma que o polinômio P(x) = x^3 + x^2 + ax + b, quando dividido por D(x) = x^2 - 5x + 4, forneça resto R(x) = 4x - 2
	
	
	
	a = -22 e b = 22
	
	
	a = 22 e b = 22
	
	
	a = 22 e b = - 22
	
	
	a = -22 b = 21
	
	
	a = -22 e b = - 22
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Sendo P(x) = (x-2).(x+2).(x+1), analise as afirmativas abaixo:
I.          P(x) será um polinômio de grau 3;
II.       P(x) terá duas raízes positivas e uma raiz negativa;
III.    P(x) será positivo para todo x maior que 1;
Encontramos afirmativas corretas somente em:
	
	
	
	I e IIIII
	
	
	I e II
	
	
	II e III
	
	
	I
	
Explicação:
Pelo teorema da construção do polinômio, temos que P(x) = (x-a)(x-b)..(x-n), onde a,b,..., n são as raízes do polinômio.
Fica claro que as raízes são 2, -2 e -1
I.          P(x) será um polinômio de grau 3;
Verdadeiro, pois x.x.x = x³
II.       P(x) terá duas raízes positivas e uma raiz negativa;
Falso, as raízes são 2, -2 e -1
III.    P(x) será positivo para todo x maior que 1;
Falso, o polinômio é x³ + x² - 4x - 4
P(2) = 8 +  4 -8 - 4 = 0, ou seja, não é positivo.
Apenas I é verdadeira.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Se a divisão do polinômio P1(x)=x³+px²-qx+3 por P2(x)=x²-x+1 for exata, quais os valores de p e q?
	
	
	
	p=q=3
	
	
	p=q=4
	
	
	p=q=1
	
	
	p=q=5
	
	
	p=q=2
	
	
	 
		
	
		6.
		Considerando os polinômios P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 4x + m e D(x) = x + 1, determine o valor de m , de tal forma que o resto da divisão de P por D seja 3.
	
	
	
	-3
	
	
	-2
	
	
	-1
	
	
	-4
	
	
	0
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Considerando os polinômios P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 4x + m e D(x) = x + 1, determine o valor de m , de tal forma que P(-1) = 3
	
	
	
	m = 0
	
	
	m = -4
	
	
	m = -1
	
	
	m = -2
	
	
	m = -3
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere o polinômio p(x) = 2x3 + x2 - 5x + 1. Determine o seu valor numérico quando x = i.
	
	
	
	p(i) = -1
	
	
	p(i) = -2-8i
	
	
	p(i) = 2 -7i
	
	
	p(i) = 2 +7i
	
	
	p(i) = -1-7i
	
Explicação:
p(i)=2(i)3+2(i)2-5(i)+1
p(i)=2(-i)+2(-1)-5i+1
p(i)=-2i-2-5i+1
p(i)=-1-7i
	 
		
	
		1.
		Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, determine o dobro do resto na divisão de 9x^3 + 5x^2 + x -11 por x + 2
	
	
	
	- 65
	
	
	- 130
	
	
	130
	
	
	65
	
	
	-130/2
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determinar o conjunto solução da equação x³ + 2 = 4x + 2
	
	
	
	S = {-2, -1, 2}
	
	
	S = {-2, 0, 2}
	
	
	S = {-2, -1, 0}
	
	
	S = {-2, 0, 1}
	
	
	S = {-2, 1, 3}
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine o resto da divisão de x^50 - 17x + 6 por x - 1.
	
	
	
	12
	
	
	13
	
	
	-12
	
	
	10
	
	
	-10
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini na divisão de x^3 -4 x + b por 2x^2 + 2x -6, qual o valor de b para que a divisão seja exata?
	
	
	
	-4
	
	
	-3
	
	
	3
	
	
	5
	
	
	4
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine o dobro do resto da divisão do polinômio x² + 3x -10 por x-3
	
	
	
	64
	
	
	8
	
	
	32
	
	
	4
	
	
	16
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine o resto da divisão do polinômio 3x³ + x² - 6x + 7 por 2x + 1
	
	
	
	79/8
	
	
	9/78
	
	
	78/9
	
	
	78/8
	
	
	8/79
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Determine o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão de A(x) = x3 + 4x2 + x - 6 por  B(x) = x + 2.
	
	
	
	-x2 + 2x + 4
	
	
	x2 + x - 3
	
	
	x2 + 2x
	
	
	x2 + 2x - 3
	
	
	2x2 + x - 3
	
Explicação:
Basta usar o método da chaver para realizar a divisão.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Determinar o resto da divisão do polinômio 3x³ - 4x² - 5x + 2 por x - 1.
	
	
	
	2
	
	
	-4
	
	
	8
	
	
	4
	
	
	-8
	
	
	
	
		1.
		Determine o conjunto solução da equação x3 + x2 - 2 = 0.
	
	
	
	S = {1, 1 - i, 3 - i}
 
	
	
	S = {0, -1 + i, 1 + i}
 
	
	
	S = {-1, -1 - i, -1 + i}
 
	
	
	S = {1, -2 + i, 2 - i}
	
	
	S = {1, -1 + i, -1 - i}
 
	
Explicação:
Essa equação possui 3 raízes, mas podemos encontrar inicialmente uma delas.
Veja que a soma dos coeficientes é nula, isto é: 1 + 1 - 2 = 0.  Assim, uma raiz é igual a 1.
Agora basta usar o dispositivo Briot-Ruffini para encontrar as outras soluções.
Resolvendo a equação do segundo grau x2 + 2x + 2 = 0 encontramos  as raízes
 -1 + i  e  -1 - i. Conjunto solução: S = {1, -1 + i, -1 - i}
	
	
	
	 
		
	
		2.
		O Lucro de determinada empresa é definido pela função L(x) = - x² + 62x - 600, onde L é o lucro da empresa em função da quantidade x em milhões de unidades. Defina a quantidade que deve ser produzida afim de maximizar o lucro.
	
	
	
	0,31 milhões
	
	
	9,5 milhões
	
	
	3,1 milhões
	
	
	310 milhões
	
	
	31 milhões
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O crescimento populacional de uma determinada região é definido pela equação C(t) = (2t³ - 2t² + 3) / 3, onde t é o tempo em anos e C(t) o crescimento em milhares de pessoas. Qual a população ( em milhares ) estimado pára 2018, se em 2015 a população erá de 228 000?
	
	
	
	13 000
	
	
	39 000
	
	
	228 000
	
	
	241 000
	
	
	267 000
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Um cubo tem volume definido pelo polinômio (x³ + 6x² + 12x + 8) cm³. Podemos afirmar que a aresta mede em centímetros:
	
	
	
	(x - 8) cm
	
	
	(x - 2) cm
	
	
	(x - 3 ) cm
	
	
	(x + 8 ) cm
	
	
	(x + 2) cm
	
	
	
	 
		
	
		5.
		A equação x2 + mx + n = 0, com m e n coeficientes reais,  admite 5 - 2i como raiz.
Determine os valores de m e n.
	
	
	
	m = -9 e n = 27
 
	
	
	m = -10 e n = 27
 
	
	
	m = -1 e n = 29
 
	
	
	m = -11 e n = 29
	
	
	m = -10 e n = 29
 
	
Explicação:
Veja que  5  - 2i  é raiz então 5 + 2i também é raiz.
x2 + mx + n = (x - 5 + 2i)(x - 5 - 2i) = x2 - 10x + 29
Logo, m = -10 e n = 29
	
	
	
	 
		
	
		6.
		A função lucro de uma empresa é definida pelo Polinômio L(x) = - x² + 7x + 12 e o preço dado por p = x +3. Defina o preço que maximiza o lucro.
	
	
	
	R$ 7,00
	
	
	R$ 10,50
	
	
	R$ 3,00
	
	
	R$ 3,50
	
	
	R$ 6,50
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Duas partículas se movimentam no plano de acordo com as trajetórias dadas pelas funções f(t) =  t3  e  g(t) = 7t - 6. Após uma delas cruzar a origem, o instante t em que elas se encontram tem valor de:
	
	
	
	3
	
	
	4
	
	
	5
	
	
	2
	
	
	1
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Determine o valor de k para que os polinômios A(x) = x3 - x2 - 5x - 3 e
B(x) = x3 + 2x2 + kx admitam em comum uma raiz inteira de multiplicidade 2.
	
	
	
	k = 1 ou  k = - 10
 
	
	
	k = 1 ou  k = - 11
 
	
	
	k = 1 ou  k = - 1
	
	
	k = -1 ou  k = - 2
 
	
	
	k = 0 ou  k = - 11
 
	
Explicação:
Como se trata de uma raiz comum, temos: A(x) = B(x).
x3 - x2 - 5x - 3 = x3 + 2x2 + kx => 3x2 + (k + 5) x + 3 = 0
Para que a raiz tenha multiplicidade 2, as raízes dessa equação deverão ser iguais, ou seja:
∆ = 0  (k + 5)2 - 4.(3).(3)
(k + 5)2 - 36 = 0 => (k + 5 - 6)(k + 5 + 6) = 0 => (k -1)(k + 11) = 0
k - 1 = 0  k = 1
k + 11 = 0  k = - 11
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere o polinômio P(x) = 3x³ + 4x² -5x +k. Sabendo que P(1) = 7, determine P(2).
	
	
	
	21
	
	
	9
	
	
	14
	
	
	122
	
	
	35
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere o polinômio P(x) = x² - 2x + 1. Calcule P(i).
	
	
	
	-2i
	
	
	-4i
	
	
	-3i
	
	
	2i
	
	
	3i
	
	
	
	 
		
	
		4.
		P(x) é um polinômio de grau 4 e  Q(x) é um polinômio de grau 3, então o grau de P(x) + Q(x) será:
	
	
	
	4
	
	
	7
	
	
	Menos que 3
	
	
	Maior que 5
	
	
	Menor ou igual a 4
	
Explicação:
Somente é possível adicionar ou subtrair monômios semelhantes, permanecendo no resultado o mesmo grau das parcelas. Cada polinômio é formado por monômios, e o grau é dado pelo monõmio de maior grau.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		O polinômio p(X) de 1o grau, com coeficientes reais, que satisfaz a condição
p(i) + p(2i) = - 4 + 6i é:
 
	
	
	
	p(x) = - 2x - 2
	
	
	p(x) = 2x + 2
	
	
	p(x) = -2x + 2
	
	
	p(x) = 3x + 2
	
	
	p(x) = 2x - 2
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Resolva a equação x2 + 4x + 5 = 0, no conjunto dos números complexos.
	
	
	
	S = {-2i, -2i}
	
	
	S = {-3 + i, -3 - i}
	
	
	S = {-2 + i, -2 -i}
	
	
	S = {-2 , -2}
	
	
	S = {-2 + i, -2 + i}
	
Explicação:
Basta resolver a equação através da fórmula de bhaskara.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Determine o conjunto solução da equação x2 - 2ix + 3 = 0, no conjuntodos números complexos.
	
	
	
	3i 
	
	
	2i
	
	
	2i e -i
	
	
	3i e -i
	
	
	 -i
	
Explicação:
Basta resolver através da fórmula de Baskara.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Determinar as raízes da equação x³ + 2x² + 2x = 0.
	
	
	
	{0, -1+i, -1-i}
	
	
	{0, 1, -1}
	
	
	{0, i, -i}
	
	
	{1, i, -i}
	
	
	{-1+i, i, 0}